Qo'shni burchaklarning 1 xususiyati. Qo'shni va vertikal burchaklar. Qo'shni burchaklar

Geometriya juda ko'p qirrali fandir. Bu mantiq, tasavvur va aqlni rivojlantiradi. Albatta, uning murakkabligi va juda ko'p sonli teorema va aksiomalar tufayli maktab o'quvchilari buni har doim ham yoqtirmaydi. Bundan tashqari, umumiy qabul qilingan standartlar va qoidalardan foydalangan holda o'z xulosalarini doimiy ravishda isbotlash zarurati mavjud.

Qo'shni va vertikal burchaklar geometriyaning ajralmas qismidir. Albatta, ko'plab maktab o'quvchilari ularni shunchaki yaxshi ko'rishadi, chunki ularning xususiyatlari aniq va isbotlash oson.

Burchaklarning shakllanishi

Har qanday burchak ikki chiziqning kesishishi yoki bir nuqtadan ikkita nurni chizish orqali hosil bo'ladi. Ularni bitta harf yoki uchta deb atash mumkin, ular ketma-ket burchakni qurish nuqtalarini belgilaydilar.

Burchaklar darajalarda o'lchanadi va (ularning qiymatiga qarab) boshqacha nomlanishi mumkin. Shunday qilib, o'tkir, o'tkir va joylashtirilgan to'g'ri burchak mavjud. Ismlarning har biri ma'lum darajadagi o'lchov yoki uning oralig'iga mos keladi.

O'lchovi 90 darajadan oshmaydigan burchak o'tkir burchakdir.

O'tkir burchak - bu 90 darajadan katta burchak.

O'lchami 90 bo'lsa, burchak to'g'ri deyiladi.

Agar u bitta uzluksiz to'g'ri chiziq bilan tuzilgan bo'lsa va uning daraja o'lchovi 180 bo'lsa, u joylashtirilgan deb ataladi.

Umumiy tomoni bo'lgan, ikkinchi tomoni bir-birini davom ettiradigan burchaklar qo'shni deyiladi. Ular o'tkir yoki to'mtoq bo'lishi mumkin. Chiziqning kesishishi qo'shni burchaklarni hosil qiladi. Ularning xususiyatlari quyidagilardan iborat:

Bunday burchaklarning yig'indisi 180 darajaga teng bo'ladi (buni isbotlovchi teorema mavjud). Shuning uchun, agar ikkinchisi ma'lum bo'lsa, ulardan birini osongina hisoblash mumkin.
Birinchi nuqtadan kelib chiqadiki, qo'shni burchaklarni ikkita o'tkir yoki ikkita o'tkir burchak hosil qilish mumkin emas.

Ushbu xususiyatlar tufayli har doim boshqa burchakning qiymatini yoki hech bo'lmaganda ular orasidagi nisbatni hisobga olgan holda burchakning daraja o'lchovini hisoblash mumkin.

Vertikal burchaklar

Tomonlari bir-birining davomi bo'lgan burchaklar vertikal deyiladi. Ularning har qanday navlari bunday juftlik vazifasini bajarishi mumkin. Vertikal burchaklar har doim bir-biriga teng.

Ular chiziqlar kesishganda hosil bo'ladi. Ular bilan birgalikda ulashgan burchaklar doimo mavjud. Burchak biri uchun qo'shni, ikkinchisi uchun vertikal bo'lishi mumkin.

Ixtiyoriy chiziqni kesib o'tishda yana bir nechta burchak turlari ham hisobga olinadi. Bunday chiziq sekant deb ataladi va u mos keladigan, bir tomonlama va o'zaro faoliyat burchaklarni hosil qiladi. Ular bir-biriga teng. Ular vertikal va qo'shni burchaklarga ega bo'lgan xususiyatlarni hisobga olgan holda ko'rib chiqilishi mumkin.

Shunday qilib, burchaklar mavzusi juda oddiy va tushunarli ko'rinadi. Ularning barcha xususiyatlarini eslab qolish va isbotlash oson. Burchaklar raqamli qiymatga to'g'ri kelsa, masalani yechish qiyin emas. Keyinchalik, gunoh va kosni o'rganish boshlanganda, siz ko'plab murakkab formulalarni, ularning xulosalari va oqibatlarini yodlashingiz kerak bo'ladi. Ungacha siz qo'shni burchaklarni topishingiz kerak bo'lgan oson jumboqlardan bahramand bo'lishingiz mumkin.

