I BOB.

ASOSIY TUSHUNCHALAR.

§o'n bir. QO’SHINCHA VA VVERTİKAL BURChAKLAR.

1. Qo'shni burchaklar.

Agar biron bir burchakning yon tomonini uning tepasidan tashqarida davom ettirsak, ikkita burchakka ega bo'lamiz (72-rasm): / Quyosh va / SVD, bunda bir tomoni BC umumiy, qolgan ikkitasi AB va BD to'g'ri chiziq hosil qiladi.

Bir tomoni umumiy, qolgan ikkitasi toʻgʻri chiziq hosil qiladigan ikkita burchak qoʻshni burchaklar deyiladi.

Qo'shni burchaklarni ham shu tarzda olish mumkin: agar biz to'g'ri chiziqning biron bir nuqtasidan (berilgan to'g'ri chiziqda yotmagan) nurni chizsak, u holda biz qo'shni burchaklarni olamiz.
Masalan, / ADF va / FDV - qo'shni burchaklar (73-rasm).

Qo'shni burchaklar turli xil pozitsiyalarga ega bo'lishi mumkin (74-rasm).

Qo'shni burchaklar to'g'ri burchakka qo'shiladi, shuning uchun ikkita qo'shni burchakning ummasi 2d.

Demak, to'g'ri burchakni qo'shni burchakka teng burchak sifatida aniqlash mumkin.

Qo'shni burchaklardan birining qiymatini bilib, biz boshqa qo'shni burchakning qiymatini topishimiz mumkin.

Misol uchun, agar qo'shni burchaklardan biri 3/5 bo'lsa d, keyin ikkinchi burchak teng bo'ladi:

2d- 3 / 5 d= l 2/5 d.

2. Vertikal burchaklar.

Agar burchakning tomonlarini uning tepasidan tashqariga cho'zsak, olamiz vertikal burchaklar. 75-chizmada EOF va AOC burchaklari vertikal; AOE va COF burchaklari ham vertikaldir.

Ikki burchak vertikal deyiladi, agar bir burchakning tomonlari boshqa burchakning tomonlari kengaytmalari bo'lsa.

Mayli / 1 = 7 / 8 d(76-rasm). Unga qo'shni / 2 ga teng bo'ladi d- 7 / 8 d, ya'ni 1 1/8 d.

Xuddi shu tarzda, siz nimaga teng ekanligini hisoblashingiz mumkin / 3 va / 4.
/ 3 = 2d - 1 1 / 8 d = 7 / 8 d; / 4 = 2d - 7 / 8 d = 1 1 / 8 d(77-rasm).

Biz buni ko'ramiz / 1 = / 3 va / 2 = / 4.

Siz yana bir nechta bir xil muammolarni hal qilishingiz mumkin va har safar bir xil natijaga erishasiz: vertikal burchaklar bir-biriga teng.

Biroq, vertikal burchaklar har doim bir-biriga teng ekanligiga ishonch hosil qilish uchun alohida raqamli misollarni ko'rib chiqishning o'zi etarli emas, chunki muayyan misollardan olingan xulosalar ba'zan noto'g'ri bo'lishi mumkin.

Vertikal burchaklar xossasining to'g'riligini fikrlash, isbotlash orqali tekshirish kerak.

Isbotlash quyidagi tarzda amalga oshirilishi mumkin (78-rasm):

/ a +/ c = 2d;
/ b +/ c = 2d;

(chunki qo'shni burchaklar yig'indisi 2 ga teng d).

/ a +/ c = / b +/ c

(chunki bu tenglikning chap tomoni 2 ga teng d, va uning o'ng tomoni ham 2 ga teng d).

Bu tenglik bir xil burchakni o'z ichiga oladi Bilan.

Agar bizdan bo'lsak teng qiymatlar teng ayirish, keyin u teng qoladi. Natija quyidagicha bo'ladi: / a = / b, ya'ni vertikal burchaklar bir-biriga teng.

Vertikal burchaklar haqidagi savolni ko'rib chiqayotganda, biz birinchi navbatda qaysi burchaklar vertikal deb atalishini tushuntirdik, ya'ni biz berdik. ta'rifi vertikal burchaklar.

