Abituriyentlar diqqatiga! Bu erda imtihonning bir nechta vazifalari tahlil qilinadi. Qolganlari, qiziqroqlari bizning bepul video materialimizda. Tomosha qiling va harakat qiling!

Biz oddiy masalalar va ehtimollik nazariyasining asosiy tushunchalari bilan boshlaymiz.
Tasodifiy Voqea oldindan aniq bashorat qilib bo'lmaydigan hodisa deyiladi. Bu sodir bo'lishi mumkin yoki bo'lmasligi mumkin.
Siz lotereyani yutib oldingiz - tasodifiy voqea. Siz do'stlaringizni g'alabani nishonlashga taklif qildingiz va ular sizga yo'lda liftda tiqilib qolishdi - bu ham tasodifiy voqea. To'g'ri, usta yaqin orada edi va o'n daqiqada butun kompaniyani ozod qildi - va buni baxtli baxtsiz hodisa deb hisoblash mumkin ...

Bizning hayotimiz to'la tasodifiy hodisalar. Ularning har biri ba'zilari bilan sodir bo'lishini aytish mumkin ehtimollik. Ehtimol, siz ushbu kontseptsiya bilan intuitiv ravishda tanishsiz. Endi biz ehtimollikning matematik ta'rifini beramiz.

Eng oddiy misoldan boshlaylik. Siz tanga tashlayapsiz. Boshlarmi yoki dumlarmi?

Bir nechta natijalardan biriga olib kelishi mumkin bo'lgan bunday harakat ehtimollar nazariyasi deb ataladi sinov.

Bosh va quyruq - ikkita mumkin chiqish testlar.

Burgut mumkin bo'lgan ikkita holatdan birida yiqilib tushadi. Ular shunday deyishadi ehtimollik tanga er boshlari teng ekanligini.

Keling, zar otaylik. O'limning olti tomoni bor, shuning uchun oltita mumkin bo'lgan natijalar mavjud.

Misol uchun, siz uch ochko tushib ketishini taxmin qildingiz. Bu mumkin bo'lgan oltita natijadan biri. Ehtimollar nazariyasida u chaqiriladi ijobiy natija.

Uchlikni olish ehtimoli (oltita mumkin bo'lgan ijobiy natijadan bittasi).

To'rtlik ehtimoli ham

Ammo ettitaning paydo bo'lish ehtimoli nolga teng. Axir kubda yetti nuqta bo'lgan yuz yo'q.

Hodisa yuzaga kelishi ehtimoli qulay natijalar sonining natijalarning umumiy soniga nisbatiga teng.

Shubhasiz, ehtimollik birdan katta bo'lishi mumkin emas.

Mana yana bir misol. Olma sumkasida qizil, qolganlari yashil rangda. Olma shakli va hajmi jihatidan farq qilmaydi. Siz qo'lingizni sumkaga solib, tasodifan olma chiqarasiz. Qizil olma chizish ehtimoli , yashil esa .

Qizil yoki yashil olma olish ehtimoli .

Imtihonga tayyorgarlik ko'rish uchun to'plamlarga kiritilgan ehtimollik nazariyasidagi muammolarni tahlil qilaylik.

. Taksi kompaniyasida bu daqiqa bepul avtomobillar: qizil, sariq va yashil. Qo'ng'iroq paytida mashinalardan biri jo'nadi, bu mijozga eng yaqin bo'lgan. Sariq taksi kelishi ehtimolini toping.

Hammasi bo'lib mashinalar bor, ya'ni o'n beshdan bittasi mijozga keladi. To'qqizta sariq bor, ya'ni sariq mashinaning kelishi ehtimoli , ya'ni.

. (Demo versiyasi) Barcha chiptalarning biologiyasi bo'yicha chiptalar to'plamida ikkitasida qo'ziqorinlar haqida savol bor. Imtihonda talaba tasodifiy tanlangan bitta chipta oladi. Ushbu chiptaga qo'ziqorin haqidagi savol kirmasligi ehtimolini toping.

Shubhasiz, qo'ziqorinlar haqida so'ramasdan chipta chizish ehtimoli , ya'ni .

. Ota-onalar qo'mitasi oxirida bolalar uchun sovg'alar uchun jumboqlarni sotib oldi o'quv yili, shundan rasmlar bilan mashhur rassomlar va hayvonlarning rasmlari. Sovg'alar tasodifiy taqsimlanadi. Vovochka hayvon jumboqini olish ehtimolini toping.

Vazifa shunga o'xshash tarzda hal qilinadi.

Javob: .

. Sportchilar gimnastika bo'yicha chempionatda qatnashadilar: Rossiyadan, AQShdan, qolganlari - Xitoydan. Gimnastikachilarning chiqish tartibi qur’a orqali aniqlanadi. Oxirgi sportchi Xitoydan bo‘lish ehtimolini toping.

Tasavvur qilaylik, barcha sportchilar bir vaqtning o'zida shlyapaga yaqinlashib, undan raqamlar yozilgan qog'oz parchalarini chiqarib olishdi. Ulardan ba'zilari yigirmanchi raqamni oladi. Xitoylik sportchining uni tortib olish ehtimoli teng (chunki sportchilar Xitoydan). Javob: .

. Talabadan dan gacha bo'lgan raqamni nomlash so'ralgan. U beshga karrali sonni nomlashi ehtimoli qanday?

Har beshinchi berilgan to‘plamdagi son ga bo‘linadi. Demak, ehtimollik.

Zar tashlanadi. Toq sonli ball olish ehtimolini toping.

Toq raqamlar; - hatto. Toq sonli ballar ehtimoli .

Javob: .

. Tanga uch marta tashlanadi. Ikki bosh va bitta dumning ehtimoli qanday?

E'tibor bering, muammo boshqacha shakllantirilishi mumkin: bir vaqtning o'zida uchta tanga tashlanadi. Bu qarorga ta'sir qilmaydi.

Sizningcha, qancha natijalar mumkin?

Biz tanga tashlaymiz. Ushbu harakat ikkita mumkin bo'lgan natijaga ega: bosh va quyruq

Ikki tanga - allaqachon to'rtta natija:

Uch tangami? To'g'ri, natijalar, chunki .

Sakkiztadan ikkita bosh va bitta dum uch marta ko'tariladi.

Javob: .

. Tasodifiy tajribada ikkita zar tashlanadi. Yig'indining ball tushishi ehtimolini toping. Natijani yuzdan bir qismigacha yaxlitlang.

Birinchi o'limni tashlang - oltita natija. Va ularning har biri uchun yana oltitasi mumkin - biz ikkinchi o'limni aylantirganda.

Biz buni tushunamiz bu harakat- ikkita zarni tashlash - mumkin bo'lgan natijalarning umumiy soni, chunki .

Va endi yaxshi xabar uchun:

Sakkiz ball olish ehtimoli.

>. Otuvchi mo'ljalni ehtimol bilan uradi. Uning ketma-ket to'rt marta nishonga tegishi ehtimolini toping.

Agar urish ehtimoli teng bo'lsa, u holda yo'qolib ketish ehtimoli . Biz avvalgi muammodagi kabi bahslashamiz. Ketma-ket ikkita urish ehtimoli. Va ketma-ket to'rtta urish ehtimoli ga teng.

Ehtimollik: qo'pol kuch mantig'i.

Mana, ko'pchilik uchun qiyin bo'lib tuyulgan diagnostika ishlaridan bir vazifa.

Petyaning cho'ntagida rubl va rubl tangalari bor edi. Petya qaramasdan, bir nechta tangalarni boshqa cho'ntagiga soldi. Besh rubllik tangalar hozir turli cho'ntaklarda bo'lish ehtimolini toping.

Bizga ma'lumki, hodisaning yuzaga kelishi ehtimoli qulay natijalar sonining natijalarning umumiy soniga nisbatiga teng. Ammo bu barcha natijalarni qanday hisoblash mumkin?

Siz, albatta, besh rubllik tangalarni raqamlar bilan, o'n rubllik tangalarni raqamlar bilan belgilashingiz mumkin - va keyin to'plamdan uchta elementni qancha usulda tanlashingiz mumkinligini hisoblang.

