"Get an A" video kursi matematikadan 60-65 ballgacha imtihonni muvaffaqiyatli topshirish uchun zarur bo'lgan barcha mavzularni o'z ichiga oladi. Matematikada FOYDALANISH profilining 1-13 barcha topshiriqlarini toʻliq bajaring. Matematikada asosiy USE ni topshirish uchun ham javob beradi. Imtihonni 90-100 ball bilan topshirmoqchi bo'lsangiz, 1-qismni 30 daqiqada va xatosiz hal qilishingiz kerak!

10-11-sinflar uchun, shuningdek, o'qituvchilar uchun imtihonga tayyorgarlik kursi. Matematika bo'yicha imtihonning 1-qismini (birinchi 12 ta masala) va 13-masalani (trigonometriya) hal qilish uchun kerak bo'lgan hamma narsa. Va bu Yagona davlat imtihonida 70 balldan oshadi va na yuz ball talaba, na gumanist ularsiz qila olmaydi.

Barcha kerakli nazariya. Imtihonning tezkor echimlari, tuzoqlari va sirlari. FIPI Bankining vazifalaridan 1-qismning barcha tegishli vazifalari tahlil qilindi. Kurs USE-2018 talablariga to‘liq javob beradi.

Kurs har biri 2,5 soatdan iborat 5 ta katta mavzuni o'z ichiga oladi. Har bir mavzu noldan, sodda va aniq berilgan.

Yuzlab imtihon topshiriqlari. Matnli masalalar va ehtimollar nazariyasi. Muammoni hal qilishning oddiy va esda qoladigan algoritmlari. Geometriya. Nazariya, ma'lumotnoma, USE vazifalarining barcha turlarini tahlil qilish. Stereometriya. Yechish uchun ayyor fokuslar, foydali varaqlar, fazoviy tasavvurni rivojlantirish. Trigonometriya noldan - 13-topshiriqga. Qiyinchilik o'rniga tushunish. Murakkab tushunchalarni vizual tushuntirish. Algebra. Ildizlar, darajalar va logarifmlar, funksiya va hosila. Imtihonning 2-qismining murakkab masalalarini yechish uchun asos.

Sof matematik va amaliy xarakterdagi (ayniqsa qurilishda) har xil turdagi muammolarni hal qilishda ko'pincha ma'lum bir geometrik figuraning balandligi qiymatini aniqlash kerak bo'ladi. Uchburchakda berilgan qiymatni (balandlikni) qanday hisoblash mumkin?

Agar bitta to'g'ri chiziqda joylashgan bo'lmagan 3 nuqtani juft-juft qilib birlashtirsak, natijada olingan rasm uchburchak bo'ladi. Balandlik - bu figuraning istalgan tepasidan chiziqning bir qismi bo'lib, u qarama-qarshi tomon bilan kesishganda 90 ° burchak hosil qiladi.

Masshtabli uchburchakda balandlikni toping

Shaklning ixtiyoriy burchaklari va tomonlari bo'lsa, uchburchak balandligining qiymatini aniqlaylik.

Heron formulasi

h(a)=(2√(p(p-a)*(p-b)*(p-c)/a, bu yerda

p - shakl perimetrining yarmi, h(a) - a tomoniga bo'lgan segment, unga to'g'ri burchak ostida chizilgan;

p=(a+b+c)/2 – yarim perimetrni hisoblash.

Agar rasmning maydoni bo'lsa, uning balandligini aniqlash uchun siz h(a)=2S/a nisbatidan foydalanishingiz mumkin.

Trigonometrik funktsiyalar

A tomoni bilan kesishgan joyda to‘g‘ri burchak hosil qiluvchi segment uzunligini aniqlash uchun quyidagi munosabatlardan foydalanish mumkin: agar b tomoni va g burchagi yoki c tomoni va b burchagi ma’lum bo‘lsa, h(a)=b*sing. yoki h(a)=c *sinb.
Qayerda:
g - b va a tomonlari orasidagi burchak,
b - c va a tomoni orasidagi burchak.

Radius bilan bog'liqlik

Agar asl uchburchak aylana ichiga yozilgan bo'lsa, balandlikni aniqlash uchun bunday doira radiusidan foydalanishingiz mumkin. Uning markazi barcha 3 balandlik kesishgan nuqtada (har bir cho'qqidan) joylashgan - ortosentr va undan cho'qqigacha bo'lgan masofa (har qanday) radiusdir.

Keyin h(a)=bc/2R, bu yerda:
b, c - uchburchakning boshqa 2 tomoni,
R - uchburchakni tavsiflovchi aylananing radiusi.

