Ba'zida hayotda unutilgan narsalarni izlash uchun xotirani o'rganishga to'g'ri keladigan vaziyatlar mavjud maktab bilimlari. Masalan, siz uchburchak shakldagi er uchastkasining maydonini yoki kvartirada yoki xususiy uyda navbatdagi ta'mirlash navbati kelganini aniqlashingiz kerak va siz qancha material olishini hisoblashingiz kerak. uchburchak shakli bo'lgan sirt uchun. Bunday muammoni bir necha daqiqada hal qila oladigan vaqt bor edi va endi siz uchburchakning maydonini qanday aniqlashni eslashga harakat qilyapsizmi?

Bu haqda tashvishlanishingiz shart emas! Axir, inson miyasi uzoq vaqtdan beri foydalanilmagan bilimlarni uzoq burchakka o'zgartirishga qaror qilganda, bu juda normal holat, undan ba'zan uni olish unchalik oson emas. Bunday muammoni hal qilish uchun unutilgan maktab bilimlarini izlashdan azob chekmaslik uchun ushbu maqolada uchburchakning kerakli maydonini topishni osonlashtiradigan turli usullar mavjud.

Ma'lumki, uchburchak - bu tomonlarning mumkin bo'lgan minimal soni bilan chegaralangan ko'pburchak turi. Asosan, har qanday ko'pburchakni uning uchlarini tomonlarini kesib o'tmaydigan segmentlar bilan bog'lash orqali bir nechta uchburchaklarga bo'lish mumkin. Shuning uchun, uchburchakni bilib, siz deyarli har qanday raqamning maydonini hisoblashingiz mumkin.

Hayotda yuzaga keladigan barcha mumkin bo'lgan uchburchaklar orasida quyidagi alohida turlarni ajratib ko'rsatish mumkin: va to'rtburchaklar.

Uchburchakning maydonini hisoblashning eng oson usuli - uning burchaklaridan biri to'g'ri bo'lganda, ya'ni to'g'ri burchakli uchburchakda. Yarim to'rtburchak ekanligini ko'rish oson. Shuning uchun uning maydoni tomonlarning mahsulotining yarmiga teng bo'lib, ular o'rtasida to'g'ri burchak hosil qiladi.

Agar biz uchburchakning bir uchidan qarama-qarshi tomoniga tushirilgan balandligini va asos deb ataladigan bu tomonning uzunligini bilsak, u holda maydon balandlik va poydevorning yarmi ko'paytmasi sifatida hisoblanadi. Bu quyidagi formula yordamida yoziladi:

S = 1/2 * b * h, unda

S - uchburchakning kerakli maydoni;

b, h - mos ravishda, uchburchakning balandligi va asosi.

Teng yonli uchburchakning maydonini hisoblash juda oson, chunki balandlik qarama-qarshi tomonni ikkiga bo'ladi va uni osongina o'lchash mumkin. Agar maydon aniqlansa, balandlik sifatida to'g'ri burchak hosil qiluvchi tomonlardan birining uzunligini olish qulay.

Bularning barchasi, albatta, yaxshi, lekin uchburchakning burchaklaridan biri to'g'ri yoki yo'qligini qanday aniqlash mumkin? Agar bizning raqamimizning o'lchami kichik bo'lsa, unda siz qurilish burchagi, chizilgan uchburchak, otkritka yoki to'rtburchaklar shakli bo'lgan boshqa ob'ektdan foydalanishingiz mumkin.

Ammo bizda uchburchak er uchastkasi bo'lsa-chi? Bunday holda, quyidagicha davom eting: taklif qilinganlarning yuqorisidan hisoblang to'g'ri burchak bir tomonda 3 ga karrali masofa (30 sm, 90 sm, 3 m), boshqa tomondan esa 4 ga karrali masofa (40 sm, 160 sm, 4 m) bir xil nisbatda o'lchanadi. Endi siz ushbu ikki segmentning so'nggi nuqtalari orasidagi masofani o'lchashingiz kerak. Agar qiymat 5 ga (50 sm, 250 sm, 5 m) karrali bo'lsa, u holda burchak to'g'ri ekanligini isbotlash mumkin.

