1. Set de polinoame P n (X) grade nu mai mari n.

2. Multe n-secvențe de termeni (cu adunare și înmulțire pe termeni cu un scalar).

3 . O mulțime de caracteristici C [ A , b ] continuu pe [ A, b] și cu adunarea punctuală și înmulțirea cu un scalar.

4. Setul de funcții definit pe [ A, b] și dispare într-un punct interior fix c: f (c) = 0 și cu operații punctual de adunare și înmulțire cu un scalar.

5. Mulțimea R + dacă X ⊕ y  X  y, ⊙X X  .

§opt. Definiția subspațiului

Lasă decorul W este o submulțime a spațiului liniar V (W  V) și așa încât

a)  X, yW  X ⊕ yW;

b)  XW,    ⊙ XW.

Operațiile de adunare și înmulțire aici sunt aceleași ca în spațiu V(se numesc induse de spațiu V).

O asemenea multitudine W se numește subspațiu al spațiului V.

7  . subspațiu Wîn sine este spațiu.

◀ Pentru a o demonstra, este suficient să dovedim existența unui element neutru și a unui element opus. Egalități 0⊙ X=  și (–1)⊙ X = –X dovedesc ceea ce este necesar.

Un subspațiu format doar dintr-un element neutru () și un subspațiu care coincide cu spațiul însuși V, sunt numite subspații triviale ale spațiului V.

§9. Combinație liniară de vectori. Intervalul liniar al unui sistem de vectori

Lasă vectorii e 1 ,e 2 , …e n Vși  1 ,  2 , …  n .

Vector x=  1 e 1 +  2 e 2 + … +  n e n = numit liniar combinație de vectori e 1 , e 2 , … , e n cu coeficienți  1 ,  2 , …  n .

Dacă toți coeficienții dintr-o combinație liniară sunt zero, atunci combinația liniară numit banal.

Multe combinații liniare posibile de vectori
se numește interval liniar acest sistem de vectori și este notat cu:

ℒ(e 1 , e 2 , …, e n) = ℒ
.

8  . ℒ(e 1 , e 2 , …, e n

◀ Corectitudinea adunării și înmulțirii cu un scalar rezultă din faptul că ℒ( e 1 , e 2 , …, e n) este mulțimea tuturor combinațiilor liniare posibile. Elementul neutru este o combinație liniară trivială. Pentru element X=
elementul opus este X =
. Sunt satisfăcute și axiomele pe care operațiile trebuie să le îndeplinească. Astfel,ℒ( e 1 , e 2 , …, e n) este un spațiu liniar.

Orice spațiu liniar conține, în cazul general, un număr infinit de alte spații liniare (subspații) - învelișuri liniare

În viitor, vom încerca să răspundem la următoarele întrebări:

Când scoici liniare sisteme diferite vectorii constau din aceiași vectori (adică coincid)?

2) Care este numărul minim de vectori care definesc aceeași distanță liniară?

3) Este spațiul original un interval liniar al unui sistem de vectori?

§zece. Sisteme complete de vectori

Dacă în spațiu V există o mulțime finită de vectori
astfel încât,ℒ
 V, apoi sistemul de vectori
numit sistem complet V, iar spațiul se spune că este finit-dimensional. Astfel, sistemul de vectori e 1 , e 2 , …, e n V se numeste complet V sistem, adică dacă

XV   1 ,  2 , …  n astfel încât x=  1 e 1 +  2 e 2 + … +  n e n .

Dacă în spațiu V nu există un sistem complet finit (și un sistem complet există întotdeauna - de exemplu, mulțimea tuturor vectorilor spațiali V), apoi spațiul V se numeste infinit.

9  . În cazul în care un
plin in V sistem de vectori și y V, apoi ( e 1 , e 2 , …, e n , y) este, de asemenea, un sistem complet.

◀ Suficient în combinații liniare y ia egal cu 0.

Fie un sistem de vectori dintr-un spațiu vectorial V peste câmp P.

Definiția 2:Înveliș liniar L sisteme A este mulțimea tuturor combinațiilor liniare de vectori ai sistemului A. Desemnare LA).