To'g'ri burchakli uchburchakda balandlikni toping

Geometrik shaklning bu shaklida kesishmadagi 2 tomon to'g'ri burchak hosil qiladi - 90 °. Shuning uchun, agar undagi balandlik qiymatini aniqlash kerak bo'lsa, u holda oyoqlardan birining o'lchamini yoki gipotenuza bilan 90 ° ni tashkil etadigan segmentning o'lchamini hisoblash kerak. Belgilashda:
a, b - oyoqlar,
c - gipotenuza,
h(c) gipotenuzaga perpendikulyar.
Quyidagi nisbatlar yordamida kerakli hisob-kitoblarni amalga oshirishingiz mumkin:

• Pifagor teoremasi:

a \u003d √ (c 2 -b 2),
b \u003d √ (c 2 -a 2),
h(c)=2S/c S=ab/2, keyin h(c)=ab/c .

• Trigonometrik funktsiyalar:

a=c*sinb,
b=c* cosb,
h(c)=ab/c=s* sinb* cosb.

Teng yonli uchburchakda balandlikni toping

Ushbu geometrik raqam teng o'lchamdagi ikki tomonning va uchinchisi - taglikning mavjudligi bilan ajralib turadi. Uchinchi, boshqa tomonga chizilgan balandlikni aniqlash uchun Pifagor teoremasi yordamga keladi. Belgilar bilan
a - tomon,
c - asos,
h(c) 90° burchak ostida c ga boʻlgan segment, u holda h(c)=1/2 √(4a 2 -c 2).

Avvalo, uchburchak geometrik figura bo'lib, u bitta to'g'ri chiziqda yotmaydigan, uchta segment bilan bog'langan uchta nuqtadan hosil bo'ladi. Uchburchakning balandligi nima ekanligini bilish uchun, birinchi navbatda, uning turini aniqlash kerak. Uchburchaklar burchaklarning kattaligi va teng burchaklar soni bilan farqlanadi. Burchaklarning o'lchamiga ko'ra, uchburchak o'tkir burchakli, to'g'ri burchakli va to'g'ri burchakli bo'lishi mumkin. Teng tomonlar soniga ko'ra, teng yonli, teng yonli va masshtabli uchburchaklar farqlanadi. Balandlik - bu uchburchakning qarama-qarshi tomoniga uning tepasidan tushirilgan perpendikulyar. Uchburchakning balandligini qanday topish mumkin?

Teng yonli uchburchakning balandligini qanday topish mumkin

Teng yonli uchburchak tomonlari va poydevoridagi burchaklarning tengligi bilan tavsiflanadi, shuning uchun yon tomonlarga chizilgan teng yonli uchburchakning balandliklari doimo bir-biriga teng. Shuningdek, bu uchburchakning balandligi ham mediana, ham bissektrisadir. Shunga ko'ra, balandlik poydevorni yarmiga ajratadi. Olingan to'g'ri burchakli uchburchakni ko'rib chiqamiz va Pifagor teoremasidan foydalanib, teng yonli uchburchakning tomonini, ya'ni balandligini topamiz. Quyidagi formuladan foydalanib, biz balandlikni hisoblaymiz: H \u003d 1/2 * √4 * a 2 - b 2, bu erda: a - bu teng yonli uchburchakning tomoni, b - bu teng yonli uchburchakning asosi.

Teng tomonli uchburchakning balandligini qanday topish mumkin

Tomonlari teng bo'lgan uchburchak teng tomonli uchburchak deyiladi. Bunday uchburchakning balandligi teng yonli uchburchakning balandligi formulasidan kelib chiqadi. Bundan chiqadi: H = √3/2*a, bu erda a - berilgan teng yonli uchburchakning tomoni.

Masshtabli uchburchakning balandligini qanday topish mumkin

Masshtabli uchburchak - bu ikki tomoni bir-biriga teng bo'lmagan uchburchak. Bunday uchburchakda barcha uchta balandlik boshqacha bo'ladi. Siz balandlik uzunligini formuladan foydalanib hisoblashingiz mumkin: H \u003d sin60 * a \u003d a * (sgrt3) / 2, bu erda a - uchburchakning tomoni yoki avval ma'lum bir uchburchakning maydonini hisoblab chiqing. Heron formulasi, u quyidagicha ko'rinadi: S \u003d (p * (p-c) * (p-b)*(p-a))^1/2, bu erda a, b, c skalen uchburchakning tomonlari va p - uning yarim perimetri . Har bir balandlik = 2 * maydon/yon