Agar bizning raqamimizning har uch tomonining uzunligining qiymati ma'lum bo'lsa, u holda uchburchakning maydonini Heron formulasi yordamida aniqlash mumkin. U oddiyroq shaklga ega bo'lishi uchun yarim perimetr deb ataladigan yangi qiymat qo'llaniladi. Bu uchburchakning barcha tomonlari yig'indisi, yarmiga bo'lingan. Yarim perimetr hisoblangandan so'ng, siz formuladan foydalanib maydonni aniqlashni boshlashingiz mumkin:

S = sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c)), bu yerda

kvadrat- Kvadrat ildiz;

p - yarim perimetrning qiymati (p =(a+b+c)/2);

a, b, c - uchburchakning qirralari (tomonlari).

Ammo uchburchak tartibsiz shaklga ega bo'lsa-chi? Bu erda ikkita mumkin bo'lgan yo'l bor. Ulardan birinchisi, bunday raqamni ikkita to'g'ri burchakli uchburchakka bo'lishga harakat qilish, ularning maydonlari yig'indisi alohida hisoblab chiqiladi va keyin qo'shiladi. Yoki, agar ikki tomon orasidagi burchak va bu tomonlarning o'lchami ma'lum bo'lsa, formulani qo'llang:

S = 0,5 * ab * sinC, bu erda

a,b - uchburchakning tomonlari;

c - bu tomonlar orasidagi burchak.

Oxirgi holat amalda kam uchraydi, ammo shunga qaramay, hayotda hamma narsa mumkin, shuning uchun yuqoridagi formula ortiqcha bo'lmaydi. Hisob-kitoblaringizga omad tilaymiz!

Uchburchak - bu taniqli raqam. Va bu, uning shakllarining boy xilma-xilligiga qaramay. To'rtburchak, teng tomonli, o'tkir, teng yonli, o'tmas. Ularning har biri biroz boshqacha. Ammo har qanday kishi uchun uchburchakning maydonini bilish talab qilinadi.

Yonlarning yoki balandlikning uzunligini ishlatadigan barcha uchburchaklar uchun umumiy formulalar

Ularda qabul qilingan belgilar: tomonlar - a, b, c; a, n in, n s bo'yicha mos keladigan tomonlardagi balandliklar.

1. Uchburchakning maydoni ½, yon tomoni va unga tushirilgan balandlikning mahsuloti sifatida hisoblanadi. S = ½ * a * n a. Xuddi shunday, qolgan ikki tomon uchun formulalar yozish kerak.

2. Yarim perimetr paydo bo'lgan Heron formulasi (to'liq perimetrdan farqli ravishda uni kichik p harfi bilan belgilash odatiy holdir). Yarim perimetrni quyidagicha hisoblash kerak: barcha tomonlarni qo'shing va ularni 2 ga bo'ling. Yarim perimetr formulasi: p \u003d (a + b + c) / 2. Keyin \ maydoni uchun tenglik. u200b\u200b rasm shunday ko'rinadi: S \u003d √ (p * (p - a) * ( p - c) * (p - c)).

3. Agar siz yarim perimetrdan foydalanishni xohlamasangiz, unda faqat tomonlarning uzunligi mavjud bo'lgan bunday formula foydali bo'ladi: S \u003d ¼ * √ ((a + b + c) * ( b + c - a) * (a + c - c) * (a + b - c)). Bu avvalgisidan biroz uzunroq, ammo agar siz yarim perimetrni qanday topishni unutgan bo'lsangiz, yordam beradi.

Uchburchakning burchaklari paydo bo'ladigan umumiy formulalar

Formulalarni o'qish uchun zarur bo'lgan belgi: a, b, g - burchaklar. Ular mos ravishda a, b, c tomonlariga qarama-qarshi yotadi.

1. Unga ko'ra, ikki tomonning yarmi ko'paytmasi va ular orasidagi burchak sinusi uchburchakning maydoniga teng. Ya'ni: S = ½ a * b * sin g. Qolgan ikkita holat uchun formulalar xuddi shunday yozilishi kerak.

2. Uchburchakning maydonini bir tomondan va uchta ma'lum burchakdan hisoblash mumkin. S \u003d (a 2 * sin b * sin g) / (2 sin a).