Se poate demonstra că pentru oricare două sisteme Ași B,

A exprimată liniar prin B dacă și numai dacă . (unu)

A este echivalent cu B dacă și numai dacă L(A)=L(B). (2)

Dovada rezultă din proprietatea anterioară

3 Spațiul liniar al oricărui sistem de vectori este un subspațiu al spațiului V.

Dovada

Luați oricare doi vectori și LA), având următoarele expansiuni în vectori din A: . Să verificăm fezabilitatea condițiilor 1) și 2) ale criteriului:

Deoarece este o combinație liniară a vectorilor sistemului A.

Deoarece este și o combinație liniară a vectorilor sistemului A.

Luați în considerare acum matricea. Înveliș liniar al rândurilor matricei A se numește spațiul rând al matricei și se notează L r (A). Înveliș liniar al coloanelor matriceale A se numește spațiu coloanei și se notează L c (A). Rețineți că pentru spațiul rând și coloană al matricei A sunt subspații ale diferitelor spații aritmetice P nși P.m respectiv. Folosind afirmația (2), putem ajunge la următoarea concluzie:

Teorema 3: Dacă o matrice este obținută de la alta printr-un lanț de transformări elementare, atunci spațiile rând ale unor astfel de matrici coincid.

Suma și intersecția subspațiilor

Lăsa Lși M- două subspații ale spațiului R.

Cantitate L+M se numeste multimea vectorilor x+y , Unde X ∈Lși y ∈M. Evident, orice combinație liniară de vectori din L+M aparține L+M, Prin urmare L+M este un subspațiu al spațiului R(poate coincide cu spațiul R).

trecere L∩M subspații Lși M este mulţimea vectorilor care aparţin simultan subspaţiilor Lși M(poate consta doar dintr-un vector nul).

Teorema 6.1. Suma dimensiunilor subspațiilor arbitrare Lși M spațiu liniar finit-dimensional R este egală cu dimensiunea sumei acestor subspații și dimensiunea intersecției acestor subspații:

dim L+dim M=dim(L+M)+dim(L∩M).

Dovada. Denota F=L+Mși G=L∩M. Lăsa G g-subspațiu dimensional. Alegem o bază în ea. pentru că G⊂Lși G⊂M, de aici baza G poate fi adăugat la bază L iar la bază M. Fie baza subspațiului Lși lasă baza subspațiului M. Să arătăm că vectorii

(6.1) formează baza F=L+M. Pentru ca vectorii (6.1) să formeze baza spațiului F ele trebuie să fie liniar independente și orice vector spațial F poate fi reprezentat printr-o combinație liniară de vectori (6.1).

Să demonstrăm independență liniară vectori (6.1). Fie vectorul spațiu nul F este reprezentată printr-o combinație liniară de vectori (6.1) cu niște coeficienți:

Partea stângă a (6.3) este vectorul subspațial L, iar partea dreaptă este un vector subspațial M. De aici vectorul

(6.4) aparține subspațiului G=L∩M. Pe de altă parte, vectorul v poate fi reprezentat printr-o combinație liniară a vectorilor de bază ai subspațiului G:

(6.5) Din ecuațiile (6.4) și (6.5) avem:

Dar vectorii sunt baza unui subspațiu M, prin urmare sunt liniar independente și . Atunci (6.2) ia forma:

Datorită independenței liniare a bazei subspațiului L avem:

Deoarece toți coeficienții din ecuația (6.2) s-au dovedit a fi zero, vectorii

sunt liniar independente. Dar orice vector z din F(prin definiția sumei subspațiilor) poate fi reprezentată prin suma x+y , Unde X ∈ Ly ∈ M. La randul lui X este reprezentată printr-o combinație liniară de vectori a y - o combinație liniară de vectori . Prin urmare, vectorii (6.10) generează subspațiul F. Am constatat că vectorii (6.10) formează o bază F=L+M.