Biroq, osonroq yechim bor:

Biz tangalarni raqamlar bilan kodlaymiz:, (bu besh rubl), (bular o'n rubl). Endi muammoning holatini quyidagicha shakllantirish mumkin:

dan gacha raqamlangan oltita chip bor. Raqamli chiplar bir-biriga to'g'ri kelmasligi uchun ularni ikkita cho'ntak o'rtasida teng taqsimlash necha usulda bo'lishi mumkin?

Keling, birinchi cho'ntagimizda nima borligini yozaylik.

Buning uchun biz to'plamdan barcha mumkin bo'lgan kombinatsiyalarni tuzamiz. Uchta chiplar to'plami uch xonali raqam bo'ladi. Ko'rinib turibdiki, bizning sharoitimizda va bir xil tokenlar to'plami. Hech narsani o'tkazib yubormaslik va takrorlamaslik uchun biz mos keladigan uch xonali raqamlarni o'sish tartibida joylashtiramiz:

Hammasi! dan boshlab barcha mumkin bo'lgan kombinatsiyalarni sinab ko'rdik. Davom etamiz:

mumkin bo'lgan umumiy natijalar.

Bizda bir shart bor - raqamlar bilan chiplar va birga bo'lmasligi kerak. Bu, masalan, kombinatsiya bizga mos kelmasligini anglatadi - bu chiplar va ikkalasi ham birinchi emas, balki ikkinchi cho'ntagiga tushganligini anglatadi. Biz uchun faqat yoki faqat mavjud bo'lgan natijalar qulaydir. Mana ular:

134, 135, 136, 145, 146, 156, 234, 235, 236, 245, 246, 256 - jami ijobiy natijalar.

Keyin talab qilinadigan ehtimollik .

Sizni matematikadan imtihonda qanday vazifalar kutmoqda?

Keling, ehtimollar nazariyasidagi eng qiyin masalalardan birini tahlil qilaylik.

Institutga “Tilshunoslik” mutaxassisligi boʻyicha oʻqishga kirish uchun abituriyent Z. Yagona davlat imtihonida uchta fanning har biri – matematika, rus tili va chet tilidan kamida 70 ball toʻplashi kerak. "Tijorat" ixtisosligiga kirish uchun siz uchta fanning har birida kamida 70 ball to'plashingiz kerak - matematika, rus tili va ijtimoiy fanlar.

Abituriyent Z.ning matematikadan kamida 70 ball olish ehtimoli 0,6, rus tilidan 0,8, xorijiy til- 0,7 va ijtimoiy fanlar bo'yicha - 0,5.
Z.ning qayd etilgan ikkita mutaxassislikdan kamida bittasiga kirishi ehtimolini toping.

E’tibor bering, muammo Z. ismli abituriyent bir vaqtning o‘zida tilshunoslikni ham, tijoratni ham o‘qib, ikkita diplom oladimi, deb so‘ramaydi. Bu yerda Z.ning shu ikki mutaxassislikdan kamida bittasiga kirishi - yaʼni kerakli ball toʻplashi ehtimolini topishimiz kerak.
Ikki mutaxassislikdan kamida bittasiga kirish uchun Z. matematika fanidan kamida 70 ball toʻplashi kerak. Va rus tilida. Va shunga qaramay - ijtimoiy fan yoki xorijiy.
Uning uchun matematikadan 70 ball to'plash ehtimoli 0,6 ga teng.
Matematika va rus tilidan ball to'plash ehtimoli 0,6 0,8.

Keling, chet el va ijtimoiy fanlar bilan shug'ullanamiz. Agar abituriyent ijtimoiy fanlar, chet tili yoki ikkala fandan ball to'plagan bo'lsa, variantlar bizga mos keladi. Agar u tilda ham, "jamiyatda" ham ball to'plamagan bo'lsa, variant mos kelmaydi. Bu shuni anglatadiki, ijtimoiy fanlardan yoki chet eldan kamida 70 ballga o'tish ehtimoli teng
1 – 0,5 0,3.
Natijada, matematika, rus va ijtimoiy fanlarni yoki chet eldan o'tish ehtimoli teng
0,6 0,8 (1 - 0,5 0,3) = 0,408. Bu javob.

Tula shahri ta'lim muassasasi matematika o'qituvchilari uchun "Matematikada USE vazifalarini bo'limlardan echish: kombinatorika, ehtimollar nazariyasi" mavzusida seminar rejasi. Ta'lim usullari»

Vaqt sarflash: 12 00 ; 15 00

Manzil: MBOU "1-sonli litsey", xona. № 8

I. Ehtimollik uchun muammoni hal qilish

1. Ehtimolning klassik ta'rifiga oid masalalar yechish

Biz, o'qituvchilar sifatida, ehtimollik nazariyasida USEdagi asosiy vazifalar turlari ehtimollikning klassik ta'rifiga asoslanganligini allaqachon bilamiz. Xodisa ehtimoli nima deyilganini eslaylikmi?

Voqea ehtimoli- ma'lum bir hodisani ma'qullaydigan natijalar sonining natijalarning umumiy soniga nisbati.

Matematika fani o‘qituvchilarining ilmiy-uslubiy birlashmasida ehtimollik masalalarini yechishning umumiy sxemasi ishlab chiqilgan. E'tiboringizga taqdim etmoqchiman. Aytgancha, biz ish tajribamiz bilan o'rtoqlashdik va muammolarni hal qilish bo'yicha birgalikda muhokama qilish uchun sizning e'tiboringizga taqdim etgan materiallarda biz ushbu sxemani taqdim etdik. Biroq, men buni ovoz chiqarib aytmoqchiman.

Bizning fikrimizcha, bu sxema mantiqiy ravishda hamma narsani javonlarga tezda qo'yishga yordam beradi va shundan so'ng vazifani o'qituvchi va talabalar uchun juda oson hal qilish mumkin.

Shunday qilib, men quyidagi mazmundagi muammoni batafsil tahlil qilmoqchiman.

Yigitlarga bunday yechimni qanday etkazish metodologiyasini tushuntirish uchun men siz bilan gaplashmoqchi edim, bunda yigitlar bu odatiy vazifani tushunishadi, keyin esa bu vazifalarni o'zlari tushunishadi.

Ushbu muammoda tasodifiy tajriba nima? Endi biz ushbu tajribada elementar hodisani ajratib olishimiz kerak. Bu elementar hodisa nima? Keling, ularni sanab o'tamiz.

Savollar bormi?

Hurmatli hamkasblar, siz ham zarlar bilan ehtimollik masalalarini ko'rib chiqdingiz. Menimcha, biz uni qismlarga ajratishimiz kerak, chunki ba'zi nuances bor. Keling, ushbu muammoni biz sizga taklif qilgan sxema bo'yicha tahlil qilaylik. Kubning har bir yuzida 1 dan 6 gacha bo'lgan sonlar mavjud bo'lgani uchun elementar hodisalar 1, 2, 3, 4, 5, 6 raqamlaridir. Biz elementar hodisalarning umumiy soni 6 ta ekanligini aniqlaymiz. Qaysi ekanligini aniqlaymiz. elementar hodisalar hodisaga yordam beradi. Ushbu hodisani faqat ikkita voqea ma'qullaydi - 5 va 6 (chunki shartdan kelib chiqadiki, 5 va 6 ball tushishi kerak).

Barcha elementar hodisalar bir xil darajada mumkinligini tushuntiring. Topshiriq bo'yicha qanday savollar bo'ladi?

Tanganing nosimmetrik ekanligini qanday tushunasiz? Keling, buni aniq tushunaylik, ba'zida ba'zi iboralar tushunmovchiliklarni keltirib chiqaradi. Keling, ushbu muammoni kontseptual tarzda tushunaylik. Keling, qanday elementar natijalar bo'lishi mumkinligi tasvirlangan tajribada siz bilan shug'ullanamiz. Tasavvur qila olasizmi, bosh qayerda, dum qayerda? Chiqib ketish variantlari qanday? Boshqa voqealar bormi? Hodisalarning umumiy soni qancha? Muammoga ko'ra, kallalar roppa-rosa bir marta tushib ketgani ma'lum. Shunday qilib, bu voqeaUshbu to'rtta OR va RO foydasidan elementar hodisalar, bu allaqachon ikki marta sodir bo'lishi mumkin emas. Biz hodisaning ehtimoli topiladigan formuladan foydalanamiz. Eslatib o'tamiz, B qismidagi javoblar butun yoki o'nlik bo'lishi kerak.

