Ditën e mirë, miq!

Për një kohë të gjatë do t'ju tregoja për këtë projektin tonë, por disi duart nuk më kapën. Dhe këtu është një mrekulli! Duart kanë ardhur! Pra, projekti quhet “Poligonat rreth nesh”. Siç mund ta keni marrë me mend, kjo është puna matematikore që bëmë në klasën e 4-të me vajzën time Alexandra.

Ne iu afruam punës në mënyrë krijuese dhe jemi të sigurt se krijimtaria jonë matematikore mund të jetë e dobishme për ju për të përgatitur abstraktet, projektet ose punimet tuaja kërkimore.

Veprën e titulluam si më poshtë: “Thriller matematik. Gjuetari i poligoneve »

Dhe tani po ju sjell tekstin e plotë, së bashku me të gjitha fotografitë. Historia tregohet në vetën e parë, autori i kësaj vepre shkencore.

Qëllimi i punës: zbatimi praktik i shumëkëndëshave në botën që na rrethon.

Pyetja problematike: çfarë vendi zënë shumëkëndëshat në jetën tonë?

Që nga fëmijëria, ne jemi njohur me lloje të ndryshme poligonesh, por sa shpesh i takojmë në botën përreth nesh, disi nuk mendojmë.

Vendosa të shikoj më nga afër gjërat e njohura në jetën e përditshme dhe të gjej poligone të studiuara në mësimet e matematikës në objektet përreth nesh.

Një ditë, i armatosur deri në dhëmbë me një vizore të gjatë të rëndë, shkova për të gjuajtur shumëkëndësha.

Nuk duhej të shkonte larg. I kërkova në shtëpi.

Shkova te dera e kuzhinës dhe, duke mbledhur vullnetin në grusht, ndeza dritën! Dhe… O tmerr!!! Ndjeva qindra pamje poligonale, të mprehta dhe të hapura, si dhe pamje absolutisht të drejtpërdrejta. Ishin kudo! Ata po më shikonin pa hezitim! Ata nuk kishin frikë nga sundimtari im! Ata as nuk u përpoqën të fshiheshin! Kjo nuk është kuzhinë! Kjo është një mbretëri e vërtetë poligonale! Qindra poligone u ulën në mure (drejtkëndësha në modelin e letër-muri). Nuk kam guxuar as t'i numëroj.

Më dinakë të mbërthyer në tavan (pllakat e tavanit janë në formën e drejtkëndëshave). Më panë me dyshim nga lart.

Dhe ata më arrogantët u futën në enët ... dhe madje u kthyen në to (stoli në enët dhe forma e enëve përfaqësohen nga lloje të ndryshme poligonesh).

Tani e di që shumëkëndëshat pëlqejnë të formojnë petë (gjashtëkëndëshat janë të dukshëm në kallëpin e petullave).

Ata shikojnë se çfarë ha. Dhe madje edhe për atë që ha macja ime (skajet e kutive të ushqimit janë në formën e drejtkëndëshave).

I tmerruar dola nga kuzhina dhe u drejtova ne korridor. Dhe befas pashë ... që një nga poligonet kapi papagajtë e mi (kafazi përbëhet nga elementë të një forme drejtkëndëshe, trekëndore dhe katërkëndore).

Këto figurina të paturpshme nuk kursyen as një fëmijë (elementë konstruktorë). Vëllai im i vogël luante me entuziazëm me ta, pa e ditur rrezikun.

Gjyshja ime e dashur, pa u ndalur, shikoi në një poligon tjetër, i cili i tregoi asaj se çfarë po ndodhte në botë (ekrani i televizorit është një drejtkëndësh).

Dhe befas u dëgjua një zhurmë e mprehtë kërcitëse! "Çfarë është kjo?" Mendova i tronditur. Dhe ishte një tjetër përfaqësues i kësaj mbretërie poligonale (një celular ka formën e një paralelepipedi drejtkëndor) që jepte një zë nga rafti.

Vrapova në çerdhe, duke shpresuar të fshihesha të paktën atje ... Por nuk ia dola.

Shumëkëndësha të ndritshëm e të gëzuar, duke qeshur të lumtur, lëkunden mbi perdet tona (model gjeometrik pëlhure). “Të biesh!”, mendova dhe pashë tryezën time…

Nuk duhej ta kisha bërë... Në tryezën time, dy poligone komplekse po flisnin për diçka. Njëra është blu, tjetra është e kuqe… (pllakat e llambave mund të konsiderohen si një kombinim i trekëndëshave dhe katërkëndëshave).

Dhe pranë tyre, këlyshët e vegjël poligonalë qeshin butësisht (skajet e lapsave janë drejtkëndësha, dhe baza është një gjashtëkëndësh).

Ky nuk është një apartament! Kjo është një strofull poligonesh!!! Ata kanë një fole këtu!

Ata madje festuan Vitin e Ri me ne (forma e shumë dekorimeve të Krishtlindjeve është një kombinim i shumëkëndëshave të ndryshëm)! Dhe ne as që e dinim ...

E kuptova që nuk mund t'u fshihesh askund. Edhe në Egjipt (fytyrat e piramidave janë trekëndësha, bazat janë drejtkëndësha)!

konkluzioni. Kjo botë i përket shumëkëndëshave! Dhe ne duhet të pajtohemi me të. Dhe mësoni të jetoni në harmoni me këto krijesa poligonale.

Këtu kemi një projekt kaq të pazakontë. Falë së cilës, në ditar, Sasha mori pesë të tjera.

Është bërë në programin Power Point në formën e sllajdeve dhe është paraqitur jo vetëm në një orë mësimi matematike, por edhe në konkursin shkollor "Shkenca dhe Kreativiteti", ku është vlerësuar edhe me një diplomë.

Në blogun tonë do të gjeni projekte të tjera matematikore:

Kaq për sot!

Ju dëshirojmë detyra krijuese interesante!

Çfarë do të ndodhte nëse do të kishte vetëm një lloj forme në botë, për shembull, një formë si një drejtkëndësh? Disa gjëra nuk do të ndryshonin fare: dyert, rimorkiot e ngarkesave, fushat e futbollit - të gjitha duken njësoj. Por çfarë ndodh me dorezat e dyerve? Do të ishin pak të çuditshëm. Po rrotat e makinave? Kjo do të ishte joefikase. Po futbolli? Është e vështirë edhe të imagjinohet. Për fat të mirë, bota është plot me forma të ndryshme. A ekzistojnë në natyrë? Po, dhe ka shumë prej tyre.

Çfarë është një shumëkëndësh?

Në mënyrë që një figurë të jetë një shumëkëndësh, nevojiten disa kushte. Së pari, duhet të ketë shumë anë dhe qoshe. Gjithashtu, duhet të jetë një formë e mbyllur. është një figurë me të gjitha brinjët dhe këndet e barabarta. Prandaj, për atë të gabuar, ato mund të deformohen pak.

Llojet e shumëkëndëshave të rregullt

Sa është numri minimal i brinjëve që mund të ketë një shumëkëndësh i rregullt? Një vijë nuk mund të ketë shumë anë. Të dy palët gjithashtu nuk mund të takohen dhe të formojnë një formë të mbyllur. Dhe tre anët munden - kështu që ju merrni një trekëndësh. Dhe meqenëse po flasim për shumëkëndësha të rregullt, ku të gjitha anët dhe këndet janë të barabarta, nënkuptojmë

Nëse shtoni një anë më shumë, ju merrni një katror. A mundet një drejtkëndësh ku brinjët nuk janë të barabarta të jetë shumëkëndësh i rregullt? Jo, kjo shifër do të quhet drejtkëndësh. Nëse shtoni anën e pestë, ju merrni një pesëkëndësh. Prandaj, ka gjashtëkëndësh, shtatëkëndësh, tetëkëndësh, e kështu me radhë ad infinitum.

Gjeometri elementare

Shumëkëndëshat vijnë në lloje të ndryshme: të hapura, të mbyllura dhe vetë-ndërprerëse. Në gjeometrinë elementare, një poligon është një figurë e sheshtë, e cila kufizohet nga një zinxhir i fundëm i segmenteve të drejtëza në formën e një polivije ose konture të mbyllur. Këto segmente janë skajet ose anët e tij, dhe pikat ku takohen dy skajet janë kulmet dhe qoshet e tij. Brendësia e një shumëkëndëshi nganjëherë quhet trupi i tij.

Polyedra në natyrë dhe në jetën e njeriut

Ndërsa shumë forma të gjalla janë të bollshme në modele pesëkëndëshe, bota minerale favorizon simetrinë e dyfishtë, të trefishtë, të katërfishtë dhe të gjashtëfishtë. Gjashtëkëndëshi është një formë e dendur që siguron efikasitet maksimal strukturor. Është shumë e zakonshme në fushën e molekulave dhe kristaleve, në të cilat forma pesëkëndëshe pothuajse nuk gjenden kurrë. Steroidet, kolesteroli, benzeni, vitaminat C dhe D, aspirina, sheqeri, grafiti janë të gjitha manifestime të simetrisë së gjashtëfishtë. Ku gjenden poliedrat e rregullt në natyrë? Arkitektura më e famshme gjashtëkëndore është krijuar nga bletët, grerëzat dhe grerëzat.

Gjashtë molekula uji formojnë thelbin e secilit kristal bore. Kështu bëhet një fjollë dëbore. Faqet e syrit të mizës formojnë një rregullim gjashtëkëndor të mbushur dendur. Cilat poliedra të tjera të rregullta ekzistojnë në natyrë? Këto janë kristalet e ujit dhe diamantit, kolonat e bazaltit, qelizat epiteliale në sy, disa qeliza bimore dhe shumë më tepër. Kështu, poliedronët e krijuar nga natyra, të gjalla dhe të pajetë, janë të pranishëm në jetën e njeriut në një numër dhe shumëllojshmëri të madhe.

Cila është arsyeja e popullaritetit të gjashtëkëndëshave?

Flokët e borës, molekulat organike, kristalet e kuarcit dhe bazaltet kolone janë gjashtëkëndëshe. Arsyeja për këtë është simetria e tyre e natyrshme. Shembulli më i mrekullueshëm është huall mjalti, struktura gjashtëkëndore e të cilit minimizon mungesën e hapësirës, ​​pasi e gjithë sipërfaqja përdoret në mënyrë shumë racionale. Pse të ndahen në qeliza identike? Bletët krijojnë poliedrone të rregullta në natyrë për t'i përdorur ato për nevojat e tyre, duke përfshirë ruajtjen e mjaltit dhe vendosjen e vezëve. Pse natyra preferon gjashtëkëndëshat? Përgjigjen për këtë pyetje mund ta japë matematika elementare.

