Le të fillojmë me një shembull. Në urnën para jush po aq e mundshme mund të ketë (1) dy topa të bardhë, (2) një të bardhë dhe një të zi, (3) dy të zinj. E tërhiqni topin dhe ai rezulton të jetë i bardhë. Si e vlerësoni tani? probabiliteti këto tre opsione (hipoteza)? Natyrisht, probabiliteti i hipotezës (3) me dy topa të zinj = 0. Por si të llogariten probabilitetet e dy hipotezave të mbetura!? Kjo ju lejon të bëni formulën Bayes, e cila në rastin tonë ka formën (numri i formulës korrespondon me numrin e hipotezës që testohet):

Shkarkoni shënimin në format ose

Xështë një variabël i rastësishëm (hipotezë) që merr vlerat e mëposhtme: x 1- dy të bardha x 2- një e bardhë, një e zezë; x 3- dy të zeza; nëështë një ndryshore (ngjarje) e rastësishme që merr vlerat e mëposhtme: 1- vizatohet një top i bardhë dhe në 2- vizatohet një top i zi; P(x 1)është probabiliteti i hipotezës së parë përpara tërheqjes së topit ( A priori gjasat ose probabiliteti përpara përvojë) = 1/3; P(x 2)– probabiliteti i hipotezës së dytë para tërheqjes së topit = 1/3; P(x 3)– probabiliteti i hipotezës së tretë para nxjerrjes së topit = 1/3; P(y 1|x 1)– probabiliteti i kushtëzuar për të vizatuar një top të bardhë nëse hipoteza e parë është e vërtetë (topat janë të bardhë) = 1; P(y 1|x 2) – probabiliteti për të vizatuar një top të bardhë, nëse hipoteza e dytë është e vërtetë (një top është i bardhë, i dyti është i zi) = ½; P(y 1|x 3) – probabiliteti për të vizatuar një top të bardhë, nëse hipoteza e tretë është e vërtetë (të dyja të zeza) = 0; P(y 1)– probabiliteti për të vizatuar një top të bardhë = ½; P(y 2)– probabiliteti për të vizatuar një top të zi = ½; dhe në fund ajo që ne po kërkojmë - P (x 1|në 1) – probabiliteti që hipoteza e parë të jetë e vërtetë (të dy topat janë të bardhë), me kusht që të vizatojmë një top të bardhë ( a posteriori gjasat ose probabiliteti pas përvojë); P (x 2|në 1) – probabiliteti që hipoteza e dytë të jetë e vërtetë (një top është i bardhë, i dyti është i zi), me kusht që të kemi nxjerrë një top të bardhë.

Probabiliteti që hipoteza e parë (dy topa të bardhë) të jetë e vërtetë, duke pasur parasysh që kemi vizatuar një top të bardhë:

Probabiliteti që hipoteza e dytë të jetë e vërtetë (njëra është e bardhë, e dyta është e zezë), me kusht që të kemi nxjerrë një top të bardhë:

Probabiliteti që hipoteza e tretë (dy të zeza) të jetë e vërtetë, duke pasur parasysh që kemi vizatuar një top të bardhë:

Çfarë bën formula e Bayes? Ai bën të mundur, në bazë të probabiliteteve a priori të hipotezave - P(x 1), P(x 2), P(x 3)- dhe probabilitetet e ndodhjes së ngjarjeve - P (y 1), P(y 2)- llogaritni probabilitetet e pasme të hipotezave, për shembull, probabilitetin e hipotezës së parë, me kusht që të vizatohet një top i bardhë - P (x 1|në 1).

Le të kthehemi në formulën (1). Probabiliteti fillestar i hipotezës së parë ishte P(x 1) = 1/3. Me probabilitet P(y 1) = 1/2 ne mund të vizatojmë një top të bardhë, dhe me gjasë P(y 2) = 1/2- e zezë. E kemi nxjerrë të bardhën. Probabiliteti i vizatimit të bardhë, me kusht që hipoteza e parë të jetë e vërtetë P(y 1|x 1) = 1. Formula e Bayes thotë se pasi tërhiqet e bardha, probabiliteti i hipotezës së parë është rritur në 2/3, probabiliteti i hipotezës së dytë është ende 1/3 dhe probabiliteti i hipotezës së tretë është bërë zero.

Është e lehtë të kontrollohet se nëse vizatojmë një top të zi, probabilitetet e pasme do të ndryshojnë në mënyrë simetrike: P (x 1|y 2) = 0, P (x 2|y 2) = 1/3, P(x 3|y 2) = 2/3.

Ja çfarë shkroi Pierre Simon Laplace për formulën e Bayes në një letër të botuar në 1814:

Ky është parimi bazë i degës së analizës së rastësisë që merret me kalimet nga ngjarjet në shkaqe.

Pse formula e Bayes është kaq e vështirë për t'u kuptuar!? Sipas mendimit tim, sepse qasja jonë e zakonshme është arsyetimi nga shkaqet në pasoja. Për shembull, nëse ka 36 topa në një urnë, 6 prej të cilave janë të zeza dhe pjesa tjetër janë të bardha. Sa është probabiliteti për të vizatuar një top të bardhë? Formula e Bayes ju lejon të kaloni nga ngjarjet në shkaqe (hipoteza). Nëse do të kishim tre hipoteza, dhe një ngjarje ndodhi, atëherë si ka ndikuar saktësisht kjo ngjarje (dhe jo alternativa) në probabilitetet fillestare të hipotezave? Si kanë ndryshuar këto probabilitete?

Unë besoj se formula e Bayes nuk ka të bëjë vetëm me probabilitetet. Ajo ndryshon paradigmën e perceptimit. Cili është treni i mendimit kur përdoret paradigma deterministe? Nëse ndodh një ngjarje, cili është shkaku i saj? Nëse ka pasur një aksident, një emergjencë, një konflikt ushtarak. Kush apo cili ishte faji i tyre? Si mendon një vëzhgues Bayesian? Cila është struktura e realitetit që çoi në dhënë rasti ndaj një manifestimi të tillë ... Bayesian e kupton se në ndryshe rezultati mund të jetë i ndryshëm ...

Le t'i vendosim simbolet në formulat (1) dhe (2) pak më ndryshe:

Le të flasim përsëri për atë që shohim. Me një probabilitet të barabartë fillestar (apriori), një nga tre hipotezat mund të jetë e vërtetë. Me probabilitet të barabartë, ne mund të vizatojmë një top të bardhë ose të zi. E kemi nxjerrë të bardhën. Në dritën e këtij informacioni të ri shtesë, vlerësimi ynë i hipotezave duhet të rishikohet. Formula e Bayes ju lejon ta bëni këtë në mënyrë numerike. Probabiliteti apriori i hipotezës së parë (formula 7) ishte P(x 1), vizatohet një top i bardhë, probabiliteti i pasmë i hipotezës së parë bëhet P (x 1|në 1). Këto probabilitete ndryshojnë nga një faktor.

