U ovom članku ćemo pokriti ovu temu decimalno poređenje". Prvo, razgovarajmo o opštem principu poređenja decimalnih razlomaka. Nakon toga ćemo shvatiti koji su decimalni razlomci jednaki, a koji nejednaki. Zatim ćemo naučiti kako odrediti koji je decimalni razlomak veći, a koji manji. Da bismo to učinili, proučit ćemo pravila za poređenje konačnih, beskonačnih periodičnih i beskonačnih neperiodičnih razlomaka. Cijelu teoriju opskrbit ćemo primjerima s detaljnim rješenjima. U zaključku, zadržimo se na usporedbi decimalnih razlomaka s prirodnim brojevima, običnim razlomcima i mešoviti brojevi.

Recimo odmah da ćemo ovdje govoriti samo o poređenju pozitivnih decimalnih razlomaka (vidi pozitivne i negativne brojeve). Preostali slučajevi analizirani su u člancima upoređujući racionalne brojeve i poređenje realnih brojeva.

Navigacija po stranici.

Opšti princip za poređenje decimalnih razlomaka

Na osnovu ovog principa poređenja izvedena su pravila za poređenje decimalnih razlomaka, koja omogućavaju da se uspoređeni decimalni razlomci ne pretvaraju u obične razlomke. Ova pravila, kao i primjere njihove primjene, analizirat ćemo u sljedećim paragrafima.

Po sličnom principu, konačni decimalni razlomci ili beskonačni periodični decimalni razlomci upoređuju se s prirodnim brojevima, običnim razlomcima i mješovitim brojevima: upoređeni brojevi se zamjenjuju odgovarajućim običnim razlomcima, nakon čega se upoređuju obični razlomci.

U vezi poređenja beskonačnih neponovljivih decimala, tada se obično svodi na poređenje konačnih decimalnih razlomaka. Da biste to učinili, razmotrite toliki broj znakova upoređenih beskonačnih neperiodičnih decimalnih razlomaka, koji vam omogućavaju da dobijete rezultat poređenja.

Jednake i nejednake decimale

Prvo predstavljamo definicije jednakih i nejednakih završnih decimala.

Definicija.

Pozivaju se dvije zadnje decimale jednaka ako su im odgovarajući obični razlomci jednaki, inače se ti decimalni razlomci nazivaju nejednako.

Na osnovu ove definicije, lako je opravdati sljedeću tvrdnju: ako na kraju datog decimalnog razlomka pripišemo ili odbacimo nekoliko cifara 0, onda ćemo dobiti decimalni razlomak jednak tome. Na primjer, 0,3=0,30=0,300=… i 140,000=140,00=140,0=140 .

Doista, dodavanje ili odbacivanje nule na kraju decimalnog razlomka na desnoj strani odgovara množenju ili dijeljenju brojnika i nazivnika odgovarajućeg običnog razlomka sa 10. A znamo osnovno svojstvo razlomka, koje kaže da množenje ili dijeljenje brojnika i nazivnika razlomka istim prirodnim brojem daje razlomak jednak izvornom. Ovo dokazuje da dodavanje ili odbacivanje nula desno u razlomku decimalnog razlomka daje razlomak jednak izvornom.

Na primjer, decimalni razlomak 0,5 odgovara običnom razlomku 5/10, nakon dodavanja nule desno, dobija se decimalni razlomak 0,50, što odgovara običnom razlomku 50/100, i. Dakle 0,5=0,50 . Obrnuto, ako u decimalnom razlomku 0,50 odbacimo 0 na desnoj strani, onda ćemo dobiti razlomak 0,5, pa ćemo od običnog razlomka 50/100 doći do razlomka 5/10, ali . Dakle, 0,50=0,5 .

Idemo dalje definicija jednakih i nejednakih beskonačnih periodičnih decimalnih razlomaka.

Definicija.

Dva beskonačna periodična razlomka jednaka, ako su obični razlomci koji im odgovaraju jednaki; ako obični razlomci koji im odgovaraju nisu jednaki, tada su i upoređeni periodični razlomci nije jednako.

Od ovu definiciju slijede tri zaključka:

• Ako su zapisi periodičnih decimalnih razlomaka potpuno isti, onda su takvi beskonačni periodični decimalni razlomci jednaki. Na primjer, periodične decimale 0,34(2987) i 0,34(2987) su jednake.
• Ako periodi upoređenih decimalnih periodičnih razlomaka počinju sa iste pozicije, prvi razlomak ima period od 0, drugi ima period od 9, a vrijednost cifre koja prethodi periodu 0 je za jedan veći od vrijednosti cifre prethodni period 9 , tada su takvi beskonačni periodični decimalni razlomci jednaki. Na primjer, periodični razlomci 8.3(0) i 8.2(9) su jednaki, a razlomci 141,(0) i 140,(9) su također jednaki.
• Bilo koja druga periodična razlomka nisu jednaka. Evo primjera nejednakih beskonačnih periodičnih decimalnih razlomaka: 9,0(4) i 7,(21) , 0,(12) i 0,(121) , 10,(0) i 9,8(9) .

