Următoarele oferă câteva criterii pentru dependența liniară și, în consecință, independența liniară a sistemelor de vectori.

Teorema. (O condiție necesară și suficientă pentru dependența liniară a vectorilor.)

Un sistem de vectori este dependent dacă și numai dacă unul dintre vectorii sistemului este exprimat liniar în termenii celorlalți ai acestui sistem.

Dovada. Nevoie. Fie ca sistemul să fie dependent liniar. Apoi, prin definiție, reprezintă vectorul nul într-un mod netrivial, i.e. există o combinație netrivială a acestui sistem de vectori egală cu vectorul zero:

unde cel puțin unul dintre coeficienții acestei combinații liniare nu este egal cu zero. Lăsa , .

Împărțiți ambele părți ale egalității anterioare la acest coeficient diferit de zero (adică înmulțiți cu:

Notați: , unde .

acestea. unul dintre vectorii sistemului este exprimat liniar în termenii celorlalți ai acestui sistem etc.

Adecvarea. Fie ca unul dintre vectorii sistemului să fie exprimat liniar în termenii altor vectori ai acestui sistem:

Să mutăm vectorul la dreapta acestei egalități:

Deoarece coeficientul vectorului este , atunci avem o reprezentare netrivială a zero de către sistemul de vectori , ceea ce înseamnă că acest sistem de vectori este dependent liniar etc.

Teorema a fost demonstrată.

Consecinţă.

1. Un sistem de vectori într-un spațiu vectorial este liniar independent dacă și numai dacă niciunul dintre vectorii sistemului nu este exprimat liniar în termenii altor vectori ai acestui sistem.

2. Un sistem de vectori care conțin un vector zero sau doi vectori egali este dependent liniar.

Dovada.

1) Necesitatea. Fie sistemul liniar independent. Să presupunem contrariul și există un vector sistem care este exprimat liniar prin alți vectori ai acestui sistem. Apoi, după teoremă, sistemul este dependent liniar și ajungem la o contradicție.

Adecvarea. Niciunul dintre vectorii sistemului nu fie exprimat în termenii altora. Să presupunem contrariul. Fie ca sistemul să fie dependent liniar, dar din teoremă rezultă că există un vector sistem care este exprimat liniar prin alți vectori ai acestui sistem și ajungem din nou la o contradicție.

2a) Fie ca sistemul să conțină un vector zero. Presupunem ca vectorul :. Apoi egalitatea

acestea. unul dintre vectorii sistemului este exprimat liniar în termenii celorlalți vectori ai acestui sistem. Din teoremă rezultă că un astfel de sistem de vectori este dependent liniar, așa mai departe.

Rețineți că acest fapt poate fi demonstrat direct dintr-un sistem de vectori dependent liniar.

Deoarece , următoarea egalitate este evidentă

Aceasta este o reprezentare non-trivială a vectorului zero, ceea ce înseamnă că sistemul este dependent liniar.

2b) Fie ca sistemul să aibă doi vectori egali. Lasă pentru . Apoi egalitatea

Acestea. primul vector este exprimat liniar în termenii celorlalți vectori ai aceluiași sistem. Din teoremă rezultă că acest sistem dependente liniar etc.

Similar cu cea precedentă, această aserțiune poate fi demonstrată și direct din definiția unui sistem dependent liniar.Atunci acest sistem reprezintă vectorul zero în mod netrivial.

de unde rezultă dependență liniară sisteme .

Teorema a fost demonstrată.

Consecinţă. Un sistem format dintr-un vector este liniar independent dacă și numai dacă acest vector este diferit de zero.

Mulțimea de definiții w se numește spațiu liniar și elementul său. -vectori dacă:

* legea este stabilită (+) după cat. oricare două elemente x, y din w sunt asociate cu un element numit. suma lor [x + y]

* este dată legea (* asupra numărului a), conform căreia elementul x din w și a este comparat cu un element din w, numit produsul lui x și a [ax];

* efectuat

următoarele cerințe (sau axiome):

Urma c1. vector nul (ctv 0 1 și 0 2 . prin a3: 0 2 + 0 1 = 0 2 și 0 1 + 0 2 = 0 1 . prin a1 0 1 + 0 2 = 0 2 + 0 1 => 0 1 = 0 2.)

c2. .(ctv, a4)

c3. 0 vec.(a7)

c4. a(număr)*0=0.(a6,c3)

c5. x (*) -1 \u003d 0 vector, opus lui x, adică. (-1) x = -x. (a5,a6)

c6. Acțiunea de scădere este definită în w: vectorul x se numește diferența vectorilor b și a dacă x + a = b și se notează x = b - a.