Ngjarje 1 e quajtur provë që pak a shumë konfirmon ose hedh poshtë një hipotezë x 1. Ky raport nganjëherë referohet si fuqia e provës. Sa më e fuqishme të jetë prova (sa më shumë koeficienti ndryshon nga uniteti), aq më i madh është fakti i vëzhgimit 1 ndryshon probabilitetin e mëparshëm, aq më shumë probabiliteti i pasëm ndryshon nga ai i mëparshmi. Nëse provat janë të dobëta (koeficienti ~ 1), pjesa e pasme është pothuajse e barabartë me atë të mëparshme.

Certifikata 1 V = 2 herë ndryshuan probabilitetin paraprak të hipotezës x 1(formula 4). Në të njëjtën kohë, prova 1 nuk ka ndryshuar probabilitetin e hipotezës x 2, që nga fuqia e saj = 1 (formula 5).

Në përgjithësi, formula e Bayes ka formën e mëposhtme:

Xështë një ndryshore e rastësishme (një grup hipotezash ekskluzive reciproke) që merr vlerat: x 1, x 2, … , Xn. nëështë një ndryshore e rastësishme (një grup ngjarjesh reciprokisht ekskluzive) që merr vlerat e mëposhtme: 1, në 2, … , nën. Formula e Bayes ju lejon të gjeni probabilitetin e pasëm të një hipoteze Xi kur ndodh një ngjarje y j. Numëruesi është prodhim i probabilitetit apriori të hipotezës Xi – P(xi) probabiliteti i ndodhjes së një ngjarjeje y j nëse hipoteza është e vërtetë Xi – R(y j|xi). Në emërues - shuma e produkteve të njëjtë si në numërues, por për të gjitha hipotezat. Nëse llogarisim emëruesin, marrim probabilitetin total të ndodhjes së ngjarjes nëj(nëse ndonjë nga hipotezat është e vërtetë) - R(y j) (si në formulat 1-3).

Edhe një herë për provat. Ngjarje y j ofron informacion shtesë që ju lejon të rishikoni probabilitetin paraprak të hipotezës Xi. Fuqia e provës - - përmban në numërues probabilitetin e ndodhjes së ngjarjes y j nëse hipoteza është e vërtetë Xi. Emëruesi është probabiliteti total i ndodhjes së ngjarjes nëj(ose probabiliteti që të ndodhë një ngjarje nëj mesatare mbi të gjitha hipotezat). nëj më sipër për hipotezë xi se mesatarja për të gjitha hipotezat, atëherë provat janë në dobi të hipotezës xi, duke rritur probabilitetin e tij të pasëm R(y j|xi). Nëse probabiliteti i ndodhjes së një ngjarjeje nëj më poshtë për hipotezën xi se mesatarja për të gjitha hipotezat, atëherë provat ul probabilitetin e pasëm R(y j|xi) Për hipoteza xi. Nëse probabiliteti i ndodhjes së një ngjarjeje nëj për hipotezën xiështë e njëjtë me mesataren për të gjitha hipotezat, atëherë evidenca nuk e ndryshon probabilitetin e pasëm R(y j|xi) Për hipoteza xi.

Këtu janë disa shembuj që shpresoj se do ta forcojnë kuptimin tuaj të formulës Bayes.

Problemi 2. Dy gjuajtës qëllojnë në mënyrë të pavarur në të njëjtin objektiv, secili qëllon nga një gjuajtje. Probabiliteti për të goditur objektivin për gjuajtësin e parë është 0.8, për të dytin - 0.4. Pas të shtënave, në objektiv është gjetur një vrimë. Gjeni probabilitetin që kjo vrimë i përket gjuajtësit të parë. .

Detyra 3. Objekti që monitorohet mund të jetë në një nga dy gjendjet: H 1 = (funksionon) dhe H 2 = (nuk funksionon). Probabilitetet a priori të këtyre gjendjeve Р(Н 1) = 0,7, Р(Н 2) = 0,3. Ekzistojnë dy burime informacioni që ofrojnë informacione kontradiktore për gjendjen e një objekti; burimi i parë raporton se objekti nuk funksionon, i dyti - se është duke funksionuar. Dihet se burimi i parë jep informacion të saktë me një probabilitet 0.9, dhe me një probabilitet 0.1 - i gabuar. Burimi i dytë është më pak i besueshëm: jep informacion të saktë me një probabilitet prej 0.7, dhe me një probabilitet prej 0.3 - i gabuar. Gjeni probabilitetet e pasme të hipotezave. .

Detyrat 1–3 janë marrë nga libri shkollor nga E.S. Ventzel, L.A. Ovcharov. Teoria e probabilitetit dhe aplikimet e saj inxhinierike, seksioni 2.6 Teorema e hipotezës (formula Bayes).

Problemi 4 është marrë nga libri, seksioni 4.3 Teorema e Bayes.

Qëllimi i punës: për të formuar aftësi për zgjidhjen e problemeve në teorinë e probabilitetit duke përdorur formulën e probabilitetit total dhe formulën e Bayes.

Formula e probabilitetit total

Probabiliteti i ngjarjes A, e cila mund të ndodhë vetëm nëse ndodh një nga ngjarjet e papajtueshme B x, B 2,..., B n, formimi i një grupi të plotë është i barabartë me shumën e produkteve të probabiliteteve të secilës prej këtyre ngjarjeve dhe probabilitetin përkatës të kushtëzuar të ngjarjes A:

Kjo formulë quhet formula e probabilitetit total.

Probabiliteti i hipotezave. Formula e Bayes

Lëreni ngjarjen A mund të ndodhë nëse ndodh një nga ngjarjet e papajtueshme B b B 2,...,B p, duke formuar një grup të plotë. Meqenëse nuk dihet paraprakisht se cila nga këto ngjarje do të ndodhë, ato quhen hipoteza. Probabiliteti për të ndodhur një ngjarje A përcaktohet nga formula e probabilitetit total:

Supozoni se është kryer një test, si rezultat i të cilit ka ndodhur një ngjarje A. Kërkohet të përcaktohet se si kanë ndryshuar (për faktin se ngjarja A tashmë të ardhur) probabilitetet e hipotezave. Probabilitetet e kushtëzuara të hipotezave gjenden me formulë

Në këtë formulë, indeksi / = 1.2

Kjo formulë quhet formula e Bayes (sipas matematikanit anglez që e nxori atë; botuar në 1764). Formula Bayes ju lejon të rivlerësoni probabilitetet e hipotezave pasi rezultati i testit të bëhet i njohur, si rezultat i të cilit u shfaq ngjarja A.