To'g'ri burchakli uchburchakning balandligini qanday topish mumkin

To'g'ri uchburchakda bitta to'g'ri burchak bor. Oyoqlardan biriga o'tadigan balandlik bir vaqtning o'zida ikkinchi oyoqdir. Shuning uchun, oyoqlarda yotgan balandliklarni topish uchun siz o'zgartirilgan Pifagor formulasidan foydalanishingiz kerak: a \u003d √ (c 2 - b 2), bu erda a, b - oyoqlar (a - topiladigan oyoq), c gipotenuzaning uzunligi. Ikkinchi balandlikni topish uchun hosil bo'lgan a qiymatini b o'rniga qo'yish kerak. Uchburchak ichida joylashgan uchinchi balandlikni topish uchun quyidagi formuladan foydalaniladi: h \u003d 2s / a, bu erda h - to'g'ri burchakli uchburchakning balandligi, s - uning maydoni, a - tomonning uzunligi. balandligi perpendikulyar bo'ladi.

Agar barcha burchaklari o'tkir bo'lsa, uchburchak o'tkir deyiladi. Bunday holda, barcha uchta balandlik o'tkir uchburchak ichida joylashgan. Agar uchburchak bitta o'tmas burchakka ega bo'lsa, u to'g'ri burchakli deyiladi. O'tkir uchburchakning ikkita balandligi uchburchakdan tashqarida bo'lib, tomonlarning kengaytmasiga to'g'ri keladi. Uchinchi tomon uchburchak ichida joylashgan. Balandlik bir xil Pifagor teoremasi yordamida aniqlanadi.

Uchburchak balandligini hisoblash kabi umumiy formulalar

• Tomonlari orqali uchburchakning balandligini topish formulasi: H= 2/a √p*(p-c)*(p-b)*(p-b), bu yerda h topiladigan balandlik, a, b va c tomonlari. berilgan uchburchakning p - uning yarim perimetri, .
• Uchburchak balandligini burchak va tomoni bo'yicha topish formulasi: H=b sin y = c sin ß.
• Uchburchakning balandligini maydoni va tomoni bo'yicha topish formulasi: h = 2S / a, bu erda a - uchburchakning tomoni, h - a tomoniga qurilgan balandlik.
• Uchburchak balandligini radiusi va tomonlari bo'yicha topish formulasi: H= bc/2R.

Sizning maxfiyligingiz biz uchun muhim. Shu sababli, biz sizning ma'lumotlaringizdan qanday foydalanishimiz va saqlashimizni tavsiflovchi Maxfiylik siyosatini ishlab chiqdik. Iltimos, maxfiylik siyosatimizni o'qing va savollaringiz bo'lsa, bizga xabar bering.

Shaxsiy ma'lumotlarni to'plash va ulardan foydalanish

Shaxsiy ma'lumotlar ma'lum bir shaxsni aniqlash yoki unga murojaat qilish uchun ishlatilishi mumkin bo'lgan ma'lumotlarni anglatadi.

Biz bilan bog'langaningizda istalgan vaqtda shaxsiy ma'lumotlaringizni taqdim etishingiz so'ralishi mumkin.

Quyida biz to'plashimiz mumkin bo'lgan shaxsiy ma'lumotlar turlari va bunday ma'lumotlardan qanday foydalanishimiz mumkinligiga ba'zi misollar keltirilgan.

Biz qanday shaxsiy ma'lumotlarni yig'amiz:

• Saytda ariza topshirganingizda, biz turli xil ma'lumotlarni, jumladan ismingiz, telefon raqamingiz, elektron pochta manzilingiz va hokazolarni to'plashimiz mumkin.

Shaxsiy ma'lumotlaringizdan qanday foydalanamiz:

• Biz to'playdigan shaxsiy ma'lumotlar bizga siz bilan bog'lanish va noyob takliflar, aktsiyalar va boshqa tadbirlar va bo'lajak tadbirlar haqida sizni xabardor qilish imkonini beradi.
• Vaqti-vaqti bilan biz sizning shaxsiy ma'lumotlaringizdan muhim xabarlar va xabarlarni yuborish uchun foydalanishimiz mumkin.
• Shuningdek, biz shaxsiy ma'lumotlardan biz taqdim etayotgan xizmatlarni yaxshilash va sizga xizmatlarimiz bo'yicha tavsiyalar berish uchun auditlar, ma'lumotlarni tahlil qilish va turli tadqiqotlar o'tkazish kabi ichki maqsadlarda foydalanishimiz mumkin.
• Agar siz sovrinlar o'yiniga, tanlovga yoki shunga o'xshash rag'batga kirsangiz, biz bunday dasturlarni boshqarish uchun siz taqdim etgan ma'lumotlardan foydalanishimiz mumkin.

