(Maqolaning oxiridagi 06.04.2017 yildagi qo'shimcha bo'limga e'tibor bering.)

Hisob va nazorat! Mamlakatimizda sotsializm va kommunizm qurilishi davridagi bu shiorni 40 yoshdan oshganlar yaxshi eslashlari kerak.

Lekin buxgalteriya hisobi yaxshi yo‘lga qo‘yilmasa, jamiyatning har qanday ijtimoiy-iqtisodiy shakllanishida ham mamlakatning ham, viloyatning ham, korxonaning ham, xonadonning ham samarali faoliyat yuritishi mumkin emas! Faoliyat va rivojlanish uchun prognozlar va rejalarni tayyorlash uchun dastlabki ma'lumotlar kerak. Ularni qayerga olib borish kerak? Faqat bitta ishonchli manba hisoblanadi sizning oldingi davrlarning statistik hisob ma'lumotlari.

Ularning faoliyati natijalarini hisobga olish, ma'lumotlarni to'plash va qayd etish, ma'lumotlarni qayta ishlash va tahlil qilish, tahlil natijalarini kelajakda to'g'ri qaror qabul qilish uchun qo'llash, mening fikrimcha, har bir aqli raso odam kerak. Bu to'plashdan boshqa narsa emas va oqilona foydalanish uning hayotiy tajriba. Agar siz muhim ma'lumotlarni qayd qilmasangiz, unda siz ma'lum davr siz ularni vaqt o'tishi bilan unutasiz va yana bu masalalar bilan shug'ullana boshlasangiz, bu bilan birinchi marta shug'ullanganingizda qilgan xatolaringiz yana takrorlanadi.

"Esimda, 5 yil oldin biz har oyda 1000 tagacha shunday mahsulotlar ishlab chiqargan bo'lsak, hozir esa 700 tasini zo'rg'a yig'ishimiz mumkin!" Biz statistikani ochamiz va 5 yil oldin hatto 500 dona ham ishlab chiqarilmaganini ko'ramiz ...

“Mashinangizning bir kilometri qancha turadi, hisobga olgan holda hammasi xarajatlar?" Biz statistikani ochamiz - 6 rubl / km. Ishga sayohat - 107 rubl. Taksidan (180 rubl) bir yarim baravar arzonroq. Va taksi arzonroq bo'lgan paytlar ham bo'lgan ...

"50 m balandlikdagi burchakli aloqa minorasi uchun metall konstruksiyalarni yasash uchun qancha vaqt ketadi?" Biz statistikani ochamiz - va 5 daqiqada javob tayyor ...

"Kvartiradagi xonani ta'mirlash qancha turadi?" Biz eski rekordlarni ko'taramiz, o'tgan yillardagi inflyatsiyaga tuzatish kiritamiz, oxirgi marta bozor narxidan 10% arzonroq materiallarni sotib olganimizni hisobga olamiz va biz taxminiy narxni allaqachon bilamiz ...

Sizning yozuvlaringizni saqlash kasbiy faoliyat, siz har doim boshliqning savoliga javob berishga tayyor bo'lasiz: "Qachon!!!???". Xo'jalik hisobini yuritish, qo'shimcha pul topish yoki muhim bo'lmagan xarajatlarni kamaytirish uchun tegishli choralarni ko'rish orqali kelajakda katta xaridlar, ta'tillar va boshqa xarajatlarni rejalashtirishni osonlashtiradi.

Ushbu maqolada men to'plangan statistik ma'lumotlarni kelajakdagi davrlarni bashorat qilishda foydalanish uchun Excelda qanday qayta ishlash mumkinligini ko'rsatish uchun oddiy misoldan foydalanaman.

Excelda statistik ma'lumotlarni tahliliy funktsiya orqali yaqinlashtirish.

Ishlab chiqarish maydonchasi lavha va profilli metall buyumlardan qurilish metall konstruksiyalarini ishlab chiqaradi. Sayt barqaror ishlaydi, buyurtmalar bir xil turdagi, ishchilar soni biroz o'zgarib turadi. O'tgan 12 oy davomida ishlab chiqarilgan mahsulotlar va guruhlar bo'yicha ushbu davrlarda qayta ishlangan prokat miqdori to'g'risida ma'lumotlar mavjud: choyshablar, I-nurlar, kanallar, burchaklar, dumaloq quvurlar, to'rtburchaklar kesimlar, dumaloq prokatlar. Dastlabki ma'lumotlarning dastlabki tahlilidan so'ng, metall konstruktsiyalarning oylik umumiy ishlab chiqarishi buyurtmalardagi burchaklar soniga sezilarli darajada bog'liq degan taxmin paydo bo'ldi. Keling, bu taxminni tekshirib ko'ramiz.

Avvalo, yaqinlashish haqida bir necha so'z. Biz qonunni - analitik funktsiyani, ya'ni funktsiyani qidiramiz tenglama bilan berilgan, bu metall konstruktsiyalarning umumiy chiqishining tugallangan buyurtmalardagi burchak chiziqlari soniga bog'liqligini boshqalarga qaraganda yaxshiroq tavsiflaydi. Bu yaqinlik bo'lib, topilgan tenglama jadval ko'rinishida berilgan dastlabki funksiya uchun yaqinlashuvchi funksiya deb ataladi.

1. Biz Excelni yoqamiz va varaqqa statistik ma'lumotlar bilan jadval joylashtiramiz.

2. Keyinchalik, biz tarqalish sxemasini quramiz va formatlaymiz, unda X o'qi bo'ylab argument qiymatlarini o'rnatamiz - tonnada qayta ishlangan burchaklar soni. Y o'qida biz asl funktsiyaning qiymatlarini chizamiz - jadvalda berilgan oyiga metall konstruktsiyalarning umumiy ishlab chiqarishi.

3. Sichqonchani diagrammadagi biron bir nuqta ustiga olib boring va kontekst menyusini chaqirish uchun sichqonchaning o'ng tugmachasini bosing (mening yaxshi do'stlarimdan biri aytganidek, notanish dasturda ishlayotganingizda, nima qilishni bilmasangiz, to'g'ri. - tez-tez bosing ...). Ochiladigan menyuda "Trend chizig'ini qo'shish ..." -ni tanlang.

4. Ko'rsatilgan "Trend chizig'i" oynasida "Type" yorlig'ida "Linear" ni tanlang.

6. Grafikda to'g'ri chiziq paydo bo'ldi, bu bizning jadvalga bog'liqligimizga yaqinlashadi.

Chiziqning o'ziga qo'shimcha ravishda, biz ushbu chiziqning tenglamasini ko'ramiz va eng muhimi, biz R 2 parametrining qiymatini - yaqinlashish ishonchliligining kattaligini ko'ramiz! Uning qiymati 1 ga qanchalik yaqin bo'lsa, tanlangan funksiya jadval ma'lumotlariga shunchalik aniqroq yaqinlashadi!