Interfaol doskada ko‘rsating. Biz topshiriqni o'qiymiz. Ushbu tajribaning asosiy natijasi nima? Juftlik buyurtma qilinganligini aniqlang - ya'ni raqam birinchi o'limga, ikkinchi o'limga tushdi. Har qanday vazifada tanlash kerak bo'lgan paytlar bo'ladi ratsional usullar, shakllar va jadvallar, diagrammalar va boshqalar shaklida yechim taqdim. Ushbu muammoda bunday jadvaldan foydalanish qulay. Men sizga tayyor yechimni beraman, lekin yechish jarayonida ma'lum bo'ladiki, bu masalada yechimni jadval ko'rinishida qo'llash oqilona. Jadval nimani anglatishini tushuntiring. Ustunlar nima uchun 1, 2, 3, 4, 5, 6 deb yozilganini tushunasiz.

Keling, kvadrat chizamiz. Chiziqlar birinchi rulonning natijalariga mos keladi - ularning oltitasi bor, chunki matritsa oltita yuzga ega. Ustunlar kabi. Har bir katakchaga tushgan nuqtalar yig'indisini yozamiz. To'ldirilgan jadvalni ko'rsating. Yig'indi sakkizga teng bo'lgan katakchalarni ranglaymiz (shartda talab qilinganidek).

O'ylaymanki, keyingi muammoni, avvalgilarini tahlil qilgandan so'ng, yigitlarga o'zlari hal qilishlari mumkin.

Quyidagi masalalarda barcha elementar natijalarni yozishning hojati yo'q. Ularning sonini sanash kifoya.

(Yechimsiz) Men yigitlarga bu muammoni o'zlari hal qilishlarini berdim. Muammoni hal qilish algoritmi

1. Tasodifiy tajriba nima ekanligini va tasodifiy hodisa nima ekanligini aniqlang.

2. Elementar hodisalarning umumiy sonini toping.

3. Masalaning shartida ko’rsatilgan hodisaga ma’qul keladigan hodisalar sonini topamiz.

4. Formuladan foydalanib hodisaning ehtimolini toping.

Talabalarga savol berish mumkin, agar 1000 ta akkumulyator sotuvga chiqarilgan bo'lsa va ulardan 6 tasi nosoz bo'lsa, tanlangan akkumulyator quyidagicha aniqlanadi? Bizning vazifamizda nima bor? Keyinchalik, bu erda raqam sifatida ishlatiladigan narsalarni topish haqida savol beramanva men uni topishni taklif qilamanraqam. Keyin so‘rayman, bu yerda nima voqea bo‘lyapti? Qancha akkumulyator tadbirni yakunlashni ma'qul ko'radi? Keyinchalik, formuladan foydalanib, biz ushbu ehtimollikni hisoblaymiz.

Bu erda bolalarga ikkinchi yechim taklif qilinishi mumkin. Keling, bu usul nima bo'lishi mumkinligini muhokama qilaylik?

1. Hozir qanday hodisani ko'rib chiqish mumkin?

2. Berilgan hodisaning ehtimolligi qanday topiladi?

Bolalarga bu formulalar haqida aytib berish kerak. Ular keyingi

Sakkizinchi vazifani bolalarga mustaqil ravishda taklif qilish mumkin, chunki u oltinchi vazifaga o'xshaydi. Bu ularga sifatida taklif qilinishi mumkin mustaqil ish, yoki doskadagi kartada.

Bu muammoni hozirda o'tkazilayotgan olimpiadaga nisbatan hal qilish mumkin. Vazifalarda turli tadbirlar ishtirok etishiga qaramay, vazifalar xarakterlidir.

2. Ehtimollarni hisoblashning eng oddiy qoidalari va formulalari (qarama-qarshi hodisalar, hodisalar yig'indisi, hodisalar mahsuloti)

Bu vazifa To'plamdan foydalanish. Biz eritmani taxtaga joylashtiramiz. Ushbu muammoni tahlil qilish uchun talabalar oldiga qanday savollarni qo'yishimiz kerak.

1. Qancha pulemyot bor edi? Bir marta ikkita avtomat, keyin allaqachon ikkita hodisa mavjud. Men bolalardan qanday voqea bo'lishini so'rayman? Ikkinchi voqea nima bo'ladi?

2. hodisaning ehtimoli. Biz uni hisoblashimiz shart emas, chunki u shartda berilgan. Muammoning shartiga ko'ra, "har ikkala mashinada ham qahva tugashi" ehtimoli 0,12 ga teng. A hodisasi bor edi, B hodisasi bor edi. Va yangi voqea paydo bo'ladimi? Men bolalarga savol beraman - nima? Bu ikkala savdo avtomatida kofe tugab qolgan voqea. Bu holda, ehtimollik nazariyasida bu yangi hodisa bo'lib, u A va B ikkita hodisaning kesishishi deb ataladi va shu tarzda belgilanadi.

Keling, ehtimollarni qo'shish formulasidan foydalanamiz. Formula quyidagicha

Biz buni sizga ma'lumotnoma materialida beramiz va yigitlar bu formulani berishlari mumkin. Bu sizga hodisalar yig'indisining ehtimolini topish imkonini beradi. Bizga qarama-qarshi hodisaning ehtimolini so'rashdi, uning ehtimoli formula bo'yicha topiladi.

13-masalada hodisalar ko‘paytmasi tushunchasidan foydalaniladi, uning ehtimolini topish formulasi Ilovada keltirilgan.

3. Daraxtdan foydalanish bo'yicha topshiriqlar variantlari

Muammoning shartiga ko'ra, diagramma tuzish va ko'rsatilgan ehtimolliklarni topish oson.

Talabalar bilan shu turdagi masalalarni yechishda qanday nazariy material yordamida tahlil qildingiz? Siz imkoniyatlar daraxtidan foydalandingizmi yoki bunday muammolarni hal qilish uchun boshqa usullardan foydalandingizmi? Grafiklar tushunchasini berdingizmi? Beshinchi yoki oltinchi sinfda yigitlar shunday muammolarga duch kelishadi, ularni tahlil qilish grafik tushunchasini beradi.

Men sizdan so'ramoqchiman, siz va sizning talabalaringiz ehtimollik masalalarini yechishda imkoniyatlar daraxtidan foydalanishni o'ylab ko'rdingizmi? Gap shundaki, USEda nafaqat bunday vazifalar mavjud, balki biz hozir hal qiladigan murakkab vazifalar paydo bo'ldi.

Keling, siz bilan bunday muammolarni hal qilish metodologiyasini muhokama qilaylik - agar u mening metodologiyamga to'g'ri kelsa, men yigitlarga tushuntirganimdek, men siz bilan ishlash osonroq bo'ladi, agar bo'lmasa, men sizga bu muammoni hal qilishda yordam beraman.

Keling, voqealarni muhokama qilaylik. 17-muammoda qanday hodisalarni aniqlash mumkin?

Samolyotda daraxt qurishda nuqta belgilanadi, bu daraxtning ildizi deb ataladi. Keyinchalik, biz voqealarni ko'rib chiqishni boshlaymizva. Biz segmentni tuzamiz (ehtimollar nazariyasida u filial deb ataladi). Shartga ko'ra, birinchi zavod ushbu markadagi uyali telefonlarning 30 foizini ishlab chiqaradi (nima? Ular ishlab chiqaradigan), shuning uchun hozir men talabalardan birinchi zavodning bunday telefonlarni ishlab chiqarish ehtimoli qanday ekanligini so'rayapman. brend, ular ishlab chiqaradiganlar? Voqea telefonning birinchi zavodda chiqarilishi bo'lganligi sababli, bu hodisaning ehtimoli 30% yoki 0,3 ni tashkil qiladi. Qolgan telefonlar ikkinchi zavodda ishlab chiqariladi - biz ikkinchi segmentni qurmoqdamiz va bu hodisaning ehtimoli 0,7 ga teng.