3. Bir tomoni ma'lum va unga qo'shni ikkita burchakli formula ham mavjud. Bu shunday ko'rinadi: S = c 2 / (2 (ctg a + ctg b)).

Oxirgi ikkita formula eng oddiy emas. Ularni eslab qolish juda qiyin.

Chizilgan yoki chegaralangan doiralarning radiuslari ma'lum bo'lgan vaziyatning umumiy formulalari

Qo'shimcha belgilar: r, R - radiuslar. Birinchisi chizilgan doira radiusi uchun ishlatiladi. Ikkinchisi tasvirlangan uchun.

1. Uchburchakning maydoni hisoblangan birinchi formula yarim perimetr bilan bog'liq. S = r * r. Boshqacha qilib aytganda, uni quyidagicha yozish mumkin: S \u003d ½ r * (a + b + c).

2. Ikkinchi holda, siz uchburchakning barcha tomonlarini ko'paytirishingiz va ularni aylananing to'rt barobar radiusiga bo'lishingiz kerak bo'ladi. So'zma-so'z ma'noda shunday ko'rinadi: S \u003d (a * b * c) / (4R).

3. Uchinchi holat tomonlarni bilmasdan qilish imkonini beradi, lekin sizga har uch burchakning qiymatlari kerak. S \u003d 2 R 2 * sin a * sin b * sin g.

Maxsus holat: to'g'ri burchakli uchburchak

Bu eng oddiy holat, chunki faqat ikkala oyoqning uzunligi talab qilinadi. Ular lotin a va b harflari bilan belgilanadi. To'g'ri burchakli uchburchakning maydoni unga qo'shilgan to'rtburchaklar maydonining yarmiga teng.

Matematik jihatdan u quyidagicha ko'rinadi: S = ½ a * b. Uni eslash eng oson. To'rtburchakning maydoni formulasiga o'xshab ko'rinadiganligi sababli, faqat yarmini bildiruvchi kasr paydo bo'ladi.

Maxsus holat: teng yonli uchburchak

Uning ikki tomoni teng bo'lgani uchun uning maydoni uchun ba'zi formulalar biroz soddalashtirilgan ko'rinadi. Masalan, teng yonli uchburchakning maydonini hisoblaydigan Heron formulasi quyidagi shaklni oladi:

S = ½ in √((a + ½ dyuym)*(a - ½ dyuym)).

Agar siz uni aylantirsangiz, u qisqaradi. Bu holda teng yonli uchburchak uchun Heron formulasi quyidagicha yoziladi:

S = ¼ in √(4 * a 2 - b 2).

Agar tomonlar va ular orasidagi burchak ma'lum bo'lsa, maydon formulasi ixtiyoriy uchburchakka qaraganda biroz soddaroq ko'rinadi. S \u003d ½ a 2 * sin b.

Maxsus holat: teng qirrali uchburchak

Odatda, u bilan bog'liq muammolarda tomon ma'lum yoki qandaydir tarzda tan olinishi mumkin. Keyin bunday uchburchakning maydonini topish formulasi quyidagicha:

S = (a 2 √3) / 4.

Agar uchburchak katak qog'ozda tasvirlangan bo'lsa, maydonni topish uchun topshiriqlar

Eng oddiy holat - to'g'ri burchakli uchburchak chizilgan bo'lsa, uning oyoqlari qog'ozning chiziqlariga to'g'ri keladi. Keyin faqat oyoqlarga mos keladigan hujayralar sonini hisoblashingiz kerak. Keyin ularni ko'paytiring va ikkiga bo'ling.

Uchburchak o'tkir yoki o'tkir bo'lsa, uni to'rtburchakga chizish kerak. Keyin olingan rasmda 3 ta uchburchak bo'ladi. Ulardan biri topshiriqda berilgan. Va qolgan ikkitasi yordamchi va to'rtburchaklardir. Oxirgi ikkita maydonni yuqorida tavsiflangan usul bilan aniqlash kerak. Keyin to'rtburchaklar maydonini hisoblang va undan yordamchilar uchun hisoblanganlarni ayiring. Uchburchakning maydoni aniqlanadi.

Uchburchakning hech bir tomoni qog'oz chiziqlariga to'g'ri kelmasligi juda qiyin. Keyin uni to'rtburchaklar shaklida yozish kerak, shunda asl figuraning uchlari uning yon tomonlarida yotadi. Bunday holda, uchta yordamchi to'g'ri burchakli uchburchak bo'ladi.