• Trekëndëshat. Merrni 428 trekëndësha barabrinjës me brinjë rreth 7,35 mm. Gjatësia totale e tyre është 3 * 7,35 mm * 428/2 = 47,2 cm.
• Drejtkëndëshat. Merrni 428 katrorë me një anë prej rreth 4,84 mm, gjatësia totale e tyre është 4 * 4,84 m * 428/2 = 41,4 cm.
• Gjashtëkëndëshat. Dhe së fundi, merrni 428 gjashtëkëndësha me një anë prej 3 mm, gjatësia e tyre totale është 6 * 3 mm * 428/2 = 38,5 cm.

E dukshme është fitorja e gjashtëkëndëshave. Është kjo formë që ndihmon për të minimizuar hapësirën në maksimum dhe ju lejon të vendosni sa më shumë figura në një zonë më të vogël. Huall mjalti në të cilin bletët ruajnë nektarin e tyre qelibar është një mrekulli e inxhinierisë precize, një grup qelizash në formë prizmi me një seksion kryq gjashtëkëndor të përkryer. Muret e dyllit janë bërë në një trashësi shumë precize, qelizat janë të anuara me kujdes për të parandaluar rënien e mjaltit të egër dhe e gjithë struktura është në linjë me fushën magnetike të tokës. Çuditërisht, bletët punojnë njëkohësisht, duke koordinuar përpjekjet e tyre.

Pse gjashtëkëndësha? Është gjeometri e thjeshtë

Nëse dëshironi të vendosni qeliza me të njëjtën formë dhe madhësi së bashku në mënyrë që të mbushin të gjithë rrafshin, atëherë do të funksionojnë vetëm tre forma të rregullta (me të gjitha anët dhe me të njëjtat kënde): trekëndëshat barabrinjës, katrorët dhe gjashtëkëndëshat. Nga këto, qelizat gjashtëkëndore kërkojnë gjatësinë më të vogël të përgjithshme të murit në krahasim me trekëndëshat ose katrorët e së njëjtës zonë.

Pra, zgjedhja e gjashtëkëndëshave nga bletët ka kuptim. Në shekullin e 18-të, shkencëtari Charles Darwin deklaroi se huallet gjashtëkëndore të mjaltit ishin "absolutisht ideale për të kursyer punën dhe dyllin". Ai besonte se seleksionimi natyror u jepte bletëve instinktin për të krijuar këto dhoma dylli, të cilat kishin avantazhin se kërkonin më pak energji dhe kohë sesa format e tjera.

Shembuj të poliedrave në natyrë

Sytë e përbërë të disa insekteve janë të mbushura në një gjashtëkëndësh, ku secila fytyrë është një lente e lidhur me një qelizë të gjatë të hollë të retinës. Strukturat që formohen nga grupe qelizash biologjike shpesh kanë forma të rregulluara nga të njëjtat rregulla si flluskat në ujin me sapun. Struktura mikroskopike e faqes së syrit është një nga shembujt më të mirë. Çdo aspekt përmban një grup prej katër qelizave fotosensitive, të cilat kanë të njëjtën formë si grupi i katër vezikulave të rregullta.

Çfarë i përcakton këto rregulla të filmit të sapunit dhe forma të flluskave? Natyra është edhe më e shqetësuar për ekonominë sesa bletët. Flluskat dhe filmat e sapunit janë bërë nga uji (me sapun të shtuar), dhe tensioni sipërfaqësor e tërheq sipërfaqen e lëngut në atë mënyrë që t'i japë asaj sa më pak sipërfaqe të jetë e mundur. Kjo është arsyeja pse pikat janë sferike (pak a shumë) kur bien: një sferë ka më pak sipërfaqe se çdo formë tjetër me të njëjtin vëllim. Në një fletë dylli, pikat e ujit tërhiqen në rruaza të vogla për të njëjtën arsye.

Ky tension sipërfaqësor shpjegon modelet e trapeve të flluskave dhe shkumës. Shkuma do të kërkojë strukturën që ka tensionin total sipërfaqësor më të ulët, e cila do të sigurojë sipërfaqen më të vogël të murit. Megjithëse gjeometria e filmave të sapunit diktohet nga ndërveprimi i forcave mekanike, ajo nuk na tregon se cila do të jetë forma e shkumës. Një shkumë tipike përmban qeliza poliedrike të formave dhe madhësive të ndryshme. Nëse shikoni nga afër, atëherë poliedrat e rregullt në natyrë nuk janë aq të sakta. Skajet e tyre rrallë janë krejtësisht të drejta.

Korrigjoni flluskat

Le të supozojmë se ju mund të bëni një shkumë "perfekte" në të cilën të gjitha flluskat kanë të njëjtën madhësi. Cila është forma perfekte e qelizës që e bën sipërfaqen totale të murit të flluskës sa më të vogël. Kjo është diskutuar për shumë vite, dhe për një kohë të gjatë besohej se forma ideale e qelizës është një shumëfaqësh 14 anësh me anët katrore dhe gjashtëkëndore.

Në vitin 1993, u zbulua një strukturë më ekonomike, por më pak e renditur, e përbërë nga një grup i përsëritur prej tetë formash të ndryshme qelizash. Ky model më kompleks u përdor si frymëzim për dizajnin me shkumë të stadiumit të notit gjatë Lojërave Olimpike të Pekinit 2008.

Rregullat e formimit të qelizave në shkumë kontrollojnë gjithashtu disa nga modelet e vërejtura në qelizat e gjalla. Nuk është vetëm syri i përbërë i mizës që tregon të njëjtën grumbullim gjashtëkëndor të aspekteve si flluska e sheshtë. Qelizat e ndjeshme ndaj dritës brenda secilës prej lenteve individuale gjithashtu grumbullohen në grupe që duken njësoj si flluska sapuni.

Bota e poliedrave në natyrë

Qelizat e shumë llojeve të ndryshme të organizmave, nga bimët tek minjtë, përmbajnë membrana me këto struktura mikroskopike. Askush nuk e di se për çfarë shërbejnë, por ato janë aq të përhapura sa është e drejtë të supozohet se kanë ndonjë rol të dobishëm. Ndoshta ata izolojnë një proces biokimik nga një tjetër, duke shmangur ndërhyrjet e kryqëzuara.

Ose ndoshta është thjesht një mënyrë efikase për të krijuar një plan të madh pune, pasi shumë procese biokimike ndodhin në sipërfaqen e membranave, ku mund të futen enzimat dhe molekula të tjera aktive. Cilido qoftë funksioni i poliedrave në natyrë, mos u shqetësoni të krijoni udhëzime komplekse gjenetike, sepse ligjet e fizikës do ta bëjnë këtë për ju.

Disa flutura kanë luspa me krahë që përmbajnë një labirint të renditur të një materiali të fortë të quajtur kitin. Ekspozimi ndaj valëve të dritës që kërcejnë nga kreshtat normale dhe strukturat e tjera në sipërfaqen e një krahu bën që disa gjatësi vale (d.m.th. disa ngjyra) të zbehen ndërsa të tjerat përforcojnë njëra-tjetrën. Kështu, struktura poligonale ofron një mjet të shkëlqyer për prodhimin e ngjyrës së kafshëve.

Për të bërë rrjete të renditura nga një mineral i ngurtë, disa organizma duket se formojnë një myk nga membrana të buta, fleksibël dhe më pas kristalizojnë materialin e fortë brenda një prej rrjeteve ndërdepërtuese. Struktura huall mjalti e kanaleve mikroskopike të zbrazëta brenda gjembave kitinoze të të pazakontit të njohur si miu i detit i kthen këto struktura të ngjashme me flokët në fibra optike natyrale që mund të drejtojnë dritën, duke e ndryshuar atë nga e kuqja në blu-jeshile në varësi të drejtimit të dritës. Ky ndryshim i ngjyrës mund të shërbejë për të penguar grabitqarët.

Natyra e di më mirë

Flora dhe fauna janë të mbushura me shembuj të poliedronëve në jetën e egër, si dhe me botën e pajetë të gurëve dhe mineraleve. Nga një këndvështrim thjesht evolucionar, struktura gjashtëkëndore është lider në optimizimin e energjisë. Përveç avantazheve të dukshme (kursimi i hapësirës), rrjetat poliedrike ofrojnë një numër të madh fytyrash, prandaj, numri i fqinjëve rritet, gjë që ka një efekt të dobishëm në të gjithë strukturën. Rezultati përfundimtar i kësaj është se informacioni përhapet shumë më shpejt. Pse poliedrat e rregullt gjashtëkëndor dhe të parregullt të yjeve janë kaq të zakonshme në natyrë? Ndoshta kaq e nevojshme. Natyra e di më mirë, ajo e di më mirë.

Një person tregon interes për poliedrat gjatë gjithë veprimtarisë së tij të ndërgjegjshme - nga një fëmijë dyvjeçar që luan me kube druri deri te një matematikan i pjekur. Disa nga trupat e rregullt dhe gjysmë të rregullt ndodhin në natyrë në formën e kristaleve, të tjerët në formën e viruseve që mund të shihen vetëm me një mikroskop elektronik. Çfarë është një poliedron? Për t'iu përgjigjur kësaj pyetjeje, le të kujtojmë se vetë gjeometria ndonjëherë përkufizohet si shkenca e hapësirës dhe figurave hapësinore - dy-dimensionale dhe tre-dimensionale. Një figurë dydimensionale mund të përkufizohet si një grup segmentesh vijash që kufizojnë një pjesë të një rrafshi. Një figurë e tillë e sheshtë quhet shumëkëndësh. Nga kjo rrjedh se një shumëfaqësh mund të përkufizohet si një grup poligonesh që kufizojnë një pjesë të hapësirës tre-dimensionale. Shumëkëndëshat që formojnë një shumëkëndësh quhen faqet e tij.

Që nga kohërat e lashta, shkencëtarët kanë qenë të interesuar për shumëkëndëshat "ideal" ose të rregullt, domethënë shumëkëndëshat që kanë brinjë dhe kënde të barabarta. Një trekëndësh barabrinjës mund të konsiderohet shumëkëndëshi më i thjeshtë i rregullt, pasi ka numrin më të vogël të brinjëve që mund të kufizojnë një pjesë të një rrafshi. Pamja e përgjithshme e shumëkëndëshave të rregullt me ​​interes për ne, së bashku me një trekëndësh barabrinjës, përbëhet nga: një katror (katër brinjë), një pesëkëndësh (pesë anë), një gjashtëkëndësh (gjashtë anë), një tetëkëndësh (tetë brinjë), një dhjetëkëndësh (dhjetë brinjë), etj. Natyrisht, teorikisht nuk ka kufizime në numrin e brinjëve të një shumëkëndëshi të rregullt, domethënë, numri i shumëkëndëshave të rregullt është i pafund.