Geometriya kursini o'rganish jarayonida "burchak", "vertikal burchaklar", "qo'shni burchaklar" tushunchalari tez-tez uchrab turadi. Har bir atamani tushunish vazifani tushunishga va uni to'g'ri hal qilishga yordam beradi. Qo'shni burchaklar nima va ularni qanday aniqlash mumkin?

Qo'shni burchaklar - tushunchaning ta'rifi

"Qo'shni burchaklar" atamasi umumiy nurdan hosil bo'lgan ikkita burchakni va bitta chiziqda yotgan ikkita qo'shimcha yarim chiziqni tavsiflaydi. Barcha uch nurlar bir xil nuqtadan keladi. Umumiy yarim chiziq bir vaqtning o'zida ikkala burchakning ham, ikkinchi burchakning ham tomonidir.

Qo'shni burchaklar - asosiy xususiyatlar

1. Qo'shni burchaklarning formulasiga asoslanib, bunday burchaklarning yig'indisi har doim to'g'ri burchakni tashkil etishini tushunish oson, uning daraja o'lchovi 180 ° dir:

Agar m va ē qo'shni burchaklar bo'lsa, u holda m + ē = 180 °.
Qo'shni burchaklardan birining qiymatini (masalan, m) bilib, ē = 180 ° - m ifodasi yordamida ikkinchi burchakning daraja o'lchovini (ē) osongina hisoblash mumkin.

2. Burchaklarning bu xossasi quyidagi xulosa chiqarishga imkon beradi: yonma-yon joylashgan burchak to'g'ri burchak, ham to'g'ri bo'ladi.

3. O'ylab ko'rish trigonometrik funktsiyalar(sin, cos, tg, ctg) m va ē qo'shni burchaklar uchun qisqartirish formulalariga asoslanib, quyidagi to'g'ri bo'ladi:

sinē = sin(180° - m) = sinm,
cosē = cos(180° - m) = -cosm,
tgē = tg(180° - m) = -tgm,
ctgē = ctg(180° - m) = -ctgm.

Qo'shni burchaklar - misollar

1-misol

Uchlari M, P, Q – DMPQ bo‘lgan uchburchak berilgan. ∠QMP, ∠MPQ, ∠PQM burchaklariga tutashgan burchaklarni toping.

Keling, uchburchakning har bir tomonini to'g'ri chiziq sifatida kengaytiramiz.
Qo'shni burchaklar bir-birini to'g'ri burchakka to'ldirishini bilib, biz quyidagilarni aniqlaymiz:

∠QMP burchagiga ulashgan ∠LMP,

∠MPQ burchagiga ulashgan ∠SPQ,

∠PQM uchun qo'shni burchak ∠HQP.

2-misol

Bitta qo'shni burchakning qiymati 35 ° dir. Ikkinchi qo‘shni burchakning gradus o‘lchovi nimaga teng?

Ikki qo'shni burchakning qo'shilishi 180 ° ga etadi.
Agar ∠m = 35 ° bo'lsa, u holda qo'shni ∠ķ = 180 ° - 35 ° = 145 °.

3-misol

Agar pastki qismdan birining daraja o'lchovi boshqa burchakning daraja o'lchovidan uch baravar katta ekanligi ma'lum bo'lsa, qo'shni burchaklarning qiymatlarini aniqlang.

– ∠m = l orqali bir (kichik) burchakning qiymatini belgilaymiz.
Keyin, masalaning shartiga ko'ra, ikkinchi burchakning qiymati ∠ķ = 3l ga teng bo'ladi.
Qo'shni burchaklarning asosiy xususiyatiga asoslanib, m + ē = 180 ° keladi

l + 3l = m + ē = 180°,

l = 180 ° / 4 = 45 °.

Demak, birinchi burchak ∠m = l = 45°, ikkinchi burchak esa ∠ķ = 3l = 135°.

Terminologiyaga murojaat qilish qobiliyati, shuningdek, qo'shni burchaklarning asosiy xususiyatlarini bilish ko'plab geometrik muammolarni hal qilishda yordam beradi.

Savol 1. Qanday burchaklar qo'shni deyiladi?
Javob. Ikki burchak qo'shni deyiladi, agar ularning bir tomoni umumiy bo'lsa va bu burchaklarning boshqa tomonlari bir-birini to'ldiruvchi yarim chiziqlar bo'lsa.
31-rasmda burchaklar (a 1 b) va (a 2 b) ulashgan. Ularning umumiy b tomoni bor, a 1 va 2 tomonlari qo'shimcha yarim chiziqlardir.