Heron formulasi bo'yicha masala misoli

Vaziyat. Ba'zi uchburchakning tomonlari bor. Ular 3, 5 va 6 sm ga teng.Siz uning maydonini bilishingiz kerak.

Endi siz yuqoridagi formuladan foydalanib, uchburchakning maydonini hisoblashingiz mumkin. Kvadrat ildiz ostida to'rtta raqamning mahsuloti: 7, 4, 2 va 1. Ya'ni, maydon √ (4 * 14) = 2 √ (14) ga teng.

Agar sizga ko'proq aniqlik kerak bo'lmasa, unda siz 14 ning kvadrat ildizini olishingiz mumkin. Bu 3,74. Keyin maydon 7,48 ga teng bo'ladi.

Javob. S \u003d 2 √14 sm 2 yoki 7,48 sm 2.

To'g'ri burchakli uchburchak bilan bog'liq muammoga misol

Vaziyat. To'g'ri burchakli uchburchakning bir oyog'i ikkinchisidan 31 sm uzunroq.Uchburchakning maydoni 180 sm 2 bo'lsa, ularning uzunligini aniqlash kerak.
Yechim. Ikki tenglama sistemasini yechishingiz kerak. Birinchisi hudud bilan bog'liq. Ikkinchisi, muammoda berilgan oyoqlarning nisbati bilan.
180 \u003d ½ a * b;

a \u003d b + 31.
Birinchidan, "a" qiymati birinchi tenglamaga almashtirilishi kerak. Ma'lum bo'lishicha: 180 \u003d ½ (+ 31 da) * dyuym. Uning faqat bittasi bor noma'lum miqdor, shuning uchun uni hal qilish oson. Qavslarni ochgandan so'ng, biz olamiz kvadrat tenglama: in 2 + 31 in - 360 = 0. U "in" uchun ikkita qiymatni beradi: 9 va - 40. Ikkinchi raqam javob sifatida mos emas, chunki uchburchak tomonining uzunligi manfiy bo'lishi mumkin emas. qiymat.

Ikkinchi bosqichni hisoblash qoladi: olingan songa 31 ni qo'shing.. 40 chiqadi. Bu masalada qidirilayotgan miqdorlar.

Javob. Uchburchakning oyoqlari 9 va 40 sm.

Uchburchakning maydoni, tomoni va burchagi orqali tomonni topish vazifasi

Vaziyat. Ba'zi uchburchakning maydoni 60 sm2 ga teng. Agar ikkinchi tomoni 15 sm va ular orasidagi burchak 30º bo'lsa, uning tomonlaridan birini hisoblash kerak.

Yechim. Qabul qilingan belgilarga asoslanib, kerakli tomon "a", ma'lum "b", berilgan burchak "g" dir. Keyin maydon formulasini quyidagicha qayta yozish mumkin:

60 \u003d ½ a * 15 * gunoh 30º. Bu erda 30 daraja sinus 0,5 ga teng.

O'zgarishlardan so'ng "a" 60 / (0,5 * 0,5 * 15) ga teng bo'ladi. Ya'ni 16.

Javob. Istalgan tomon 16 sm.

To‘g‘ri burchakli uchburchak ichiga chizilgan kvadrat masalasi

Vaziyat. Tomoni 24 sm boʻlgan kvadratning tepasi uchburchakning toʻgʻri burchagiga toʻgʻri keladi. Qolgan ikkitasi oyoqlarda yotadi. Uchinchisi gipotenuzaga tegishli. Oyoqlardan birining uzunligi 42 sm.Toʻgʻri burchakli uchburchakning maydoni nimaga teng?

Yechim. Ikkita to'g'ri burchakli uchburchakni ko'rib chiqing. Birinchisi vazifada ko'rsatilgan. Ikkinchisi asl uchburchakning ma'lum oyog'iga asoslangan. Ular o'xshashdir, chunki ular umumiy burchakka ega va parallel chiziqlar bilan hosil bo'ladi.

