Vazifa 1

$\frac(x+3)(5) =\frac(y-2)(-3) =\frac(z-1)(4) $ va $\left\( chiziqlar orasidagi burchakning kosinusini toping. \begin(massiv )(c) (x=2\cdot t-3) \\ (y=-t+1) \\ (z=3\cdot t+5) \end(massiv)\right.$.

Fazoda ikkita satr berilsin: $\frac(x-x_(1) )(m_(1) ) =\frac(y-y_(1) )(n_(1) ) =\frac(z-z_( 1 ) )(p_(1) ) $ va $\frac(x-x_(2) )(m_(2) ) =\frac(y-y_(2) )(n_(2) ) =\frac(z) - z_(2) )(p_(2) ) $. Biz fazoda ixtiyoriy nuqtani tanlaymiz va u orqali ma'lumotlarga parallel ravishda ikkita yordamchi chiziqni o'tkazamiz. Berilgan chiziqlar orasidagi burchak ikkalasining istalganiga teng qo'shni burchaklar yordamchi chiziqlar orqali hosil qilingan. Chiziqlar orasidagi burchaklardan birining kosinusini ma'lum $\cos \phi =\frac(m_(1) \cdot m_(2) +n_(1) \cdot n_(2) + formulasi yordamida topish mumkin. p_(1) \cdot p_( 2) )(\sqrt(m_(1)^(2) +n_(1)^(2) +p_(1)^(2) ) \cdot \sqrt(m_(2) )^(2) +n_( 2)^(2) +p_(2)^(2) ) ) $. Agar qiymat $\cos \phi >0$ bo'lsa, u holda o'tkir burchak$\cos \phi, agar satrlar orasida

Birinchi qatorning kanonik tenglamalari: $\frac(x+3)(5) =\frac(y-2)(-3) =\frac(z-1)(4) $.

Ikkinchi to'g'ri chiziqning kanonik tenglamalarini parametriklardan olish mumkin:

\ \ \

Shunday qilib, bu chiziqning kanonik tenglamalari: $\frac(x+3)(2) =\frac(y-1)(-1) =\frac(z-5)(3) $.

Biz hisoblaymiz:

\[\cos \phi =\frac(5\cdot 2+\left(-3\o'ng)\cdot \left(-1\o'ng)+4\cdot 3)(\sqrt(5^(2) +\ left(-3\right)^(2) +4^(2) ) \cdot \sqrt(2^(2) +\left(-1\right)^(2) +3^(2) ) = \frac(25)(\sqrt(50) \cdot \sqrt(14) ) \taxminan 0,9449.\]

Vazifa 2

Birinchi qator berilgan $A\left(2,-4,-1\right)$ va $B\left(-3,5,6\right)$ nuqtalardan, ikkinchi qator berilgan $ nuqtalardan oʻtadi. C\chap (1,-2,8\o'ng)$ va $D\chap(6,7,-2\o'ng)$. Ushbu chiziqlar orasidagi masofani toping.

Ayrim to‘g‘rilar $AB$ va $CD$ chiziqlarga perpendikulyar bo‘lsin va ularni mos ravishda $M$ va $N$ nuqtalarida kesib o‘tsin. Bunday sharoitda $MN$ segmentining uzunligi $AB$ va $CD$ chiziqlari orasidagi masofaga teng.

Biz $\overline(AB)$ vektorini quramiz:

\[\overline(AB)=\left(-3-2\o'ng)\cdot \bar(i)+\left(5-\left(-4\o'ng)\o'ng)\cdot \bar(j)+ \left(6-\left(-1\right)\right)\cdot \bar(k)=-5\cdot \bar(i)+9\cdot \bar(j)+7\cdot \bar(k) ).\]

Chiziqlar orasidagi masofani ifodalovchi segment $AB$ chizig'idagi $M\left(x_(M) ,y_(M) ,z_(M) \right)$ nuqtadan o'tib ketsin.

Biz $\overline(AM)$ vektorini quramiz:

\[\overline(AM)=\chap(x_(M) -2\o'ng)\cdot \bar(i)+\left(y_(M) -\left(-4\o'ng)\o'ng)\cdot \ bar(j)+\left(z_(M) -\left(-1\o'ng)\o'ng)\cdot \bar(k)=\] \[=\chap(x_(M) -2\o'ng)\ cdot \bar(i)+\left(y_(M) +4\o'ng)\cdot \bar(j)+\left(z_(M) +1\o'ng)\cdot \bar(k).\]

$\overline(AB)$ va $\overline(AM)$ vektorlari bir xil, shuning uchun ular kollineardir.