Keyin vertikal burchaklarning tengligi haqida hukm (bayonot) qildik va bu hukmning to'g'riligiga dalil orqali amin bo'ldik. To'g'riligi isbotlanishi kerak bo'lgan bunday hukmlar deyiladi teoremalar. Shunday qilib, biz ushbu bo'limda vertikal burchaklarning ta'rifini berdik, shuningdek, ularning xossasi haqidagi teoremani aytdik va isbotladik.

Kelajakda geometriyani o'rganishda biz doimo teoremalarning ta'riflari va isbotlari bilan uchrashishimiz kerak.

3. Umumiy cho'qqisi bo'lgan burchaklar yig'indisi.

Chizma bo'yicha 79 / 1, / 2, / 3 va / 4 to'g'ri chiziqning bir tomonida joylashgan va bu to'g'ri chiziqda umumiy cho'qqi bor. Xulosa qilib aytganda, bu burchaklar to'g'ri burchakni tashkil qiladi, ya'ni.
/ 1+ / 2+/ 3+ / 4 = 2d.

Chizma bo'yicha 80 / 1, / 2, / 3, / 4 va / 5 umumiy tepaga ega. Bu burchaklarning yig'indisi to'liq burchak, ya'ni. / 1 + / 2 + / 3 + / 4 + / 5 = 4d.

Mashqlar.

1. Qo‘shni burchaklardan biri 0,72 ga teng d. Ushbu qo'shni burchaklarning bissektrisalari hosil qilgan burchakni hisoblang.

2. Ikki qo‘shni burchakning bissektorlari to‘g‘ri burchak hosil qilishini isbotlang.

3. Ikki burchak teng bo'lsa, ularning qo'shni burchaklari ham teng ekanligini isbotlang.

4. 81-chizmada nechta juft qo‘shni burchak bor?

5. Bir juft qo‘shni burchak ikkita o‘tkir burchakdan iborat bo‘lishi mumkinmi? ikkita to'g'ri burchakdan? to'g'ri va to'g'ri burchaklardan? to'g'ri va o'tkir burchakdan?

6. Agar qo`shni burchaklardan biri to`g`ri burchak bo`lsa, unga qo`shni burchakning qiymati haqida nima deyish mumkin?

7. Agar ikkita to'g'ri chiziqning kesishmasida bitta to'g'ri burchak bo'lsa, qolgan uchta burchakning o'lchami haqida nima deyish mumkin?

Geometriya juda ko'p qirrali fandir. Bu mantiq, tasavvur va aqlni rivojlantiradi. Albatta, uning murakkabligi va juda ko'p sonli teoremalar va aksiomalar tufayli maktab o'quvchilari buni har doim ham yoqtirmaydi. Bundan tashqari, umumiy qabul qilingan standartlar va qoidalardan foydalangan holda o'z xulosalarini doimiy ravishda isbotlash zarurati mavjud.

Qo'shni va vertikal burchaklar geometriyaning ajralmas qismidir. Albatta, ko'plab maktab o'quvchilari ularni shunchaki yaxshi ko'rishadi, chunki ularning xususiyatlari aniq va isbotlash oson.

Burchaklarning shakllanishi

Har qanday burchak ikki chiziqning kesishishi yoki bir nuqtadan ikkita nurni chizish orqali hosil bo'ladi. Ularni bitta harf yoki uchta deb atash mumkin, ular ketma-ket burchakni qurish nuqtalarini belgilaydilar.

Burchaklar darajalarda o'lchanadi va (ularning qiymatiga qarab) boshqacha nomlanishi mumkin. Shunday qilib, o'tkir, o'tkir va joylashtirilgan to'g'ri burchak mavjud. Ismlarning har biri ma'lum darajadagi o'lchov yoki uning oralig'iga mos keladi.

O'lchovi 90 darajadan oshmaydigan burchak o'tkir burchakdir.

O'tkir burchak - bu 90 darajadan katta burchak.

O'lchami 90 bo'lsa, burchak to'g'ri deyiladi.