Studierea bazelor subspațiilor Lși Mși baza subspațială F=L+M(6.10), avem: dim L=g+l, dim M=g+m, dim (L+M)=g+l+m. Prin urmare:

dimL+dimM−dim(L∩M)=dim(L+M). ■

Suma directă a subspațiilor

Definiție 6.2. Spaţiu F este o sumă directă a subspațiilor Lși M, dacă fiecare vector X spaţiu F poate fi reprezentat doar ca o sumă x=y+z , Unde y ∈L și z ∈M.

Se notează suma directă L⊕M. Ei spun că dacă F=L⊕M, apoi F se descompune într-o sumă directă a subspațiilor sale Lși M.

Teorema 6.2. La n-spațiul dimensional R a fost o sumă directă de subspații Lși M, este suficient ca intersectia Lși M conține doar elementul zero și că dimensiunea lui R este egală cu suma dimensiunilor subspațiilor Lși M.

Dovada. Să alegem o bază în subspațiul L și o bază în subspațiul M. Să demonstrăm că

(6.11) este baza spațiului R. Prin ipoteza teoremei, dimensiunea spațiului R n este egală cu suma subspațiilor Lși M (n=l+m). Este suficient să se dovedească independența liniară a elementelor (6.11). Fie vectorul spațiu nul R este reprezentată printr-o combinație liniară de vectori (6.11) cu niște coeficienți:

(6.13)Deoarece partea stângă a (6.13) este un vector subspațial L, iar partea dreaptă este vectorul subspațial Mși L∩M=0 , apoi

(6.14)Dar vectorii și sunt bazele subspațiilor Lși M respectiv. Prin urmare, ele sunt liniar independente. Apoi

(6.15) Am stabilit că (6.12) este valabilă numai în condiția (6.15), iar aceasta demonstrează independența liniară a vectorilor (6.11). Prin urmare, ele formează o bază în R.

Fie x∈R. Îl extindem în ceea ce privește baza (6.11):

(6.16) Din (6.16) avem:

(6.18) Din (6.17) și (6.18) rezultă că orice vector din R poate fi reprezentat prin suma vectorilor X 1 ∈Lși X 2 ∈M. Rămâne de demonstrat că această reprezentare este unică. Fie, pe lângă reprezentarea (6.17), să avem și următoarea reprezentare:

(6.19) Scăzând (6.19) din (6.17), obținem

(6.20) Deoarece , și L∩M=0 , apoi și . Prin urmare și . ■

Teorema 8.4 asupra dimensiunii sumei subspațiilor. Dacă și sunt subspații ale unui spațiu liniar cu dimensiuni finite, atunci dimensiunea sumei subspațiilor este egală cu suma dimensiunilor lor fără dimensiunea intersecției lor ( Formula lui Grassmann):

Într-adevăr, să fie baza intersecției. Să-l suplimentăm cu un set ordonat de vectori până la baza subspațiului și un set ordonat de vectori până la baza subspațiului. O astfel de adăugare este posibilă prin Teorema 8.2. Din aceste trei seturi de vectori, vom compune un set ordonat de vectori. Să arătăm că acești vectori sunt generatori ai spațiului. Într-adevăr, orice vector al acestui spațiu poate fi reprezentat ca o combinație liniară de vectori din mulțimea ordonată

Prin urmare, . Să demonstrăm că generatoarele sunt liniar independente și, prin urmare, ele stau la baza spațiului. Într-adevăr, să facem o combinație liniară a acestor vectori și să o echivalăm cu vectorul zero: . Toți coeficienții acestei expansiuni sunt zero: subspațiile unui spațiu vectorial cu formă biliniară sunt mulțimea tuturor vectorilor ortogonali fiecărui vector din . Această mulțime este un subspațiu vectorial, care este de obicei notat cu .

vector(sau liniar) spaţiu- o structură matematică, care este un set de elemente, numite vectori, pentru care se definesc operațiile de adunare între ele și de înmulțire cu un număr - un scalar. Aceste operații sunt supuse opt axiome. Scalarii pot fi elemente ale unui câmp real, complex sau al oricărui alt câmp numeric. Un caz special al unui astfel de spațiu este spațiul euclidian tridimensional obișnuit, ai cărui vectori sunt utilizați, de exemplu, pentru a reprezenta forțele fizice. Trebuie remarcat faptul că un vector, ca element al unui spațiu vectorial, nu trebuie să fie specificat ca segment direcționat. Generalizarea conceptului de „vector” la un element al unui spațiu vectorial de orice natură nu numai că nu provoacă confuzii de termeni, dar ne permite și să înțelegem sau chiar să anticipăm o serie de rezultate care sunt valabile pentru spații de natură arbitrară. .