Detyra 1. Impianti prodhon një lloj të caktuar të pjesës, secila pjesë ka një defekt me probabilitet 0.05. Pjesa kontrollohet nga një inspektor; zbulon një defekt me probabilitet 0.97 dhe nëse nuk konstatohet defekt, e kalon pjesën në produktin e përfunduar. Përveç kësaj, inspektori mund të refuzojë gabimisht një pjesë që nuk ka defekt; probabiliteti për këtë është 0.01. Gjeni probabilitetet e ngjarjeve të mëposhtme: A - pjesa do të refuzohet; B - pjesa do të refuzohet, por gabimisht; C - pjesa do të kalohet në produktin e përfunduar me një defekt.

Zgjidhje

Le të shënojmë hipotezat:

H= (një pjesë standarde do të dërgohet për inspektim);

H= (një pjesë jo standarde do të dërgohet për inspektim).

Ngjarje A =(pjesa do të refuzohet).

Nga gjendja e problemit gjejmë probabilitetet

P H (A) = 0,01; Pfi (A) = 0,97.

Sipas formulës së probabilitetit total, marrim

Probabiliteti që një pjesë të refuzohet gabimisht është

Le të gjejmë probabilitetin që pjesa të kapërcehet në produktin e përfunduar me një defekt:

Përgjigje:

Detyra 2. Produkti kontrollohet për standarditet nga një nga tre specialistët e mallrave. Probabiliteti që produkti të arrijë te tregtari i parë është 0,25, tek i dyti - 0,26 dhe tek i treti - 0,49. Probabiliteti që produkti të njihet si standard nga tregtari i parë është 0,95, nga i dyti - 0,98, nga i treti - 0,97. Gjeni probabilitetin që produkti standard të kontrollohet nga inspektori i dytë.

Zgjidhje

Le të shënojmë ngjarjet:

L. =(produkti për verifikim do t'i shkojë /-të menaxherit të mallrave); / = 1, 2, 3;

B =(produkti do të njihet si standard).

Sipas gjendjes së problemit, probabilitetet janë të njohura:

Ne gjithashtu i dimë probabilitetet e kushtëzuara

Duke përdorur formulën Bayes, gjejmë probabilitetin që produkti standard të kontrollohet nga kontrolluesi i dytë:

Përgjigje:“0.263.

Detyrë 3. Dy makina prodhojnë pjesë që shkojnë në një transportues të përbashkët. Probabiliteti për të marrë një pjesë jo standarde në makinën e parë është 0.06, dhe në të dytën - 0.09. Performanca e makinës së dytë është dy herë më e lartë se e para. Një pjesë jo standarde është marrë nga transportuesi. Gjeni probabilitetin që kjo pjesë të prodhohet nga makina e dytë.

Zgjidhje

Le të shënojmë ngjarjet:

A. =(pjesa e marrë nga linja e montimit prodhohet nga makina i-th); / = 1,2;

NË= (pjesa e marrë do të jetë jo standarde).

Ne gjithashtu i dimë probabilitetet e kushtëzuara

Duke përdorur formulën e probabilitetit total, gjejmë

Duke përdorur formulën Bayes, gjejmë probabilitetin që pjesa jo standarde e marrë të prodhohet nga automati i dytë:

Përgjigje: 0,75.

Detyra 4.Është testuar një pajisje, e përbërë nga dy nyje, besueshmëria e të cilave është përkatësisht 0.8 dhe 0.9. Nyjet dështojnë në mënyrë të pavarur nga njëra-tjetra. Pajisja dështoi. Gjeni, duke marrë parasysh këtë, probabilitetet e hipotezave:

• a) vetëm nyja e parë është e gabuar;
• b) vetëm nyja e dytë është e gabuar;
• c) të dy nyjet janë të gabuara.

Zgjidhje

Le të shënojmë ngjarjet:

D = (nyja e 7-të nuk do të dështojë); i = 1,2;

D - ngjarjet përkatëse të kundërta;

A= (gjatë testit, pajisja do të dështojë).

Nga kushti i problemës fitojmë: P(D) = 0,8; P(L 2) = 0,9.

Nga vetia e probabiliteteve të ngjarjeve të kundërta

Ngjarje Aështë e barabartë me shumën e produkteve të ngjarjeve të pavarura

Duke përdorur teoremën e mbledhjes për probabilitetet e ngjarjeve të papajtueshme dhe teoremën për shumëzimin e probabiliteteve të ngjarjeve të pavarura, marrim

Tani gjejmë probabilitetet e hipotezave:

Përgjigje:

Detyra 5. Në fabrikë, bulonat bëhen në tre makina, të cilat prodhojnë përkatësisht 25%, 30% dhe 45% të numrit të përgjithshëm të bulonave. Në prodhimin e makinerisë defekti është përkatësisht 4%, 3% dhe 2%. Sa është probabiliteti që një rrufe në qiell, e marrë rastësisht nga një produkt në hyrje, të jetë me defekt?

Zgjidhje

Le të shënojmë ngjarjet:

4 = (një rrufe i marrë rastësisht është bërë në makinën i-të); i = 1, 2, 3;

NË= (një rrufe i marrë rastësisht do të jetë me defekt).

Nga gjendja e problemit, duke përdorur formulën klasike të probabilitetit, gjejmë probabilitetet e hipotezave:

Gjithashtu, duke përdorur formulën klasike të probabilitetit, gjejmë probabilitetet e kushtëzuara:

Duke përdorur formulën e probabilitetit total, gjejmë

Përgjigje: 0,028.

Detyra 6. Qarku elektronik i përket njërës prej tre grupeve me një probabilitet prej 0.25; 0,5 dhe 0,25. Probabiliteti që qarku të funksionojë përtej periudhës së garancisë për secilën nga palët, përkatësisht, është 0.1; 0.2 dhe 0.4. Gjeni probabilitetin që një qark i zgjedhur rastësisht të funksionojë përtej periudhës së garancisë.

Zgjidhje

Le të shënojmë ngjarjet:

4 = (skema e marrë rastësisht nga loja e i-të); i = 1, 2, 3;

NË= (një qark i marrë rastësisht do të funksionojë përtej periudhës së garancisë).

Sipas gjendjes së problemit, probabilitetet e hipotezave janë të njohura:

Ne gjithashtu i dimë probabilitetet e kushtëzuara:

Duke përdorur formulën e probabilitetit total, gjejmë

Përgjigje: 0,225.