Talabalarga savol beriladi - birinchi zavod tomonidan qanday turdagi telefon ishlab chiqarilishi mumkin? Kamchilikli yoki nuqsonsiz. Birinchi zavod tomonidan ishlab chiqarilgan telefonda nuqson bo'lish ehtimoli qanday? Shartga ko'ra, 0,01 ga teng deb aytiladi. Savol: Birinchi zavodda ishlab chiqarilgan telefonda nuqson bo'lmasligi ehtimoli qanday? Ushbu hodisa berilgan hodisaga qarama-qarshi bo'lganligi sababli, uning ehtimoli teng.

Telefonning nuqsonli bo'lish ehtimolini topish talab qilinadi. Bu birinchi zavoddan bo'lishi mumkin yoki ikkinchidan bo'lishi mumkin. Keyin biz ehtimollarni qo'shish formulasidan foydalanamiz va biz butun ehtimollik telefonning birinchi zavoddan nuqsonli va telefonning ikkinchi zavoddan nuqsonli bo'lish ehtimoli yig'indisini olamiz. Telefonning nuqsoni borligi va birinchi zavodda ishlab chiqarilganligi ehtimoli ilovada keltirilgan ehtimollar mahsuloti formulasi bilan topiladi.

4. Ehtimollik uchun USE bankining eng qiyin vazifalaridan biri

Keling, masalan, FIPI vazifalar bankidan 320199-sonni tahlil qilaylik. Bu B6 dagi eng qiyin vazifalardan biridir.

Institutga “Tilshunoslik” mutaxassisligi boʻyicha oʻqishga kirish uchun abituriyent Z. Yagona davlat imtihonida uchta fanning har biri – matematika, rus tili va chet tilidan kamida 70 ball toʻplashi kerak. "Tijorat" ixtisosligiga kirish uchun uchta fanning har birida - matematika, rus tili va ijtimoiy fanlardan kamida 70 ball to'plashingiz kerak.

Abituriyent Z.ning matematikadan kamida 70 ball olish ehtimoli 0,6, rus tilidan 0,8, chet tilidan 0,7 va ijtimoiy fanlardan 0,5 ga teng.

Z.ning qayd etilgan ikkita mutaxassislikdan kamida bittasiga kirishi ehtimolini toping.

E’tibor bering, muammo Z. ismli abituriyent bir vaqtning o‘zida tilshunoslikni ham, tijoratni ham o‘qib, ikkita diplom oladimi, deb so‘ramaydi. Bu yerda Z.ning shu ikki mutaxassislikdan kamida bittasiga kirishi - yaʼni kerakli ball toʻplashi ehtimolini topishimiz kerak.

Ikki mutaxassislikdan kamida bittasiga kirish uchun Z. matematika fanidan kamida 70 ball toʻplashi kerak. Va rus tilida. Va shunga qaramay - ijtimoiy fan yoki xorijiy.

Uning uchun matematikadan 70 ball to'plash ehtimoli 0,6 ga teng.

Matematika va rus tilidan ball to'plash ehtimoli teng.

Keling, chet el va ijtimoiy fanlar bilan shug'ullanamiz. Agar abituriyent ijtimoiy fanlar, chet tili yoki ikkala fandan ball to'plagan bo'lsa, variantlar bizga mos keladi. Agar u tilda ham, "jamiyatda" ham ball to'plamagan bo'lsa, variant mos kelmaydi. Bu shuni anglatadiki, ijtimoiy fanlardan yoki chet eldan o'tish ehtimoli kamida 70 ballga teng. Natijada, matematika, rus va ijtimoiy fanlarni yoki chet eldan o'tish ehtimoli teng

Bu javob.

II . Kombinator masalalarni yechish

1. Kombinatsiyalar va faktoriallar soni

Keling, nazariy materialni qisqacha tahlil qilaylik.

Ifodan ! "en-faktorial" deb o'qiladi va 1 dan barcha natural sonlarning ko'paytmasini bildiradin shu jumladan:n ! = 1 2 3 ...n .

Bundan tashqari, matematikada, ta'rifga ko'ra, 0! = 1. Bunday ifoda kamdan-kam uchraydi, lekin baribir ehtimollar nazariyasi masalalarida uchraydi.

Ta'rif

To'liq boshqa narsalarni tanlash kerak bo'lgan narsalar (qalamlar, shirinliklar, nima bo'lishidan qat'iy nazar) bo'lsin. Keyin bunday tanlov uchun variantlar soni chaqiriladikombinatsiyalar soni elementlardan. Bu raqam maxsus formula bo'yicha ko'rsatiladi va hisoblanadi.

Belgilanish

Bu formula bizga nima beradi? Darhaqiqat, busiz deyarli hech qanday jiddiy vazifani hal qilib bo'lmaydi.

Yaxshiroq tushunish uchun keling, bir nechta oddiy kombinatoryal muammolarni tahlil qilaylik:

Vazifa

Barmenda 6 xil yashil choy bor. Choy marosimi uchun yashil choyning aynan 3 xil navi talab qilinadi. Bufetchi buyurtmani necha usulda bajarishi mumkin?

Yechim

Bu erda hamma narsa oddiy: born = Tanlash uchun 6 ta navk = 3 xil. Kombinatsiyalar sonini quyidagi formula bo'yicha topish mumkin:

Javob

Formulada almashtiring. Biz barcha vazifalarni hal qila olmaymiz, lekin biz odatiy vazifalarni yozdik, ular sizning e'tiboringizga taqdim etiladi.

Vazifa

20 nafar talabadan iborat guruhda konferentsiyada nutq so'zlash uchun 2 nafar vakil tanlanishi kerak. Buni necha usulda qilish mumkin?

Yechim

Yana, bizda hamma narsa born = 20 talaba, lekin siz tanlashingiz kerakk = 2 talaba. Kombinatsiyalar sonini toping:

E'tibor bering, turli faktoriallarga kiritilgan omillar qizil rang bilan belgilangan. Ushbu ko'paytirgichlar og'riqsiz kamayishi va shu bilan hisob-kitoblarning umumiy miqdorini sezilarli darajada kamaytirishi mumkin.

Javob

190

Vazifa

Omborga har xil nuqsonli 17 ta server keltirildi, bu oddiy serverlardan 2 barobar arzon. Direktor maktab uchun 14 ta shunday server sotib oldi va tejalgan 200 000 rubl miqdoridagi pulni boshqa jihozlar sotib olishga sarfladi. Direktor nuqsonli serverlarni necha xil usulda tanlashi mumkin?

Yechim

Vazifada juda ko'p qo'shimcha ma'lumotlar mavjud, ular chalkash bo'lishi mumkin. Eng muhim faktlar: hamma narsan = 17 server va direktor kerakk = 14 server. Biz kombinatsiyalar sonini hisoblaymiz:

Qizil rang yana kamaytirilayotgan multiplikatorlarni bildiradi. Hammasi bo'lib 680 ta kombinatsiya paydo bo'ldi. Umuman olganda, rejissyor tanlash uchun juda ko'p narsaga ega.

Javob

680

Bu vazifa injiqdir, chunki bu vazifada qo'shimcha ma'lumotlar mavjud. Ular ko'plab talabalarni yo'ldan ozdiradilar. Hammasi bo'lib 17 ta server bor edi va direktor 14 tasini tanlashi kerak edi. Formulani almashtirsak, biz 680 ta kombinatsiyani olamiz.

2. Ko‘paytirish qonuni

Ta'rif

ko'paytirish qonuni kombinatorikada: mustaqil to'plamlardagi birikmalar (yo'llar, birikmalar) soni ko'paytiriladi.

Boshqacha qilib aytganda, bo'lsinA bir harakatni bajarish usullari vaB boshqa harakatni amalga oshirish usullari. Yo'l ham bu harakatlar mustaqil, ya'ni. hech qanday tarzda bog'liq emas. Keyin formula bo'yicha birinchi va ikkinchi amalni bajarish usullari sonini topishingiz mumkin:C = A · B .

Vazifa

Petyada har biri 1 rubldan 4 ta tanga va har biri 10 rubldan 2 tanga bor. Petya qaramagan holda cho‘ntagidan 1 so‘m nominaldagi 1 tanga va yana 10 so‘mlik 1 tanga chiqarib, 11 rublga ruchka oldi. U bu tangalarni necha xil usulda tanlashi mumkin?

Yechim

Shunday qilib, birinchi navbatda Petya oladik = 1 tangan = nominal qiymati 1 rubl bo'lgan 4 ta mavjud tanga. Buni amalga oshirish usullari soniC 4 1 = ... = 4.

