O'rnini bosish a= 28, b= 38, m= 32, s= 4, olamiz

R(28< X < 38)= F(1,5) F(1)

Funktsiya qiymatlari jadvaliga ko'ra F( X) F(1,5) = 0,4332, F(1) = 0,3413 ni topamiz.

Shunday qilib, kerakli ehtimollik:

P(28

Vazifalar

6.1. Tasodifiy qiymat X(-3;5) oraliqda teng taqsimlangan. Toping:

a) tarqalish zichligi f(x);

b) taqsimlash funktsiyalari F(x);

v) sonli xarakteristikalar;

d) ehtimollik R(4<X<6).

6.2. Tasodifiy qiymat X segment bo'ylab teng taqsimlangan. Toping:

a) tarqalish zichligi f(x);

b) taqsimlash funksiyasi F(x);

v) sonli xarakteristikalar;

d) ehtimollik R(3≤X≤6).

6.3. Magistral yo'lda avtomatik svetofor o'rnatilgan bo'lib, unda yashil chiroq 2 daqiqa, sariq 3 soniya va qizil 30 soniya yonadi va hokazo. Mashina tasodifiy vaqtda katta yo'lda ketmoqda. Mashinaning svetofordan to'xtamasdan o'tish ehtimolini toping.

6.4. Metro poyezdlari muntazam ravishda 2 daqiqalik interval bilan harakatlanadi. Yo'lovchi platformaga tasodifiy vaqtda kiradi. Yo‘lovchining poyezdni 50 soniyadan ko‘proq kutish ehtimoli qanday? Tasodifiy miqdorning matematik kutilmasini toping X- poezdni kutish vaqti.

6.5. Taqsimot funksiyasi bilan berilgan eksponensial taqsimotning dispersiyasi va standart og‘ishini toping:

6.6. Uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchi X ehtimollik taqsimot zichligi bilan berilgan:

a) Ko'rib chiqilayotgan tasodifiy miqdorning taqsimlanish qonunini ayting.

b) taqsimot funksiyasini toping F(x) va tasodifiy miqdorning sonli xarakteristikalari X.

6.7. Tasodifiy qiymat X ehtimollik taqsimot zichligi bilan berilgan eksponensial qonunga muvofiq taqsimlanadi:

X(2,5;5) oraliqdan qiymat oladi.

6.8. Uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchi X taqsimot funktsiyasi tomonidan berilgan eksponensial qonun bo'yicha taqsimlanadi:

Sinov natijasida yuzaga kelish ehtimolini toping X qiymatini intervaldan oladi.

6.9. Oddiy taqsimlangan tasodifiy miqdorning matematik kutilishi va standart og‘ishi mos ravishda 8 va 2 ga teng.Topish:

a) zichlik tarqatish f(x);

b) test natijasida yuzaga kelish ehtimoli X(10;14) oraliqdan qiymat oladi.

6.10. Tasodifiy qiymat X odatda o'rtacha 3,5 va dispersiya 0,04 bilan taqsimlanadi. Toping:

a) tarqalish zichligi f(x);

b) test natijasida yuzaga kelish ehtimoli X qiymatini intervaldan oladi.

6.11. Tasodifiy qiymat X bilan normal taqsimlanadi M(X) = 0 va D(X)= 1. Hodisalarning qaysi biri: | X|≤0,6 yoki | X|≥0,6 yuqori ehtimolga ega?

6.12. Tasodifiy qiymat X bilan normal taqsimlanadi M(X) = 0 va D(X)= 1. Bir testda qaysi oraliqdan (-0,5; -0,1) yoki (1; 2) katta ehtimollik bilan qiymat oladi?

6.13. Aksiya boshiga joriy narx normal taqsimot yordamida modellashtirilishi mumkin M(X)= 10 kun birliklar va s( X) = 0,3 den. birliklar Toping:

a) aksiyaning joriy narxi 9,8 den dan bo'lishi ehtimoli. birliklar 10,4 den gacha. birliklar;

b) "uch sigma qoidasi" dan foydalanib, aksiyaning joriy narxi bo'ladigan chegaralarni toping.

6.14. Moddaning tortilishi tizimli xatolarsiz amalga oshiriladi. Tasodifiy tortish xatolar standart og'ish s= 5r bo'lgan normal qonunga bo'ysunadi. To'rtta mustaqil tajribada uchta tortishda xatolik mutlaq qiymatda 3 g dan oshmasligi ehtimolini toping.

6.15. Tasodifiy qiymat X bilan normal taqsimlanadi M(X)= 12.6. Tasodifiy o'zgaruvchining (11,4; 13,8) oralig'iga tushish ehtimoli 0,6826 ga teng. Standart og'ish s ni toping.

6.16. Tasodifiy qiymat X bilan normal taqsimlanadi M(X) = 12 va D(X) = 36. 0,9973 ehtimollik bilan test natijasida tasodifiy miqdor tushadigan intervalni toping. X.

6.17. Avtomatik mashina tomonidan ishlab chiqarilgan qism, agar og'ish bo'lsa, nuqsonli hisoblanadi X nominal qiymatdan uning boshqariladigan parametri modul 2 o'lchov birligidan oshadi. Tasodifiy o'zgaruvchi deb taxmin qilinadi X bilan normal taqsimlanadi M(X) = 0 va s( X) = 0,7. Mashina nuqsonli qismlarning necha foizini beradi?

3.18. Parametr X qismlar odatda nominal qiymatga teng 2 matematik kutish va 0,014 standart og'ish bilan taqsimlanadi. chetlanish ehtimolini toping X nominal qiymatidan modul nominal qiymatining 1% dan oshmasligi kerak.

Javoblar

ichida) M(X)=1, D(X)=16/3, s( X)= 4/ , d)1/8.

ichida) M(X)=4,5, D(X) =2, s ( X)= , d)3/5.

6.3. 40/51.

6.4. 7/12, M(X)=1.

6.5. D(X) = 1/64, s ( X)=1/8

6.6. M(X)=1 , D(X) =2, s ( X)= 1 .

6.7. P(2.5<X<5)=e -1 e -2 ≈0,2325 6.8. R(2≤ X≤5)=0,252.

b) R(10 < X < 14) ≈ 0,1574.

b) R(3,1 ≤ X ≤ 3,7) ≈ 0,8185.