Çfarë është një poliedron i rregullt? Një shumëkëndësh i tillë quhet i rregullt nëse të gjitha faqet e tij janë të barabarta (ose kongruente, siç është zakon në matematikë) me njëra-tjetrën dhe, në të njëjtën kohë, janë shumëkëndësha të rregullt. Sa poliedra të rregullta ka? Në pamje të parë, përgjigja për këtë pyetje është shumë e thjeshtë - aq sa ka shumëkëndësha të rregullt, domethënë në shikim të parë duket se mund të krijoni një shumëkëndësh të rregullt, anët e të cilit mund të jenë çdo shumëkëndësh i rregullt. Megjithatë, nuk është kështu. Tashmë në Elementet e Euklidit u vërtetua me rigorozitet se numri i shumëkëndëshave të rregullt është shumë i kufizuar dhe se ekzistojnë vetëm pesë poliedra të rregullt, fytyrat e të cilave mund të jenë vetëm tre lloje shumëkëndëshash të rregullt: trekëndëshat, katrorët dhe pesëkëndëshat. Këto poliedra të rregullta quhen trupat e ngurtë platonike. E para është tetrahedroni. Fytyrat e tij janë katër trekëndësha barabrinjës. Tetraedri ka numrin më të vogël të faqeve midis trupave të ngurtë platonikë dhe është analog tredimensional i një trekëndëshi të rregullt të sheshtë, i cili ka numrin më të vogël të brinjëve midis shumëkëndëshave të rregullt. Fjala "tetrahedron" vjen nga greqishtja "tetra" - katër dhe "edra" - bazë. Është një piramidë trekëndore. Trupi tjetër është një gjashtëkëndor, i quajtur gjithashtu një kub. Gjashtëkëndëshi ka gjashtë fytyra, të cilat janë katrore. Fytyrat e oktaedrit janë trekëndësha të rregullt dhe numri i tyre në tetëkëndësh është tetë. Numri tjetër më i madh i fytyrave është dodekaedri. Fytyrat e tij janë pesëkëndësha dhe numri i tyre në dodekahedron është dymbëdhjetë. Ikozaedroni mbyll pesë trupat e ngurtë platonike. Fytyrat e tij janë trekëndësha të rregullt dhe numri i tyre është njëzet.

Në punën time, merren parasysh përkufizimet dhe vetitë kryesore të poliedrave konveks. Ekzistenca e vetëm pesë poliedrave të rregullt është vërtetuar. Marrëdhëniet për piramidën e rregullt n-gonale dhe tetraedrin e rregullt, të cilat janë më të zakonshmet në problemet e stereometrisë, janë shqyrtuar në detaje. Punimi paraqet një sasi të madhe materiali analitik dhe ilustrues që mund të përdoret në studimin e disa seksioneve të stereometrisë.

Studimet e Platonit

Platoni krijoi një teori shumë interesante. Ai sugjeroi që atomet e katër "elementeve bazë" (toka, uji, ajri dhe zjarri), nga të cilët janë ndërtuar të gjitha gjërat, të kenë formën e shumëkëndëshave të rregullt: një tetraedron - zjarr, një gjashtëkëndor (kub) - tokë, një oktaedron - ajër, një ikozaedron - ujë. Polyedri i pestë - dodekaedri - simbolizonte "Mendjen e Madhe" ose "Harmoninë e Universit". Grimcat e tre elementeve që shndërrohen lehtësisht në njëri-tjetrin, domethënë zjarri, ajri dhe uji, rezultuan të përbëheshin nga figura identike - trekëndësha të rregullt. Dhe toka, e cila është dukshëm e ndryshme prej tyre, përbëhet nga grimca të një lloji tjetër - kube, ose më saktë katrorë. Platoni i shpjegoi shumë qartë të gjitha shndërrimet me ndihmën e trekëndëshave. Në kaosin e shqetësuar, dy grimca ajri takohen me një grimcë zjarri, domethënë dy oktaedra takohen me një katërkëndor. Dy oktaedra kanë gjithsej gjashtëmbëdhjetë fytyra trekëndore, një katërkëndësh ka katër. Gjithsej njëzet. Nga njëzet, një ikozaedron formohet lehtësisht, dhe kjo është një grimcë uji.

Kozmologjia e Platonit u bë baza e të ashtuquajturës doktrinë ikozaedral-dodekaedral, e cila që atëherë ka kaluar si një fije e kuqe në të gjithë shkencën njerëzore. Thelbi i kësaj doktrine është se dodekaedri dhe ikozaedri janë forma tipike të natyrës në të gjitha manifestimet e saj, nga kozmosi në mikrobotë.

Polyedra të rregullta

Polyedrat e rregullta kanë tërhequr vëmendjen e shkencëtarëve, ndërtuesve, arkitektëve dhe shumë të tjerëve që nga kohërat e lashta. Ata u goditën nga bukuria, përsosmëria, harmonia e këtyre poliedronëve. Pitagorianët i konsideronin këto poliedra si hyjnore dhe i përdorën në shkrimet e tyre filozofike për thelbin e botës. Libri i fundit, i 13-të i "Fillimeve" të famshme të Euklidit i kushtohet poliedrave të rregullt.

Ne përsërisim se një shumëkëndësh konveks quhet i rregullt nëse faqet e tij janë shumëkëndësha të rregullta të barabarta dhe i njëjti numër faqesh konvergojnë në secilën kulm.

Shumëfaqëshi më i thjeshtë i tillë i rregullt "është një piramidë trekëndore, faqet e së cilës janë trekëndësha të rregullt. Tri fytyra konvergojnë në secilën nga kulmet e saj. Duke pasur të katër fytyrat, ky poliedron quhet edhe tetraedron, që do të thotë "katërkëndësh" në greqisht. .

Ndonjëherë një tetrahedron quhet edhe një piramidë arbitrare. Prandaj, në rastin kur flasim për një shumëfaqësh të rregullt, do të themi - një katërkëndor i rregullt.

Një shumëkëndësh, faqet e të cilit janë trekëndësha të rregullt dhe në çdo kulm konvergojnë katër faqe, sipërfaqja e të cilit përbëhet nga tetë trekëndësha të rregullt, quhet tetëkëndësh.

Një shumëkëndësh, në secilën kulm të të cilit konvergojnë pesë trekëndësha të rregullt, sipërfaqja e të cilit përbëhet nga njëzet trekëndësha të rregullt, quhet ikozaedron.

Vini re se meqenëse më shumë se pesë trekëndësha të rregullt nuk mund të konvergojnë në kulmet e një shumëkëndëshi konveks, nuk ka shumëkëndësha të rregullt, faqet e të cilave janë trekëndësha të rregullt.

Në mënyrë të ngjashme, meqenëse vetëm tre katrorë mund të konvergojnë në kulmet e një shumëkëndëshi konveks, nuk ka shumëkënda të tjera të rregullta me katrorë si faqe përveç kubit. Një kub ka gjashtë anë dhe për këtë arsye quhet gjashtëkëndor.

Një shumëfaqësh, fytyrat e të cilit janë pesëkëndësha të rregullt dhe tre faqe konvergojnë në secilën kulm. Sipërfaqja e saj përbëhet nga dymbëdhjetë pesëkëndësha të rregullt, quhet dodekahedron.

Meqenëse shumëkëndëshat e rregullt me ​​më shumë se pesë brinjë nuk mund të konvergojnë në kulmet e një Polyedri konveks, nuk ka poliedra të tjerë të rregullt, dhe kështu ekzistojnë vetëm pesë poliedra të rregullt: katërkëndësh, gjashtëkëndësh (kub), tetëedron, dodekaedron, ikozaedron.

Emrat e poliedrave të rregullt vijnë nga Greqia. Në përkthimin fjalë për fjalë nga greqishtja "tetrahedron", "oktaedron", "gjashtëkëndësh", "dodekahedron", "ikosaedron" do të thotë: "tetrahedron", "oktahedron", "gjashtëkëndësh". dodekahedron, dodekahedron. Libri i 13-të i Elementeve të Euklidit u kushtohet këtyre trupave të bukur. Ata quhen edhe trupat e Platonit, sepse zinin një vend të rëndësishëm në konceptin filozofik të Platonit për strukturën e universit.

Dhe tani le të shohim se sa veti, lema dhe teorema lidhen me këto figura.

Le të shqyrtojmë një kënd shumëkëndor me kulmin S, ku të gjithë këndet e sheshta dhe dykëndësh janë të barabartë. Në skajet e tij zgjedhim pikat A1, A2, An në mënyrë që SA1 = SA2 = SAn. Atëherë pikat A1, A2, An shtrihen në të njëjtin rrafsh dhe janë kulme të një këndi n të rregullt.

Dëshmi.

Le të vërtetojmë se çdo pikë e njëpasnjëshme shtrihet në të njëjtin rrafsh. Konsideroni katër pika të njëpasnjëshme A1, A2, A3 dhe A4. Piramidat SA1 A2 A3 dhe SA2 A3 A4 janë të barabarta, pasi ato mund të kombinohen duke kombinuar skajet SA2 dhe SA3 (natyrisht, janë marrë skajet e piramidave të ndryshme) dhe këndet dihedrale në këto skaje. Në mënyrë të ngjashme, mund të tregohet se piramidat SA1 A3A4 dhe SA1 A2 A4 janë të barabarta, pasi të gjitha skajet e tyre janë të barabarta. Kjo nënkupton barazinë

Nga barazia e fundit rezulton se vëllimi i piramidës A1A2A3A4 është i barabartë me zero, domethënë këto katër pika shtrihen në të njëjtin rrafsh. Prandaj, të gjitha n pikat shtrihen në të njëjtin rrafsh, dhe në këndin n A1 A2 An të gjitha anët dhe këndet janë të barabarta. Prandaj, është e saktë dhe lema vërtetohet.

Le të vërtetojmë se ekzistojnë më së shumti pesë lloje të ndryshme të poliedrave të rregullt.

Dëshmi.

Nga përkufizimi i një shumëkëndëshi të rregullt rezulton se vetëm trekëndëshat, katërkëndëshat dhe pesëkëndëshat mund të jenë faqet e tij. Në të vërtetë, le të provojmë, për shembull, se fytyrat nuk mund të jenë gjashtëkëndësha të rregullt. Sipas përkufizimit të një poliedri të rregullt, të paktën tre faqe duhet të konvergojnë në secilën nga kulmet e tij. Megjithatë, në një gjashtëkëndësh të rregullt, këndet janë 120°. Rezulton se shuma e tre këndeve të rrafshët të një këndi shumëkëndor konveks është 360°, gjë që është e pamundur, pasi kjo shumë është gjithmonë më e vogël se 360°. Për më tepër, faqet e një poliedri të rregullt nuk mund të jenë poligone me një numër të madh brinjësh.