Uchinchi shaxslarga oshkor qilish

Biz sizdan olingan ma'lumotlarni uchinchi shaxslarga oshkor etmaymiz.

Istisnolar:

• Zarur bo'lganda - qonunga, sud tartibiga, sud protsessida va / yoki Rossiya Federatsiyasi hududidagi davlat organlarining so'rovlari yoki so'rovlari asosida shaxsiy ma'lumotlaringizni oshkor qiling. Shuningdek, biz siz haqingizdagi ma'lumotlarni oshkor qilishimiz mumkin, agar bunday oshkor qilish xavfsizlik, huquqni muhofaza qilish yoki boshqa jamoat manfaatlari uchun zarur yoki mos ekanligini aniqlasak.
• Qayta tashkil etish, qo'shilish yoki sotilgan taqdirda, biz to'plagan shaxsiy ma'lumotlarni tegishli uchinchi tomon merosxo'riga topshirishimiz mumkin.

Shaxsiy ma'lumotlarni himoya qilish

Shaxsiy ma'lumotlaringizni yo'qotish, o'g'irlash va noto'g'ri foydalanish, shuningdek ruxsatsiz kirish, oshkor qilish, o'zgartirish va yo'q qilishdan himoya qilish uchun ma'muriy, texnik va jismoniy ehtiyot choralarini ko'ramiz.

Maxfiyligingizni kompaniya darajasida saqlash

Sizning shaxsiy ma'lumotlaringiz xavfsizligini ta'minlash uchun biz maxfiylik va xavfsizlik amaliyotlarini xodimlarimizga yetkazamiz va maxfiylik amaliyotlarini qat'iy ravishda qo'llaymiz.

Uchburchakning balandligi - bu uchburchakning istalgan tepasidan qarama-qarshi tomonga yoki uning kengaytmasiga tushirilgan perpendikulyar (perpendikulyar tushadigan tomon, bu holda uchburchakning asosi deb ataladi).

O'tkir uchburchakda ikki balandlik tomonlarning kengaytmasiga tushadi va uchburchakdan tashqarida yotadi. Uchinchisi uchburchak ichida.

O'tkir uchburchakda uchta balandlik uchburchak ichida yotadi.

To'g'ri uchburchakda oyoqlar balandlik vazifasini bajaradi.

Baza va maydondan balandlikni qanday topish mumkin

Uchburchakning maydonini hisoblash formulasini eslang. Uchburchakning maydoni quyidagi formula bo'yicha hisoblanadi: A=1/2bh.

• A - uchburchakning maydoni
• b - uchburchakning balandligi tushirilgan tomoni.
• h - uchburchakning balandligi

Uchburchakka qarang va qanday miqdorlarni allaqachon bilganingiz haqida o'ylang. Agar sizga hudud berilgan bo'lsa, uni "A" yoki "S" harfi bilan belgilang. Sizga yon tomonning qiymati ham berilishi kerak, uni "b" harfi bilan belgilang. Agar sizga hudud berilmasa va sizga bir tomon berilmasa, boshqa usuldan foydalaning.

Yodda tutingki, uchburchakning asosi balandligi tushirilgan uchburchakning istalgan tomoni bo'lishi mumkin (uchburchak qanday joylashganidan qat'iy nazar). Buni yaxshiroq tushunish uchun, bu uchburchakni aylantirishingiz mumkinligini tasavvur qiling. Uni o'zingiz bilgan tomon pastga qaraydigan qilib aylantiring.

Masalan, uchburchakning maydoni 20 ga, tomonlaridan biri esa 4 ga teng.

Hududni hisoblash formulasida sizga berilgan qiymatlarni almashtiring (A \u003d 1 / 2bh) va balandlikni toping. Avval (b) tomonni 1/2 ga ko'paytiring, so'ngra maydonni (A) olingan qiymatga bo'ling. Shu tarzda siz uchburchakning balandligini topasiz.

Bizning misolimizda: 20 = 1/2 (4) h

20 = 2 soat
10 = h

Teng tomonli uchburchakning xususiyatlarini eslang. Teng tomonli uchburchakda barcha tomonlar va barcha burchaklar teng (har bir burchak 60˚). Agar siz bunday uchburchakda balandlik chizsangiz, ikkita teng to'g'ri burchakli uchburchak olasiz.
Masalan, tomoni 8 bo'lgan teng tomonli uchburchakni ko'rib chiqing.

Pifagor teoremasini eslang. Pifagor teoremasida aytilishicha, "a" va "b" oyoqlari bo'lgan har qanday to'g'ri burchakli uchburchakda "c" gipotenuzasi: a2 + b2 \u003d c2. Bu teorema teng yonli uchburchakning balandligini topish uchun ishlatilishi mumkin!

