Her kısmi türev (üzerinde x ve tarafından y) iki değişkenli bir fonksiyonun, bir değişkenin fonksiyonunun diğer değişkenin sabit değerine sahip adi türevidir:

(nerede y= sabit),

(nerede x= sabit).

Bu nedenle, kısmi türevler şu şekilde hesaplanır: tek değişkenli fonksiyonların türevlerini hesaplamak için formüller ve kurallar, diğer değişkeni sabit (sabit) olarak kabul ederken.

Örneklerin analizine ve bunun için gerekli olan minimum teoriye ihtiyacınız yoksa, sadece probleminize bir çözüme ihtiyacınız varsa, o zaman devam edin. çevrimiçi kısmi türev hesaplayıcı .

Sabitin fonksiyonda nerede olduğunu takip etmeye odaklanmak zorsa, örneğin taslak çözümünde sabit bir değere sahip bir değişken yerine herhangi bir sayıyı değiştirebilirsiniz - o zaman kısmi türevi normal olarak hızlı bir şekilde hesaplayabilirsiniz. tek değişkenli bir fonksiyonun türevi. Bitirirken sadece sabiti (sabit değerli bir değişken) yerine döndürmeyi unutmamak gerekir.

Yukarıda açıklanan kısmi türevlerin özelliği, sınav sorularında bulunabilen kısmi türev tanımından kaynaklanmaktadır. Bu nedenle, aşağıdaki tanımla tanışmak için teorik referansı açabilirsiniz.

Bir fonksiyonun sürekliliği kavramı z= f(x, y) bir noktada bu kavrama benzer şekilde tek değişkenli bir fonksiyon için tanımlanır.

İşlev z = f(x, y) ise bir noktada sürekli olarak adlandırılır.

Fark (2), fonksiyonun toplam artışı olarak adlandırılır. z(her iki argüman da artırılarak elde edilir).

fonksiyon olsun z= f(x, y) ve nokta

fonksiyon değişirse z bağımsız değişkenlerden yalnızca biri değiştiğinde oluşur, örneğin, x, diğer argümanın sabit bir değeri ile y, sonra fonksiyon artırılacaktır

fonksiyonun kısmi artışı denir f(x, y) üzerinde x.

Fonksiyon değişikliği göz önüne alındığında z argümanlardan sadece birinin değişmesine bağlı olarak, aslında tek değişkenli bir fonksiyona geçiyoruz.

Sonlu bir sınır varsa

o zaman fonksiyonun kısmi türevi denir f(x, y) argümanla x ve sembollerden biri ile gösterilir

(4)

Kısmi artış benzer şekilde tanımlanır züzerinde y:

ve kısmi türev f(x, y) üzerinde y:

(6)

örnek 1

Çözüm. "x" değişkenine göre kısmi türevi buluyoruz:

(y sabit);

"y" değişkenine göre kısmi türevi buluyoruz:

(x sabit).

Gördüğünüz gibi, değişkenin ne ölçüde sabit olduğu önemli değil: bu durumda, kısmi olarak bulduğumuz değişkenle (olağan türev durumunda olduğu gibi) bir faktör olan sadece bir sayıdır. türev. Sabit değişken, kendisine göre kısmi türevi bulduğumuz değişkenle çarpılmazsa, bu yalnız sabit, adi türev durumunda olduğu gibi, ne dereceye kadar olursa olsun yok olur.

Örnek 2 Verilen bir fonksiyon

Kısmi Türevleri Bul

(x ile) ve (y ile) ve noktadaki değerlerini hesaplayın ANCAK (1; 2).

Çözüm. sabit y birinci terimin türevi, güç fonksiyonunun türevi olarak bulunur ( bir değişkenin türev fonksiyonları tablosu):

.

sabit x birinci terimin türevi, üstel fonksiyonun türevi ve ikincisi - sabitin türevi olarak bulunur:

Şimdi noktada bu kısmi türevlerin değerlerini hesaplıyoruz. ANCAK (1; 2):

Kısmi türevlerle ilgili problemlerin çözümünü şuradan kontrol edebilirsiniz: çevrimiçi kısmi türev hesaplayıcı .

Örnek 3 Fonksiyonların Kısmi Türevlerini Bulun

Çözüm. Bir adımda buluyoruz

(y x, sinüs argümanı 5'miş gibi x: aynı şekilde, fonksiyonun işaretinden önce 5 görünür);

(x sabittir ve bu durumda bir faktördür y).

Kısmi türevlerle ilgili problemlerin çözümünü şuradan kontrol edebilirsiniz: çevrimiçi kısmi türev hesaplayıcı .

Üç veya daha fazla değişkenli bir fonksiyonun kısmi türevleri benzer şekilde tanımlanır.

Her bir değer kümesi ise ( x; y; ...; t) kümeden bağımsız değişkenler D belirli bir değere karşılık gelir sen birçoktan E, sonra sen değişkenlerin bir fonksiyonu denir x, y, ..., t ve belirtmek sen= f(x, y, ..., t).

Üç veya daha fazla değişkenli fonksiyonlar için geometrik yorum yoktur.

Birkaç değişkenli bir fonksiyonun kısmi türevleri de bağımsız değişkenlerden sadece birinin değiştiği, diğerlerinin sabit olduğu varsayımı altında tanımlanır ve hesaplanır.