7. Chiziqli tendentsiya chizig'ini qurganimiz kabi kuch, logarifmik, eksponensial va ko'p nomli yondashuvlardan foydalangan holda trend chiziqlarini quramiz.

Tanlangan barcha funktsiyalarning ikkinchi darajali polinomi bizning ma'lumotlarimizga yaqinlashadi, u maksimal ishonchlilik koeffitsienti R 2 ga ega.

Biroq, men sizni ogohlantirmoqchiman! Agar siz yuqori darajali polinomlarni olsangiz, ehtimol siz yanada yaxshi natijalarga erishasiz, ammo egri chiziqlar murakkab ko'rinadi .... Bu erda biz mavjud funktsiyani qidirayotganimizni tushunish muhimdir jismoniy ma'no. Bu nimani anglatadi? Bu shuni anglatadiki, bizga nafaqat X qiymatlarining ko'rib chiqilgan diapazonida, balki undan tashqarida ham adekvat natijalarni beradigan yaqinlashuvchi funktsiya kerak, ya'ni u quyidagi savolga javob beradi: "Agar metall konstruktsiyalar soni bo'lsa, metall konstruktsiyalarning chiqishi qanday bo'ladi. oyiga qayta ishlangan burchaklar 45 dan kam va 168 tonnadan ortiq! Shuning uchun men yuqori darajali polinomlar bilan mashg'ul bo'lishni tavsiya etmayman va ehtiyotkorlik bilan parabolani (ikkinchi darajali polinom) tanlang!

Shunday qilib, biz nafaqat jadval ma'lumotlarini X=45...168 qiymatlari oralig'ida yaxshi interpolyatsiya qiladigan, balki ushbu diapazondan tashqarida adekvat ekstrapolyatsiya qilishga imkon beradigan funktsiyani tanlashimiz kerak. Men bu holda logarifmik funktsiyani tanlayman, garchi siz eng oddiy sifatida chiziqlini tanlashingiz mumkin. Ko'rib chiqilayotgan misolda, Excelda chiziqli yaqinlashishni tanlashda xatolar logarifmikni tanlashga qaraganda kattaroq bo'ladi, lekin unchalik emas.

8. Biz logarifmik funktsiyadan tashqari barcha trend chiziqlarini diagramma maydonidan olib tashlaymiz. Buni amalga oshirish uchun keraksiz satrlarni o'ng tugmasini bosing va ochiladigan kontekst menyusida "O'chirish" ni tanlang.

9. Nihoyat, jadval ma'lumotlar nuqtalariga xato qatorlarini qo'shamiz. Buni amalga oshirish uchun diagrammaning istalgan nuqtasini sichqonchaning o'ng tugmasi bilan bosing va kontekst menyusida "Ma'lumotlar seriyasining formati ..." ni tanlang va quyidagi rasmda ko'rsatilgandek "Y-xatolar" yorlig'ida ma'lumotlarni sozlang.

10. Keyin biz xato diapazonlarining istalgan satrini sichqonchaning o'ng tugmasi bilan bosing, kontekst menyusida va "Ko'rish" yorlig'idagi "Xatolar satri formati" oynasida "Xatolar satri formati ..." ni tanlang, rang va qalinlikni sozlang. chiziqlardan.

Boshqa har qanday diagramma ob'ektlari xuddi shu tarzda formatlanadi.excel!

Diagrammaning yakuniy natijasi quyidagi skrinshotda keltirilgan.

Natijalar.

Oldingi barcha harakatlarning natijasi y=-172.01*ln (x)+1188.2 ga yaqinlashtiruvchi funksiya uchun hosil boʻlgan formula boʻldi. Uni bilish va oylik ishlar to'plamidagi burchaklar soni, yuqori ehtimollik darajasi bilan (± 4% - xato chiziqlariga qarang) oy uchun metall konstruktsiyalarning umumiy ishlab chiqarishini taxmin qilish mumkin! Misol uchun, agar oylik rejada 140 tonna burchaklar mavjud bo'lsa, unda boshqa barcha narsalar teng bo'lsa, umumiy ishlab chiqarish 338 ± 14 tonnani tashkil qiladi.

Taxminan ishonchliligini oshirish uchun juda ko'p statistik ma'lumotlar bo'lishi kerak. O'n ikki juft qiymat etarli emas.

Amaliyotdan shuni aytamanki, ishonchlilik koeffitsienti R 2 >0,87 bo'lgan yaqinlashuvchi funktsiyani topishni yaxshi natija deb hisoblash kerak. Zo'r natija - R 2 >0,94 da.

Amalda, eng muhim hal qiluvchi omilni ajratib ko'rsatish qiyin bo'lishi mumkin (bizning misolimizda, bir oy ichida qayta ishlangan burchaklarning massasi), lekin agar urinib ko'rsangiz, uni har doim har bir aniq vazifada topishingiz mumkin! Albatta, oylik ishlab chiqarishning umumiy hajmi haqiqatan ham yuzlab omillarga bog'liq bo'lib, ular stavkani belgilovchilar va boshqa mutaxassislardan sezilarli mehnat sarflarini hisobga olishni talab qiladi. Faqat natija hali ham taxminiy bo'ladi! Matematik modellashtirish ancha arzon bo'lganda, xarajatlarni ko'tarishga arziydimi?

Ushbu maqolada men statistik ma'lumotlarni yig'ish, qayta ishlash va amaliy foydalanish deb ataladigan aysbergning faqat uchiga tegdim. Muvaffaqiyatga erishdimmi yoki yo'qmi, men sizning ushbu mavzuga qiziqishingizni uyg'otaman, qidiruv tizimlarida maqolaning sharhlari va reytingidan o'rganishga umid qilaman.

Bir o'zgaruvchining funktsiyasini yaqinlashtirish masalasi hayotning turli sohalarida keng amaliy qo'llanilishiga ega. Ammo funktsiyani yaqinlashtirish masalasini hal qilish ancha kengroq qo'llanilishiga ega bir nechta mustaqil o'zgaruvchilar .... Bu va boshqalar haqida keyingi blog postlarida o'qing.

Obuna boʻling Har bir maqolaning oxirida joylashgan oynada yoki sahifaning yuqori qismidagi oynada maqolalar e'lonlariga.

Esdan chiqarma tasdiqlang havolani bosish orqali obuna ko'rsatilgan pochta orqali sizga keladigan xatda (papkada kelishi mumkin « Spam » )!!!

Men sizning sharhlaringizni qiziqish bilan o'qiyman, aziz o'quvchilar! Yozing!

P.S. (04.06.2017)

Jadval ma'lumotlarini oddiy tenglama bilan juda aniq chiroyli almashtirish.

Olingan taxminiy aniqlik sizni qoniqtirmayapti (R 2<0,95) или вид и набор функций, предлагаемые MS Excel?

Taxminlovchi yuqori darajali ko‘phadning ifoda o‘lchamlari va chizig‘ining shakli ko‘zni quvontirmaydimi?