Agar u bitta uzluksiz to'g'ri chiziq bilan tuzilgan bo'lsa va uning daraja o'lchovi 180 bo'lsa, u joylashtirilgan deb ataladi.

Umumiy tomoni bo'lgan, ikkinchi tomoni bir-birini davom ettiradigan burchaklar qo'shni deyiladi. Ular o'tkir yoki to'mtoq bo'lishi mumkin. Chiziqning kesishishi qo'shni burchaklarni hosil qiladi. Ularning xususiyatlari quyidagilardan iborat:

1. Bunday burchaklarning yig'indisi 180 darajaga teng bo'ladi (buni isbotlovchi teorema mavjud). Shuning uchun, agar ikkinchisi ma'lum bo'lsa, ulardan birini osongina hisoblash mumkin.
2. Birinchi nuqtadan kelib chiqadiki, qo'shni burchaklarni ikkita o'tkir yoki ikkita o'tkir burchak hosil qilish mumkin emas.

Ushbu xususiyatlar tufayli har doim boshqa burchakning qiymatini yoki hech bo'lmaganda ular orasidagi nisbatni hisobga olgan holda burchakning daraja o'lchovini hisoblash mumkin.

Vertikal burchaklar

Tomonlari bir-birining davomi bo'lgan burchaklar vertikal deyiladi. Ularning har qanday navlari bunday juftlik vazifasini bajarishi mumkin. Vertikal burchaklar har doim bir-biriga teng.

Ular chiziqlar kesishganda hosil bo'ladi. Ular bilan birgalikda ulashgan burchaklar doimo mavjud. Burchak biri uchun qo'shni, ikkinchisi uchun vertikal bo'lishi mumkin.

Ixtiyoriy chiziqni kesib o'tishda yana bir nechta burchak turlari ham hisobga olinadi. Bunday chiziq sekant deb ataladi va u mos keladigan, bir tomonlama va o'zaro faoliyat burchaklarni hosil qiladi. Ular bir-biriga teng. Ular vertikal va qo'shni burchaklarga ega bo'lgan xususiyatlarni hisobga olgan holda ko'rib chiqilishi mumkin.

Shunday qilib, burchaklar mavzusi juda oddiy va tushunarli ko'rinadi. Ularning barcha xususiyatlarini eslab qolish va isbotlash oson. Burchaklar raqamli qiymatga to'g'ri kelsa, masalani yechish qiyin emas. Keyinchalik, gunoh va kosni o'rganish boshlanganda, siz ko'plab murakkab formulalarni, ularning xulosalari va oqibatlarini yodlashingiz kerak bo'ladi. Ungacha siz qo'shni burchaklarni topishingiz kerak bo'lgan oson jumboqlardan bahramand bo'lishingiz mumkin.

Bir tomoni umumiy, boshqa tomonlari bir xil to‘g‘ri chiziqda yotadigan burchaklar (rasmda 1 va 2 burchaklar qo‘shni). Guruch. San'atga. Qo'shni burchaklar ... Buyuk Sovet Entsiklopediyasi

QO'SHIQ BURCHLAR- umumiy cho'qqisi va bitta umumiy tomoni bo'lgan burchaklar va ularning boshqa ikkita tomoni bir xil to'g'ri chiziqda yotadi ... Katta politexnika entsiklopediyasi

Burchakni ko'rish... Katta ensiklopedik lug'at

QO‘SHINAN BURChAKLAR, yig‘indisi 180° bo‘lgan ikkita burchak. Ushbu burchaklarning har biri bir-birini to'liq burchakka to'ldiradi ... Ilmiy-texnik entsiklopedik lug'at

Burchakka qarang. * * * QO‘SHAN BURCHLAR QO‘SHIQ BURCHLAR, qarang Burchak (qarang. BURCHA) … ensiklopedik lug'at

- (qo'shni burchaklar) umumiy cho'qqisi va umumiy tomoni bo'lganlar. Koʻpincha bu nom shunday S. burchaklarni bildiradi, ularning qolgan ikki tomoni choʻqqi orqali oʻtkazilgan bir toʻgʻri chiziqqa qarama-qarshi yoʻnalishda yotadi ... Entsiklopedik lug'at F.A. Brokxaus va I.A. Efron

Burchakni ko'rish... Tabiiy fan. ensiklopedik lug'at

Ikki chiziq kesishadi va bir juft vertikal burchak hosil qiladi. Bir juftlik A va B burchaklardan, ikkinchisi C va D burchaklaridan iborat. Geometriyada ikkita burchak vertikal deyiladi, agar ular ikki ... Vikipediyaning kesishishi orqali yaratilgan bo'lsa.

