Si të gjendet ekuacioni i normales me grafikun e një funksioni në një pikë të caktuar?

Në këtë mësim, ne do të mësojmë se si të gjejmë ekuacionin e normales to grafika e funksionit në një pikë dhe shqyrtoni shembuj të shumtë që lidhen me këtë problem. Për të kuptuar mirë materialin, duhet të kuptoni kuptimi gjeometrik i derivatit dhe të jetë në gjendje t'i gjejë ato të paktën në nivelin e artikujve të mëposhtëm:

Si të gjeni derivatin? Derivat i një funksioni kompleks dhe .

Këto mësime do t'i lejojnë "dummies" të lundrojnë shpejt në temë dhe të përmirësojnë aftësitë e tyre të diferencimit pothuajse nga e para. Në thelb, një vazhdim i detajuar i paragrafit mbi ekuacioni tangjent Artikulli i tretë nga lista e mësipërme. Pse një vazhdim? Ekuacioni normal është i lidhur ngushtë me ekuacionin tangjente. Ndër të tjera, do të shqyrtoj problemet se si të ndërtojmë ekuacionet e këtyre linjave në situata ku funksioni vendosur në mënyrë implicite ose parametrikisht .

Por së pari, le të rifreskojmë kujtimet tona: nëse funksioni të diferencueshme në një pikë (d.m.th. nëse ka përfundimtare derivati), atëherë ekuacioni i tangjentes me grafikun e funksionit në pikë mund të gjendet me formulën e mëposhtme:

Ky është rasti më i zakonshëm që kemi hasur tashmë në mësim. Problemet më të thjeshta me derivatet . Megjithatë, çështja nuk kufizohet me kaq: nëse ka një derivat të pafund në një pikë: , atëherë tangjentja do të jetë paralele me boshtin dhe ekuacioni i tij do të marrë formën . Shembull gatishmërie: një funksion me një derivat që shkon në pafundësi afër pikë kritike . Tangjentja përkatëse shprehet me barazimin: (boshti y).

Nëse derivati ​​nuk ekziston (për shembull, derivati ​​i në pikë), atëherë, natyrisht, nuk ekziston dhe tangjente e përbashkët .

Si të dallojmë dy rastet e fundit, do ta tregoj pak më vonë, por tani për tani le të kthehemi në rrjedhën kryesore të mësimit të sotëm:

Çfarë është normale? normale në grafikun e një funksioni në një pikë quhet drejt duke kaluar nëpër një pikë të caktuar pingul me tangjenten me grafikun e funksionit në këtë pikë (është e qartë se tangjentja duhet të ekzistojë). Shkurtimisht, një normale është një vijë e drejtë pingul me tangjentën që kalon nëpër pikën tangjente.

Si të gjeni ekuacionin normal? Nga kursi i gjeometrisë analitike një algoritëm shumë i thjeshtë sugjeron vetveten: gjejmë ekuacioni tangjent dhe prezantojeni atë në pamje e përgjithshme . "Hiq" më tej vektor normal dhe hartoni ekuacionin normal për vektorin e pikës dhe të drejtimit.

Kjo metodë mund të përdoret, por në analizën matematikore është zakon të përdoret një formulë e gatshme bazuar në marrëdhënia e koeficientëve të pjerrësisë së vijave pingule . Nëse ekziston përfundimtare dhe të ndryshme nga zero derivati, atëherë ekuacioni i normales me grafikun e funksionit në pikë shprehet me ekuacionin e mëposhtëm:

Ne patjetër do të shqyrtojmë raste të veçanta kur është e barabartë me zero ose pafundësi, por shembujt e parë "të zakonshëm":

Shembulli 1

Hartoni ekuacionet e tangjentes dhe normales me grafikun e lakores në një pikë abshisa e së cilës është .

Në detyrat praktike, shpesh kërkohet të gjendet edhe tangjentja. Sidoqoftë, kjo është shumë vetëm në dorë - do të jetë më mirë të kesh një "dorë të plotë" =)

Zgjidhje: Pjesa e parë e detyrës është e njohur, ekuacionin tangjent do ta përpilojmë sipas formulës:

Në këtë rast:

Le të gjejmë derivatore :
Këtu në hapin e parë nxori konstanten nga shenja e derivatit , në të dytën - e përdorur rregulli i diferencimit të funksionit të përbërë .

Tani le të llogarisim derivat në një pikë :

Marrë numër i kufizuar dhe kënaqet. Zëvendësoni në formulë:

Le ta zhvendosim në pjesën e sipërme të anës së majtë, hapim kllapat dhe paraqesim ekuacionin e tangjentes në pamje e përgjithshme : Pjesa e dytë e detyrës nuk është më e vështirë. Ne do të përpilojmë ekuacionin normal me formulën: Duke hequr qafe e shtënë trekatëshe dhe sillni në mendje ekuacionin: është ekuacioni i kërkuar.