Le të zbulojmë se sa fytyra mund të konvergojnë në një kulm të një shumëkëndëshi të rregullt. Nëse të gjitha faqet e tij janë trekëndësha të rregullt, atëherë jo më shumë se pesë trekëndësha mund të ngjiten me secilën kulm, pasi përndryshe shuma e këndeve të rrafshët në këtë kulm do të jetë së paku 360°, gjë që, siç e pamë, është e pamundur. Pra, nëse të gjitha fytyrat e një poliedri të rregullt janë trekëndësha të rregullt, atëherë tre, katër ose pesë trekëndësha ngjiten me secilën kulm. Me arsyetim analog, sigurohemi që në çdo kulm të një shumëkëndëshi të rregullt, faqet e të cilit janë katërkëndësha dhe pesëkëndësha të rregullt, konvergojnë saktësisht tre skaje.

Le të provojmë tani se ekziston vetëm një shumëfaqësh i një lloji të caktuar me një gjatësi fikse të skajit. Merrni, për shembull, rastin kur të gjitha fytyrat janë pesëkëndësha të rregullt. Supozoni të kundërtën: le të jenë dy poliedra, të gjitha fytyrat e të cilave janë pesëkëndësha të rregullt me ​​anë a dhe të gjithë këndet dykëndësh në secilin shumëfaqësh janë të barabartë me njëri-tjetrin. Vini re se jo të gjithë këndet dykëndësh të një shumëedri janë domosdoshmërisht të barabarta me këndet dyhedrale të një shumëkëndëshi tjetër: kjo është ajo që do të vërtetojmë tani.

Siç kemi treguar, tre skaje dalin nga çdo kulm i çdo poliedri. Lërini skajet AB, AC dhe AD të dalin nga kulmi A i njërit shumëfaqësh dhe skajet A1B1, A1C1 dhe A1D1 të dalin nga kulmi A1 i tjetrit. ABCD dhe A1B1C1D1 janë piramida të rregullta trekëndore, pasi ato kanë skaje të barabarta që dalin nga kulmet A dhe A1 dhe kënde të sheshta në këto kulme.

Nga kjo rrjedh se këndet dyhedrale të njërit shumëfaqësh janë të barabartë me këndet dykëndësh të tjetrit. Prandaj, nëse kombinojmë piramidat ABCD dhe A1B1C1D1, atëherë edhe vetë poliedrat do të jenë të pajtueshme. Prandaj, nëse ekziston një shumëfaqësh i rregullt, të gjitha fytyrat e të cilit janë pesëkëndësha të rregullt me ​​anë a, atëherë një shumëkëndësh i tillë është unik.

Polyedra të tjera konsiderohen në mënyrë të ngjashme. Në rastin kur të gjitha faqet janë trekëndësha dhe katër ose pesë trekëndësha ngjiten me secilën kulm, duhet përdorur Lema 2. dhe një pesëkëndësh. Teorema është vërtetuar.

Vini re se kjo teoremë nuk nënkupton se ekzistojnë saktësisht pesë lloje të poliedrave të rregullt. Teorema thotë vetëm se ka më së shumti pesë lloje të tilla, dhe tani na mbetet të vërtetojmë se ekzistojnë vërtet pesë nga këto lloje duke paraqitur të pesë llojet e poliedrave.

Piramida e rregullt n-gonale

Konsideroni një piramidë të rregullt n-gonale. Ky poliedron haset shpesh në problemet stereometrike, dhe për këtë arsye një studim më i detajuar dhe i plotë i vetive të tij është me interes të madh. Për më tepër, një nga poliedrat tanë të rregullt - tetraedri - është ai.

Le të jetë SA1A2 An një piramidë e rregullt n-gonale. Le të prezantojmë shënimin e mëposhtëm:

α është këndi i prirjes së brinjës anësore në rrafshin e bazës;

β është këndi dihedral në bazë;

γ është këndi i sheshtë në krye;

δ është këndi dihedral në skajin anësor.

Le të jetë O qendra e bazës së piramidës, B mesi i skajit A1A2, D pika e kryqëzimit të segmenteve A1A3 dhe OA2, C pika në skajin anësor SA2 në mënyrë që A1CSA2, E pika e kryqëzimit të segmenteve SB dhe A1C, K pika e kryqëzimit të segmenteve A1A3 dhe OV. Le të A1OA2=. Është e lehtë për t'u treguar

Ne gjithashtu shënojmë lartësinë e piramidës përmes H, apotemën - përmes m, skajin anësor - përmes l, anën e bazës - përmes a, dhe përmes r dhe R - rrezet e rrathëve të gdhendur në bazë dhe të përshkruara rreth tij.

Më poshtë janë raportet ndërmjet këndeve α, β, γ, δ të një piramide të rregullt n-gonale, të formuluara në formën e teoremave.

tetraedron i rregullt

Vetitë e tij

Zbatimi i marrëdhënieve të marra në seksionin e mëparshëm në një katërkëndor të rregullt na lejon të marrim një sërë marrëdhëniesh interesante për këtë të fundit. Në këtë seksion do të paraqesim formulat e marra për këtë rast specifik dhe, përveç kësaj, do të gjejmë shprehje për disa karakteristika të një katërkëndëshi të rregullt, si p.sh. vëllimi, sipërfaqja totale dhe të ngjashme.

Duke ndjekur shënimin e seksionit të mëparshëm, merrni parasysh tetraedrin e rregullt SA1A2A3 me gjatësi të skajit a. Ne e lëmë shënimin për këndet e tij të njëjtë dhe i llogarisim ato.

Në një trekëndësh të rregullt, gjatësia e lartësisë është e barabartë. Meqenëse ky trekëndësh është i rregullt, lartësia e tij është njëkohësisht një përgjysmues dhe një mesatare. Mediat, siç e dini, ndahen me pikën e kryqëzimit të tyre në një raport 2: 1, duke numëruar nga lart. Është e lehtë të gjesh pikën e kryqëzimit të medianave. Meqenëse katërkëndëshi është i rregullt, kjo pikë do të jetë pika O - qendra e trekëndëshit të rregullt A1A2A3. Baza e lartësisë së një tetraedri të rregullt, e rënë nga pika S, projekton gjithashtu në pikën O. Prandaj,. Në një trekëndësh të rregullt SA1A2, gjatësia e apotemës së tetraedrit është e barabartë. Le të zbatojmë teoremën e Pitagorës për Δ SBO:. Nga këtu.

Kështu, lartësia e një tetraedri të rregullt është e barabartë me.

Zona e bazës së një tetraedri - një trekëndësh i rregullt:

Pra, vëllimi i një tetraedri të rregullt është:

Sipërfaqja totale e një tetraedri është katër herë më e madhe se sipërfaqja e bazës së tij.

Këndi dihedral në faqen anësore për një katërkëndor të rregullt është padyshim i barabartë me këndin e prirjes së faqes anësore ndaj planit bazë:

Këndi i rrafshët në kulmin e një tetraedri të rregullt është i barabartë me.

Këndi i prirjes së brinjës anësore në rrafshin e bazës mund të gjendet nga:

Rrezja e një sfere të brendashkruar për një katërkëndor të rregullt mund të gjendet nga një formulë e njohur që e lidh atë me vëllimin dhe sipërfaqen totale të tetraedrit (vini re se formula e fundit është e vlefshme për çdo poliedron në të cilin një sferë mund të jetë të gdhendura). Në rastin tonë, ne kemi

Gjeni rrezen e sferës së rrethuar. Qendra e sferës e rrethuar rreth një tetraedri të rregullt shtrihet në lartësinë e tij, pasi është drejtëza SO që është pingul me rrafshin e bazës dhe kalon nga qendra e saj, dhe kjo vijë duhet të përmbajë një pikë të barabartë nga të gjitha kulmet e bazës. të katërkëndëshit. Le të jetë kjo pika O1, pastaj O1S=O1A2=R. Ne kemi. Le të zbatojmë teoremën e Pitagorës në trekëndëshat BA2O1 dhe BO1O:

Vini re se R = 3r, r + R = H.

Është interesante të llogaritet, domethënë këndi në të cilin skaji i një tetraedri të rregullt është i dukshëm nga qendra e sferës së përshkruar. Le ta gjejmë:

Kjo është një vlerë e njohur për ne nga kursi i kimisë: ky është këndi midis lidhjeve C–H në molekulën e metanit, i cili mund të matet me shumë saktësi në eksperiment, dhe meqenëse asnjë atom i vetëm hidrogjeni në molekulën CH4 nuk është padyshim e izoluar nga çdo gjë, është e arsyeshme të supozohet se kjo molekulë ka formën e një tetraedri të rregullt. Ky fakt konfirmohet nga fotografitë e një molekule metani të marrë duke përdorur një mikroskop elektronik.

Heksaedron i rregullt (kub)

Lloji i fytyrës katror

Numri i fytyrave 6

Numri i brinjëve 12

Numri i majave 8

Këndi i sheshtë 90 o

Shuma e këndeve të sheshta 270 o

A ka një qendër simetrie Po (pika e kryqëzimit të diagonaleve)

Numri i boshteve të simetrisë 9

Numri i planeve të simetrisë 9

Tetëkëndësh i rregullt

Numri i fytyrave 8

Numri i brinjëve 12

Numri i majave 6

Këndi i sheshtë 60o

Numri i qosheve të sheshta në kulm 4

Shuma e këndeve të sheshta 240o

A ka një bosht simetrie Po

Ekzistenca e një oktaedri të rregullt

Konsideroni katrorin ABCD dhe ndërtoni mbi të, si në bazë, në të dy anët e rrafshit të tij piramida katërkëndëshe, skajet anësore të të cilave janë të barabarta me anët e katrorit. Shumëfaqëshi që rezulton do të jetë një tetëkëndësh.