Teng tomonli uchburchakni ikkita to'g'ri burchakli uchburchakka bo'ling (buning uchun balandlikni chizing). Keyin to'g'ri uchburchaklardan birining tomonlarini belgilang. Teng yonli uchburchakning yon tomoni to'g'ri burchakli uchburchakning gipotenuzasi "c" dir. "a" oyog'i teng tomonli uchburchak tomonining 1/2 qismiga teng, "b" oyog'i esa teng tomonli uchburchakning talab qilinadigan balandligi.

Shunday qilib, bizning misolimizda ma'lum tomoni 8 ga teng bo'lgan teng tomonli uchburchak bilan: c = 8 va a = 4.

Ushbu qiymatlarni Pifagor teoremasiga almashtiring va b2 ni hisoblang. Birinchidan, "c" va "a" kvadratlari (har bir qiymatni o'z-o'zidan ko'paytiring). Keyin c2 dan a2 ni ayiring.

42 + b2 = 82
16 + b2 = 64
b2 = 48

Uchburchakning balandligini topish uchun b2 ning kvadrat ildizini oling. Buning uchun kalkulyatordan foydalaning. Olingan qiymat teng qirrali uchburchakning balandligi bo'ladi!

b = √48 = 6,93

Burchaklar va tomonlar yordamida balandlikni qanday topish mumkin

Qaysi qadriyatlarni bilishingiz haqida o'ylab ko'ring. Agar siz tomonlari va burchaklarini bilsangiz, uchburchakning balandligini topishingiz mumkin. Masalan, taglik va yon tomon orasidagi burchak ma'lum bo'lsa. Yoki har uch tomonning qiymatlari ma'lum bo'lsa. Shunday qilib, uchburchakning tomonlarini belgilaymiz: "a", "b", "c", uchburchakning burchaklari: "A", "B", "C" va maydoni - "S" harfi.

Agar siz uchta tomonni bilsangiz, sizga uchburchakning maydoni va Heron formulasi kerak bo'ladi.

Agar siz ikki tomonni va ular orasidagi burchakni bilsangiz, maydonni topish uchun quyidagi formuladan foydalanishingiz mumkin: S=1/2ab(sinC).

Agar sizga uchta tomonning qiymatlari berilgan bo'lsa, Heron formulasidan foydalaning. Ushbu formula bir necha bosqichlarni talab qiladi. Avval siz "s" o'zgaruvchisini topishingiz kerak (biz bu harf bilan uchburchak perimetrining yarmini belgilaymiz). Buning uchun ma'lum qiymatlarni ushbu formulaga almashtiring: s = (a+b+c)/2.

Tomonlari a = 4, b = 3, c = 5, s = (4+3+5)/2 bo'lgan uchburchak uchun. Natija: s=12/2, bunda s=6.

Keyin, ikkinchi harakat bilan biz maydonni topamiz (Geron formulasining ikkinchi qismi). Maydon = √(s(s-a)(s-b)(s-c)). "Maydon" so'zi o'rniga maydonni topish uchun ekvivalent formulani kiriting: 1/2bh (yoki 1/2ah yoki 1/2ch).

Endi balandlikning (h) ekvivalent ifodasini toping. Bizning uchburchak uchun quyidagi tenglama amal qiladi: 1/2(3)h = (6(6-4)(6-3)(6-5)). Bu yerda 3/2h=√(6(2(3(1)))). 3/2h = √(36) ekan. Kalkulyator yordamida kvadrat ildizni hisoblang. Bizning misolimizda: 3/2h = 6. Ma'lum bo'lishicha, balandlik (h) 4, b tomoni asosdir.

Muammoning sharti bo'yicha ikki tomon va burchak ma'lum bo'lsa, siz boshqa formuladan foydalanishingiz mumkin. Formuladagi maydonni ekvivalent ifoda bilan almashtiring: 1/2bh. Shunday qilib, siz quyidagi formulani olasiz: 1/2bh = 1/2ab(sinC). Uni quyidagi shaklga soddalashtirish mumkin: bitta noma'lum o'zgaruvchini olib tashlash uchun h = a(sin C).

Endi hosil bo'lgan tenglamani yechish qoladi. Misol uchun, "a" = 3, "C" = 40 daraja bo'lsin. Keyin tenglama quyidagicha ko'rinadi: "h" = 3(sin 40). Kalkulyator va sinuslar jadvalidan foydalanib, "h" qiymatini hisoblang. Bizning misolimizda h = 1,928.