Ma'lumki, agar $\overline(a)=x_(1) \cdot \overline(i)+y_(1) \cdot \overline(j)+z_(1) \cdot \overline(k)$ vektorlari va $ \overline(b)=x_(2) \cdot \overline(i)+y_(2) \cdot \overline(j)+z_(2) \cdot \overline(k)$ bir-biriga to‘g‘ri keladi, keyin ularning koordinatalari proportsional bo'lsa, $\frac(x_((\it 2)) )((\it x)_((\it 1)) ) =\frac(y_((\it 2)) )((\it) y)_( (\it 1)) ) =\frac(z_((\it 2)) )((\it z)_((\it 1)) ) $.

$\frac(x_(M) -2)(-5) =\frac(y_(M) +4)(9) =\frac(z_(M) +1)(7) =m$, bu yerda $m $ bo'linish natijasidir.

Bu yerdan biz olamiz: $x_(M) -2=-5\cdot m$; $y_(M) +4=9\cdot m$; $z_(M) +1=7\cdot m$.

Nihoyat, $M$ nuqtaning koordinatalari uchun ifodalarni olamiz:

Biz $\overline(CD)$ vektorini yaratamiz:

\[\overline(CD)=\left(6-1\o'ng)\cdot \bar(i)+\left(7-\left(-2\o'ng)\o'ng)\cdot \bar(j)+\ chap(-2-8\o'ng)\cdot \bar(k)=5\cdot \bar(i)+9\cdot \bar(j)-10\cdot \bar(k).\]

Chiziqlar orasidagi masofani ifodalovchi segment $CD$ chizig'idagi $N\left(x_(N) ,y_(N) ,z_(N) \right)$ nuqtadan o'tib ketsin.

$\overline(CN)$ vektorini tuzamiz:

\[\overline(CN)=\left(x_(N) -1\o'ng)\cdot \bar(i)+\left(y_(N) -\left(-2\o'ng)\o'ng)\cdot \ bar(j)+\left(z_(N) -8\o'ng)\cdot \bar(k)=\] \[=\left(x_(N) -1\o'ng)\cdot \bar(i)+ \left(y_(N) +2\o'ng)\cdot \bar(j)+\left(z_(N) -8\o'ng)\cdot \bar(k).\]

$\overline(CD)$ va $\overline(CN)$ vektorlari bir xil, shuning uchun ular kollineardir. Kollinear vektorlar shartini qo'llaymiz:

$\frac(x_(N) -1)(5) =\frac(y_(N) +2)(9) =\frac(z_(N) -8)(-10) =n$ bu yerda $n $ bo'linish natijasidir.

Bu yerdan biz quyidagilarni olamiz: $x_(N) -1=5\cdot n$; $y_(N) +2=9\cdot n$; $z_(N) -8=-10\cdot n$.

Nihoyat, $N$ nuqtasi koordinatalari uchun ifodalarni olamiz:

Biz $\overline(MN)$ vektorini quramiz:

\[\overline(MN)=\left(x_(N) -x_(M) \o'ng)\cdot \bar(i)+\left(y_(N) -y_(M) \o'ng)\cdot \bar (j)+\left(z_(N) -z_(M) \o'ng)\cdot \bar(k).\]

$M$ va $N$ nuqtalarining koordinatalari uchun ifodalarni almashtiramiz:

\[\overline(MN)=\left(1+5\cdot n-\left(2-5\cdot m\right)\right)\cdot \bar(i)+\] \[+\left(- 2+9\cdot n-\chap(-4+9\cdot m\o'ng)\o'ng)\cdot \bar(j)+\chap(8-10\cdot n-\chap(-1+7\cdot) m\o'ng)\o'ng)\cdot \bar(k).\]

Bosqichlarni bajarganimizdan so'ng biz quyidagilarni olamiz:

\[\overline(MN)=\left(-1+5\cdot n+5\cdot m\right)\cdot \bar(i)+\left(2+9\cdot n-9\cdot m\o'ng) )\cdot \bar(j)+\left(9-10\cdot n-7\cdot m\right)\cdot \bar(k).\]

$AB$ va $MN$ chiziqlar perpendikulyar boʻlganligi uchun mos vektorlarning skalyar koʻpaytmasi nolga teng, yaʼni $\overline(AB)\cdot \overline(MN)=0$:

\[-5\cdot \left(-1+5\cdot n+5\cdot m\o'ng)+9\cdot \left(2+9\cdot n-9\cdot m\o'ng)+7\cdot \ chap(9-10\cdot n-7\cdot m\o'ng)=0;\] \

Bosqichlarni bajarib bo'lgach, $m$ va $n$ ni aniqlash uchun birinchi tenglamani olamiz: $155\cdot m+14\cdot n=86$.

$CD$ va $MN$ chiziqlari perpendikulyar boʻlganligi uchun mos vektorlarning skalyar koʻpaytmasi nolga teng, yaʼni $\overline(CD)\cdot \overline(MN)=0$:

\ \[-5+25\cdot n+25\cdot m+18+81\cdot n-81\cdot m-90+100\cdot n+70\cdot m=0.\]

Bosqichlarni bajarib bo'lgach, $m$ va $n$ ni aniqlash uchun ikkinchi tenglamani olamiz: $14\cdot m+206\cdot n=77$.