Detyra 7. Pajisja përmban dy blloqe, shërbimi i secilit prej të cilave është i nevojshëm për funksionimin e pajisjes. Probabilitetet e funksionimit pa dështim për këto blloqe janë përkatësisht 0.99 dhe 0.97. Pajisja është jashtë funksionit. Përcaktoni probabilitetin që të dy njësitë të dështojnë.

Zgjidhje

Le të shënojmë ngjarjet:

D = (blloku z-të do të dështojë); i = 1,2;

A= (pajisja do të dështojë).

Nga kushti i problemës, sipas vetive të probabiliteteve të ngjarjeve të kundërta, fitojmë: DD) = 1-0,99 = 0,01; DD) = 1-0,97 = 0,03.

Ngjarje A ndodh vetëm kur të paktën një nga ngjarjet D ose A 2. Prandaj, kjo ngjarje është e barabartë me shumën e ngjarjeve A= D + A 2 .

Nga teorema e mbledhjes për probabilitetet e ngjarjeve të përbashkëta, marrim

Duke përdorur formulën Bayes, gjejmë probabilitetin që pajisja të dështojë për shkak të dështimit të të dy blloqeve.

Përgjigje:

Detyrat për zgjidhje të pavarur Detyra 1. Në magazinën e studios televizive ka 70% të kineskopëve të prodhuar nga uzina nr. 1; kineskopët e mbetur janë prodhuar nga fabrika nr. 2. Probabiliteti që kineskopi të mos dështojë gjatë periudhës së garancisë është 0,8 për kineskopët e impiantit nr. 1 dhe 0,7 për kineskopët e impiantit nr. 2. Kineskopi i ka rezistuar periudhës së garancisë. Gjeni probabilitetin që është prodhuar nga impianti numër 2.

Detyra 2. Pjesët nga tre makina automatike vijnë në montim. Dihet që makina e parë jep 0,3% të defekteve, e dyta - 0,2%, e 3-ta - 0,4%. Gjeni probabilitetin e marrjes së një pjese të dëmtuar për montim, nëse nga makina e parë janë marrë 1000 pjesë, nga e dyta 2000 dhe nga e treta 2500 pjesë.

Detyra 3. Dy makina prodhojnë pjesë identike. Probabiliteti që një pjesë e prodhuar në makinën e parë të jetë standarde është 0.8, dhe në të dytën - 0.9. Performanca e makinës së dytë është tre herë më e madhe se e para. Gjeni probabilitetin që pjesa standarde të merret në mënyrë të rastësishme nga transportuesi, i cili merr pjesë nga të dy makinat.

Detyra 4. Kreu i kompanisë vendosi të përdorë shërbimet e dy prej tre kompanive të transportit. Probabiliteti i dorëzimit të parakohshëm të mallrave për firmën e parë, të dytë dhe të tretë janë përkatësisht 0.05; 0.1 dhe 0.07. Duke krahasuar këto të dhëna me të dhënat për sigurinë e transportit të mallrave, menaxheri arriti në përfundimin se zgjedhja ishte e drejtë dhe vendosi ta bënte atë me short. Gjeni mundësinë që ngarkesa e dërguar të dorëzohet në kohë.

Detyra 5. Pajisja përmban dy blloqe, shërbimi i secilit prej të cilave është i nevojshëm për funksionimin e pajisjes. Probabilitetet e funksionimit pa dështim për këto blloqe janë përkatësisht 0.99 dhe 0.97. Pajisja është jashtë funksionit. Përcaktoni probabilitetin që njësia e dytë të dështojë.

Detyrë 6. Dyqani i montimit merr pjesë nga tre makina. Makina e parë jep 3% të martesës, e dyta - 1% dhe e treta - 2%. Përcaktoni probabilitetin që një pjesë jo e dëmtuar të futet në montim nëse janë marrë përkatësisht 500, 200, 300 pjesë nga secila makinë.

Detyra 7. Magazina pranon produktet e tre firmave. Për më tepër, prodhimi i firmës së parë është 20%, e dyta - 46% dhe e treta - 34%. Dihet gjithashtu se përqindja mesatare e produkteve jo standarde për firmën e parë është 5%, për të dytën - 2% dhe për të tretën - 1%. Gjeni probabilitetin që një produkt i zgjedhur rastësisht të jetë prodhuar nga kompania e dytë nëse rezulton të jetë standard.

Detyra 8. Martesa në prodhimin e bimës për shkak të një defekti Aështë 5%, dhe ndër të refuzuarit në bazë të A produkteve në 10% të rasteve ka një defekt R. Dhe në produkte pa defekte A, defekt R ndodh në 1% të rasteve. Gjeni probabilitetin për të hasur në një defekt R në të gjitha produktet.

Detyra 9. Kompania ka 10 makina të reja dhe 5 të vjetra që më parë ishin në riparim. Probabiliteti i funksionimit të duhur për një makinë të re është 0.94, për një të vjetër - 0.91. Gjeni probabilitetin që një makinë e zgjedhur rastësisht të funksionojë siç duhet.

Detyra 10. Dy sensorë dërgojnë sinjale në një kanal të përbashkët komunikimi, dhe i pari prej tyre dërgon dy herë më shumë sinjale se i dyti. Probabiliteti i marrjes së një sinjali të shtrembëruar nga sensori i parë është 0.01, nga i dyti - 0.03. Sa është probabiliteti për të marrë një sinjal të shtrembëruar në një kanal të përbashkët komunikimi?

Detyra 11. Janë pesë tufa produktesh: tre tufa me 8 copë, nga të cilat 6 janë standarde dhe 2 jo standarde, dhe dy grupe me 10 copë, nga të cilat 7 janë standarde dhe 3 janë jo standarde. Një nga grupet zgjidhet në mënyrë të rastësishme dhe një detaj është marrë nga kjo grumbull. Përcaktoni probabilitetin që pjesa e zgjedhur të jetë standarde.

Detyra 12. Montuesi merr mesatarisht 50% të pjesëve nga impianti i parë, 30% nga impianti i dytë dhe 20% nga impianti i tretë. Probabiliteti që pjesa e fabrikës së parë të jetë e cilësisë së shkëlqyer është 0.7; për pjesët e bimëve të dytë dhe të tretë, përkatësisht, 0.8 dhe 0.9. Pjesa e marrë rastësisht doli të ishte e një cilësie të shkëlqyer. Gjeni probabilitetin që pjesa të jetë bërë nga fabrika e parë.

Detyra 13. Kontrolli doganor i veturave kryhet nga dy inspektorë. Mesatarisht, nga 100 makina, 45 kalojnë nga inspektori i parë. Probabiliteti që gjatë kontrollit të mos ndalohet një makinë që respekton rregullat doganore është 0,95 për inspektorin e parë dhe 0,85 për të dytin. Gjeni probabilitetin që një makinë që përputhet me rregullat doganore nuk do të ndalohet.