6.11. |x|≥0,6.

6.12. (-0,5; -0,1).

6.13. a) R(9,8 ≤ X ≤ 10,4) ≈ 0,6562 6.14. 0,111.

b) (9.1; 10.9).

6.15. s = 1,2.

6.16. (-6; 30).

6.17. 0,4 %.

Ehtimollar taqsimotining normal qonuni

Mubolag'asiz, uni falsafiy qonun deyish mumkin. Atrofimizdagi dunyoning turli ob'ektlari va jarayonlarini kuzatar ekanmiz, biz ko'pincha biror narsa etarli emasligi va norma mavjudligiga duch kelamiz:


Bu erda asosiy ko'rinish zichlik funktsiyalari normal ehtimollik taqsimoti va sizni ushbu eng qiziqarli darsga xush kelibsiz.

Qanday misollar keltirish mumkin? Ular shunchaki qorong'i. Bu, masalan, odamlarning bo'yi, vazni (va nafaqat), ularning jismoniy kuchi, aqliy qobiliyatlari va boshqalar. "Ommaviy" bor (u yoki bu tarzda) va ikkala yo'nalishda ham og'ishlar mavjud.

Bu jonsiz narsalarning turli xil xususiyatlari (bir xil o'lchamlar, vazn). Bu jarayonlarning tasodifiy davomiyligi, masalan, yuz metrlik poyga vaqti yoki qatronning amberga aylanishi. Fizikadan havo molekulalari esga tushdi: ular orasida sekin ham bor, tez ham bor, lekin ularning aksariyati "standart" tezlikda harakat qiladi.

Keyinchalik, biz markazdan yana bitta standart og'ish bilan chetga chiqamiz va balandlikni hisoblaymiz:

Chizmadagi nuqtalarni belgilash (yashil rang) va biz buning etarli ekanligini ko'ramiz.

Yakuniy bosqichda biz diqqat bilan grafik chizamiz va ayniqsa ehtiyotkorlik bilan aks ettiring qavariqlik / botiqlik! Xo'sh, siz abscissa o'qi ekanligini uzoq vaqt oldin tushungansiz gorizontal asimptota, va buning uchun "ko'tarilish" mutlaqo mumkin emas!

Yechimning elektron dizayni bilan grafikni Excelda qurish oson va men o'zim uchun kutilmaganda ushbu mavzu bo'yicha qisqa video yozib oldim. Lekin birinchi navbatda, normal egri chiziqning shakli va qiymatlariga qarab qanday o'zgarishi haqida gapiraylik.

"a" ni oshirish yoki kamaytirishda (o'zgarmagan "sigma" bilan) grafik o'z shaklini saqlab qoladi va o'ngga / chapga harakat qiladi mos ravishda. Shunday qilib, masalan, funktsiya shaklni olganida va bizning grafik 3 birlik chapga - aynan kelib chiqishiga "harakat qiladi":


Nol matematik kutilgan normal taqsimlangan miqdor mutlaqo tabiiy nom oldi - markazlashtirilgan; uning zichlik funktsiyasi – hatto, va grafik y o'qiga nisbatan simmetrikdir.

"Sigma" o'zgargan taqdirda (doimiy "a" bilan), grafik "o'z joyida qoladi", lekin shakli o'zgaradi. Kattalashganda, chodirlarini cho'zgan sakkizoyoq kabi pastroq va cho'zilib ketadi. Va aksincha, grafikni kamaytirganda torroq va balandroq bo'ladi- "ajablangan sakkizoyoq" chiqadi. Ha, soat pasayish Ikki marta "sigma": oldingi diagramma ikki marta torayadi va cho'ziladi:

Hamma narsa to'liq mos keladi grafiklarni geometrik o'zgartirishlar.

Birlik qiymati "sigma" bilan normal taqsimot deyiladi normallashtirilgan, va agar u ham bo'lsa markazlashtirilgan(bizning ishimiz), keyin bunday taqsimot deyiladi standart. U allaqachon duch kelgan oddiyroq zichlik funktsiyasiga ega mahalliy Laplas teoremasi: . Standart tarqatish amalda keng qo'llanilishini topdi va yaqin orada biz uning maqsadini tushunamiz.

Endi filmni tomosha qilaylik:

Ha, to'g'ri - qandaydir tarzda biz soyada qoldik ehtimollikni taqsimlash funksiyasi. Biz uni eslaymiz ta'rifi:
- tasodifiy o'zgaruvchining barcha haqiqiy qiymatlarni "ortiqcha" cheksizgacha "ishlaydigan" o'zgaruvchidan KIROQ qiymat olishi ehtimoli.

Integral ichida odatda boshqa harf ishlatiladi, shunda yozuv bilan "qoplamalar" bo'lmaydi, chunki bu erda har bir qiymat tayinlanadi. noto'g'ri integral , bu ba'zilariga teng raqam oraliqdan.

Deyarli barcha qiymatlarni aniq hisoblash mumkin emas, lekin biz ko'rganimizdek, zamonaviy hisoblash quvvati bilan bu qiyin emas. Shunday qilib, funktsiya uchun standart taqsimotning tegishli Excel funktsiyasi odatda bitta argumentni o'z ichiga oladi:

=NORMSDIST(z)

Bir, ikkita - va siz tugatdingiz:

Chizma barchaning amalga oshirilishini aniq ko'rsatadi taqsimot funksiyasi xossalari, va bu erda texnik nuanslardan siz e'tibor berishingiz kerak gorizontal asimptotlar va burilish nuqtasi.

Keling, mavzuning asosiy vazifalaridan birini eslaylik, ya'ni qanday topish mumkinligini aniqlaymiz - oddiy tasodifiy o'zgaruvchining ehtimoli. intervaldan qiymat oladi. Geometrik jihatdan bu ehtimollik tengdir hudud mos keladigan qismdagi normal egri va x o'qi o'rtasida:

lekin har safar taxminiy qiymatni maydalang asossizdir va shuning uchun undan foydalanish yanada oqilona "oson" formula:
.