Përgjigju:

Këtu mund të kryeni një kontroll të pjesshëm. Së pari, koordinatat e pikës duhet të plotësojnë çdo ekuacion:

- barazi e vërtetë.

- barazi e vërtetë.

Dhe, së dyti, vektorë normalë duhet të jetë ortogonal. Kjo verifikohet lehtësisht duke përdorur produkt me pika : , e cila duhej të kontrollohej.

Përndryshe, në vend të vektorëve normalë, mund të përdorni vektorët e drejtimit të vijave .

! Ky kontroll rezulton i padobishëm nëse derivati ​​dhe/ose derivati ​​në pikë gjenden gabimisht. ajo " lidhje e dobët» detyra - jini jashtëzakonisht të kujdesshëm!

Sipas kushtit, një vizatim nuk kërkohej, por për hir të plotësisë:
Është qesharake, por në fakt doli të ishte një kontroll i plotë, pasi vizatimi u bë mjaft saktë =) Nga rruga, funksioni përcakton harkun e sipërm elips .

Detyra e mëposhtme për një zgjidhje të pavarur:

Shembulli 2

Hartoni ekuacionet e tangjentes dhe normales me grafikun e funksionit në pikë.

Një shembull i një detyre përfundimtare në fund të mësimit.

Tani le të shohim dy raste të veçanta:

1) Nëse derivati ​​në pikë është i barabartë me zero: , atëherë ekuacioni tangjent do të thjeshtohet: Kjo do të thotë, tangjentja do të jetë paralele me boshtin.

Prandaj, normalja do të kalojë nëpër pikën paralele me boshtin, që do të thotë se ekuacioni i saj do të marrë formën .

2) Nëse derivati ​​në pikë ekziston, por është i pafund: , atëherë, siç u përmend në fillim të artikullit, tangjentja do të bëhet vertikale: . Dhe meqenëse normalja kalon nëpër një pikë paralele me boshtin, atëherë ekuacioni i tij do të shprehet në një mënyrë "pasqyrë":

Është e thjeshtë:

Shembulli 3

Hartoni ekuacionet e tangjentes dhe normales ndaj parabolës në pikën. Bëni një vizatim.

Unë nuk e shtova kërkesën për të përfunduar vizatimin - kështu u formulua detyra në origjinal. Edhe pse kjo është e rrallë.

Zgjidhje: hartoni ekuacionin e tangjentes . Në këtë rast

Duket se llogaritjet janë të vogla, por është më se reale të ngatërrohesh në shenjat:

Në këtë mënyrë:

Meqenëse tangjentja është paralele me boshtin (Rasti nr. 1), atëherë kalimi normal nëpër të njëjtën pikë do të jetë paralel me boshtin y:

Vizatimi është, natyrisht, një problem shtesë, por një kontroll i mirë i zgjidhjes analitike:

Përgjigju: ,

Në një kurs të matematikës shkollore, një përkufizim i thjeshtuar i një tangjente është i zakonshëm, i cili formulohet diçka si kjo: "Tangjentja me grafikun e një funksioni është një vijë e drejtë që ka një pikë të vetme të përbashkët me këtë grafik". Siç mund ta shihni, në rastin e përgjithshëm kjo deklaratë është e pasaktë. Sipas kuptimi gjeometrik i derivatit , vija e gjelbër është tangjentja, jo vija blu.

Shembulli i mëposhtëm i kushtohet të njëjtit Rast #1 kur:

Shembulli 4

Shkruani ekuacionin e tangjentes dhe normales ndaj kurbës në pikën .

Zgjidhje e shkurtër dhe përgjigje në fund të orës së mësimit

Rasti numër 2, në të cilin ndodh rrallë në praktikë, kështu që fillestarët nuk mund të shqetësohen shumë dhe të kalojnë shembullin e pestë me një zemër të lehtë. Informacioni me shkronja të pjerrëta është i destinuar për lexuesit e avancuar që janë të njohur me të përkufizimet e derivatit dhe tangjentes dhe gjithashtu të ketë përvojë gjetja e derivatit sipas përkufizimit :

Shembulli 5

Gjeni ekuacionet e tangjentes dhe normales me grafikun e një funksioni në një pikë

Zgjidhje : nëpikë kritike emëruesi derivat zhduket, dhe për këtë arsye derivatet e njëanshme duhet të llogariten këtu duke përdorur përkufizimin e derivatit (shiko fundin e artikullitDerivat sipas përkufizimit ):
Të dy derivatet janë të pafund, prandaj, ekziston një tangjente vertikale e përbashkët në pikën: Epo, është e qartë se normalja është boshti x. Formalisht sipas formulës: Për një kuptim më të mirë të problemit, unë do të jap një vizatim: Përgjigju :

Më vjen mirë që nuk u largove për të lundruar në internet, sepse e gjithë argëtimi sapo ka filluar! Për të zotëruar materialin e paragrafit tjetër, duhet të jeni në gjendje të gjeni derivat i në mënyrë implicite funksioni i dhënë :

Si të gjejmë ekuacionin tangjent dhe ekuacionin normal nëse funksioni është dhënë në mënyrë implicite?