Örnek 4 Fonksiyonların Kısmi Türevlerini Bulun

.

Çözüm. y ve z sabit:

x ve z sabit:

x ve y sabit:

Kısmi türevleri kendi başınıza bulun ve ardından çözümlere bakın

Örnek 5

Örnek 6 Bir fonksiyonun kısmi türevlerini bulun.

Birkaç değişkenli bir fonksiyonun kısmi türevi aynı tek değişkenli bir fonksiyonun türevi olarak mekanik anlam, işlevin bağımsız değişkenlerden birindeki değişikliğe göre değişme hızıdır.

Örnek 8 akış miktarı P yolcular demiryolları bir fonksiyon olarak ifade edilebilir

nerede P- yolcu sayısı, N- ilgili noktaların sakinlerinin sayısı, R– noktalar arasındaki mesafe.

Bir fonksiyonun kısmi türevi Püzerinde R eşittir

yolcu akışındaki azalmanın, noktalarda aynı sayıda sakin için karşılık gelen noktalar arasındaki mesafenin karesiyle ters orantılı olduğunu göstermektedir.

Kısmi türev Püzerinde N eşittir

yolcu akışındaki artışın, nüfus sayısının iki katı ile orantılı olduğunu göstermektedir. Yerleşmeler noktalar arasında aynı mesafe ile.

Kısmi türevlerle ilgili problemlerin çözümünü şuradan kontrol edebilirsiniz: çevrimiçi kısmi türev hesaplayıcı .

Tam diferansiyel

Kısmi türevin ürününe ve karşılık gelen bağımsız değişkenin artışına kısmi diferansiyel denir. Kısmi diferansiyeller aşağıdaki gibi gösterilir:

Tüm bağımsız değişkenler üzerindeki kısmi diferansiyellerin toplamı, toplam diferansiyeli verir. İki bağımsız değişkenli bir fonksiyon için toplam diferansiyel eşitlik ile ifade edilir.

(7)

Örnek 9 Bir fonksiyonun tam diferansiyelini bulun

Çözüm. Formül (7) kullanmanın sonucu:

Bir tanım kümesinin her noktasında toplam diferansiyeli olan bir fonksiyona o tanım kümesinde türevlenebilir denir.

Toplam farkı kendi başınıza bulun ve ardından çözümü görün

Tıpkı tek değişkenli bir fonksiyon durumunda olduğu gibi, belirli bir bölgedeki bir fonksiyonun türevlenebilirliği, bu bölgede sürekliliğini ima eder, ancak bunun tersi olmaz.

Bir fonksiyonun türevlenebilirliği için yeterli bir koşulu ispatsız formüle edelim.

Teorem. eğer fonksiyon z= f(x, y) sürekli kısmi türevleri vardır

belirli bir bölgede, o zaman bu bölgede türevlenebilir ve diferansiyeli formül (7) ile ifade edilir.

Bir değişkenli bir fonksiyon durumunda olduğu gibi, fonksiyonun diferansiyeli, fonksiyonun artışının ana lineer kısmıdır, bu nedenle, birkaç değişkenli bir fonksiyon durumunda, toplam diferansiyelin şu şekilde olduğu gösterilebilir. ana, bağımsız değişkenlerin artışlarına göre doğrusal, fonksiyonun toplam artışının bir parçası.

İki değişkenli bir fonksiyon için, fonksiyonun toplam artışı şu şekildedir:

(8)

burada α ve β ve için sonsuz küçüktür.

Daha yüksek siparişlerin kısmi türevleri

Kısmi türevler ve fonksiyonlar f(x, y) kendileri aynı değişkenlerin bazı fonksiyonlarıdır ve sırayla, daha yüksek dereceli kısmi türevler olarak adlandırılan farklı değişkenlere göre türevleri olabilir.

İki değişkenli bir fonksiyon düşünün z=f(x, y) ve noktasındaki toplam artışı M 0 (x 0 , y 0)

Δ z \u003d f (x 0 + Δ x, y 0 + Δ y) - f (x 0, y 0).

Tanım. sayılar varsa P ve Q böylece toplam artış olarak temsil edilebilir

Δz = PΔx + QΔy + ε Δρ,

Nerede ve ε→ 0 de Δρ→ 0 , ardından ifade PΔx + QΔy fonksiyonun toplam diferansiyeli denir z=f(x,y) noktada M0 (x0,y0).

Bu durumda, fonksiyonun tam artışı iki kısımdan oluşur: ilk kısım PΔx + QΔy göre doğrusaldır Δx ve Δy, ikincisi ile karşılaştırıldığında sonsuz küçük bir yüksek mertebedir .

Bir fonksiyonun toplam diferansiyeli z=f(x,y) ile gösterilir dz, yani

dz = PΔx+QΔy.

Belirli bir noktada toplam diferansiyeli olan bir fonksiyona o noktada türevlenebilir denir.

teorem. Eğer bir u=f(M) bir noktada türevlenebilir M0, o zaman onun içinde süreklidir.

Yorum. İki değişkenli bir fonksiyonun sürekliliği, onun türevlenebilirliği anlamına gelmez.