! ham eslaydi , nima

Bu erda siz Excel-dan yana foydalanishingiz mumkin, ammo bir nechta muhim "lekin" mavjud: birinchidan, u har doim ham qo'lda emas, ikkinchidan, "tayyor" qiymatlar, ehtimol, o'qituvchidan savollar tug'diradi. Nega?

Men bu haqda oldin bir necha bor gapirganman: bir vaqtlar (va unchalik uzoq emas) oddiy kalkulyator hashamatli edi va ko'rib chiqilayotgan muammoni hal qilishning "qo'lda" usuli hali ham o'quv adabiyotlarida saqlanib qolgan. Uning mohiyati shundan iborat standartlashtirish"alfa" va "beta" qiymatlari, ya'ni standart taqsimotga yechimni kamaytiradi:

Eslatma : funksiyani umumiy holatdan olish osonchiziqli yordamida almashtirishlar. Keyin va:

va almashtirishdan faqat formulaga amal qiladi ixtiyoriy taqsimot qiymatlaridan standart taqsimotning tegishli qiymatlariga o'tish.

Bu nima uchun kerak? Gap shundaki, qadriyatlar ota-bobolarimiz tomonidan sinchkovlik bilan hisoblab chiqilgan va terver bo'yicha ko'plab kitoblarda mavjud bo'lgan maxsus jadvalda jamlangan. Ammo biz allaqachon ko'rib chiqqan qadriyatlar jadvali yanada keng tarqalgan Laplas integral teoremasi:

Agar bizda Laplas funktsiyasi qiymatlari jadvali mavjud bo'lsa , keyin biz uni hal qilamiz:

Kasr qiymatlari an'anaviy ravishda standart jadvalda bo'lgani kabi 4 kasrgacha yaxlitlanadi. Va nazorat qilish uchun 5-modda tartib.

Shuni eslataman , va chalkashmaslik uchun har doim nazorat ostida bo'ling, sizning ko'zingiz oldida NIMA funktsiyasi jadvali.

Javob foiz sifatida berilishi kerak, shuning uchun hisoblangan ehtimollik 100 ga ko'paytirilishi va natijani mazmunli izoh bilan ta'minlashi kerak:

- 5 dan 70 m gacha parvoz bilan, qobiqlarning taxminan 15,87% tushadi.

Biz o'zimiz mashq qilamiz:

3-misol

Zavodda ishlab chiqarilgan podshipniklarning diametri 1,5 sm kutish va 0,04 sm standart og'ish bilan normal taqsimlangan tasodifiy o'zgaruvchidir.Tasodifiy olingan podshipnikning o'lchami 1,4 dan 1,6 sm gacha bo'lishi ehtimolini toping.

Namuna yechimida va quyida men Laplas funktsiyasidan eng keng tarqalgan variant sifatida foydalanaman. Aytgancha, e'tibor bering, so'zlarga ko'ra, bu erda siz intervalning uchlarini ko'rib chiqishga kiritishingiz mumkin. Biroq, bu tanqidiy emas.

Va bu misolda biz alohida holatni uchratdik - oraliq matematik kutishga nisbatan nosimmetrik bo'lganda. Bunday holatda, u ko'rinishda yozilishi mumkin va Laplas funktsiyasining g'alatiligidan foydalanib, ishchi formulani soddalashtirish mumkin:

Delta parametri chaqiriladi og'ish matematik kutishdan, va qo'shaloq tengsizlik yordamida "qadoqlash" mumkin modul:

tasodifiy o'zgaruvchining qiymatining matematik kutilganidan kamroq og'ish ehtimoli.

Xo'sh, bir qatorga mos keladigan yechim :)
tasodifiy olingan rulmanning diametri 1,5 sm dan 0,1 sm dan ko'p bo'lmagan farq qilish ehtimoli.

Ushbu vazifaning natijasi birlikka yaqin bo'lib chiqdi, lekin men yanada ishonchlilikni xohlayman - aniqrog'i, diametri bo'lgan chegaralarni bilish. deyarli hamma podshipniklar. Buning uchun biron bir mezon bormi? Mavjud! Degan savolga javob beriladi

uch sigma qoidasi

Uning mohiyati shundan iborat amaliy jihatdan ishonchli normal taqsimlangan tasodifiy o'zgaruvchining oraliqdan qiymat olishi haqiqatdir .

Haqiqatan ham, kutilganidan og'ish ehtimoli kamroq:
yoki 99,73%

"Rulmanlar" bo'yicha - bu diametri 1,38 dan 1,62 sm gacha bo'lgan 9973 dona va faqat 27 ta "substandart" nusxa.

Amaliy tadqiqotlarda "uch sigma" qoidasi odatda teskari yo'nalishda qo'llaniladi: agar statistik jihatdan deyarli barcha qiymatlar ekanligini aniqladi o'rganilayotgan tasodifiy o'zgaruvchi 6 ta standart og'ish oralig'iga to'g'ri kelsa, bu qiymat oddiy qonunga muvofiq taqsimlangan deb ishonish uchun yaxshi sabablar mavjud. Tekshirish nazariya yordamida amalga oshiriladi statistik farazlar.

Biz Sovet Ittifoqining og'ir vazifalarini hal qilishda davom etamiz:

4-misol

Tarozi xatosining tasodifiy qiymati nol matematik kutish va 3 gramm standart og'ish bilan normal qonunga muvofiq taqsimlanadi. Keyingi tortishning mutlaq qiymatda 5 grammdan oshmagan xatolik bilan o'tkazilishi ehtimolini toping.

Yechim juda oddiy. Shartiga ko'ra, va biz darhol keyingi tortishda buni ta'kidlaymiz (biror narsa yoki kimdir) 9 gramm aniqlik bilan deyarli 100% natijaga erishamiz. Ammo muammoda formula bo'yicha torroq og'ish bor :

- keyingi tortishning 5 grammdan ortiq bo'lmagan xato bilan o'tkazilishi ehtimoli.