Jadval ma'lumotlaringizni moslashtirishning aniqroq va ixcham natijasi va bitta o'zgaruvchining funksiyasi bo'yicha yuqori aniqlikdagi yaqinlashish masalalarini hal qilishning oddiy texnikasini o'rganish uchun " " sahifasiga qarang.

Taklif etilgan harakatlar algoritmidan foydalanganda, eng yuqori taxminiy aniqlikni ta'minlaydigan juda ixcham funksiya topildi: R 2 =0,9963!!!

Nochiziqli funktsiyani yaqinlashtirish

x 0 /12 /6 /4 /3 5/12 /2

y 0,5 0,483 0,433 0,354 0,25 0,129 0

Funktsiyani bo'lish oralig'i teng bo'lganligi sababli, biz taxmin qilinayotgan funktsiyaning tegishli bo'limlarining quyidagi qiyalik koeffitsientlarini hisoblaymiz:

1. Taxminlovchi funksiyaning segmentlarini shakllantirish uchun qurilish bloklari

Vaqt funksiyasining shakllanishi

O'zgartirish oralig'i:

Tsiklik qayta ishga tushirish vaqti: T = 1s

Endi funksiyani modellashtiramiz:

Taxminlash

3.1-rasm - Tenglamani yechish sxemasi

3.2-rasm - Chiziqli bo'lmagan funksiya hosil bo'lishining blok diagrammasi

Shunday qilib, tenglamaning chap tomoni avtomatik ravishda hosil bo'ladi. Bunda shartli ravishda eng yuqori hosila x// ma'lum deb hisoblanadi, chunki tenglamaning o'ng tomonining a'zolari ma'lum va Y1 kirishlariga ulanishi mumkin (3.1-rasm). Operatsion kuchaytirgich U3 +x signal inverteri vazifasini bajaradi. X// ni taqlid qilish uchun kontaktlarning zanglashiga olib kirishlari uchun (3.2) tenglamaning o'ng tomonini taqlid qiluvchi signallarni qo'llash kerak bo'lgan yana bitta subsumuating kuchaytirgichni kiritish kerak.

Barcha o'zgaruvchilarning shkalasi mutlaq qiymat ortidagi mashina o'zgaruvchisining maksimal qiymati 10 V ekanligini hisobga olgan holda hisoblanadi:

Mx = 10 / xmax; Mx/ = 10 / x/maks; Mx// = 10 / x //max;

Mening = 10 / ymax. (3.3)

Vaqt shkalasi Mt = T / tmax = 1, chunki muammoni simulyatsiya qilish real vaqt rejimida amalga oshiriladi.

Transmissiya koeffitsientlari integratsiya kuchaytirgichlarining har bir kirishi uchun hisoblanadi.

U1 kuchaytirgichi uchun uzatish koeffitsientlari formulalar orqasida joylashgan:

K11 = Mx/b/(MyMt); K12 = Mx/ a2 / (MxMt);

K13 = Mx/ a1 / (MxMt). (3.4)

Kuchaytirgich U2 uchun:

K21 = Mx/ / (Mx/ Mt), (3,5)

va kuchaytirgich U3 uchun:

K31 = 1. (3,6)

Dastlabki sharoitlarning kuchlanishlari formulalar yordamida hisoblanadi:

ux/ (0) = Mx/ x/ (0) (-1); ux(0)= Mxx(0) (+1). (3.7)

(3.2) tenglamaning o'ng tomoni chiziqli yaqinlashish yo'li bilan berilgan chiziqli bo'lmagan funksiya bilan ifodalanadi. Bunday holda, taxminiy xatoning belgilangan qiymatdan oshmasligini tekshirish kerak. Chiziqli bo'lmagan funksiya hosil bo'lishining blok sxemasi 3.2-rasmda ko'rsatilgan.

Elektr sxemasining tavsifi

Vaqt funksiyasini (F) hosil qilish birligi bir (t hosil qilish uchun) yoki ikkita ketma-ket bog'langan (t2 hosil qilish uchun) nol boshlang'ich shartli kuchaytirgichlarni birlashtiruvchi ko'rinishida amalga oshiriladi.

Bunday holda, birinchi integratorning kirishiga U signali qo'llanilganda, uning chiqishida biz quyidagilarni olamiz:

u1(t)= - K11 = - K11Et. (3.8)

K11E=1 o'rnatilsa, bizda u1(t)= t.

Ikkinchi integratorning chiqishida biz quyidagilarni olamiz:

u2(t)= K21 = K11K21Et2 / 2 (3,9)

K11K21E/2 = 1 ni o'rnatib, bizda u2(t)= t2 mavjud.

Taxminlovchi funktsiyaning segmentlarini shakllantirish uchun bloklar chiziqli bo'lmagan funktsiyalarning diod bloklari (DBNF) shaklida amalga oshiriladi, ular uchun kirish qiymati t yoki t2 vaqt funksiyasi hisoblanadi. DBNF ni hisoblash va qurish tartibi keltirilgan.

Differensial yakuniy kuchaytirgich sifatida yaqinlashuvchi funktsiyaning segmentlarining qo'shimchasi (SAD) amalga oshiriladi.

Modellashtirish sxemasining integratorlari uchun dastlabki shartlar o'zgaruvchan tuzilishga ega bo'lgan tugun yordamida kiritiladi (3.3-rasm). Ushbu sxema ikki rejimda ishlashi mumkin:

a) integratsiya - K kaliti 1-holatda bo'lganda. Bu holda sxemaning boshlang'ich signali ideal integrator tenglamasi bilan etarli aniqlik bilan tavsiflanadi:

u1(t)= - (1 / RC) . (3.10)

Ushbu rejim vazifani modellashtirishda ishlatiladi. Integratorning R va C parametrlarini tanlashning to'g'riligini tekshirish uchun integratorning boshlang'ich kuchlanish qiymatini vaqt funktsiyasi sifatida va ruxsat etilgan xato ichida foydali integratsiya vaqtini tekshiring?

Integratorning dastlabki kuchlanishining qiymati

U(t)= - KYE (1 - e - T / [(Ky+1)RC) (3.11)

simulyatsiya vaqtida T kirish signalini E teskari aloqa halqasisiz Ky daromadli operatsion kuchaytirgich yordamida integratsiyalashganda, mashina o'zgaruvchisining qiymatidan (10 V) oshmasligi kerak.

Integratsiya vaqti

Ti \u003d 2RC (Ku + 1)? Uadd (3.12)

tanlangan sxema parametrlari uchun simulyatsiya vaqti T dan kam bo'lmasligi kerak.

b) boshlang'ich shartlarni o'rnatish K kaliti 2 holatiga o'rnatilganda amalga oshiriladi. Ushbu rejim modellashtirish sxemasini yechim jarayoniga tayyorlashda qo'llaniladi. Bunday holda, kontaktlarning zanglashiga olib keladigan dastlabki signali tenglama bilan tavsiflanadi:

u0(t)= - (R2 /R1) E (3.13)

Bu erda u0(t) - boshlang'ich shartlarning qiymati.