Bir-birini 90 gradusgacha to'ldiruvchi juft to'ldiruvchi burchak. Agar ikkita to'ldiruvchi burchak qo'shni bo'lsa (ya'ni ular umumiy cho'qqiga ega va faqat ... ... Vikipediya.

Bir-birini 90 gradusgacha to'ldiruvchi bir juft to'ldiruvchi burchak. Ikki qo'shimcha burchak c bo'lsa ... Vikipediya

Kitoblar

• Geometriyada isbotlash bo'yicha Fetisov A.I. Bir marta, eng boshida o'quv yili Ikki qiz o'rtasidagi suhbatni eshitishim kerak edi. Ularning kattasi oltinchi sinfga, kichigi beshinchi sinfga o'tdi. Qizlar darslar haqidagi taassurotlari bilan o'rtoqlashdilar, ...
• Geometriya. 7-sinf. Bilimlarni nazorat qilish uchun kompleks daftar, I. S. Markova, S. P. Babenko. Qo'llanmada 7-sinf o'quvchilari bilimlarining joriy, tematik va yakuniy sifatini nazorat qilish uchun geometriya bo'yicha nazorat-o'lchov materiallari (KMI) taqdim etilgan. Qo'llanmaning mazmuni ...

Ikki burchak qo'shni deyiladi, agar ularning bir tomoni umumiy bo'lsa va bu burchaklarning boshqa tomonlari bir-birini to'ldiruvchi nurlar bo'lsa. 20-rasmda AOB va BOC burchaklari yonma-yon joylashgan.

Qo'shni burchaklar yig'indisi 180 ° ga teng

Teorema 1. Qo‘shni burchaklar yig‘indisi 180° ga teng.

Isbot. OB nuri (1-rasmga qarang) ishlab chiqilgan burchakning tomonlari orasidan o'tadi. Shunung uchun ∠ AOB + ∠ BOC = 180°.

1-teoremadan kelib chiqadiki, agar ikkita burchak teng bo'lsa, ularga qo'shni burchaklar tengdir.

Vertikal burchaklar teng

Ikki burchak vertikal deyiladi, agar bir burchakning tomonlari ikkinchisining tomonlarini to'ldiruvchi nurlar bo'lsa. Ikki to'g'ri chiziqning kesishmasida hosil bo'lgan AOB va COD, BOD va AOC burchaklari vertikaldir (2-rasm).

Teorema 2. Vertikal burchaklar teng.

Isbot. AOB va COD vertikal burchaklarini ko'rib chiqing (2-rasmga qarang). BOD burchagi AOB va COD burchaklarining har biriga ulashgan. 1-teorema bo'yicha, ∠ AOB + ∠ BOD = 180 °, ∠ COD + ∠ BOD = 180 °.

Demak, ∠ AOB = ∠ COD degan xulosaga kelamiz.

Xulosa 1. To'g'ri burchakka qo'shni burchak to'g'ri burchakdir.

Ikkita kesishuvchi AC va BD to'g'ri chiziqni ko'rib chiqaylik (3-rasm). Ular to'rtta burchak hosil qiladi. Agar ulardan biri to'g'ri bo'lsa (3-rasmdagi 1-burchak), u holda boshqa burchaklar ham to'g'ri bo'ladi (1 va 2, 1 va 4 burchaklar qo'shni, 1 va 3 burchaklar vertikal). Bunday holda, bu chiziqlar to'g'ri burchak ostida kesishadi va perpendikulyar (yoki o'zaro perpendikulyar) deyiladi. AC va BD chiziqlarning perpendikulyarligi quyidagicha belgilanadi: AC ⊥ BD.