Örnek. sürekli (0,0) , ancak kısmi türevi yoktur - yoktur. Benzer şekilde, herhangi bir kısmi türev yoktur. y. Bu nedenle fonksiyon türevlenebilir değildir.

Teorem [türevlenebilirlik için gerekli koşul]. Eğer bir z=f(x,y) bir noktada türevlenebilir M0, o zaman göre kısmi türevleri vardır x ve y, ve

f′ x (x 0 ,y 0) = P, f′ y (x 0 , y 0) = Q.

Yorum. Türevlenebilirlik kısmi türevlerin varlığından çıkmaz. Örnek:

Sahibiz , ancak fonksiyon sürekli değildir, dolayısıyla türevlenebilir değildir.

Teorem [türevlenebilirlik için yeterli koşul]. Fonksiyonların birinci kısmi türevleri ise z=f(x,y) noktanın bazı mahallelerinde tanımlanır M0 (x0,y0) ve noktada sürekli M0, sonra verilen fonksiyon bu noktada toplam diferansiyeli vardır.

Yorum. Sahibiz

Δ z \u003d f′ x (x 0, y 0)Δ x + f′ y (x 0, y 0)Δ y + ε Δρ,

nerede ε→ 0 de Δρ→ 0 . Sonuç olarak,

f(x 0 +Δ x,y 0 +Δ y) - f(x 0 ,y 0) ≈ f′ x (x 0 ,y 0)Δ x + f′ y (x 0 ,y 0)Δ y

f(x 0 +Δ x, y 0 +Δ y) ≈ f(x 0 ,y 0) + f′ x (x 0 , y 0)Δ x + f′ y (x 0 , y 0)Δ y.

Bu formül yaklaşık hesaplamalarda kullanılır.

sabit Δx ve Δy toplam diferansiyel değişkenlerin bir fonksiyonudur x ve y:

koyalım dx=Δx, dy=Δy ve bu niceliklere bağımsız değişkenlerin diferansiyelleri adını verin.

Sonra formülü elde ederiz.

yani, fonksiyonun toplam diferansiyeli toplamına eşittir birinci kısmi türevlerin ürünleri ve argümanların karşılık gelen diferansiyelleri.

Üç değişkenli bir fonksiyonun toplam diferansiyeli benzer şekilde tanımlanır ve ifade edilir. Eğer bir u=f(x, y, z) ve sayılar var P, Q, Röyle ki

Δu = PΔx+QΔy+RΔz+εΔρ, ε→ 0 de δρ→ 0 ,

o zaman toplam diferansiyel ifadedir

du = PΔx+QΔy+RΔz.

Bu fonksiyonun ilk kısmi türevleri sürekli ise, o zaman

nerede dx=Δx, dz=Δz, dz=Δz.

Tanım. Bir fonksiyonun toplam ikinci mertebeden diferansiyeli, toplam diferansiyelinin toplam diferansiyeline eşittir.

Eğer bir z=f(x,y), dz=z′ x dx+z′ y dy, sonra

Teğet düzlemi ve yüzey normali

Yüzeyi düşünün S, denklem tarafından verilen

z=f(x, y).

İzin vermek f(x, y) bazı alanlarda kısmi türevleri vardır. Düşünmek M 0 (x 0 , y 0).

- eğim noktada teğet M0 yüzeyin düzlem tarafından bölümüne y=y0, yani, çizgiye z=f(x,y 0). Bu çizginin teğeti:

z-z 0 \u003d f′ x (x 0, y 0) (x-x 0), y=y 0.

Benzer şekilde, bir düzlem tarafından bir kesit x=x0 denklemi verir

z-z 0 =f′ y (x 0 , y 0)(y-y 0), x=x 0.

Bu çizgilerin her ikisini de içeren düzlem şu denkleme sahiptir:

z-z 0 \u003d f′ x (x 0, y 0)(x-x 0)+f′ y (x 0, y 0)(y-y 0)

ve yüzeye teğet düzlem denir S noktada P 0 (x 0 , y 0 , z 0).

Teğet düzlem denkleminin şu şekilde yeniden yazılabileceğine dikkat edin:

z-z 0 =df.

Böylece, geometrik anlam toplam diferansiyel: bir noktada diferansiyel M0 artış için (x-x 0 , y-y 0) teğet düzlemin yüzeye uygulama noktasının artmasıdır z=f(x,y) noktada (x0, y0) aynı artışlar için.

Teğet düzlem, noktada normal bir vektöre sahiptir. (x0, y0, z0) - \vec(n)=(f′ x (x 0 , y 0), f′ y (x 0 , y 0), -1). Bir noktadan geçen bir çizgi P0 ve bir yön vektörüne sahip olmak \vec(n), yüzeyin normali olarak adlandırılır z=f(x,y) bu noktada. Onun denklemleri:

Karmaşık fonksiyonların farklılaşması

Diferansiyellenebilir bir fonksiyon verilsin z=F(v, w) argümanları değişkenlerin türevlenebilir fonksiyonları olan x ve y:

v=v(x, y), w=w(x, y).

