O proprietate caracteristică a unei tangente. Pe segmente tangente la un cerc. Teorema tangentei și secantei

Transecte, tangente - toate acestea au putut fi auzite de sute de ori la lecțiile de geometrie. Dar absolvirea școlii s-a terminat, anii trec și toate aceste cunoștințe sunt uitate. Ce ar trebui reținut?

Esență

Termenul „tangent la un cerc” este probabil familiar tuturor. Dar este puțin probabil ca toată lumea să-și poată formula rapid definiția. Între timp, o tangentă este o astfel de linie dreaptă situată în același plan cu un cerc care o intersectează doar într-un singur punct. Poate exista o mare varietate de ele, dar toate au aceleași proprietăți, care vor fi discutate mai jos. După cum ați putea ghici, punctul de contact este locul în care cercul și linia se intersectează. În fiecare caz, este unul, dar dacă sunt mai mulți, atunci va fi o secantă.

Istoria descoperirii și studiului

Conceptul de tangentă a apărut în antichitate. Construcția acestor linii drepte, mai întâi la un cerc, și apoi la elipse, parabole și hiperbole cu ajutorul unei rigle și a unei busole, a fost realizată chiar și în etapele inițiale ale dezvoltării geometriei. Desigur, istoria nu a păstrat numele descoperitorului, dar este evident că chiar și la acea vreme oamenii erau destul de conștienți de proprietățile unei tangente la un cerc.

În vremurile moderne, interesul pentru acest fenomen a aprins din nou - a început o nouă rundă de studiu a acestui concept, combinată cu descoperirea de noi curbe. Deci, Galileo a introdus conceptul de cicloid, iar Fermat și Descartes au construit o tangentă la acesta. Cât despre cercuri, se pare că nu au mai rămas secrete pentru străvechi în această zonă.

Proprietăți

Raza trasată până la punctul de intersecție va fi

principala, dar nu singura proprietate pe care o are tangenta la un cerc. O altă caracteristică importantă include deja două linii drepte. Deci, printr-un punct situat în afara cercului, pot fi trase două tangente, în timp ce segmentele lor vor fi egale. Există o altă teoremă pe acest subiect, dar rareori este trecută în cadrul standardului curs şcolar, deși este extrem de convenabil pentru rezolvarea unor probleme. Sună așa. Dintr-un punct situat în afara cercului, sunt trase la el o tangentă și o secantă. Se formează segmentele AB, AC și AD. A este intersecția liniilor, B este punctul de contact, C și D sunt intersecțiile. În acest caz, următoarea egalitate va fi valabilă: lungimea tangentei la cerc, la pătrat, va fi egală cu produsul segmentelor AC și AD.

Există o consecință importantă a celor de mai sus. Pentru fiecare punct al cercului, puteți construi o tangentă, dar numai una. Dovada acestui lucru este destul de simplă: teoretic aruncând o perpendiculară din rază pe ea, aflăm că triunghiul format nu poate exista. Și asta înseamnă că tangenta este unică.

Clădire

Printre alte sarcini în geometrie, există o categorie specială, de regulă, nu

favorizată de elevi și studenți. Pentru a rezolva sarcini din această categorie, aveți nevoie doar de o busolă și o riglă. Acestea sunt sarcini de construcție. Există și metode de construire a unei tangente.

Deci, având în vedere un cerc și un punct situat în afara granițelor sale. Și este necesar să desenați o tangentă prin ele. Cum să o facă? În primul rând, trebuie să desenați un segment între centrul cercului O și punct dat. Apoi, folosind o busolă, împărțiți-o în jumătate. Pentru a face acest lucru, trebuie să setați raza - puțin mai mult de jumătate din distanța dintre centrul cercului original și punctul dat. După aceea, trebuie să construiți două arce care se intersectează. În plus, raza busolei nu trebuie schimbată, iar centrul fiecărei părți a cercului va fi punctul inițial și, respectiv, O. Intersecțiile arcurilor trebuie să fie conectate, ceea ce va împărți segmentul în jumătate. Setați o rază pe busolă egală cu această distanță. Apoi, cu centrul în punctul de intersecție, desenați un alt cerc. Pe el se vor afla atât punctul inițial, cât și O. În acest caz, vor mai exista două intersecții cu cercul dat în problemă. Acestea vor fi punctele de contact pentru punctul dat inițial.