$\left\(\begin(massiv)(c) (155\cdot m+14\cdot n=86) \\ (14\cdot m+206\) tenglamalar tizimini yechish orqali $m$ va $n$ toping. cdot n =77) \end(massiv)\right.$.

Biz Kramer usulini qo'llaymiz:

\[\Delta =\left|\begin(massiv)(cc) (155) & (14) \\ (14) & (206) \end(massiv)\right|=31734; \] \[\Delta _(m) =\left|\begin(massiv)(cc) (86) & (14) \\ (77) & (206) \end(massiv)\right|=16638; \] \[\Delta _(n) =\left|\begin(massiv)(cc) (155) & (86) \\ (14) & (77) \end(massiv)\right|=10731;\ ]\

$M$ va $N$ nuqtalarining koordinatalarini toping:

\ \

Nihoyat:

Nihoyat, $\overline(MN)$ vektorini yozamiz:

$\overline(MN)=\left(2,691-\left(-0,6215\o'ng)\o'ng)\cdot \bar(i)+\left(1,0438-0,7187\o'ng)\cdot \bar (j)+\chap (4,618-2,6701\o'ng)\cdot \bar(k)$ yoki $\overline(MN)=3,3125\cdot \bar(i)+0,3251\cdot \bar( j)+1,9479\cdot \bar(k)$.

$AB$ va $CD$ satrlar orasidagi masofa $\overline(MN)$:$d=\sqrt(3,3125^(2) +0,3251^(2) +1,9479^( 2) ) \ vektorining uzunligi. taxminan 3.8565$ lin. birliklar

a. Ikki qator berilgan bo'lsin.Bu qatorlar 1-bobda ko'rsatilganidek, har xil musbat va salbiy burchaklar o'tkir yoki to'mtoq bo'lishi mumkin. Ushbu burchaklardan birini bilib, boshqasini osongina topishimiz mumkin.

Aytgancha, bu barcha burchaklar uchun tangensning raqamli qiymati bir xil, farq faqat belgida bo'lishi mumkin.

Chiziqlar tenglamalari. Raqamlar birinchi va ikkinchi chiziqlarning yo'naltiruvchi vektorlarining proyeksiyalaridir.Bu vektorlar orasidagi burchak to'g'ri chiziqlar hosil qilgan burchaklardan biriga teng. Shuning uchun, muammo vektorlar orasidagi burchakni aniqlash uchun kamayadi, Biz olamiz

Oddiylik uchun o'tkir musbat burchakni tushunish uchun ikkita to'g'ri chiziq orasidagi burchakka rozi bo'lishimiz mumkin (masalan, 53-rasmda).

Keyin bu burchakning tangensi doimo ijobiy bo'ladi. Shunday qilib, agar (1) formulaning o'ng tomonida minus belgisi olingan bo'lsa, unda biz uni tashlab qo'yishimiz kerak, ya'ni faqat mutlaq qiymatni saqlashimiz kerak.

Misol. Chiziqlar orasidagi burchakni aniqlang

Formula (1) bo'yicha bizda mavjud

Bilan. Agar burchakning qaysi tomonlari uning boshlanishi va qaysi biri oxiri ekanligi ko'rsatilgan bo'lsa, har doim burchak yo'nalishini soat miliga teskari hisoblab, formulalardan (1) ko'proq narsani olishimiz mumkin. Rasmdan ko'rish oson. 53 (1) formulaning o'ng tomonida olingan belgi qaysi biri - o'tkir yoki o'tmas - burchak birinchisi bilan ikkinchi chiziqni tashkil etishini ko'rsatadi.

(Haqiqatan ham, 53-rasmdan biz birinchi va ikkinchi yo'nalish vektorlari orasidagi burchak chiziqlar orasidagi kerakli burchakka teng ekanligini yoki undan ±180 ° ga farq qilishini ko'ramiz.)

d. Agar chiziqlar parallel bo'lsa, ularning yo'nalish vektorlari ham parallel bo'ladi.Ikki vektorning parallellik shartini qo'llagan holda, hosil bo'ladi!

Bu ikkita chiziq parallel bo'lishi uchun zarur va etarli shartdir.