Formulat tangjente dhe normale mbeten të njëjta, por teknika e zgjidhjes ndryshon:

Shembulli 6

Gjeni ekuacionet e tangjentes dhe normales me lakoren në pikën .

Zgjidhje: duke gjykuar nga ekuacioni, ky është një lloj Linja e rendit të tretë , cili - ne nuk jemi aspak të interesuar tani.

Ka malware në ekuacion, dhe kështu perspektiva e shprehjes së funksionit në në mënyrë eksplicite duket shumë e turbullt.

Por kjo nuk kërkohet! Ekziston një zgjidhje shumë më e zgjuar. Ne do të përpilojmë ekuacionin tangjent duke përdorur të njëjtën formulë.

Nga gjendja, vlerat janë të njohura, nga rruga, nuk është e dëmshme të siguroheni që ato të përmbushin vërtet ekuacionin e propozuar: Përftohet barazia e saktë, që do të thotë se gjithçka është në rregull me pikën.

Mbetet për të llogaritur. Së pari, duke përdorur skemën standarde, gjejmë derivat i një funksioni të përcaktuar në mënyrë implicite :

Le të rishkruajmë rezultatin me një shënim më të përshtatshëm për problemin tonë:

Në hapin e dytë, ne zëvendësojmë shprehjen e gjetur të derivatit:

Kjo eshte!

Mbetet të trajtojmë me kujdes ekuacionin:

Le të shkruajmë ekuacionin normal:

Përgjigju:

Gati! Dhe në fillim dukej e vështirë. Edhe pse derivati ​​këtu, natyrisht, është një vend i prekshëm. Miniatura për zgjidhje të pavarur:

Shembulli 7

Gjeni ekuacionin e normales me një drejtëz në një pikë

Mjaft tashmë për të bluar tangjenten =)

Në këtë rast, është e lehtë të zbulohet se çfarë është rrethi qendrojnë në pikën e rrezes dhe madje shprehin funksionin e dëshiruar . Por pse?! Në fund të fundit, për të gjetur derivatin e funksioni i nënkuptuar shumë më e lehtë! Ajo është pothuajse më primitive këtu.

Zgjidhje e shkurtër dhe përgjigje në fund të orës së mësimit.

Si gjendet ekuacioni tangjent dhe ekuacioni normal nëse funksioni jepet parametrikisht?

Edhe më lehtë. Por për këtë ju duhet të praktikoni gjetjen derivat i një funksioni të përcaktuar parametrikisht . Dhe kështu - pothuajse një falas:

Shembulli 8

Hartoni ekuacionet e tangjentes dhe normales ndaj cikloidit të vizatuar në pikën për të cilën .

Një vizatim i cikloidit mund të gjendet në faqe S dhe V nëse vija vendoset në mënyrë parametrike (Ndodh që ky artikull është krijuar më herët). Madje tregon edhe pikën e kontaktit.

Zgjidhje: abshisa dhe ordinata e pikës tangjente llogariten drejtpërdrejt nga ekuacionet parametrike të lakores:

Le të gjejmë Derivati ​​i parë i një funksioni të përcaktuar parametrikisht :

Dhe llogaritni vlerën e tij në:

Ne do të përpilojmë ekuacionin tangjent sipas formulës së zakonshme, të rregulluar për një shënim paksa të ndryshëm:

Ekuacioni normal:

Përgjigju:

Si përfundim, unë propozoj të njiheni me një linjë tjetër interesante:

Shembulli 9

Shkruani një ekuacion për parabolën normale në gjysmëkubike të vizatuar në një pikë për të cilën .

Ky është një shembull bëjeni vetë. Ju kujtoj se grafikët e funksioneve të dhëna parametrikisht mund të ndërtohen, për shembull, duke përdorur timin shtrirje gjeometrike e llogaritur .

Epo, mësimi ynë ka marrë fund dhe shpresoj që materiali i paraqitur nuk ishte tangjencial për ju, por normalisht =)

Faleminderit për vëmendjen tuaj dhe fat të mirë!

Zgjidhje dhe përgjigje:

Shembulli 2:Zgjidhje Në këtë rast: Në këtë mënyrë: Ne përpilojmë ekuacionin normal me formulën : Përgjigju :

Shembulli 4:Zgjidhje : Ekuacionin e tangjentës do ta përpilojmë me formulën: Në këtë detyrë:
Në këtë mënyrë: Në një pikë, tangjentja është paralele me boshtin, kështu që ekuacioni normal përkatës është: Përgjigju :

Shembulli 7:Zgjidhje : në këtë problem: . Le të gjejmë derivatin: Ose: Zëvendësoni në shprehjen derivatore: Ekuacioni normal i kërkuar: Përgjigju :

Shembulli 9:Zgjidhje : në këtë rast: Le të gjejmë derivatin dhe të llogarisim vlerën e tij në: Ekuacioni normal: Përgjigju :

Marrë nga http://www.mathprofi.ru

Përkufizim: normalja në kurbën y \u003d ¦ (x) në pikën M 0 është vija e drejtë që kalon nëpër pikën M 0 dhe pingul me tangjenten në pikën M 0 në këtë kurbë.