Ostaje da se pozabavimo jednaki i nejednaki beskonačni neperiodični decimalni razlomci. Kao što znate, takvi decimalni razlomci ne mogu se pretvoriti u obične razlomke (takvi decimalni razlomci predstavljaju iracionalne brojeve), pa se poređenje beskonačnih neperiodičnih decimalnih razlomaka ne može svesti na poređenje običnih razlomaka.

Definicija.

Dvije beskonačne neponavljajuće decimale jednaka ako se njihovi unosi tačno poklapaju.

Ali postoji jedna nijansa: nemoguće je vidjeti "gotovi" zapis beskonačnih neperiodičnih decimalnih razlomaka, stoga je nemoguće biti siguran u potpunu podudarnost njihovih zapisa. Kako biti?

Prilikom poređenja beskonačnih neperiodičnih decimalnih razlomaka uzima se u obzir samo konačan broj predznaka upoređenih razlomaka, što nam omogućava da izvučemo potrebne zaključke. Stoga se poređenje beskonačnih neperiodičnih decimalnih razlomaka svodi na poređenje konačnih decimalnih razlomaka.

Ovim pristupom možemo govoriti o jednakosti beskonačnih neperiodičnih decimalnih razlomaka samo do razmatrane cifre. Navedimo primjere. Beskonačni neperiodični decimalni razlomci 5,45839 ... i 5,45839 ... jednaki su unutar stohiljaditih, pošto su konačni decimalni razlomci 5,45839 i 5,45839 jednaki; neponavljajući decimalni razlomci 19,54 ... i 19,54810375 ... jednaki su najbližoj stotini, jer su razlomci 19,54 i 19,54 jednaki.

Nejednakost beskonačnih neperiodičnih decimalnih razlomaka ovim pristupom je sasvim definitivno utvrđena. Na primjer, beskonačni neperiodični decimalni razlomci 5,6789… i 5,67732… nisu jednaki, jer su razlike u njihovim zapisima očigledne (konačni decimalni razlomci 5,6789 i 5,6773 nisu jednaki). Beskonačne decimale 6,49354... i 7,53789... takođe nisu jednake.

Pravila za poređenje decimalnih razlomaka, primjeri, rješenja

Nakon utvrđivanja činjenice da dva decimalna razlomka nisu jednaka, često je potrebno utvrditi koji je od tih razlomaka veći, a koji manji od drugog. Sada ćemo analizirati pravila za poređenje decimalnih razlomaka, što će nam omogućiti da odgovorimo na postavljeno pitanje.

U mnogim slučajevima, dovoljno je uporediti cijele dijelove upoređenih decimala. Istina je sljedeće pravilo decimalnog poređenja: veći od decimalnog razlomka čiji je cijeli broj veći i manji od decimalnog razlomka čiji je cijeli broj manji.

Ovo pravilo se primjenjuje i na konačne i na beskonačne decimale. Razmotrimo primjere.

Primjer.

Uporedite decimale 9,43 i 7,983023….

Rješenje.

Očigledno, ovi decimalni razlomci nisu jednaki. Cjelobrojni dio konačnog decimalnog razlomka 9,43 jednak je 9, a cijeli broj beskonačnog neperiodičnog razlomka 7,983023 ... jednak je 7. Pošto je 9>7 (vidi poređenje prirodnih brojeva), onda je 9,43>7,983023.

odgovor:

9,43>7,983023 .

Primjer.

Koja od decimala 49,43(14) i 1,045,45029... je manja?

Rješenje.

Cjelobrojni dio periodičnog razlomka 49,43(14) manji je od cijelog broja beskonačnog neperiodičnog decimalnog razlomka 1 045,45029…, dakle, 49,43(14)<1 045,45029… .

odgovor:

49,43(14) .

Ako su cijeli brojevi upoređenih decimalnih razlomaka jednaki, onda da bismo saznali koji je od njih veći, a koji manji, potrebno je uporediti razlomke. Poređenje razlomaka decimalnih razlomaka vrši se bit po bit- iz kategorije desetinaca do mlađih.

Prvo, pogledajmo primjer poređenja dva konačna decimalna razlomka.