Misol. To'g'ridan-to'g'ri

parallel, chunki

e. Agar chiziqlar perpendikulyar bo'lsa, ularning yo'nalish vektorlari ham perpendikulyar bo'ladi. Ikki vektorning perpendikulyarlik shartini qo'llagan holda, biz ikkita chiziqning perpendikulyarlik shartini olamiz, ya'ni

Misol. To'g'ridan-to'g'ri

perpendikulyar, chunki

Parallellik va perpendikulyarlik shartlari bilan bog`liq holda quyidagi ikkita masalani yechamiz.

f. Nuqta orqali berilgan chiziqqa parallel chiziq chizamiz

Qaror shunday qabul qilinadi. Kerakli chiziq berilgan chiziqqa parallel bo'lganligi sababli, uning yo'naltiruvchi vektori uchun biz berilgan chiziq bilan bir xilni, ya'ni A va B proyeksiyali vektorni olishimiz mumkin. Va keyin kerakli chiziqning tenglamasi yoziladi. shaklda (§ 1)

Misol. To'g'ri chiziqqa parallel (1; 3) nuqtadan o'tuvchi to'g'ri chiziq tenglamasi

keyingi bo'ladi!

g. Berilgan chiziqqa perpendikulyar nuqta orqali chiziq o'tkazing

Bu erda endi A proyeksiyalari bo'lgan vektorni yo'naltiruvchi vektor sifatida qabul qilish mos emas, lekin unga perpendikulyar vektorni yutib olish kerak. Shuning uchun bu vektorning proyeksiyalari ikkala vektorning perpendikulyar bo'lishi shartiga ko'ra, ya'ni shartga muvofiq tanlanishi kerak.

Bu shart cheksiz ko'p usullar bilan bajarilishi mumkin, chunki bu erda ikkita noma'lumli bitta tenglama mavjud.Lekin eng oson yo'li uni olishdir.Unda kerakli to'g'ri chiziq tenglamasi ko'rinishda yoziladi.

Misol. Perpendikulyar chiziqdagi (-7; 2) nuqtadan o'tuvchi chiziq tenglamasi

quyidagicha bo'ladi (ikkinchi formula bo'yicha)!

h. Chiziqlar shakldagi tenglamalar bilan berilgan taqdirda

bu tenglamalarni boshqacha qayta yozish, biz bor

Burchak φ umumiy tenglamalar A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 va A 2 x + B 2 y + C 2 = 0, formula bilan hisoblanadi:

Burchak φ ikkita to'g'ri chiziq o'rtasida kanonik tenglamalar(x-x 1) / m 1 \u003d (y-y 1) / n 1 va (x-x 2) / m 2 \u003d (y-y 2) / n 2, formula bo'yicha hisoblanadi:

Nuqtadan chiziqgacha bo'lgan masofa

Kosmosdagi har bir tekislik sifatida ifodalanishi mumkin chiziqli tenglama chaqirdi umumiy tenglama samolyot

Maxsus holatlar.

o Agar (8) tenglamada bo'lsa, u holda tekislik koordinatadan o'tadi.

o (,) bilan tekislik mos ravishda o'qqa (o'q, o'q) parallel.

o Qachonki (,) tekislik tekislikka parallel (tekislik, tekislik).

Yechim: foydalanish (7)

Javob: tekislikning umumiy tenglamasi.

Misol.

Oxyz to'rtburchaklar koordinata sistemasidagi tekislik tekislikning umumiy tenglamasi bilan berilgan. . Bu tekislikdagi barcha normal vektorlarning koordinatalarini yozing.

Bizga ma'lumki, tekislikning umumiy tenglamasidagi x, y va z o'zgaruvchilarning koeffitsientlari shu tekislikning normal vektorining mos koordinatalaridir. Demak, berilgan tekislikning normal vektori koordinatalariga ega. Barcha normal vektorlar to'plami quyidagicha berilishi mumkin.

To'g'ri to'rtburchaklar koordinatalar sistemasida Oxyz fazoda nuqtadan o'tsa, tekislik tenglamasini yozing. , a bu tekislikning normal vektori.

Biz ushbu muammoning ikkita echimini taqdim etamiz.

Bizda mavjud sharoitdan. Ushbu ma'lumotlarni nuqtadan o'tadigan tekislikning umumiy tenglamasiga almashtiramiz:

Oyz koordinata tekisligiga parallel va nuqtadan o'tuvchi tekislikning umumiy tenglamasini yozing. .

Oyz koordinata tekisligiga parallel bo'lgan tekislik shakl tekisligining umumiy to'liq bo'lmagan tenglamasi bilan berilishi mumkin. Nuqtaidan beri sharti bo’yicha tekislikka tegishli bo’lsa, bu nuqtaning koordinatalari tekislik tenglamasini qanoatlantirishi, ya’ni tenglik rost bo’lishi kerak. Bu erdan topamiz. Shunday qilib, kerakli tenglama shaklga ega.

Yechim. 10.26 taʼrifi boʻyicha vektor mahsuloti p va q vektorlariga ortogonaldir. Shuning uchun u kerakli tekislikka ortogonal bo'lib, vektorni uning normal vektori sifatida olish mumkin. n vektorining koordinatalarini toping:

ya'ni . (11.1) formuladan foydalanib, biz olamiz

Ushbu tenglamadagi qavslarni ochib, biz yakuniy javobga erishamiz.

Javob: .

Oddiy vektorni ko'rinishda qayta yozamiz va uning uzunligini topamiz:

Yuqoridagilarga ko'ra:

Javob:

Parallel tekisliklar bir xil normal vektorga ega. 1) Tenglamadan tekislikning normal vektorini topamiz:.