Spațiile vectoriale sunt obiectul de studiu în algebra liniară. Una dintre principalele caracteristici ale unui spațiu vectorial este dimensiunea acestuia. Dimensiunea este număr maxim elemente liniar independente ale spațiului, adică recurgând la o interpretare geometrică grosieră, a numărului de direcții care sunt inexprimabile între ele prin numai operațiile de adunare și înmulțire cu un scalar. Spațiul vectorial poate fi dotat cu structuri suplimentare, cum ar fi norma sau produsul punctual. Astfel de spații apar în mod natural în calcul, predominant ca spații funcționale cu dimensiuni infinite (Engleză), unde vectorii sunt funcțiile . Multe probleme de analiză necesită a afla dacă o secvență de vectori converge către un vector dat. Luarea în considerare a unor astfel de întrebări este posibilă în spații vectoriale cu structură suplimentară, în majoritatea cazurilor o topologie adecvată, care permite definirea conceptelor de proximitate și continuitate. Astfel de spații vectoriale topologice, în special spațiile Banach și Hilbert, permit un studiu mai profund.

Primele lucrări care au anticipat introducerea conceptului de spațiu vectorial datează din secolul al XVII-lea. Atunci au primit dezvoltarea geometria analitică, doctrina matricelor, sistemele de ecuații liniare și vectorii euclidieni.

Definiție

Liniar sau spațiu vectorial V (F) (\displaystyle V\stanga(F\dreapta)) peste câmp F (\displaystyle F) este un cvadruplu ordonat (V , F , + , ⋅) (\displaystyle (V,F,+,\cdot)), Unde

• V (\displaystyle V)- un set nevid de elemente de natură arbitrară, care sunt numite vectori;
• F (\displaystyle F)- un câmp ale cărui elemente sunt numite scalari;
• Operațiune definită adaosuri vectori V × V → V (\displaystyle V\time V\to V), potrivirea fiecărei perechi de elemente x , y (\displaystyle \mathbf (x) ,\mathbf (y) ) seturi V (\displaystyle V) V (\displaystyle V) chemându-i sumăși notat x + y (\displaystyle \mathbf (x) +\mathbf (y) );
• Operațiune definită multiplicarea vectorilor cu scalari F × V → V (\displaystyle F\times V\to V), care se potrivește cu fiecare element λ (\displaystyle \lambda ) câmpuri F (\displaystyle F)și fiecare element x (\displaystyle \mathbf (x) ) seturi V (\displaystyle V) singurul element al setului V (\displaystyle V), notat λ ⋅ x (\displaystyle \lambda \cdot \mathbf (x) ) sau λ x (\displaystyle \lambda \mathbf (x) );

Spațiile vectoriale definite pe același set de elemente, dar peste câmpuri diferite vor fi spații vectoriale diferite (de exemplu, setul de perechi numere reale R 2 (\displaystyle \mathbb (R) ^(2)) poate fi un spațiu vectorial bidimensional peste câmpul numerelor reale sau unidimensional - peste câmpul numerelor complexe).

Cele mai simple proprietăți

1. Spațiul vectorial este un grup abelian prin adunare.
2. element neutru 0 ∈ V (\displaystyle \mathbf (0) \in V)
3. 0 ⋅ x = 0 (\displaystyle 0\cdot \mathbf (x) =\mathbf (0) ) pentru oricine .
4. Pentru oricine x ∈ V (\displaystyle \mathbf (x) \in V) element opus − x ∈ V (\displaystyle -\mathbf (x) \in V) este singurul care rezultă din proprietățile grupului.
5. 1 ⋅ x = x (\displaystyle 1\cdot \mathbf (x) =\mathbf (x) ) pentru oricine x ∈ V (\displaystyle \mathbf (x) \in V).
6. (− α) ⋅ x = α ⋅ (− x) = − (α x) (\displaystyle (-\alpha)\cdot \mathbf (x) =\alpha \cdot (-\mathbf (x))=-( \alpha \mathbf (x))) pentru orice și x ∈ V (\displaystyle \mathbf (x) \in V).
7. α ⋅ 0 = 0 (\displaystyle \alpha \cdot \mathbf (0) =\mathbf (0) ) pentru oricine α ∈ F (\displaystyle \alpha \in F).