Keyin ularning oyoqlarining nisbati teng bo'ladi. Kichikroq uchburchakning oyoqlari 24 sm (kvadrat tomoni) va 18 sm (berilgan oyog'i 42 sm minus kvadrat tomoni 24 sm). Tegishli oyoqlar katta uchburchak- 42 sm va x sm.Bu uchburchakning maydonini hisoblash uchun kerak bo'lgan "x".

18/42 \u003d 24 / x, ya'ni x \u003d 24 * 42/18 \u003d 56 (sm).

Keyin maydon 56 va 42 ko'paytmasiga teng bo'lib, ikkiga bo'linadi, ya'ni 1176 sm 2.

Javob. Istalgan maydon 1176 sm 2.

Uchburchak shunday geometrik shakl bo'lib, u bitta to'g'ri chiziqda yotmaydigan nuqtalarda tutashadigan uchta to'g'ri chiziqdan iborat. Chiziqlarning ulanish nuqtalari uchburchakning uchlari bo'lib, ular lotin harflari bilan belgilanadi (masalan, A, B, C). Uchburchakning birlashtiruvchi to'g'ri chiziqlari segmentlar deb ataladi, ular odatda lotin harflarida ham belgilanadi. Uchburchaklarning quyidagi turlari mavjud:

• To'rtburchak.
• o'tkir.
• O'tkir burchakli.
• Ko'p tomonli.
• Teng tomonli.
• Izossellar.

Uchburchakning maydonini hisoblash uchun umumiy formulalar

Uzunlik va balandlik uchun uchburchak maydoni formulasi

S=a*h/2,
bu yerda a - maydoni topiladigan uchburchak tomonining uzunligi, h - asosga chizilgan balandlikning uzunligi.

Heron formulasi

S=√p*(p-a)*(p-b)*(p-c),
bu yerda √ - kvadrat ildiz, p - uchburchakning yarim perimetri, a,b,c uchburchakning har bir tomonining uzunligi. Uchburchakning yarim perimetrini p=(a+b+c)/2 formulasi yordamida hisoblash mumkin.

Segmentning burchagi va uzunligi bo'yicha uchburchakning maydoni uchun formula

S = (a*b*sin(a))/2,
qayerda b, c uchburchak tomonlarining uzunligi, sin (a) ikki tomon orasidagi burchakning sinusidir.

Uchburchakning maydoni uchun formulada chizilgan doira va uch tomonning radiusi berilgan

S=p*r,
Bu erda p - maydoni topiladigan uchburchakning yarim perimetri, r - bu uchburchak ichiga chizilgan aylananing radiusi.

Uchburchakning uch tomoni va uning atrofida aylana radiusi berilgan uchburchakning maydoni formulasi

S= (a*b*c)/4*R,
Bu yerda a,b,c - uchburchakning har bir tomonining uzunligi, R - uchburchak atrofida aylana radiusi.

Nuqtalarning dekart koordinatalarida uchburchakning maydoni formulasi

Nuqtalarning dekart koordinatalari xOy sistemasidagi koordinatalar bolib, bu erda x abssissa, y esa ordinatadir. Tekislikdagi xOy dekart koordinatalar tizimi O nuqtada umumiy mos yozuvlar nuqtasi bo'lgan Ox va Oy o'zaro perpendikulyar sonli o'qlar deb ataladi. Agar bu tekislikdagi nuqtalarning koordinatalari A (x1, y1), B (x2,) ko'rinishda berilgan bo'lsa. y2) va C (x3, y3 ), keyin quyidagi formuladan foydalanib, uchburchakning maydonini hisoblashingiz mumkin. vektor mahsuloti ikkita vektor.
S = |(x1 – x3) (y2 – y3) – (x2 – x3) (y1 – y3)|/2,
qaerda || modulni anglatadi.

To'g'ri burchakli uchburchakning maydonini qanday topish mumkin

To'g'ri burchakli uchburchak - bu bir burchagi 90 daraja bo'lgan uchburchak. Uchburchakda faqat bitta burchak bo'lishi mumkin.

Ikki oyoq ustidagi to'g'ri burchakli uchburchakning maydoni uchun formula

S=a*b/2,
Bu erda a,b - oyoqlarning uzunligi. Oyoqlar to'g'ri burchakka ulashgan tomonlar deb ataladi.