Primjer.

Uporedite krajnje decimale 0,87 i 0,8521.

Rješenje.

Cjelobrojni dijelovi ovih decimalnih razlomaka su jednaki (0=0), pa pređimo na poređenje razlomaka. Vrijednosti mjesta desetina su jednake (8=8), a vrijednost mjesta stotinki razlomka 0,87 veća je od vrijednosti mjesta stotinki razlomka 0,8521 (7>5). Dakle, 0,87>0,8521 .

odgovor:

0,87>0,8521 .

Ponekad, da biste uporedili zadnje decimale s različitim brojem decimala, morate dodati broj nula desno od razlomka s manje decimala. Prilično je zgodno izjednačiti broj decimalnih mjesta prije nego što počnete upoređivati ​​posljednje decimalne razlomke dodavanjem određenog broja nula desno od jednog od njih.

Primjer.

Uporedite zadnje decimale 18,00405 i 18,0040532.

Rješenje.

Očigledno je da su ovi razlomci nejednaki, jer su im zapisi različiti, ali u isto vrijeme imaju jednake cjelobrojne dijelove (18=18).

Prije pobitnog poređenja razlomaka ovih razlomaka, izjednačavamo broj decimalnih mjesta. Da bismo to učinili, dodijelimo dvije cifre 0 na kraju razlomka 18,00405, a dobijemo jednako decimalni 18,0040500 .

Decimale od 18,0040500 i 18,0040532 jednake su stohiljaditim delima, a vrednost milionitog mesta od 18,0040500 je manja od vrednosti odgovarajućeg mesta razlomaka od 18,0040532 (0<3 ), поэтому, 18,0040500<18,0040532 , следовательно, 18,00405<18,0040532 .

odgovor:

18,00405<18,0040532 .

Kada se uporedi konačni decimalni razlomak sa beskonačnim, konačni razlomak se zamjenjuje beskonačnim periodičnim razlomkom jednakim njemu s periodom od 0, nakon čega se vrši poređenje ciframa.

Primjer.

Uporedite završnu decimalu 5,27 sa beskonačnom neponovljivom decimalom 5,270013….

Rješenje.

Cjelobrojni dijelovi ovih decimala su jednaki. Vrijednosti cifara desetih i stotih dionica ovih razlomaka su jednake, a da bismo izvršili dalje poređenje, konačni decimalni razlomak zamjenjujemo beskonačnim periodičnim razlomkom jednakim s periodom od 0 oblika 5,270000 .... Pre petog decimalnog mesta, vrednosti decimalnih mesta 5,270000... i 5,270013... su jednake, a na petom decimalu imamo 0<1 . Таким образом, 5,270000…<5,270013… , откуда следует, что 5,27<5,270013… .

odgovor:

5,27<5,270013… .

Poređenje beskonačnih decimalnih razlomaka također se vrši bit po bit, i završava se čim se vrijednosti nekog bita razlikuju.

Primjer.

Uporedite beskonačne decimale 6,23(18) i 6,25181815….

Rješenje.

Cjelobrojni dijelovi ovih razlomaka su jednaki, vrijednosti desetog mjesta su također jednake. A vrijednost stotinke periodnog razlomka 6.23(18) manja je od mjesta stotinke beskonačnog neperiodnog decimalnog razlomka 6.25181815..., dakle, 6.23(18)<6,25181815… .

odgovor:

6,23(18)<6,25181815… .

Primjer.

Koja je od beskonačnih periodičnih decimala 3,(73) i 3,(737) veća?

Rješenje.

Jasno je da je 3,(73)=3,73737373… i 3,(737)=3,737737737… . Na četvrtoj decimali završava se pobitno poređenje, pošto imamo 3<7 . Таким образом, 3,73737373…<3,737737737… , то есть, десятичная дробь 3,(737) больше, чем дробь 3,(73) .

odgovor:

3,(737) .

Usporedite decimale s prirodnim brojevima, običnim razlomcima i mješovitim brojevima.

Da biste dobili rezultat poređenja decimalnog razlomka s prirodnim brojem, možete uporediti cijeli dio ovog razlomka sa datim prirodnim brojem. U ovom slučaju, periodični razlomci s periodima od 0 ili 9 moraju se prvo zamijeniti njihovim jednakim konačnim decimalnim razlomcima.

Istina je sljedeće pravilo za poređenje decimalnog razlomka i prirodnog broja: ako je cijeli broj decimalnog razlomka manji od datog prirodnog broja, tada je cijeli razlomak manji od ovog prirodnog broja; ako je cijeli dio razlomka veći ili jednak datom prirodnom broju, tada je razlomak veći od datog prirodnog broja.