Definiții și proprietăți înrudite

subspațiu

Definiție algebrică: Subspațiu liniar sau subspațiu vectorial este un submult nevid K (\displaystyle K) spațiu liniar V (\displaystyle V) astfel încât K (\displaystyle K) este el însuși un spațiu liniar în raport cu cele definite în V (\displaystyle V) operatiile de adunare si inmultire cu un scalar. Setul tuturor subspațiilor este de obicei notat ca L a t (V) (\displaystyle \mathrm (Lat) (V)). Pentru ca o submulțime să fie un subspațiu, este necesar și suficient ca

Ultimele două afirmații sunt echivalente cu următoarele:

Pentru orice vector x , y ∈ K (\displaystyle \mathbf (x) ,\mathbf (y) \in K) vector α x + β y (\displaystyle \alpha \mathbf (x) +\beta \mathbf (y) ) a aparținut și K (\displaystyle K) pentru orice α , β ∈ F (\displaystyle \alpha ,\beta \in F).

În special, un spațiu vectorial format dintr-un singur vector zero este un subspațiu al oricărui spațiu; orice spațiu este un subspațiu al lui însuși. Subspațiile care nu coincid cu aceste două sunt numite proprii sau nebanală.

Proprietăți subspațiu

Combinații liniare

Suma finală a vederii

Combinația liniară se numește:

Bază. Dimensiune

Vectori x 1 , x 2 , … , x n (\displaystyle \mathbf (x) _(1),\mathbf (x) _(2),\ldots ,\mathbf (x) _(n)) numit dependent liniar, dacă există o combinație liniară netrivială a acestora, a cărei valoare este egală cu zero; acesta este

cu niște coeficienți α 1 , α 2 , … , α n ∈ F , (\displaystyle \alpha _(1),\alpha _(2),\ldots,\alpha _(n)\in F,)și cel puțin unul dintre coeficienți α i (\displaystyle \alpha _(i)) diferit de zero.

În caz contrar, acești vectori sunt numiți liniar independent.

Această definiție permite următoarea generalizare: un set infinit de vectori din V (\displaystyle V) numit dependent liniar, dacă unele final subsetul său și liniar independent, dacă este cazul final submulțimea este liniar independentă.

Proprietăți de bază:

Înveliș liniar

Înveliș liniar subseturi X (\displaystyle X) spațiu liniar V (\displaystyle V)- intersecția tuturor subspațiilor V (\displaystyle V) conținând X (\displaystyle X).

Învelișul liniar este un subspațiu V (\displaystyle V).

Înveliș liniar se mai numește subspațiu generat X (\displaystyle X). Se mai spune că intervalul liniar V (X) (\displaystyle (\mathcal (V))(X))- spatiu, întins peste Multe X (\displaystyle X).

Articolul descrie elementele de bază ale algebrei liniare: spațiul liniar, proprietățile acestuia, conceptul de bază, dimensiunile spațiului, intervalul liniar, relația dintre spațiile liniare și rangul matricelor.

spațiu liniar

Multe L numit spațiu liniar, dacă pentru toate elementele sale operaţiile de adunare a două elemente şi de înmulţire a unui element cu un număr satisfăcător eu grup Axiomele lui Weyl. Elementele unui spațiu liniar se numesc vectori. Aceasta este definiția completă; mai pe scurt, putem spune că un spațiu liniar este un set de elemente pentru care sunt definite operațiile de adunare a două elemente și de înmulțire a unui element cu un număr.

Axiomele lui Weyl.