Për ta vërtetuar këtë, na mbetet të kontrollojmë që të gjitha këndet dihedrale të jenë të barabarta. Në të vërtetë, le të jetë O qendra e katrorit ABCD. Duke lidhur pikën O me të gjitha kulmet e poliedrit tonë, marrim tetë piramida trekëndore me një kulm të përbashkët O. Konsideroni njërën prej tyre, për shembull, ABEO. AO = BO = EO dhe, për më tepër, këto skaje janë pingul në çift. Piramida ABEO është e rregullt, pasi baza e saj është një trekëndësh i rregullt ABE. Prandaj, të gjitha këndet dihedrale në bazë janë të barabarta. Në mënyrë të ngjashme, të tetë piramidat me kulm në pikën O dhe bazat - faqet e tetëkëndëshit ABCDEG - janë të rregullta dhe, për më tepër, janë të barabarta me njëra-tjetrën. Kjo do të thotë që të gjithë këndet dykëndësh të këtij tetëedri janë të barabartë, pasi secila prej tyre është dyfishi i këndit dihedral në bazën e secilës prej piramidave.

*Vini re një fakt interesant që lidhet me gjashtëkëndëshin (kubin) dhe tetëkëndëshin. Një kub ka 6 faqe, 12 skaje dhe 8 kulme, ndërsa një tetëkëndësh ka 8 fytyra, 12 skaje dhe 6 kulme. Kjo do të thotë, numri i faqeve të një poliedri është i barabartë me numrin e kulmeve të tjetrit dhe anasjelltas. Kubi dhe gjashtëkëndëshi thuhet se janë të dyfishtë me njëri-tjetrin. Kjo manifestohet gjithashtu në faktin se nëse merrni një kub dhe ndërtoni një shumëkëndësh me kulme në qendrat e faqeve të tij, atëherë, siç mund ta shihni lehtësisht, ju merrni një tetëkëndor. E kundërta është gjithashtu e vërtetë - qendrat e faqeve të oktaedrit shërbejnë si kulme të kubit. Ky është dualiteti i oktaedrit dhe kubit.

Është e lehtë të kuptojmë se nëse marrim qendrat e fytyrave të një katërkëndëshi të rregullt, atëherë përsëri marrim një katërkëndor të rregullt. Kështu, tetrahedroni është i dyfishtë në vetvete. *

Ikozaedron i rregullt

Pamja e fytyrës Trekëndësh i drejtë

Numri i fytyrave 20

Numri i brinjëve 30

Numri i majave 12

Këndi i sheshtë 60 o

Numri i qosheve të sheshta në kulm 5

Shuma e këndeve të sheshta 300 o

A ka një qendër simetrie Po

Numri i boshteve të simetrisë Disa

Numri i planeve të simetrisë Disa

Ekzistenca e një ikozaedri të rregullt

Ekziston një shumëfaqësh i rregullt në të cilin të gjitha faqet janë trekëndësha të rregullt dhe 5 skaje dalin nga çdo kulm. Ky poliedron ka 20 faqe, 30 skaje, 12 kulme dhe quhet ikozaedron (icosi - njëzet).

Dëshmi

Konsideroni oktaedrin ABCDEG me skajin 1. Zgjidhni pikat M, K, N, Q, L dhe P në skajet e tij përkatësisht AE, BE, CE, DE, AB dhe BC, në mënyrë që AM = EK = CN = EQ = BL = BP = x. Ne zgjedhim x të tillë që të gjithë segmentet që lidhin këto pika të jenë të barabarta me njëri-tjetrin.

Është e qartë se për këtë mjafton të plotësohet barazia KM = KQ. Megjithatë, meqenëse KEQ është një trekëndësh kënddrejtë dykëndësh me këmbët KE dhe EQ, atëherë. Ne shkruajmë teoremën e kosinusit për trekëndëshin MEK, në të cilin:

Nga këtu. Rrënja e dytë, e cila është më e madhe se 1, nuk përshtatet. Duke zgjedhur x në këtë mënyrë, ne ndërtojmë poliedrin e kërkuar. Ne zgjedhim gjashtë pika të tjera që janë simetrike me pikat K, L, P, N, Q dhe M në lidhje me qendrën e katërkëndëshit dhe i shënojmë përkatësisht si K1, L1, P1, N1, Q1 dhe M1. Poliedri që rezulton me kulmet K, L, P, N, Q, M, K1, L1, P1, N1, Q1 dhe M1 është ai i dëshiruari. Të gjitha faqet e tij janë trekëndësha të rregullt, pesë skajet dalin nga çdo kulm. Le të vërtetojmë tani se të gjitha këndet e saj dyhëshe janë të barabarta me njëri-tjetrin.

Për ta bërë këtë, vërejmë se të gjitha kulmet e njëzetekadirit të ndërtuar janë të barabarta nga pika O, qendra e tetëkëndëshit, domethënë janë të vendosura në sipërfaqen e sferës me qendër O. Më tej, vazhdojmë në njëlloj si në vërtetimin e ekzistencës së një tetëedri të rregullt. Le t'i lidhim të gjitha kulmet e njëzetekatronit me pikën O. Në të njëjtën mënyrë vërtetojmë barazinë e piramidave trekëndore, bazat e të cilave janë faqet e shumëkëndëshit të ndërtuar dhe sigurojmë që të gjitha këndet diedrale nga njëzet katërshët janë dy herë më të mëdhenj se këndet në bazën e këtyre piramidave të barabarta trekëndore. Prandaj, të gjitha këndet dihedrale janë të barabarta, që do të thotë se poliedri që rezulton është i rregullt. Quhet ikozaedroni.

Dodekahedron i rregullt

Pamje e faqes së Pentagonit (pentagoni i rregullt)

Numri i fytyrave 12

Numri i brinjëve 30

Numri i majave 20

Këndi i sheshtë 108 o

Numri i qosheve të sheshta në kulm 3

Shuma e këndeve të sheshta 324 o

A ka një qendër simetrie po

Numri i boshteve të simetrisë Disa

Numri i planeve të simetrisë Disa

Ekzistenca e një dodekaedri të rregullt

Ekziston një shumëfaqësh i rregullt në të cilin të gjitha faqet janë pesëkëndësha të rregullt dhe 3 skaje dalin nga çdo kulm. Ky poliedron ka 12 faqe, 30 skaje dhe 20 kulme dhe quhet dodekahedron (dodeka - dymbëdhjetë).

Dëshmi.

Siç mund ta shihni, numri i fytyrave dhe kulmeve të poliedronit, ekzistencën e të cilit tani po përpiqemi ta vërtetojmë, është i barabartë me numrin e kulmeve dhe fytyrave të ikozaedrit. Kështu, nëse vërtetojmë ekzistencën e poliedronit të përmendur në këtë teoremë, atëherë sigurisht që do të rezultojë të jetë i dyfishtë me ikozaedrin. Në shembullin e një kubi dhe një tetëedri, kemi parë se figurat e dyfishta kanë vetinë që kulmet e njërës prej tyre shtrihen në qendrat e faqeve të tjetrës. Kjo çon në idenë e vërtetimit të kësaj teoreme.

Merrni një ikozaedron dhe merrni parasysh një shumëkëndësh me kulme në qendrat e faqeve të tij. Është e qartë se qendrat e pesë faqeve të ikozaedronit që kanë një kulm të përbashkët shtrihen në të njëjtin rrafsh dhe shërbejnë si kulme të një pesëkëndëshi të rregullt (kjo mund të verifikohet në një mënyrë të ngjashme me atë të përdorur në vërtetimin e lemës ). Pra, çdo kulm i ikozaedrit korrespondon me një faqe të një poliedri të ri, faqet e të cilit janë pesëkëndësha të rregullt dhe të gjitha këndet dihedrale janë të barabarta. Kjo rrjedh nga fakti se çdo tre skaj që del nga i njëjti kulm i poliedrit të ri mund të konsiderohet si skajet anësore të një piramide të rregullt trekëndore, dhe të gjitha piramidat që rezultojnë janë të barabarta (kanë skaje anësore të barabarta dhe kënde të sheshta ndërmjet tyre, të cilat janë këndet e një piramide të rregullt trekëndore).pesëkëndësh). Nga sa më sipër, rrjedh se poliedri që rezulton është i rregullt dhe ka 12 fytyra, 30 skaje dhe 20 kulme. Një shumëfaqësh i tillë quhet dodekaedron.

Pra, në hapësirën tre-dimensionale, ekzistojnë vetëm pesë lloje të poliedrave të rregullt. Ne përcaktuam formën e tyre dhe vendosëm që të gjitha poliedrat kanë dyfishe për to. Kubi është i dyfishtë me oktaedrin dhe anasjelltas. Ikozaedri në dodekaedron dhe anasjelltas. Tetrahedroni është i dyfishtë në vetvete.

Formula e Euler-it për poliedrat e rregullt

Pra, u zbulua se ekzistojnë saktësisht pesë poliedra të rregullta. Dhe si të përcaktohet numri i skajeve, fytyrave, kulmeve në to? Kjo nuk është e vështirë të bëhet për poliedrat me një numër të vogël skajesh, por si, për shembull, të merret një informacion i tillë për një ikozaedron? Matematikani i famshëm L. Euler ka marrë formulën В+Г-Р=2, e cila lidh numrin e kulmeve /В/, faqeve /Г/ dhe skajeve /Р/ të çdo poliedri. Thjeshtësia e kësaj formule është se nuk ka të bëjë fare me distancën apo këndet. Për të përcaktuar numrin e skajeve, kulmeve dhe faqeve të një poliedri të rregullt, së pari gjejmë numrin k \u003d 2y - xy + 2x, ku x është numri i skajeve që i përkasin njërës faqe, y është numri i fytyrave që konvergojnë në një kulm. Për të gjetur numrin e fytyrave, kulmeve dhe skajeve të një poliedri të rregullt, ne përdorim formula. Pas kësaj, është e lehtë të plotësoni një tabelë që jep informacion në lidhje me elementët e poliedrave të rregullt:

Emri Vertices (V) Edges (P) Faces (D) Formula

Tetraedri 4 6 4 4-6+4=2

Heksaedron (Kub) 8 12 6 8-12+6=2

Tetëkëndëshi 6 12 8 6-12+8=2

Ikozaedri 12 30 20 12-30+20=2

Dodekahedron 20 30 12 20-30+12=2

Kapitulli II: Polyedra të rregullta në jetë

Hapësira dhe Toka

Ka shumë hipoteza dhe teori që lidhen me poliedronet rreth strukturës së Universit, duke përfshirë planetin tonë. Më poshtë janë disa prej tyre.

Një vend të rëndësishëm zunë poliedrat e rregullt në sistemin e strukturës harmonike të botës nga I. Kepler. I njëjti besim në harmoninë, bukurinë dhe strukturën matematikisht të rregullt të universit e çoi I. Keplerin në idenë se meqenëse ekzistojnë pesë poliedra të rregullta, vetëm gjashtë planetë korrespondojnë me to. Sipas mendimit të tij, sferat e planetëve janë të ndërlidhura nga trupat e ngurtë platonike të gdhendura në to. Meqenëse për çdo shumëfaqësh të rregullt qendrat e sferave të brendashkruara dhe të rrethuara përkojnë, i gjithë modeli do të ketë një qendër të vetme, në të cilën do të vendoset Dielli.