Javob:

Yechilgan muammo bir qarashda o'xshash narsadan tubdan farq qiladi. 3-misol haqida dars yagona taqsimlash. Xatolik yuz berdi yaxlitlash o'lchov natijalari, bu erda biz o'lchovlarning tasodifiy xatosi haqida gapiramiz. Bunday xatolar qurilmaning o'zi texnik xususiyatlari tufayli yuzaga keladi. (ruxsat etilgan xatolar diapazoni, qoida tariqasida, uning pasportida ko'rsatilgan), shuningdek, eksperimentatorning aybi bilan - masalan, "ko'z bilan" biz bir xil tarozi o'qidan ko'rsatkichlarni olamiz.

Boshqalar orasida, shuningdek, deb atalmish bor tizimli o'lchash xatolar. Bu allaqachon tasodifiy qurilmaning noto'g'ri o'rnatilishi yoki ishlashi tufayli yuzaga keladigan xatolar. Shunday qilib, masalan, tartibga solinmagan pol tarozilari doimiy ravishda kilogrammni "qo'shishi" mumkin va sotuvchi xaridorlarni muntazam ravishda kam vaznga ega. Yoki tizimli ravishda emas, chunki siz almashtirishingiz mumkin. Biroq, har qanday holatda, bunday xato tasodifiy bo'lmaydi va uning kutilishi noldan farq qiladi.

…Men zudlik bilan savdo bo'yicha trening kursini ishlab chiqyapman =)

Keling, muammoni o'zimiz hal qilaylik:

5-misol

Rolik diametri tasodifiy normal taqsimlangan tasodifiy o'zgaruvchidir, uning standart og'ishi mm. Matematik kutilmaga nisbatan simmetrik oraliq uzunligini toping, unda boncuk diametrining uzunligi ehtimollik bilan tushadi.

5-band* dizayn tartibi yordamlashmoq. E'tibor bering, bu erda matematik kutish ma'lum emas, lekin bu muammoni hal qilishga hech qanday xalaqit bermaydi.

Va imtihon topshirig'i, men materialni birlashtirishni tavsiya qilaman:

6-misol

Oddiy taqsimlangan tasodifiy o'zgaruvchi uning parametrlari (matematik kutish) va (standart og'ish) bilan beriladi. Majburiy:

a) ehtimollik zichligini yozing va uning grafigini sxematik tasvirlang;
b) intervaldan qiymat olish ehtimolini toping ;
c) modulning dan ko'p bo'lmagan chetga chiqish ehtimolini toping;
d) "uch sigma" qoidasini qo'llagan holda, tasodifiy o'zgaruvchining qiymatlarini toping.

Bunday muammolar hamma joyda taklif qilinadi va ko'p yillik amaliyot davomida men ulardan yuzlab va yuzlab muammolarni hal qilishga muvaffaq bo'ldim. Qo'lda chizish va qog'oz jadvallardan foydalanishni mashq qiling;)

Xo'sh, men murakkablikning ortishi misolini tahlil qilaman:

7-misol

Tasodifiy o'zgaruvchining ehtimollik taqsimoti zichligi shaklga ega . Topish , matematik kutilma , dispersiya , taqsimot funksiyasi , chizma zichligi va taqsimot funksiyalari , toping.

Yechim: birinchi navbatda, tasodifiy miqdorning tabiati haqidagi shartda hech narsa aytilmaganiga e'tibor qaratamiz. O'z-o'zidan, ko'rgazma ishtirokchisining mavjudligi hech narsani anglatmaydi: bu, masalan, bo'lishi mumkin. ko'rgazmali yoki umuman o'zboshimchalik bilan uzluksiz taqsimlash. Va shuning uchun taqsimotning "normalligi" hali ham isbotlanishi kerak:

Funktsiyadan beri da belgilanadi har qanday haqiqiy qiymat va uni shaklga qisqartirish mumkin , keyin tasodifiy miqdor normal qonun bo'yicha taqsimlanadi.

taqdim etamiz. Buning uchun to'liq kvadratni tanlang va tashkil qilish uch qavatli fraktsiya:


Ko'rsatkichni asl shakliga qaytargan holda tekshirishni amalga oshirganingizga ishonch hosil qiling:

biz ko'rmoqchi bo'lgan narsamiz.

Shunday qilib:
- yoqilgan kuch qoidasi"chimchilash". Va bu erda siz darhol aniq raqamli xususiyatlarni yozishingiz mumkin:

Endi parametr qiymatini topamiz. Oddiy taqsimot ko'paytmasi va ko'rinishiga ega bo'lganligi sababli, u holda:
, undan biz ifodalaymiz va funktsiyamizga almashtiramiz:
, shundan so'ng biz yana bir bor ko'zimiz bilan yozuvni ko'rib chiqamiz va natijada olingan funktsiya shaklga ega ekanligiga ishonch hosil qilamiz .

Keling, zichlikni chizamiz:

va taqsimot funksiyasining grafigi :

Agar qo'lda Excel va hatto oddiy kalkulyator bo'lmasa, oxirgi diagramma qo'lda osongina tuziladi! Ushbu nuqtada taqsimlash funktsiyasi qiymatni oladi va mana

TARQALISH QONUNI VA XUSUSIYATLARI

TASOSODIY QIYMATLAR

Tasodifiy miqdorlar, ularning tasnifi va tavsiflash usullari.

Tasodifiy qiymat - tajriba natijasida u yoki bu qiymatni olishi mumkin bo'lgan, lekin qaysi biri oldindan ma'lum bo'lmagan miqdordir. Tasodifiy o'zgaruvchi uchun, shuning uchun faqat qiymatlarni ko'rsatish mumkin, ulardan biri tajriba natijasida olinadi. Ushbu qiymatlar tasodifiy o'zgaruvchining mumkin bo'lgan qiymatlari deb ataladi. Tasodifiy o'zgaruvchi tajribaning tasodifiy natijasini miqdoriy jihatdan tavsiflaganligi sababli, uni tasodifiy hodisaning miqdoriy xarakteristikasi deb hisoblash mumkin.

Tasodifiy o'zgaruvchilar odatda lotin alifbosining bosh harflari bilan, masalan, X..Y..Z va ularning mumkin bo'lgan qiymatlari mos keladigan kichik harflar bilan belgilanadi.