2) nuqta va normal vektorga ko'ra tekislik tenglamasini tuzamiz:

Javob:

Kosmosdagi tekislikning vektor tenglamasi

Fazodagi tekislikning parametrik tenglamasi

Berilgan vektorga perpendikulyar berilgan nuqtadan o'tuvchi tekislik tenglamasi

Uch o'lchovli fazoda to'rtburchak dekart koordinatalar tizimi berilsin. Keling, quyidagi muammoni tuzamiz:

U yerdan oʻtuvchi tekislik tenglamasini yozing berilgan nuqta M(x 0, y 0, z 0) berilgan vektorga perpendikulyar n = ( A, B, C} .

Yechim. Mayli P(x, y, z) fazodagi ixtiyoriy nuqtadir. Nuqta P vektor bo'lsa, tekislikka tegishli deputat = {x − x 0, y − y 0, z − z 0) vektorga ortogonal n = {A, B, C) (1-rasm).

Ushbu vektorlar uchun ortogonallik shartini yozgandan so'ng (n, deputat) = 0 koordinata shaklida, biz olamiz:

Uch nuqta bilan tekislik tenglamasi

Vektor shaklida

Koordinatalarda

Kosmosda samolyotlarning o'zaro joylashishi

– umumiy tenglamalar ikkita samolyot. Keyin:

1) agar , keyin samolyotlar mos keladi;

2) agar , keyin tekisliklar parallel;

3) agar yoki bo'lsa, tekisliklar kesishadi va tenglamalar tizimi

(6)

berilgan tekisliklarning kesishish chizig'ining tenglamalaridir.

Quyidagi qatorlar uchun parametrik tenglamalarni yozing:

Yechim: Chiziqlar kanonik tenglamalar bilan berilgan va birinchi bosqichda chiziq va uning yo'nalishi vektoriga tegishli biron bir nuqtani topish kerak.

a) tenglamalardan nuqta va yo'nalish vektorini olib tashlang: . Siz boshqa nuqtani tanlashingiz mumkin (buni qanday qilish yuqorida tavsiflangan), lekin eng aniqini olish yaxshiroqdir. Aytgancha, xatolikka yo'l qo'ymaslik uchun har doim uning koordinatalarini tenglamalarga almashtiring.

Ushbu to'g'ri chiziqning parametrik tenglamalarini tuzamiz:

Parametrik tenglamalarning qulayligi shundaki, ularning yordami bilan chiziqning boshqa nuqtalarini topish juda oson. Masalan, koordinatalari parametr qiymatiga mos keladigan nuqtani topamiz:

Shunday qilib: b) kanonik tenglamalarni ko'rib chiqing . Bu erda nuqta tanlash oddiy, ammo hiyla: (koordinatalarni aralashtirib yubormaslik uchun ehtiyot bo'ling!!!). Qo'llanma vektorini qanday chiqarish mumkin? Siz bu to'g'ri chiziq nimaga parallel ekanligini bahslasha olasiz yoki oddiy rasmiy hiyla ishlatishingiz mumkin: nisbat "y" va "z" dir, shuning uchun biz yo'nalish vektorini yozamiz va qolgan bo'shliqqa nol qo'yamiz: .

To'g'ri chiziqning parametrik tenglamalarini tuzamiz:

c) Tenglamalarni ko'rinishda qayta yozamiz, ya'ni "Z" har qanday bo'lishi mumkin. Va agar mavjud bo'lsa, unda, masalan, . Shunday qilib, nuqta ushbu chiziqqa tegishli. Yo'nalish vektorini topish uchun biz quyidagi rasmiy texnikadan foydalanamiz: boshlang'ich tenglamalarda "x" va "y" mavjud va bu joylarda biz yo'nalish vektorini yozamiz. nollar: . Qolgan joyga qo'yamiz birlik: . Bitta o'rniga, noldan tashqari har qanday raqam bajariladi.

To'g'ri chiziqning parametrik tenglamalarini yozamiz:

Ta'rif. Agar ikkita chiziq y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2 berilgan bo'lsa, u holda bu chiziqlar orasidagi o'tkir burchak quyidagicha aniqlanadi.

Ikki chiziq parallel, agar k 1 = k 2 bo'lsa. Ikki chiziq perpendikulyar bo'ladi, agar k 1 = -1/ k 2 bo'lsa.

Teorema. A 1 \u003d lA, B 1 \u003d lB koeffitsientlari proportsional bo'lganda Ax + Vy + C \u003d 0 va A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 to'g'ri chiziqlar parallel bo'ladi. Agar S 1 = L bo'lsa, unda chiziqlar mos keladi. Ikki chiziqning kesishish nuqtasining koordinatalari bu chiziqlar tenglamalari tizimining yechimi sifatida topiladi.

