Ky është një nga operacionet më të zakonshme të matricës. Matrica që fitohet pas shumëzimit quhet prodhim matricë.

Produkt matricë Jam × n në matricë B n × k do të ketë një matricë C m × k të tillë që elementi i matricës C e vendosur në i-linja e th dhe j-kolona e th, pra elementi c ij është e barabartë me shumën produktet e elementeve i rreshti i matricës A mbi elementët përkatës j kolona e matricës B.

Procesi shumëzimet e matricësështë e mundur vetëm nëse numri i kolonave të matricës së parë është i barabartë me numrin e rreshtave të matricës së dytë.

Shembull:
A është e mundur të shumëzohet një matricë me një matricë?

m =n, që do të thotë se mund të shumëzoni të dhënat e matricës.

Nëse matricat ndërrohen, atëherë, me matrica të tilla, shumëzimi nuk do të jetë më i mundur.

m≠ n, kështu që nuk mund të bëni shumëzim:

Shumë shpesh ju mund të gjeni detyra me një mashtrim kur studentit i ofrohet shumëzojnë matricat, shumëzimi i të cilit është padyshim i pamundur.

Ju lutemi vini re se ndonjëherë është e mundur të shumëzohen matricat në të dyja mënyrat. Për shembull, për matricat, dhe ndoshta si shumëzim MN, kështu është edhe shumëzimi N.M.

Ky nuk është një veprim shumë i vështirë. Shumëzimi i matricës kuptohet më mirë me shembuj specifik, si Vetëm përkufizimi mund të jetë shumë konfuz.

Le të fillojmë me shembullin më të thjeshtë:

Duhet të shumëzohet me. Para së gjithash, ne japim formulën për këtë rast:

- ka një model të mirë këtu.

Shumëzoni me.

Formula për këtë rast është: .

Shumëzimi i matricës dhe rezultati:

Si rezultat, të ashtuquajturat. matricë null.

Është shumë e rëndësishme të mbani mend se "rregulli i riorganizimit të vendeve të termave" nuk funksionon këtu, pasi pothuajse gjithmonë MN≠ NM. Prandaj, duke prodhuar operacioni i shumëzimit të matricës në asnjë rrethanë nuk duhet të ndërrohen.

Tani shqyrtoni shembuj të shumëzimit të matricës të rendit të tretë:

shumohen në .

Formula është shumë e ngjashme me ato të mëparshme:

Zgjidhja e matricës: .

Ky është i njëjti shumëzim matricë, në vend të matricës së dytë merret vetëm një numër i thjeshtë. Siç mund ta merrni me mend, ky shumëzim është shumë më i lehtë për t'u kryer.

Një shembull i shumëzimit të një matrice me një numër:

Gjithçka është e qartë këtu - në mënyrë që të shumëzoni një matricë me një numër, është e nevojshme që secili element i matricës të shumëzohet në mënyrë sekuenciale me numrin e specifikuar. Në këtë rast, 3.

Një shembull tjetër i dobishëm:

- shumëzimi i matricës me një numër thyesor.

Para së gjithash, le të tregojmë se çfarë nuk duhet bërë:

Kur shumëzoni një matricë me një numër thyesor, nuk është e nevojshme të futni një thyesë në matricë, pasi kjo, para së gjithash, vetëm ndërlikon veprimet e mëtejshme me matricën, dhe së dyti, e bën të vështirë për mësuesin të kontrollojë zgjidhjen. .

Dhe, për më tepër, nuk ka nevojë të ndahet secili element i matricës me -7:

.

Ajo që duhet bërë në këtë rast është të shtoni një minus në matricë:

.

Nëse do të kishit një shembull kur të gjithë elementët e matricës do të ndaheshin me 7 pa një mbetje, atëherë do të ishte e mundur (dhe e nevojshme!) të ndaheshin.

Në këtë shembull, është e mundur dhe e nevojshme të shumëzohen të gjithë elementët e matricës me ½, sepse çdo element i matricës është i pjesëtueshëm me 2 pa mbetje.

Shënim: në teorinë e matematikës së lartë koncepti i shkollës"ndarja" nuk është. Në vend të shprehjes "kjo ndahet me këtë", gjithmonë mund të thuash "kjo shumëzohet me një fraksion". Kjo është, ndarja është rast i veçantë shumëzimi.

Aplikimet kryesore të matricave lidhen me operacionin shumëzimi.

Jepen dy matrica:

A - madhësia mn

B - madhësia n k

Sepse gjatësia e rreshtit në matricën A përkon me lartësinë e kolonës në matricën B, ju mund të përcaktoni matricën C=AB, e cila do të ketë dimensione m k. Elementi matrica C, e vendosur në një rresht arbitrar i-të (i=1,…,m) dhe një kolonë arbitrare j-të (j=1,…,k), sipas përkufizimit është i barabartë me produktin skalar të dy vektorëve nga
Rreshti i :i i matricës A dhe kolona j i matricës B:

Vetitë:

Si përcaktohet veprimi i shumëzimit të matricës A me një numër λ?

Prodhimi i A me një numër λ është një matricë, çdo element i së cilës është i barabartë me prodhimin e elementit përkatës të A me λ. Pasoja: Faktori i përbashkët i të gjithë elementëve të matricës mund të hiqet nga shenja e matricës.

13. Përkufizimi i një matrice të anasjelltë dhe vetitë e saj.

Përkufizimi. Nëse ka matrica katrore X dhe A të të njëjtit rend që plotësojnë kushtin:

ku E është matrica e identitetit e rendit të njëjtë me matricën A, atëherë thirret matrica X e kundërta në matricën A dhe shënohet me A -1 .

Vetitë e matricave të anasjellta

Le të tregojmë vetitë e mëposhtme të matricave të anasjellta:

1) (A -1) -1 = A;

2) (AB) -1 = B -1 A -1

3) (A T) -1 = (A -1) T .

1. Nëse ekziston një matricë e kundërt, atëherë ajo është unike.

2. Jo çdo jozero matricë katrore ka një të kundërt.

14. Jepni vetitë kryesore të përcaktorëve. Kontrolloni pronën |AB|=|A|*|B| për matricat

A= dhe B=

Vetitë e përcaktorëve:

1. Nëse ndonjë rresht i përcaktorit përbëhet nga zero, atëherë vetë përcaktorja është e barabartë me zero.

2. Kur ndërrohen dy vargje, përcaktori shumëzohet me -1.

3. Përcaktorja me dy vargje identike është e barabartë me zero.

4. Faktori i përbashkët i elementeve të çdo rreshti mund të nxirret nga shenja e përcaktorit.

5. Nëse elementet e një rreshti të caktuar të përcaktorit A paraqiten si shumë e dy termave, atëherë vetë përcaktorja është e barabartë me shumën e dy përcaktorëve B dhe D. Në përcaktorin B, vargu i specifikuar përbëhet nga i pari. termat, në D - të termave të dytë. Linjat e mbetura të përcaktorëve B dhe D janë të njëjta si në A.

6. Vlera e përcaktorit nuk do të ndryshojë nëse njërit prej vargjeve i shtohet një varg tjetër, shumëzuar me ndonjë numër.

7. Shuma e produkteve të elementeve të çdo rreshti dhe shtesave algjebrike në elementët përkatës të një rreshti tjetër është e barabartë me 0.

8. Përcaktori i matricës A është i barabartë me përcaktorin e matricës së transpozuar A m, d.m.th. përcaktori nuk ndryshon kur transpozohet.