To'g'ri burchakli uchburchakning maydoni uchun formula gipotenuza va o'tkir burchakni hisobga olgan holda

S = a*b*sin(a)/ 2,
bu yerda a, b uchburchakning katetlari, sin(a) esa a, b chiziqlar kesishgan burchak sinusidir.

Oyoq va qarama-qarshi burchak bo'yicha to'g'ri burchakli uchburchakning maydoni uchun formula

S = a*b/2*tg(b),
bu yerda a, b - uchburchakning oyoqlari, tg(b) - a, b oyoqlari tutashgan burchak tangensi.

Teng yonli uchburchakning maydonini qanday hisoblash mumkin

Teng yon tomonli uchburchak - bu ikkita teng tomoni bo'lgan uchburchak. Bu tomonlar tomonlar deb ataladi, boshqa tomoni esa asosdir. Teng yonli uchburchakning maydonini hisoblash uchun quyidagi formulalardan birini qo'llashingiz mumkin.

Teng yonli uchburchakning maydonini hisoblashning asosiy formulasi

S=h*c/2,
Bu erda c - uchburchakning asosi, h - uchburchakning poydevoriga tushirilgan balandligi.

Yon tomoni va asosidagi teng yonli uchburchak formulasi

S=(c/2)* √(a*a – c*c/4),
Bu erda c - uchburchakning asosi, a - teng yonli uchburchakning tomonlaridan birining qiymati.

Teng tomonli uchburchakning maydonini qanday topish mumkin

Teng tomonli uchburchak - bu barcha tomonlari teng bo'lgan uchburchak. Teng tomonli uchburchakning maydonini hisoblash uchun siz quyidagi formuladan foydalanishingiz mumkin:
S = (√3*a*a)/4,
bu yerda a - teng yonli uchburchak tomonining uzunligi.

Yuqoridagi formulalar sizga uchburchakning kerakli maydonini hisoblash imkonini beradi. Shuni esda tutish kerakki, uchburchaklar oralig'ini hisoblash uchun uchburchak turini va hisoblash uchun ishlatilishi mumkin bo'lgan mavjud ma'lumotlarni hisobga olish kerak.

Uchburchakning maydoni. Maydonlarni hisoblash bilan bog'liq ko'plab geometriya muammolarida uchburchakning maydoni uchun formulalar qo'llaniladi. Ulardan bir nechtasi bor, bu erda biz asosiylarini ko'rib chiqamiz.Ushbu formulalarni sanab o'tish juda oddiy va foydasiz bo'lar edi. Biz eng ko'p ishlatiladigan asosiy formulalarning kelib chiqishini tahlil qilamiz.

Formulalarning kelib chiqishi bilan tanishishdan oldin, maqolani ko'rib chiqing.Materialni o'rganib chiqqandan so'ng, formulalarni xotirada osongina tiklashingiz mumkin (agar ular siz uchun to'g'ri vaqtda to'satdan "uchib ketsa").

Birinchi formula

Paralelogrammaning diagonali uni teng maydonli ikkita uchburchakka ajratadi:

Shunday qilib, uchburchakning maydoni parallelogramm maydonining yarmiga teng bo'ladi:

Uchburchak maydoni formulasi

* Ya'ni, agar biz uchburchakning biron bir tomonini va bu tomonga tushirilgan balandligini bilsak, biz har doim bu uchburchakning maydonini hisoblashimiz mumkin.

Formula ikkinchi

Paralelogramm maydoni haqidagi maqolada aytib o'tilganidek, formula quyidagi shaklga ega:

Uchburchakning maydoni uning yarmiga teng, shuning uchun:

*Ya'ni, agar uchburchakning har qanday ikki tomoni va ular orasidagi burchak ma'lum bo'lsa, biz har doim bunday uchburchakning maydonini hisoblashimiz mumkin.

Heron formulasi (uchinchi)

Ushbu formulani olish qiyin va sizga kerak emas. Qarang, u qanchalik go'zal, biz uni eslab qolishgan deb aytishimiz mumkin.

*Agar uchburchakning uch tomoni berilgan bo'lsa, bu formuladan foydalanib, biz har doim uning maydonini hisoblashimiz mumkin.

Formula to'rtinchi

qayerda rchizilgan aylana radiusi

*Agar uchburchakning uch tomoni va unga chizilgan aylananing radiusi maʼlum boʻlsa, biz har doim bu uchburchakning maydonini topishimiz mumkin.