Eğer aynı zamanda fonksiyon

z=F(v(x, y), w(x, y))=\Phi(x, y)

mantıklı, o zaman buna karmaşık bir fonksiyon denir x ve y.

teorem. Kısmi türevler z'x, z'y karmaşık fonksiyon var ve formüllerle ifade ediliyor

Eğer bir v ve w- bir değişkenin türevlenebilir fonksiyonları t, yani

v=v(t), w=w(t),

ve işlev mantıklı

z=F(v(t), w(t))=f(t),

daha sonra türevi formülle ifade edilir

Bu türev toplam türev olarak adlandırılır.

türevlenebilir bir fonksiyon verilirse

u=F(ξ, η, ζ),

kimin argümanları ξ=ξ(t), η=η(t), ζ=ζ(t)- bir değişkenin türevlenebilir fonksiyonları t ve işlev

u=F(ξ(t), η(t), ζ(t))

Gördüğünüz gibi, diferansiyeli bulmak için türevi dx ile çarpmanız gerekiyor. Bu, türevler için formül tablosundan diferansiyeller için karşılık gelen tabloyu hemen yazmanıza olanak tanır.

İki değişkenli bir fonksiyon için toplam diferansiyel:

Üç değişkenli bir fonksiyonun toplam diferansiyeli, kısmi diferansiyellerin toplamına eşittir: d f(x,y,z)=d x f(x,y,z)dx+d y f(x,y,z)dy+d z f(x ,y,z)dz

Tanım . Bu noktadaki artışı ∆y=A∆x + α(∆x)∆x olarak gösterilebiliyorsa, y=f(x) fonksiyonuna x 0 noktasında türevlenebilir denir, burada A bir sabittir ve α(∆ x), ∆x → 0 olarak sonsuz küçüktür.
Bir fonksiyonun bir noktada türevlenebilir olması şartı, bu noktada A=f'(x 0) olan bir türevin varlığına eşdeğerdir.

f(x) x 0 ve f "(x 0)≠0 noktasında türevlenebilir olsun, sonra ∆y=f'(x 0)∆x + α∆x, burada α= α(∆x) →0 ∆x → 0. ∆y miktarı ve sağ taraftaki her bir terim ∆x→0 gibi sonsuz küçük değerlerdir. , yani, α(∆x)∆x, f'(x 0)∆x'ten sonsuz küçük bir yüksek mertebedir.
, yani, ∆y~f'(x 0)∆x. Bu nedenle, f'(x 0)∆x, ∆y artışının ∆x kısmına göre ana ve aynı zamanda doğrusaldır (birinci dereceden ∆x içeren doğrusal ortalamalar). Bu terime x 0 noktasında y \u003d f (x) fonksiyonunun diferansiyeli denir ve dy (x 0) veya df (x 0) olarak gösterilir. Yani, keyfi x için
dy=f′(x)∆x. (bir)
dx=∆x olsun, o zaman
dy=f′(x)dx. (2)

Örnek. Bu fonksiyonların türevlerini ve diferansiyellerini bulun.
a) y=4tg2x
Çözüm:

diferansiyel:
b)
Çözüm:

diferansiyel:
c) y=arsin 2 (lnx)
Çözüm:

diferansiyel:
G)
Çözüm:
=
diferansiyel:

Örnek. y=x 3 işlevi için ∆y ve dy için bazı x ve ∆x değerleri için bir ifade bulun.
Çözüm. ∆y = (x+∆x) 3 – x 3 = x 3 + 3x 2 ∆x +3x∆x 2 + ∆x 3 – x 3 = 3x 2 ∆x+3x∆x 2 +∆x 3 dy=3x 2 ∆x (∆y'nin ∆x'e göre ana lineer kısmını aldık). Bu durumda α(∆x)∆x = 3x∆x 2 + ∆x 3 .

İki değişkenli fonksiyonların kısmi türevleri.
Çözüm kavramı ve örnekleri

Bu derste, iki değişkenin işleviyle tanışmaya devam edeceğiz ve belki de en yaygın tematik görevi ele alacağız - bulma fonksiyonun toplam diferansiyelinin yanı sıra birinci ve ikinci mertebeden kısmi türevler. Yarı zamanlı öğrenciler, kural olarak, 2. yarıyılda 1. yılda kısmi türevlerle karşı karşıya kalırlar. Ayrıca gözlemlerime göre kısmi türev bulma görevi sınavda hemen hemen her zaman bulunur.

Aşağıdaki materyali etkili bir şekilde incelemek için, gerekli Tek değişkenli bir fonksiyonun "olağan" türevlerini az çok güvenle bulabilir. Türevleri nasıl doğru bir şekilde ele alacağınızı derslerde öğrenebilirsiniz. Türev nasıl bulunur? ve Bileşik fonksiyonun türevi. Ayrıca bir türev tablosuna ihtiyacımız var temel fonksiyonlar ve farklılaştırma kuralları, basılı olarak elinizin altında olması en uygunudur. Referans materyalini sayfada bulabilirsiniz. Matematiksel formüller ve tablolar.

İki değişkenli bir fonksiyon kavramını çabucak tekrarlayalım, kendimi minimum düzeyde sınırlamaya çalışacağım. İki değişkenli bir fonksiyon genellikle olarak yazılır ve değişkenler çağrılır. bağımsız değişkenler veya argümanlar.

Örnek: - iki değişkenli bir fonksiyon.

Bazen notasyon kullanılır. Harf yerine harfin kullanıldığı görevler de vardır.