15. Përcaktoni modulin dhe argumentin e një numri kompleks. Shkruani në formë trigonometrike numrat √3+i, -1+ i.

Çdo numri kompleks z=a+ib mund t'i caktohet një vektor (a,b)€R 2. Gjatësia e këtij vektori, e barabartë me √a 2 + b 2 quhet moduli i numrit kompleks z dhe shënohet me |z|. Këndi φ ndërmjet vektorit të dhënë dhe drejtimit pozitiv të boshtit Ox quhet argumenti i numrit kompleks z dhe shënohet me arg z.

Çdo numër kompleks z≠0 mund të paraqitet si z=|z|(cosφ +isinφ).

Kjo formë e shkrimit të një numri kompleks quhet trigonometrik.

√3+i=2(√3/2+1/2i)=2(cosπ/6+isinπ/6);

1+i=2(-√2/2+i√2/2)=2(cosπ/4+isinπ/4).

Çdo numri kompleks Z = a + ib mund t'i caktohet një vektor (a; b) që i përket R^2. Gjatësia e këtij vektori, e barabartë me CV e a^2 + b^2, quhet moduli i numrit kompleks dhe shënohet me modulin Z. Këndi ndërmjet këtij vektori dhe drejtimit pozitiv të boshtit Ox quhet argumenti i numrit kompleks (i shënuar me arg Z).

Përkufizimi. Prodhimi i dy matricave POR dhe AT e quajtur matricë NGA, elementi i të cilit, i vendosur në kryqëzim i-linja e th dhe j-kolona e -të, është e barabartë me shumën e produkteve të elementeve i-rreshti i matricës POR në elementet përkatëse (në radhë). j-kolona e matricës AT.

Ky përkufizim nënkupton formulën për elementin e matricës C:

Produkt matricë POR në matricë AT shënohet AB.

Shembulli 1 Gjeni prodhimin e dy matricave POR dhe B, nëse

,

.

Zgjidhje. Është e përshtatshme për të gjetur produktin e dy matricave POR dhe AT shkruani si në figurën 2:

Në diagram, shigjetat gri tregojnë elementet e cilës rresht të matricës POR në elementet e cilës kolonë të matricës AT duhet të shumëzohen për të marrë elementet e matricës NGA, dhe ngjyrat e elementit të matricës C elementet përkatëse të matricave janë të lidhura A dhe B, produktet e të cilit shtohen për të marrë një element matricë C.

Si rezultat, marrim elementet e produktit të matricave:

Tani kemi gjithçka për të shkruar produktin e dy matricave:

.

Produkti i dy matricave AB ka kuptim vetëm kur numri i kolonave të matricës POR përputhet me numrin e rreshtave të matricës AT.

Kjo veçori e rëndësishme do të jetë më e lehtë për t'u mbajtur mend nëse përdorni më shpesh përkujtuesit e mëposhtëm:

Ekziston një veçori tjetër e rëndësishme e produktit të matricave në lidhje me numrin e rreshtave dhe kolonave:

Në prodhimin e matricave AB numri i rreshtave është i barabartë me numrin e rreshtave të matricës POR, dhe numri i kolonave është i barabartë me numrin e kolonave të matricës AT .

Shembulli 2 Gjeni numrin e rreshtave dhe kolonave të një matrice C, e cila është prodhim i dy matricave A dhe B dimensionet e mëposhtme:

a) 2 X 10 dhe 10 X 5;

b) 10 X 2 dhe 2 X 5;

Shembulli 3 Gjeni produktin e matricave A dhe B, nëse:

.

A B- 2. Prandaj dimensioni i matricës C = AB- 2 X 2.

Llogaritni elementet e matricës C = AB.

Prodhimi i gjetur i matricave: .

Ju mund të kontrolloni zgjidhjen e këtij dhe problemeve të tjera të ngjashme në Llogaritësi i produktit matricë në internet .

Shembulli 5 Gjeni produktin e matricave A dhe B, nëse:

.

Zgjidhje. Numri i rreshtave në matricë A- 2, numri i kolonave në matricë B C = AB- 2 x 1.

Llogaritni elementet e matricës C = AB.

Prodhimi i matricave do të shkruhet si një matricë kolone: ​​.

Ju mund të kontrolloni zgjidhjen e këtij dhe problemeve të tjera të ngjashme në Llogaritësi i produktit matricë në internet .

Shembulli 6 Gjeni produktin e matricave A dhe B, nëse:

.

Zgjidhje. Numri i rreshtave në matricë A- 3, numri i kolonave në matricë B- 3. Prandaj dimensioni i matricës C = AB- 3 x 3.

Llogaritni elementet e matricës C = AB.

Produkti i gjetur i matricave: .

Ju mund të kontrolloni zgjidhjen e këtij dhe problemeve të tjera të ngjashme në Llogaritësi i produktit matricë në internet .

Shembulli 7 Gjeni produktin e matricave A dhe B, nëse:

.

Zgjidhje. Numri i rreshtave në matricë A- 1, numri i kolonave në matricë B- 1. Rrjedhimisht, dimensioni i matricës C = AB- 1 x 1.

Llogaritni elementin e matricës C = AB.

Prodhimi i matricave është një matricë e një elementi: .

Ju mund të kontrolloni zgjidhjen e këtij dhe problemeve të tjera të ngjashme në Llogaritësi i produktit matricë në internet .

Zbatimi i softuerit të produktit të dy matricave në C++ diskutohet në artikullin përkatës në bllokun "Kompjuterë dhe Programim".

Ngritja e një matrice në një fuqi përkufizohet si shumëzimi i një matrice me të njëjtën matricë. Meqenëse produkti i matricave ekziston vetëm kur numri i kolonave të matricës së parë është i njëjtë me numrin e rreshtave të matricës së dytë, vetëm matricat katrore mund të ngrihen në një fuqi. n fuqia e një matrice duke e shumëzuar matricën me vetveten n një herë:

Shembulli 8 Jepet një matricë. Gjej A² dhe A³ .

Gjeni vetë produktin e matricave dhe më pas shikoni zgjidhjen

Shembulli 9 Jepet një matricë

Gjeni produktin e matricës së dhënë dhe matricës së transpozuar, produktin e matricës së transpozuar dhe matricës së dhënë.

Prona 1. Prodhimi i çdo matrice A dhe matricës identitare E të rendit përkatës si në të djathtë ashtu edhe në të majtë përkon me matricën A, d.m.th. AE = EA = A.

Me fjalë të tjera, roli i matricës së identitetit në shumëzimin e matricës është i njëjtë me rolin e njësive në shumëzimin e numrave.

Shembulli 10 Sigurohuni që vetia 1 të jetë e vërtetë duke gjetur produktet e matricës

në matricën e identitetit djathtas dhe majtas.

Zgjidhje. Që nga matrica POR përmban tre kolona, ​​atëherë ju duhet të gjeni produktin AE, ku

-
matrica e identitetit të rendit të tretë. Le të gjejmë elementet e veprës NGA = AE :

Rezulton se AE = POR .

Tani le të gjejmë punën EA, ku Eështë matrica e identitetit të rendit të dytë, pasi matrica A përmban dy rreshta. Le të gjejmë elementet e veprës NGA = EA :

Prodhimi i matricave (C=AB) është një veprim vetëm për matricat konsistente A dhe B, në të cilat numri i kolonave të matricës A është i barabartë me numrin e rreshtave të matricës B:

C ⏟ m × n = A ⏟ m × p × B ⏟ p × n

Shembulli 1

Të dhënat e matricës:

• A = a (i j) e dimensioneve m × n;
• B = b (i j) p × n

Matrica C , elementet e së cilës c i j llogariten me formulën e mëposhtme:

c i j = a i 1 × b 1 j + a i 2 × b 2 j + . . . + a i p × b p j , i = 1 , . . . m , j = 1 , . . . m

Shembulli 2

Le të llogarisim produktet AB=BA:

A = 1 2 1 0 1 2 , B = 1 0 0 1 1 1

Zgjidhje duke përdorur rregullin e shumëzimit të matricës:

A ⏟ 2 × 3 × B ⏟ 3 × 2 = 1 2 1 0 1 2 × 1 0 0 1 1 1 = 1 × 1 + 2 × 0 + 1 × 1 1 × 0 + 2 × 1 + 1 × 1 0 × 1 + 1 × 0 + 2 × 1 0 × 0 + 1 × 1 + 2 × 1 = = 2 3 2 3 ⏟ 2 × 2

B ⏟ 3 × 2 × A ⏟ 2 × 3 = 1 0 0 1 1 1 × 1 2 1 0 1 2 = 1 × 1 + 0 × 0 1 × 2 + 0 × 1 1 × 1 + 0 × 2 0 × 1 + 1 × 0 0 × 2 + 1 × 1 0 × 1 + 1 × 2 1 × 1 + 1 × 0 1 × 2 + 1 × 1 1 × 1 + 1 × 2 = 1 2 1 0 1 2 1 3 3 ⏟ 3×3

Gjendet prodhimi A B dhe B A, por ato janë matrica me madhësi të ndryshme: A B nuk është e barabartë me B A.

Vetitë e shumëzimit të matricës

Karakteristikat e shumëzimit të matricës:

• (A B) C = A (B C) - asociativiteti i shumëzimit të matricës;
• A (B + C) \u003d A B + A C - shumëzim shpërndarës;
• (A + B) C \u003d A C + B C - shpërndarja e shumëzimit;
• λ (A B) = (λ A) B

Kontrollo vetinë #1: (A B) C = A (B C):

(A × B) × A = 1 2 3 4 × 5 6 7 8 × 1 0 0 2 = 19 22 43 50 × 1 0 0 2 = 19 44 43 100,

A (B × C) = 1 2 3 4 × 5 6 7 8 1 0 0 2 = 1 2 3 4 × 5 12 7 16 = 19 44 43 100 .

Shembulli 2

Ne kontrollojmë pronën nr. 2: A (B + C) \u003d A B + A C:

A × (B + C) = 1 2 3 4 × 5 6 7 8 + 1 0 0 2 = 1 2 3 4 × 6 6 7 10 = 20 26 46 58,

A B + A C \u003d 1 2 3 4 × 5 6 7 8 + 1 2 3 4 × 1 0 0 2 \u003d 19 22 43 50 + 1 4 3 8 \u003d 20 26 46 58 .

Produkti i tre matricave

Prodhimi i tre matricave A B C llogaritet në 2 mënyra:

• gjeni A B dhe shumëzojeni me C: (A B) C;
• ose gjeni fillimisht B C, dhe më pas shumëzoni A (B C) .

Shumëzoni matricat në 2 mënyra:

4 3 7 5 × - 28 93 38 - 126 × 7 3 2 1

Algoritmi i veprimit:

• gjeni prodhimin e 2 matricave;
• pastaj gjeni përsëri prodhimin e 2 matricave.

një). A B \u003d 4 3 7 5 × - 28 93 38 - 126 \u003d 4 (- 28) + 3 × 38 4 × 93 + 3 (- 126) 7 (- 28) + 5 × 38 7 × 5 (- 93 + 126 ) = 2 - 6 - 6 21

2). A B C = (A B) C = 2 - 6 - 6 21 7 3 2 1 = 2 × 7 - 6 × 2 2 × 3 - 6 × 1 - 6 × 7 + 21 × 2 - 6 × 3 + 21 × 1 = 2 0 0 3 .

Ne përdorim formulën A B C \u003d (A B) C:

një). B C = - 28 93 38 - 126 7 3 2 1 = - 28 × 7 + 93 × 2 - 28 × 3 + 93 × 1 38 × 7 - 126 × 2 38 × 3 - 126 × 1 = 2 - 14 -1

2). A B C \u003d (A B) C \u003d 7 3 2 1 - 10 9 14 - 12 \u003d 4 (- 10) + 3 × 14 4 × 9 + 3 (- 12) 7 (- 10) + 5 × 14 7 9 + 5 (- 12) = 2 0 0 3

Përgjigje: 4 3 7 5 - 28 93 38 - 126 7 3 2 1 = 2 0 0 3

Shumëzimi i një matrice me një numër

Prodhimi i matricës A me numrin k është matrica B \u003d A k me të njëjtën madhësi, e cila merret nga origjinali duke shumëzuar me një numër të caktuar të të gjithë elementëve të tij:

b i, j = k × a i, j

Vetitë e shumëzimit të një matrice me një numër:

• 1 × A = A
• 0 × A = matricë zero
• k(A + B) = kA + kB
• (k + n) A = k A + n A
• (k×n)×A = k(n×A)

Gjeni produktin e matricës A \u003d 4 2 9 0 me 5.

5 A = 5 4 2 9 0 5 × 4 5 × 2 5 × 9 5 × 0 = 20 10 45 0

Shumëzimi i një matrice me një vektor

Për të gjetur produktin e një matrice dhe një vektori, duhet të shumëzoni sipas rregullit rresht pas kolonë:

• nëse shumëzoni një matricë me një vektor kolone, numri i kolonave në matricë duhet të përputhet me numrin e rreshtave në vektorin e kolonës;
• rezultati i shumëzimit të një vektori kolone është vetëm një vektor kolone:

A B = a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ a m 1 a m 2 ⋯ a m n b 1 b 2 ⋯ b 1 n = a 11 × 1 × b 1 + a 1 n × b n a 21 × b 1 + a 22 × b 2 + ⋯ + a 2 n × b n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ a m 1 × b 1 + a m 2 × b 2 + ⋯ + a m n × b n = c 1 m

• nëse shumëzoni një matricë me një vektor rreshti, atëherë matrica që do të shumëzohet duhet të jetë ekskluzivisht një vektor kolone dhe numri i kolonave duhet të përputhet me numrin e kolonave në vektorin e rreshtit:

A B = a a ⋯ a b b ⋯ b = a 1 × b 1 a 1 × b 2 ⋯ a 1 × b n a 2 × b 1 a 2 × b 2 ⋯ a 2 × b n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ a n × b a n × b n = c 11 c 12 ⋯ c 1 n c 21 c 22 ⋯ c 2 n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ c n 1 c n 2 ⋯ c n n

Shembulli 5

Gjeni produktin e matricës A dhe vektorit të kolonës B:

A B \u003d 2 4 0 - 2 1 3 - 1 0 1 1 2 - 1 \u003d 2 × 1 + 4 × 2 + 0 × (- 1) - 2 × 1 + 1 × 2 + 3 × (- 1) - 1 × 1 + 0 × 2 + 1 × (- 1) = 2 + 8 + 0 - 2 + 2 - 3 - 1 + 0 - 1 = 10 - 3 - 2

Shembulli 6

Gjeni produktin e matricës A dhe vektorit të rreshtit B:

A \u003d 3 2 0 - 1, B \u003d - 1 1 0 2

A B = 3 2 0 1 × - 1 1 0 2 = 3 × (- 1) 3 × 1 3 × 0 3 × 2 2 × (- 1) 2 × 1 2 × 0 2 × 2 0 × (- 1) 0 × 1 0 × 0 0 × 2 1 × (- 1) 1 × 1 1 × 0 1 × 2 = - 3 3 0 6 - 2 2 0 4 0 0 0 0 - 1 1 0 2

Përgjigje: A B \u003d - 3 3 0 6 - 2 2 0 4 0 0 0 0 - 1 1 0 2

Nëse vëreni një gabim në tekst, ju lutemi theksoni atë dhe shtypni Ctrl+Enter

Pra, në mësimin e mëparshëm, ne analizuam rregullat për mbledhjen dhe zbritjen e matricave. Këto janë operacione kaq të thjeshta saqë shumica e studentëve i kuptojnë ato fjalë për fjalë menjëherë.

Megjithatë, ju gëzoheni herët. Falas ka mbaruar - le të kalojmë te shumëzimi. Unë do t'ju paralajmëroj menjëherë: shumëzimi i dy matricave nuk është aspak shumëzimi i numrave në qeliza me të njëjtat koordinata, siç mund të mendoni. Gjithçka është shumë më argëtuese këtu. Dhe ju duhet të filloni me përkufizimet paraprake.

Matricat konsistente

Një nga karakteristikat më të rëndësishme të një matrice është madhësia e saj. Ne kemi folur tashmë për këtë njëqind herë: $A=\left[ m\times n \right]$ do të thotë që matrica ka saktësisht rreshta $m$ dhe kolona $n$. Ne kemi diskutuar tashmë se si të mos ngatërrojmë rreshtat me kolonat. Tani diçka tjetër është e rëndësishme.

Përkufizimi. Matricat e formës $A=\left[ m\herë n \djathtas]$ dhe $B=\left[n\herë k \djathtas]$, në të cilat numri i kolonave në matricën e parë është i njëjtë me numri i rreshtave në të dytën, quhen konsistente.

Edhe një herë: numri i kolonave në matricën e parë është i barabartë me numrin e rreshtave në të dytën! Nga kjo marrim dy përfundime njëherësh:

1. Ne kujdesemi për renditjen e matricave. Për shembull, matricat $A=\left[ 3\herë 2 \djathtas]$ dhe $B=\majtas[ 2\herë 5 \djathtas]$ janë të qëndrueshme (2 kolona në matricën e parë dhe 2 rreshta në të dytën) , por anasjelltas — matricat $B=\left[ 2\herë 5 \djathtas]$ dhe $A=\left[ 3\herë 2 \djathtas]$ nuk janë më të qëndrueshme (5 kolonat në matricën e parë janë, si ishin, jo 3 rreshta në të dytin).
2. Konsistenca është e lehtë për t'u kontrolluar nëse i shkruani të gjitha dimensionet njëra pas tjetrës. Duke përdorur shembullin nga paragrafi i mëparshëm: "3 2 2 5" - të njëjtët numra janë në mes, kështu që matricat janë të qëndrueshme. Por “2 5 3 2” nuk është dakorduar, sepse në mes ka numra të ndryshëm.

Përveç kësaj, kapiteni duket se lë të kuptohet se matricat katrore të së njëjtës madhësi $\majtas[n\herë n \djathtas]$ janë gjithmonë të qëndrueshme.

Në matematikë, kur rendi i numërimit të objekteve është i rëndësishëm (për shembull, në përkufizimin e diskutuar më sipër, rendi i matricave është i rëndësishëm), shpesh flitet për çifte të renditura. Ne i takuam ata në shkollë: mendoj se është e pamend që koordinatat $\left(1;0 \right)$ dhe $\left(0;1 \djathtas)$ të përcaktojnë pika të ndryshme në sipërfaqe.

Pra: koordinatat janë edhe çifte të renditura, të cilat përbëhen nga numra. Por asgjë nuk ju pengon të bëni një çift të tillë matricash. Atëherë do të jetë e mundur të thuhet: "Një çift i renditur matricash $\left(A;B \djathtas)$ është i qëndrueshëm nëse numri i kolonave në matricën e parë është i njëjtë me numrin e rreshtave në të dytën. "

Epo, çfarë?

Përkufizimi i shumëzimit

Konsideroni dy matrica konsistente: $A=\majtas[ m\herë n \djathtas]$ dhe $B=\majtas[n\herë k \djathtas]$. Dhe ne përcaktojmë për ta operacionin e shumëzimit.

Përkufizimi. Prodhimi i dy matricave konsistente $A=\majtas[ m\herë n \djathtas]$ dhe $B=\majtas[n\herë k \djathtas]$ është matrica e re $C=\majtas[ m\herë k \ djathtas] $, elementet e të cilit llogariten sipas formulës:

\[\filloj(rreshtoj) & ((c)_(i;j))=((a)_(i;1))\cdot ((b)_(1;j))+(a)_ (i;2))\cdot ((b)_(2;j))+\ldots +((a)_(i;n))\cdot ((b)_(n;j))= \\ & =\shuma\limits_(t=1)^(n)((a)_(i;t))\cdot ((b)_(t;j))) \fund(radhis)\]

Një produkt i tillë shënohet në mënyrën standarde: $C=A\cdot B$.

Për ata që e shohin këtë përkufizim për herë të parë, lindin menjëherë dy pyetje:

1. Çfarë lloj loje të egër është kjo?
2. Pse është kaq e vështirë?

Epo, së pari gjërat e para. Le të fillojmë me pyetjen e parë. Çfarë nënkuptojnë të gjitha këto indekse? Dhe si të mos bëni gabime kur punoni me matrica reale?

Para së gjithash, vërejmë se rreshti i gjatë për llogaritjen e $((c)_(i;j))$ (veçanërisht vendosni një pikëpresje midis indekseve për të mos u ngatërruar, por nuk keni nevojë t'i vendosni ato i përgjithshëm - Unë vetë u lodha duke shtypur formulën në përkufizim) me të vërtetë zbret në një rregull të thjeshtë:

1. Merrni rreshtin $i$-th në matricën e parë;
2. Merrni kolonën $j$-th në matricën e dytë;
3. Marrim dy sekuenca numrash. Ne i shumëzojmë elementet e këtyre sekuencave me të njëjtët numra dhe më pas shtojmë produktet që rezultojnë.

Ky proces është i lehtë për t'u kuptuar nga fotografia:

Edhe një herë: rregullojmë rreshtin $i$ në matricën e parë, kolonën $j$ në matricën e dytë, shumëzojmë elementët me të njëjtat numra dhe më pas shtojmë produktet që rezultojnë - marrim $((c)_(ij ))$. Dhe kështu për të gjitha $1\le i\le m$ dhe $1\le j\le k$. Ato. do të ketë $m\herë k$ "perversione" të tilla në total.

Në fakt, ne tashmë jemi takuar me shumëzimin e matricës në kurrikula shkollore, vetëm në një formë shumë të reduktuar. Le të jepen vektorët:

\[\fillim(lidhoj) & \vec(a)=\left(((x)_(a));((y)_(a));((z)_(a)) \djathtas); \\ & \mbidrejtë shigjetë(b)=\majtas(((x)_(b));((y)_(b));((z)_(b)) \djathtas). \\ \fund (radhis)\]

Atëherë produkti i tyre skalar do të jetë saktësisht shuma e produkteve në çift:

\[\overrightarrow(a)\times \overrightarrow(b)=((x)_(a))\cdot ((x)_(b))+((y)_(a))\cdot ((y )_(b))+((z)_(a))\cdot ((z)_(b))\]

Në fakt, në ato vite të largëta, kur pemët ishin më të gjelbra dhe qielli më i ndritshëm, ne thjesht shumëzonim vektorin e rreshtit $\overrightarrow(a)$ me vektorin e kolonës $\overrightarrow(b)$.

Asgjë nuk ka ndryshuar sot. Vetëm se tani ka më shumë nga këta vektorë rreshtash dhe kolonash.

Por mjaft teori! Le të shohim shembuj realë. Dhe le të fillojmë nga shumë rast i thjeshtë janë matrica katrore.

Shumëzimi i matricave katrore

Detyra 1. Kryeni shumëzimin:

\[\ majtas[ \fillimi(array)(*(35)(r)) 1 & 2 \\ -3 & 4 \\\fund(array) \djathtas]\cdot \left[ \fillimi(array)(* (35)(r)) -2 & 4 \\ 3 & 1 \\\ fund (arresë) \djathtas]\]

Zgjidhje. Pra, kemi dy matrica: $A=\majtas[ 2\herë 2 \djathtas]$ dhe $B=\majtas[ 2\herë 2 \djathtas]$. Është e qartë se ato janë konsistente (matricat katrore me të njëjtën madhësi janë gjithmonë konsistente). Pra, ne bëjmë shumëzimin:

\[\fillim(rreshtoj) & \majtas[ \fillim(array)(*(35)(r)) 1 & 2 \\ -3 & 4 \\\fund (array) \djathtas]\cdot \majtas[ \ Fillim(array)(*(35)(r)) -2 & 4 \\ 3 & 1 \\\fund (array) \djathtas]=\majtas[ \fillimi(array)(*(35)(r)) 1\cdot \majtas(-2 \djathtas)+2\cdot 3 & 1\cdot 4+2\cdot 1 \\ -3\cdot \majtas(-2 \djathtas)+4\cdot 3 & -3\cdot 4+4\cpika 1 \\\ fund (grumbullim) \djathtas]= \\ & =\majtas[ \fillimi(array)(*(35)(r)) 4 & 6 \\ 18 & -8 \\\ fund (array)\djathtas]. \fund (radhis)\]

Kjo eshte e gjitha!

Përgjigje: $\left[ \begin(array)(*(35)(r))4 & 6 \\ 18 & -8 \\\end(array) \djathtas]$.

Detyra 2. Kryeni shumëzimin:

\[\majtas[ \fillimi(matrica) 1 & 3 \\ 2 & 6 \\\fund(matrica) \djathtas]\cdot \left[ \fillimi(array)(*(35)(r))9 & 6 \\ -3 & -2 \\\ fund (array) \djathtas]\]

Zgjidhje. Përsëri, matrica konsistente, kështu që ne kryejmë veprimet e mëposhtme:\[\]

\[\fillim(rreshtoj) & \majtas[ \fillim(matricë) 1 & 3 \\ 2 & 6 \\\fund(matricë) \djathtas]\cdot \majtas[ \fillim(matricë)(*(35)( r)) 9 & 6 \\ -3 & -2 \\\ fund(array) \djathtas]=\ majtas[ \fillim(array)(*(35)(r)) 1\cdot 9+3\cdot \ majtas(-3 \djathtas) & 1\cdot 6+3\cdot \majtas(-2 \djathtas) \\ 2\cdot 9+6\cdot \majtas(-3 \djathtas) & 2\cdot 6+6\ cdot \left(-2 \djathtas) \\\fund (array) \djathtas]= \\ & =\majtas[ \fillimi(matrica) 0 & 0 \\ 0 & 0 \\\fund (matrica) \djathtas] . \fund (radhis)\]

Siç mund ta shihni, rezultati është një matricë e mbushur me zero

Përgjigje: $\majtas[ \fillimi(matrica) 0 & 0 \\ 0 & 0 \\\fund (matrica) \djathtas]$.

Nga shembujt e mësipërm, është e qartë se shumëzimi i matricës nuk është një operacion aq i ndërlikuar. Të paktën për matricat 2 me 2 katrore.

Në procesin e llogaritjeve, ne përpiluam një matricë të ndërmjetme, ku pikturuam drejtpërdrejt se cilat numra përfshihen në një qelizë të veçantë. Kjo është pikërisht ajo që duhet bërë kur zgjidhen problemet reale.

Karakteristikat themelore të produktit të matricës

Me pak fjalë. Shumëzimi i matricës:

1. Jo-komutativ: $A\cdot B\ne B\cdot A$ në përgjithësi. Ka, sigurisht, matrica të veçanta për të cilat barazia $A\cdot B=B\cdot A$ (për shembull, nëse $B=E$ është matrica e identitetit), por në shumicën dërrmuese të rasteve kjo nuk funksionon ;
2. Associative: $\left(A\cdot B \djathtas)\cdot C=A\cdot \left(B\cdot C \djathtas)$. Këtu nuk ka opsione: matricat ngjitur mund të shumëzohen pa u shqetësuar se çfarë është në të majtë dhe në të djathtë të këtyre dy matricave.
3. Në mënyrë distributive: $A\cdot \left(B+C \djathtas)=A\cdot B+A\cdot C$ dhe $\left(A+B \djathtas)\cdot C=A\cdot C+B\cdot C $

Dhe tani - të gjitha të njëjta, por në më shumë detaje.

Shumëzimi i matricës është shumë i ngjashëm me shumëzimin klasik të numrave. Por ka dallime, më e rëndësishmja prej të cilave është ajo Shumëzimi i matricës është, në përgjithësi, jokomutativ.

Shqyrtoni përsëri matricat nga problemi 1. Ne tashmë e dimë produktin e tyre të drejtpërdrejtë:

\[\ majtas[ \fillimi(array)(*(35)(r)) 1 & 2 \\ -3 & 4 \\\fund(array) \djathtas]\cdot \left[ \fillimi(array)(* (35)(r)) -2 & 4 \\ 3 & 1 \\\ fund (array) \djathtas]=\ majtas[ \fillim(rrjedhje)(*(35)(r))4 & 6 \\ 18 & -8 \\\ fund (array) \djathtas]\]

Por nëse i ndërrojmë matricat, marrim një rezultat krejtësisht të ndryshëm:

\[\ majtas[ \fillimi(array)(*(35)(r)) -2 & 4 \\ 3 & 1 \\\fund(array) \djathtas]\cdot \left[ \fillimi(array)(* (35)(r)) 1 & 2 \\ -3 & 4 \\\ fund (array) \djathtas]=\ majtas[ \fillimi (matrica) -14 & 4 \\ 0 & 10 \\\ fund (matricë )\djathtas]\]

Rezulton se $A\cdot B\ne B\cdot A$. Gjithashtu, operacioni i shumëzimit është përcaktuar vetëm për matricat konsistente $A=\left[ m\herë n \djathtas]$ dhe $B=\left[n\herë k \djathtas]$, por askush nuk garantoi se ato do të mbeten konsistente, nëse ato ndërrohen. Për shembull, matricat $\left[ 2\herë 3 \djathtas]$ dhe $\left[ 3\herë 5 \djathtas]$ janë mjaft të qëndrueshme në këtë renditje, por të njëjtat matrica $\left[ 3\herë 5 \ djathtas] $ dhe $\majtas[ 2\herë 3 \djathtas]$ të shkruara në rend të kundërt nuk përputhen më. Trishtim :(

Midis matricave katrore të një madhësie të caktuar $n$, do të ketë gjithmonë nga ato që japin të njëjtin rezultat si kur shumëzohen në rend të drejtpërdrejtë ashtu edhe në rend të kundërt. Si të përshkruani të gjitha matricat e tilla (dhe sa prej tyre në përgjithësi) është një temë për një mësim të veçantë. Sot nuk do të flasim për këtë. :)

Sidoqoftë, shumëzimi i matricës është shoqërues:

\[\majtas(A\cdot B \djathtas)\cdot C=A\cdot \majtas(B\cdot C \djathtas)\]

Prandaj, kur duhet të shumëzoni disa matrica në një rresht në të njëjtën kohë, nuk është aspak e nevojshme ta bëni atë para kohe: është mjaft e mundur që disa matrica ngjitur, kur shumëzohen, të japin rezultat interesant. Për shembull, një matricë zero, si në problemin 2 të diskutuar më sipër.

Në problemet reale, më së shpeshti duhet të shumëzohen matricat katrore me madhësi $\left[n\herë n \djathtas]$. Bashkësia e të gjitha matricave të tilla shënohet me $((M)^(n))$ (d.m.th., $A=\left[ n\herë n \djathtas]$ dhe \ do të thotë e njëjta gjë), dhe patjetër do të përmbajë matrica $E$, e cila quhet matrica e identitetit.

Përkufizimi. Matrica e identitetit me madhësi $n$ është një matricë $E$ e tillë që për çdo matricë katrore $A=\left[n\herë n \djathtas]$ barazia vlen:

Një matricë e tillë duket gjithmonë e njëjtë: ka njësi në diagonalen e saj kryesore, dhe zero në të gjitha qelizat e tjera.

\[\fillim(rreshtoj) & A\cdot \majtas(B+C \djathtas)=A\cdot B+A\cdot C; \\ & \majtas(A+B \djathtas)\cdot C=A\cdot C+B\cdot C. \\ \fund (rreshtoj)\]

Me fjalë të tjera, nëse ju duhet të shumëzoni një matricë me shumën e dy të tjerave, atëherë mund ta shumëzoni atë me secilën prej këtyre "dy të tjerave" dhe më pas shtoni rezultatet. Në praktikë, zakonisht duhet të kryeni operacionin e kundërt: ne vërejmë të njëjtën matricë, e nxjerrim atë nga kllapa, kryejmë mbledhjen dhe në këtë mënyrë thjeshtojmë jetën tonë. :)

Vini re se për të përshkruar shpërndarjen, duhej të shkruanim dy formula: ku shuma është në faktorin e dytë dhe ku shuma është në të parën. Kjo është pikërisht për faktin se shumëzimi i matricës është jokomutativ (dhe në përgjithësi, në algjebër jokomutative ka shumë lloj-lloj shakash që as nuk ju vijnë ndërmend kur punoni me numra të zakonshëm). Dhe nëse, për shembull, duhet ta shkruani këtë pronë gjatë provimit, atëherë sigurohuni që të shkruani të dyja formulat, përndryshe mësuesi mund të zemërohet pak.

Mirë, këto ishin të gjitha përralla rreth matricave katrore. Po drejtkëndëshat?

Rasti i matricave drejtkëndore

Por asgjë - gjithçka është e njëjtë si me ato katrore.

Detyra 3. Kryeni shumëzimin:

\[\majtas[ \fillimi(matrica) \fillimi(matrica) 5 \\ 2 \\ 3 \\\fund (matrica) & \fillimi (matrica) 4 \\ 5 \\ 1 \\\fundi (matrica) \ \\ fund (matricë) \djathtas]\cdot \majtas[ \fillimi(array)(*(35)(r)) -2 & 5 \\ 3 & 4 \\\fund (array) \djathtas]\]

Zgjidhje. Kemi dy matrica: $A=\majtas[ 3\herë 2 \djathtas]$ dhe $B=\majtas[ 2\herë 2 \djathtas]$. Le të shkruajmë numrat që tregojnë madhësitë me radhë:

Siç mund ta shihni, dy numrat qendrorë janë të njëjtë. Kjo do të thotë që matricat janë të qëndrueshme dhe ato mund të shumëzohen. Dhe në dalje marrim matricën $C=\left[ 3\herë 2 \djathtas]$:

\[\fillim(rreshtoj) & \majtas[ \fillim(matricë) \fillim(matricë) 5 \\ 2 \\ 3 \\\fund(matricë) & \fillim(matricë) 4 \\ 5 \\ 1 \\ \fund (matricë) \\\ fund (matricë) \djathtas]\cdot \majtas[ \fillimi(array)(*(35)(r)) -2 & 5 \\ 3 & 4 \\\fund (array) \djathtas]=\majtas[ \fillimi(array)(*(35)(r)) 5\cdot \left(-2 \djathtas)+4\cdot 3 & 5\cdot 5+4\cdot 4 \\ 2 \cdot \left(-2 \djathtas)+5\cdot 3 & 2\cdot 5+5\cdot 4 \\ 3\cdot \left(-2 \djathtas)+1\cdot 3 & 3\cdot 5+1 \cdot 4 \\\end(array) \djathtas]= \\ & =\majtas[ \begin(array)(*(35)(r)) 2 & 41 \\ 11 & 30 \\ -3 & 19 \ \\fund (array)\djathtas]. \fund (radhis)\]

Gjithçka është e qartë: matrica përfundimtare ka 3 rreshta dhe 2 kolona. Mjaft $=\majtas[ 3\herë 2 \djathtas]$.

Përgjigja: $\majtas[ \fillimi(array)(*(35)(r)) \fillimi(array)(*(35)(r)) 2 \\ 11 \\ -3 \\\fund(array) & \fillimi(matrica) 41 \\ 30 \\ 19 \\\fundi(matrica) \\\fundi(array) \djathtas]$.

Tani merrni parasysh një nga detyrat më të mira të trajnimit për ata që sapo kanë filluar të punojnë me matricat. Në të, nuk duhet vetëm të shumëzoni disa dy tableta, por së pari të përcaktoni: a lejohet një shumëzim i tillë?

Problemi 4. Gjeni të gjitha prodhimet e mundshme në çift të matricave:

\\]; $B=\majtas[ \fillimi(matrica) \fillimi(matrica) 0 \\ 2 \\ 0 \\ 4 \\\fund (matrica) & \fillimi (matrica) 1 \\ 0 \\ 3 \\ 0 \ \\fund (matricë) \\\fund (matricë) \djathtas]$; $C=\majtas[ \fillimi(matrica)0 & 1 \\ 1 & 0 \\\fund(matrica) \djathtas]$.

Zgjidhje. Së pari, le të shkruajmë dimensionet e matricave:

\;\ B=\majtas[ 4\herë 2 \djathtas];\ C=\majtas[ 2\herë 2 \djathtas]\]

Marrim se matrica $A$ mund të përputhet vetëm me matricën $B$, pasi numri i kolonave në $A$ është 4, dhe vetëm $B$ e ka këtë numër rreshtash. Prandaj, ne mund të gjejmë produktin:

\\cdot \majtas[ \fillimi(array)(*(35)(r)) 0 & 1 \\ 2 & 0 \\ 0 & 3 \\ 4 & 0 \\\fund (array) \djathtas]=\ majtas[ \fillimi(array)(*(35)(r))-10 & 7 \\ 10 & 7 \\\fund(array) \djathtas]\]

Unë sugjeroj që lexuesi të kryejë vetë hapat e ndërmjetëm. Do të vërej vetëm se është më mirë të përcaktoni madhësinë e matricës që rezulton paraprakisht, madje edhe para çdo llogaritjeje:

\\cdot \majtas[ 4\herë 2 \djathtas]=\majtas[ 2\herë 2 \djathtas]\]

Me fjalë të tjera, ne thjesht heqim koeficientët "kalimtarë" që siguruan konsistencën e matricave.

Cilat opsione të tjera janë të mundshme? Sigurisht që është e mundur të gjesh $B\cdot A$, pasi $B=\majtas[ 4\herë 2 \djathtas]$, $A=\majtas[ 2\herë 4 \djathtas]$, kështu që çifti i renditur $\ majtas(B ;A \djathtas)$ është konsistente dhe dimensioni i produktit do të jetë:

\\cdot \majtas[ 2\herë 4 \djathtas]=\majtas[ 4\herë 4 \djathtas]\]

Shkurtimisht, dalja do të jetë një matricë $\majtas[4\herë 4 \djathtas]$, koeficientët e së cilës janë të lehta për t'u llogaritur:

\\cdot \majtas[ \fillimi(array)(*(35)(r)) 1 & -1 & 2 & -2 \\ 1 & 1 & 2 & 2 \\\fund (array) \djathtas]=\ majtas[ \fillimi(grupi)(*(35)(r))1 & 1 & 2 & 2 \\ 2 & -2 & 4 & -4 \\ 3 & 3 & 6 & 6 \\ 4 & -4 & 8 & -8 \\\ fund (array) \djathtas]\]

Natyrisht, ju gjithashtu mund të përputheni me $C\cdot A$ dhe $B\cdot C$, dhe kaq. Prandaj, ne thjesht shkruajmë produktet që rezultojnë:

Ishte e lehtë. :)

Përgjigje: $AB=\left[ \begin(array)(*(35)(r)) -10 & 7 \\ 10 & 7 \\\end(array) \right]$; $BA=\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 1 & 2 & 2 \\ 2 & -2 & 4 & -4 \\ 3 & 3 & 6 & 6 \\ 4 & -4 & 8 & -8 \\\fund(array) \djathtas]$; $CA=\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 1 & 2 & 2 \\ 1 & -1 & 2 & -2 \\\end(array) \djathtas]$; $BC=\left[ \begin(array)(*(35)(r))1 & 0 \\ 0 & 2 \\ 3 & 0 \\ 0 & 4 \\\end(array) \djathtas]$.

Në përgjithësi, unë rekomandoj ta bëni vetë këtë detyrë. Dhe një detyrë tjetër e ngjashme që është në detyrat e shtëpisë. Këto mendime në dukje të thjeshta do t'ju ndihmojnë të përpunoni të gjithë hapat kryesorë në shumëzimin e matricës.

Por historia nuk mbaron me kaq. Le të kalojmë në raste të veçanta të shumëzimit. :)

Vektorët e rreshtave dhe vektorët e kolonave

Një nga veprimet më të zakonshme të matricës është shumëzimi me një matricë që ka një rresht ose një kolonë.

Përkufizimi. Një vektor kolone është një matricë me madhësi $\majtas[ m\herë 1 \djathtas]$, d.m.th. i përbërë nga disa rreshta dhe vetëm një kolonë.

Një vektor rresht është një matricë me madhësi $\left[ 1\times n \djathtas]$, d.m.th. i përbërë nga një rresht dhe disa kolona.

Në fakt, ne tashmë jemi takuar me këto objekte. Për shembull, vektori i zakonshëm tredimensional nga stereometria $\overrightarrow(a)=\left(x;y;z \right)$ nuk është gjë tjetër veçse një vektor rreshti. Nga pikëpamja teorike, nuk ka pothuajse asnjë ndryshim midis rreshtave dhe kolonave. Duhet të jeni të kujdesshëm vetëm kur koordinoni me matricat e shumëzuesit përreth.

Detyra 5. Kryeni shumëzimin:

\[\majtas[ \fillimi(array)(*(35)(r)) 2 & -1 & 3 \\ 4 & 2 & 0 \\ -1 & 1 & 1 \\\fund (vargu) \djathtas] \cdot \majtas[ \fillimi(array)(*(35)(r)) 1 \\ 2 \\ -1 \\\fund (array) \djathtas]\]

Zgjidhje. Ne kemi një produkt të matricave konsistente: $\majtas[ 3\herë 3 \djathtas]\cdot \majtas[ 3\herë 1 \djathtas]=\majtas[ 3\herë 1 \djathtas]$. Le të gjejmë këtë pjesë:

\[\majtas[ \fillimi(array)(*(35)(r)) 2 & -1 & 3 \\ 4 & 2 & 0 \\ -1 & 1 & 1 \\\fund (vargu) \djathtas] \cdot \left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 \\ 2 \\ -1 \\\end(array) \djathtas]=\majtas[ \begin(array)(*(35 )(r)) 2\cdot 1+\majtas(-1 \djathtas)\cdot 2+3\cdot \majtas(-1 \djathtas) \\ 4\cdot 1+2\cdot 2+0\cdot 2 \ \ -1\cdot 1+1\cdot 2+1\cdot \majtas(-1 \djathtas) \\\fund(array) \djathtas]=\majtas[ \fillimi(array)(*(35)(r) ) -3 \\ 8 \\ 0 \\\ fund (array) \djathtas]\]

Përgjigje: $\left[ \begin(array)(*(35)(r))-3 \\ 8 \\ 0 \\\end(array) \djathtas]$.

Detyra 6. Kryeni shumëzimin:

\[\majtas[ \fillimi(array)(*(35)(r)) 1 & 2 & -3 \\\fund(array) \djathtas]\cdot \majtas[ \fillimi(array)(*(35) (r)) 3 & 1 & -1 \\ 4 & -1 & 3 \\ 2 & 6 & 0 \\\ fund (arrit) \djathtas]\]

Zgjidhje. Përsëri gjithçka është konsistente: $\majtas[ 1\herë 3 \djathtas]\cdot \majtas[ 3\herë 3 \djathtas]=\majtas[ 1\herë 3 \djathtas]$. Ne e konsiderojmë punën:

\[\majtas[ \fillimi(array)(*(35)(r)) 1 & 2 & -3 \\\fund(array) \djathtas]\cdot \majtas[ \fillimi(array)(*(35) (r)) 3 & 1 & -1 \\ 4 & -1 & 3 \\ 2 & 6 & 0 \\\fund(array) \djathtas]=\majtas[ \fillimi(array)(*(35)( r)) 5 & -19 & 5 \\\ fund (array) \djathtas]\]

Përgjigje: $\majtas[ \fillimi(matrica) 5 & -19 & 5 \\\fund (matrica) \djathtas]$.

Siç mund ta shihni, kur shumëzoni një vektor rreshti dhe një vektor kolone me një matricë katrore, dalja është gjithmonë një rresht ose kolonë me të njëjtën madhësi. Ky fakt ka shumë aplikime, që nga zgjidhja ekuacionet lineare te lloj-lloj transformimesh të koordinatave (që në fund zbresin edhe në sisteme ekuacionesh, por le të mos flasim për gjëra të trishta).

Unë mendoj se gjithçka ishte e qartë këtu. Le të kalojmë në pjesën e fundit të mësimit të sotëm.

Shpërndarja e matricës

Ndër të gjitha veprimet e shumëzimit vëmendje të veçantë meriton fuqizim - kjo është kur shumëzojmë të njëjtin objekt me vetveten disa herë. Matricat nuk bëjnë përjashtim, ato gjithashtu mund të ngrihen në shkallë të ndryshme.

Punime të tilla janë gjithmonë të koordinuara:

\\cdot \majtas[ n\herë n \djathtas]=\majtas[n\herë n \djathtas]\]

Dhe ato përcaktohen në të njëjtën mënyrë si gradat e zakonshme:

\[\fillim(lidhoj) & A\cdot A=((A)^(2)); \\ & A\cdot A\cdot A=((A)^(3)); \\ & \underbrace(A\cdot A\cdot \ldots \cdot A)_(n)=((A)^(n)). \\ \fund (radhis)\]

Në shikim të parë, gjithçka është e thjeshtë. Le të shohim se si duket në praktikë:

Detyra 7. Ngrini matricën në fuqinë e specifikuar:

$((\majtas[ \fillimi(matrica) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\fund(matrica) \djathtas])^(3))$

Zgjidhje. OK, le të ndërtojmë. Le ta vendosim në katror së pari:

\[\fillo(rreshtoj) & ((\majtas[ \fillimi(matrica) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\fund(matrica) \djathtas])^(2))=\majtas[ \fillimi(matrica ) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\ fundi (matrica) \djathtas]\cdot \ majtas[ \fillimi (matrica) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\fund (matrica) \djathtas]= \\ & =\majtas[ \fillim(array)(*(35)(r)) 1\cdot 1+1\cdot 0 & 1\cdot 1+1\cdot 1 \\ 0\cdot 1+1\cdot 0 & 0\cdot 1+1\cdot 1 \\\fund(array) \djathtas]= \\ & =\majtas[ \fillimi(array)(*(35)(r)) 1 & 2 \\ 0 & 1 \ \\ fund (array) \djathtas] \fund (rreshtoj)\]

\[\fillo(rreshtoj) & ((\majtas[ \fillimi(matrica) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\fund(matrica) \djathtas])^(3))=((\majtas[ \filloj (matrica) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\ fund (matrica) \djathtas]) ^ (3))\cdot \ majtas[ \fillimi (matrica) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\ fund( matricë) \djathtas]= \\ & =\majtas[ \fillim(array)(*(35)(r)) 1 & 2 \\ 0 & 1 \\\fund (array) \djathtas]\cdot \majtas[ \fillim(matricë) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\fund (matricë) \djathtas]= \\ & =\majtas[ \fillim(array)(*(35)(r)) 1 & 3 \\ 0 dhe 1 \\\ fund (array) \djathtas] \fund (rreshtoj)\]

Kjo eshte e gjitha.:)

Përgjigje: $\majtas[ \fillimi(matrica)1 & 3 \\ 0 & 1 \\\fund(matrica) \djathtas]$.

Problemi 8. Ngrini matricën në fuqinë e specifikuar:

\[((\majtas[ \fillimi(matrica) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\fund(matrica) \djathtas])^(10))\]

Zgjidhje. Vetëm mos qani tani për faktin se "diploma është shumë e lartë", "bota nuk është e drejtë" dhe "mësuesit kanë humbur plotësisht bankat e tyre". Në fakt, gjithçka është e lehtë:

\[\fillo(rreshtoj) & ((\majtas[ \fillimi(matrica) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\fund(matrica) \djathtas])^(10))=((\majtas[ \filloj (matrica) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\ fund (matrica) \djathtas]) ^ (3))\cdot ((\ majtas[ \fillimi (matrica) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\ fund(matrica) \djathtas])^(3))\cdot ((\majtas[ \fillimi(matrica) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\fund (matrica) \djathtas])^(3))\ cdot \left[ \fillimi(matrica) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\fund (matrica) \djathtas]= \\ & =\left(\majtas[ \fillimi(matrica) 1 & 3 \\ 0 & 1 \\\fund (matrica) \djathtas]\cdot \majtas[ \fillimi(matrica) 1 & 3 \\ 0 & 1 \\\fund (matrica) \djathtas] \djathtas)\cdot \majtas(\majtas[ \fillimi(matrica) 1 & 3 \\ 0 & 1 \\\fund (matrica) \djathtas]\cdot \majtas[ \fillimi(matrica) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\fund (matrica) \djathtas ] \djathtas)= \\ & =\majtas[ \fillimi(matrica) 1 & 6 \\ 0 & 1 \\\fund (matrica) \djathtas]\cdot \majtas[ \fillimi(matrica) 1 & 4 \\ 0 & 1 \\\fund (matricë) \djathtas]= \\ & =\majtas[ \fillimi(matrica) 1 & 10 \\ 0 & 1 \\\fund (matricë) \djathtas] \fund (radhis)\ ]

Vini re se në rreshtin e dytë kemi përdorur asociativitetin e shumëzimit. Në fakt, ne e përdorëm atë në detyrën e mëparshme, por atje ishte e nënkuptuar.

Përgjigje: $\majtas[ \fillimi(matrica) 1 & 10 \\ 0 & 1 \\\fund (matrica) \djathtas]$.

Siç mund ta shihni, nuk ka asgjë të komplikuar në ngritjen e një matrice në një fuqi. Shembulli i fundit mund të përmblidhet:

\[((\majtas[ \fillimi(matrica) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\fund(matrica) \djathtas])^(n))=\majtas[ \fillimi(array)(*(35) (r)) 1 & n \\ 0 & 1 \\\ fund (array) \djathtas]\]

Ky fakt është i lehtë për t'u vërtetuar induksioni matematik ose shumëzimi i drejtpërdrejtë. Sidoqoftë, nuk është gjithmonë e mundur të kapni modele të tilla kur ngriheni në një fuqi. Prandaj, kini kujdes: shpesh është më e lehtë dhe më e shpejtë të shumëzoni disa matrica "bosh" sesa të kërkoni disa modele atje.

Në përgjithësi, mos kërkoni një kuptim më të lartë atje ku nuk ka. Si përfundim, merrni parasysh fuqizimin e matricës madhësi më të madhe- sa $\majtas[ 3\herë 3 \djathtas]$.

Problemi 9. Ngrini matricën në fuqinë e specifikuar:

\[((\majtas[ \fillimi(matrica) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\fund (matrica) \djathtas])^(3))\]

Zgjidhje. Le të mos kërkojmë modele. Ne punojmë "përmes":

\[((\majtas[ \fillimi(matrica) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\fund (matrica) \djathtas])^(3))=(( \ majtas[ \fillimi(matrica) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\fund (matrica) \djathtas])^(2))\cdot \ majtas[ \fillimi (matricë)0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\ fund (matricë) \djathtas]\]

Le të fillojmë duke vendosur në katror këtë matricë:

\[\fillo(rreshtoj) & ((\majtas[ \fillimi(matrica) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\fund (matrica) \djathtas])^( 2))=\majtas[ \fillimi(matrica) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\fund(matrica) \djathtas]\cdot \majtas[ \fillimi(matrica ) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\ fund(matrica) \djathtas]= \\ & =\majtas[ \fillimi(array)(*(35)(r )) 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\\ fund (array) \djathtas] \fund (rreshtoj)\]

Tani le ta bëjmë kubike:

\[\fillo(rreshtoj) & ((\majtas[ \fillimi(matrica) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\fund (matrica) \djathtas])^( 3))=\majtas[ \fillimi(grupi)(*(35)(r)) 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\\ fundi (vargu) \djathtas] \cdot \majtas[ \fillimi(matrica) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\fund(matrica) \djathtas]= \\ & =\majtas[ \fillimi( grup)(*(35)(r)) 2 & 3 & 3 \\ 3 & 2 & 3 \\ 3 & 3 & 2 \\\ fund (array) \djathtas] \fund (radhis)\]

Kjo eshte e gjitha. Problemi u zgjidh.

Përgjigje: $\majtas[ \fillimi(matrica) 2 & 3 & 3 \\ 3 & 2 & 3 \\ 3 & 3 & 2 \\\fund (matrica) \djathtas]$.

Siç mund ta shihni, sasia e llogaritjeve është bërë më e madhe, por kuptimi nuk ka ndryshuar fare. :)

Ky mësim mund të përfundojë. Herën tjetër do të shqyrtojmë operacionin e kundërt: do të kërkojmë shumëzuesit origjinal duke përdorur produktin ekzistues.

Siç e keni menduar tashmë, ne do të flasim për matricën e kundërt dhe metodat për gjetjen e saj.