2-savol. Qo‘shni burchaklar yig‘indisi 180° ekanligini isbotlang.
Javob. 2.1 teorema. Qo'shni burchaklar yig'indisi 180 ° ga teng.
Isbot. Burchakka (a 1 b) va burchakka (a 2 b) qo'shni burchaklar berilsin (31-rasmga qarang). Nur b rivojlangan burchakning a 1 va a 2 tomonlari orasidan o'tadi. Shuning uchun (a 1 b) va (a 2 b) burchaklarning yig'indisi ishlab chiqilgan burchakka teng, ya'ni 180 °. Q.E.D.

3-savol. Ikki burchak teng bo'lsa, ularga qo'shni burchaklar ham teng ekanligini isbotlang.
Javob.

Teoremadan 2.1 Bundan kelib chiqadiki, agar ikkita burchak teng bo'lsa, ularga qo'shni burchaklar teng bo'ladi.
Aytaylik, (a 1 b) va (c 1 d) burchaklar teng. Burchaklar (a 2 b) va (c 2 d) ham teng ekanligini isbotlashimiz kerak.
Qo'shni burchaklar yig'indisi 180 ° ga teng. Bundan kelib chiqadiki, a 1 b + a 2 b = 180 ° va c 1 d + c 2 d = 180 °. Demak, a 2 b \u003d 180 ° - a 1 b va c 2 d \u003d 180 ° - c 1 d. Burchaklar (a 1 b) va (c 1 d) teng bo'lganligi sababli, biz a 2 b \u003d 180 ° - a 1 b \u003d c 2 d ekanligini olamiz. Teng belgining tranzitivlik xususiyatiga ko'ra, a 2 b = c 2 d bo'ladi. Q.E.D.

4-savol. Qaysi burchak to'g'ri (o'tkir, o'tmas) deb ataladi?
Javob. 90 ° ga teng burchak to'g'ri burchak deb ataladi.
90° dan kichik burchak deyiladi o'tkir burchak.
90° dan katta va 180° dan kichik burchakka oʻtmas burchak deyiladi.

5-savol. To'g'ri burchakka qo'shni burchak to'g'ri burchak ekanligini isbotlang.
Javob. Qo'shni burchaklar yig'indisi haqidagi teoremadan to'g'ri burchakka qo'shni burchak to'g'ri burchak ekanligi kelib chiqadi: x + 90 ° = 180 °, x= 180 ° - 90 °, x = 90 °.

6-savol. Vertikal burchaklar qanday?
Javob. Ikki burchak vertikal deyiladi, agar bir burchakning tomonlari ikkinchisining tomonlarini to'ldiruvchi yarim chiziqlar bo'lsa.

7-savol. Vertikal burchaklar teng ekanligini isbotlang.
Javob. 2.2 teorema. Vertikal burchaklar teng.
Isbot.(a 1 b 1) va (a 2 b 2) vertikal burchaklar berilsin (34-rasm). Burchak (a 1 b 2) burchakka (a 1 b 1) va burchakka (a 2 b 2) ulashgan. Bu erdan, qo'shni burchaklar yig'indisi haqidagi teorema bo'yicha, biz burchaklarning har biri (a 1 b 1) va (a 2 b 2) burchakni (a 1 b 2) 180 ° gacha to'ldiradi degan xulosaga kelamiz, ya'ni. burchaklar (a 1 b 1) va (a 2 b 2) teng. Q.E.D.

8-savol. Ikki chiziqning kesishmasida burchaklardan biri to'g'ri burchak bo'lsa, qolgan uchta burchak ham to'g'ri ekanligini isbotlang.
Javob. Faraz qilaylik, AB va CD chiziqlar bir-birini O nuqtada kesishadi. AOD burchagi 90° deb faraz qilaylik. Qo'shni burchaklar yig'indisi 180 ° bo'lganligi sababli, biz AOC = 180 ° - AOD = 180 ° - 90 ° = 90 ° ni olamiz. COB burchagi AOD burchagiga vertikal, shuning uchun ular tengdir. Ya'ni, COB burchagi = 90 °. COA BODga vertikal, shuning uchun ular tengdir. Ya'ni, BOD burchagi = 90 °. Shunday qilib, barcha burchaklar 90 ° ga teng, ya'ni ularning hammasi to'g'ri. Q.E.D.