Tasodifiy o'zgaruvchilarning uchta turi mavjud:

diskret; Davomiy; Aralashgan.

Diskret bunday tasodifiy o'zgaruvchi deyiladi, uning mumkin bo'lgan qiymatlari soni hisoblanuvchi to'plamni tashkil qiladi. O'z navbatida, hisoblanuvchi to'plam elementlarini raqamlash mumkin bo'lgan to'plamdir. "Diskret" so'zi lotincha diskretdan olingan bo'lib, "uzluksiz, alohida qismlardan iborat" degan ma'noni anglatadi.

Misol 1. Diskret tasodifiy o'zgaruvchi - bu nfl partiyasidagi nuqsonli X qismlarning soni. Darhaqiqat, ushbu tasodifiy o'zgaruvchining mumkin bo'lgan qiymatlari 0 dan n gacha bo'lgan butun sonlar qatoridir.

2-misol. Diskret tasodifiy o'zgaruvchi - nishonga birinchi zarba berishdan oldingi o'qlar soni. Bu erda, 1-misolda bo'lgani kabi, mumkin bo'lgan qiymatlarni raqamlash mumkin, garchi cheklovchi holatda mumkin bo'lgan qiymat cheksiz katta raqam bo'lsa.

davomiy tasodifiy o'zgaruvchi deyiladi, uning mumkin bo'lgan qiymatlari doimiy ravishda raqamli o'qning ma'lum bir oralig'ini to'ldiradi, ba'zan bu tasodifiy o'zgaruvchining mavjudligi oralig'i deb ataladi. Shunday qilib, mavjudlikning har qanday chekli oralig'ida doimiy tasodifiy o'zgaruvchining mumkin bo'lgan qiymatlari soni cheksiz katta.

Misol 3. Uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchi - korxonada bir oy davomida elektr energiyasi iste'moli.

Misol 4. Uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchi - altimetr yordamida balandlikni o'lchashdagi xato. Altimetrning ishlash printsipidan ma'lum bo'lsinki, xato 0 dan 2 m gacha bo'lgan oraliqda yotadi.Shuning uchun bu tasodifiy o'zgaruvchining mavjud bo'lish oralig'i 0 dan 2 m gacha bo'lgan intervaldir.

Tasodifiy miqdorlarning taqsimlanish qonuni.

Tasodifiy o'zgaruvchi, agar uning mumkin bo'lgan qiymatlari raqamli o'qda ko'rsatilgan va taqsimot qonuni o'rnatilgan bo'lsa, to'liq aniqlangan deb hisoblanadi.

Tasodifiy miqdorning taqsimlanish qonuni tasodifiy o'zgaruvchining mumkin bo'lgan qiymatlari va mos keladigan ehtimollar o'rtasidagi munosabatni o'rnatadigan munosabat deyiladi.

Tasodifiy o'zgaruvchi ma'lum bir qonun bo'yicha taqsimlanadi yoki ma'lum bir taqsimot qonuniga bo'ysunadi. Taqsimot qonunlari sifatida bir qator ehtimollar, taqsimot funksiyasi, ehtimollik zichligi, xarakteristik funksiyalardan foydalaniladi.

Taqsimot qonuni tasodifiy o'zgaruvchining to'liq ehtimoliy tavsifini beradi. Tarqatish qonuniga ko'ra, tasodifiy o'zgaruvchining qaysi qiymatlari tez-tez, qaysilari kamroq paydo bo'lishini tajribadan oldin hukm qilish mumkin.

Diskret tasodifiy miqdor uchun taqsimot qonuni jadval shaklida, analitik (formula ko'rinishida) va grafik sifatida berilishi mumkin.

Diskret tasodifiy o'zgaruvchining taqsimlanish qonunini ko'rsatishning eng oddiy shakli tasodifiy o'zgaruvchining barcha mumkin bo'lgan qiymatlarini va ularga mos keladigan ehtimolliklarni o'sish tartibida ko'rsatadigan jadval (matritsa) bo'lib, ya'ni.

Bunday jadval diskret tasodifiy miqdorni taqsimlash qatori deb ataladi. bitta

X 1, X 2,..., X n hodisalari shundan iboratki, sinov natijasida X tasodifiy o'zgaruvchisi mos ravishda x 1, x 2,... x n qiymatlarini oladi. , mos kelmaydigan va yagona mumkin bo'lganlar (chunki jadvalda tasodifiy o'zgaruvchining barcha mumkin bo'lgan qiymatlari keltirilgan), ya'ni. to'liq guruh hosil qiling. Shuning uchun ularning ehtimolliklari yig'indisi 1 ga teng. Shunday qilib, har qanday diskret tasodifiy miqdor uchun

(Ushbu birlik tasodifiy o'zgaruvchining qiymatlari orasida qandaydir tarzda taqsimlangan, shuning uchun "tarqatish" atamasi).

Agar tasodifiy o'zgaruvchining qiymatlari abscissa o'qi bo'ylab chizilgan bo'lsa va ularning mos keladigan ehtimolliklari ordinatalar o'qi bo'ylab chizilgan bo'lsa, taqsimot seriyasini grafik tarzda ko'rsatish mumkin. Olingan nuqtalarning ulanishi ehtimollik taqsimotining ko'pburchak yoki ko'pburchak deb ataladigan siniq chiziqni hosil qiladi (1-rasm).

Misol Lotereya o'ynaladi: 5000 den qiymatli mashina. dona, 250 denli 4 ta televizor. birlik, 200 den qiymatidagi 5 ta videomagnitofon. birliklar Hammasi bo'lib 1000 ta chipta 7 denga sotiladi. birliklar Bitta chipta sotib olgan lotereya ishtirokchisi olgan sof yutuqni taqsimlash qonunini tuzing.

Yechim. X tasodifiy o'zgaruvchisining mumkin bo'lgan qiymatlari - har bir chipta uchun sof yutuq - 0-7 = -7 den. birliklar (agar chipta yutmagan bo'lsa), 200-7 = 193, 250-7 = 243, 5000-7 = 4993 den. birliklar (agar chipta mos ravishda videomagnitofon, televizor yoki avtomobil yutgan bo'lsa). 1000 ta chiptadan g'olib bo'lmaganlar soni 990 tani va ko'rsatilgan yutuqlar mos ravishda 5, 4 va 1 ekanligini hisobga olsak va ehtimollikning klassik ta'rifidan foydalanib, biz olamiz.