Dastlabki shartlarni shakllantirish vaqtini qisqartirish va ishonchli ishlashni ta'minlash uchun sxema parametrlari shartni qondirishi kerak: R1C1 = R2C.

To'liq hisoblash sxemasini tuzing. Bunday holda, 3.1-kichik bo'limda keltirilgan konventsiyalardan foydalanish kerak.

Kirish va manba ma'lumotlarining imkoniyatlaridan foydalanib, B1 va B2 bloklarining sxematik diagrammalarini tuzing va ularni shaxsiy kompyuter blokiga ulang.

Tajriba jarayonida o'lchovlar natijasida qandaydir funktsiyaning jadvalli topshirig'i olinsin. f(x), ikkita geografik parametr o'rtasidagi munosabatni ifodalash:

Albatta, interpolyatsiya usulini qo'llash orqali analitik tarzda bu bog'liqlikni ifodalovchi formulani topish mumkin. Biroq, interpolyatsiya tugunlarida funksiyaning olingan analitik spetsifikatsiyasi qiymatlarining mavjud empirik ma'lumotlarga mos kelishi ko'pincha butun kuzatish oralig'ida asl va interpolyatsiya qiluvchi funktsiyalar harakatining mos kelishini anglatmaydi. Bundan tashqari, geografik ko'rsatkichlarning jadvalga bog'liqligi har doim ma'lum va har doim ham etarli darajada kichik o'lchov xatosiga ega bo'lmagan turli xil asboblar tomonidan o'lchash natijasida olinadi. Tugunlardagi yaqinlashuvchi va yaqinlashuvchi funktsiyalarning qiymatlari to'liq mos kelishi haqidagi talab, agar funktsiya qiymatlari bo'lsa, yanada asossizdir. f(x), o'lchovlar natijasida olingan o'zlari taxminiy hisoblanadi.

Bitta o'zgaruvchining funktsiyasini boshidanoq yaqinlashtirish vazifasi, albatta, butun kuzatish oralig'idagi dastlabki funktsiyaning xatti-harakatining tabiatini hisobga oladi. Vazifaning tuzilishi quyidagicha. Funktsiya y= f(x) jadval (1) bilan berilgan. Berilgan turdagi funktsiyani topish kerak:

nuqtalarda joylashgan x 1 , x 2 , …, x n jadvalga imkon qadar yaqin qiymatlarni oladi y 1 , y 2 , …, y n .

Amalda, yaqinlashtiruvchi funktsiyaning turi ko'pincha funktsiyaning taxminiy grafigining turini solishtirish orqali aniqlanadi. y= f(x) tadqiqotchiga ma'lum bo'lgan funktsiyalarning analitik tarzda berilgan grafiklari bilan (ko'pincha oddiy shaklda elementar funktsiyalar). Ya'ni, (1) jadvalga muvofiq, tarqalish uchastkasi quriladi f(x), keyin nuqtalarning joylashuvi tabiatini iloji boricha eng yaxshi aks ettiruvchi silliq egri chiziladi. Shunday qilib olingan egri chiziqqa ko'ra, yaqinlashuvchi funktsiyaning shakli sifat darajasida o'rnatiladi.

6-rasmni ko'rib chiqing.

6-rasmda uchta holat ko'rsatilgan:

• Grafikda (a) munosabatlar X va da chiziqqa yaqin; bu yerdagi to'g'ri chiziq kuzatish nuqtalariga yaqin bo'lib, ikkinchisi faqat nisbatan kichik tasodifiy ta'sirlar natijasida undan chetga chiqadi.
• Grafikda (b) qiymatlar orasidagi haqiqiy munosabatlar X va da chiziqli bo'lmagan funksiya bilan tavsiflanadi va biz qanday to'g'ri chiziq chizmasak, kuzatish nuqtalarining undan og'ishi sezilarli va tasodifiy bo'lmaydi. Shu bilan birga, parabolaning chizilgan novdasi miqdorlar o'rtasidagi munosabatlarning tabiatini juda yaxshi aks ettiradi.
• Grafikda (c) o'zgaruvchilar o'rtasida aniq bog'liqlik mavjud X va da yo'qolgan; biz qanday munosabat formulasini tanlasak ham, uning parametrlash natijalari bu erda muvaffaqiyatsiz bo'ladi. Xususan, ikkala tanlangan satr ham o'zgaruvchining kutilgan qiymatlari haqida xulosa chiqarish uchun bir xil darajada yomon. da o'zgaruvchan qiymatlar bo'yicha X.

Shuni ta'kidlash kerakki, dastlabki ma'lumotlar jadvali uchun qat'iy funktsional bog'liqlik kamdan-kam hollarda kuzatiladi, chunki unda ishtirok etuvchi miqdorlarning har biri ko'plab tasodifiy omillarga bog'liq bo'lishi mumkin. Biroq, formula (2) (u empirik formula yoki regressiya tenglamasi deb ataladi da ustida X) qiziqarli, chunki u funktsiya qiymatlarini topishga imkon beradi f jadvaldan tashqari qiymatlar uchun X, miqdorni o'lchash natijalarini "tekislash" da, ya'ni. butun o'zgarish oralig'ida X. Bunday yondashuvni asoslash, oxir-oqibat, olingan formulaning amaliy foydaliligi bilan belgilanadi.

Mavjud nuqtalar "buluti" orqali siz har doim ushbu turdagi barcha chiziqlar orasida ma'lum ma'noda eng yaxshisi, ya'ni ularning kuzatuv nuqtalariga "eng yaqin" bo'lgan belgilangan turdagi chiziqni chizishga harakat qilishingiz mumkin. umumiylik. Buning uchun avvalo chiziqning tekislikdagi ma'lum nuqtalar to'plamiga yaqinligi tushunchasini aniqlaymiz. Bunday yaqinlik o'lchovlari har xil bo'lishi mumkin. Biroq, har qanday oqilona o'lchov, shubhasiz, kuzatuv nuqtalaridan ko'rib chiqilayotgan chiziqgacha bo'lgan masofaga bog'liq bo'lishi kerak (tenglama bilan berilgan) y=F(x)).

Taxminlovchi funksiya deb faraz qilaylik F(x) nuqtalarda x 1, x 2, ..., x n masala y 1 , y 2 , ..., y n. Ko'pincha, yaqinlik mezoni sifatida qaram o'zgaruvchining kuzatuvlarining kvadratik farqlari yig'indisining minimali qo'llaniladi. y i va regressiya tenglamasi bilan hisoblangan nazariy qiymatlar y i. Bu erda shunday deb hisoblanadi y i va x i ma'lum kuzatuv ma'lumotlari va F- noma'lum parametrli regressiya chizig'i tenglamasi (ularni hisoblash formulalari quyida keltirilgan). Bog'liq o'zgaruvchining kuzatuvlarining kvadratik og'ishlari yig'indisini kerakli funktsiya qiymatlaridan minimallashtiradigan yaqinlashuvchi funktsiyaning parametrlarini baholash usuli deyiladi. kamida kvadratlar (LSM) yoki Eng kichik kvadrat usuli (LS).