9-savol. Qaysi chiziqlar perpendikulyar deyiladi? Chiziqlarning perpendikulyarligini ko'rsatish uchun qanday belgi qo'llaniladi?
Javob. Ikki chiziq to'g'ri burchak ostida kesishsa, perpendikulyar deyiladi.
Chiziqlarning perpendikulyarligi \(\perp\) bilan belgilanadi. \(a\perp b\) yozuvida shunday deyiladi: "a chiziq b chiziqqa perpendikulyar".

10-savol. Chiziqning istalgan nuqtasi orqali unga perpendikulyar va faqat bitta chiziq o'tkazish mumkinligini isbotlang.
Javob. 2.3 teorema. Har bir chiziq orqali siz unga perpendikulyar chiziq chizishingiz mumkin va faqat bitta.
Isbot. a berilgan chiziq va A bo'lsin - berilgan nuqta uning ustida. Boshlanish nuqtasi A bo'lgan a to'g'ri chiziqning yarim chiziqlaridan birini 1 bilan belgilang (38-rasm). Yarim chiziqdan a 1 burchakni (a 1 b 1) 90 ° ga teng chetga qo'ying. U holda b 1 nurni o'z ichiga olgan chiziq a chiziqqa perpendikulyar bo'ladi.

Faraz qilaylik, A nuqtadan ham o‘tuvchi va a to‘g‘riga perpendikulyar bo‘lgan boshqa to‘g‘ri chiziq bor. Bu chiziqning b 1 nuri bilan bir xil yarim tekislikda yotgan yarim chizig'ini c 1 bilan belgilang.
Burchaklar (a 1 b 1) va (a 1 c 1), har biri 90 ° ga teng, a 1 yarim chiziqdan bir yarim tekislikda yotqizilgan. Ammo yarim chiziqdan 1, bu yarim tekislikda faqat 90 ° ga teng bo'lgan bitta burchakni ajratish mumkin. Demak, A nuqtadan o'tuvchi va a to'g'riga perpendikulyar boshqa chiziq bo'lishi mumkin emas. Teorema isbotlangan.

11-savol. Chiziqga perpendikulyar nima?
Javob. Berilgan chiziqqa perpendikulyar - bu berilgan chiziqqa perpendikulyar bo'lgan, uning uchlaridan biri ularning kesishish nuqtasida joylashgan. Segmentning bu oxiri deyiladi asos perpendikulyar.

12-savol. Qarama-qarshilik bilan dalil nima ekanligini tushuntiring.
Javob. 2.3-teoremada biz ishlatgan isbotlash usuli qarama-qarshilik bilan isbotlash deb ataladi. Bu isbotlash usuli shundan iboratki, biz birinchi navbatda teoremada aytilgan narsaga qarama-qarshi taxmin qilamiz. Keyin, aksiomalar va isbotlangan teoremalarga tayanib, fikr yuritib, biz teorema shartiga yoki aksiomalardan biriga yoki ilgari isbotlangan teoremaga zid bo'lgan xulosaga kelamiz. Shu asosda biz taxminimiz noto'g'ri bo'lgan degan xulosaga kelamiz, bu teoremaning tasdiqlanishi haqiqat ekanligini anglatadi.

13-savol. Burchak bissektrisasi nima?
Javob. Burchakning bissektrisasi - burchak cho'qqisidan keladigan, uning tomonlari orasidan o'tadigan va burchakni yarmiga bo'ladigan nur.

I BOB.

ASOSIY TUSHUNCHALAR.

§o'n bir. QO‘SHINCHA VA VVERTİKAL BURChAKLAR.

1. Qo'shni burchaklar.

Agar biron bir burchakning yon tomonini uning tepasidan tashqarida davom ettirsak, ikkita burchakka ega bo'lamiz (72-rasm): / Quyosh va / SVD, bunda bir tomoni BC umumiy, qolgan ikkitasi AB va BD to'g'ri chiziq hosil qiladi.

Bir tomoni umumiy, qolgan ikkitasi toʻgʻri chiziq hosil qiladigan ikkita burchak qoʻshni burchaklar deyiladi.

Qo'shni burchaklarni ham shu tarzda olish mumkin: agar biz to'g'ri chiziqning biron bir nuqtasidan (berilgan to'g'ri chiziqda yotmagan) nurni chizsak, u holda biz qo'shni burchaklarni olamiz.
Masalan, / ADF va / FDV - qo'shni burchaklar (73-rasm).

Qo'shni burchaklar turli xil pozitsiyalarga ega bo'lishi mumkin (74-rasm).