Număr n numit dimensiune lin. pr-a L , dacă în L există un sistem de n lin. necăsătorit vectori și orice sistem de n+1 vector - lin. dependent. dim L= n. Spaţiu L se numește n-dimensional.

Un set ordonat de n linii. necăsătorit vectori n dimensional independenți. spatii - bază

Teorema. Fiecare vector X poate fi reprezentat singura cale sub formă de linii.Combinaţii de vectori de bază

Fie (1) baza unui lin n-dimensional. pr-va V, adică mulţime de vectori liniar independenţi. Setul de vectori va fi lin. dependent, deoarece lor n+ 1.

Acestea. există numere care nu sunt toate egale cu zero în același timp, ceea ce este în plus (în caz contrar (1) sunt dependente liniar).

Apoi unde este descompunerea vectorului Xîn bază(1) .

Această expresie este unică, deoarece dacă există o altă expresie (**)

scăzând din (*) egalitatea (**),

primim

pentru că sunt liniar independente, atunci . Chtd

Teorema. Dacă - lin. vectori independenți ai spațiului V și fiecare vector x din V pot fi reprezentați prin , atunci acești vectori formează baza lui V

Doc-in: (1) -lin.independent => rămâne doc-th, că pentru lin.dependent. Potrivit conv. Fiecare vector a se exprimă în termenii (1): , consider , rang≤n => între coloane nu mai mult de n sunt liniar independente, dar m > n=> m coloane sunt liniar dependente => s=1, n

Adică, vectorii sunt dependenți liniar

Astfel, spațiul V este n-dimensional și (1) baza sa

№4Def. Subsetul L lin. pr-va V se numeste lin. ref. a acestui spațiu dacă, în raport cu operațiile (+) și (*a) date în V, subspațiul L este un spațiu liniar

Teorema Mulțimea l de vectori din spațiul V este lin. Subspațiul acestui spațiu efectuează

(suficient) să fie satisfăcute (1) și (2), pentru faptul că L este un subsimplu V rămâne de demonstrat că toate axiomele lui lin sunt satisfăcute. pr-va.

(-x): -x+x=0 d. a(x + y) = ax + ay;

(a-b) și (e-h) rezultă din validitatea pentru V demonstrăm (c)

(nevoie) Fie L un lin. subspațiul acestui spațiu, atunci (1) și (2) sunt valabile datorită definiției liniilor. pr-va

Def. O colecție de tot felul de linii. combinatii ale unor elemente (x j) lin. pr-va se numește înveliș liniar

Teorema un set arbitrar de toate liniile. combinații de vectori V cu acțiune. coeficientul este lin. sub-V (coaja liniară sistem dat de vectori lin. pr. este un suport de linie al acestui pr. )

AOD.Submultimea nevid L de vectori liniare. pr-va V se numeste lin. subspațiu dacă:

a) suma oricăror vectori din L aparține lui L

b) produsul fiecărui vector din L cu orice număr îi aparține lui L

Suma a două subspațiiLeste din nou un subspațiuL

1) Fie y 1 + y 2 (L 1 + L 2)<=>y 1 \u003d x 1 + x 2, y 2 \u003d x’ 1 + x’ 2, unde (x 1, x’ 1) L 1, (x 2, x’ 2) L 2. y 1 +y 2 =(x 1 +x 2)+(x' 1 +x' 2)=(x 1 +x' 1)+(x 2 +x' 2), unde (x 1 +x' 1) ) L 1 , (x 2 +x' 2) L 2 => prima condiţie a subspaţiului liniar este îndeplinită.

ay 1 =ax 1 +ax 2, unde (ax 1) L 1, (ax 2) L 2 => deoarece (y 1 +y 2) (L 1 +L 2) , (ly 1) (L 1 +L 2) => sunt îndeplinite condițiile => L 1 +L 2 este un subspațiu liniar.

Intersecția a două sub.L 1 șiL 2 lin. pr-vaL este, de asemenea, un sub. acest spatiu.

Luați în considerare doi vectori arbitrari X,y aparținând intersecției subspațiilor și două numere arbitrare A,b:.

Conform def. stabiliți intersecții:

=> prin definiția unui subspațiu al unui spațiu liniar:,.