Berilgan nuqtadan o'tuvchi chiziq tenglamasi

Ushbu chiziqqa perpendikulyar

Ta'rif. M 1 (x 1, y 1) nuqtasidan o'tadigan va y \u003d kx + b chizig'iga perpendikulyar bo'lgan chiziq tenglama bilan ifodalanadi:

Nuqtadan chiziqgacha bo'lgan masofa

Teorema. Agar M(x 0, y 0) nuqta berilsa, Ax + Vy + C \u003d 0 chizig'igacha bo'lgan masofa quyidagicha aniqlanadi.

.

Isbot. M nuqtadan berilgan chiziqqa tushirilgan perpendikulyarning asosi M 1 (x 1, y 1) nuqta bo'lsin. Keyin M va M nuqtalari orasidagi masofa 1:

(1)

x 1 va y 1 koordinatalarini tenglamalar tizimining yechimi sifatida topish mumkin:

Tizimning ikkinchi tenglamasi orqali o'tadigan to'g'ri chiziq tenglamasi berilgan nuqta M 0 berilgan chiziqqa perpendikulyar. Agar tizimning birinchi tenglamasini quyidagi shaklga aylantirsak:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + 0 ga + C = 0,

keyin hal qilib, biz quyidagilarni olamiz:

Ushbu ifodalarni (1) tenglamaga almashtirib, biz quyidagilarni topamiz:

Teorema isbotlangan.

Misol. Chiziqlar orasidagi burchakni aniqlang: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.

k 1 \u003d -3; k2 = 2; tgph = ; ph= p /4.

Misol. 3x - 5y + 7 = 0 va 10x + 6y - 3 = 0 chiziqlar perpendikulyar ekanligini ko'rsating.

Yechim. Biz topamiz: k 1 \u003d 3/5, k 2 \u003d -5/3, k 1 * k 2 \u003d -1, shuning uchun chiziqlar perpendikulyar.

Misol. Uchburchakning A(0; 1), B (6; 5), C (12; -1) uchlari berilgan. C uchidan chizilgan balandlik tenglamasini toping.

Yechim. AB tomonining tenglamasini topamiz: ; 4 x = 6 y - 6;

2x – 3y + 3 = 0;

Kerakli balandlik tenglamasi: Ax + By + C = 0 yoki y = kx + b. k =. Keyin y =. Chunki balandlik C nuqtadan o'tadi, keyin uning koordinatalari ushbu tenglikni qanoatlantiradi: bundan b = 17. Jami: .

Javob: 3x + 2y - 34 = 0.

Berilgan nuqtadan ma'lum yo'nalishda o'tadigan chiziq tenglamasi. Berilgan ikkita nuqtadan o'tuvchi to'g'ri chiziq tenglamasi. Ikki chiziq orasidagi burchak. Ikki chiziqning parallellik va perpendikulyarlik sharti. Ikki chiziqning kesishish nuqtasini aniqlash

1. Berilgan nuqtadan o'tuvchi chiziq tenglamasi A(x 1 , y 1) qiyalik bilan belgilanadigan ma'lum bir yo'nalishda k,

y - y 1 = k(x - x 1). (1)

Ushbu tenglama nuqtadan o'tadigan chiziqlar qalamini belgilaydi A(x 1 , y 1), bu nurning markazi deb ataladi.

2. Ikki nuqtadan o'tuvchi to'g'ri chiziq tenglamasi: A(x 1 , y 1) va B(x 2 , y 2) quyidagicha yoziladi:

Berilgan ikkita nuqtadan o'tuvchi to'g'ri chiziqning qiyaligi formula bilan aniqlanadi

3. To'g'ri chiziqlar orasidagi burchak A va B birinchi to'g'ri chiziqni burish kerak bo'lgan burchak A bu chiziqlarning kesishish nuqtasi atrofida soat sohasi farqli o'laroq ikkinchi chiziqqa to'g'ri kelguncha B. Ikki chiziq qiyalik tenglamalari bilan berilgan bo'lsa

y = k 1 x + B 1 ,

y = k 2 x + B 2 , (4)

keyin ular orasidagi burchak formula bilan aniqlanadi

Shuni ta'kidlash kerakki, kasrning numeratorida birinchi to'g'ri chiziqning qiyaligi ikkinchi to'g'ri chiziqning qiyaligidan chiqariladi.

Agar to'g'ri chiziq tenglamalari berilgan bo'lsa umumiy ko'rinish

A 1 x + B 1 y + C 1 = 0,

A 2 x + B 2 y + C 2 = 0, (6)

ular orasidagi burchak formula bilan aniqlanadi

4. Ikki chiziq parallelligi uchun shartlar:

a) Agar chiziqlar qiyalik bilan (4) tenglamalar bilan berilgan bo'lsa, u holda ularning parallelligi uchun zarur va etarli shart ularning qiyaliklarining tengligidir:

k 1 = k 2 . (8)

b) Agar chiziqlar umumiy shakldagi (6) tenglamalar bilan berilgan bo'lsa, ularning parallelligi uchun zarur va etarli shart ularning tenglamalarida mos keladigan oqim koordinatalaridagi koeffitsientlar proportsionaldir, ya'ni.