Keyin Petya yana cho'ntagiga qo'l cho'ntagiga qo'l qo'yib, chiqarib oladik = 1 tangan = Nominal qiymati 10 rubl bo'lgan 2 ta mavjud tanga. Bu erda kombinatsiyalar soniC 2 1 = ... = 2.

Ushbu harakatlar mustaqil bo'lgani uchun, variantlarning umumiy soniC = 4 2 = 8.

Javob

Vazifa

Savatda 8 ta oq va 12 ta qora shar bor. Bu savatdan 2 ta oq va 2 ta qora sharni nechta usulda olish mumkin?

Yechim

Savatdagi jamin = Tanlash uchun 8 ta oq shark = 2 to'p. Buni qilish mumkinC 8 2 = ... = 28 xil usul.

Bundan tashqari, aravada mavjudn = Yana tanlash uchun 12 qora to'pk = 2 to'p. Buni amalga oshirish usullari soniC 12 2 = ... = 66.

Oq to'pni tanlash va qora to'pni tanlash mustaqil hodisa bo'lganligi sababli, kombinatsiyalarning umumiy soni ko'paytirish qonuniga muvofiq hisoblanadi:C = 28 66 = 1848. Ko'rib turganingizdek, bir nechta variant bo'lishi mumkin.

Javob

1848

Ko'paytirish qonuni ikkita yoki undan ortiq oddiylardan tashkil topgan murakkab harakatni qancha usullar bilan bajarish mumkinligini ko'rsatadi - agar ularning barchasi mustaqil bo'lsa.

3. Qo‘shish qonuni

Agar ko'paytirish qonuni bir-biriga bog'liq bo'lmagan "izolyatsiya qilingan" hodisalarda harakat qilsa, qo'shish qonunida buning aksi to'g'ri keladi. U bir vaqtning o'zida hech qachon sodir bo'lmaydigan o'zaro eksklyuziv voqealar bilan shug'ullanadi.

Masalan, "Piter cho'ntagidan 1 tanga chiqardi" va "Piter cho'ntagidan bitta tanga chiqarmadi" - bu bir-birini istisno qiladigan hodisalar, chunki bitta tangani chiqarmasdan turib bo'lmaydi.

Xuddi shunday, "Tasodifiy tanlangan to'p - oq" va "Tasodifiy tanlangan to'p - qora" hodisalari ham bir-birini istisno qiladi.

Ta'rif

Qo'shimcha qonun kombinatorikada: agar ikkita o'zaro eksklyuziv harakatni bajarish mumkin bo'lsaA vaB yo'llar, o'z navbatida, bu hodisalar birlashtirilishi mumkin. Bu amalga oshirilishi mumkin bo'lgan yangi hodisani yaratadiX = A + B yo'llari.

Boshqacha qilib aytganda, o'zaro eksklyuziv harakatlar (hodisalar, variantlar) birlashtirganda, ularning kombinatsiyalari soni qo'shiladi.

Aytishimiz mumkinki, qo'shilish qonuni kombinatorikada mantiqiy "YOKI" bo'lib, o'zaro eksklyuziv variantlardan har qandayi bizga mos keladi. Aksincha, ko'paytirish qonuni mantiqiy "VA" bo'lib, unda biz birinchi va ikkinchi harakatlarning bir vaqtning o'zida bajarilishidan manfaatdormiz.

Vazifa

Savatda 9 ta qora va 7 ta qizil shar bor. Bola bir xil rangdagi 2 ta to'pni chiqaradi. U buni necha usulda qila oladi?

Yechim

Agar to'plar bir xil rangda bo'lsa, unda bir nechta variant bor: ularning ikkalasi ham qora yoki qizil. Shubhasiz, bu variantlar bir-birini istisno qiladi.

Birinchi holda, bola tanlashi kerakk = 2 ta qora sharn = 9 mavjud. Buni amalga oshirish usullari soniC 9 2 = ... = 36.

Xuddi shunday, ikkinchi holatda biz tanlaymizk = 2 ta qizil sharn = 7 mumkin. Yo'llar soniC 7 2 = ... = 21.

Yo'llarning umumiy sonini topish qoladi. Qora va qizil sharli variantlar bir-birini istisno qilganligi sababli, qo'shish qonuniga ko'ra bizda:X = 36 + 21 = 57.

Javob57

Vazifa

Do‘konda 15 dona atirgul va 18 dona lola sotiladi. 9-sinf o'quvchisi sinfdoshi uchun 3 ta gul sotib olmoqchi va barcha gullar bir xil bo'lishi kerak. U bunday guldastani necha usulda yasashi mumkin?

Yechim

Shartga ko'ra, barcha gullar bir xil bo'lishi kerak. Shunday qilib, biz 3 ta atirgul yoki 3 ta lola sotib olamiz. Nima bo'lganda ham,k = 3.

Atirgullar bo'lsa, siz tanlashingiz kerak bo'ladin = 15 ta variant, shuning uchun kombinatsiyalar soniC 15 3 = ... = 455. Lolalar uchunn = 18 va kombinatsiyalar soni -C 18 3 = ... = 816.

Atirgullar va lolalar bir-birini istisno qiladigan variantlar bo'lgani uchun biz qo'shish qonuniga muvofiq ishlaymiz. Variantlarning umumiy sonini olingX = 455 + 816 = 1271. Bu javob.

Javob

1271

Qo'shimcha shartlar va cheklovlar

Ko'pincha muammoning matnida bizni qiziqtiradigan kombinatsiyalarga sezilarli cheklovlar qo'yadigan qo'shimcha shartlar mavjud. Ikki jumlani solishtiring:

Turli rangdagi 5 ta qalam to'plami mavjud. 3 zarbli tutqichlarni nechta usulda tanlash mumkin?

Turli rangdagi 5 ta qalam to'plami mavjud. Agar ulardan biri qizil bo'lishi kerak bo'lsa, 3 zarbli tutqichni necha xil usulda tanlash mumkin?

Birinchi holda, biz o'zimizga yoqadigan har qanday rangni olish huquqiga egamiz - qo'shimcha cheklovlar yo'q. Ikkinchi holda, hamma narsa murakkabroq, chunki biz qizil tutqichni tanlashimiz kerak (u asl to'plamda deb taxmin qilinadi).

Shubhasiz, har qanday cheklovlar variantlarning umumiy sonini keskin kamaytiradi. Xo'sh, bu holatda kombinatsiyalar sonini qanday topish mumkin? Faqat quyidagi qoidani yodda tuting:

To'plam bo'lsinn tanlash uchun elementlark elementlar. Raqamga qo'shimcha cheklovlar kiritilishi bilann vak bir xil miqdorda kamayadi.

Boshqacha qilib aytganda, agar siz 5 ta qalamning 3 tasini tanlashingiz kerak bo'lsa va ulardan biri qizil rangda bo'lishi kerak bo'lsa, siz ulardan birini tanlashingiz kerak bo'ladi.n = 5 − 1 = 4 element tomonidank = 3 − 1 = 2 ta element. Shunday qilib, o'rnigaC 5 3 hisobga olinishi kerakC 4 2 .

Keling, ushbu qoida aniq misollarda qanday ishlashini ko'rib chiqaylik:

Vazifa

20 nafar talaba, shu jumladan 2 nafar a’lochi talabalar guruhida konferentsiyada ishtirok etish uchun 4 kishini tanlash kerak. Agar a'lochi talabalar konferentsiyaga borishlari kerak bo'lsa, bu to'rttasini necha xil usulda tanlash mumkin?

Yechim

Shunday qilib, bir guruh born = 20 talaba. Lekin siz faqat tanlashingiz kerakk = ulardan 4 tasi. Agar qo'shimcha cheklovlar bo'lmasa, u holda variantlar soni kombinatsiyalar soniga teng ediC 20 4 .

Biroq bizga qo‘shimcha shart qo‘yildi: 2 nafar a’lochi o‘quvchi shu to‘rttadan bo‘lishi kerak. Shunday qilib, yuqoridagi qoidaga ko'ra, biz raqamlarni kamaytiramizn vak tomonidan 2. Bizda:

Javob

153

Vazifa

Petyaning cho‘ntagida 8 ta tanga bor, shundan 6 tasi rubl, 2 tasi 10 rubllik tanga. Petya uchta tangani boshqa cho'ntagiga soladi. Agar ikkala 10 rubllik tanga ham boshqa cho'ntagiga tushganligi ma'lum bo'lsa, Petya buni necha usul bilan amalga oshirishi mumkin?