Diskret tasodifiy miqdorlarni taqsimlashning eng keng tarqalgan qonunlarini ajratib ko'rsatishimiz mumkin:

• Binomiy taqsimot qonuni
• Puasson taqsimot qonuni
• Geometrik taqsimot qonuni
• Gipergeometrik taqsimot qonuni

Diskret tasodifiy o'zgaruvchilarning berilgan taqsimotlari uchun ularning qiymatlarining ehtimolliklarini hisoblash, shuningdek, raqamli xarakteristikalar (matematik kutish, dispersiya va boshqalar) ma'lum "formulalar" bo'yicha amalga oshiriladi. Shuning uchun ushbu turdagi taqsimotlarni va ularning asosiy xususiyatlarini bilish juda muhimdir.

1. Binomiy taqsimot qonuni.

Diskret tasodifiy o'zgaruvchi $X$ binomial ehtimollik taqsimotiga bo'ysunadi, agar u $0,\ 1,\ 2,\ \dots,\ n$ qiymatlarini $P\left(X=k\o'ng)= ehtimoli bilan qabul qilsa. C ^ k_n \ cdot p ^ k \ cdot (\ chap (1-p \ o'ng)) ^ (n-k) $. Aslida, $X$ tasodifiy oʻzgaruvchisi $A$ hodisasining $n$ mustaqil sinovlarida sodir boʻlish sonidir. $X$ tasodifiy o'zgaruvchisi uchun ehtimollik taqsimoti qonuni:

$\begin(massiv)(|c|c|)
\hline
X_i & 0 & 1 & \nuqtalar & n \\
\hline
p_i & P_n\left(0\o'ng) & P_n\chap(1\o'ng) & \nuqtalar & P_n\chap(n\o'ng) \\
\hline
\end(massiv)$

Bunday tasodifiy o'zgaruvchi uchun kutish $M\left(X\right)=np$, dispersiya $D\left(X\right)=np\left(1-p\right)$.

Misol . Oilada ikki farzand bor. O'g'il va qizning tug'ilish ehtimoli $0,5$ ga teng deb faraz qilib, $\xi $ tasodifiy miqdorning taqsimlanish qonunini toping - oiladagi o'g'il bolalar soni.

$\xi $ tasodifiy o'zgaruvchisi oiladagi o'g'il bolalar soni bo'lsin. $\xi:\ 0,\ 1,\ 2$ olishi mumkin boʻlgan qiymatlar. Ushbu qiymatlarning ehtimolliklarini $P\left(\xi =k\right)=C^k_n\cdot p^k\cdot (\left(1-p\right))^(n-k) formulasi orqali topish mumkin. )$, bu yerda $n =2$ - mustaqil sinovlar soni, $p=0,5$ - $n$ sinovlar seriyasida hodisaning yuzaga kelish ehtimoli. Biz olamiz:

$P\left(\xi =0\o'ng)=C^0_2\cdot (0,5)^0\cdot (\left(1-0,5\o'ng))^(2-0)=(0, 5)^2 =0,25;$

$P\left(\xi =1\o'ng)=C^1_2\cdot 0,5\cdot (\left(1-0,5\o'ng))^(2-1)=2\cdot 0,5\ cdot 0,5=0,5;$

$P\left(\xi =2\o'ng)=C^2_2\cdot (0,5)^2\cdot (\left(1-0,5\o'ng))^(2-2)=(0, 5)^2=0,25.$

Keyin $\xi $ tasodifiy o'zgaruvchining taqsimot qonuni $0,\ 1,\ 2$ qiymatlari va ularning ehtimolliklari o'rtasidagi muvofiqlikdir, ya'ni:

$\begin(massiv)(|c|c|)
\hline
\xi & 0 & 1 & 2 \\
\hline
P(\xi) & 0,25 & 0,5 & 0,25 \\
\hline
\end(massiv)$

Taqsimot qonunidagi ehtimollar yig'indisi $1$ ga teng bo'lishi kerak, ya'ni $\sum _(i=1)^(n)P(\xi _((\rm i)))=0,25+0,5+0, 25 =$1.

Kutish $M\left(\xi \right)=np=2\cdot 0,5=1$, dispersiya $D\left(\xi \o'ng)=np\left(1-p\o'ng)=2\ cdot 0,5\ cdot 0,5=0,5$, standart og'ish $\sigma \left(\xi \o'ng)=\sqrt(D\left(\xi \o'ng))=\sqrt(0,5)\taxminan $0,707.

2. Puasson taqsimot qonuni.

Agar diskret tasodifiy o'zgaruvchi $X$ faqat manfiy bo'lmagan butun son qiymatlarini qabul qilishi mumkin bo'lsa $0,\ 1,\ 2,\ \dots ,\ n$ ehtimolliklari $P\left(X=k\right)=((() \lambda )^k )\over (k}\cdot e^{-\lambda }$, то говорят, что она подчинена закону распределения Пуассона с параметром $\lambda $. Для такой случайной величины математическое ожидание и дисперсия равны между собой и равны параметру $\lambda $, то есть $M\left(X\right)=D\left(X\right)=\lambda $.!}

Izoh. Bu taqsimotning o‘ziga xosligi shundaki, eksperimental ma’lumotlar asosida $M\left(X\right),\ D\left(X\o‘ng)$ baholarni topamiz, agar olingan baholar bir-biriga yaqin bo‘lsa, u holda biz tasodifiy o'zgaruvchining Puasson taqsimot qonuniga bo'ysunishini ta'kidlash uchun asos bor.

Misol . Puasson taqsimot qonuniga bo'ysunadigan tasodifiy o'zgaruvchilarga misollar bo'lishi mumkin: ertaga yoqilg'i quyish shoxobchasi tomonidan xizmat ko'rsatadigan avtomobillar soni; ishlab chiqarilgan mahsulotdagi nuqsonli narsalar soni.