Geometrik bir bakış açısından, iki değişkenli bir fonksiyon çoğunlukla üç boyutlu uzayın bir yüzeyidir (düzlem, silindir, top, paraboloid, hiperboloid vb.). Ama aslında, bu zaten daha analitik bir geometri ve gündemimizde üniversite hocamın asla yazmama izin vermediği matematiksel analiz var, benim “atım”.

Birinci ve ikinci derecelerin kısmi türevlerini bulma sorununa dönüyoruz. Birkaç fincan kahve içmiş ve hayal edilemeyecek kadar zor malzeme havasında olanlar için iyi haberlerim var: kısmi türevler, tek değişkenli bir fonksiyonun "adi" türevleri ile hemen hemen aynıdır..

Kısmi türevler için tüm türev kuralları ve temel fonksiyonların türevleri tablosu geçerlidir. Şu anda öğreneceğimiz sadece birkaç küçük fark var:

... evet, bu arada, bu konu için oluşturdum küçük pdf kitap, bu sadece birkaç saat içinde "elinizi doldurmanıza" izin verecek. Ancak, siteyi kullanarak elbette sonucu da alacaksınız - belki biraz daha yavaş:

örnek 1

Bir fonksiyonun birinci ve ikinci mertebesinin kısmi türevlerini bulun

İlk olarak, birinci dereceden kısmi türevleri buluyoruz. İki tane var.

gösterim:
veya - "x"e göre kısmi türev
veya - "y"ye göre kısmi türev

İle başlayalım . "x"e göre kısmi türevi bulduğumuzda, değişken sabit kabul edilir (sabit sayı).

Alınan önlemlere ilişkin yorumlar:

(1) Kısmi türevi bulduğumuzda yaptığımız ilk şey şu sonuca varmaktır: tüm tire altında parantez içinde işlev alt simge ile.

Dikkat önemli! Abonelikler çözüm sırasında KAYBETMEZ. Bu durumda, olmadan bir yere “vuruş” çizerseniz, öğretmen en azından onu görevin yanına koyabilir (dikkatsizlik için puanın bir kısmını hemen ısırır).

(2) Farklılaşma kurallarını kullanın , . Bunun gibi basit bir örnek için, her iki kural da aynı adımda uygulanabilir. İlk terime dikkat edin: çünkü sabit kabul edilir ve türevin işaretinden herhangi bir sabit alınabilir., sonra parantez içinden çıkarıyoruz. Yani, bu durumda, normal bir sayıdan daha iyi değildir. Şimdi üçüncü terime bakalım: burada tam tersine çıkarılacak bir şey yok. Sabit olduğu için aynı zamanda bir sabittir ve bu anlamda son terimden - “yedi” den daha iyi değildir.

(3) Tablo türevlerini kullanıyoruz ve .

(4) Cevabı basitleştiriyoruz veya söylemekten hoşlandığım gibi "birleştiriyoruz".

Şimdi . "y"ye göre kısmi türevi bulduğumuzda, değişkensabit olarak kabul edilir (sabit sayı).

(1) Aynı farklılaşma kurallarını kullanıyoruz , . İlk terimde türevin işaretinin ötesindeki sabiti alıyoruz, ikinci terimde zaten sabit olduğu için hiçbir şey alınamıyor.

(2) Temel fonksiyonların türev tablosunu kullanıyoruz. Zihinsel olarak tablodaki tüm "X"leri "Y" olarak değiştirin. Yani, bu tablo aynı derecede geçerlidir (ve aslında hemen hemen her harf için). Özellikle kullandığımız formüller şuna benzer: ve .

Kısmi türevlerin anlamı nedir?

Özünde, 1. dereceden kısmi türevler benzer "sıradan" türev:

- bu fonksiyonlar karakterize eden değişim oranı eksenler yönünde ve sırasıyla çalışır. Yani, örneğin, fonksiyon "tırmanışların" ve "yokuşların" dikliğini karakterize eder yüzeyler apsis ekseni yönünde ve fonksiyon bize ordinat ekseni yönünde aynı yüzeyin "kabartmasını" anlatır.

! Not : burada paralel koordinat eksenleri.

Daha iyi anlamak için, düzlemin belirli bir noktasını ele alalım ve içindeki fonksiyonun ("yükseklik") değerini hesaplayalım:
- ve şimdi burada olduğunuzu hayal edin (ÇOK yüzeyde).

Belirli bir noktada "x" e göre kısmi türevi hesaplıyoruz:

"X" türevinin negatif işareti bize şunu söyler: Azalan x ekseni yönünde bir noktada işlev görür. Başka bir deyişle, küçük-küçük yaparsak (sonsuz küçük) eksenin ucuna doğru adım (bu eksene paralel), sonra yüzeyin eğiminden aşağı inin.

Şimdi "arazinin" doğasını y ekseni yönünde öğreniyoruz:

"y"ye göre türev pozitiftir, bu nedenle eksen boyunca bir noktada fonksiyon artışlar. Oldukça basitse, o zaman burada yokuş yukarı bir tırmanış bekliyoruz.