Yechim

Demak born = 8 tanga. Petya siljiydik = 3 tanga, ulardan 2 tasi o'n rubl. Ma'lum bo'lishicha, o'tkaziladigan 3 ta tangadan 2 tasi allaqachon o'rnatilgan, shuning uchun raqamlarn vak 2 ga kamaytirilishi kerak. Bizda:

Javob

III . Kombinatorika va ehtimollar nazariyasi formulalaridan foydalanish bo'yicha qo'shma masalalarni yechish

Vazifa

Petyaning cho‘ntagida 4 rubl va 2 2 rubllik tanga bor edi. Petya qaramasdan, boshqa cho'ntagiga uchta tanga soldi. Ikki rubllik tangalarning bir xil cho‘ntakda bo‘lish ehtimolini toping.

Yechim

Aytaylik, ikkala ikki rubllik tangalar haqiqatan ham bir xil cho'ntagiga tushib qolgan bo'lsa, unda ikkita variant bo'lishi mumkin: yoki Petya ularni umuman siljitmadi yoki ikkalasini ham bir vaqtning o'zida siljitdi.

Birinchi holda, ikki rubllik tangalar o'tkazilmaganda, 3 rubllik tanga o'tkazilishi kerak edi. Jami 4 ta shunday tanga borligi sababli, buni amalga oshirish usullari soni 4 dan 3 gacha bo'lgan kombinatsiyalar soniga teng:C 4 3 .

Ikkinchi holda, ikkala ikki rubllik tanga o'tkazilganda, yana bir rubllik tanga o'tkazilishi kerak bo'ladi. U 4 ta mavjudidan tanlanishi kerak va buni amalga oshirish usullari soni 4 dan 1 gacha bo'lgan kombinatsiyalar soniga teng:C 4 1 .

Endi tangalarni almashtirish usullarining umumiy sonini topamiz. Hammasi bo'lib 4 + 2 = 6 ta tanga mavjud va ulardan faqat 3 tasini tanlash kerak bo'lganligi sababli, variantlarning umumiy soni 6 dan 3 gacha bo'lgan kombinatsiyalar soniga teng:C 6 3 .

Ehtimollikni topish qoladi:

Javob

0,4

Interfaol doskada ko‘rsating. Muammoning shartiga ko'ra, Petya qaramasdan uchta tangani bitta cho'ntagiga solib qo'yganiga e'tibor bering. Bu savolga javob berib, ikkita ikki rubllik tanga haqiqatan ham bitta cho'ntakda qolgan deb taxmin qilishimiz mumkin. Ehtimollarni qo'shish formulasiga qarang. Formulani yana ko'rsating.

Vazifa

Petyaning cho‘ntagida 5 rubllik 2 tanga va 10 rubllik 4 tanga bor edi. Petya qaramasdan, boshqa cho'ntagiga 3 tanga soldi. Besh rubllik tangalar hozir turli cho'ntaklarda bo'lish ehtimolini toping.

Yechim

Besh rubllik tangalar turli xil cho'ntaklarda yotishi uchun siz ulardan faqat bittasini siljitishingiz kerak. Buning usullari soni 2 dan 1 gacha bo'lgan kombinatsiyalar soniga teng:C 2 1 .

Petya jami 3 ta tanga o'tkazganligi sababli, u har biri 10 rubldan yana 2 ta tanga o'tkazishi kerak bo'ladi. Petyada 4 ta shunday tanga bor, shuning uchun yo'llar soni 4 dan 2 gacha bo'lgan kombinatsiyalar soniga teng:C 4 2 .

Mavjud bo'lgan 6 tangadan 3 tasini almashtirish uchun qancha variant borligini topish qoladi. Bu raqam, oldingi muammoda bo'lgani kabi, 6 dan 3 gacha bo'lgan kombinatsiyalar soniga teng:C 6 3 .

Ehtimolni topish:

Oxirgi bosqichda biz ikki rubllik tangalarni tanlash usullarini va o'n rubllik tangalarni tanlash usullarini ko'paytirdik, chunki bu hodisalar mustaqildir.

Javob

0,6

Shunday qilib, tangalar bilan bog'liq muammolar o'z ehtimollik formulasiga ega. Bu shunchalik sodda va muhimki, uni teorema sifatida shakllantirish mumkin.

Teorema

Tanga tashlansinn bir marta. Keyin boshlarning to'liq tushishi ehtimolik vaqtni quyidagi formula yordamida topish mumkin:

QayerdaC n k - kombinatsiyalar sonin tomonidan elementlark , bu formula bo'yicha hisoblanadi:

Shunday qilib, tangalar bilan muammoni hal qilish uchun ikkita raqam kerak: otish soni va boshlar soni. Ko'pincha bu raqamlar muammoning matnida to'g'ridan-to'g'ri beriladi. Bundan tashqari, aniq nimani hisoblash muhim emas: dumlar yoki burgutlar. Javob bir xil bo'ladi.

Bir qarashda teorema juda og'ir ko'rinadi. Ammo bu biroz mashq qilishga arziydi - va siz endi yuqorida tavsiflangan standart algoritmga qaytishni xohlamaysiz.

Tanga to'rt marta tashlanadi. Boshlarning uch marta yuqoriga chiqishi ehtimolini toping.

Yechim

Muammoning shartiga ko'ra, otishlarning umumiy sonin = 4. Kerakli bosh soni:k = 3. O'rnini bosishn vak formulaga:

Xuddi shu muvaffaqiyat bilan siz quyruq sonini hisoblashingiz mumkin:k = 4 - 3 = 1. Javob bir xil bo'ladi.

Javob

0,25

Vazifa [ Ish daftari“Matematikada 2012-yildan foydalaning. B6 vazifalari»]

Tanga uch marta tashlanadi. Uning hech qachon dumlari chiqmasligi ehtimolini toping.

Yechim

Raqamlarni yana yozingn vak . Tanga 3 marta tashlanganligi sababli,n = 3. Va quyruq bo'lmasligi kerakligi sababli,k = 0. Raqamlarni almashtirish qoladin vak formulaga:

Eslatib o'taman, 0! ta'rifi bo'yicha = 1. Shunung uchunC 3 0 = 1.

Javob

0,125

Vazifa [Matematikadan sinov imtihoni 2012. Irkutsk]

Tasodifiy tajribada simmetrik tanga 4 marta tashlanadi. Boshlarning quyruqlarga qaraganda ko'proq paydo bo'lish ehtimolini toping.

Yechim

Dumlardan ko'ra boshlar ko'proq bo'lishi uchun ular 3 marta (keyin 1 ta quyruq bo'ladi) yoki 4 marta (keyin dumlar umuman bo'lmaydi) tushishi kerak. Keling, ushbu hodisalarning har birining ehtimolini topaylik.

Maylip 1 - boshlarning 3 marta tushishi ehtimoli. Keyinn = 4, k = 3. Bizda:

Endi topamizp 2 - boshlarning 4 marta tushishi ehtimoli. Ushbu holatdan = 4, k = 4. Bizda:

Javobni olish uchun ehtimolliklarni qo'shish kerakp 1 vap 2 . Esingizda bo'lsin: siz faqat bir-birini istisno qiladigan voqealar uchun ehtimollarni qo'shishingiz mumkin. Bizda ... bor:

p = p 1 + p 2 = 0,25 + 0,0625 = 0,3125

Javob

0,3125

Yigitlar bilan Yagona davlat imtihoniga va GIAga tayyorgarlik ko'rishda vaqtingizni tejash uchun biz yigitlar bilan tanlashingiz va hal qilishingiz mumkin bo'lgan ko'plab vazifalarning echimlarini taqdim etdik.

GIA materiallari, turli yillardagi yagona davlat imtihonlari, darsliklar va saytlar.

IV. Malumot materiali

Bugungi kunga qadar matematika bo'yicha USE muammolarining ochiq bankida (mathege.ru) taqdim etilgan bo'lib, uning echimi ehtimollikning klassik ta'rifi bo'lgan faqat bitta formulaga asoslangan.