Construcția tangentelor la cerc a dus la naștere

calcul diferenţial. Prima lucrare pe această temă a fost publicată de celebrul matematician german Leibniz. El prevedea posibilitatea de a găsi maxime, minime și tangente, indiferent de valorile fracționale și iraționale. Ei bine, acum este folosit și pentru multe alte calcule.

De asemenea, tangenta la cerc este legată de sens geometric tangentă. De aici provine numele lui. Tradus din latină, tangens înseamnă „tangentă”. Astfel, acest concept este conectat nu numai cu geometria și calculul diferențial, ci și cu trigonometria.

Două cercuri

O tangentă nu afectează întotdeauna o singură figură. Dacă un număr mare de linii drepte pot fi trase într-un cerc, atunci de ce nu invers? Poate sa. Dar sarcina în acest caz este serios complicată, deoarece tangenta la două cercuri poate să nu treacă prin niciun punct, iar poziția relativă a tuturor acestor cifre poate fi foarte

diferit.

Tipuri și soiuri

Când vorbim despre două cercuri și una sau mai multe linii drepte, atunci chiar dacă se știe că acestea sunt tangente, nu devine imediat clar cum sunt situate toate aceste figuri una în raport cu cealaltă. Pe baza acestui fapt, există mai multe soiuri. Deci, cercurile pot avea unul sau două puncte comune sau să nu le aibă deloc. În primul caz, se vor intersecta, iar în al doilea, se vor atinge. Și aici există două soiuri. Dacă un cerc este, așa cum ar fi, încorporat în al doilea, atunci atingerea se numește intern, dacă nu, atunci extern. Puteți înțelege poziția relativă a figurilor nu numai pe baza desenului, ci și având informații despre suma razelor lor și distanța dintre centrele lor. Dacă aceste două cantități sunt egale, atunci cercurile se ating. Dacă primul este mai mare, se intersectează, iar dacă este mai mic, atunci nu au puncte comune.

La fel și cu liniile drepte. Pentru oricare două cercuri care nu au puncte comune, se poate

construiți patru tangente. Două dintre ele se vor intersecta între figuri, se numesc interne. Alți doi sunt externi.

Dacă vorbim despre cercuri care au un punct comun, atunci sarcina este mult simplificată. Faptul este că pentru orice aranjament reciproc în acest caz, vor avea o singură tangentă. Și va trece prin punctul de intersecție. Deci construcția dificultății nu va provoca.

Dacă figurile au două puncte de intersecție, atunci se poate construi o linie dreaptă pentru ele, tangentă la cerc, atât unul cât și al doilea, dar numai cel exterior. Soluția la această problemă este similară cu ceea ce va fi discutat mai jos.

Rezolvarea problemelor

Atât tangentele interne și externe la două cercuri nu sunt atât de simple în construcție, deși această problemă poate fi rezolvată. Faptul este că o figură auxiliară este folosită pentru aceasta, așa că gândiți-vă singur la această metodă

destul de problematic. Deci, date două cercuri cu raze și centre diferite O1 și O2. Pentru ei, trebuie să construiți două perechi de tangente.

În primul rând, în apropierea centrului cercului mai mare, trebuie să construiți unul auxiliar. În acest caz, diferența dintre razele celor două cifre inițiale trebuie stabilită pe busolă. Tangentele la cercul auxiliar sunt construite din centrul cercului mai mic. După aceea, de la O1 și O2, se desenează perpendiculare pe aceste linii până când se intersectează cu figurile originale. După cum rezultă din proprietatea principală a tangentei, se găsesc punctele dorite pe ambele cercuri. Problema este rezolvată, cel puțin, prima ei parte.