Razmotrimo primjere primjene ovog pravila poređenja.

Primjer.

Uporedite prirodni broj 7 sa decimalnim razlomkom 8,8329….

Rješenje.

Pošto je dati prirodni broj manji od celog dela datog decimalnog razlomka, onda je ovaj broj manji od datog decimalnog razlomka.

odgovor:

7<8,8329… .

Primjer.

Uporedite prirodni broj 7 i decimalni broj 7.1.

Decimalni razlomak mora sadržavati zarez. Taj brojčani dio razlomka, koji se nalazi lijevo od decimalnog zareza, naziva se cjelina; desno - razlomak:

5.28 5 - cijeli broj 28 - razlomački dio

Razlomak decimale se sastoji od decimalna mjesta(decimalna mjesta):

• desetine - 0,1 (jedna desetina);
• stotinke - 0,01 (jedna stotinka);
• hiljaditi - 0,001 (hiljaditi dio);
• desethiljaditi - 0,0001 (jedan desethiljaditi);
• stohiljaditih - 0,00001 (stohiljaditi);
• milioniti - 0,000001 (jedan milioniti dio);
• deset milionitih delova - 0,0000001 (jedan desetmilioniti deo);
• stomilioniti - 0,00000001 (stomilioniti);
• milijarditi - 0,000000001 (jedna milijarda), itd.

• pročitaj broj koji je cijeli broj razlomka i dodaj riječ " cijeli";
• pročitaj broj koji čini razlomak i dodaj naziv najmanje značajne cifre.

Na primjer:

• 0,25 - nulta tačka dvadeset pet stotinki;
• 9.1 - devet poena jedna desetina;
• 18.013 - osamnaest tačka trinaest hiljaditih;
• 100.2834 je sto dve hiljade osamsto trideset četiri deset hiljada.

Pisanje decimala

Da biste napisali decimalni razlomak, morate:

• zapišite cijeli broj razlomka i stavite zarez (broj koji znači cijeli dio razlomka uvijek se završava riječju " cijeli");
• napišite razlomak razlomka tako da zadnja znamenka padne u željenu cifru (ako nema značajnih cifara na određenim decimalnim mjestima, zamjenjuju se nulama).

Na primjer:

• dvadeset zarez devet - 20,9 - u ovom primjeru sve je jednostavno;
• pet zareza stoti - 5,01 - riječ "stoti" znači da iza decimalnog zareza treba da budu dvije cifre, ali pošto u broju 1 nema desetog mjesta, zamjenjuje se nulom;
• nulta tačka osamsto osam hiljaditih - 0,808;
• tri zareze petnaest - nemoguće je napisati takav decimalni razlomak, jer je napravljena greška u izgovoru razlomka - broj 15 sadrži dvije cifre, a riječ "desetine" znači samo jednu. Tačno će biti tri zareze petnaest stotih (ili hiljaditih, desethiljaditih, itd.).

Decimalno poređenje

Poređenje decimalnih razlomaka vrši se slično kao i poređenje prirodnih brojeva.

1. prvo se upoređuju cjelobrojni dijelovi razlomaka - decimalni razlomak s većim cijelim dijelom će biti veći;
2. ako su cijeli brojevi razlomaka jednaki, razlomci se upoređuju malo po bit, slijeva nadesno, počevši od zareza: desetinke, stotinke, hiljaditi, itd. Poređenje se vrši do prvog odstupanja - taj će decimalni razlomak biti veći, koji će imati veću nejednaku cifru u odgovarajućoj znamenki razlomka. Na primjer: 1.2 8 3 > 1,27 9, jer u stotinkama prvi razlomak ima 8, a drugi 7.

3.4 Ispravan redosled
U prethodnom odeljku upoređivali smo brojeve po njihovom položaju na brojevnoj pravoj. Ovo je dobar način za poređenje veličina brojeva u decimalnim zapisima. Ova metoda uvijek radi, ali je naporno i nezgodno to raditi svaki put kada trebate uporediti dva broja. Postoji još jedan dobar način da otkrijete koji je od dva broja veći.

Primjer A

Razmotrite brojeve iz prethodnog odeljka i uporedite 0,05 i 0,2.