Formulani tushunishning eng oson yo'li misollardir.
1-misol Savatda 9 ta qizil va 3 ta ko'k to'p bor. To'plar faqat rangi bilan farqlanadi. Tasodifiy (qaramasdan) biz ulardan birini olamiz. Shu tarzda tanlangan to'pning ko'k bo'lish ehtimoli qanday?

Izoh. Ehtimollar nazariyasi masalalarida biror narsa sodir bo'ladi (bu holda, bizning to'pni tortib olish harakatimiz) boshqa natijaga olib kelishi mumkin - natija. Shuni ta'kidlash kerakki, natijani turli yo'llar bilan ko'rish mumkin. "Biz to'p chiqarib oldik" ham natija. "Biz ko'k to'pni chiqarib oldik" - natija. "Biz ushbu aniq to'pni barcha mumkin bo'lgan to'plardan tortib oldik" - natijaning eng kam umumlashtirilgan ko'rinishi elementar natija deb ataladi. Bu ehtimollikni hisoblash uchun formulada nazarda tutilgan elementar natijalardir.

Yechim. Endi biz ko'k to'pni tanlash ehtimolini hisoblaymiz.
A hodisasi: "tanlangan to'p ko'k bo'lib chiqdi"
Umumiy soni barcha mumkin bo'lgan natijalar: 9+3=12 (biz chizishimiz mumkin bo'lgan barcha to'plar soni)
A hodisasi uchun qulay natijalar soni: 3 (A hodisasi sodir bo'lgan bunday natijalar soni - ya'ni ko'k sharlar soni)
P(A)=3/12=1/4=0,25
Javob: 0,25

Xuddi shu muammo uchun qizil to'pni tanlash ehtimolini hisoblaylik.
Mumkin bo'lgan natijalarning umumiy soni bir xil bo'lib qoladi, 12. Qulay natijalar soni: 9. Istalgan ehtimollik: 9/12=3/4=0,75

Har qanday hodisaning ehtimoli har doim 0 dan 1 gacha.
Ba'zan kundalik nutqda (lekin ehtimollik nazariyasida emas!) Hodisalarning ehtimoli foiz sifatida baholanadi. Matematik va so'zlashuv baholash o'rtasidagi o'tish 100% ga ko'paytirish (yoki bo'lish) orqali amalga oshiriladi.
Shunday qilib,
Bunday holda, yuzaga kelishi mumkin bo'lmagan hodisalar uchun ehtimollik nolga teng - ehtimolsiz. Misol uchun, bizning misolimizda, bu savatdan yashil to'pni chizish ehtimoli bo'ladi. (Agar formula bo'yicha hisoblansa, qulay natijalar soni 0, P(A)=0/12=0)
1-ehtimolda variantlarsiz mutlaqo sodir bo'ladigan voqealar mavjud. Masalan, "tanlangan to'p qizil yoki ko'k bo'lishi" ehtimoli bizning muammomiz uchun. (Qulay natijalar soni: 12, P(A)=12/12=1)

Biz ehtimollik ta'rifini ko'rsatadigan klassik misolni ko'rib chiqdik. Ehtimollar nazariyasidagi barcha o'xshash FOYDALANISH masalalari ushbu formula yordamida hal qilinadi.
Qizil va ko'k sharlar o'rniga olma va nok, o'g'il va qizlar, o'rganilgan va o'rganilmagan chiptalar, ma'lum bir mavzu bo'yicha savolni o'z ichiga olgan va unda bo'lmagan chiptalar (prototiplar , ), nuqsonli va yuqori sifatli sumkalar yoki bog 'nasoslari (prototiplar) bo'lishi mumkin. , ) - printsip bir xil bo'lib qoladi.

Ular USE ehtimollik nazariyasi muammosini shakllantirishda bir oz farq qiladi, bu erda siz ma'lum bir kunda sodir bo'lgan voqea ehtimolini hisoblashingiz kerak. ( , ) Oldingi vazifalarda bo'lgani kabi, elementar natija nima ekanligini aniqlashingiz kerak va keyin xuddi shu formulani qo'llashingiz kerak.

2-misol Konferensiya uch kun davom etadi. Birinchi va ikkinchi kunlarda har biri 15 tadan, uchinchi kuni 20. Maʼruzalarning tartibi lotereya orqali aniqlansa, professor M.ning maʼruzasi uchinchi kunga tushishi ehtimolligi qancha?

Bu erda elementar natija nima? - Professor ma'ruzasini nutq uchun barcha mumkin bo'lgan seriya raqamlaridan biriga belgilash. O'yinda 15+15+20=50 kishi ishtirok etadi. Shunday qilib, professor M.ning hisoboti 50 ta raqamdan birini olishi mumkin. Bu shuni anglatadiki, faqat 50 ta elementar natijalar mavjud.
Qanday ijobiy natijalar bor? - Professor uchinchi kuni nutq so'zlashi ma'lum bo'lganlar. Ya'ni oxirgi 20 ta raqam.
Formulaga ko'ra, ehtimollik P(A)= 20/50=2/5=4/10=0,4
Javob: 0,4

Bu erda qur'a tashlash - bu odamlar va buyurtma qilingan joylar o'rtasida tasodifiy yozishmalarni o'rnatish. 2-misolda, ma'lum bir shaxsning qaysi joyni egallashi mumkinligi nuqtai nazaridan moslik ko'rib chiqildi. Xuddi shu vaziyatga boshqa tomondan yondashishingiz mumkin: odamlardan qaysi biri ma'lum bir joyga qanday ehtimollik bilan etib borishi mumkin (prototiplar , , , ):

3-misol Qura tashlashda 5 nafar nemis, 8 nafar frantsuz va 3 nafar estoniyalik ishtirok etmoqda. Birinchi (/ikkinchi/ettinchi/oxirgi - bu muhim emas) frantsuz bo'lish ehtimoli qanday?

Elementar natijalar soni - bu ma'lum bir joyga qur'a bo'yicha etib borishi mumkin bo'lgan barcha odamlar soni. 5+8+3=16 kishi.
Qulay natijalar - frantsuzlar. 8 kishi.
Kerakli ehtimollik: 8/16=1/2=0,5
Javob: 0,5

Prototip biroz boshqacha. Tangalar () va zarlar () haqida biroz ijodiy bo'lgan vazifalar mavjud. Ushbu muammolarning echimlarini prototip sahifalarida topish mumkin.

Mana, tanga otish yoki zar otishning ba'zi misollari.

4-misol Biz tanga tashlaganimizda, dumlar paydo bo'lish ehtimoli qanday?
Natijalar 2 - boshlar yoki quyruqlar. (tanga hech qachon chetiga tushmaydi, deb ishoniladi) Qulay natija - dumlar, 1.
Ehtimollik 1/2=0,5
Javob: 0,5.

5-misol Agar tangani ikki marta aylantirsak nima bo'ladi? Ikkala marta ham yuqoriga chiqishi ehtimoli qanday?
Asosiysi, ikkita tanga tashlashda qaysi elementar natijalarni hisobga olishimizni aniqlash. Ikki tanga uloqtirgandan so'ng, quyidagi natijalardan biri paydo bo'lishi mumkin:
1) PP - ikkala marta ham dumlari chiqdi
2) PO - birinchi marta quyruqlar, ikkinchi marta boshlar
3) OP - birinchi marta boshlar, ikkinchi marta dumlar
4) OO - ikkala marta ham bosh ko'taradi
Boshqa variantlar yo'q. Bu shuni anglatadiki, 4 ta elementar natija mavjud.Faqat birinchisi ijobiy, 1.
Ehtimollik: 1/4=0,25
Javob: 0,25

Ikkita tanga otilishi dumga tushish ehtimoli qanday?
Elementar natijalar soni bir xil, 4. Qulay natijalar ikkinchi va uchinchi, 2.
Bitta dumini olish ehtimoli: 2/4=0,5

Bunday muammolarda boshqa formula yordam berishi mumkin.
Agar tangani bir marta otishda bizda 2 ta natija bo‘lishi mumkin bo‘lsa, ikki marta otish uchun 2 2=2 2 =4 (5-misoldagi kabi), uchta otish uchun 2 2 2=2 3 =8, to‘rtta otish uchun natija bo‘ladi. : 2·2·2·2=2 4 =16, … mumkin boʻlgan natijalarning N ta otish uchun 2·2·...·2=2 N boʻladi.