Detyra 14. Pjesët e nevojshme për montimin e pajisjes vijnë nga dy makina automatike, performanca e të cilave është e njëjtë. Llogaritni probabilitetin që një pjesë standarde të hyjë në montim nëse një nga automatet jep një shkelje mesatare prej 3% të standardit, dhe e dyta - 2%.

Detyra 15. Trajneri i peshëngritjes llogariti se për të marrë kredite ekipore në këtë kategori peshë, një sportist duhet të shtyjë një shtangë 200 kg. Një vend në ekip pretendojnë Ivanov, Petrov dhe Sidorov. Ivanov gjatë stërvitjes u përpoq të ngrejë një peshë të tillë në 7 raste, dhe ngriti në 3 prej tyre. Petrov ngriti 6 herë nga 13, dhe Sidorov ka një shans 35% për të trajtuar me sukses shtangën. Trajneri zgjedh rastësisht një atlet për ekipin.

• a) Gjeni probabilitetin që atleti i përzgjedhur të sjellë pikët e ekipit.
• b) Skuadra nuk mori asnjë pikë. Gjeni probabilitetin që Sidorov foli.

Detyra 16. Ka 12 topa të kuq dhe 6 blu në një kuti të bardhë. Në të zezë - 15 topa të kuq dhe 10 blu. Hidhe një zare. Nëse numri i pikëve është shumëfish i 3, atëherë një top merret rastësisht nga kutia e bardhë. Nëse ndonjë numër tjetër pikësh bie jashtë, atëherë një top merret rastësisht nga kutia e zezë. Sa është probabiliteti që të shfaqet një top i kuq?

Detyra 17. Dy kuti përmbajnë tuba radio. Kutia e parë përmban 12 llamba, nga të cilat 1 është jo standarde; në të dytin ka 10 llamba, 1 prej të cilave është jo standarde. Një llambë u mor rastësisht nga kutia e parë dhe u transferua në të dytën. Gjeni probabilitetin që një llambë e nxjerrë në mënyrë të rastësishme nga kutia e dytë të jetë jo standarde.

Detyra 18. Një top i bardhë hidhet në një urnë që përmban dy topa, pas së cilës një top tërhiqet rastësisht. Gjeni probabilitetin që topi i tërhequr të jetë i bardhë nëse të gjitha supozimet e mundshme për përbërjen fillestare të topave (sipas ngjyrës) janë po aq të mundshme.

Detyra 19. Një pjesë standarde hidhet në një kuti që përmban 3 pjesë identike dhe më pas një pjesë vizatohet në mënyrë të rastësishme. Gjeni probabilitetin që një pjesë standarde të vizatohet nëse të gjitha supozimet e mundshme për numrin e pjesëve standarde fillimisht në kuti janë po aq të mundshme.

Detyra 20. Për të përmirësuar cilësinë e komunikimit radio, përdoren dy radio marrës. Probabiliteti për të marrë një sinjal nga çdo marrës është 0.8, dhe këto ngjarje (marrja e sinjalit nga marrësi) janë të pavarura. Përcaktoni probabilitetin e marrjes së një sinjali nëse probabiliteti i funksionimit pa dështim gjatë një sesioni radio komunikimi për çdo marrës është 0.9.

Universiteti Shtetëror Siberian i Telekomunikacionit dhe Informatikës

Departamenti i Matematikës së Lartë

disiplina: "Teoria e probabilitetit dhe statistikat matematikore"

"Formula e probabilitetit total dhe formula Bayes (Bayes) dhe aplikimi i tyre"

E përfunduar:

Drejtues: Profesor B.P. Zelentsov

Novosibirsk, 2010

Hyrje 3

1. Formula e probabilitetit total 4-5

2. Formula Bayes (Bayes) 5-6

3. Probleme me zgjidhjet 7-11

4. Fushat kryesore të zbatimit të formulës Bayes (Bayes) 11

Përfundimi 12

Letërsia 13

Prezantimi

Teoria e probabilitetit është një nga degët klasike të matematikës. Ka një histori të gjatë. Themelet e kësaj dege të shkencës u hodhën nga matematikanë të mëdhenj. Unë do të emërtoj, për shembull, Fermat, Bernoulli, Pascal.
Më vonë, zhvillimi i teorisë së probabilitetit u përcaktua në veprat e shumë shkencëtarëve.
Shkencëtarët e vendit tonë dhanë një kontribut të madh në teorinë e probabilitetit:
P.L. Chebyshev, A.M. Lyapunov, A.A. Markov, A.N. Kolmogorov. Metodat probabiliste dhe statistikore tani janë ngulitur thellë në aplikacione. Ato përdoren në fizikë, inxhinieri, ekonomi, biologji dhe mjekësi. Roli i tyre është rritur veçanërisht në lidhje me zhvillimin e teknologjisë kompjuterike.

Për shembull, për të studiuar dukuritë fizike, bëhen vëzhgime ose eksperimente. Rezultatet e tyre zakonisht regjistrohen si vlera të disa sasive të vëzhguara. Kur përsërisim eksperimentet, gjejmë një shpërndarje në rezultatet e tyre. Për shembull, duke përsëritur matjet e së njëjtës sasi me të njëjtën pajisje duke ruajtur disa kushte (temperatura, lagështia, etj.), marrim rezultate që ndryshojnë të paktën pak, por megjithatë ndryshojnë nga njëra-tjetra. Edhe matjet e shumta nuk bëjnë të mundur parashikimin e saktë të rezultatit të matjes së radhës. Në këtë kuptim, rezultati i një matjeje thuhet se është një sasi e rastësishme. Një shembull edhe më i qartë i një ndryshoreje të rastësishme është numri i një bilete llotarie fituese. Mund të jepen shumë shembuj të tjerë të ndryshoreve të rastësishme. Sidoqoftë, në botën e aksidenteve, gjenden modele të caktuara. Aparati matematikor për studimin e rregullsive të tilla sigurohet nga teoria e probabilitetit.
Kështu, teoria e probabilitetit merret me analizën matematikore të ngjarjeve të rastësishme dhe të ndryshoreve të rastësishme që lidhen me to.

1. Formula e probabilitetit total.

Le të ketë një grup ngjarjesh H 1 ,H 2 ,..., H n, e cila ka vetitë e mëposhtme:

1) të gjitha ngjarjet janë të papajtueshme në çift: H i

2) bashkimi i tyre formon hapësirën e rezultateve elementare W:

Në këtë rast, ne do të themi se H 1 , H 2 ,...,H n formë grupi i plotë i ngjarjeve. Ngjarje të tilla quhen ndonjëherë hipoteza.