T.K.Vector topor + de aparține setului L 1 și setați L 2, atunci aparține, prin definiție, intersecției acestor mulțimi. În acest fel:

AOD.Se spune că V este suma directă a recuzitei sale. dacă și b) această descompunere este unică

b") Să arătăm că b) este echivalent cu b')

Cu b) adevărat b’)

Orice (M, N) din se intersectează numai de-a lungul vectorului zero

Fie ∃z ∈

Corect. versoL=

contradicţie

Teorema To (*) este necesar și suficient pentru unirea bazelor ( a stat la baza spațiului

(Necesar fie (*) și vectorii baze de submulțimi. și există o expansiune în ; x se descompune după baza L, pentru a afirma că ( constituie baza, este necesar să se dovedească independența lor liniară, toate conțin 0 0=0+…+0. Datorită unicității expansiunii lui 0 în : => datorită independenței liniare a bazei => ( – baza

(Ext.) Fie ( formează o bază L descompunere unică (**) există cel puțin o descompunere. În virtutea unicității (*) => unicitate (**)

Cometariu. Dimensiunea sumei directe este egală cu suma dimensiunilor subspațiului

Orice matrice pătratică nedegenerată poate servi ca o matrice de tranziție de la o bază la alta

Fie un spațiu liniar n-dimensional V să aibă două baze și

(1) =A , unde aici elementele * și ** nu sunt numere, dar vom extinde anumite operații pe o matrice numerică la astfel de rânduri.

pentru că în caz contrar, vectorii ** ar fi liniar dependenți

Înapoi. Dacă atunci coloanele A sunt liniar independente => formează o bază

Coordonatele și legate prin raport , Unde elemente ale matricei de tranziție

Să fie cunoscută extinderea elementelor bazei „noii” în termeni ai bazei „veche”.

Apoi egalitățile

Dar dacă combinația liniară de elemente liniar independente este egală cu 0 atunci =>

Teorema de bază a dependenței liniare

În cazul în care un (*) este exprimat liniar în termeni de (**) apoin<= m

Demonstrați prin inducție pe m

m=1: sistemul (*) conține 0 și lin. cap – imposibil

să fie adevărat pentru m=k-1

vom demonstra pentru m=k

se poate dovedi că 1) , i.e. in-ry (1) sunt lin.comb. lin. în șanț (2)Sistem (1) face parte din linie.nezav. sisteme (*). pentru că în sistemul (2) există doar k-1 vectori, apoi prin ipoteza inducției obținem k+1

Lăsa L este spațiul liniar peste câmp R . Lăsa A1, a2, ... , an (*) un sistem finit de vectori din L . Vector LA = a1× A1 + a2× A2 + … + an× Un (16) chemat O combinație liniară de vectori ( *), sau spune vector LA exprimată liniar printr-un sistem de vectori (*).

Definiția 14. Sistemul de vectori (*) este numit dependent liniar , dacă și numai dacă există un set diferit de zero de coeficienți a1, a2, … , astfel încât a1× A1 + a2× A2 + … + an× Un = 0. Dacă a1× A1 + a2× A2 + … + an× Un = 0 Û a1 = a2 = … = an = 0, atunci se apelează sistemul (*) liniar independent.

Proprietăți ale dependenței și independenței liniare.

10. Dacă un sistem de vectori conține un vector zero, atunci acesta este dependent liniar.

Într-adevăr, dacă în sistem (*) vectorul A1 = 0, Apoi 1× 0 + 0× A2 + ... + 0 × An = 0 .

20. Dacă un sistem de vectori conține doi vectori proporționali, atunci este dependent liniar.

Lăsa A1 = L×a2. Apoi 1× A1 –l× A2 + 0× A3 + … + 0× DAR N= 0.

30. Un sistem finit de vectori (*) pentru n ³ 2 este liniar dependent dacă și numai dacă cel puțin unul dintre vectorii săi este o combinație liniară a celorlalți vectori ai acestui sistem.

Þ Fie (*) dependent liniar. Atunci există un set diferit de zero de coeficienți a1, a2, … , astfel încât a1× A1 + a2× A2 + … + an× Un = 0 . Fără pierderea generalității, putem presupune că a1 ¹ 0. Atunci există A1 = ×a2× A2 + … + ×chan× DAR N. Deci, vectorul A1 este o combinație liniară a vectorilor rămași.

Ü Fie unul dintre vectori (*) o combinație liniară a celorlalți. Putem presupune că acesta este primul vector, adică A1 = B2 A2+ … + mld DAR N, deci (–1)× A1 + b2 A2+ … + mld DAR N= 0 , adică (*) este dependent liniar.