Le të shkruajmë ekuacionin e tangjentes dhe normales, duke ditur ekuacionin e kurbës dhe koordinatat e pikës M 0 . Tangjenta ka shpat k \u003d t g \u003d ¦, (x 0). Nga gjeometria analitike dihet se drejtëza ka barazimin y-y 0 = k(x - x 0).

Prandaj, ekuacioni tangjent: y - y 0 \u003d ¦, (x 0) (x - x 0); (një)

Pjerrësia e K n \u003d normale (pasi ato janë pingul), por pastaj ekuacioni normal:

y-y 0 \u003d (-1 / ¦, (x 0) (x - x 0); (2)

Nëse një derivat nuk ekziston në një pikë, atëherë një tangjente nuk ekziston as në atë pikë.

Për shembull, funksioni ¦(x)=|x| në pikën x=0 nuk ka derivat.

lim D x ®0 (D y/ D x) = lim D x ®0 (| D x|/ D x)=

Kufijtë e njëanshëm ekzistojnë, por kufiri D x ®0 (D y / D x) nuk ekziston

Tangjente gjithashtu.

Një pikë e tillë quhet pika e këndit të grafikut.

§katër. Marrëdhënia midis vazhdimësisë dhe diferencibilitetit të një funksioni.

Teorema e mëposhtme për një funksion të diferencueshëm është e vlefshme.

Teorema: nëse funksioni y \u003d ¦ (x) ka një derivat të fundëm në pikën x 0, atëherë funksioni është i vazhdueshëm në këtë pikë.

Dëshmi:

Sepse në pikën x 0 ka një derivat ¦, (x 0), d.m.th. ka një kufi

lim D x ®0 (D y/ D x)= ¦ , (x 0), pastaj D y/ D x= ¦ , (x 0)+ , ku

B.m.v., në varësi të D x. Për D x®0, ®0, sepse \u003d (D y / D x) - ¦, (x 0) ®0 në D x®0

Nga këtu kemi: D y \u003d ¦, (x 0) D x + D x.

Por pastaj

Një rritje infinitimale e argumentit korrespondon me një rritje infinitimale të funksionit, kështu që ¦(x) është i vazhdueshëm në pikën x 0 .

Është e rëndësishme të kuptohet se teorema e kundërt nuk është e vërtetë!

Jo çdo funksion i vazhdueshëm është i diferencueshëm.

Kështu, ¦(x) =|x| është e vazhdueshme në pikën x 0 =0, grafiku është një vijë e fortë, por ¦ , (0) nuk ekziston.

§5. Derivatet e funksionit konstante, sinus, kosinus dhe eksponencial.

1. y \u003d ¦ (x) \u003d c; y, = (c), = 0; (një)

Dëshmi:

a) në çdo pikë x ¦(x) = c

b) i japim x një rritje D x, x + D x, vlerën e funksionit ¦ (x + D x) = c;

c) ¦ (x + D x) - ¦ (x) \u003d c - c \u003d 0;

d) D y / D x \u003d 0 / D x \u003d 0

e) lim D x ®0 (D y / D x) = lim D x ®0 0 = 0

2. y \u003d mëkat x; y, = (sin x), = cos x; (2)

Dëshmi:

a) në çdo pikë x ¦ (x) = sin x;

b) le të shtojë x D x, x + D x, vlerën e funksionit

Aplikacionet derivative.

5.1.Kuptimi gjeometrik i derivatit:

Merrni parasysh grafikun e funksionit y= f (x).

Figura 1 tregon se për çdo dy pika A dhe B grafiku i funksionit: , ku α është pjerrësia e sekantit AB.

Kështu, raporti i diferencës është i barabartë me pjerrësinë e sekantit. Nëse rregullojmë një pikë A dhe lëvizni pikën drejt saj B, pastaj zvogëlohet pafundësisht dhe i afrohet 0, dhe sekantit AB i afrohet tangjentes AC.

Prandaj, kufiri i raportit të diferencës është i barabartë me pjerrësinë e tangjentes në pikën A, d.m.th. . Kjo nënkupton: Derivati ​​i funksionit në pikën x 0 është i barabartë me pjerrësinë e tangjentes ndaj grafikut të funksionit y = f(x) në këtë pikë, d.m.th. .

1. Tangjentja e grafikut të funksionit në pikën (x 0; f (x 0) është pozicioni kufizues i sekantit (AC).

Ekuacioni tangjent : y – f(x 0) =

2. Drejtëza pingul me tangjenten (AC) në pikën (x 0; f (x 0) quhet normale me grafikun e funksionit..

Ekuacioni normal: y – f(x 0) =

Një detyrë: Përpiloni ekuacionet e tangjentes dhe normales të tërhequr në grafikun e funksionit y=10x-x në pikën me abshisë të barabartë me x 0 =2.