Le A- disa ngjarje: AÌW (diagrami i Venit i paraqitur në figurën 8). Pastaj ka formula e probabilitetit total:

P(A) = P(A/H 1)P(H 1) + P(A/H 2)P(H 2) + ...+P(A/H n)P(H n) =

Dëshmi. Natyrisht: A=

P(A) = P(

Duke marrë parasysh se me teoremën e shumëzimit P(

Shembull. Dyqani shet llamba elektrike të prodhuara nga tre fabrika, me pjesën e fabrikës së parë - 30%, e dyta - 50%, e treta - 20%. Martesa në produktet e tyre është përkatësisht 5%, 3% dhe 2%. Sa është probabiliteti që një llambë e zgjedhur rastësisht në një dyqan të jetë me defekt?

Lëreni ngjarjen H 1 është që llamba e zgjedhur prodhohet në fabrikën e parë, H 2 në të dytën H 3 - në fabrikën e tretë. Natyrisht:

P(H 1) = 3/10, P(H 2) = 5/10, P(H 3) = 2/10.

Lëreni ngjarjen A konsiston në faktin se llamba e zgjedhur doli të jetë e dëmtuar; A/H i nënkupton një ngjarje që konsiston në faktin se një llambë me defekt është zgjedhur nga llambat e prodhuara në i fabrika e th. Nga gjendja e problemit rrjedh:

P (A/ H 1) = 5/10; P(A/ H 2) = 3/10; P(A/ H 3) = 2/10

Sipas formulës së probabilitetit total, marrim

2. Formula Bayes (Bayes)

Le H 1 ,H 2 ,...,H n- grupi i plotë i ngjarjeve dhe AÌ W është një ngjarje. Pastaj sipas formulës për probabilitetin e kushtëzuar

Këtu P(H k/A) është probabiliteti i kushtëzuar i ngjarjes (hipoteza) H k ose probabiliteti që H k zbatohet me kusht që ngjarja A ndodhi.

Sipas teoremës së shumëzimit të probabilitetit, numëruesi i formulës (1) mund të paraqitet si

P = P = P(A/H k)P(H k)

Për të përfaqësuar emëruesin e formulës (1), mund të përdoret formula e probabilitetit total

P(A)

Tani nga (1) mund të merret një formulë e quajtur Formula e Bayes:

Me formulën e Bayes llogaritet probabiliteti i realizimit të hipotezës H k me kusht që ngjarja A ndodhi. Formula Bayes quhet gjithashtu formula e probabilitetit të hipotezës. Probabiliteti P(H k) quhet probabiliteti paraprak i hipotezës H k, dhe probabilitetin P(H k/A) është probabiliteti i pasëm.

Teorema. Probabiliteti i një hipoteze pas testimit është i barabartë me produktin e probabilitetit të hipotezës para testimit me probabilitetin përkatës të kushtëzuar të ngjarjes që ka ndodhur gjatë testit, pjesëtuar me probabilitetin total të kësaj ngjarjeje.

Shembull. Konsideroni problemin e mësipërm në lidhje me llambat elektrike, ndryshoni vetëm çështjen e problemit. Lëreni blerësin të blejë një llambë elektrike në këtë dyqan dhe doli të jetë me defekt. Gjeni probabilitetin që kjo llambë të jetë prodhuar në fabrikën e dytë. Vlera P(H 2) = 0,5 në këtë rast, kjo është probabiliteti apriori i ngjarjes që llamba e blerë është prodhuar në fabrikën e dytë. Pasi kemi marrë informacionin se llamba e blerë është me defekt, ne mund të korrigjojmë vlerësimin tonë për mundësinë e prodhimit të kësaj llambë në fabrikën e dytë duke llogaritur probabilitetin e mëvonshëm të kësaj ngjarjeje.

Le të shkruajmë formulën e Bayes për këtë rast

Nga kjo formulë marrim: P(H 2 /A) = 15/34. Siç shihet, informacioni i marrë ka çuar në faktin se probabiliteti i ngjarjes me interes për ne është më i ulët se probabiliteti apriori.

3. Problemet me zgjidhjet.

Detyra 1. Dyqani mori produkte të reja nga tre ndërmarrje. Përbërja në përqindje e këtyre produkteve është si më poshtë: 20% - produkte të ndërmarrjes së parë, 30% - produkte të ndërmarrjes së dytë, 50% - produkte të ndërmarrjes së tretë; më tej, 10% e produkteve të ndërmarrjes së parë të klasës më të lartë, në ndërmarrjen e dytë - 5% dhe në të tretën - 20% të produkteve të klasës më të lartë. Gjeni probabilitetin që një produkt i ri i blerë rastësisht të jetë i cilësisë më të lartë.

Zgjidhje. Shënoni me NË në rast se do të blihet një produkt premium, nëpërmjet

Ne mund të aplikojmë formulën e probabilitetit total dhe në shënimin tonë:

Duke zëvendësuar këto vlera në formulën e probabilitetit total, marrim probabilitetin e kërkuar:

Detyra 2. Njëri nga tre gjuajtësit thirret në vijën e zjarrit dhe gjuan dy të shtëna. Probabiliteti për të goditur objektivin me një goditje për gjuajtësin e parë është 0.3, për të dytin - 0.5; për të tretën - 0.8. Objektivi nuk goditet. Gjeni probabilitetin që të shtënat të jenë shkrepur nga gjuajtësi i parë.

sinjal dhe zhurmë. Pse disa parashikime bëhen të vërteta dhe të tjera jo Silver Nate

Matematika e thjeshtë e teoremës së Bayes

Nëse bazat filozofike të teoremës së Bayes janë çuditërisht të thella, atëherë matematika e saj është jashtëzakonisht e thjeshtë. Në formën e saj bazë, kjo është vetëm një shprehje algjebrike me tre ndryshore të njohura dhe një të panjohur. Megjithatë, kjo formulë e thjeshtë mund të çojë në njohuri në parashikime.

Teorema e Bayes është e lidhur drejtpërdrejt me probabilitetin e kushtëzuar. Me fjalë të tjera, ju lejon të llogaritni probabilitetin e një teorie ose hipoteze, Nëse do të ndodhë ndonjë ngjarje. Imagjinoni që jetoni me një partner dhe, pasi ktheheni në shtëpi nga një udhëtim pune, gjeni një palë të brendshme të panjohura në gardërobën tuaj. Ju mund të pyesni veten: cilat janë gjasat që partneri juaj t'ju tradhtojë? gjendjaështë se do të gjeni të brendshme; hipotezaështë se jeni të interesuar të vlerësoni gjasat që të mashtroheni. Besoni apo jo, teorema e Bayes mund t'ju japë përgjigjen për këtë lloj pyetjeje, me kusht që të dini (ose jeni të gatshëm të vlerësoni) tre cilësi.