Pentru a construi tangentele interne, trebuie rezolvate practic

o sarcină similară. Din nou, veți avea nevoie de o formă de ajutor, dar de data aceasta raza ei va fi este egală cu suma iniţială. Tangentele sunt construite la acesta din centrul unuia dintre cercurile date. Evoluția ulterioară a soluției poate fi înțeleasă din exemplul anterior.

Tangenta la un cerc sau chiar două sau mai multe nu este o sarcină atât de dificilă. Desigur, matematicienii au încetat de mult să rezolve astfel de probleme manual și să încredințeze calculele unor programe speciale. Dar să nu credeți că acum nu este necesar să o puteți face singur, pentru că pentru a formula corect o sarcină pentru un computer, trebuie să faceți și să înțelegeți multe. Din păcate, există temeri că, după trecerea finală la forma de testare a controlului cunoștințelor, sarcinile de construcție vor cauza din ce în ce mai multe dificultăți elevilor.

În ceea ce privește găsirea de tangente comune pentru mai multe cercuri, acest lucru nu este întotdeauna posibil, chiar dacă acestea se află în același plan. Dar în unele cazuri este posibil să găsiți o astfel de linie.

Exemple din viața reală

O tangentă comună la două cercuri este adesea întâlnită în practică, deși acest lucru nu este întotdeauna vizibil. Transportoare, sisteme de blocuri, curele de transmisie cu scripete, tensiunea firului într-o mașină de cusut și chiar și doar un lanț de bicicletă - toate acestea sunt exemple din viață. Deci, să nu credeți că problemele geometrice rămân doar în teorie: în inginerie, fizică, construcții și multe alte domenii, ele își găsesc aplicație practică.

\[(\Large(\text(Central and Inscribed Angles)))\]

Definiții

Un unghi central este un unghi al cărui vârf se află în centrul cercului.

Un unghi înscris este un unghi al cărui vârf se află pe cerc.

Gradul de măsurare a unui arc de cerc este gradul de măsurare a unghiului central care se sprijină pe acesta.

Teorema

Măsura unui unghi înscris este jumătate din măsura arcului pe care îl interceptează.

Dovada

Vom efectua demonstrația în două etape: în primul rând, dovedim validitatea enunțului pentru cazul în care una dintre laturile unghiului înscris conține un diametru. Fie punctul $B$ vârful unghiului înscris $ABC$ și $BC$ diametrul cercului:

Triunghiul $AOB$ este isoscel, $AO = OB$ , $\angle AOC$ este exterior, apoi $\unghiul AOC = \unghiul OAB + \unghiul ABO = 2\unghiul ABC$, Unde $\angle ABC = 0,5\cdot\angle AOC = 0,5\cdot\buildrel\smile\over(AC)$.

Acum luați în considerare un unghi înscris arbitrar $ABC$ . Desenați diametrul cercului $BD$ de la vârful unghiului înscris. Sunt posibile două cazuri:

1) diametrul taie unghiul în două unghiuri $\angle ABD, \angle CBD$ (pentru fiecare dintre ele teorema este adevărată, așa cum sa dovedit mai sus, de aceea este valabilă și pentru unghiul inițial, care este suma acestora doi și, prin urmare, este egală cu jumătate din suma arcurilor pe care se sprijină, adică egală cu jumătate din arcul pe care se sprijină). Orez. 1.

2) diametrul nu a tăiat unghiul în două unghiuri, atunci mai avem două unghiuri noi înscrise $\angle ABD, \angle CBD$, a căror latură conține diametrul, prin urmare, teorema este adevărată pentru ele, atunci este valabil și pentru unghiul inițial (care este egal cu diferența dintre aceste două unghiuri, ceea ce înseamnă că este egal cu jumătate de diferență a arcelor pe care se sprijină, adică este egal cu jumătate din arcul pe care se sprijină). odihnă). Orez. 2.