Zgjidhja:

1. Gjeni ordinatën e pikës së prekjes: f(х 0)= f(2)=10∙2–2 2 =16,

2. Gjeni pjerrësinë e tangjentes: f "(x) \u003d (10x-x)" \u003d 10-2x, \u003d f"(2)=10–2∙2=6

3. Përpiloni ekuacionin tangjente: y–16 = 6 ∙ (x-2), y–16 = 6x–12, y–6x–4 = 0 – ekuacioni tangjent,

4. Përpiloni ekuacionin e normales: y -16 =, 6y -96 = -x + 2, 6y + x -98 = 0 - ekuacioni i normales.

5.2. kuptimi fizik derivat:

Përkufizimi. Shpejtësia e trupit është e barabartë me derivatin e parë të shtegut në lidhje me kohën:

5.3. Kuptimi mekanik i derivatit:

Përkufizimi. Nxitimi i trupit është i barabartë me derivatin e parë të shpejtësisë në lidhje me kohën ose me derivatin e dytë të shtegut në lidhje me kohën:

Një detyrë: Përcaktoni shpejtësinë dhe nxitimin e një pike që lëviz sipas ligjit në momentin t=4c.

Zgjidhja:

1. Gjeni ligjin e shpejtësisë: v= S"=

2. Gjeni shpejtësinë në momentin t = 4c: v(t)= v(4)=2∙4 2 +8∙4=64 njësi/sek

3. Gjejmë ligjin e nxitimit: a=v′=

4. Gjeni nxitimin në momentin t = 4c: a(t)= a( 4)=4∙4+8=24njësi/sek 2

SEKSIONI 1.3. Diferenciali i funksionit dhe zbatimi i tij në llogaritjet e përafërta. Koncepti i diferencialit të funksionit

funksioni diferencial y \u003d ƒ (x) në pikën x quhet pjesa kryesore e rritjes së saj, e barabartë me produktin e derivatit të funksionit dhe rritjen e argumentit, dhe shënohet dу (ose dƒ (x)): dy \u003d ƒ "(x)∙∆х(1).

Diferenciali dу quhet gjithashtu diferencial i rendit të parë. Le të gjejmë diferencialin e ndryshores së pavarur x, pra diferencialin e funksionit y=x.

Meqenëse y"=x"=1, atëherë, sipas formulës (1), kemi dy=dx=∆x, d.m.th., diferenciali i ndryshores së pavarur është i barabartë me shtimin e kësaj ndryshoreje: dx=∆x.

Prandaj, formula (1) mund të shkruhet si më poshtë: dy \u003d ƒ "(x) ∙ dx(2) me fjalë të tjera, diferenciali i një funksioni është i barabartë me produktin e derivatit të këtij funksioni dhe diferencialin e ndryshores së pavarur.

Nga formula (2), vijon barazia dy / dx \u003d ƒ "(x).

Shembulli 1: Gjeni diferencialin e funksionit ƒ(x)=3x 2 -sin(l+2x).

Zgjidhja: Sipas formulës dy \u003d ƒ "(x) dx, gjejmë dy \u003d (3x 2 -sin (l + 2x))" dx \u003d (6x-2cos (l + 2x)) dx.

Shembulli 2: Gjeni diferencialin e rendit të dytë të funksionit: y = x 3 –7x.

Zgjidhja:

SEKSIONI 1.4. primitive. Integrali i pacaktuar. Metodat për llogaritjen e integralit të pacaktuar.

Përkufizimi 1. Funksioni F(x) quhet antiderivativ për funksionin f(x) në një interval, diferenciali i të cilit është i barabartë me shprehjen f(x)dx. Shembull: f (x) \u003d 3x 2 3x 2 dx F (x) \u003d x 3.

Sidoqoftë, diferenciali i një funksioni nuk korrespondon me një antiderivativ të vetëm, por me një grup prej tyre. Shqyrtoni shembullin: F 1 (x) = x 3, F 2 (x) = x 3 + 4, F 3 (x) = x 3 - 2, në përgjithësi F (x) + C, ku C është një konstante arbitrare . Kjo do të thotë se për funksionin f(x)=3x2 ka shumë antiderivativë që ndryshojnë nga njëri-tjetri për një term konstant.

Përkufizimi 2. Bashkësia e të gjithë funksioneve antiderivative f(x) në një interval quhet integrali i pacaktuar i funksioneve f(x) në këtë interval dhe shënohet me simbolin ∫f(x)dx .

Ky simbol lexon: "integrali i f(x) mbi dx", pra sipas përkufizimit:

∫ (x)dx = F(x)+C.

Simboli ∫ quhet shenja e integralit, f(x) është integrandi, f(x)dx është integrandi, x është ndryshorja e integrimit, F(x) është një antiderivativ,

C është konstante.