Para së gjithash, duhet të vlerësoni mundësinë e shfaqjes së të brendshmeve. si kusht për korrektësinë e hipotezës - pra me kusht që të ndryshoni.

Për të zgjidhur këtë problem, le të supozojmë se ju jeni një grua dhe partneri juaj është një burrë, dhe objekt debati janë një palë brekë. Nëse ai po ju tradhton, është e lehtë të imagjinoni se si brekët e njerëzve të tjerë mund të futen në veshjet tuaja. Por, edhe nëse (ose edhe veçanërisht nëse) ai ju tradhton, mund të prisni që ai të jetë mjaft i kujdesshëm. Le të themi se ka një shans 50% që të shfaqen brekët nëse ai ju tradhton.

Së dyti, duhet të vlerësoni mundësinë e shfaqjes së të brendshmeve me kusht që hipoteza të jetë e rreme.

Nëse burri juaj nuk po ju tradhton, duhet të ketë shpjegime të tjera, më të pafajshme për shfaqjen e brekëve në garderobën tuaj. Disa prej tyre mund të jenë mjaft të pakëndshme (për shembull, mund të jenë brekët e tij). Është e mundur që bagazhi i tij është ngatërruar gabimisht me atë të dikujt tjetër. Është e mundur që për ndonjë arsye disa nga të dashurat tuaja, të cilave ju besoni, ta kenë kaluar natën krejt të pafajshme në shtëpinë e tij. Brekët mund të ishin një dhuratë për ju që ai kishte harruar t'i paketonte. Asnjë nga këto teori nuk është pa të meta, megjithëse ndonjëherë shpjegimet "qeni më hëngri detyrat e shtëpisë" rezultojnë të jenë të vërteta. Ju e vlerësoni probabilitetin e tyre të kombinuar në 5%.

Gjëja e tretë dhe më e rëndësishme që ju nevojitet është ajo që quajnë Bayesians probabilitet paraprak(ose thjesht A priori). Si e vlerësuat mundësinë e tradhtisë së tij përpara se Si i gjetët të brendshmet? Sigurisht, është e vështirë për ju të mbani një vlerësim objektiv tani, pasi këto brekë janë shfaqur në fushën tuaj të shikimit (në mënyrë ideale, ju e vlerësoni këtë probabilitet përpara se të filloni të studioni provat). Por ndonjëherë është e mundur të vlerësohet probabiliteti i ngjarjeve të tilla në mënyrë empirike. Për shembull, një numër studimesh kanë treguar se në çdo vit të rastësishëm, rreth 4% e partnerëve të martuar tradhtojnë bashkëshortët e tyre (570), kështu që këtë shifër do ta marrim si probabilitet apriori.

Nëse i keni vlerësuar të gjitha këto vlera, atëherë mund të aplikoni teoremën e Bayes për të vlerësuar probabiliteti i pasëm. Pikërisht në këtë shifër na intereson më shumë - sa ka gjasa që të na mashtrojnë, me kusht që të kemi gjetur të brendshmet e dikujt tjetër?

Llogaritja dhe një formulë e thjeshtë algjebrike që e lejon atë janë dhënë në tabelë. 8.2.

Tabela 8.2. Një shembull i llogaritjes së probabilitetit të tradhtisë sipas teoremës së Bayes

Rezulton se probabiliteti i tradhtisë është ende mjaft i vogël - 29%. Kjo mund të duket kundërintuitive: a nuk janë brekët prova mjaft të forta? Ndoshta ky rezultat është për faktin se ju keni përdorur një vlerë shumë të ulët a priori të probabilitetit të tradhtisë së tij.

Megjithëse një person i pafajshëm mund të ketë dukshëm më pak shpjegime të arsyeshme për pamjen e brekëve sesa një person fajtor, ju fillimisht supozuat se ata ishin të pafajshëm dhe kjo pati një ndikim të madh në rezultatin e ekuacionit.

Kur jemi apriori të sigurt për diçka, ne mund të jemi jashtëzakonisht fleksibël edhe kur dalin prova të reja. Një nga shembujt klasikë të situatave të tilla është zbulimi i kancerit të gjirit tek gratë mbi 40 vjeç. Për fat të mirë, mundësia që një grua mbi moshën 40 vjeç të zhvillojë kancer gjiri është mjaft e ulët, afërsisht 1.4% (571). Megjithatë, sa është probabiliteti për një rezultat pozitiv në mamografinë e saj?

Hulumtimet tregojnë se edhe nëse një grua ka Nr kanceri, mamografia do të tregojë gabimisht praninë e tij në 10% të rasteve (572). Nga ana tjetër, nëse ajo ka kancer, një mamografi do ta zbulojë atë rreth 75% të rasteve (573). Pasi të keni parë këto statistika, mund të vendosni që një rezultat pozitiv i mamografisë do të thotë se gjërat janë shumë të këqija. Megjithatë, llogaritja Bayesian duke përdorur këto shifra çon në një përfundim tjetër: probabiliteti për të pasur kancer gjiri tek një grua mbi 40 vjeç. me kusht që ajo të ketë një mamografi pozitive, është ende rreth 10%. Në këtë rast, ky rezultat i përllogaritjes së ekuacionit vjen për faktin se jo pak të reja kanë kancer gjiri. Kjo është arsyeja pse shumë klinicistë rekomandojnë që gratë të mos fillojnë mamografi të rregullta deri në moshën 50 vjeç, pas së cilës probabiliteti apriori i kancerit të gjirit rritet ndjeshëm (574).

Problemet e këtij lloji janë pa dyshim komplekse. Gjatë një studimi të fundit të shkrim-leximit statistikor amerikan, atyre iu dha ky shembull i kancerit të gjirit. Dhe doli se vetëm 3% e tyre ishin në gjendje të llogaritnin saktë vlerat e probabilitetit (575). Ndonjëherë, duke ngadalësuar pak dhe duke u përpjekur të vizualizojmë problemin (siç tregohet në figurën 8.2), ne mund të kontrollojmë lehtësisht realitetin përafrimet tona të pasakta. Vizualizimi na ndihmon të shohim më lehtë tablonë e madhe - meqenëse kanceri i gjirit është jashtëzakonisht i rrallë tek gratë e reja, fakti i thjeshtë i një rezultati pozitiv të mamografisë nuk do të thotë asgjë.