Da bismo saznali koji je broj veći, prvo uporedimo njihove cjelobrojne dijelove. Oba broja u našem primjeru imaju jednak broj cijelih brojeva - 0. Zatim uporedite njihove desetine. Broj 0,05 ima 0 desetina, a broj 0,2 ima 2 desetine. To što broj 0,05 ima 5 stotinki nije bitno, jer desetine određuju da je broj 0,2 veći. Tako možemo napisati:

Oba broja imaju 0 cijelih brojeva i 6 desetih, a još ne možemo odrediti koji je veći. Međutim, broj 0,612 ima samo 1 stoti dio, a broj 0,62 ima dva. Onda to možemo utvrditi

0,62 > 0,612

To što broj 0,612 ima 2 hiljaditinke nije bitno, on je ipak manji od 0,62.

To možemo ilustrovati slikom:

		0,612
		0,62

Da biste odredili koji je od dva broja u decimalnom zapisu veći, morate učiniti sljedeće:

1. Uporedite cijele dijelove. Broj čiji je cijeli dio veći i bit će veći.

2 . Ako su cijeli brojevi jednaki, uporedite desetine. Taj broj, koji ima više desetina, biće više.

3 . Ako su desetine jednake, uporedite stotinke. Taj broj, koji ima više stotinki, biće više.

4 . Ako su stotinke jednake, uporedite hiljadite. Taj broj, koji ima više hiljaditih, biće više.

Decimalni razlomak se razlikuje od običnog razlomka po tome što je njegov nazivnik bitna jedinica.

Na primjer:

Decimalni razlomci su odvojeni od običnih razlomaka u poseban oblik, što je dovelo do vlastitih pravila za poređenje, sabiranje, oduzimanje, množenje i dijeljenje ovih razlomaka. U principu, možete raditi s decimalnim razlomcima prema pravilima običnih razlomaka. Vlastita pravila za pretvaranje decimalnih razlomaka pojednostavljuju proračune, a pravila za pretvaranje običnih razlomaka u decimale, i obrnuto, služe kao veza između ovih vrsta razlomaka.

Pisanje i čitanje decimalnih razlomaka omogućava vam da pišete, upoređujete i radite na njima prema pravilima vrlo sličnim pravilima za operacije s prirodnim brojevima.

Prvi put je sistem decimalnih razlomaka i operacije nad njima opisan u 15. veku. Samarkandski matematičar i astronom Jamshid ibn-Masudal-Kashi u knjizi "Ključ umjetnosti računovodstva".

Cjelobrojni dio decimalnog razlomka je odvojen od razlomka zarezom, u nekim zemljama (SAD) stavljaju tačku. Ako u decimalnom razlomku nema cijelog broja, stavite broj 0 ispred decimalnog zareza.

Bilo koji broj nula može se dodati razlomku decimalnog razlomka na desnoj strani, to ne mijenja vrijednost razlomka. Razlomački dio decimalnog razlomka čita se posljednjom značajnom znamenkom.

Na primjer:
0,3 - tri desetine
0,75 - sedamdeset pet stotinki
0,000005 - pet milionitih delova.

Čitanje cijelog broja decimale isto je kao čitanje prirodnih brojeva.

Na primjer:
27,5 - dvadeset sedam ...;
1.57 - jedan...

Iza cijelog broja decimalnog razlomka izgovara se riječ "cjelina".

Na primjer:
10,7 - deset poen sedam

0,67 - nula tačka šezdeset sedam stotinki.

Decimale su razlomke. Razlomački dio se ne čita ciframa (za razliku od prirodnih brojeva), već kao cjelina, stoga je razlomački dio decimalnog razlomka određen posljednjom značajnom znamenkom s desne strane. Bitni sistem razlomaka decimalnog razlomka je nešto drugačiji od sistema prirodnih brojeva.

• 1. cifra nakon zauzetosti - desetine
• 2. mjesto nakon decimalnog zareza - stoto mjesto
• 3. mjesto nakon decimalnog zareza - hiljaditi mjesto
• 4. mjesto nakon decimalnog zareza - desethiljadito mjesto
• 5. mjesto nakon decimalnog zareza - stohiljadito mjesto
• 6. mjesto nakon decimalnog zareza - milionito mjesto
• 7. mjesto nakon decimalnog zareza - desetmilionito mjesto
• Osmo mjesto iza decimalnog zareza je stomilionito mjesto

U proračunima se najčešće koriste prve tri cifre. Velika bitna dubina razlomačkog dijela decimalnih razlomaka koristi se samo u određenim granama znanja, gdje se izračunavaju infinitezimalne vrijednosti.

Pretvorba decimalnog u mješoviti razlomak sastoji se od sljedećeg: upisati broj prije decimalnog zareza kao cijeli broj mješovitog razlomka; broj iza decimalnog zareza je brojnik njegovog razlomka, a u nazivnik razlomka upiši jedan sa onoliko nula koliko ima cifara iza decimalnog zareza.