Karakteristikat kryesore të integralit të pacaktuar:

1. Diferenciali i integralit të pacaktuar është i barabartë me integranin, d.m.th.

d ∫ f(x)dx = f(x)dx.

2. Integrali i pacaktuar i diferencialit të një funksioni është i barabartë me këtë funksion të shtuar në një konstante arbitrare: ∫ d F(x) = F(x) + C

3. Faktori konstant mund të hiqet nga shenja integrale: ∫ kf(x)dx = k ∫ f(x)dx , k-konst.

4. Integrali i pacaktuar i shumës algjebrike të funksioneve është e barabartë me shumën integrale nga secili prej tyre: ∫ (f 1 (x)+f 2 (x)-f 3 (x))dx = ∫ f 1 (x)dx + ∫ f 2 (x)dx – ∫f 3 (x)dx .

Konsideroni një kurbë, ekuacioni i së cilës ka formën

Ekuacioni i tangjentes në një kurbë të caktuar në një pikë ka formën:

Normalja me një kurbë në një pikë të caktuar është një drejtëz që kalon nëpër një pikë të caktuar dhe pingul me tangjenten në atë pikë.

Ekuacioni i normales me një kurbë të dhënë në një pikë ka formën:

(35)

Gjatësia e segmentit tangjent të mbyllur midis pikës tangjente dhe boshtit të abshisës quhet gjatësia tangjente, quhet projeksioni i këtij segmenti në boshtin x subtangjente .

Gjatësia e segmentit normal të mbyllur midis pikës tangjente dhe boshtit të abshisës quhet gjatësi normale, quhet projeksioni i këtij segmenti në boshtin x nënnormale.

Shembulli 17

Shkruani ekuacionet e tangjentes dhe normales ndaj lakores në një pikë abshisa e së cilës është e barabartë.

Zgjidhja:

Le të gjejmë vlerën e funksionit në pikën:

Le të gjejmë derivatin e funksionit të dhënë në pikë

Përgjigje: Ekuacioni tangjent:

Ekuacioni normal: .

Shembulli 18

Shkruani ekuacionet për tangjenten dhe normalen, gjatësinë e tangjentes dhe nëntangjentes, gjatësinë e normales dhe nënnormales për një elips

në pikën për të cilën.

Zgjidhja:

Le të gjejmë si një derivat të funksionit të dhënë parametrikisht nga formula (10):

Gjeni koordinatat e pikës së prekjes: dhe vlerën e derivatit në pikën e prekjes:

Ekuacioni tangjent gjendet me formulën (34):

Gjeni koordinatat e pikës së prerjes së tangjentes me boshtin:

Gjatësia e tangjentes është e barabartë me gjatësinë e segmentit:

Sipas përkufizimit, nëntangjentja është e barabartë me

Ku këndi është këndi ndërmjet tangjentes dhe boshtit. Prandaj, është e barabartë pjerrësia e tangjentes me

Pra, nëntangjentja është e barabartë me

Ne gjejmë ekuacionin normal me formulën (35):

Gjeni koordinatat e pikës së prerjes së normales me boshtin:

Gjatësia e normales është e barabartë me gjatësinë e segmentit:

Sipas përkufizimit, nënnormalja është e barabartë me

Ku këndi është këndi ndërmjet normales dhe boshtit. Prandaj, është e barabartë pjerrësia e normales

Pra, nënnormalja është:

Përgjigje: Ekuacioni tangjent:

Ekuacioni normal:

Gjatësia tangjente ; subtangjente;

Gjatësia normale ; nënnormale

Detyrat 7. Shkruani ekuacionet tangjente dhe normale:

1. Tek një parabolë në një pikë abshisa e së cilës

2. Tek rrethi në pikat e prerjes me boshtin x

3. Tek cikloidi në pikën për të cilën

4. Në cilat pika të kurbës paralele tangjente:

a) boshti Ox; b) drejt

.

10. Intervalet e monotonitetit të një funksioni. Ekstremet e funksionit.

Gjendja e monotonitetit të funksionit:

Në mënyrë që një funksion i diferencueshëm nga mos të rritet, është e nevojshme dhe e mjaftueshme që derivati ​​të jetë jopozitiv në të gjitha pikat që i përkasin.

Në mënyrë që një funksion i diferencueshëm me të mos ulet, është e nevojshme dhe e mjaftueshme që derivati ​​të jetë jo negativ në të gjitha pikat që i përkasin.

Intervalet në të cilat derivati ​​i një funksioni ruan një shenjë të caktuar quhen intervale. monotonia funksione

Shembulli 19

Gjeni intervalet e monotonitetit të funksionit .

Zgjidhja:

Le të gjejmë derivatin e funksionit .

Le të gjejmë intervalet e qëndrueshmërisë së derivatit të marrë. Për këtë

ne faktorizojmë trinomin katror që rezulton:

Ne ekzaminojmë shenjën e shprehjes që rezulton duke përdorur metodën e intervalit.