5. Ikki chiziqning perpendikulyarligi uchun shartlar:

a) Agar chiziqlar qiyalik bilan (4) tenglamalar bilan berilgan bo'lsa, ularning perpendikulyarligi uchun zarur va etarli shart ular Nishab omillari kattaligi o'zaro va ishorasi qarama-qarshidir, ya'ni.

Bu shart shaklda ham yozilishi mumkin

k 1 k 2 = -1. (11)

b) Agar to'g'ri chiziqlar tenglamalari umumiy ko'rinishda berilgan bo'lsa (6), u holda ularning perpendikulyarligi (zarur va etarli) sharti tenglikni bajarishdir.

A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0. (12)

6. Ikki chiziqning kesishish nuqtasining koordinatalari (6) tenglamalar tizimini yechish orqali topiladi. Chiziqlar (6) kesishadi, agar va faqat

1. Berilgan l chiziqqa biri parallel, ikkinchisi perpendikulyar bo‘lgan M nuqtadan o‘tuvchi to‘g‘rilar tenglamalarini yozing.

Samolyotlar orasidagi burchak

Tenglamalar bilan berilgan ikkita a 1 va a 2 tekisliklarni ko'rib chiqamiz:

ostida burchak ikki tekislik orasidagi bu tekisliklar hosil qilgan ikki burchakli burchaklardan birini nazarda tutamiz. Ko'rinib turibdiki, normal vektorlar bilan a 1 va a 2 tekisliklar orasidagi burchak ko'rsatilgan qo'shni ikki burchakli burchaklardan biriga teng yoki . Shunung uchun . Chunki va , keyin

.

Misol. Samolyotlar orasidagi burchakni aniqlang x+2y-3z+4=0 va 2 x+3y+z+8=0.

Ikki tekislikning parallellik sharti.

Ikki tekislik a 1 va a 2 parallel bo'ladi, agar ularning normal vektorlari parallel bo'lsa va shuning uchun. .

Shunday qilib, ikkita tekislik bir-biriga parallel bo'ladi, agar tegishli koordinatalardagi koeffitsientlar proportsional bo'lsa:

yoki

Tekisliklarning perpendikulyarligi sharti.

Ikki tekislik perpendikulyar bo'lishi aniq, agar ularning normal vektorlari perpendikulyar bo'lsa va shuning uchun, yoki .

Shunday qilib, .

Misollar.

To'g'ridan-to'g'ri kosmosda.

VEKTOR TENGLASHISHI TO'G'RI.

PARAMETRIK TENGLAMALAR TO'G'RI

To'g'ri chiziqning fazodagi o'rni uning har qanday qo'zg'almas nuqtasini ko'rsatish orqali to'liq aniqlanadi M 1 va bu chiziqqa parallel vektor.

To'g'ri chiziqqa parallel vektor deyiladi rahbarlik qilish bu chiziqning vektori.

Shunday qilib, to'g'ri bo'lsin l nuqtadan o'tadi M 1 (x 1 , y 1 , z 1) vektorga parallel to'g'ri chiziqda yotish.

Ixtiyoriy nuqtani ko'rib chiqing M(x,y,z) to'g'ri chiziqda. Buni rasmdan ko'rish mumkin .

Vektorlar va kollinear, shuning uchun bunday raqam mavjud t, nima , ko'paytuvchi qayerda t nuqtaning joylashuviga qarab har qanday raqamli qiymatni qabul qilishi mumkin M to'g'ri chiziqda. Faktor t parametr deyiladi. Nuqtalarning radius vektorlarini belgilash M 1 va M mos ravishda, va orqali, biz . Bu tenglama deyiladi vektor to'g'ri chiziq tenglamasi. Bu har bir parametr qiymatini ko'rsatadi t qaysidir nuqtaning radius vektoriga mos keladi M to'g'ri chiziqda yotish.

Bu tenglamani koordinata shaklida yozamiz. E'tibor bering, va bu yerdan

Olingan tenglamalar deyiladi parametrik to'g'ri chiziqli tenglamalar.

Parametrni o'zgartirganda t koordinatalari o'zgaradi x, y va z va nuqta M to'g'ri chiziqda harakat qiladi.

KANONIK TENGLAMALAR TO'g'ridan-to'g'ri

Mayli M 1 (x 1 , y 1 , z 1) - to'g'ri chiziqda yotgan nuqta l, va uning yo'nalishi vektoridir. Shunga qaramay, to'g'ri chiziqda ixtiyoriy nuqtani oling M(x,y,z) va vektorni ko'rib chiqing.