Segmentning perpendikulyar bissektrisasi bu segmentga perpendikulyar va uning o'rta nuqtasidan o'tuvchi chiziqdir.

AN - chiziqqa perpendikulyar

a chiziq va uning ustida yotmagan A nuqtani ko'rib chiqaylik (4-rasm). Segmentli A nuqtani H nuqtaga a to'g'ri chiziq bilan bog'lang. Agar AN va a chiziqlar perpendikulyar bo'lsa, AH segmenti A nuqtadan a chiziqqa o'tkazilgan perpendikulyar deyiladi. H nuqta perpendikulyar asos deyiladi.

Kvadrat chizish

Quyidagi teorema to'g'ri.

Teorema 3. To'g'ri chiziqda yotmaydigan har qanday nuqtadan bu to'g'ri chiziqqa perpendikulyar, bundan tashqari, faqat bittasini chizish mumkin.

Chizmadagi nuqtadan to'g'ri chiziqqa perpendikulyar chizish uchun chizma kvadratidan foydalaniladi (5-rasm).

Izoh. Teoremaning bayoni odatda ikki qismdan iborat. Bir qism berilgan narsalar haqida gapiradi. Bu qism teorema sharti deyiladi. Boshqa qismi isbotlanishi kerak bo'lgan narsalar haqida gapiradi. Bu qism teoremaning xulosasi deyiladi. Masalan, 2-teoremaning sharti vertikal burchaklar; xulosa - bu burchaklar teng.

Har qanday teorema so'z bilan batafsil ifodalanishi mumkin, shunda uning sharti "agar" so'zi bilan boshlanadi va "keyin" so'zi bilan yakunlanadi. Masalan, 2-teoremani quyidagicha batafsil bayon qilish mumkin: "Agar ikkita burchak vertikal bo'lsa, ular tengdir".

1-misol Qo'shni burchaklardan biri 44 ° dir. Boshqasi nimaga teng?

Yechim. Boshqa burchakning daraja o'lchamini x bilan belgilang, keyin 1-teoremaga muvofiq.
44° + x = 180°.
Olingan tenglamani echib, biz x \u003d 136 ° ekanligini topamiz. Shuning uchun boshqa burchak 136 ° dir.

2-misol 21-rasmdagi COD burchagi 45 ° bo'lsin. AOB va AOC burchaklari nima?

Yechim. COD va AOB burchaklari vertikaldir, shuning uchun teorema 1.2 bo'yicha ular teng, ya'ni ∠ AOB = 45 °. AOC burchagi COD burchagiga ulashgan, shuning uchun 1-teorema bo'yicha.
∠ AOC = 180 ° - ∠ COD = 180 ° - 45 ° = 135 °.

3-misol Agar ulardan biri ikkinchisidan 3 marta katta bo'lsa, qo'shni burchaklarni toping.

Yechim. Kichikroq burchakning daraja o'lchovini x bilan belgilang. Keyin kattaroq burchakning daraja o'lchovi Zx bo'ladi. Qo'shni burchaklar yig'indisi 180 ° (1-teorema) bo'lganligi sababli, x + 3x = 180 °, bu erdan x = 45 °.
Shunday qilib, qo'shni burchaklar 45 ° va 135 °.

4-misol Ikki vertikal burchakning yig'indisi 100 ° ga teng. To'rt burchakning har birining qiymatini toping.

Yechim. 2-rasm masala shartiga mos kelsin.KOD dan AOB ga vertikal burchaklar teng (2-teorema), bu ularning daraja o’lchovlari ham teng ekanligini bildiradi. Shuning uchun, ∠ COD = ∠ AOB = 50 ° (ularning yig'indisi shart bo'yicha 100 °). BOD burchagi (shuningdek, AOC burchagi) COD burchagiga ulashgan va shuning uchun 1-teorema bo'yicha.
∠ BOD = ∠ AOC = 180° - 50° = 130°.