Qo'shni burchaklar to'g'ri burchakka qo'shiladi, shuning uchun ikkita qo'shni burchakning ummasi 2d.

Demak, to'g'ri burchakni qo'shni burchakka teng burchak sifatida aniqlash mumkin.

Qo'shni burchaklardan birining qiymatini bilib, biz boshqa qo'shni burchakning qiymatini topishimiz mumkin.

Misol uchun, agar qo'shni burchaklardan biri 3/5 bo'lsa d, keyin ikkinchi burchak teng bo'ladi:

2d- 3 / 5 d= l 2/5 d.

2. Vertikal burchaklar.

Agar burchakning tomonlarini uning tepasidan tashqariga uzatsak, vertikal burchaklarni olamiz. 75-chizmada EOF va AOC burchaklari vertikal; AOE va COF burchaklari ham vertikaldir.

Ikki burchak vertikal deyiladi, agar bir burchakning tomonlari boshqa burchakning tomonlari kengaytmalari bo'lsa.

Mayli / 1 = 7 / 8 d(76-rasm). Unga qo'shni / 2 ga teng bo'ladi d- 7 / 8 d, ya'ni 1 1/8 d.

Xuddi shu tarzda, siz nimaga teng ekanligini hisoblashingiz mumkin / 3 va / 4.
/ 3 = 2d - 1 1 / 8 d = 7 / 8 d; / 4 = 2d - 7 / 8 d = 1 1 / 8 d(77-rasm).

Biz buni ko'ramiz / 1 = / 3 va / 2 = / 4.

Siz yana bir nechta bir xil muammolarni hal qilishingiz mumkin va har safar bir xil natijaga erishasiz: vertikal burchaklar bir-biriga teng.

Biroq, vertikal burchaklar har doim bir-biriga teng ekanligiga ishonch hosil qilish uchun alohida raqamli misollarni ko'rib chiqishning o'zi etarli emas, chunki muayyan misollardan olingan xulosalar ba'zan noto'g'ri bo'lishi mumkin.

Vertikal burchaklar xossasining to'g'riligini fikrlash, isbotlash orqali tekshirish kerak.

Isbotlash quyidagi tarzda amalga oshirilishi mumkin (78-rasm):

/ a +/ c = 2d;
/ b +/ c = 2d;

(chunki qo'shni burchaklar yig'indisi 2 ga teng d).

/ a +/ c = / b +/ c

(chunki bu tenglikning chap tomoni 2 ga teng d, va uning o'ng tomoni ham 2 ga teng d).

Bu tenglik bir xil burchakni o'z ichiga oladi Bilan.

Agar bizdan bo'lsak teng qiymatlar teng ayirish, keyin u teng qoladi. Natija quyidagicha bo'ladi: / a = / b, ya'ni vertikal burchaklar bir-biriga teng.

Vertikal burchaklar haqidagi savolni ko'rib chiqayotganda, biz birinchi navbatda qaysi burchaklar vertikal deb atalishini tushuntirdik, ya'ni biz berdik. ta'rifi vertikal burchaklar.

Keyin vertikal burchaklarning tengligi haqida hukm (bayonot) qildik va bu hukmning to'g'riligiga dalil orqali amin bo'ldik. To'g'riligi isbotlanishi kerak bo'lgan bunday hukmlar deyiladi teoremalar. Shunday qilib, biz ushbu bo'limda vertikal burchaklarning ta'rifini berdik, shuningdek, ularning xossasi haqidagi teoremani aytdik va isbotladik.

Kelajakda geometriyani o'rganishda biz doimo teoremalarning ta'riflari va isbotlari bilan uchrashishimiz kerak.

3. Umumiy uchi bo'lgan burchaklar yig'indisi.

Chizma bo'yicha 79 / 1, / 2, / 3 va / 4 to'g'ri chiziqning bir tomonida joylashgan va bu to'g'ri chiziqda umumiy cho'qqi bor. Xulosa qilib aytganda, bu burchaklar to'g'ri burchakni tashkil qiladi, ya'ni.
/ 1+ / 2+/ 3+ / 4 = 2d.

Chizma bo'yicha 80 / 1, / 2, / 3, / 4 va / 5 umumiy tepaga ega. Bu burchaklarning yig'indisi to'liq burchak, ya'ni. / 1 + / 2 + / 3 + / 4 + / 5 = 4d.

Mashqlar.

1. Qo‘shni burchaklardan biri 0,72 ga teng d. Ushbu qo'shni burchaklarning bissektrisalari hosil qilgan burchakni hisoblang.