Formula besh

qayerda Rchegaralangan aylana radiusi.

*Agar uchburchakning uch tomoni va aylana radiusi maʼlum boʻlsa, biz har doim bunday uchburchakning maydonini topishimiz mumkin.

Savol tug'iladi: agar uchburchakning uch tomoni ma'lum bo'lsa, uning maydonini Heron formulasi yordamida topish osonroq emasmi?

Ha, bu osonroq, lekin har doim ham emas, ba'zida qiyin bo'ladi. Bu ildizni olib tashlash bilan bog'liq. Bundan tashqari, bu formulalar uchburchakning maydoni berilgan, uning tomonlari berilgan va chizilgan yoki aylana radiusini topish talab qilinadigan masalalarda foydalanish uchun juda qulaydir. Bunday vazifalar imtihonga kiritilgan.

Keling, formulani ko'rib chiqaylik:

Bu doira chizilgan ko'pburchak maydoni uchun formulaning alohida holati:

Buni beshburchak misolida ko'rib chiqing:

Biz aylananing markazini shu beshburchakning uchlari bilan bog'laymiz va markazdan uning yon tomonlariga perpendikulyarlarni tushiramiz. Biz beshta uchburchakni olamiz, tushirilgan perpendikulyarlar chizilgan doiraning radiusi:

Pentagonning maydoni:

Endi aniq bo'ldiki, agar biz uchburchak haqida gapiradigan bo'lsak, unda bu formula quyidagi shaklni oladi:

Oltinchi formula

Uchburchak eng oddiy geometrik figura bo'lib, u uch tomondan va uchta cho'qqidan iborat. Oddiyligi tufayli uchburchak qadim zamonlardan beri turli o'lchovlar uchun ishlatilgan va bugungi kunda bu raqam amaliy va kundalik muammolarni hal qilish uchun foydali bo'lishi mumkin.

Uchburchakning xususiyatlari

Bu raqam qadim zamonlardan beri hisob-kitoblar uchun ishlatilgan, masalan, geodeziyachilar va astronomlar maydonlar va masofalarni hisoblash uchun uchburchaklar xususiyatlari bilan ishlaydi. Ushbu raqamning maydoni orqali har qanday n-gonning maydonini ifodalash oson va bu xususiyat qadimgi olimlar tomonidan ko'pburchaklar sohalari uchun formulalar olish uchun ishlatilgan. Doimiy ish uchburchaklar bilan, ayniqsa to'g'ri burchakli uchburchak bilan, matematikaning butun bir bo'limi - trigonometriya uchun asos bo'ldi.

uchburchak geometriyasi

Xususiyatlari geometrik shakl qadim zamonlardan beri o'rganilgan: uchburchak haqidagi eng qadimgi ma'lumotlar Misr papiruslarida 4000 yil oldin topilgan. Keyin raqam o'rganildi Qadimgi Gretsiya va uchburchak geometriyasiga eng katta hissa Evklid, Pifagor va Heron tomonidan qo'shilgan. Uchburchakni o'rganish hech qachon to'xtamadi va 18-asrda Leonhard Eyler figuraning ortosentri va Eyler doirasi tushunchasini kiritdi. 19-20-asrlar oxirida, uchburchak haqida hamma narsa ma'lum bo'lib tuyulganda, Frenk Morli burchak trisektorlari haqidagi teoremani shakllantirdi va Vatslav Serpinski fraktal uchburchakni taklif qildi.

Bizga tanish bo'lgan bir necha turdagi tekis uchburchaklar mavjud maktab kursi geometriyalari:

• o'tkir burchakli - shaklning barcha burchaklari o'tkir;
• o'tmas - raqam bitta o'tmas burchakka ega (90 darajadan katta);
• to'rtburchaklar - rasmda 90 darajaga teng bitta to'g'ri burchak mavjud;
• isosceles - ikki tomoni teng bo'lgan uchburchak;
• teng tomonli - barcha tomonlari teng bo'lgan uchburchak.
• DA haqiqiy hayot har xil turdagi uchburchaklar mavjud va ba'zi hollarda geometrik shaklning maydonini hisoblashimiz kerak bo'lishi mumkin.