Herman Weil a sugerat că în geometrie avem două tipuri de obiecte ( vectori și puncte), ale căror proprietăți sunt descrise de următoarele axiome, care au stat la baza secțiunii algebră liniară. Axiomele pot fi împărțite convenabil în 3 grupuri.

Grupa I

1. pentru orice vector x și y egalitatea x+y=y+x este satisfăcută;
2. pentru orice vector x, y și z, x+(y+z)=(x+y)+z;
3. există un vector o astfel încât pentru orice vector x egalitatea x + o = x este adevărată;
4. pentru orice vector X există un vector (-x) astfel încât x+(-x)=o;
5. pentru orice vector X are loc egalitatea 1x=x;
6. pentru orice vector Xși lași orice număr λ, egalitatea λ( X+la)=λ X+λ la;
7. pentru orice vector Xși orice numere λ și μ avem egalitatea (λ+μ) X=λ X+μ X;
8. pentru orice vector Xși orice numere λ și μ, egalitatea λ(μ X)=(λμ) X;

Grupa II

Grupa I definește conceptul combinație liniară de vectori, dependență liniarăși independență liniară. Acest lucru ne permite să formulăm încă două axiome:

1. există n vectori liniar independenți;
2. orice vector (n+1) este dependent liniar.

Pentru planimetrie n=2, pentru stereometrie n=3.

Grupa III

Acest grup presupune că există o operație de multiplicare scalară care asociază o pereche de vectori Xși la număr ( X y). în care:

1. pentru orice vector Xși la egalitatea este valabilă ( X y)=(y, x);
2. pentru orice vector X , lași z egalitatea este valabilă ( x+y,z)=(x,z)+(y,z);
3. pentru orice vector Xși lași orice număr λ, egalitatea (λ X y)=λ( X y);
4. pentru orice vector x, inegalitatea ( x, x)≥0 și ( x, x)=0 dacă și numai dacă X=0.

Proprietățile spațiului liniar

În cea mai mare parte, proprietățile unui spațiu liniar se bazează pe axiomele lui Weyl:

1. Vector despre, a cărui existență este garantată de Axioma 3, este definită în mod unic;
2. Vector(- X), a cărei existență este garantată de Axioma 4, este definită în mod unic;
3. Pentru oricare doi vectori Ași b aparținând spațiului L, există un singur vector X, aparținând tot spațiului L, care este o soluție a ecuației a+x=bși numită diferența vectorială b-a.

Definiție. Subset L' spațiu liniar L numit subspațiu liniar spaţiu L, dacă este el însuși un spațiu liniar în care suma vectorilor și produsul unui vector cu un număr sunt definite în același mod ca în L.

Definiție. Înveliș liniar L(x1, x2, x3, …, xk) vectori x1, x2, x3,și xk este mulțimea tuturor combinațiilor liniare ale acestor vectori. Despre intervalul liniar, putem spune că

-intervalul liniar este un subspațiu liniar;

– intervalul liniar este subspațiul liniar minim care conține vectorii x1, x2, x3,și xk.

Definiție. Un spațiu liniar se numește n-dimensional dacă satisface Grupul II al sistemului de axiome ale lui Weyl. Se numește numărul n dimensiune spațiu liniar și scrieți dimL=n.

Bază este orice sistem ordonat n vectori liniar independenți ai spațiului . Semnificația bazei este astfel încât vectorii care alcătuiesc baza pot fi utilizați pentru a descrie orice vector din spațiu.

Teorema. Orice n vectori liniar independenți din spațiul L formează o bază.

Izomorfism.

Definiție. Spații liniare Lși L' se numesc izomorfe dacă se poate stabili o astfel de corespondență unu-la-unu între elementele lor x↔x', ce:

1. dacă x↔x', y↔y', apoi x+y↔x'+y';
2. dacă x↔x', apoi λ x↔λ X'.

Această corespondență se numește izomorfism. Izomorfismul ne permite să facem următoarele afirmații:

• dacă două spații sunt izomorfe, atunci dimensiunile lor sunt egale;
• oricare două spații liniare peste același câmp și de aceeași dimensiune sunt izomorfe.