Cometariu. Folosind ultima proprietate, se poate defini dependența liniară și independența unui sistem infinit de vectori.

Definiția 15. Sistem vectorial A1, a2, ... , an , … (**) se numește dependent liniar, Dacă cel puțin unul dintre vectorii săi este o combinație liniară a unui număr finit de alți vectori. În caz contrar, sistemul (**) este apelat liniar independent.

40. Un sistem finit de vectori este liniar independent dacă și numai dacă niciunul dintre vectorii săi nu poate fi exprimat liniar în termenii celorlalți vectori ai săi.

50. Dacă un sistem de vectori este liniar independent, atunci oricare dintre subsistemele sale este, de asemenea, liniar independent.

60. Dacă un subsistem al unui sistem dat de vectori este dependent liniar, atunci întregul sistem este, de asemenea, dependent liniar.

Să fie date două sisteme de vectori A1, a2, ... , an , … (16) și В1, в2, … , вs, … (17). Dacă fiecare vector al sistemului (16) poate fi reprezentat ca o combinație liniară a unui număr finit de vectori ai sistemului (17), atunci spunem că sistemul (17) este exprimat liniar prin sistemul (16).

Definiția 16. Cele două sisteme de vectori se numesc echivalent , dacă fiecare dintre ele este exprimat liniar în termenii celuilalt.

Teorema 9 (teorema de baza a dependentei liniare).

Lasă și sunt două sisteme finite de vectori din L . Dacă primul sistem este liniar independent și liniar exprimat în termenii celui de-al doilea, atunci N£s.

Dovada. Să ne prefacem că N> S. Conform teoremei

comun. Deoarece numărul de ecuații este mai mare decât numărul de necunoscute, sistemul are infinite de soluții. Prin urmare, are un non-zero x10, x20, …, xN0. Pentru aceste valori, egalitatea (18) va fi adevărată, ceea ce contrazice faptul că sistemul de vectori este liniar independent. Deci presupunerea noastră este greșită. Prin urmare, N£s.

Consecinţă. Dacă două sisteme echivalente de vectori sunt finite și liniar independenți, atunci ele conțin același număr de vectori.

Definiția 17. Sistemul de vectori se numește Sistemul maxim liniar independent de vectori spațiu liniar L , dacă este liniar independent, dar adăugând la acesta orice vector din L neinclus în acest sistem, acesta devine liniar dependent.

Teorema 10. Orice două sisteme maxime finite liniar independente de vectori din L Conțin același număr de vectori.

Dovada rezultă din faptul că oricare două sisteme de vectori maxime liniar independente sunt echivalente .

Este ușor de demonstrat că orice sistem liniar independent de vectori spațiali L poate fi completat la sistemul maxim liniar independent de vectori ai acestui spațiu.

Exemple:

1. În mulțimea tuturor vectorilor geometrici coliniari, orice sistem format dintr-un vector diferit de zero este independent liniar maximal.

2. În mulțimea tuturor vectorilor geometrici coplanari, oricare doi vectori necoliniari constituie un sistem independent liniar maxim.

3. În mulțimea tuturor vectorilor geometrici posibili ai spațiului euclidian tridimensional, orice sistem de trei vectori necoplanari este maximul liniar independent.

4. În mulțimea tuturor polinoamelor, gradul este cel mult N Cu coeficienți reali (complexi), un sistem de polinoame 1, x, x2, …, xn Este independent liniar maxim.

5. În mulțimea tuturor polinoamelor cu coeficienți reali (complexi), exemple de sistem maximal independent liniar sunt

A) 1, x, x2, … , xn, … ;

b) 1, (1 - x), (1 - x)2, … , (1 - x)N,…

6. Mulțimea matricelor de dimensiune M´ N este un spațiu liniar (verificați-l). Un exemplu de sistem independent liniar maxim în acest spațiu este sistemul de matrici E11= , E12 \u003d, ..., EMn = .

Să fie dat un sistem de vectori C1, c2, ... , cf (*). Subsistemul de vectori din (*) se numește Maxim liniar independent Subsistemul sisteme ( *) , dacă este liniar independent, dar când i se adaugă orice alt vector al acestui sistem, acesta devine liniar dependent. Dacă sistemul (*) este finit, atunci oricare dintre subsistemele sale maxime independente liniar conține același număr de vectori. (Dovada de unul singur.) Se numește numărul de vectori din subsistemul maxim liniar independent al sistemului (*) rang Acest sistem. Evident, sistemele echivalente de vectori au aceleași ranguri.