Demak, funksiyani yaqinlashtirish masalasi f endi quyidagicha formula qilish mumkin: funktsiya uchun f(1) jadval bilan berilgan, funksiyani toping F F kvadratlarning yig'indisi eng kichik bo'lishi uchun ma'lum bir shaklda.

Yaqinlashuvchi funktsiyani topish usulini ko'rib chiqing umumiy ko'rinish uchta parametrli yaqinlashuvchi funktsiya misolida:

(3)

Mayli F(x i , a, b, c) = y i , i=1, 2, ..., n. Tegishli qiymatlarning kvadratik farqlarining yig'indisi f va F quyidagicha ko'rinadi:

Bu summa F ning funksiyasidir (a, b, c) uchta o'zgaruvchi (parametrlar a, b va c). Muammo uning minimalini topishdir. Biz kerakli ekstremal shartdan foydalanamiz:

Biz a, b, c noma'lum parametrlarni aniqlash tizimini olamiz.

(5)

Parametrlari bo'yicha uchta noma'lumli uchta tenglamadan iborat ushbu tizimni yechish a, b, c, biz kerakli funksiyaning o'ziga xos shaklini olamiz F(x, a, b, c). Ko'rib chiqilgan misoldan ko'rinib turibdiki, parametrlar sonining o'zgarishi yondashuvning o'zi mohiyatining buzilishiga olib kelmaydi, faqat tizimdagi tenglamalar sonining o'zgarishi bilan ifodalanadi (5).

Topilgan qiymatlarning ishlashini kutish tabiiydir F(x, a, b, c) nuqtalarda x 1, x 2, ..., x n, jadval qiymatlaridan farq qiladi y 1 , y 2 , ..., y n. Farq qiymatlari y i -F(x i ,a, b, c)=e i (i=1, 2, ..., n) o'lchangan qiymat og'ishlari deyiladi y(3) formula bo'yicha hisoblanganlardan. Topilgan empirik formula (2) uchun dastlabki jadvalga (1) muvofiq, shuning uchun topish mumkin

kvadratik og'ishlar yig'indisi , eng kichik kvadratlar usuliga muvofiq, ma'lum turdagi yaqinlashuvchi funktsiya (va topilgan parametr qiymatlari) uchun eng kichik bo'lishi kerak. Eng kichik kvadratlar usuli bo'yicha bir xil jadval funksiyasining ikki xil yaqinlashuvidan eng yaxshisi yig'indisi (4) eng kichik qiymatga ega bo'lganini hisobga olish kerak.

Eksperimental amaliyotda, tarqalish chizig'ining tabiatiga qarab, taxminiy funktsiyalar sifatida f Ko'pincha ikkita parametrli yaqinlashuvchi funktsiyalar qo'llaniladi:

Shubhasiz, yaqinlashuvchi funktsiyaning shakli o'rnatilganda, muammo faqat parametrlarning qiymatlarini topishga to'g'ri keladi.

Amaliy tadqiqotlarda eng keng tarqalgan empirik bog'liqliklarni ko'rib chiqaylik.

3.3.1. Chiziqli funktsiya (chiziqli regressiya). Bog'liqlik tahlilining boshlang'ich nuqtasi odatda o'zgaruvchilarning chiziqli bog'liqligini baholashdir. Ammo shuni hisobga olish kerakki, eng kichik kvadratlar usuli bo'yicha "eng yaxshi" to'g'ri chiziq har doim mavjud, lekin hatto eng yaxshisi ham har doim ham etarli darajada yaxshi emas. Agar haqiqatda giyohvandlik bo'lsa y=f(x) kvadratik bo'lsa, hech qanday chiziqli funktsiya uni etarli darajada tasvirlay olmaydi, garchi bunday funktsiyalar orasida "eng yaxshisi" bo'lishi shart. Agar miqdorlar X va da umuman bog'liq emas, biz har doim "eng yaxshi" chiziqli funktsiyani topishimiz mumkin y=ax+b berilgan kuzatishlar to'plami uchun, lekin bu holda, o'ziga xos qiymatlar a va b faqat o'zgaruvchilarning tasodifiy og'ishlari bilan aniqlanadi va bir xil umumiy populyatsiyadan turli xil namunalar uchun o'zlari katta farq qiladi.

Keling, chiziqli regressiya koeffitsientlarini yanada rasmiy ravishda baholash masalasini ko'rib chiqaylik. O'rtasidagi munosabatni faraz qilaylik x va y chiziqli bo'lib, kerakli yaqinlashuvchi funktsiya quyidagi ko'rinishda izlanadi:

Parametrlarga nisbatan qisman hosilalarni topamiz:

Olingan munosabatlarni (5) shakl tizimiga almashtiramiz:

yoki har bir tenglamani n ga bo'lish:

Keling, belgi bilan tanishamiz:

(7)

Keyin yakuniy tizim quyidagicha ko'rinadi:

(8)

Ushbu tizimning koeffitsientlari M x , M y , M xy , M x 2 Har bir aniq yaqinlashish masalasida formulalar (7) yordamida osonlik bilan hisoblanishi mumkin bo'lgan raqamlardir x i , y i- jadvaldagi qiymatlar (1). Yechish tizimi (8), biz parametrlarning qiymatlarini olamiz a va b, va shuning uchun chiziqli funktsiyaning o'ziga xos shakli (6).

Kerakli empirik formula sifatida chiziqli funktsiyani tanlash uchun zaruriy shart bu nisbatdir:

3.3.2. Kvadrat funksiya (kvadrat regressiya). Kvadrat trinomial ko'rinishdagi yaqinlashuvchi funktsiyani qidiramiz:

Biz qisman hosilalarni topamiz:

(5) shakldagi tizim tuzamiz:

Oddiy o'zgarishlardan so'ng uchta noma'lumli uchta chiziqli tenglamalar tizimi olinadi a, b, c. Tizimning koeffitsientlari, xuddi chiziqli funktsiyada bo'lgani kabi, faqat (1) jadvaldagi ma'lum ma'lumotlar orqali ifodalanadi:

(10)

Bu erda (7) belgi qo'llaniladi, shuningdek

(10) sistemaning yechimi parametrlarning qiymatini beradi a, b va Bilan yaqinlashuvchi funktsiya uchun (9).

Agar shaklning barcha ifodalari bo'lsa, kvadratik regressiya qo'llaniladi y 2 -2y 1 + y 0 , y 3 -2 y 2 + y 1 , y 4 -2 y 3 + y 2 va hokazo. bir-biridan ozgina farq qiladi.