Kështu, sipas (36), (37), marrim se funksioni i dhënë rritet dhe zvogëlohet me.

Përgjigje: Funksioni i dhënë rritet dhe zvogëlohet me.

Përkufizimi Funksioni ka në pikë maksimumi lokal (minimumi), nëse ekziston një fqinjësi e pikës e tillë që kushti

Minimumi ose maksimumi lokal i një funksioni quhet ekstremi lokal.

Një kusht i domosdoshëm për ekzistencën e një ekstremi.

Lëreni funksionin të përcaktohet në ndonjë lagje të pikës. Nëse funksioni ka një ekstrem në pikë, atëherë derivati ​​në pikë është ose zero ose nuk ekziston.

Pika quhet pikë kritike funksionon nëse derivati ​​në pikë është ose zero ose nuk ekziston.

Kushtet e mjaftueshme për praninë e një ekstremi në një pikë kritike.

Le të jetë pika kritike.

Kushti i parë i mjaftueshëm për një ekstrem është:

Le të jetë funksioni i vazhdueshëm në një lagje të pikës dhe të jetë i diferencueshëm në çdo pikë.

Një pikë është një maksimum lokal nëse, kur kalon

Derivati ​​i një funksioni ndryshon shenjën nga plus në minus.

Një pikë është një minimum lokal nëse, kur kalon

Derivati ​​i një funksioni ndryshon shenjën nga minus në plus.

Shembulli 20

Gjeni ekstremin e funksionit .

Zgjidhja:

Le të gjejmë derivatin e funksionit të dhënë

Duke barazuar numëruesin dhe emëruesin në derivatin që rezulton me zero, gjejmë pikat kritike:

Ne hetojmë shenjën e derivatit duke përdorur metodën e intervaleve.

Nga figura mund të shihet se kur kalon nëpër një pikë, derivati ​​ndryshon shenjën nga plus në minus. Prandaj, në pikë ka një maksimum lokal.

Kur kalon nëpër një pikë, derivati ​​ndryshon shenjën nga minus në plus.

Prandaj, pika është një minimum lokal.

Kur kalon nëpër një pikë, derivati ​​nuk ndryshon shenjë. Prandaj, pika kritike nuk është ekstremi i funksionit të dhënë.

Përgjigje:- maksimumi lokal, - minimumi lokal.

Kushti i dytë i mjaftueshëm për një ekstrem është:

Nëse derivatet e parë të një funksioni në një pikë janë të barabarta me zero, dhe derivati ​​a-të i një funksioni në një pikë është jozero, atëherë pika është ekstremi i funksionit dhe, për më tepër,

atëherë është një minimum lokal

atëherë është një maksimum lokal.

Shembulli 21

Gjeni ekstremet e funksionit duke përdorur derivatin e dytë.

Zgjidhja:

Le të gjejmë derivatin e parë të funksionit të dhënë

Le të gjejmë pikat kritike të funksionit:

Ne nuk marrim parasysh një pikë, pasi funksioni përcaktohet vetëm në lagjen e majtë.

Le të gjejmë derivatin e dytë

Ne gjejme

Kështu, bazuar në (39), konkludojmë se at është një maksimum lokal.

Përgjigje:është një maksimum lokal.

Detyrat 8.

Ekzaminoni për funksionet ngjitëse dhe zbritëse:

Eksploroni për ekstremet e funksionit:

Tangjenta është një vijë e drejtë , i cili prek grafikun e funksionit në një pikë dhe të gjitha pikat e të cilit janë në distancën më të vogël nga grafiku i funksionit. Prandaj, tangjentja kalon tangjenten në grafikun e funksionit në një kënd të caktuar dhe disa tangjente nuk mund të kalojnë nëpër pikën tangjente në kënde të ndryshme. Ekuacionet tangjente dhe ekuacionet e normales me grafikun e funksionit përpilohen duke përdorur derivatin.

Ekuacioni tangjent rrjedh nga ekuacioni i drejtëzës .

Ne nxjerrim ekuacionin e tangjentes, dhe më pas ekuacionin e normales në grafikun e funksionit.

y = kx + b .

Në të k- koeficienti këndor.

Nga këtu marrim hyrjen e mëposhtme:

y - y 0 = k(x - x 0 ) .

Vlera derivative f "(x 0 ) funksione y = f(x) në pikën x0 e barabartë me pjerrësinë k=tg φ tangjente me grafikun e një funksioni të vizatuar përmes një pike M0 (x 0 , y 0 ) , ku y0 = f(x 0 ) . Kjo është ajo që kuptimi gjeometrik derivatore .

Kështu, ne mund të zëvendësojmë k në f "(x 0 ) dhe merrni sa vijon ekuacioni i tangjentes me grafikun e funksionit :

y - y 0 = f "(x 0 )(x - x 0 ) .