Ek olarak, bir noktada kısmi türev karakterize eder değişim oranı ilgili yönde çalışır. Ortaya çıkan değer ne kadar büyükse modül- yüzey ne kadar dik olursa ve tam tersi, sıfıra ne kadar yakınsa, yüzey o kadar düz olur. Yani örneğimizde, apsis ekseni yönündeki "eğim", ordinat ekseni yönündeki "dağ"dan daha diktir.

Ama bunlar iki özel yoldu. Bulunduğumuz noktadan çok açık ki, (ve genel olarak verilen yüzeyin herhangi bir noktasından) başka bir yöne hareket edebiliriz. Bu nedenle, bize yüzeyin "manzarası" hakkında bilgi verecek genel bir "navigasyon şeması" derlemeye ilgi vardır. Eğer mümkünse her noktada bu işlevin kapsamı mevcut tüm yollarla. Bundan ve diğer ilginç şeylerden sonraki derslerden birinde bahsedeceğim ama şimdilik konunun teknik yönüne dönelim.

Temel uygulamalı kuralları sistematik hale getiriyoruz:

1) ile türev aldığımızda, değişken sabit olarak kabul edilir.

2) Farklılaştırmaya göre yapıldığında, sonra bir sabit olarak kabul edilir.

3) Temel fonksiyonların kuralları ve türevleri tablosu, türevin gerçekleştirildiği herhangi bir değişken (veya herhangi bir başka) için geçerlidir ve uygulanabilir.

İkinci adım. İkinci dereceden kısmi türevleri buluyoruz. Dört tane var.

gösterim:
veya - "x"e göre ikinci türev
veya - "y"ye göre ikinci türev
veya - karışık"x'ten y'ye" türevi
veya - karışık"Y ile X" türevi

İkinci türevde sorun yok. konuşmak sade dil, ikinci türev, birinci türevin türevidir.

Kolaylık olması için, halihazırda bulunan birinci mertebeden kısmi türevleri yeniden yazacağım:

İlk önce karışık türevleri buluyoruz:

Gördüğünüz gibi, her şey basit: kısmi türevi alıp tekrar türevini alıyoruz, ancak bu durumda zaten “y” ile.

Benzer şekilde:

Pratik örneklerde aşağıdaki eşitliklere odaklanabilirsiniz.:

Böylece, ikinci mertebeden karışık türevler aracılığıyla, birinci mertebeden kısmi türevleri doğru bulup bulmadığımızı kontrol etmek çok uygundur.

İkinci türevi "x"e göre buluyoruz.
Buluş yok, alıyoruz ve onu tekrar "X" ile ayırt edin:

Benzer şekilde:

Bulunurken göstermeniz gerektiğine dikkat edilmelidir. artan dikkat, çünkü onları test edecek mucizevi eşitlikler yoktur.

İkinci türevler de geniş pratik uygulama bulurlar, özellikle bulma probleminde kullanılırlar. iki değişkenli bir fonksiyonun ekstremi. Ama her şeyin bir zamanı var:

Örnek 2

Noktadaki fonksiyonun birinci mertebeden kısmi türevlerini hesaplayın. İkinci dereceden türevleri bulun.

Bu, kendi kendine çözmeye bir örnektir (cevaplar dersin sonundadır). Kökleri ayırt etmekte zorlanıyorsanız, derse geri dönün Türev nasıl bulunur? Genel olarak, çok yakında benzer türevleri anında nasıl bulacağınızı öğreneceksiniz.

Elimizi daha karmaşık örneklerle dolduruyoruz:

Örnek 3

Şunu kontrol et . Birinci mertebenin toplam diferansiyelini yazın.

Çözüm: Birinci dereceden kısmi türevleri buluyoruz:

Alt simgeye dikkat edin: "x" in yanında sabit olduğunu parantez içinde yazmak yasaktır. Bu işaret, yeni başlayanlar için çözümde gezinmeyi kolaylaştırmak için çok yararlı olabilir.

Diğer yorumlar:

(1) Türevin işaretinin dışındaki tüm sabitleri çıkarıyoruz. Bu durumda, ve ve dolayısıyla ürünleri sabit bir sayı olarak kabul edilir.

(2) Kökleri nasıl düzgün bir şekilde ayırt edeceğinizi unutmayın.

(1) Türevin işaretinden tüm sabitleri alıyoruz, bu durumda sabit .

(2) Asal altında, iki fonksiyonun çarpımına sahibiz, bu nedenle çarpım farklılaştırma kuralını kullanmamız gerekiyor. .

(3) Bunun karmaşık bir fonksiyon olduğunu unutmayın (karmaşık olanların en basiti olmasına rağmen). İlgili kuralı kullanıyoruz: .

Şimdi ikinci dereceden karışık türevleri buluyoruz:

Bu, tüm hesaplamaların doğru olduğu anlamına gelir.

Toplam diferansiyeli yazalım. İncelenen görev bağlamında, iki değişkenli bir fonksiyonun toplam diferansiyelinin ne olduğunu söylemek anlamsızdır. Bu çok farklılığın pratik problemlerde sıklıkla yazılmasının gerekli olması önemlidir.

Toplam Birinci Derece Diferansiyel iki değişkenli fonksiyonlar şu şekildedir:

Bu durumda:

Yani, formülde sadece birinci dereceden zaten bulunan kısmi türevleri aptalca yerine koymanız gerekir. Diferansiyel simgeler ve bu ve benzeri durumlarda, mümkünse, paylara yazmak daha iyidir:

Ve okuyucuların tekrarlanan isteği üzerine, ikinci dereceden tam diferansiyel.