Consecințe

1. Unghiurile înscrise bazate pe același arc sunt egale.

2. Un unghi înscris bazat pe un semicerc este un unghi drept.

3. Un unghi înscris este egal cu jumătate din unghiul central bazat pe același arc.

\[(\Large(\text(Tangent la cerc)))\]

Definiții

Există trei tipuri poziție relativă linie dreaptă și cerc:

1) linia $a$ intersectează cercul în două puncte. O astfel de linie se numește secanta. În acest caz, distanța $d$ de la centrul cercului la linia dreaptă este mai mică decât raza $R$ a cercului (Fig. 3).

2) linia $b$ intersectează cercul într-un punct. O astfel de dreaptă se numește tangentă, iar punctul lor comun $B$ se numește punct tangent. În acest caz $d=R$ (Fig. 4).

Teorema

1. Tangenta la cerc este perpendiculară pe raza trasată la punctul de contact.

2. Dacă linia trece prin capătul razei cercului și este perpendiculară pe această rază, atunci este tangentă la cerc.

Consecinţă

Segmentele tangentelor trasate de la un punct la cerc sunt egale.

Dovada

Desenați două tangente $KA$ și $KB$ la cerc din punctul $K$:

Deci $OA\perp KA, OB\perp KB$ ca raze. Triunghiurile dreptunghiulare $\triunghi KAO$ și $\triunghi KBO$ sunt egale în catete și ipotenuză, deci $KA=KB$ .

Consecinţă

Centrul cercului $O$ se află pe bisectoarea unghiului $AKB$ format din două tangente trase din același punct $K$ .

\[(\Large(\text(Teoreme legate de unghiuri)))\]

Teorema despre unghiul dintre secante

Unghiul dintre două secante trase din același punct este egal cu jumătatea diferenței gradelor arcelor mai mari și mai mici tăiate de acestea.

Dovada

Fie $M$ un punct din care sunt trase două secante așa cum se arată în figură:

Să arătăm asta $\angle DMB = \dfrac(1)(2)(\buildrel\smile\over(BD) - \buildrel\smile\over(CA))$.

$\angle DAB$ este colțul exterior al triunghiului $MAD$ , atunci $\angle DAB = \angle DMB + \angle MDA$, Unde $\angle DMB = \angle DAB - \angle MDA$, dar unghiurile $\angle DAB$ și $\angle MDA$ sunt înscrise, atunci $\angle DMB = \angle DAB - \angle MDA = \frac(1)(2)\buildrel\smile\over(BD) - \frac(1)(2)\buildrel\smile\over(CA) = \frac(1)(2)(\buildrel\smile\over(BD) - \buildrel\smile\over(CA))$, ceea ce urma să fie dovedit.

Teorema unghiului dintre coarde care se intersectează

Unghiul dintre două coarde care se intersectează este egal cu jumătate din suma gradelor de arc ale arcurilor pe care le taie: \[\angle CMD=\dfrac12\left(\buildrel\smile\over(AB)+\buildrel\smile\over(CD)\right)\]

Dovada

$\angle BMA = \angle CMD$ ca verticală.

Din triunghi $AMD$: $\angle AMD = 180^\circ - \angle BDA - \angle CAD = 180^\circ - \frac12\buildrel\smile\over(AB) - \frac12\buildrel\smile\over(CD)$.

Dar $\angle AMD = 180^\circ - \angle CMD$, de unde tragem concluzia că \[\angle CMD = \frac12\cdot\buildrel\smile\over(AB) + \frac12\cdot\buildrel\smile\over(CD) = \frac12(\buildrel\smile\over(AB) + \buildrel\ zâmbește\pe (CD)).\]

Teorema unghiului dintre o coardă și o tangentă

Unghiul dintre tangentă și coarda care trece prin punctul tangentă este egal cu jumătate din gradul de măsurare a arcului scăzut de coardă.