Në detyrat për përpilimin e ekuacionit të një tangjente në grafikun e një funksioni (dhe së shpejti do të kalojmë tek ata), kërkohet të sjellim ekuacionin e marrë nga formula e mësipërme në ekuacioni i përgjithshëm i një drejtëze. Për ta bërë këtë, duhet të transferoni të gjitha shkronjat dhe numrat në anën e majtë të ekuacionit dhe të lini zero në anën e djathtë.

Tani në lidhje me ekuacionin normal. Normale është një drejtëz që kalon nëpër pikën tangjente në grafikun e funksionit pingul me tangjenten. Ekuacioni normal :

(x - x 0 ) + f "(x 0 )(y - y 0 ) = 0

Për të ngrohur shembullin e parë, ju kërkohet ta zgjidhni vetë dhe më pas shikoni zgjidhjen. Ka të gjitha arsyet për të shpresuar se kjo detyrë nuk do të jetë një “dush i ftohtë” për lexuesit tanë.

Shembulli 0. Hartoni ekuacionin e tangjentes dhe ekuacionin e normales me grafikun e funksionit ne nje pike M (1, 1) .

Shembulli 1 Hartoni ekuacionin e tangjentes dhe ekuacionin e normales me grafikun e funksionit nëse abshisa e pikës së prekjes është .

Le të gjejmë derivatin e funksionit:

Tani kemi gjithçka që duhet të zëvendësohet në hyrjen e dhënë në referencën teorike për të marrë ekuacionin tangjent. marrim

Në këtë shembull, ne ishim me fat: pjerrësia doli të jetë e barabartë me zero, kështu që veçmas sillni ekuacionin në pamje e përgjithshme nuk kishte nevojë. Tani mund të shkruajmë ekuacionin normal:

Në figurën më poshtë: një grafik i një funksioni në ngjyrë burgundy, një tangjente në të gjelbër, një normale në portokalli.

Shembulli tjetër nuk është gjithashtu i komplikuar: funksioni, si në atë të mëparshëm, është gjithashtu një polinom, por koeficienti këndor nuk do të jetë i barabartë me zero, kështu që do të shtohet një hap tjetër - duke e sjellë ekuacionin në një formë të përgjithshme.

Shembulli 2

Zgjidhje. Le të gjejmë ordinatën e pikës së prekjes:

Le të gjejmë derivatin e funksionit:

.

Le të gjejmë vlerën e derivatit në pikën e kontaktit, domethënë pjerrësinë e tangjentes:

Ne zëvendësojmë të gjitha të dhënat e marra në "formulën e zbrazët" dhe marrim ekuacionin tangjent:

Ne e sjellim ekuacionin në një formë të përgjithshme (ne mbledhim të gjitha shkronjat dhe numrat përveç zeros në anën e majtë, dhe lëmë zero në anën e djathtë):

Ne hartojmë ekuacionin e normales:

Shembulli 3 Hartoni ekuacionin e tangjentes dhe ekuacionin e normales me grafikun e funksionit nëse abshisa e pikës së kontaktit është .

Zgjidhje. Le të gjejmë ordinatën e pikës së prekjes:

Le të gjejmë derivatin e funksionit:

.

Le të gjejmë vlerën e derivatit në pikën e kontaktit, domethënë pjerrësinë e tangjentes:

.

Gjejmë ekuacionin e tangjentes:

Para se ta çoni ekuacionin në një formë të përgjithshme, duhet ta "kombinoni" pak: shumëzojeni termin me term me 4. Ne e bëjmë këtë dhe e sjellim ekuacionin në një formë të përgjithshme:

Ne hartojmë ekuacionin e normales:

Shembulli 4 Hartoni ekuacionin e tangjentes dhe ekuacionin e normales me grafikun e funksionit nëse abshisa e pikës së kontaktit është .

Zgjidhje. Le të gjejmë ordinatën e pikës së prekjes:

.

Le të gjejmë derivatin e funksionit:

Le të gjejmë vlerën e derivatit në pikën e kontaktit, domethënë pjerrësinë e tangjentes:

.

Marrim ekuacionin tangjent:

Ne e sjellim ekuacionin në një formë të përgjithshme:

Ne hartojmë ekuacionin e normales:

Një gabim i zakonshëm gjatë shkrimit të ekuacioneve tangjente dhe normale është të mos vërehet se funksioni i dhënë në shembull është kompleks dhe të llogaritet derivati ​​i tij si derivat i një funksioni të thjeshtë. Shembujt e mëposhtëm janë tashmë funksione komplekse(mësimi përkatës do të hapet në një dritare të re).

Shembulli 5 Hartoni ekuacionin e tangjentes dhe ekuacionin e normales me grafikun e funksionit nëse abshisa e pikës së kontaktit është .

Zgjidhje. Le të gjejmë ordinatën e pikës së prekjes:

Kujdes! Ky funksion- komplekse, pasi argumenti i tangjentes (2 x) është në vetvete një funksion. Prandaj, derivatin e një funksioni e gjejmë si derivat të një funksioni kompleks.