3.3.3. Quvvat funksiyasi (geometrik regressiya).Endi taqriblovchi funksiyani ko rinishda topamiz:

(11)

Dastlabki jadvalda (1) argumentning qiymatlari va funktsiyaning qiymati musbat deb faraz qilsak, biz tenglik logarifmini (11) sharti bilan olamiz. a>0:

Funktsiyadan beri F funksiya uchun taxminan hisoblanadi f, funktsiyasi lnF funksiya uchun taxminan bo'ladi lnf. Keling, yangi o'zgaruvchini kiritamiz u=lnx; keyin (12) ga binoan, lnF ning funksiyasi bo‘ladi u: F(u).

Belgilamoq

Endi tenglik (12) shaklni oladi:

bular. masala chiziqli ko'rinishdagi yaqinlashuvchi funktsiyani topishga qisqartirildi. Amalda, quvvat funksiyasi ko'rinishida kerakli yaqinlashuvchi funktsiyani topish uchun (yuqorida keltirilgan taxminlar ostida) quyidagilarni bajarish kerak:

1. ushbu jadvalga (1) muvofiq, qiymatlarning logarifmini olib, yangi jadval tuzing x va y asl jadvalda;

2. yangi jadvalga muvofiq, parametrlarni toping LEKIN va DA shaklning yaqinlashtiruvchi funksiyasi (14);

3. (13) yozuvdan foydalanib, parametrlarning qiymatlarini toping a va m va ularni ifodaga almashtiring (11).

Istalgan empirik formula sifatida quvvat funktsiyasini tanlashning zaruriy sharti nisbatdir:

3.3.4. Eksponensial funktsiya . Asl jadval (1) shunday bo'lsinki, yaqinlashuvchi funktsiyani ko'rsatkichli funktsiya shaklida izlash tavsiya etiladi:

Tenglik logarifmini olaylik (15):

(16)

Belgini (13) qabul qilib, biz (16) quyidagi shaklda qayta yozamiz:

(17)

Shunday qilib, (15) ko'rinishdagi yaqinlashuvchi funktsiyani topish uchun dastlabki jadvaldagi (1) funktsiya qiymatlarining logarifmini olish kerak va ularni argumentning boshlang'ich qiymatlari bilan birga ko'rib, tuzing. yangi jadval uchun shaklning (17) yaqinlashuvchi funktsiyasi. Shundan so'ng, yozuvga (13) muvofiq, kerakli parametrlarning qiymatlarini olish qoladi. a va b va ularni (15) formulaga almashtiring.

Eksponensial funktsiyani kerakli empirik formula sifatida tanlashning zaruriy sharti bu nisbatdir:

.

3.3.5. Fraktsion chiziqli funksiya. Biz taxminiy funktsiyani quyidagi shaklda qidiramiz:

(18)

Tenglik (18) quyidagicha qayta yozilishi mumkin:

Parametrlarning qiymatlarini topish uchun oxirgi tenglikdan kelib chiqadi a va b berilgan jadvalga (1) ko'ra, argument qiymatlari bir xil bo'lib qoladigan va funktsiya qiymatlari o'zaro bog'liqlik bilan almashtiriladigan yangi jadvalni tuzish kerak, shundan so'ng natijada olingan jadval uchun toping. shaklning taxminiy funksiyasi ax+b. Topilgan parametr qiymatlari a va b(18) formulaga almashtiring.

Kerakli empirik formula sifatida chiziqli-kasr funktsiyani tanlash uchun zaruriy shart bu munosabatdir:

.

3.3.6. Logarifmik funktsiya. Taxminlovchi funktsiya quyidagicha bo'lsin:

Ko'rinib turibdiki, chiziqli funktsiyaga o'tish uchun almashtirishni amalga oshirish kifoya lnx=u. Bundan kelib chiqadiki, qiymatlarni topish uchun a va b asl jadvaldagi argument qiymatlarining logarifmini olish kerak (1) va olingan qiymatlarni funktsiyaning asl qiymatlari bilan birgalikda hisobga olgan holda, ko'rinishidagi yaqinlashuvchi funktsiyani toping. Shunday qilib olingan yangi jadval uchun chiziqli. Imkoniyatlar a va b topilgan funksiyani (19) formulaga almashtiring.

Logarifmik funktsiyani kerakli empirik formula sifatida tanlashning zaruriy sharti bu nisbatdir:

.

3.3.7. Giperbola. Agar (1)-jadvalga muvofiq qurilgan tarqalish sxemasi giperbolaning shoxini bersa, yaqinlashuvchi funktsiyani shaklda izlash mumkin.

Turli xil prognozlash usullari orasida taxminiylikni ajratib ko'rsatmaslik mumkin emas. Uning yordami bilan siz taxminiy hisob-kitoblarni amalga oshirishingiz va dastlabki ob'ektlarni oddiyroq narsalar bilan almashtirish orqali rejalashtirilgan ko'rsatkichlarni hisoblashingiz mumkin. Excelda prognozlash va tahlil qilish uchun ushbu usuldan foydalanish imkoniyati ham mavjud. Keling, ushbu usulni belgilangan dasturda o'rnatilgan vositalar bilan qanday qo'llash mumkinligini ko'rib chiqaylik.

Ushbu usulning nomi kelib chiqqan Lotin so'zi proxima - "eng yaqin" Bu ma'lum ko'rsatkichlarni soddalashtirish va tekislash, ularni uning asosi bo'lgan tendentsiyada joylashtirish orqali yaqinlashish. Lekin bu usul nafaqat prognozlash, balki mavjud natijalarni o'rganish uchun ham qo'llanilishi mumkin. Axir, yaqinlashish, aslida, dastlabki ma'lumotlarni soddalashtirishdir va soddalashtirilgan versiyani o'rganish osonroq.

Excelda tekislash amalga oshiriladigan asosiy vosita trend chizig'ini qurishdir. Xulosa shuki, mavjud ko'rsatkichlar asosida kelajakdagi davrlar uchun funktsiya grafigi to'ldirilmoqda. Trend chizig'ining asosiy maqsadi, siz taxmin qilganingizdek, prognoz qilish yoki umumiy tendentsiyani aniqlashdir.

Ammo uni besh turdagi taxminlardan biri yordamida qurish mumkin:

• Chiziqli;
• eksponentsial;
• logarifmik;
• polinom;
• Quvvat.

Keling, har bir variantni alohida ko'rib chiqaylik.

1-usul: Chiziqli tekislash

Avvalo, yaqinlashishning eng oddiy versiyasini, ya'ni chiziqli funktsiyadan foydalanishni ko'rib chiqaylik. Biz bu haqda batafsilroq to'xtalib o'tamiz, chunki biz boshqa usullarga xos bo'lgan umumiy fikrlarni, xususan, chizma va boshqa nuanslarni aytib o'tamiz, biz keyingi variantlarni ko'rib chiqishda to'xtalmaymiz.

Avvalo, grafik tuzamiz, uning asosida tekislash jarayonini amalga oshiramiz. Grafik tuzish uchun har oyda korxona tomonidan ishlab chiqarilgan mahsulot birligining tannarxi va ma'lum bir davrdagi tegishli foyda ko'rsatilgan jadvalni olaylik. Grafik funksiya Biz quradigan , foydaning o'sishi mahsulot tannarxining pasayishiga bog'liqligini ko'rsatadi.