Dovada

Fie ca linia $a$ să atingă cercul în punctul $A$ , $AB$ să fie coarda acestui cerc, $O$ să fie centrul acestuia. Fie ca linia care conține $OB$ se intersectează cu $a$ în punctul $M$ . Să demonstrăm asta $\angle BAM = \frac12\cdot \buildrel\smile\over(AB)$.

Notați $\angle OAB = \alpha$ . Deoarece $OA$ și $OB$ sunt raze, atunci $OA = OB$ și $\angle OBA = \angle OAB = \alpha$. În acest fel, $\buildrel\smile\over(AB) = \angle AOB = 180^\circ - 2\alpha = 2(90^\circ - \alpha)$.

Deoarece $OA$ este raza trasată la punctul tangent, atunci $OA\perp a$ , adică $\angle OAM = 90^\circ$, prin urmare, $\angle BAM = 90^\circ - \angle OAB = 90^\circ - \alpha = \frac12\cdot\buildrel\smile\over(AB)$.

Teoremă asupra arcurilor contractate de coarde egale

Acordurile egale subtind arcuri egale, semicercuri mai mici.

Și invers: arcurile egale sunt contractate de coarde egale.

Dovada

1) Fie $AB=CD$ . Să demonstrăm că semicercurile mai mici ale arcului .

Pe trei laturi, deci $\angle AOB=\angle COD$ . Dar de atunci $\angle AOB, \angle COD$ - colțurile centrale bazat pe arce $\buildrel\smile\over(AB), \buildrel\smile\over(CD)$ respectiv, atunci $\buildrel\smile\over(AB)=\buildrel\smile\over(CD)$.

2) Dacă $\buildrel\smile\over(AB)=\buildrel\smile\over(CD)$, apoi $\triunghi AOB=\triunghi COD$ de-a lungul a două laturi $AO=BO=CO=DO$ și unghiul dintre ele $\angle AOB=\angle COD$ . Prin urmare, $AB=CD$ .

Teorema

Dacă o rază traversează o coardă, atunci aceasta este perpendiculară pe aceasta.

Este adevărat și invers: dacă raza este perpendiculară pe coardă, atunci punctul de intersecție o bisectează.

Dovada

1) Fie $AN=NB$ . Să demonstrăm că $OQ\perp AB$ .

Considerăm $\triunghiul AOB$ : este isoscel, deoarece $OA=OB$ – razele cercului. pentru că $ON$ este mediana trasată la bază, apoi este și înălțimea, deci $ON\perp AB$ .

2) Fie $OQ\perp AB$ . Să demonstrăm că $AN=NB$ .

În mod similar, $\triunghiul AOB$ este isoscel, $ON$ este înălțimea, deci $ON$ este mediana. Prin urmare, $AN=NB$ .

\[(\Large(\text(Teoreme legate de lungimile segmentelor)))\]

Teorema asupra produsului segmentelor de coarde

Dacă două acorduri ale unui cerc se intersectează, atunci produsul segmentelor unei coarde este egal cu produsul segmentelor celeilalte coarde.

Dovada

Lasă acordurile $AB$ și $CD$ să se intersecteze în punctul $E$ .

Luați în considerare triunghiurile $ADE$ și $CBE$ . În aceste triunghiuri, unghiurile $1$ și $2$ sunt egale, deoarece sunt înscrise și se bazează pe același arc $BD$, iar unghiurile $3$ și $4$ sunt egale cu verticale. Triunghiurile $ADE$ și $CBE$ sunt similare (după primul criteriu de asemănare a triunghiului).

Apoi $\dfrac(AE)(EC) = \dfrac(DE)(BE)$, de unde $AE\cdot BE = CE\cdot DE$ .