Misol . Zavod bazaga 500 dollarlik mahsulot yubordi. Tranzit paytida mahsulotning shikastlanish ehtimoli $0,002 ni tashkil qiladi. $X$ tasodifiy miqdorning zararlangan mahsulotlar soniga teng taqsimot qonunini toping; bu $ M \ chap (X \ o'ng), \ D \ chap (X \ o'ng) $ ga teng.

Diskret tasodifiy o'zgaruvchi $X$ zararlangan mahsulotlar soni bo'lsin. Bunday tasodifiy miqdor $\lambda =np=500\cdot 0,002=1$ parametri bilan Puasson taqsimot qonuniga bo'ysunadi. Qiymatlarning ehtimolliklari $P\left(X=k\right)=(((\lambda )^k)\over (k)}\cdot e^{-\lambda }$. Очевидно, что все вероятности всех значений $X=0,\ 1,\ \dots ,\ 500$ перечислить невозможно, поэтому мы ограничимся лишь первыми несколькими значениями.!}

$P\left(X=0\o'ng)=((1^0)\ortiq (0}\cdot e^{-1}=0,368;$!}

$P\left(X=1\o'ng)=((1^1)\ortiq (1}\cdot e^{-1}=0,368;$!}

$P\left(X=2\o'ng)=((1^2)\over (2}\cdot e^{-1}=0,184;$!}

$P\left(X=3\o'ng)=((1^3)\ortiq (3}\cdot e^{-1}=0,061;$!}

$P\left(X=4\o'ng)=((1^4)\over (4}\cdot e^{-1}=0,015;$!}

$P\left(X=5\o'ng)=((1^5)\ortiq (5}\cdot e^{-1}=0,003;$!}

$P \ chap (X = 6 \ o'ng) = ((1 ^ 6) \ dan (6}\cdot e^{-1}=0,001;$!}

$P\left(X=k\right)=(((\lambda )^k)\over (k)}\cdot e^{-\lambda }$!}

$X$ tasodifiy miqdorning taqsimot qonuni:

$\begin(massiv)(|c|c|)
\hline
X_i & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & ... & k \\
\hline
P_i & 0,368; & 0,368 & 0,184 & 0,061 & 0,015 & 0,003 & 0,001 & ... & (((\lambda )^k)\ortiq (k)}\cdot e^{-\lambda } \\!}
\hline
\end(massiv)$

Bunday tasodifiy o'zgaruvchi uchun matematik kutish va dispersiya bir-biriga teng va $\lambda $ parametriga teng, ya'ni $M\left(X\right)=D\left(X\right)=\lambda =1. $.

3. Geometrik taqsimot qonuni.

Agar diskret tasodifiy o'zgaruvchi $X$ faqat $1,\ 2,\ \dots ,\ n$ tabiiy qiymatlarni qabul qilishi mumkin bo'lsa, ehtimollik $P\left(X=k\right)=p(\left(1-p\) o'ng)) ^(k-1),\ k=1,\ 2,\ 3,\ \dots $ bo'lsa, bunday tasodifiy o'zgaruvchi $X$ ehtimollar taqsimotining geometrik qonuniga bo'ysunadi, deymiz. Aslida, geometrik taqsimot Bernoullining birinchi muvaffaqiyati uchun sinovlari bo'lib ko'rinadi.

Misol . Geometrik taqsimotga ega bo'lgan tasodifiy o'zgaruvchilarga misollar bo'lishi mumkin: nishonga birinchi zarba berishdan oldin o'qlar soni; birinchi nosozlikdan oldin qurilmaning sinovlari soni; birinchi bosh ko'tarilishidan oldin tangalar soni va boshqalar.

Geometrik taqsimotga taalluqli tasodifiy o'zgaruvchining matematik kutilishi va dispersiyasi mos ravishda $M\left(X\right)=1/p$, $D\left(X\right)=\left(1-p\) ga teng. o'ng)/p^ 2$.

Misol . Baliqning tuxum qo'yadigan joyga borish yo'lida 4 dollarlik qulf bor. Har bir qulfdan baliqning o'tish ehtimoli $p=3/5$. $X$ tasodifiy o'zgaruvchining taqsimlash qatorini tuzing - qulfdagi birinchi to'xtashgacha baliq tomonidan o'tgan qulflar soni. $M \ chap (X \ o'ng), \ D \ chap (X \ o'ng), \ \ sigma \ chap (X \ o'ng) $ ni toping.

Tasodifiy miqdor $X$ shlyuzdagi birinchi toʻxtashgacha baliq tomonidan oʻtgan shlyuzlar soni boʻlsin. Bunday tasodifiy miqdor ehtimollik taqsimotining geometrik qonuniga bo'ysunadi. $X tasodifiy o'zgaruvchisi olishi mumkin bo'lgan qiymatlar: 1, 2, 3, 4. Ushbu qiymatlarning ehtimoli quyidagi formula bo'yicha hisoblanadi: $P\left(X=k\right)=pq^( k-1)$, bunda: $ p=2/5$ - qulfdan baliq ovlash ehtimoli, $q=1-p=3/5$ - baliqning qulfdan o‘tish ehtimoli, $k=1, \ 2, \ 3, \ 4$.

$P\left(X=1\o'ng)=((2)\over (5))\cdot (\left(((3)\over (5))\o'ng))^0=((2)\ ortiq(5))=0,4;$

$P\chap(X=2\o'ng)=((2)\(5))\cdot ((3)\(5) dan)=((6)\(25) dan)=0,24; $

$P\left(X=3\o'ng)=((2)\ustun(5))\cdot(\left(((3)\over(5))\o'ng))^2=((2)\ (5))\cdot ((9)\(25) dan ortiq)=((18)\(125) dan ortiq)=0,144;$

$P\left(X=4\o'ng)=((2)\ustunda(5))\cdot(\left(((3)\over (5))\o'ng))^3+(\left(() (3)\(5))\o'ng))^4=((27)\(125))=0,216.$

$\begin(massiv)(|c|c|)
\hline
X_i & 1 & 2 & 3 & 4 \\
\hline
P\chap(X_i\o'ng) & 0,4 & 0,24 & 0,144 & 0,216 \\
\hline
\end(massiv)$