Bu holda ishlatiladigan tekislash quyidagi formula bilan tavsiflanadi:

Bizning alohida holatimizda formula quyidagi shaklni oladi:

y=-0,1156x+72,255

Taxminan ishonchlilik qiymati teng 0,9418 , bu silliqlashni ishonchli deb tavsiflovchi juda maqbul natijadir.

2-usul: Eksponensial yaqinlashish

Endi Excelda yaqinlashuvning eksponensial turini ko'rib chiqamiz.

Yumshatish funktsiyasining umumiy shakli quyidagicha:

qayerda e asos hisoblanadi tabiiy logarifm.

Bizning alohida holatimizda formula quyidagi shaklni oldi:

y=6282,7*e^(-0,012*x)

3-usul: logarifmik tekislash

Endi navbat logarifmik yaqinlashish usulini ko'rib chiqishdir.

Umuman olganda, silliqlash formulasi quyidagicha ko'rinadi:

qayerda ln tabiiy logarifmdir. Shunday qilib, usulning nomi.

Bizning holatlarimizda formula quyidagi shaklni oladi:

y=-62,81ln(x)+404,96

4-usul: Polinomlarni tekislash

Polinomni tekislash usulini ko'rib chiqish vaqti keldi.

Ushbu turdagi tekislashni tavsiflovchi formula quyidagi shaklni oldi:

y=8E-08x^6-0,0003x^5+0,3725x^4-269,33x^3+109525x^2-2E+07x+2E+09

5-usul: quvvatni tekislash

Xulosa qilib, Excelda quvvatni taxmin qilish usulini ko'rib chiqing.

Ushbu usul funktsiya ma'lumotlarining intensiv o'zgarishi holatlarida samarali qo'llaniladi. Shuni ta'kidlash kerakki, ushbu parametr faqat funktsiya va argument manfiy yoki nol qiymatlarni olmagan taqdirdagina qo'llaniladi.

Ushbu usulni tavsiflovchi umumiy formula quyidagicha:

Bizning alohida holatimizda u quyidagicha ko'rinadi:

y = 6E+18x^(-6,512)

Ko'rib turganingizdek, biz misol uchun foydalangan maxsus ma'lumotlardan foydalanganda, oltinchi darajali ko'phad bilan polinomni yaqinlashtirish usuli ishonchlilikning eng yuqori darajasini ko'rsatdi ( 0,9844 ), ishonchning eng past darajasi chiziqli usul (0,9418 ). Ammo bu boshqa misollardan foydalanganda ham xuddi shunday tendentsiya bo'ladi degani emas. Yo'q, yuqoridagi usullarning samaradorligi darajasi tendentsiya chizig'i quriladigan funktsiyaning o'ziga xos turiga qarab sezilarli darajada farq qilishi mumkin. Shuning uchun, agar tanlangan usul ushbu funktsiya uchun eng samarali bo'lsa, bu boshqa vaziyatda ham optimal bo'lishini anglatmaydi.

Agar siz yuqoridagi tavsiyalarga asoslanib, qaysi turdagi yaqinlashuv sizning holatingizga mos kelishini darhol aniqlay olmasangiz, unda barcha usullarni sinab ko'rish mantiqan to'g'ri keladi. Trend chizig'ini chizib, uning ishonch darajasini ko'rganingizdan so'ng, siz eng yaxshi variantni tanlashingiz mumkin.

Ko'pincha chiziqli bo'lmagan elementlarning joriy kuchlanish xarakteristikalari uchun analitik ifodalarga ega bo'lish kerak. Ushbu iboralar faqat taxminan CVC ni ifodalashi mumkin, chunki chiziqli bo'lmagan qurilmalarda kuchlanish va oqimlar o'rtasidagi munosabatlarni boshqaradigan fizik qonunlar analitik tarzda ifodalanmaydi.

Grafik yoki qiymatlar jadvali orqali berilgan funktsiyani argumenti (mustaqil o'zgaruvchi) o'zgarishining berilgan chegaralarida taxminan analitik tasvirlash vazifasi yaqinlashish deyiladi. Bunda, birinchidan, yaqinlashuvchi funktsiyani tanlash, ya'ni berilgan bog'liqlik taxminan ifodalanadigan funktsiyani tanlash, ikkinchidan, ushbu bog'liqlikning "yaqinligini" baholash mezonini va yaqinlashtiruvchi funktsiyani tanlash. bu.

Taxminlovchi funktsiyalar sifatida algebraik polinomlar, ba'zi kasrli ratsional, eksponensial va transsendental funktsiyalar yoki chiziqli funktsiyalar to'plami (to'g'ri chiziq segmentlari) ko'pincha ishlatiladi.

Biz chiziqli bo'lmagan elementning CVC ni taxmin qilamiz i= qiziqarli (u) grafik tarzda berilgan, ya'ni intervalning har bir nuqtasida aniqlanadi Umin≤va≤U max, va o‘zgaruvchining bir qiymatli uzluksiz funksiyasi va. Shunda joriy kuchlanish xarakteristikasini analitik ko'rsatish muammosini yaqinlashish muammosi sifatida ko'rib chiqish mumkin. berilgan funksiya p(x) tanlangan yaqinlashuvchi funksiya bo‘yicha f(x).

Taxminlovchining yaqinligi bo'yicha f(x) va taxminiy p( X) funksiyalar yoki boshqacha qilib aytganda, yaqinlashish xatosi, odatda, yaqinlashish oralig'idagi ushbu funktsiyalar orasidagi farqning eng katta mutlaq qiymati bilan baholanadi. a≤ X≤ b, ya'ni o'lchamda

∆=max‌‌│ f(x)- ξ( x)│

Ko'pincha, yaqinlik mezoni yaqinlashish oralig'ida ko'rsatilgan funktsiyalar orasidagi farqning o'rtacha kvadrat qiymati sifatida tanlanadi.

Ba'zan, ikkita funktsiyaning yaqinligi ostida f( x) va p ( x) ichida tasodifni tushunish berilgan nuqta

x= Xo funktsiyalarning o'zi va P ularning hosilalaridan + 1 tasi.

Analitik funktsiyani berilganga yaqinlashtirishning eng keng tarqalgan usuli interpolyatsiya(tanlangan nuqtalar usuli) f( x) va p ( x) tanlangan nuqtalarda (da interpolyatsiya yomonliklari) X k, k= 0, 1, 2, ..., P.

Taxminlovchi funktsiyaga kiritilgan o'zgaruvchan parametrlar soni qanchalik kichik bo'lsa, taxminan xatolikka erishish mumkin, ya'ni, masalan, yaqinlashuvchi polinom darajasi qanchalik yuqori bo'lsa yoki chiziq segmentlari soni shunchalik ko'p bo'lsa, yaqinlashuvchi chiziqli singan funktsiyani o'z ichiga oladi. . Shu bilan birga, tabiiyki, hisob-kitoblar hajmi yaqinlashish masalasini hal qilishda ham, chiziqli bo'lmagan sxemani keyingi tahlil qilishda ham o'sib boradi. Ushbu tahlilning soddaligi, yaqinlashish oralig'idagi taxminiy funksiyaning xususiyatlari bilan bir qatorda, yaqinlashuvchi funktsiya turini tanlashda eng muhim mezonlardan biri hisoblanadi.