Pasi bëri një punë të madhe llogaritëse, në 1596 I. Kepler botoi rezultatet e zbulimit të tij në librin "Sekreti i Universit". Ai fut një kub në sferën e orbitës së Saturnit, në një kub - sferën e Jupiterit, në sferën e Jupiterit - një tetraedron, dhe kështu me radhë përshtaten me njëri-tjetrin sferën e Marsit - një dodekaedron, sferën e Tokës - një ikozaedron, sfera e Venusit - një oktaedron, sfera e Mërkurit. Sekreti i universit duket i hapur.

Sot mund të thuhet me siguri se distancat midis planetëve nuk lidhen me ndonjë poliedër. Megjithatë, është e mundur që pa "Sekretet e universit", "Harmonia e botës" nga I. Kepler, poliedra të rregullta nuk do të kishte pasur tre ligje të famshme të I. Keplerit, të cilat luajnë një rol të rëndësishëm në përshkrimin e lëvizjes. të planetëve.

Ku tjetër mund t'i shihni këta trupa të mrekullueshëm? Në një libër shumë të bukur të biologut gjerman të fillimit të shekullit tonë, E. Haeckel, "Bukuria e formave në natyrë", mund të lexohen rreshtat e mëposhtëm: "Natyra ushqen në gjirin e saj një numër të pashtershëm krijesash mahnitëse deri tani. tejkalojnë të gjitha format e krijuara nga arti njerëzor në bukuri dhe diversitet." Krijimet e natyrës në këtë libër janë të bukura dhe simetrike. Kjo është një pronë e pandashme e harmonisë natyrore. Por këtu mund të shihni edhe organizma njëqelizorë - feodarii, forma e të cilave përcjell me saktësi ikozaedrin. Çfarë e shkaktoi një gjeometrizim të tillë natyror? Ndoshta për shkak të të gjitha poliedrave me të njëjtin numër fytyrash, është ikozaedri ai që ka vëllimin më të madh dhe sipërfaqen më të vogël. Kjo veti gjeometrike ndihmon mikroorganizmin detar të kapërcejë presionin e kolonës së ujit.

Është gjithashtu interesante se ishte ikozaedroni që doli të ishte fokusi i vëmendjes së biologëve në mosmarrëveshjet e tyre në lidhje me formën e viruseve. Virusi nuk mund të jetë krejtësisht i rrumbullakët, siç mendohej më parë. Për të vendosur formën e tij, ata morën poliedronë të ndryshëm, drejtuan dritën drejt tyre në të njëjtat kënde si rrjedha e atomeve drejt virusit. Doli se vetëm një poliedron jep saktësisht të njëjtën hije - ikozaedroni. Vetitë e tij gjeometrike, të përmendura më sipër, lejojnë ruajtjen e informacionit gjenetik. Polyedrat e rregullta janë figurat më të favorshme. Dhe natyra përfiton nga kjo. Kristalet e disa substancave të njohura për ne janë në formën e poliedrave të rregullt. Pra, kubi përçon formën e kristaleve të klorurit të natriumit NaCl, njëkristali i aluminit-kaliumit (KAlSO4) 2 12H2O ka formën e një tetëedri, kristali i piritit të squfurit FeS ka formën e një dodekaedri natriumi, antimonit një tetraedron, bor është një ikozaedron. Polyedrat e rregullta përcaktojnë formën e rrjetave kristalore të disa kimikateve. Ne e ilustrojmë këtë ide me problemin e mëposhtëm.

Detyrë. Modeli i molekulës së metanit CH4 ka formën e një tetraedri të rregullt, me atome hidrogjeni në katër kulme dhe një atom karboni në qendër. Përcaktoni këndin e lidhjes midis dy lidhjeve CH.

Zgjidhje. Meqenëse një katërkëndor i rregullt ka gjashtë skaje të barabarta, është e mundur të zgjidhni një kub të tillë që diagonalet e faqeve të tij të jenë skajet e një katërkëndëshi të rregullt. Qendra e kubit është gjithashtu qendra e katërkëndëshit, sepse katër kulmet e tetraedrit janë gjithashtu kulme të kubit, dhe sfera e përshkruar rreth tyre përcaktohet në mënyrë unike nga katër pika që nuk shtrihen në të njëjtin rrafsh. Këndi i dëshiruar j ndërmjet dy lidhjeve CH është i barabartë me këndin AOS. Trekëndëshi AOC është dykëndësh. Prandaj, ku a është ana e kubit, d është gjatësia e diagonales së faqes anësore ose skajit të tetraedrit. Pra, nga ku = 54,73561O dhe j = 109,47O

Çështja e formës së Tokës pushtoi vazhdimisht mendjet e shkencëtarëve të kohëve të lashta. Dhe kur u vërtetua hipoteza për formën sferike të Tokës, lindi ideja se forma e Tokës është një dodekaedron. Pra, tashmë Platoni shkroi: "Toka, nëse e shikon nga lart, duket si një top i qepur nga 12 copa lëkure". Kjo hipotezë e Platonit gjeti zhvillim të mëtejshëm shkencor në veprat e fizikantëve, matematikanëve dhe gjeologëve. Pra, gjeologu francez de Beamont dhe matematikani i famshëm Poincaré besonin se forma e Tokës është një dodekahedron i deformuar.

Ekziston një hipotezë tjetër. Kuptimi i saj është se Toka ka formën e një ikozaedri. Dy paralele janë marrë në glob - 30o gjerësi veriore dhe jugore. Distanca nga secila prej tyre deri në polin e hemisferës së saj është 60o, midis tyre është gjithashtu 60o. Në veri të këtyre paraleleve, pikat shënohen në 1/5 e një rrethi të plotë, ose 72o: në kryqëzimin me meridianët 32o, 104o dhe 176o in. d. dhe 40o dhe 112o z. e.Në paralelen jugore pikat janë shënuar në kryqëzimet me meridianët, duke kaluar pikërisht në mes ndërmjet të emërtuarve: 68o dhe 140o in. dhe 4o, 76o dhe 148o z. e) Pesë pika në paralelen 30o s. sh. , pesë - në paralelen 30o J. sh. dhe dy pole të Tokës dhe do të përbëjnë 12 kulme të shumëkëndëshit.

Gjeologu rus S. Kislitsin ndau gjithashtu mendimin për formën dodekaedrale të Tokës. Ai hodhi hipotezën se 400-500 milionë vjet më parë gjeosfera dodekaedrale u shndërrua në një gjeo-ikosaedron. Sidoqoftë, një tranzicion i tillë doli të ishte i paplotë dhe i paplotë, si rezultat i të cilit gjeo-dodekaedri doli të ishte i gdhendur në strukturën e ikozaedrit. Vitet e fundit është testuar hipoteza e formës ikozaedrako-dodekaedrale të Tokës. Për ta bërë këtë, shkencëtarët rreshtuan boshtin e dodekaedronit me boshtin e globit dhe, duke e rrotulluar këtë poliedron rreth tij, tërhoqën vëmendjen për faktin se skajet e tij përkojnë me shqetësime gjigante në koren e tokës (për shembull, me Mid-Atlantikun kreshta nëndetëse). Më pas, duke e marrë ikozaedrin si një poliedron, ata zbuluan se skajet e tij përkojnë me ndarje më të vogla të kores së tokës (kreshta, gabime, etj.). Këto vëzhgime konfirmojnë hipotezën se struktura tektonike e kores së tokës është e ngjashme me format e dodekaedrit dhe ikozaedrit.

Nyjet e një gjeokristali hipotetik janë, si të thuash, qendrat e anomalive të caktuara në planet: ato përmbajnë të gjitha qendrat botërore të presionit ekstrem atmosferik, zona nga e kanë origjinën uraganet; në një nga nyjet e ikozaedronit (në Gabon) u zbulua një "reaktor atomik natyror" që funksiononte ende 1.7 miliardë vjet më parë. Depozitat gjigante minerale (për shembull, fusha e naftës Tyumen), anomalitë e botës shtazore (Liqeni Baikal), qendrat për zhvillimin e kulturave njerëzore (Egjipti i lashtë, qytetërimi proto-indian Mohenjo-Daro, Mongolia Veriore, etj.) i kufizuar në shumë nyje poliedronësh.

Ekziston edhe një supozim. Idetë e Pitagorës, Platonit, I. Keplerit për lidhjen e poliedrave të rregullt me ​​strukturën harmonike të botës kanë gjetur tashmë vazhdimin e tyre në kohën tonë në një hipotezë interesante shkencore, autorët e së cilës (në fillim të viteve '80) ishin inxhinierë të Moskës. V. Makarov dhe V. Morozov. Ata besojnë se thelbi i Tokës ka formën dhe vetitë e një kristali në rritje që ndikon në zhvillimin e të gjitha proceseve natyrore që ndodhin në planet. Rrezet e këtij kristali, ose më saktë, fusha e tij e forcës, përcaktojnë strukturën ikozaedrako-dodekaedrale të Tokës, e cila manifestohet në faktin se në koren e tokës, si të thuash, shfaqen projeksione të poliedrave të rregullt të gdhendura në glob: ikozaedri dhe dodekaedri. 62 kulmet e tyre dhe pikat e mesit të skajeve, të quajtura nyje nga autorët, kanë një sërë veçorish specifike që bëjnë të mundur shpjegimin e disa fenomeneve të pakuptueshme.

Studimet e mëtejshme të Tokës, ndoshta, do të përcaktojnë qëndrimin ndaj kësaj hipoteze të bukur shkencore, në të cilën, me sa duket, poliedrat e rregullt zënë një vend të rëndësishëm.

Dhe një pyetje tjetër lind në lidhje me poliedrat e rregullt: a është e mundur të mbushet hapësira me to në mënyrë që të mos ketë boshllëqe midis tyre? Ajo lind në analogji me shumëkëndëshat e rregullt, disa prej të cilëve mund të mbushin rrafshin. Rezulton se ju mund ta mbushni hapësirën vetëm me ndihmën e një kubi të rregullt poliedrik. Hapësira gjithashtu mund të mbushet me dodekaedron rombikë. Për ta kuptuar këtë, ju duhet të zgjidhni problemin.

Detyrë. Me ndihmën e shtatë kubeve që formojnë një "kryq" hapësinor, ndërtoni një dodekaedron rombik dhe tregoni se ata mund të mbushin hapësirën.