Teorema tangentei și secantei

Pătratul unui segment tangent este egal cu produsul secantei și părții sale exterioare.

Dovada

Lăsați tangenta să treacă prin punctul $M$ și atingeți cercul în punctul $A$ . Lasă secantei să treacă prin punctul $M$ și să intersecteze cercul în punctele $B$ și $C$ astfel încât $MB< MC$ . Покажем, что $MB\cdot MC = MA^2$ .

Luați în considerare triunghiurile $MBA$ și $MCA$ : $\angle M$ este general, $\angle BCA = 0,5\cdot\buildrel\smile\over(AB)$. Conform teoremei unghiului dintre o tangentă și o secantă, $\angle BAM = 0,5\cdot\buildrel\smile\over(AB) = \angle BCA$. Astfel, triunghiurile $MBA$ și $MCA$ sunt similare în două unghiuri.

Din asemănarea triunghiurilor $MBA$ și $MCA$ avem: $\dfrac(MB)(MA) = \dfrac(MA)(MC)$, care este echivalent cu $MB\cdot MC = MA^2$ .

Consecinţă

Produsul secantei trase din punctul $O$ și partea sa exterioară nu depinde de alegerea secantei trase din punctul $O$ .

puncte $x_0\in \mathbb(R)$ , și este diferențiabilă în ea: $f \in \mathcal(D)(x_0)$ . Tangenta la graficul unei functii $f$ la punct $x_0$ se numește graficul unei funcții liniare, dat de ecuație $y = f(x_0) + f"(x_0)(x-x_0),\quad x\in \mathbb(R)$ .

Dacă funcţia

f

are la punct

x_0

derivat infinit

f"(x_0) = \pm\infty,

atunci linia tangentă în acest punct este linia verticală dată de ecuație

x = x_0.

cometariu

Rezultă direct din definiție că graficul dreptei tangente trece prin punct $(x_0,f(x_0))$ . Colţ $\alfa$ între tangenta la curbă și axa x satisface ecuația

$\operatorname(tg)\,\alpha = f"(x_0)=k,$

Unde $\operatorname(tg)$ reprezintă tangentă și $\operatorname (k)$ - coeficientul de pantă tangentă. Derivată la un punct $x_0$ este egal cu coeficient unghiular tangentă la graficul funcției $y = f(x)$ în acest moment.

Tangenta ca pozitie limitatoare a unei secante

Lăsa $f\colon U(x_0) \to \R$ și $x_1\în U(x_0).$ Apoi o linie dreaptă care trece prin puncte $(x_0,f(x_0))$ și $(x_1,f(x_1))$ dat de ecuaţie

$y = f(x_0) + \frac(f(x_1) - f(x_0))(x_1 - x_0)(x-x_0).$

Această linie trece prin punct $(x_0,f(x_0))$ pentru oricine $x_1\în U(x_0),$ și unghiul său de înclinare $\alpha(x_1)$ satisface ecuația

$\operatorname(tg)\,\alpha(x_1) = \frac(f(x_1) - f(x_0))(x_1 - x_0).$

Datorită existenţei derivatei funcţiei $f$ la punct $x_0,$ trecand la limita la $x_1\la x_0,$ înțelegem că există o limită

$\lim\limits_(x_1 \to x_0) \operatorname(tg)\,\alpha(x_1) = f"(x_0),$

iar datorită continuităţii arc-tangentei şi unghiului limitator

$\alpha = \operatorname(arctg)\,f"(x_0).$

Linie care trece printr-un punct $(x_0,f(x_0))$ şi având un unghi limită de înclinare care satisface $\operatorname(tg)\,\alpha = f"(x_0),$ este dat de ecuația tangentei:

$y \u003d f (x_0) + f "(x_0) (x-x_0).$

Tangenta la cerc

O dreaptă care are un punct comun cu un cerc și se află în același plan cu acesta se numește tangentă la cerc.