Shunday qilib, siz 5 ta tanga otishdan 5 ta dum olish ehtimolini topishingiz mumkin.
Elementar natijalarning umumiy soni: 2 5 =32.
Qulay natijalar: 1. (RRRRRR - barcha 5 marta quyruq)
Ehtimollik: 1/32=0,03125

Xuddi shu narsa zar uchun ham amal qiladi. Bir otishda 6 ta natija bor.Demak, ikki otish uchun: 6 6=36, uchta otish uchun 6 6 6=216 va hokazo.

6-misol Biz zar tashlaymiz. Juft sonni olish ehtimoli qanday?

Jami natijalar: 6, yuzlar soniga ko'ra.
Qulay: 3 ta natija. (2, 4, 6)
Ehtimollik: 3/6=0,5

7-misol Ikki zar tashlang. Hammasi 10 ta aylanish ehtimoli qanday? (yuzdan birgacha)

Bitta o'lim uchun 6 ta mumkin bo'lgan natijalar mavjud. Demak, ikkita uchun, yuqoridagi qoidaga ko'ra, 6·6=36.
Jami 10 taning yiqilib tushishi uchun qanday natijalar qulay bo'ladi?
10 ni 1 dan 6 gacha bo'lgan ikkita son yig'indisiga ajratish kerak. Buni ikki usulda bajarish mumkin: 10=6+4 va 10=5+5. Shunday qilib, kublar uchun variantlar mumkin:
(birinchida 6, ikkinchisida 4)
(Birinchida 4, ikkinchisida 6)
(birinchida 5, ikkinchisida 5)
Hammasi bo'lib, 3 ta variant. Kerakli ehtimollik: 3/36=1/12=0,08
Javob: 0,08

B6 muammolarining boshqa turlari quyidagi "Qanday hal qilish kerak" maqolalaridan birida muhokama qilinadi.

Hodisa ehtimoli $A$ - bu $A$ uchun qulay natijalar sonining barcha teng darajada mumkin bo'lgan natijalar soniga nisbati.

$P(A)=(m)/(n)$, bu yerda $n$ mumkin boʻlgan natijalarning umumiy soni va $m$ — $A$ ni yoqlaydigan natijalar soni.

Hodisa ehtimoli $$ segmentidagi raqamdir

Taksi kompaniyasida 50 dollarlik mashinalar mavjud. Ularning 35 dollari qora, qolganlari sariq. Tasodifiy chaqiruvda sariq mashina kelishi ehtimolini toping.

Sariq mashinalar sonini toping:

Hammasi bo'lib 50 dollarlik mashina bor, ya'ni qo'ng'iroqqa elliktadan bittasi keladi. Sariq mashinalar $15$ ni tashkil qiladi, shuning uchun sariq mashinaning kelish ehtimoli $(15)/(50)=(3)/(10)=0,3$ ni tashkil qiladi.

Javob: $0,3$

Qarama-qarshi hodisalar

Ikki hodisa qarama-qarshi deb ataladi, agar ma'lum bir sinovda ular bir-biriga mos kelmasa va ulardan biri majburiy ravishda sodir bo'lsa. Qarama-qarshi hodisalarning ehtimollari yig'indisi 1 ga teng. $A$ hodisasiga qarama-qarshi hodisa $((A))↖(-)$ deb yoziladi.

$P(A)+P((A))↖(-)=1$

Mustaqil hodisalar

Ikkita $A$ va $B$ hodisalari mustaqil deyiladi, agar ularning har birining yuzaga kelish ehtimoli boshqa hodisa sodir boʻlgan yoki sodir boʻlmaganiga bogʻliq boʻlmasa. Aks holda, hodisalar bog'liq deb ataladi.

Ikki mustaqil hodisalar $A$ va $B$ koʻpaytmasi ehtimoli ushbu ehtimolliklarning koʻpaytmasiga teng:

$P(A B)=P(A) P(B)$

Ivan Ivanovich ikki xil lotereya chiptasini sotib oldi. Birinchi lotereya chiptasining yutish ehtimoli 0,15 dollarni tashkil qiladi. Ikkinchi lotereya chiptasining yutish ehtimoli 0,12 dollarni tashkil qiladi. Ivan Ivanovich ikkala qur'ada ham ishtirok etadi. Qur’a bir-biridan mustaqil o‘tkaziladi deb faraz qilib, ikkala durangda ham Ivan Ivanovichning g‘alaba qozonish ehtimolini toping.

Ehtimollik $P(A)$ - birinchi chiptani yutadi.

Ehtimollik $P(B)$ - ikkinchi chiptani yutadi.

$A$ va $B$ hodisalari mustaqil hodisalar. Ya'ni, ikkala hodisaning sodir bo'lish ehtimolini topish uchun ehtimollar ko'paytmasini topish kerak

$P(A B)=P(A) P(B)$

$P=0,15 0,12=0,018$

Javob: $0,018

Mos kelmaydigan hodisalar

Ikkita $A$ va $B$ hodisalari, agar $A$ va $B$ hodisalariga ijobiy natijalar boʻlmasa, mos kelmaydigan deb hisoblanadi. (Bir vaqtning o'zida sodir bo'lmaydigan voqealar)

$A$ va $B$ ikkita mos kelmaydigan hodisalar yig'indisining ehtimoli ushbu hodisalarning ehtimolliklari yig'indisiga teng:

$P(A+B)=P(A)+P(B)$

Algebra imtihonida talaba barcha imtihonlardan bitta savol oladi. Bu mavzu bo'yicha savol bo'lish ehtimoli " Kvadrat tenglamalar", $0,3$ ga teng. Bu Irratsional tenglamalar savoli bo'lish ehtimoli $0,18$. Bir vaqtning o'zida bu ikki mavzuga oid savollar yo'q. Talaba imtihonda shu ikki mavzudan biriga savol berish ehtimolini toping.

Ushbu hodisalar nomuvofiq deb ataladi, chunki talaba YO "Kadrikulyar tenglamalar" mavzusida yoki "Irratsional tenglamalar" mavzusida savol oladi. Mavzularni bir vaqtning o'zida ushlab bo'lmaydi. $A$ va $B$ ikkita mos kelmaydigan hodisalar yig'indisining ehtimoli ushbu hodisalarning ehtimolliklari yig'indisiga teng:

$P(A+B)=P(A)+P(B)$

$P \u003d 0,3 + 0,18 \u003d 0,48 $

Javob: $0,48

Qo'shma tadbirlar

Ikki hodisa qo'shma hodisa deyiladi, agar ulardan birining sodir bo'lishi bir xil sud jarayonida ikkinchisining sodir bo'lishini istisno qilmasa. Aks holda, hodisalar mos kelmaydigan deb ataladi.

$A$ va $B$ ikkita qoʻshma hodisalar yigʻindisining ehtimoli ushbu hodisalarning ehtimolliklari yigʻindisidan ularning hosilasi ehtimolini ayirib tashlagan holda teng:

$P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A B)$

Kinoteatrning qabulxonasida ikkita bir xil qahva mashinasi bor. Mashinada kun oxirigacha qahva tugashi ehtimoli $0,6$ ni tashkil qiladi. Ikkala mashinada ham kofe tugashi ehtimoli 0,32 dollarni tashkil qiladi. Kun oxiriga qadar savdo avtomatlaridan kamida bittasida kofe tugashi ehtimolini toping.

Keling, hodisalarni belgilaymiz, keling:

$A$ = qahva birinchi mashinada tugaydi,

$B$ = kofe ikkinchi mashinada tugaydi.

$A B =$ ikkala avtomatda kofe tugaydi,

$A + B =$ qahva kamida bitta avtomatda tugaydi.

Konventsiyaga ko'ra, $ P (A) = P (B) = 0,6; P(A B) = $0,32.

$A$ va $B$ hodisalari qoʻshma boʻlib, ikkita qoʻshma hodisa yigʻindisining ehtimoli shu hodisalarning ehtimolliklari yigʻindisiga teng boʻlib, ularning hosilasi ehtimoliga kamayadi:

$P(A + B) = P(A) + P(B) - P(A B) = 0,6 + 0,6 - 0,32 = 0,88$