2. Ikki qo‘shni burchakning bissektorlari to‘g‘ri burchak hosil qilishini isbotlang.

3. Ikki burchak teng bo'lsa, ularning qo'shni burchaklari ham teng ekanligini isbotlang.

4. 81-chizmada nechta juft qo‘shni burchak bor?

5. Bir juft qo‘shni burchak ikkita o‘tkir burchakdan iborat bo‘lishi mumkinmi? ikkita to'g'ri burchakdan? to'g'ri va to'g'ri burchaklardan? to'g'ri va o'tkir burchakdan?

6. Agar qo`shni burchaklardan biri to`g`ri bo`lsa, unga qo`shni burchakning qiymati haqida nima deyish mumkin?

7. Agar ikkita to'g'ri chiziqning kesishmasida bitta to'g'ri burchak bo'lsa, qolgan uchta burchakning kattaligi haqida nima deyish mumkin?

Qo'shni burchak nima

Burchak- bu geometrik shakl(1-rasm), ikkita OA va OB nurlari (burchakning tomonlari) tomonidan hosil qilingan, bir O nuqtadan (burchakning cho'qqisiga) chiqadigan.

QO'SHANGI BURCHLAR yig'indisi 180° bo'lgan ikkita burchak. Bu burchaklarning har biri ikkinchisini to'liq burchakka to'ldiradi.

Qo'shni burchaklar- (Agles adjacets) umumiy tepa va umumiy tomoni bo'lganlar. Asosan, bu nom shunday burchaklarga tegishli bo'lib, ularning boshqa ikki tomoni o'tkazilgan bir to'g'ri chiziqqa qarama-qarshi yo'nalishda yotadi.

Ikki burchak qo'shni deyiladi, agar ularning bir tomoni umumiy bo'lsa va bu burchaklarning boshqa tomonlari bir-birini to'ldiruvchi yarim chiziqlar bo'lsa.

guruch. 2

2-rasmda a1b va a2b burchaklari yonma-yon joylashgan. Ularning umumiy tomoni b bo'lib, a1, a2 tomonlari qo'shimcha yarim chiziqlardir.

guruch. 3

3-rasmda AB chizig'i ko'rsatilgan, C nuqta A va B nuqtalar orasida joylashgan. D nuqta AB chiziqda yotmagan nuqta. BCD va ACD burchaklari tutash ekan. Ularning umumiy yon CD si bor va CA va CB tomonlari AB chizig'ining qo'shimcha yarim chiziqlaridir, chunki A, B nuqtalari boshlang'ich C nuqta bilan ajratilgan.

Qo'shni burchak teoremasi

Teorema: qo'shni burchaklar yig'indisi 180 ° ga teng

Isbot:
a1b va a2b burchaklar qoʻshni (2-rasmga qarang) toʻgʻrilangan burchakning a1 va a2 tomonlari orasidan b nur oʻtadi. Shuning uchun a1b va a2b burchaklarining yig'indisi to'g'ri burchakka, ya'ni 180 ° ga teng. Teorema isbotlangan.

90 ° ga teng burchak to'g'ri burchak deb ataladi. Qo'shni burchaklar yig'indisi haqidagi teoremadan to'g'ri burchakka qo'shni burchak ham to'g'ri burchak ekanligi kelib chiqadi. 90° dan kichik burchak oʻtkir burchak, 90° dan katta burchak burchak deb ataladi. Qo'shni burchaklar yig'indisi 180 ° bo'lganligi sababli, o'tkir burchakka qo'shni burchak o'tmas burchakdir. O'tkir burchakka qo'shni burchak o'tkir burchakdir.

Qo'shni burchaklar- yon tomonlaridan biri umumiy, qolgan tomonlari bir xil toʻgʻri chiziqda yotgan (kes-toʻgʻri kelmaydigan) uchi umumiy boʻlgan ikkita burchak. Qo'shni burchaklar yig'indisi 180 ° ga teng.

Ta'rif 1. Burchak - umumiy kelib chiqishi bo'lgan ikkita nur bilan chegaralangan tekislikning bir qismi.

Ta'rif 1.1. Burchak - bu nuqta - burchakning cho'qqisi - va bu nuqtadan chiqadigan ikki xil yarim chiziq - burchakning tomonlaridan iborat figura.
Misol uchun, 1-rasmdagi BOS burchagi Birinchi ikkita kesishgan chiziqni ko'rib chiqing. Ular kesishganda, chiziqlar burchak hosil qiladi. Maxsus holatlar mavjud:

Ta'rif 2. Agar burchakning tomonlari bitta to'g'ri chiziqning to'ldiruvchi yarim chiziqlari bo'lsa, u holda burchak to'g'ri burchak deb ataladi.