Elektron va yarimo'tkazgichli qurilmalarning joriy kuchlanish xususiyatlarini yaqinlashtirish muammolarida, odatda, namunadan namunaga qurilma xususiyatlarining sezilarli darajada tarqalishi va ularga beqarorlashtiruvchi omillarning sezilarli ta'siri tufayli ularni ko'paytirishning yuqori aniqligiga intilish shart emas. , masalan, yarimo'tkazgichli qurilmalardagi harorat. Ko'pgina hollarda, qaramlikning umumiy o'rtacha xarakterini "to'g'ri" takrorlash kifoya qiladi. i= f(u) uning ish oralig'ida. Chiziqli bo'lmagan elementlarga ega sxemalarni analitik hisoblash imkoniyatiga ega bo'lish uchun elementlarning xarakteristikalari uchun matematik ifodalarga ega bo'lish kerak. Bu xususiyatlarning o'zi odatda eksperimentaldir, ya'ni. mos keladigan elementlarni o'lchash natijasida olinadi, so'ngra shu asosda ma'lumotnoma (tipik) ma'lumotlar shakllanadi. Matematikada ba'zi berilgan funktsiyani matematik tavsiflash tartibi bu funktsiyaning yaqinlashuvi deyiladi. Yaqinlashtirishning bir qancha turlari mavjud: tanlangan nuqtalar bo'yicha, Teylor bo'yicha, Chebishev va boshqalar. Oxir oqibatda, ba'zi bir talablar bilan dastlabki yaqinlashuvchi funktsiyani qanoatlantiradigan matematik ifodani olish kerak.

O'ylab ko'ring eng oddiy usul: quvvatli polinom interpolyatsiyasining tanlangan nuqtalari yoki tugunlari usuli.

Polinomning koeffitsientlarini aniqlash kerak. Buning uchun tanlang (n+1) Berilgan funksiyaning nuqtalari va tenglamalar tizimi tuziladi:

Ushbu tizimdan koeffitsientlar topiladi a 0 , a 1 , a 2 , …, a n.

Tanlangan nuqtalarda yaqinlashuvchi funktsiya asl funktsiyaga to'g'ri keladi, boshqa nuqtalarda u farq qiladi (kuchli yoki yo'q - kuch polinomiga bog'liq).

Eksponensial polinomdan foydalanishingiz mumkin:

Ikkinchi usul: Teylorga yaqinlashish usuli . Bunday holda, dastlabki funktsiya yaqinlashuvchiga to'g'ri keladigan bir nuqta tanlanadi, lekin hosilalar ham shu nuqtada mos kelishi uchun qo'shimcha shart o'rnatiladi.

Battervortga yaqinlik: eng oddiy polinom tanlanadi:

Bunday holda siz maksimal og'ishni aniqlashingiz mumkin ε diapazonning oxirida.

Chebishevga ko'ra taxminiy: kuch qonuni bo'lib, u bir nechta nuqtalarda moslikni o'rnatadi va yaqinlashuvchi funktsiyaning asl funktsiyadan maksimal og'ishini minimallashtiradi. Funksiyalarni yaqinlashish nazariyasida ko'phadning eng katta absolyut og'ishi isbotlangan. f(x) daraja P dan doimiy funktsiya ξ( X) agar yaqinlashish oralig'ida bo'lsa, minimal mumkin bo'ladi a≤ X≤ b farq

f( x) - ξ( X) dan kam emas n + 2 marta ketma-ket o'zgaruvchan chegara maksimalini oladi f(x) - ξ( X) = L > 0 va eng kichik f(x) - ξ( X) = -L qadriyatlar (Chebishev mezoni).

Ko'pgina amaliy masalalarda, yaqinlashtiruvchi funktsiyaning parametrlari aniqlanganda, o'rtacha kvadrat yaqinlik mezoni bo'yicha ko'p nomli yaqinlashuv qo'llaniladi. f(x) yaqinlashish oralig'ida minimallashtirish shartidan tanlanadi a≤ X≤ b funktsiya og'ish kvadrati f(x) berilgan uzluksiz funksiyaning p( X), ya'ni shartdan:

Λ= 1/b-a∫ a [ f(x)- ξ( x)] 2 dx= min. (7)

Ekstremalarni topish qoidalariga muvofiq, masalaning yechimi funktsiyaning birinchi qisman hosilalarini nolga tenglashtirish natijasida hosil bo'lgan chiziqli tenglamalar tizimini echishga qisqartiriladi. Λ kerakli koeffitsientlarning har biri uchun a k yaqinlashuvchi polinom f(x), ya'ni tenglamalar

dě ∕da 0=0; dě ∕da 1=0; dě ∕da 2=0, . . . , dě ∕da n=0. (8)

Bu tenglamalar sistemasi ham o'ziga xos yechimga ega ekanligi isbotlangan. Eng oddiy hollarda u analitik, umumiy holatda esa son bilan topiladi.

Chebishev maksimal og'ishlar uchun quyidagi tenglik bajarilishi kerakligini aniqladi:

Muhandislik amaliyotida, deb ataladi bo'lak-bo'lak chiziqli yaqinlashish berilgan egri chiziqning to'g'ri chiziqlar segmentlari bo'yicha tavsifi.

Joriy kuchlanish xarakteristikasining chiziqli bo'limlarining har birida chiziqli tebranishlarni tahlil qilishning barcha usullari. elektr zanjirlari. Bundan aniq Ko'proq chiziqli bo'limlar, berilgan oqim kuchlanish xarakteristikasi bo'linadi, uni qanchalik aniqroq taxmin qilish mumkin va kontaktlarning zanglashiga olib keladigan tebranishlarni tahlil qilish paytida hisob-kitoblar miqdori ko'p bo'ladi.

Chiziqli bo'lmagan qarshilik zanjirlarida tebranishlarni tahlil qilishning ko'plab amaliy muammolarida, yaqinlashish oralig'idagi taxminiy oqim kuchlanish xarakteristikasi ikki yoki uchta to'g'ri chiziqli segmentlar bilan etarli aniqlik bilan ifodalanadi.

Oqim kuchlanishining bunday yaqinlashuvi ko'p hollarda chiziqli bo'lmagan elementga "kichik" kattalikdagi ta'sir ko'rsatadigan chiziqli bo'lmagan qarshilik zanjiridagi tebranishlarni tahlil qilishning juda qoniqarli natijalarini beradi, ya'ni. dan maksimal ruxsat etilgan chegaralarda chiziqli bo'lmagan elementdagi oqimlar o'zgaradi I= 0 gacha I = men maks