Zgjidhje. Kubet mund të mbushin hapësirën. Konsideroni një pjesë të një grilë kubike. Kubin e mesëm e lëmë të paprekur dhe në secilin prej kubeve "kufizuese" vizatojmë plane nëpër të gjashtë palët e skajeve të kundërta. Në këtë rast, kubet "rreth" do të ndahen në gjashtë piramida të barabarta me baza katrore dhe skajet anësore të barabarta me gjysmën e diagonales së kubit. Piramidat ngjitur me kubin e paprekur formojnë së bashku me këtë të fundit një dodekaedron rombik. Nga kjo është e qartë se e gjithë hapësira mund të mbushet me dodekaedron rombikë. Si pasojë, marrim se vëllimi i një dodekaedri rombik është i barabartë me dyfishin e vëllimit të një kubi, skaji i të cilit përkon me diagonalen më të vogël të faqes së dodekaedrit.

Duke zgjidhur këtë problem, arritëm te dodekaedronët rombikë. Është interesante se qelizat e bletës, të cilat gjithashtu mbushin hapësirën pa boshllëqe, janë gjithashtu forma ideale gjeometrike. Pjesa e sipërme e qelizës së bletës është një pjesë e dodekaedrit rombik.

Në 1525, Dürer shkroi një traktat në të cilin ai paraqiti pesë poliedra të rregullta, sipërfaqet e të cilave shërbejnë si modele të mira perspektive.

Pra, poliedrat e rregullt na zbuluan përpjekjet e shkencëtarëve për t'iu qasur sekretit të harmonisë botërore dhe treguan atraktivitetin e parezistueshëm të gjeometrisë.

Polyedra të rregullta dhe raporti i artë

Gjatë Rilindjes, skulptorët, arkitektët dhe artistët treguan interes të madh për format e poliedrave të rregullta. Leonardo da Vinci, për shembull, ishte i dhënë pas teorisë së poliedrave dhe shpesh i përshkruante ato në kanavacat e tij. Ai ilustroi librin e mikut të tij murgut Luca Pacioli (1445 - 1514) "Për proporcionin hyjnor" me imazhe të poliedrave të rregullt dhe gjysmë të rregullt.

Në vitin 1509, në Venecia, Luca Pacioli botoi Përpjesëtimin Hyjnor. Pacioli gjeti në pesë trupat e ngurtë platonike - poligonet e rregullta (tetraedri, kubi, tetëkëndëshi, ikozaedri dhe dodekaedri) trembëdhjetë manifestime të "proporcionit hyjnor". Në kapitullin "Mbi pronësinë e dymbëdhjetë, pothuajse të mbinatyrshme", ai merr në konsideratë ikozaedrin e rregullt. Në çdo kulm të ikozaedrit, pesë trekëndësha bashkohen për të formuar një pesëkëndësh të rregullt. Nëse lidhni çdo dy skaje të kundërta të një ikozaedri me njëri-tjetrin, ju merrni një drejtkëndësh në të cilin ana më e madhe lidhet me atë më të vogël, pasi shuma e brinjëve është me atë më të madhe.

Kështu, raporti i artë manifestohet në gjeometrinë e pesë poliedrave të rregullt, të cilat, sipas shkencëtarëve të lashtë, qëndrojnë në themel të universit.

Gjeometria e trupave të Platonit në pikturat e artistëve të mëdhenj

Një artist i famshëm i Rilindjes, gjithashtu i dhënë pas gjeometrisë, ishte A. Dürer. Në gdhendjen e tij të njohur "Melankolia", në plan të parë ishte paraqitur një dodekahedron.

Konsideroni imazhin e pikturës së artistit Salvador Dali "Darka e Fundit". Në plan të parë të pikturës është paraqitur Krishti me dishepujt e tij në sfondin e një dodekaedri të madh transparent.

Kristalet janë poliedra natyralë

Shumë forma të poliedronëve nuk u shpikën nga vetë njeriu, por nga natyra në formën e kristaleve.

Shpesh njerëzit, duke parë poliedronet e mrekullueshme, të ylbertë të kristaleve, nuk mund të besojnë se ato janë krijuar nga natyra, dhe jo nga njeriu. Kjo është arsyeja pse lindën kaq shumë tregime të mahnitshme popullore për kristalet.

Materiale interesante të shkruara kanë mbijetuar, për shembull, i ashtuquajturi "Papirus Ebers", i cili përmban një përshkrim të metodave të trajtimit të gurëve me rituale dhe magji të veçanta, ku fuqitë misterioze u atribuohen gurëve të çmuar.

Besohej se kristali i shegës sjell lumturi. Ka formën e një dodekaedri rombik (nganjëherë quhet dodekaedri romboidal ose rombik) - një dodekahedron, faqet e të cilit janë dymbëdhjetë rombe të barabartë.

Për granetin, kristalet dodekaedrale janë aq tipike saqë forma e një poliedri të tillë madje quhej garnetohedron.

Garneti është një nga mineralet kryesore që formojnë shkëmbinj. Ka shkëmbinj të mëdhenj që përbëhen nga shkëmbinj granate të quajtur skarn. Megjithatë, gurët e çmuar, me ngjyra të bukura dhe transparente nuk janë të zakonshme. Përkundër kësaj, është pikërisht granati - piropi i kuq i gjakut - që arkeologët e konsiderojnë dekorimin më të lashtë, pasi u zbulua në Evropë në neolitin e lashtë në territorin e Republikës së Çekisë moderne dhe Sllovakisë, ku aktualisht është shumë popullor.

Fakti që granata, d.m.th., poliedri rombododekahedron, ka qenë i njohur që nga kohërat e lashta, mund të gjykohet nga historia e origjinës së emrit të tij, që në greqishten e lashtë do të thoshte "bojë e kuqe". Në të njëjtën kohë, emri shoqërohej me të kuqe - ngjyra më e zakonshme e granatave.

Garneti vlerësohet shumë nga njohësit e gurëve të çmuar. Përdoret për të bërë bizhuteri të klasit të parë, granata ka aftësinë të komunikojë dhuntinë e largpamësisë tek gratë që e veshin dhe largon mendimet e rënda prej tyre, ndërsa mbron burrat nga vdekja e dhunshme.

Granatat theksojnë pazakontësinë e situatës, ekscentricitetin e veprimeve të njerëzve, theksojnë pastërtinë dhe sublimitetin e ndjenjave të tyre.

Ky është një gur hajmali për njerëzit e lindur në JANAR.

Konsideroni gurët, forma e të cilëve është studiuar mirë dhe përfaqëson poliedra të rregullt, gjysmë të rregullt dhe në formë ylli.

Piriti e ka marrë emrin nga fjala greke pyros, që do të thotë zjarr. Një goditje ndaj tij shkakton një shkëndijë; në kohët e lashta, copat e piritit shërbenin si strall. Shkëlqimi specular në fytyrat e dallon piritin nga sulfidet e tjera. Piriti i lëmuar shkëlqen edhe më shumë. Pasqyra të bëra nga piriti i lëmuar u gjetën nga arkeologët në varret e Inkasve. Prandaj, piriti ka gjithashtu një emër kaq të rrallë - guri i Inkasve. Gjatë epidemive të nxitimit të arit, piriti shpërtheu në një venë kuarci, në rërën e lagur në një tigan larës, ktheu më shumë se një kokë të nxehtë. Edhe tani, dashamirët fillestarë të gurit e ngatërrojnë piritin me ar.

Por le t'i hedhim një vështrim më të afërt, dëgjoni fjalën e urtë: "Jo gjithçka që shkëlqen është flori!" ngjyra e piritit është e verdhë bronzi. Skajet e kristaleve të piritit janë derdhur me një shkëlqim të fortë metalik. ? këtu në pushim, shkëlqimi është më i zbehtë.

Fortësia e piritit është 6-6,5, gërvisht xhamin lehtësisht. Është minerali më i vështirë në klasën e sulfurit.

E megjithatë më karakteristike në paraqitjen e piritit është forma e kristaleve. Më shpesh është një kub. Nga kubikët më të vegjël të folezuar përgjatë çarjeve, deri te kubikët me lartësi brinjë 5 cm, 15 cm dhe madje 30 cm! Por kristalet e piritit nuk priten vetëm në kubikë, në arsenalin e këtij minerali ka oktaedone tashmë të njohura për ne nga magnetiti. Për piritin, ato janë mjaft të rralla.Por piriti ju lejon të admironi personalisht formën me të njëjtin emër - pentagondodekahedron. "Penta" është pesë, të gjitha fytyrat e kësaj forme janë me pesë anë, dhe "dodeca" - një duzinë - janë gjithsej dymbëdhjetë. Kjo formë për piritin është aq tipike sa që në kohët e vjetra mori edhe emrin "piritohedron." Mund të ketë edhe ekzemplarë që kombinojnë fytyra të formave të ndryshme: një kub dhe një pentagondodekaedron.

kasetit

Kasiteriti është një mineral kafe me shkëlqim, i brishtë që është minerali kryesor i kallajit. Forma është shumë e paharrueshme - tetraedrale të larta, piramida të mprehta sipër dhe poshtë, dhe në mes - një kolonë e shkurtër, gjithashtu me faqe. Krejt ndryshe në pamje, kristalet e kasitritit rriten në venat e kuarcit. Në gadishullin Chukchi ndodhet depozita Iultin, ku venat me kristale të shkëlqyera kasitriti kanë qenë prej kohësh të famshme.

Galena duket si një metal dhe është thjesht e pamundur të mos e vëreni atë në mineral. Menjëherë jep një shkëlqim dhe peshë të fortë metalike. Galena është pothuajse gjithmonë kube argjendi (ose paralelopipedë). Dhe këto nuk janë domosdoshmërisht kristale të tëra. Galena ka një dekolte perfekte në një kub. Kjo do të thotë që nuk shpërthen në fragmente pa formë, por në kube të rregullta me shkëlqim argjendi. Kristalet e tij natyrale kanë formën e një tetëfaqëshi ose kuboktaedri. Galena dallohet gjithashtu nga një veti e tillë: ky mineral është i butë dhe kimikisht jo shumë rezistent.

ZIRKONI

"Zirkon" - nga fjalët persiane "mbret" dhe "armë" - ngjyrë e artë.

Zirkoni u zbulua në 1789/0 në zirkon të çmuar Ceilon. Zbuluesi i këtij elementi është M. Claport. Zirkone madhështore transparente dhe me shkëlqim të ndezur ishin të famshëm në antikitet. Ky gur vlerësohej shumë në Azi.

Kimistët dhe metalurgistët duhej të punonin shumë përpara se predha e shufrave të zirkonit dhe detaje të tjera strukturore të shfaqeshin në reaktorët bërthamorë.

Pra, zirkoni është një perlë efektive - portokalli, e verdhë kashte, blu - blu, jeshile - shkëlqen dhe luan si një diamant.

Zirkonet shpesh përfaqësohen nga kristale të vogla të rregullta të një forme karakteristike elegante. Motivi i rrjetës së tyre kristalore dhe, në përputhje me rrethanat, forma e kristaleve i nënshtrohet boshtit të katërt të simetrisë. Kristalet e zirkonit i përkasin singonisë tetragonale. Ato janë katrore në seksion kryq. Dhe vetë kristali përbëhet nga një prizëm tetragonal (nganjëherë ai zbutet përgjatë skajeve nga një prizëm i dytë i ngjashëm) dhe një bipiramidë tetragonale që plotëson prizmin në të dy skajet.

Kristalet me dy dipiramida në skajet janë edhe më spektakolare: njëri në majë, dhe tjetri vetëm zbeh skajet midis prizmit dhe piramidës së sipërme.

Kristalët e kripës kanë formën e një kubi, kristalet e akullit dhe kristalit të shkëmbit (kuarci) ngjajnë me një laps të grimuar nga të dyja anët, domethënë kanë formën e një prizmi gjashtëkëndor, në bazën e të cilit janë vendosur piramida gjashtëkëndore.

Diamanti më së shpeshti gjendet në formën e një oktaedri, ndonjëherë një kub dhe madje edhe një kuboktaedri.

Spari islandez, i cili bifurkon imazhin, ka formën e një paralelepipedi të zhdrejtë.

Interesante

Të gjitha poliedrat e tjera të rregullta mund të merren nga kubi me anë të transformimeve.

Në procesin e ndarjes së vezës, së pari formohet një tetraedron prej katër qelizave, më pas një tetëkëndor, një kub dhe në fund një strukturë dodekaedralo-ikozaedrale e gastrulës.

Dhe së fundi, ndoshta më e rëndësishmja, struktura e ADN-së e kodit gjenetik të jetës është një fshirje katër-dimensionale (përgjatë boshtit kohor) e një dodekaedri rrotullues!

Besohej se poliedronët e rregullt sjellin fat. Prandaj, kishte kocka jo vetëm në formën e një kubi, por në të gjitha format e tjera. Për shembull, një kockë në formë dodekaedri quhej d12.

Matematikani gjerman August Ferdinand Möbius, në veprën e tij "Për vëllimin e poliedrës", ai përshkroi një sipërfaqe gjeometrike që ka një veti të pabesueshme: ka vetëm një anë! Nëse ngjitni skajet e një rripi letre, së pari duke e kthyer njërën prej tyre 180 gradë, marrim një shirit ose shirit Mobius. Provoni ta lyeni shiritin e përdredhur me 2 ngjyra - një nga jashtë dhe një nga brenda. Ju nuk do të keni sukses! Por nga ana tjetër, një milingonë që zvarritet në një shirit Möbius nuk ka nevojë të zvarritet mbi buzën e saj për të shkuar në anën e kundërt.

"Poliedrat e rregullta konvekse janë jashtëzakonisht të pakta," vuri në dukje një herë Lewis Carroll, "por kjo shkëputje, shumë modeste në numër, pesëshja madhështore, arriti të depërtojë thellë në thellësitë e shkencës. »

Të gjithë këta shembuj konfirmojnë depërtimin e mahnitshëm të intuitës së Platonit.

konkluzioni

Puna e paraqitur merr në konsideratë:

Përkufizimi i poliedrave konveks;

Vetitë themelore të poliedrit konveks, duke përfshirë teoremën e Euler-it që lidhet me numrin e kulmeve, skajeve dhe faqeve të një poliedri të caktuar;

Përkufizimi i një poliedri të rregullt, është vërtetuar ekzistenca e vetëm pesë poliedrit të rregullt;

Marrëdhëniet ndërmjet këndeve karakteristike të një piramide të rregullt n-gonale, e cila është pjesë përbërëse e një poliedri të rregullt, shqyrtohen në detaje;

Disa karakteristika të një tetraedri të rregullt, të tilla si vëllimi, sipërfaqja dhe të ngjashme, konsiderohen në detaje.

Shtojcat përmbajnë prova të vetive kryesore të poliedrave konveks dhe teoremave të tjera të përfshira në këtë punim. Teoremat dhe relacionet e mësipërme mund të jenë të dobishme në zgjidhjen e shumë problemeve në stereometri. Punimi mund të përdoret në studimin e temave të caktuara të stereometrisë si material referues dhe ilustrues.

Polyedronët na rrethojnë kudo: kube për fëmijë, mobilje, struktura arkitekturore, etj. Në jetën e përditshme pothuajse nuk i vëmë re, por është shumë interesante të dimë historinë e objekteve të njohura për të gjithë, veçanërisht nëse është kaq emocionuese.

Russkikh Egor, Tarasov Dmitry

Bota rreth nesh është një botë formash, është shumë e larmishme dhe e mahnitshme. Jemi të rrethuar nga sende shtëpiake të llojeve të ndryshme. Pas studimit të kësaj teme, ne vërtet pamë se poligonet na rrethojnë kudo dhe gjenden në fusha të ndryshme të jetës.

Shkarko:

Pamja paraprake:

https://accounts.google.com

Titrat e rrëshqitjeve:

Shumëkëndësha të rregullt

Shumëkëndësh i mahnitshëm

Shumëkëndëshat me yje

Shumëkëndëshat në natyrë

Shumëkëndëshat në natyrë

Faleminderit per vemendjen!

Pamja paraprake:

Për të përdorur pamjen paraprake të prezantimeve, krijoni një llogari (llogari) Google dhe regjistrohuni: https://accounts.google.com

Titrat e rrëshqitjeve:

Poligonet e rregullta në shkencë dhe disa sfera të tjera të jetës Autorët e projektit: nxënës të klasës së 8-të të rusëve Egor Tarasov Dmitry. Këshilltar shkencor: mësuesja e matematikës Rakhmankulova E.R.

Pyetje problematike. Cili është roli i shumëkëndëshave në jetën tonë? Objekti i studimit: shumëkëndëshat. Lënda e hulumtimit: zbatimi praktik i poligoneve në botën rreth nesh.

Qëllimi: sistematizimi i njohurive për këtë temë dhe marrja e informacioneve të reja për shumëkëndëshat dhe zbatimi i tyre praktik. Detyrat: 1. Të studiojë literaturën për temën. 2. Tregoni zbatimin praktik të shumëkëndëshave të rregullt në botën që na rrethon.

Metodat e kërkimit: 1. Shkencor (studim i literaturës); 2. Hulumtimi. Hipoteza: Shumëkëndëshat krijojnë bukuri në mjedisin njerëzor.

Shumëkëndësha të rregullt

Sheshi magjik 4 9 2 3 5 7 8 1 6

Shumëkëndësh i mahnitshëm

Shumëkëndëshat me yje

Shumëkëndëshat në natyrë P3: P4: P6 = 1: 0.877: 0.816

Shumëkëndëshat në natyrë

Shumëkëndëshat në natyrë

Poligonet rreth nesh Parket

Përfundim Pa gjeometri, nuk do të kishte asgjë, gjithçka që na rrethon janë forma gjeometrike. Por ne harrojmë t'i kushtojmë vëmendje.

Përfundim Bota që na rrethon është një botë formash, është shumë e larmishme dhe e mahnitshme. Jemi të rrethuar nga sende shtëpiake të llojeve të ndryshme. Pas studimit të kësaj teme, ne vërtet pamë se poligonet na rrethojnë kudo dhe gjenden në fusha të ndryshme të jetës.

Faleminderit per vemendjen!

Pamja paraprake:

Për të përdorur pamjen paraprake të prezantimeve, krijoni një llogari (llogari) Google dhe regjistrohuni:

"Poligonat" - Material për vetë-studim me temën "Poligonat" Detyrat për lojën. Trekëndëshi (barabrinjës). vijë e thyer. Jo konveks. Përpilues. Soloninkina T.V. Pjesa fundore e një rrafshi të kufizuar nga një shumëkëndësh. Vizatoni një pesëkëndësh konveks. Pentagoni. Shumëkëndësha të rregullt. Eksperti 2.

"Matja e sipërfaqes së një shumëkëndëshi" - Mësoni gjëra të reja. 1. Si të matet sipërfaqja e një figure? - Koncepti i zonës është i njohur për të gjithë nga përvoja e jetës. Ebu-r-Raykhan el-Buruni. 3. Objektivat e mësimit: Nga sot do të mësojmë të llogarisim sipërfaqet e formave të ndryshme gjeometrike. Shpesh dëgjojmë: "sipërfaqja e banesës sonë është 63 m2". Cherevina Oksana Nikolaevna

"Zonat e gjeometrisë së figurave" - ​​Figurat me sipërfaqe të barabarta quhen të barabarta. H.S=(a?b):2. Drejtkëndësh, trekëndësh, paralelogram. C.S=a?b. D. Mësues: Ivniaminova L.A. Zonat e figurave. A. B. b. Autorë: Zyryanova N. Jafarova Klasa 8b.

"Poligoni i rregullt" - Përfundim1. Shumëkëndësha të rregullt. Formulat bazë. R. Trekëndësh kënddrejtë. Pasoja 2. Një rreth i rrethuar rreth një shumëkëndëshi të rregullt. r. Pasojat. Një rreth i gdhendur në një shumëkëndësh të rregullt. Gjashtëkëndësh i rregullt. A. Zbatimi i formulave. Në çdo poligon të rregullt, mund të futni një rreth, dhe për më tepër, vetëm një.

"Parallelogram" - Parallelogram. Nëse një katërkëndësh ka brinjë të kundërta të barabarta në çifte, atëherë katërkëndëshi është një paralelogram. Nëse dy brinjë të një katërkëndëshi janë të barabarta dhe paralele. Çfarë është një paralelogram? Karakteristikat e një paralelogrami. Në një paralelogram, anët e kundërta dhe këndet e kundërta janë të barabarta. Diagonalet e një paralelogrami përgjysmohen nga pika e kryqëzimit.

"Drejtkëndëshi katror i rombit" - Zgjidhja e problemave me temën "Drejtkëndëshi. A. Përgjigjet e testit të verifikimit. Gjeni: MD + DN. Rombi. Qëllimi i orës së mësimit: Të konsolidohet materiali teorik me temën “Drejtkëndësh. Punë e pavarur teorike Plotësoni tabelën, duke shënuar shenjat + (po), - (jo). Përgjigjet e sakta për punën e pavarur teorike.

Gjithsej janë 19 prezantime në temë