Uchburchakning maydoni

Maydon - bu raqam tekislikning qancha qismini chegaralashini taxmin qilish. Uchburchakning maydonini oltita usulda topish mumkin: tomonlari, balandligi, burchaklari, chizilgan yoki chegaralangan doira radiusi, shuningdek, Heron formulasi yordamida yoki tekislikni chegaralovchi chiziqlar bo'ylab qo'sh integralni hisoblash. Uchburchakning maydonini hisoblashning eng oddiy formulasi:

Bu erda a - uchburchakning tomoni, h - balandligi.

Biroq, amalda biz uchun geometrik figuraning balandligini topish har doim ham qulay emas. Bizning kalkulyatorimiz algoritmi sizga hududni hisoblash imkonini beradi:

• uch tomon;
• ikki tomon va ular orasidagi burchak;
• bir tomoni va ikkita burchagi.

Uch tomon bo'yicha maydonni aniqlash uchun biz Heron formulasidan foydalanamiz:

S = sqrt (p × (p-a) × (p-b) × (p-c)),

bu erda p - uchburchakning yarim perimetri.

Ikki tomondan va burchakdagi maydonni hisoblash klassik formula bo'yicha amalga oshiriladi:

S = a × b × sin(alfa),

Bu erda alfa - a va b tomonlari orasidagi burchak.

Bir tomon va ikki burchak orqali maydonni aniqlash uchun biz quyidagi munosabatdan foydalanamiz:

a / sin (alfa) = b / sin (beta) = c / sin (gamma)

Oddiy nisbatdan foydalanib, biz ikkinchi tomonning uzunligini aniqlaymiz, shundan so'ng biz S = a × b × sin (alfa) formulasi yordamida maydonni hisoblaymiz. Ushbu algoritm to'liq avtomatlashtirilgan va siz faqat berilgan o'zgaruvchilarni kiritishingiz va natijani olishingiz kerak. Keling, bir nechta misollarni ko'rib chiqaylik.

Haqiqiy hayot misollari

yulka plitalari

Aytaylik, siz polni uchburchak plitkalar bilan qoplamoqchisiz va miqdorni aniqlamoqchisiz zarur material, siz bitta plitkaning maydonini va zaminning maydonini bilib olishingiz kerak. Aytaylik, siz o'lchamlari a = 20 sm, b = 21 sm, c = 29 sm bo'lgan plitka yordamida 6 kvadrat metr sirtni qayta ishlashingiz kerak. Shubhasiz, kalkulyator uchburchakning maydonini hisoblash uchun Heron formulasidan foydalanadi va shunday bo'ladi. natija bering:

Shunday qilib, bitta plitka elementining maydoni 0,021 kvadrat metrni tashkil qiladi va polni yaxshilash uchun sizga 6 / 0,021 \u003d 285 uchburchak kerak bo'ladi. 20, 21 va 29 raqamlari Pifagorning uchlik sonlarini tashkil qiladi, bu ularni qondiradi. Va bu to'g'ri, bizning kalkulyatorimiz ham uchburchakning barcha burchaklarini hisoblab chiqdi va gamma burchagi aniq 90 daraja.

maktab vazifasi

Maktab muammosida siz uchburchakning maydonini topishingiz kerak, chunki uning tomoni a \u003d 5 sm, yaraning alfa va beta burchaklari mos ravishda 30 va 50 daraja. Bu masalani qo‘lda yechish uchun, avvalo, tomonlar nisbati va qarama-qarshi burchaklarning sinuslari yordamida b tomonining qiymatini topamiz, so‘ngra oddiy S = a × b × sin(alfa) formulasi yordamida maydonni aniqlaymiz. Keling, vaqtni tejaylik, ma'lumotlarni kalkulyator formasiga kiritamiz va bir zumda javob olamiz

Kalkulyatordan foydalanganda burchak va tomonlarni to'g'ri ko'rsatish muhim, aks holda natija noto'g'ri bo'ladi.

Xulosa

Uchburchak haqiqiy hayotda ham, mavhum hisob-kitoblarda ham uchraydigan noyob raqamdir. Har qanday turdagi uchburchaklar maydonini topish uchun onlayn kalkulyatorimizdan foydalaning.