Savol 1. Qanday burchaklar qo'shni deyiladi?
Javob. Ikki burchak qo'shni deyiladi, agar ularning bir tomoni umumiy bo'lsa va bu burchaklarning boshqa tomonlari bir-birini to'ldiruvchi yarim chiziqlar bo'lsa.
31-rasmda burchaklar (a 1 b) va (a 2 b) ulashgan. Ularning umumiy b tomoni bor, a 1 va 2 tomonlari qo'shimcha yarim chiziqlardir.

2-savol. Qo‘shni burchaklar yig‘indisi 180° ekanligini isbotlang.
Javob. 2.1 teorema. Qo'shni burchaklar yig'indisi 180 ° ga teng.
Isbot. Burchakka (a 1 b) va burchakka (a 2 b) qo'shni burchaklar berilsin (31-rasmga qarang). Nur b rivojlangan burchakning a 1 va a 2 tomonlari orasidan o'tadi. Shuning uchun (a 1 b) va (a 2 b) burchaklarning yig'indisi ishlab chiqilgan burchakka teng, ya'ni 180 °. Q.E.D.

3-savol. Ikki burchak teng bo'lsa, ularga qo'shni burchaklar ham teng ekanligini isbotlang.
Javob.

Teoremadan 2.1 Bundan kelib chiqadiki, agar ikkita burchak teng bo'lsa, ularga qo'shni burchaklar tengdir.
Aytaylik, (a 1 b) va (c 1 d) burchaklar teng. Burchaklar (a 2 b) va (c 2 d) ham teng ekanligini isbotlashimiz kerak.
Qo'shni burchaklar yig'indisi 180 ° ga teng. Bundan kelib chiqadiki, a 1 b + a 2 b = 180 ° va c 1 d + c 2 d = 180 °. Demak, a 2 b \u003d 180 ° - a 1 b va c 2 d \u003d 180 ° - c 1 d. Burchaklar (a 1 b) va (c 1 d) teng bo'lganligi sababli, biz a 2 b \u003d 180 ° - a 1 b \u003d c 2 d ekanligini olamiz. Teng belgining tranzitivlik xususiyatidan a 2 b = c 2 d kelib chiqadi. Q.E.D.

4-savol. Qaysi burchak to'g'ri (o'tkir, o'tkir) deb ataladi?
Javob. 90 ° ga teng burchak to'g'ri burchak deb ataladi.
90° dan kichik burchakka oʻtkir burchak deyiladi.
90° dan katta va 180° dan kichik burchakka oʻtmas burchak deyiladi.

5-savol. To'g'ri burchakka qo'shni burchak to'g'ri burchak ekanligini isbotlang.
Javob. Qo'shni burchaklar yig'indisi haqidagi teoremadan to'g'ri burchakka qo'shni burchak to'g'ri burchak ekanligi kelib chiqadi: x + 90 ° = 180 °, x= 180 ° - 90 °, x = 90 °.

6-savol. Vertikal burchaklar qanday?
Javob. Ikki burchak vertikal deyiladi, agar bir burchakning tomonlari ikkinchisining tomonlarini to'ldiruvchi yarim chiziqlar bo'lsa.

7-savol. Vertikal burchaklar teng ekanligini isbotlang.
Javob. 2.2 teorema. Vertikal burchaklar teng.
Isbot.(a 1 b 1) va (a 2 b 2) vertikal burchaklar berilsin (34-rasm). Burchak (a 1 b 2) burchakka (a 1 b 1) va burchakka (a 2 b 2) ulashgan. Bu erdan, qo'shni burchaklar yig'indisi haqidagi teorema bo'yicha, biz burchaklarning har biri (a 1 b 1) va (a 2 b 2) burchakni (a 1 b 2) 180 ° gacha to'ldiradi degan xulosaga kelamiz, ya'ni. burchaklar (a 1 b 1) va (a 2 b 2) teng. Q.E.D.