Ta'rif 3. To'g'ri burchak - bu 90 graduslik burchak.

Ta'rif 4. 90 darajadan kichik burchakka o'tkir burchak deyiladi.

Ta'rif 5. 90 gradusdan katta va 180 darajadan kichik burchakka o'tmas burchak deyiladi.
kesishuvchi chiziqlar.

Ta'rif 6. Bir tomoni umumiy, boshqa tomonlari bir xil toʻgʻri chiziqda yotadigan ikkita burchak qoʻshni deyiladi.

Ta'rif 7. Yonlari bir-biriga cho'zilgan burchaklar vertikal burchaklar deyiladi.
1-rasm:
qo'shni: 1 va 2; 2 va 3; 3 va 4; 4 va 1
vertikal: 1 va 3; 2 va 4
Teorema 1. Qo'shni burchaklar yig'indisi 180 daraja.
Dalil uchun, rasmga qarang. 4 qo'shni burchaklar AOB va BOC. Ularning yig'indisi rivojlangan burchak AOC hisoblanadi. Shuning uchun, bu qo'shni burchaklarning yig'indisi 180 daraja.

guruch. to'rtta

Matematika va musiqa o'rtasidagi bog'liqlik

“San’at va ilm-fan, ularning o‘zaro bog‘liqliklari va qarama-qarshiliklari haqida fikr yuritar ekanman, matematika va musiqa inson ruhiyatining chekka qutblarida turadi, bu ikki antipod insonning barcha ijodiy ruhiy faoliyatini cheklaydi va belgilaydi, degan xulosaga keldim. insoniyat ilm-fan va san’at sohasida yaratgan hamma narsa ular o‘rtasida joylashganligi”.
G. Neuhaus
San'at matematikadan juda mavhum soha bo'lib tuyuladi. Biroq, matematika fanlarning eng mavhumi, musiqa esa eng mavhum san'at turi ekanligiga qaramay, matematika va musiqa o'rtasidagi bog'liqlik ham tarixiy, ham ichki jihatdan shartlangan.
Konsonans torning quloqqa yoqimli ovozini aniqlaydi.
Bu musiqa tizimi ikkita buyuk olim - Pifagor va Arxitas nomini olgan ikkita qonunga asoslangan edi. Bu qonunlar:
1. Ikki tovush qatori, agar ularning uzunliklari 10=1+2+3+4 uchburchak sonini tashkil etuvchi butun sonlar sifatida bogʻlangan boʻlsa, undoshlikni aniqlaydi, yaʼni. 1:2, 2:3, 3:4 kabi. Bundan tashqari, n soni n:(n+1) (n=1,2,3) ga nisbatan qanchalik kichik bo'lsa, natijadagi interval shunchalik undosh bo'ladi.
2. Tovush chizig'ining tebranish chastotasi w uning uzunligi l ga teskari proporsionaldir.
w = a:l,
bu yerda a - xarakterlovchi koeffitsient jismoniy xususiyatlar torlar.

Men sizning e'tiboringizga ikki matematik o'rtasidagi bahs haqidagi kulgili parodiyani ham taklif qilaman =)

Atrofimizdagi geometriya

Geometriya bizning hayotimizda muhim rol o'ynaydi. Atrofga qaraganingizda, bizni turli xil geometrik shakllar o'rab olganligini sezish qiyin bo'lmaydi. Biz ularni hamma joyda uchratamiz: ko'chada, sinfda, uyda, parkda, sport zalida, maktab oshxonasida, qoida tariqasida, qayerda bo'lmasin. Ammo bugungi dars mavzusi - qo'shni ko'mirlar. Keling, atrofga nazar tashlaylik va bu muhitda burchaklarni topishga harakat qilaylik. Agar siz derazadan diqqat bilan qarasangiz, daraxtning ba'zi shoxlari qo'shni burchaklarni tashkil qilganini va darvozadagi bo'linmalarda ko'plab vertikal burchaklarni ko'rishingiz mumkin. Atrof-muhitda ko'rgan qo'shni burchaklarga misollar keltiring.

1-mashq.

1. Kitob stendida stol ustida kitob bor. U qanday burchak hosil qiladi?
2. Lekin talaba noutbukda ishlayapti. Bu erda qanday burchakni ko'rasiz?
3. Stenddagi fotoramkaning burchagi qanday?
4. Sizningcha, ikkita qo'shni burchak teng bo'lishi mumkinmi?