Oriz. 8.2. Paraqitja grafike e të dhënave hyrëse për teoremën e Bayes në shembullin e një mamografie

Megjithatë, ne zakonisht priremi të përqendrohemi në informacionin më të fundit ose më të disponueshëm, dhe pamja e përgjithshme fillon të humbasë. Lojtarët e zgjuar si Bob Voulgaris kanë mësuar t'i shfrytëzojnë me mjeshtëri këto të meta në të menduarit tonë. Voulgaris bëri një bast të mirë për Lakers pjesërisht sepse lojtarët e basteve kishin luajtur shumë në ndeshjet e para të Lakers dhe ndryshuan shanset që ekipi të fitonte titullin nga 4-1 në 65-1. Megjithatë, ekipi në fakt luajti po aq mirë sa skuadra e mirë mundet.në rast të lëndimit të një prej lojtarëve të saj yje. Teorema e Bayes kërkon që ne të mendojmë më me kujdes për këto lloj problemesh. Mund të jetë jashtëzakonisht i dobishëm për identifikimin e rasteve kur përafrimet tona instinktive janë shumë të përafërta.

Por nuk dua të them se pritshmëritë tona apriori gjithmonë dominojnë provat e reja, ose se teorema e Bayes çon gjithmonë në rezultate në dukje të palogjikshme. Ndonjëherë provat e reja janë aq domethënëse për ne, sa peshojnë më shumë se çdo gjë tjetër, dhe ne mund të ndryshojmë pothuajse menjëherë mendjen dhe të bëhemi plotësisht të sigurt në një ngjarje që menduam se ishte pothuajse zero.

Le të marrim një shembull më të errët, sulmet e 11 shtatorit. Shumica prej nesh, duke u zgjuar atë ditë në mëngjes, caktuam pothuajse zero probabilitet që terroristët të përplasnin avionët në rrokaqiejt në Manhatan. Megjithatë, ne pranuam mundësinë e qartë të një sulmi terrorist pasi avioni i parë u rrëzua në Qendrën Botërore të Tregtisë. Dhe nuk kemi më asnjë dyshim se jemi sulmuar pasi avioni u rrëzua në kullën e dytë. Teorema e Bayes është në gjendje të shfaqë këtë rezultat.

Le të themi se përpara se avioni i parë të godiste kullën, llogaritjet tona për mundësinë e një sulmi terrorist në ndërtesat e larta të Manhatanit ishin vetëm 1 shans në 20 mijë, ose 0.005%. Megjithatë, ne gjithashtu duhej të konsideronim probabilitetin e një situate në të cilën avioni do të ishte përplasur gabimisht me kullën e Qendrës Botërore të Tregtisë si mjaft të ulët. Kjo shifër mund të llogaritet në mënyrë empirike. Në 25,000 ditët para ngjarjeve të 11 shtatorit, gjatë të cilave u kryen fluturime mbi Manhattan, kishte vetëm dy raste të tilla (576): një përplasje me Empire State Building në 1945 dhe me një kullë në 40 Wall Street, në 1946. Prandaj, mundësia e një incidenti të tillë ishte rreth 1 shans në 12,500 në çdo ditë të rastësishme. Nëse këto shifra llogariten duke përdorur teoremën e Bayes (Tabela 8.3a), atëherë probabiliteti i një sulmi terrorist u rrit nga 0.005 në 38% në momentin që avioni i parë goditi ndërtesën.

Tabela 8.3a.

Megjithatë, ideja prapa teoremës së Bayes është se ne nuk i rregullojmë llogaritjet tona të probabilitetit vetëm një herë. Ne e bëjmë këtë gjatë gjithë kohës kur dalin prova të reja. Kështu, probabiliteti ynë i mëvonshëm për një sulm terrorist pas përplasjes së avionit të parë, i barabartë me 38%, bëhet ynë. A priori mundësia e një përplasjeje me të dytën.

Dhe nëse rillogaritni pasi avioni i dytë goditi kullën e Qendrës Botërore të Tregtisë, do të shihni se probabiliteti 99,99% i një sulmi terrorist zëvendësohet nga një pothuajse e sigurt e kësaj ngjarje. Një aksident në një ditë me diell në Nju Jork ishte jashtëzakonisht i pamundur, por i dyti ishte pothuajse i pamundur të mos ndodhte (Tabela 8.3b), siç e kuptuam papritur dhe me tmerr të madh.

Tabela 8.3b. Një shembull i llogaritjes së probabilitetit të një sulmi terrorist duke përdorur teoremën e Bayes

Zgjodha qëllimisht raste mjaft të vështira si shembuj - sulme terroriste, kancer, tradhti bashkëshortore - sepse dua të demonstroj shtrirjen e problemeve në të cilat mund të zbatohet mendimi Bayesian. Teorema e Bayes nuk është një formulë magjike. Formula e tij më e thjeshtë, të cilën e paraqesim në këtë libër, përdor veprime të thjeshta aritmetike për mbledhje, zbritje, pjesëtim dhe shumëzim. Por në mënyrë që ai të na japë një rezultat të dobishëm, ne duhet t'i japim atij informacion, veçanërisht llogaritjet tona të probabiliteteve të mëparshme.

Megjithatë, teorema e Bayes na detyron të mendojmë për probabilitetin e ndodhjes së ngjarjeve në botë, edhe kur bëhet fjalë për çështje që nuk do të donim t'i konsideronim si shfaqje të rastësisë. Nuk kërkon që ne ta perceptojmë botën si përbrenda, metafizikisht e papërcaktuar: Laplace besonte se çdo gjë nga orbitat e planetëve deri te lëvizja e molekulave më të vogla drejtohej nga rregulla të renditura Njutoniane. Megjithatë, ai luajti një rol të rëndësishëm në zhvillimin e teoremës së Bayes. Përkundrazi, mund të thuhet se kjo teoremë lidhet me epistemologjike pasiguria - kufijtë e njohurive tona.

ARITHMETIKA E THJESHTË (Rusia dhe CIS) Y. Byaly 18 nëntor - Një ndarje në Këshillin e Lartë të Bjellorusisë: 75 deputetë nënshkruan një kërkesë për të fajësuar Lukashenkon dhe 80 deputetë deklaruan besnikërinë e tyre ndaj kursit të presidentit. - Si shenjë mosmarrëveshjeje me kursin, Lukashenka dha dorëheqjen

MATEMATIKA E ULËT Denis Tukmakov Qëndrova në stacionin e autobusit duke pritur autobusin dhe më kot u përpoqa të kuptoj paragrafin nga teksti i matematikës së lartë që na kërkuan sot. Po lexoja diçka për vlerat e sinusit kur dëgjova pyetjen: "Më falni, kush është autori i këtij tutoriali?" I