Şuna benziyor:

2. mertebenin "tek harfli" türevlerini DİKKATLİCE bulun:

ve "canavar" ı, kareleri, ürünü dikkatlice "ekleyerek" ve karışık türevi ikiye katlamayı unutmadan yazın:

Bir şey zor görünüyorsa sorun değil, türevlere daha sonra, türev alma tekniğini aldıktan sonra geri dönebilirsiniz:

Örnek 4

Bir fonksiyonun birinci dereceden kısmi türevlerini bulun . Şunu kontrol et . Birinci mertebenin toplam diferansiyelini yazın.

Karmaşık işlevlere sahip bir dizi örnek düşünün:

Örnek 5

Fonksiyonun birinci mertebesinin kısmi türevlerini bulun.

Çözüm:

Örnek 6

Bir fonksiyonun birinci dereceden kısmi türevlerini bulun .
Toplam farkı yazın.

Bu, kendi kendine çözme için bir örnektir (cevap dersin sonunda). Tam çözümü yayınlamayacağım çünkü oldukça basit.

Oldukça sık, yukarıdaki kuralların tümü kombinasyon halinde uygulanır.

Örnek 7

Bir fonksiyonun birinci dereceden kısmi türevlerini bulun .

(1) Toplamın türevini alma kuralını kullanıyoruz

(2) Bu durumda ilk terim sabit olarak kabul edilir, çünkü ifadede "x"e bağlı hiçbir şey yoktur - sadece "y". Bilirsiniz, bir kesrin sıfıra çevrilebilmesi her zaman güzeldir). İkinci dönem için ürün farklılaştırma kuralını uyguluyoruz. Bu arada, bu anlamda, yerine bir işlev verilseydi hiçbir şey değişmezdi - burada önemli olan iki fonksiyonun ürünü, HER BİRİ bağlıdır "X", ve bu nedenle, ürünün farklılaşma kuralını kullanmanız gerekir. Üçüncü terim için karmaşık bir fonksiyonun türev alma kuralını uyguluyoruz.

(1) Birinci terimde hem pay hem de payda bir "y" içerir, bu nedenle bölümün türevini almak için kuralı kullanmanız gerekir: . İkinci terim YALNIZCA "x"e bağlıdır, yani bir sabit olarak kabul edilir ve sıfıra dönüşür. Üçüncü terim için karmaşık bir fonksiyonun türev alma kuralını kullanıyoruz.

Cesaretle dersin neredeyse sonuna ulaşan okuyucular için, size yumuşama için eski bir Mekhmatov anekdotu anlatacağım:

Bir zamanlar işlevler alanında kötü bir türev ortaya çıktı ve herkesi nasıl farklılaştırdı. Tüm fonksiyonlar her yöne dağılır, kimse dönmek istemez! Ve sadece bir fonksiyon hiçbir yerden kaçmaz. Türev ona yaklaşır ve sorar:

"Neden benden kaçmıyorsun?"

- Ha. Ama umurumda değil, çünkü ben "e üzeri x'im" ve sen bana hiçbir şey yapamazsın!

Kötü türevinin sinsi bir gülümsemeyle cevap verdiği:

- İşte burada yanılıyorsunuz, sizi “y” ile ayıracağım, bu yüzden sizin için sıfır olun.

Şakayı anlayan, türevlerde ustalaştı, en azından "troyka" için).

Örnek 8

Bir fonksiyonun birinci dereceden kısmi türevlerini bulun .

Bu kendin yap örneğidir. Tam bir çözüm ve problemin örnek tasarımı dersin sonundadır.

Neredeyse hepsi bu. Son olarak, matematikçileri bir örnekle daha lütfen yardım edemem. Amatörlerle ilgili bile değil, herkesin farklı bir matematik eğitimi seviyesi var - daha zor görevlerle rekabet etmeyi seven insanlar var (ve çok nadir değil). Her ne kadar bu dersteki son örnek, hesaplamalar açısından hantal olduğu kadar karmaşık değildir.

Koleksiyon çıktısı:

İKİNCİ SİPARİŞ DİFERANSİYELİ

Lovkov Ivan Yurievich

Moskova öğrenci Devlet Üniversitesi Bilişim Teknolojileri, radyo mühendisliği ve elektronik, Rusya Federasyonu, Serpukhov

E- posta: alkasardansçı@ serseri. tr

Taperechkina Vera Alekseevna

cand. Fizik-Matematik Bilimler, Doçent, Moskova Devlet Bilgi Teknolojileri Üniversitesi, Radyo Mühendisliği ve Elektronik, Rusya Federasyonu, Serpukhov

İKİNCİ DERECE DİFERANSİYEL HAKKINDA

Lovkov İvan

Moskova Devlet Bilgi Teknolojileri, Radyo Mühendisliği ve Elektronik Üniversitesi, Rusya, Serpukhov öğrencisi

Vera Taperechkina

Fizik ve Matematik Bilimleri adayı, Moskova Devlet Bilgi Teknolojileri Üniversitesi, Radyo Mühendisliği ve Elektronik, Rusya, Serpukhov doçent

DİPNOT

Makale, iki değişkenli karmaşık fonksiyonlar için birinci ve ikinci mertebeden türevleri ve diferansiyelleri bulma yöntemlerini ele almaktadır.