Ko'rinib turibdiki, va vektorlar kollineardir, shuning uchun ularning tegishli koordinatalari proportsional bo'lishi kerak, shuning uchun

– kanonik to'g'ri chiziqli tenglamalar.

Izoh 1. E'tibor bering, chiziqning kanonik tenglamalari parametrni yo'q qilish orqali parametrik tenglamalardan olinishi mumkin. t. Haqiqatan ham, biz parametrik tenglamalardan olamiz yoki .

Misol. To'g'ri chiziq tenglamasini yozing parametrik usulda.

Belgilamoq , shuning uchun x = 2 + 3t, y = –1 + 2t, z = 1 –t.

Izoh 2. Chiziq koordinata o'qlaridan biriga perpendikulyar bo'lsin, masalan, o'q ho'kiz. Keyin chiziqning yo'nalishi vektori perpendikulyar bo'ladi ho'kiz, Binobarin, m=0. Binobarin, to'g'ri chiziqning parametrik tenglamalari shaklni oladi

Parametrni tenglamalardan chiqarib tashlash t, shakldagi to'g'ri chiziq tenglamalarini olamiz

Biroq, bu holatda ham to'g'ri chiziqning kanonik tenglamalarini shaklda yozishga rozi bo'lamiz . Shunday qilib, agar kasrlardan birining maxraji nolga teng bo'lsa, bu chiziq mos keladigan koordinata o'qiga perpendikulyar ekanligini anglatadi.

Xuddi shunday, kanonik tenglamalar o'qlarga perpendikulyar to'g'ri chiziq mos keladi ho'kiz va Oy yoki parallel o'q Oz.

Misollar.

UMUMIY TENGLAMALAR TO'G'RISIYAT IKKI TASIZLIKNI KESIB KESISH CHIZIQ SIKIDA.

Kosmosdagi har bir to'g'ri chiziq orqali cheksiz sonli tekisliklar o'tadi. Ularning istalgan ikkitasi kesishib, uni kosmosda aniqlaydi. Demak, har qanday ikkita bunday tekislikning birgalikda ko'rib chiqiladigan tenglamalari bu chiziqning tenglamalari hisoblanadi.

Umuman olganda, umumiy tenglamalar bilan berilgan har qanday ikkita parallel bo'lmagan tekislik

ularning kesishish chizig'ini aniqlang. Bu tenglamalar deyiladi umumiy tenglamalar To'g'riga.

Misollar.

Tenglamalar bilan berilgan to‘g‘ri chiziqni tuzing

Chiziqni qurish uchun uning istalgan ikkita nuqtasini topish kifoya. Eng oson yo'li - chiziqning koordinata tekisliklari bilan kesishish nuqtalarini tanlash. Masalan, tekislik bilan kesishish nuqtasi xOy faraz qilib, to'g'ri chiziq tenglamalaridan olamiz z= 0:

Ushbu tizimni hal qilib, biz nuqta topamiz M 1 (1;2;0).

Xuddi shunday, taxmin qilish y= 0, biz chiziqning tekislik bilan kesishish nuqtasini olamiz xOz:

To'g'ri chiziqning umumiy tenglamalaridan uning kanonik yoki parametrik tenglamalariga o'tish mumkin. Buning uchun siz biron bir nuqtani topishingiz kerak M Chiziqda 1 va chiziqning yo'nalishi vektori.

Nuqta koordinatalari M 1 koordinatalardan biriga ixtiyoriy qiymat berib, ushbu tenglamalar tizimidan olamiz. Yo'nalish vektorini topish uchun bu vektor ikkala normal vektorga perpendikulyar bo'lishi kerakligini unutmang va . Shuning uchun, to'g'ri chiziqning yo'nalish vektori uchun l olishingiz mumkin vektor mahsuloti Oddiy vektorlar:

.

Misol. To'g'ri chiziqning umumiy tenglamalarini keltiring kanonik shaklga.

To'g'ri chiziqdagi nuqtani toping. Buning uchun biz o'zboshimchalik bilan koordinatalardan birini tanlaymiz, masalan, y= 0 va tenglamalar tizimini yeching:

Chiziqni aniqlovchi tekisliklarning normal vektorlari koordinatalarga ega Shuning uchun yo'nalish vektori to'g'ri bo'ladi

. Binobarin, l: .

HUQUQLAR ORASIDAGI BURChAK

burchak fazodagi to'g'ri chiziqlar orasidagi ma'lumotlarga parallel ravishda ixtiyoriy nuqta orqali o'tkazilgan ikkita to'g'ri chiziqdan hosil bo'lgan qo'shni burchaklarning har qandayini chaqiramiz.

Fazoda ikkita to'g'ri chiziq berilgan bo'lsin:

Shubhasiz, chiziqlar orasidagi burchak ph ni ularning yo'nalish vektorlari va orasidagi burchak sifatida olish mumkin. dan beri, keyin vektorlar orasidagi burchakning kosinus formulasiga ko'ra, biz olamiz