Vazifa 2.

Sizning oldingizda geometrik shakl mavjud. Bu qanday raqam, uni nomlang? Endi ushbu geometrik shaklda ko'rishingiz mumkin bo'lgan barcha qo'shni burchaklarni nomlang.

Vazifa 3.

Bu erda chizilgan va rasmning tasviri. Ularga diqqat bilan qarang va rasmda qanday ov turlarini va rasmda qanday burchaklarni ko'rayotganingizni ayting.

Muammoni hal qilish

1) Ikki burchak berilgan, ular bir-biri bilan 1: 2 va ularga qo'shni - 7: 5 sifatida bog'langan. Bu burchaklarni topishingiz kerak.
2) Ma'lumki, qo'shni burchaklardan biri ikkinchisidan 4 marta katta. Qo'shni burchaklar nima?
3) Ulardan biri ikkinchisidan 10 gradus katta bo'lishi sharti bilan qo'shni burchaklarni topish kerak.

Oldin o'rganilgan materialni takrorlash uchun matematik diktant

1) Rasm chizing: a I b chiziqlari A nuqtada kesishadi. Tuzilgan burchaklarning eng kichigini 1 raqami bilan, qolgan burchaklarini esa ketma-ket 2,3,4 raqamlari bilan belgilang; a chizig'ining to'ldiruvchi nurlari - a1 va a2 orqali va b chizig'i - b1 va b2 orqali.
2) Tugallangan chizmadan foydalanib, matndagi bo'shliqlarga kerakli qiymatlar va tushuntirishlarni kiriting:
a) burchak 1 va burchak .... bog'liq, chunki ...
b) burchak 1 va burchak .... vertikal, chunki ...
c) agar 1 burchak = 60 ° bo'lsa, u holda burchak 2 = ..., chunki ...
d) agar 1 burchak = 60 ° bo'lsa, u holda burchak 3 = ..., chunki ...

Muammolarni hal qilish:

1. 2 ta chiziqning kesishmasida hosil boʻlgan 3 ta burchak yigʻindisi 100° ga teng boʻlishi mumkinmi? 370°?
2. Rasmda qo'shni burchaklarning barcha juftlarini toping. Va endi vertikal burchaklar. Ushbu burchaklarni nomlang.

3. Qo'shni burchakdan uch marta katta bo'lgan burchakni topishingiz kerak.
4. Ikki chiziq bir-birini kesib o'tadi. Ushbu kesishma natijasida to'rtta burchak hosil bo'ldi. Ulardan birortasining qiymatini aniqlang, agar:

a) to'rtta burchakdan 2 ta burchakning yig'indisi 84 °;
b) ularning 2 ta burchagi ayirmasi 45°;
v) bir burchak ikkinchisidan 4 marta kichik;
d) bu burchaklarning uchtasining yig'indisi 290° ga teng.

Dars xulosasi

1. 2 ta chiziqning kesishmasida hosil bo‘ladigan burchaklarni ayting?
2. Rasmdagi barcha mumkin bo‘lgan burchak juftlarini nomlang va ularning turini aniqlang.

Uy vazifasi:

1. Ulardan biri ikkinchisidan 54 ° ko'proq bo'lganda, qo'shni burchaklarning daraja o'lchovlari nisbatini toping.
2. Burchaklardan biri unga qo‘shni bo‘lgan boshqa 2 ta burchak yig‘indisiga teng bo‘lishi sharti bilan 2 ta chiziq kesishganda hosil bo‘ladigan burchaklarni toping.
3. Ulardan birining bissektrisasi ikkinchi burchakdan 60 ° katta bo'lgan ikkinchi tomoni bilan burchak hosil qilganda qo'shni burchaklarni topish kerak.
4. 2 ta qo`shni burchaklar ayirmasi shu ikki burchak yig`indisining uchdan biriga teng. 2 ta qo'shni burchakning qiymatlarini aniqlang.
5. 2 qo'shni burchakning farqi va yig'indisi mos ravishda 1: 5 kabi bog'langan. Qo'shni burchaklarni toping.
6. Ikki qo'shni o'rtasidagi farq ularning yig'indisining 25% ni tashkil qiladi. Ikki qo'shni burchakning qiymatlari qanday bog'liq? 2 ta qo'shni burchakning qiymatlarini aniqlang.

Savollar: