Derivatet e pjesshme të funksioneve të dy ndryshoreve.
Koncepti dhe shembuj zgjidhjesh

Në këtë mësim, ne do të vazhdojmë njohjen tonë me funksionin e dy variablave dhe do të shqyrtojmë, ndoshta, detyrën më të zakonshme tematike - gjetjen derivatet e pjesshme të rendit të parë dhe të dytë, si dhe diferenciali total i funksionit. Studentët me kohë të pjesshme, si rregull, përballen me derivate të pjesshme në vitin e parë në semestrin e dytë. Për më tepër, sipas vëzhgimeve të mia, detyra e gjetjes së derivateve të pjesshme gjendet pothuajse gjithmonë në provim.

Për të studiuar në mënyrë efektive materialin e mëposhtëm, ju e nevojshme të jetë në gjendje të gjejë pak a shumë me siguri derivatet "e zakonshme" të një funksioni të një ndryshoreje. Ju mund të mësoni se si t'i trajtoni saktë derivatet në mësime Si të gjeni derivatin? dhe Derivat i një funksioni kompleks. Ne gjithashtu kemi nevojë për një tabelë të derivateve të funksioneve elementare dhe rregullave të diferencimit, është më e përshtatshme nëse është në dispozicion në formë të shtypur. Ju mund të gjeni material referues në faqe Formula dhe tabela matematikore.

Le të përsërisim shpejt konceptin e një funksioni të dy ndryshoreve, do të përpiqem të kufizoj veten në minimumin e thjeshtë. Një funksion i dy variablave zakonisht shkruhet si , me variablat që thirren variablat e pavarur ose argumentet.

Shembull: - një funksion i dy ndryshoreve.

Ndonjëherë përdoret shënimi. Ka edhe detyra ku përdoret shkronja në vend të shkronjës.

Nga pikëpamja gjeometrike, një funksion i dy ndryshoreve është më së shpeshti një sipërfaqe e hapësirës tredimensionale (rrafsh, cilindër, top, paraboloid, hiperboloid, etj.). Por, në fakt, kjo është tashmë një gjeometri më analitike dhe ne kemi në rendin e ditës analizën matematikore, të cilën mësuesja ime e universitetit nuk më ka lënë kurrë t'i fshij është "kali".

Ne i drejtohemi çështjes së gjetjes së derivateve të pjesshme të rendit të parë dhe të dytë. Unë kam një lajm të mirë për ata prej jush që kanë pirë disa filxhanë kafe dhe janë në humor për materiale të paimagjinueshme të vështira: derivatet e pjesshme janë pothuajse të njëjta me derivatet "e zakonshme" të një funksioni të një ndryshoreje.

Për derivatet e pjesshme vlejnë të gjitha rregullat e diferencimit dhe tabela e derivateve të funksioneve elementare. Ka vetëm disa dallime të vogla që do të mësojmë tani:

... po, meqë ra fjala, për këtë temë kam krijuar libër i vogël pdf, e cila do t'ju lejojë të "mbushni dorën" në vetëm disa orë. Por, duke përdorur faqen, ju, natyrisht, do të merrni gjithashtu rezultatin - thjesht ndoshta pak më ngadalë:

Shembulli 1

Gjeni derivate të pjesshëm të rendit të parë dhe të dytë të një funksioni

Së pari, gjejmë derivatet e pjesshme të rendit të parë. Janë dy prej tyre.

Shënimi:
ose - derivat i pjesshëm në lidhje me "x"
ose - derivat i pjesshëm në lidhje me "y"

Le të fillojmë me. Kur gjejmë derivatin e pjesshëm në lidhje me "x", atëherë ndryshorja konsiderohet konstante (numër konstant).

Komentet për veprimet e ndërmarra:

(1) Gjëja e parë që bëjmë kur gjejmë derivatin e pjesshëm është të konkludojmë të gjitha funksioni në kllapa nën vizë me parashkrim.

Vëmendje e rëndësishme! Abonimet NUK HUMBEN gjatë rrjedhës së zgjidhjes. Në këtë rast, nëse vizatoni një "goditje" diku pa, atëherë mësuesi, të paktën, mund ta vendosë atë pranë detyrës (menjëherë kafshojë një pjesë të rezultatit për pavëmendje).

(2) Përdorni rregullat e diferencimit , . Për një shembull të thjeshtë si ky, të dy rregullat mund të zbatohen në të njëjtin hap. Kushtojini vëmendje termit të parë: pasi konsiderohet konstante dhe çdo konstante mund të hiqet nga shenja e derivatit, pastaj e nxjerrim nga kllapa. Kjo do të thotë, në këtë situatë, nuk është më mirë se një numër i rregullt. Tani le të shohim termin e tretë: këtu, përkundrazi, nuk ka asgjë për të hequr. Meqenëse është një konstante, është gjithashtu një konstante, dhe në këtë kuptim nuk është më i mirë se termi i fundit - "shtatë".

(3) Ne përdorim derivate tabelare dhe .

(4) Ne thjeshtojmë, ose, siç dua të them, "kombinojmë" përgjigjen.

Tani . Kur gjejmë derivatin e pjesshëm në lidhje me "y", atëherë ndryshorenkonsiderohet konstante (numër konstant).

(1) Ne përdorim të njëjtat rregulla diferencimi , . Në termin e parë nxjerrim konstanten përtej shenjës së derivatit, në termin e dytë nuk mund të hiqet asgjë sepse tashmë është konstante.

(2) Ne përdorim tabelën e derivateve të funksioneve elementare. Ndryshoni mendërisht në tabelë të gjitha "X" në "Y". Kjo do të thotë, kjo tabelë është po aq e vlefshme për (dhe në të vërtetë për pothuajse çdo shkronjë). Në veçanti, formulat që përdorim duken kështu: dhe .

Cili është kuptimi i derivateve të pjesshme?

Në thelbin e tyre, derivatet e pjesshme të rendit të parë ngjajnë derivat "i zakonshëm".:

- kjo është funksione, të cilat karakterizojnë shkalla e ndryshimit funksionon në drejtim të akseve dhe përkatësisht. Kështu, për shembull, funksioni karakterizon pjerrësinë e "ngjitjeve" dhe "shpateve" sipërfaqeve në drejtim të boshtit të abshisës, dhe funksioni na tregon për "relievin" e së njëjtës sipërfaqe në drejtim të boshtit të ordinatave.

! shënim : këtu i referohet drejtimeve që janë paralele boshtet koordinative.

Për hir të një kuptimi më të mirë, le të shqyrtojmë një pikë specifike të planit dhe të llogarisim vlerën e funksionit ("lartësi") në të:
- dhe tani imagjinoni që jeni këtu (NË VETË sipërfaqen).

Ne llogarisim derivatin e pjesshëm në lidhje me "x" në një pikë të caktuar:

Shenja negative e derivatit "X" na tregon për duke zbritur funksionon në një pikë në drejtim të boshtit x. Me fjalë të tjera, nëse bëjmë një të vogël-të vogël (pafundësisht i vogël) hap drejt majës së boshtit (paralel me këtë bosht), pastaj zbrisni pjerrësinë e sipërfaqes.

Tani zbulojmë natyrën e "terrenit" në drejtim të boshtit y:

Derivati në lidhje me "y" është pozitiv, prandaj, në një pikë përgjatë boshtit, funksioni rritet. Nëse është mjaft e thjeshtë, atëherë këtu jemi duke pritur për një ngjitje përpjetë.

Përveç kësaj, derivati i pjesshëm në një pikë karakterizon shkalla e ndryshimit funksionon në drejtimin përkatës. Sa më e madhe të jetë vlera që rezulton modul- sa më e pjerrët të jetë sipërfaqja, dhe anasjelltas, sa më afër zeros, aq më e sheshtë është sipërfaqja. Pra, në shembullin tonë, "pjerrësia" në drejtim të boshtit të abshisës është më e pjerrët se "mali" në drejtim të boshtit të ordinatave.

Por këto ishin dy rrugë private. Është shumë e qartë se nga pika në të cilën jemi, (dhe në përgjithësi nga çdo pikë e sipërfaqes së dhënë) ne mund të lëvizim në një drejtim tjetër. Kështu, ka një interes për hartimin e një "karte navigimi" të përgjithshëm që do të na tregonte për "peizazhin" e sipërfaqes. nëse është e mundur në çdo pikë fushëveprimi i këtij funksioni në të gjitha mënyrat e disponueshme. Unë do të flas për këtë dhe gjëra të tjera interesante në një nga mësimet e ardhshme, por tani për tani, le të kthehemi në anën teknike të çështjes.

Ne sistemojmë rregullat elementare të aplikuara:

1) Kur diferencojmë me , atëherë ndryshorja konsiderohet konstante.

2) Kur diferencimi kryhet sipas, atëherë konsiderohet konstante.

3) Rregullat dhe tabela e derivateve të funksioneve elementare janë të vlefshme dhe të zbatueshme për çdo ndryshore (ose çdo tjetër) në lidhje me të cilën kryhet diferencimi.

Hapi dy. Gjejmë derivate të pjesshëm të rendit të dytë. Janë katër prej tyre.

Shënimi:
ose - derivati i dytë në lidhje me "x"
ose - derivati i dytë në lidhje me "y"
ose - të përziera derivati "x nga y"
ose - të përziera derivati "Y me X"

Nuk ka probleme me derivatin e dytë. duke folur gjuhë e thjeshtë, derivati i dytë është derivati i derivatit të parë.

Për lehtësi, unë do të rishkruaj derivatet e pjesshme të rendit të parë të gjetura tashmë:

Së pari gjejmë derivatet e përzier:

Siç mund ta shihni, gjithçka është e thjeshtë: marrim derivatin e pjesshëm dhe e diferencojmë përsëri, por në këtë rast, tashmë me "y".

Në mënyrë të ngjashme:

Në shembuj praktikë, mund të përqendroheni në barazinë e mëposhtme:

Kështu, përmes derivateve të përzier të rendit të dytë, është shumë e përshtatshme të kontrollojmë nëse i kemi gjetur saktë derivatet e pjesshme të rendit të parë.

Derivatin e dytë e gjejmë në lidhje me "x".
Asnjë shpikje, ne marrim dhe diferencojeni përsëri me "X":

Në mënyrë të ngjashme:

Duhet të theksohet se kur të gjeni, duhet të tregoni vëmendje e shtuar, pasi nuk ka barazi të mrekullueshme për t'i testuar ato.

Derivatet e dyta gjejnë gjithashtu zbatim të gjerë praktik, në veçanti, ato përdoren në problemin e gjetjes ekstreme të një funksioni të dy ndryshoreve. Por çdo gjë ka kohën e vet:

Shembulli 2

Llogaritni derivatet e pjesshme të rendit të parë të funksionit në pikën . Gjeni derivatet e rendit të dytë.

Ky është një shembull për vetë-zgjidhje (përgjigjet në fund të orës së mësimit). Nëse keni vështirësi në dallimin e rrënjëve, kthehuni te mësimi Si të gjeni derivatin? Në përgjithësi, shumë shpejt do të mësoni se si të gjeni derivate të ngjashëm në fluturim.

Ne e mbushim dorën me shembuj më kompleksë:

Shembulli 3

Kontrollojeni atë. djeg diferencial total Porosia e pare.

Zgjidhje: Gjejmë derivate të pjesshëm të rendit të parë:

Kushtojini vëmendje nënshkrimit: pranë "x" nuk është e ndaluar të shkruhet në kllapa se është një konstante. Kjo shenjë mund të jetë shumë e dobishme për fillestarët për ta bërë më të lehtë lundrimin në zgjidhje.

Komentet e mëtejshme:

(1) Ne nxjerrim të gjitha konstantet jashtë shenjës së derivatit. Në këtë rast, dhe , dhe, kështu, produkti i tyre konsiderohet një numër konstant.

(2) Mos harroni se si të dalloni siç duhet rrënjët.

(1) Të gjitha konstantet i nxjerrim nga shenja e derivatit, në këtë rast konstanta është .

(2) Nën prim, ne kemi produktin e dy funksioneve, prandaj, duhet të përdorim rregullin e diferencimit të produktit .

(3) Mos harroni se është një funksion kompleks (edhe pse më i thjeshtë nga ata kompleks). Ne përdorim rregullin përkatës: .

Tani gjejmë derivate të përzier të rendit të dytë:

Kjo do të thotë që të gjitha llogaritjet janë të sakta.

Le të shkruajmë diferencialin total. Në kontekstin e detyrës në shqyrtim, nuk ka kuptim të tregohet se cili është diferenciali total i një funksioni të dy variablave. Është e rëndësishme që ky dallim shumë shpesh duhet të shkruhet në problemet praktike.

Diferenciali total i rendit të parë funksionet e dy variablave kanë formën:

Në këtë rast:

Kjo do të thotë, në formulë thjesht duhet të zëvendësoni marrëzi vetëm derivatet e pjesshme të gjetura tashmë të rendit të parë. Ikonat diferenciale dhe në këtë dhe situata të ngjashme, nëse është e mundur, është më mirë të shkruani në numërues:

Dhe me kërkesë të përsëritur të lexuesve, diferencial i plotë i rendit të dytë.

Duket kështu:

Gjeni me kujdes derivatet "me një shkronjë" të rendit të dytë:

dhe shkruani "përbindëshin", duke "lidhur" me kujdes katrorët, produktin dhe duke mos harruar të dyfishoni derivatin e përzier:

Është në rregull nëse diçka ju dukej e vështirë, ju gjithmonë mund t'i ktheheni derivateve më vonë, pasi të keni përdorur teknikën e diferencimit:

Shembulli 4

Gjeni derivatet e pjesshme të rendit të parë të një funksioni . Kontrollojeni atë. Shkruani diferencialin total të rendit të parë.

Shqyrtoni një seri shembujsh me funksione komplekse:

Shembulli 5

Gjeni derivate të pjesshëm të rendit të parë të funksionit .

Zgjidhja:

Shembulli 6

Gjeni derivatet e pjesshme të rendit të parë të një funksioni .
Shkruani diferencialin total.

Ky është një shembull për vetë-zgjidhje (përgjigja në fund të mësimit). Unë nuk do të postoj zgjidhjen e plotë sepse është mjaft e thjeshtë.

Shumë shpesh, të gjitha rregullat e mësipërme zbatohen në kombinim.

Shembulli 7

Gjeni derivatet e pjesshme të rendit të parë të një funksioni .

(1) Ne përdorim rregullin e diferencimit të shumës

(2) Termi i parë në këtë rast konsiderohet konstante, pasi nuk ka asgjë në shprehjen që varet nga "x" - vetëm "y". E dini, është gjithmonë mirë kur një thyesë mund të kthehet në zero). Për mandatin e dytë, ne zbatojmë rregullin e diferencimit të produktit. Nga rruga, në këtë kuptim, asgjë nuk do të ndryshonte nëse në vend të kësaj do të jepej një funksion - është e rëndësishme që këtu produkt i dy funksioneve, Secila prej të cilave varet nga "X", dhe për këtë arsye, ju duhet të përdorni rregullin e diferencimit të produktit. Për termin e tretë, ne zbatojmë rregullin e diferencimit funksion kompleks.

(1) Termi i parë si në numërues ashtu edhe në emërues përmban një "y", prandaj, duhet të përdorni rregullin për diferencimin e herësit: . Termi i dytë varet VETËM nga "x", që do të thotë se konsiderohet konstante dhe kthehet në zero. Për termin e tretë, ne përdorim rregullin e diferencimit të një funksioni kompleks.

Për ata lexues që me guxim ia dolën pothuajse në fund të mësimit, do t'ju tregoj një anekdotë të vjetër të Mekhmatov për detentim:

Dikur një derivat i keq u shfaq në hapësirën e funksioneve dhe si shkoi për të diferencuar të gjithë. Të gjitha funksionet shpërndahen në të gjitha drejtimet, askush nuk dëshiron të kthehet! Dhe vetëm një funksion nuk ikën askund. Derivati i afrohet dhe pyet:

"Pse nuk po ik nga unë?"

- Ha. Por nuk më intereson, sepse unë jam "e në fuqinë e x", dhe ju nuk mund të më bëni asgjë!

Për të cilën derivati i keq me një buzëqeshje tinëzare përgjigjet:

- Këtu e keni gabim, unë do t'ju diferencoj me "y", prandaj bëhu zero për ty.

Kush e kuptoi batutën, i zotëronte derivatet, të paktën për “trojkën”).

Shembulli 8

Gjeni derivatet e pjesshme të rendit të parë të një funksioni .

Ky është një shembull bëjeni vetë. Një zgjidhje e plotë dhe një model model i problemit janë në fund të mësimit.

Epo, kjo është pothuajse e gjitha. Së fundi, nuk mund të mos ju lutem matematikanëve me një shembull më shumë. Nuk bëhet fjalë as për amatorët, të gjithë kanë një nivel të ndryshëm trajnimi matematikor - ka njerëz (dhe jo aq të rrallë) që pëlqejnë të konkurrojnë me detyra më të vështira. Megjithëse, shembulli i fundit në këtë mësim nuk është aq i ndërlikuar sa i rëndë për sa i përket llogaritjeve.

Le të jepet një funksion. Meqenëse x dhe y janë variabla të pavarur, njëra prej tyre mund të ndryshojë ndërsa tjetra mbetet e pandryshuar. Le të shtojmë ndryshoren e pavarur x duke e mbajtur vlerën e y të pandryshuar. Atëherë z do të marrë një rritje, e cila quhet rritje e pjesshme e z me x dhe shënohet me . Kështu që, .

Në mënyrë të ngjashme, marrim një rritje të pjesshme të z në lidhje me y: .

Rritja totale e funksionit z përcaktohet nga barazia .

Nëse ka një kufi, atëherë ai quhet derivat i pjesshëm i funksionit në pikën në lidhje me ndryshoren x dhe shënohet me një nga simbolet:

Derivatet e pjesshme në lidhje me x në një pikë zakonisht shënohen me simbole .

Derivati i pjesshëm i në lidhje me ndryshoren y përcaktohet dhe shënohet në mënyrë të ngjashme:

Kështu, derivati i pjesshëm i një funksioni të disa (dy, tre ose më shumë) ndryshoreve përcaktohet si derivat i një funksioni të njërës prej këtyre variablave, duke iu nënshtruar qëndrueshmërisë së vlerave të variablave të pavarur të mbetur. Prandaj, derivatet e pjesshëm të një funksioni gjenden sipas formulave dhe rregullave për llogaritjen e derivateve të një funksioni të një ndryshoreje (në këtë rast, përkatësisht x ose y, konsiderohen vlerë konstante).

Derivatet e pjesshme quhen edhe derivatet e pjesshme të rendit të parë. Ato mund të konsiderohen si funksione të . Këto funksione mund të kenë derivate të pjesshëm, të cilët quhen derivate të pjesshëm të rendit të dytë. Ato përcaktohen dhe shënohen si më poshtë:

; ;

; .

Diferenciale të rendit 1 dhe 2 të një funksioni me dy ndryshore.

Diferenciali total i një funksioni (formula 2.5) quhet diferencial i rendit të parë.

Formula për llogaritjen e diferencës totale është si më poshtë:

(2.5) ose , ku ,

diferenciale të pjesshme të funksionit .

Le të ketë funksioni derivate të pjesshëm të vazhdueshëm të rendit të dytë. Diferenciali i rendit të dytë përcaktohet nga formula . Le ta gjejmë:

Nga këtu: . Në mënyrë simbolike shkruhet kështu:

INTEGRAL I PAKUT.

Antiderivativ i një funksioni, integral i pacaktuar, veti.

Funksioni F(x) thirret primitive për një funksion të dhënë f(x), nëse F"(x)=f(x), ose, që është e njëjtë, nëse dF(x)=f(x)dx.

Teorema. Nëse një funksion f(x), i përcaktuar në një interval (X) me gjatësi të fundme ose të pafundme, ka një antiderivativ, F(x), atëherë ai gjithashtu ka pafundësisht shumë antiderivativë; të gjitha ato përmbahen në shprehjen F(x)+C, ku C është një konstante arbitrare.

Bashkësia e të gjithë antiderivativëve për një funksion të caktuar f(x), e përcaktuar në një interval ose në një segment me gjatësi të fundme ose të pafundme, quhet integral i pacaktuar nga funksioni f(x) [ose nga shprehja f(x)dx ] dhe shënohet me simbolin .

Nëse F(x) është një nga antiderivativët për f(x), atëherë nga teorema antiderivative

, ku C është një konstante arbitrare.

Sipas përcaktimit të antiderivativit F "(x)=f(x) dhe, rrjedhimisht, dF(x)=f(x) dx. Në formulën (7.1), f(x) quhet integrand, dhe f( x) dx quhet shprehja e integrandit.

Çdo derivat i pjesshëm (mbi x dhe nga y) i një funksioni të dy ndryshoreve është derivati i zakonshëm i një funksioni të njërës ndryshore me një vlerë fikse të ndryshores tjetër:

(ku y= konst),

(ku x= konst).

Prandaj, derivatet e pjesshme llogariten nga formulat dhe rregullat për llogaritjen e derivateve të funksioneve të një ndryshoreje, ndërsa variablin tjetër e konsideron si konstante (konstante).

Nëse nuk keni nevojë për një analizë të shembujve dhe teorinë minimale të nevojshme për këtë, por ju duhet vetëm një zgjidhje për problemin tuaj, atëherë vazhdoni Llogaritësi online i derivateve të pjesshme .

Nëse është e vështirë të përqendrohesh në mbajtjen e gjurmës se ku është konstantja në funksion, atëherë mund të zëvendësosh çdo numër në zgjidhjen draft të shembullit në vend të një ndryshoreje me një vlerë fikse - atëherë mund të llogaritësh shpejt derivatin e pjesshëm si të zakonshëm. derivat i një funksioni të një ndryshoreje. Është e nevojshme vetëm të mos harroni të ktheni konstantën (një variabël me një vlerë fikse) në vendin e saj kur përfundoni.

Vetia e derivateve të pjesshme të përshkruara më sipër rrjedh nga përkufizimi i një derivati të pjesshëm, i cili mund të gjendet në pyetjet e provimit. Prandaj, për t'u njohur me përkufizimin e mëposhtëm, mund të hapni referencën teorike.

Koncepti i vazhdimësisë së një funksioni z= f(x, y) në një pikë është përcaktuar në mënyrë të ngjashme me këtë koncept për një funksion të një ndryshoreje.

Funksioni z = f(x, y) quhet e vazhdueshme në një pikë nëse

Diferenca (2) quhet rritja totale e funksionit z(përftohet duke rritur të dy argumentet).

Lëreni funksionin z= f(x, y) dhe pika

Nëse funksioni ndryshon z ndodh kur ndryshon vetëm një nga argumentet, për shembull, x, me një vlerë fikse të argumentit tjetër y, atëherë funksioni do të rritet

quhet rritje e pjesshme e funksionit f(x, y) në x.

Duke marrë parasysh ndryshimin e funksionit z në varësi të ndryshimit të vetëm njërit prej argumenteve, ne në fakt kalojmë në një funksion të një ndryshoreje.

Nëse ka një kufi të kufizuar

atëherë quhet derivat i pjesshëm i funksionit f(x, y) me argument x dhe shënohet me një nga simbolet

(4)

Rritja e pjesshme përcaktohet në mënyrë të ngjashme z në y:

dhe derivat i pjesshëm f(x, y) në y:

(6)

Shembulli 1

Zgjidhje. Gjejmë derivatin e pjesshëm në lidhje me ndryshoren "x":

(y fikse);

Gjejmë derivatin e pjesshëm në lidhje me variablin "y":

(x fikse).

Siç mund ta shihni, nuk ka rëndësi në çfarë mase ndryshorja që është fikse: në këtë rast, është vetëm një numër që është një faktor (si në rastin e derivatit të zakonshëm) me variablin me të cilin gjejmë të pjesshmen. derivatore. Nëse ndryshorja fikse nuk shumëzohet me ndryshoren në lidhje me të cilën gjejmë derivatin e pjesshëm, atëherë kjo konstante e vetmuar, pavarësisht në çfarë mase, si në rastin e një derivati të zakonshëm, zhduket.

Shembulli 2 Jepet një funksion

Gjeni derivate të pjesshme

(nga x) dhe (nga y) dhe llogaritni vlerat e tyre në pikë POR (1; 2).

Zgjidhje. Në një fiks y derivati i termit të parë gjendet si derivat i funksionit të fuqisë ( tabela e funksioneve derivative të një ndryshoreje):

Në një fiks x derivati i termit të parë gjendet si derivat i funksionit eksponencial, dhe i dyti - si derivat i konstantës:

Tani ne llogarisim vlerat e këtyre derivateve të pjesshëm në pikë POR (1; 2):

Ju mund të kontrolloni zgjidhjen e problemeve me derivate të pjesshme në Llogaritësi online i derivateve të pjesshme .

Shembulli 3 Gjeni derivatet e pjesshme të funksioneve

Zgjidhje. Në një hap gjejmë

(y x, sikur argumenti i sinusit të ishte 5 x: në të njëjtën mënyrë, 5 shfaqet para shenjës së funksionit);

(xështë fikse dhe është në këtë rast një faktor në y).

Ju mund të kontrolloni zgjidhjen e problemeve me derivate të pjesshme në Llogaritësi online i derivateve të pjesshme .

Derivatet e pjesshme të një funksioni prej tre ose më shumë ndryshoresh përcaktohen në mënyrë të ngjashme.

Nëse çdo grup vlerash ( x; y; ...; t) variabla të pavarur nga bashkësia D korrespondon me një vlerë specifike u nga shumë E, pastaj u quhet funksion i variablave x, y, ..., t dhe shënojnë u= f(x, y, ..., t).

Për funksionet e tre ose më shumë ndryshoreve, nuk ka interpretim gjeometrik.

Derivatet e pjesshme të një funksioni të disa variablave përcaktohen dhe llogariten gjithashtu me supozimin se vetëm një nga variablat e pavarur ndryshon, ndërsa të tjerët janë fikse.

Shembulli 4 Gjeni derivatet e pjesshme të funksioneve

Zgjidhje. y dhe z fikse:

x dhe z fikse:

x dhe y fikse:

Gjeni vetë derivate të pjesshme dhe më pas shikoni zgjidhjet

Shembulli 5

Shembulli 6 Gjeni derivatet e pjesshme të një funksioni.

Derivati i pjesshëm i një funksioni të disa ndryshoreve ka të njëjtën gjë kuptimi mekanik si derivat i një funksioni të një ndryshoreje, është shpejtësia me të cilën funksioni ndryshon në lidhje me një ndryshim në një nga argumentet.

Shembulli 8 sasia e rrjedhjes P pasagjerë hekurudhat mund të shprehet si funksion

ku P- numri i pasagjerëve, N- numri i banorëve të pikave përkatëse, R- distanca midis pikave.

Derivat i pjesshëm i një funksioni P në R e barabartë me

tregon se ulja e fluksit të udhëtarëve është në përpjesëtim të zhdrejtë me katrorin e distancës ndërmjet pikave përkatëse për të njëjtin numër banorësh në pika.

Derivat i pjesshëm P në N e barabartë me

tregon se rritja e fluksit të pasagjerëve është proporcionale me dyfishin e numrit të banorëve vendbanimet me të njëjtën distancë ndërmjet pikave.

Ju mund të kontrolloni zgjidhjen e problemeve me derivate të pjesshme në Llogaritësi online i derivateve të pjesshme .

Diferencial i plotë

Prodhimi i derivatit të pjesshëm dhe i rritjes së ndryshores së pavarur përkatëse quhet diferencial i pjesshëm. Diferencat e pjesshme shënohen si më poshtë:

Shuma e diferencialeve të pjesshme mbi të gjitha variablat e pavarur jep diferencialin total. Për një funksion të dy ndryshoreve të pavarura, diferenciali total shprehet me barazinë

(7)

Shembulli 9 Gjeni diferencialin e plotë të një funksioni

Zgjidhje. Rezultati i përdorimit të formulës (7):

Një funksion që ka një diferencial total në çdo pikë të një domeni quhet i diferencueshëm në atë fushë.

Gjeni diferencën totale vetë dhe më pas shikoni zgjidhjen

Ashtu si në rastin e një funksioni të një ndryshoreje, diferencimi i një funksioni në një rajon të caktuar nënkupton vazhdimësinë e tij në këtë rajon, por jo anasjelltas.

Le të formulojmë pa prova një kusht të mjaftueshëm për diferencueshmërinë e një funksioni.

Teorema. Nëse funksioni z= f(x, y) ka derivate të pjesshme të vazhdueshme

në një rajon të caktuar, atëherë ai është i diferencueshëm në këtë rajon dhe diferenciali i tij shprehet me formulën (7).

Mund të tregohet se, ashtu si në rastin e një funksioni të një ndryshoreje, diferenciali i funksionit është pjesa kryesore lineare e rritjes së funksionit, kështu që në rastin e një funksioni të disa ndryshoreve, diferenciali total është kryesore, lineare në lidhje me rritjet e variablave të pavarur, pjesë e rritjes totale të funksionit.

Për një funksion me dy ndryshore, rritja totale e funksionit ka formën

(8)

ku α dhe β janë të pafundme për dhe .

Derivatet e pjesshme të rendit më të lartë

Derivatet dhe funksionet e pjesshme f(x, y) janë vetë disa funksione të të njëjtave ndryshore dhe, nga ana tjetër, mund të kenë derivate në lidhje me variabla të ndryshëm, të cilët quhen derivate të pjesshëm të rendit më të lartë.

Për ta përmbledhur, cili është ndryshimi midis gjetjes së derivateve të pjesshme dhe gjetjes së derivateve "të zakonshëm" të një funksioni të një ndryshoreje:

1) Kur gjejmë derivatin e pjesshëm, pastaj e ndryshueshme konsiderohet konstante.

2) Kur gjejmë derivatin e pjesshëm, pastaj e ndryshueshme konsiderohet konstante.

3) Rregullat dhe tabela e funksioneve elementare derivative janë të vlefshme dhe të zbatueshme për çdo ndryshore ( , ose ndonjë tjetër) në lidhje me të cilat kryhet diferencimi.

Hapi dy. Gjejmë derivate të pjesshëm të rendit të dytë. Janë katër prej tyre.

Emërtimet:

Ose - derivati i dytë në lidhje me "X"

Ose - derivati i dytë në lidhje me "y"

ose - të përziera derivati "në lidhje me x y"

ose - të përziera derivati "në lidhje me x"

Nuk ka asgjë të komplikuar në konceptin e derivatit të dytë. Me fjalë të thjeshta, Derivati i dytë është derivati i derivatit të parë.

Për qartësi, unë do të rishkruaj derivatet e pjesshme të rendit të parë të gjetura tashmë:

Së pari gjejmë derivatet e përzier:

Siç mund ta shihni, gjithçka është e thjeshtë: marrim derivatin e pjesshëm dhe e diferencojmë përsëri, por në këtë rast, tashmë me "y".

Në mënyrë të ngjashme:

Për shembuj praktikë, kur të gjitha derivatet e pjesshme janë të vazhdueshme, barazia e mëposhtme vlen:

Kështu, përmes derivateve të përzier të rendit të dytë, është shumë e përshtatshme të kontrollojmë nëse i kemi gjetur saktë derivatet e pjesshme të rendit të parë.

Derivatin e dytë e gjejmë në lidhje me "x".

Asnjë shpikje, ne marrim dhe diferencojeni përsëri me "X":

Në mënyrë të ngjashme:

Duhet të theksohet se kur të gjeni, duhet të tregoni vëmendje e shtuar, pasi nuk ka barazi të mrekullueshme për të kontrolluar.

Shembulli 2

Gjeni derivate të pjesshëm të rendit të parë dhe të dytë të një funksioni

Ky është një shembull për vetë-zgjidhje (përgjigja në fund të mësimit).

Me pak përvojë, derivatet e pjesshme nga shembujt nr. 1, 2 do të zgjidhen nga ju me gojë.

Le të kalojmë në shembuj më kompleksë.

Shembulli 3

Kontrollojeni atë. Shkruani diferencialin total të rendit të parë.

Zgjidhje: Gjejmë derivate të pjesshëm të rendit të parë:

Komentet e mëtejshme:

(1) Ne nxjerrim të gjitha konstantet jashtë shenjës së derivatit. Në këtë rast, dhe , dhe, kështu, produkti i tyre konsiderohet një numër konstant.

(2) Mos harroni se si të dalloni siç duhet rrënjët.

(1) Të gjitha konstantet i nxjerrim nga shenja e derivatit, në këtë rast konstanta është .

(2) Nën prim, ne kemi produktin e dy funksioneve, prandaj, duhet të përdorim rregullin e diferencimit të produktit .

(3) Mos harroni se është një funksion kompleks (edhe pse më i thjeshtë nga ata kompleks). Ne përdorim rregullin përkatës: .

Tani gjejmë derivate të përzier të rendit të dytë:

Kjo do të thotë që të gjitha llogaritjet janë të sakta.

Diferenciali total i rendit të parë i një funksioni me dy ndryshore ka formën:

Në këtë rast:

Kjo do të thotë, në formulë thjesht duhet të zëvendësoni derivatet e pjesshme të gjetura tashmë të rendit të parë. Ikonat diferenciale dhe në këtë dhe situata të ngjashme, nëse është e mundur, është më mirë të shkruani në numërues:

Shembulli 4

Gjeni derivatet e pjesshme të rendit të parë të një funksioni . Kontrollojeni atë. Shkruani diferencialin total të rendit të parë.

Ky është një shembull bëjeni vetë. Një zgjidhje e plotë dhe një model model i problemit janë në fund të mësimit.

Shqyrtoni një sërë shembujsh që përfshijnë funksione komplekse.

Shembulli 5

(1) Zbatojmë rregullin e diferencimit të një funksioni kompleks . Nga mësimi Derivat i një funksioni kompleks duhet mbajtur mend një pikë shumë e rëndësishme: kur sinusin (funksionin e jashtëm) e kthejmë në kosinus sipas tabelës, atëherë investimi (funksioni i brendshëm) kemi nuk ndryshon.

(2) Këtu përdorim vetinë e rrënjëve: , nxjerrim konstanten nga shenja e derivatit dhe përfaqësojmë rrënjën në formën e nevojshme për diferencim.

Në mënyrë të ngjashme:

Ne shkruajmë diferencialin total të rendit të parë:

Shembulli 6

Gjeni derivatet e pjesshme të rendit të parë të një funksioni .

Shkruani diferencialin total.

Ky është një shembull për vetë-zgjidhje (përgjigja në fund të mësimit). Unë nuk do të postoj zgjidhjen e plotë sepse është mjaft e thjeshtë.

Shumë shpesh, të gjitha rregullat e mësipërme zbatohen në kombinim.

Shembulli 7

Gjeni derivate të pjesshëm të rendit të parë të funksionit .

(1) Ne përdorim rregullin e diferencimit të shumës.

(2) Termi i parë në këtë rast konsiderohet konstante, pasi nuk ka asgjë në shprehjen që varet nga "x" - vetëm "y".

(E dini, është gjithmonë mirë kur mund ta ktheni një thyesë në zero.)

Për mandatin e dytë, ne zbatojmë rregullin e diferencimit të produktit. Nga rruga, asgjë nuk do të ndryshonte në algoritëm nëse në vend të kësaj do të jepej një funksion - është e rëndësishme që këtu kemi produkt i dy funksioneve, secila prej të cilave varet nga "x", kështu që ju duhet të përdorni rregullin e diferencimit të produktit. Për termin e tretë zbatojmë rregullin e diferencimit të një funksioni kompleks.

Janë konsideruar shembuj të llogaritjes së derivateve të rendit më të lartë të funksioneve eksplicite. Janë dhënë formula të dobishme për llogaritjen e derivateve të rendit të n-të.

përmbajtja

Përkufizimi i derivateve të rendit më të lartë

Këtu shqyrtojmë rastin kur ndryshorja y varet nga ndryshorja x në mënyrë eksplicite:
.
Duke diferencuar funksionin në lidhje me ndryshoren x, marrim derivatin e rendit të parë, ose vetëm derivatin:
.
Si rezultat, marrim një funksion të ri, i cili është derivati i funksionit. Duke e diferencuar këtë funksion të ri në lidhje me ndryshoren x, marrim derivatin e rendit të dytë:
.
Duke diferencuar funksionin, marrim një derivat të rendit të tretë:
.
Dhe kështu me radhë. Duke diferencuar funksionin origjinal n herë, marrim derivatin e rendit të n-të ose derivatin e n-të:
.

Derivatet mund të shënohen goditje, numra romakë, numra arabë në kllapa ose thyesa nga diferenciale. Për shembull, derivatet e rendit të tretë dhe të katërt mund të shënohen si më poshtë:
;
.

Më poshtë janë formulat që mund të jenë të dobishme në llogaritjen e derivateve të rendit më të lartë.

Formula të dobishme për derivatet e rendit të n-të

Derivatet e disa funksioneve elementare:
;
;
;
;
.

Derivat i shumës së funksioneve:
,
ku janë konstantet.

Formula e Leibniz-it derivat i prodhimit të dy funksioneve:
,
ku
janë koeficientë binomialë.

Shembulli 1

Gjeni derivatet e parë dhe të dytë të funksionit të mëposhtëm:
.

Gjejmë derivatin e rendit të parë. Ne nxjerrim konstanten nga shenja e derivatit dhe zbatojmë formulën nga tabela e derivateve:
.
Ne zbatojmë rregullin e diferencimit të një funksioni kompleks:
.
Këtu.
Zbatojmë rregullin e diferencimit të një funksioni kompleks dhe përdorim derivatet e gjetur:
.
Këtu.

.
Për të gjetur derivatin e rendit të dytë, duhet të gjejmë derivatin e derivatit të rendit të parë, domethënë të funksionit:
.
Për të mos u ngatërruar me shënimin, ne e shënojmë këtë funksion me shkronjën:
(P1.1) .
Pastaj derivat i rendit të dytë nga funksioni origjinal është derivati i funksionit:
.

Gjejmë derivatin e funksionit. Kjo është më e lehtë të bëhet me derivatin logaritmik. Ne logaritmin (A1.1):
.
Tani dallojmë:
(P1.2) .
Por është një konstante. Derivati i tij është zero. Ne kemi gjetur tashmë derivatin e . Pjesën tjetër të derivateve i gjejmë sipas rregullit të diferencimit të një funksioni kompleks.
;
;
.
Zëvendësues në (A1.2):

.
Nga këtu
.

;
.

Shembulli 2

Gjeni derivatin e rendit të tretë:
.

Gjejmë derivatin e rendit të parë. Për ta bërë këtë, ne nxjerrim konstanten nga shenja e derivatit, përdorim tabela e derivateve dhe aplikoni rregull për gjetjen e derivatit të një funksioni kompleks .

.
Këtu.
Pra, ne kemi gjetur derivatin e rendit të parë:
.

Gjejmë derivatin e rendit të dytë. Për ta bërë këtë, gjejmë derivatin e . Zbatojmë formulën për derivatin e një thyese.
.
Derivati i rendit të dytë:
.

Tani gjejmë atë që kërkojmë derivat i rendit të tretë. Për ta bërë këtë, ne dallojmë.
;
;

.

Derivati i rendit të tretë është
.

Shembulli 3

Gjeni derivatin e gjashtë të funksionit të mëposhtëm:
.

Nëse hapni kllapat, do të jetë e qartë se funksioni origjinal është një polinom i shkallës . Ne e shkruajmë atë si një polinom:
,
ku - koeficientët konstant.

Aplikoni në vazhdim formula e n-të derivat i një funksioni fuqie:
.
Për derivatin e rendit të gjashtë (n = 6 ) ne kemi:
.
Nga kjo është e qartë se në. Kur kemi:
.

Ne përdorim formulën për derivatin e shumës së funksioneve:

.
Kështu, për të gjetur derivatin e gjashtë të funksionit origjinal, duhet të gjejmë vetëm koeficientin e polinomit në shkallën më të lartë. E gjejmë duke shumëzuar fuqitë më të larta në prodhimet e shumave të funksionit origjinal:

.
Nga këtu. Pastaj
.

Shembulli 4

Gjeni derivatin e n-të të një funksioni
.

Zgjidhja >>>

Shembulli 5

Gjeni derivatin e n-të të funksionit të mëposhtëm:
,
ku dhe janë konstante.

Në këtë shembull, llogaritjet kryhen lehtësisht duke përdorur numra kompleksë. Le të kemi një funksion kompleks
(P5.1) ,
ku dhe janë funksionet e një ndryshoreje reale x;
- njësi imagjinare, .
Duke diferencuar (A.1) n herë, kemi:
(P5.2) .
Ndonjëherë është më e lehtë të gjesh derivatin e n-të të një funksioni. Pastaj derivatet e n-të të funksioneve dhe përcaktohen si pjesë reale dhe imagjinare e derivatit të n-të:
;
.

Le të përdorim këtë teknikë për të zgjidhur shembullin tonë. Merrni parasysh funksionin
.
Këtu kemi aplikuar Formula e Euler-it
,
dhe prezantoi emërtimin
.
Atëherë derivati i n-të i funksionit origjinal përcaktohet nga formula:
.

Gjeni derivatin e n-të të funksionit
.
Për ta bërë këtë, aplikoni formulën:
.
Në rastin tonë
.
Pastaj
.

Pra, ne kemi gjetur derivatin e n-të të funksionit kompleks:
,
ku .
Le të gjejmë pjesën reale të funksionit.
Për ta bërë këtë, ne paraqesim një numër kompleks në formë eksponenciale:
,
ku ;
; .
Pastaj
;

.

Shembull Zgjidhje
.

Le , .
Pastaj;
.
ne ,
,
,
.
Dhe marrim formulën për derivatin e n-të të kosinusit:
.

,
ku
; .