8-savol. Ikki chiziqning kesishmasida burchaklardan biri to'g'ri burchak bo'lsa, qolgan uchta burchak ham to'g'ri ekanligini isbotlang.
Javob. Faraz qilaylik, AB va CD chiziqlar bir-birini O nuqtada kesishadi. AOD burchagi 90° deb faraz qilaylik. Qo'shni burchaklar yig'indisi 180 ° bo'lganligi sababli, biz AOC = 180 ° - AOD = 180 ° - 90 ° = 90 ° ni olamiz. COB burchagi AOD burchagiga vertikal, shuning uchun ular tengdir. Ya'ni, COB burchagi = 90 °. COA BODga vertikal, shuning uchun ular tengdir. Ya'ni, BOD burchagi = 90 °. Shunday qilib, barcha burchaklar 90 ° ga teng, ya'ni ularning hammasi to'g'ri. Q.E.D.

9-savol. Qaysi chiziqlar perpendikulyar deyiladi? Chiziqlarning perpendikulyarligini ko'rsatish uchun qanday belgi qo'llaniladi?
Javob. Ikki chiziq to'g'ri burchak ostida kesishsa, perpendikulyar deyiladi.
Chiziqlarning perpendikulyarligi \(\perp\) bilan belgilanadi. \(a\perp b\) yozuvida shunday deyiladi: "a chiziq b chiziqqa perpendikulyar".

10-savol. Chiziqning istalgan nuqtasi orqali unga perpendikulyar va faqat bitta chiziq o'tkazish mumkinligini isbotlang.
Javob. 2.3 teorema. Har bir chiziq orqali siz unga perpendikulyar chiziq chizishingiz mumkin va faqat bitta.
Isbot. a berilgan chiziq va A bo'lsin - berilgan nuqta uning ustida. Boshlanish nuqtasi A bo'lgan a to'g'ri chiziqning yarim chiziqlaridan birini 1 bilan belgilang (38-rasm). Yarim chiziqdan a 1 burchakni (a 1 b 1) 90 ° ga teng chetga qo'ying. U holda b 1 nurni o'z ichiga olgan chiziq a chiziqqa perpendikulyar bo'ladi.

Faraz qilaylik, A nuqtadan ham o‘tuvchi va a to‘g‘riga perpendikulyar bo‘lgan boshqa to‘g‘ri chiziq bor. Bu chiziqning b 1 nuri bilan bir xil yarim tekislikda yotgan yarim chizig'ini c 1 bilan belgilang.
Burchaklar (a 1 b 1) va (a 1 c 1), har biri 90 ° ga teng, a 1 yarim chiziqdan bir yarim tekislikda yotqizilgan. Ammo yarim chiziqdan 1, bu yarim tekislikda faqat 90 ° ga teng bitta burchakni ajratish mumkin. Demak, A nuqtadan o‘tuvchi va a to‘g‘riga perpendikulyar boshqa chiziq bo‘lishi mumkin emas. Teorema isbotlangan.

11-savol. Chiziqga perpendikulyar nima?
Javob. Berilgan chiziqqa perpendikulyar deb berilgan chiziqqa perpendikulyar bo‘lgan, uchlaridan biri ularning kesishish nuqtasida joylashgan bo‘ladi. Segmentning bu oxiri deyiladi asos perpendikulyar.

12-savol. Qarama-qarshilik bilan dalil nima ekanligini tushuntiring.
Javob. 2.3-teoremada biz ishlatgan isbotlash usuli qarama-qarshilik bilan isbotlash deb ataladi. Bu isbotlash usuli shundan iboratki, biz birinchi navbatda teoremada aytilgan narsaga qarama-qarshi taxmin qilamiz. Keyin, aksiomalar va isbotlangan teoremalarga tayanib, fikr yuritib, biz teorema shartiga yoki aksiomalardan biriga yoki ilgari isbotlangan teoremaga zid bo'lgan xulosaga kelamiz. Shu asosda biz taxminimiz noto'g'ri bo'lgan degan xulosaga kelamiz, bu teoremaning tasdiqlanishi haqiqat ekanligini anglatadi.

13-savol. Burchak bissektrisasi nima?
Javob. Burchakning bissektrisasi - burchak cho'qqisidan keladigan, uning tomonlari orasidan o'tadigan va burchakni yarmiga bo'ladigan nur.