ÖZ

İki değişkenli bileşik fonksiyonlar için türev ve birinci ve ikinci diferansiyel hesaplama yöntemleri.

Anahtar Kelimeler: kısmi türevler; diferansiyel.

anahtar kelimeler: kısmi türevler; diferansiyel.

1. Giriiş.

Aşağıda ihtiyaç duyacağımız birkaç değişkenli fonksiyonlar teorisinden bazı gerçekleri formüle edelim.

Tanım: Bir z=f(u, v) fonksiyonuna (u, v) noktasında türevlenebilir olarak adlandırılır, eğer artışı Δz şu şekilde temsil edilebilirse:

Artışın lineer kısmına toplam diferansiyel denir ve dz ile gösterilir.

Teorem (türevlenebilirlik için yeterli koşul) bkz.

m.(u, v)'nin bir komşuluğunda sürekli kısmi türevler varsa ve f(u, v) fonksiyonu bu noktada türevlenebilirdir ve

(du=Δu, dv=Δv). (bir)

Tanım: Belirli bir (u, v) noktasında z=f(u, v) fonksiyonunun ikinci diferansiyeli, f(u, v) fonksiyonunun birinci diferansiyelinin ilk diferansiyeli, yani.

u ve v'nin bağımsız değişkenler olduğu ikinci diferansiyel z=f(u, v) tanımından şu sonuç çıkar:

Böylece formül geçerlidir:

Formül türetilirken, karışık türevlerin eşitliğine ilişkin Schwartz teoremi kullanıldı. Bu eşitlik şu koşullarda geçerlidir: m.(u, v) komşuluğunda tanımlanır ve m.(u, v)'de süreklidir. görmek

2. diferansiyeli bulmak için formül sembolik olarak aşağıdaki biçimde yazılabilir: - parantezin biçimsel karesi ve ardından sağda f(x y) ile biçimsel çarpım, daha önce elde edilen formülü verir. Benzer şekilde, 3. diferansiyel için formül geçerlidir:

Ve genel olarak konuşursak:

N'inci kuvvete resmi yükseltme Newton'un binom formülüne göre yapıldığında:

;

İki değişkenli bir fonksiyonun ilk diferansiyelinin değişmezlik özelliğine sahip olduğuna dikkat edin. Yani, eğer u ve v bağımsız değişkenlerse, o zaman z=f(u, v) fonksiyonu için (1)'e göre

Şimdi u=u(x y), v=v(x y), sonra z=f(u(x y), v(x y)), x ve y bağımsız değişkenler olsun, o zaman

Karmaşık bir fonksiyonun türevi için iyi bilinen formülleri kullanma:

Sonra (3) ve (4)'ten şunu elde ederiz:

Böylece,

(5)

nerede - u fonksiyonunun ilk diferansiyeli, - v fonksiyonunun ilk diferansiyeli

(1) ve (5)'i karşılaştırarak, dz için formel formülün korunduğunu görüyoruz, ancak (1)'de du=Δu, dv=Δv bağımsız değişkenlerin artışları ise, o zaman (5)'te du ve dv'nin diferansiyelleridir. fonksiyonlar u ve v.

2. İki değişkenli bir bileşik fonksiyonun ikinci diferansiyeli.

İlk olarak, ikinci diferansiyelin form değişmezliği özelliğine sahip olmadığını gösterelim.

z=z(u, v) olsun, bağımsız değişkenler u ve v durumunda, ikinci diferansiyel formül (2) ile bulunur.

Şimdi u=u(x y), v=v(x y), z=z(u(x y), v(x y)) olsun, burada x ve y bağımsız değişkenlerdir. O zamanlar

.

Sonunda aldık:

Formül (2) ve (6) form olarak çakışmaz, bu nedenle ikinci diferansiyel değişmezlik özelliğine sahip değildir.

Daha önce, 1. mertebeden kısmi türev formülleri, u=u(x y), v=v(x y), burada x ve y'nin bağımsız değişkenler olduğu karmaşık bir z=f(u, v) işlevi için türetildi, bkz.

Kısmi türevleri hesaplamak için formüller ve z=f(u, v), u=u(x y), v=v(x y) fonksiyonu için ikinci dereceden bir diferansiyel türetiyoruz, burada x ve y bağımsız değişkenlerdir.

x, y bağımsız değişkenlerinin u(x y), v(x y) fonksiyonları için şu formüllere sahibiz:

(8) formüllerini (6) ile değiştirelim.

Böylece, iki değişkenli karmaşık bir fonksiyonun ikinci dereceden diferansiyeli için bir formül elde ettik.

(2) ve (9)'daki iki değişkenli karmaşık bir fonksiyonun ikinci dereceden kısmi türevleri için katsayıları karşılaştırarak, aşağıdaki formülleri elde ederiz:

Örnek 1 cm

z=f(u, v), u=xy, v= olsun. İkinci diferansiyeli bulun.

Çözüm: kısmi türevleri hesaplayın:

, , , ,

, ,