Kutilayotgan qiymat:

$M\left(X\o'ng)=\sum^n_(i=1)(x_ip_i)=1\cdot 0,4+2\cdot 0,24+3\cdot 0,144+4\cdot 0,216=2,176.$

Dispersiya:

$D\chap(X\o'ng)=\sum^n_(i=1)(p_i(\chap(x_i-M\chap(X\o'ng)\o'ng))^2=)0,4\cdot (\ chap(1-2,176\o'ng))^2+0,24\cdot (\chap(2-2,176\o'ng))^2+0,144\cdot (\left(3-2,176\o'ng))^2+$

$+\ 0,216\cdot (\chap(4-2,176\o'ng))^2\taxminan 1,377.$

Standart og'ish:

$\sigma \left(X\o'ng)=\sqrt(D\left(X\o'ng))=\sqrt(1377)\taxminan 1173.$

4. Gipergeometrik taqsimot qonuni.

Agar $N$ ob'ektlari mavjud bo'lsa, ular orasida $m$ ob'ektlari berilgan xususiyatga ega. Tasodifiy ravishda, almashtirilmasdan, $n$ ob'ektlari chiqariladi, ular orasida berilgan xususiyatga ega bo'lgan $k$ ob'ektlari mavjud. Gipergeometrik taqsimot namunadagi aniq $k$ ob'ektlarning berilgan xususiyatga ega bo'lish ehtimolini baholash imkonini beradi. $X$ tasodifiy o'zgaruvchisi namunadagi berilgan xususiyatga ega bo'lgan ob'ektlar soni bo'lsin. Keyin $X$ tasodifiy o'zgaruvchisi qiymatlarining ehtimolliklari:

$P\left(X=k\right)=((C^k_mC^(n-k)_(N-m))\over (C^n_N))$

Izoh. Excel $f_x$ Funktsiyalar ustasining HYPERGEOMET statistik funktsiyasi ma'lum miqdordagi sinovlarning muvaffaqiyatli bo'lish ehtimolini aniqlash imkonini beradi.

$f_x\to $ statistik$\to $ GIPERGEOMET$\to $ OK. To'ldirishingiz kerak bo'lgan dialog oynasi paydo bo'ladi. Grafikda Namunadagi muvaffaqiyatlar_soni$k$ qiymatini belgilang. namuna_hajmi$n$ ga teng. Grafikda Aholi sonidagi muvaffaqiyatlar_soni$m$ qiymatini belgilang. Aholi soni$N$ ga teng.

Geometrik taqsimot qonuniga bo'ysunuvchi $X$ diskret tasodifiy o'zgaruvchining matematik kutilishi va dispersiyasi $M\left(X\right)=nm/N$, $D\left(X\o'ng)=((nm\chap) (1 -((m)\(N))\o'ng)\chap(1-((n)\(N))\o'ng))\(N-1))$.

Misol . Bankning kredit bo‘limida 5 nafar oliy moliyaviy ma’lumotli va 3 nafar oliy yuridik ma’lumotli mutaxassis ishlaydi. Bank rahbariyati 3 nafar mutaxassisni tasodifiy tanlab, malaka oshirishga yuborishga qaror qildi.

a) malaka oshirishga yo‘naltirilishi mumkin bo‘lgan oliy moliyaviy ma’lumotga ega mutaxassislar sonini taqsimlash qatorini tuzish;

b) Bu taqsimotning son xarakteristikalarini toping.

$X$ tasodifiy o'zgaruvchisi tanlangan uchtasi orasida oliy moliyaviy ma'lumotga ega bo'lgan mutaxassislar soni bo'lsin. $X:0,\ 1,\ 2,\ 3$ olishi mumkin boʻlgan qiymatlar. Ushbu tasodifiy o'zgaruvchi $X$ gipergeometrik taqsimot bo'yicha quyidagi parametrlar bilan taqsimlanadi: $N=8$ - populyatsiya soni, $m=5$ - populyatsiyadagi muvaffaqiyatlar soni, $n=3$ - tanlanma hajmi, $ k=0,\ 1, \ 2,\ 3$ - namunadagi muvaffaqiyatlar soni. Keyin $P\left(X=k\right)$ ehtimolini quyidagi formula yordamida hisoblash mumkin: $P(X=k)=(C_(m)^(k) \cdot C_(N-m)^(n-k) \ ustidan C_( N)^(n) ) $. Bizda ... bor:

$P\left(X=0\o'ng)=((C^0_5\cdot C^3_3)\ustun (C^3_8))=((1)\(56))\taxminan 0,018;$

$P\chap(X=1\oʻng)=((C^1_5\cdot C^2_3)\(C^3_8))=((15)\(56))\taxminan 0,268;$

$P\chap(X=2\o'ng)=((C^2_5\cdot C^1_3)\(C^3_8))=((15)\(28))\taxminan 0,536;$

$P\left(X=3\o'ng)=((C^3_5\cdot C^0_3)\ortiq (C^3_8))=((5)\(28))\taxminan 0,179.$

Keyin $X$ tasodifiy o'zgaruvchining taqsimot qatori:

$\begin(massiv)(|c|c|)
\hline
X_i & 0 & 1 & 2 & 3 \\
\hline
p_i & 0,018 & 0,268 & 0,536 & 0,179 \\
\hline
\end(massiv)$

Gipergeometrik taqsimotning umumiy formulalari yordamida $X$ tasodifiy miqdorning sonli xarakteristikalarini hisoblaylik.

$M\chap(X\o'ng)=((nm)\(N))=((3\cdot 5)\(8))=((15)\(8)dan)=1,875.$

$D\chap(X\o'ng)=((nm\chap(1-((m)\(N))\o'ng)\chap(1-((n)\ustida(N))\o'ng)) \over (N-1))=((3\cdot 5\cdot \left(1-((5)\over (8))\o'ng)\cdot \chap(1-((3)\(8) ustida ))\o‘ng))\(8-1))=((225)\(448))\taxminan 0,502.$

$\sigma \left(X\o'ng)=\sqrt(D\chap(X\o'ng))=\sqrt(0,502)\taxminan 0,7085.$