Proprietăți

Tangenta la cerc este perpendiculară pe raza trasată la punctul de contact.
Segmentele tangentelor la cerc desenate dintr-un punct sunt egale și formează unghiuri egale cu linia care trece prin acest punct și centrul cercului.
Lungimea segmentului tangentei trasat la un cerc de rază unitară, luată între punctul de tangență și punctul de intersecție al tangentei cu raza trasă din centrul cercului, este tangenta unghiului dintre această rază. și direcția de la centrul cercului până la punctul de tangență. „Tangens” din lat. tangente- „tangentă”.

Variații și generalizări

Semi-tangente unilaterale

Dacă există o derivată de drept $f"_+(x_0)< \infty,$ apoi semitangenta dreapta la graficul funcției $f$ la punct $x_0$ numită grindă

y = f(x_0) + f"_+(x_0)(x - x_0),\quad x \geqslant x_0.

Dacă există o derivată stângă $f"_-(x_0)< \infty,$ apoi semitangentă stângă la graficul funcției $f$ la punct $x_0$ numită grindă

y = f(x_0) + f"_-(x_0)(x - x_0),\quad x \leqslant x_0.

Dacă există o derivată dreaptă infinită $f"_+(x_0) = +\infty\; (-\infty),$ $f$ la punct $x_0$ numită grindă

x = x_0, \;  y \geqslant f(x_0)\;  (y\leqslant f(x_0)).

Dacă există o derivată stângă infinită $f"_-(x_0) = +\infty\; (-\infty),$ apoi semitangenta dreapta la graficul functiei $f$ la punct $x_0$ numită grindă

x = x_0, \;  y \leqslant f(x_0)\;  (y\geqslant f(x_0)).

Vezi si

Normal, binormal

Scrieți o recenzie la articolul „Linia tangentă”

Literatură

Toponogov V. A. Geometria diferențială a curbelor și suprafețelor. - Fizmatkniga, 2012. - ISBN 9785891552135.
// Dicționar enciclopedic al lui Brockhaus și Efron: în 86 de volume (82 de volume și 4 suplimentare). - St.Petersburg. , 1890-1907.

Un fragment care caracterizează linia tangentă

- In locuri! – strigă un tânăr ofițer către soldații adunați în jurul lui Pierre. Acest tânăr ofițer, se pare, și-a îndeplinit funcția pentru prima sau a doua oară și, prin urmare, ia tratat atât pe soldați, cât și pe comandant cu o distincție și uniformitate deosebită.
Tragerile neregulate ale tunurilor și puștilor s-au intensificat pe tot terenul, mai ales spre stânga, unde erau fulgerele lui Bagration, dar din cauza fumului de focuri din locul unde se afla Pierre, era aproape imposibil să se vadă ceva. Mai mult, observațiile despre cum, parcă, un cerc familial (separat de toate celelalte) de oameni care se aflau pe baterie, au absorbit toată atenția lui Pierre. Prima sa emoție inconștient de veselă, produsă de vederea și sunetele câmpului de luptă, a fost acum înlocuită, mai ales după vederea acestui soldat singuratic întins pe pajiște, cu un alt sentiment. Aşezându-se acum pe panta şanţului, urmărea chipurile din jurul lui.
Până la ora zece, douăzeci de persoane fuseseră deja duse din baterie; două pistoale au fost sparte, tot mai multe obuze au lovit bateria și au zburat, bâzâind și șuierând, gloanțe cu rază lungă de acțiune. Dar oamenii care erau pe baterie nu păreau să observe acest lucru; din toate părţile s-au auzit conversaţii vesele şi glume.
- Chinenko! - a strigat soldatul la grenada care se apropia, fluieratoare. - Nu aici! La infanterie! - adăugă un altul râzând, observând că grenada a zburat peste și a lovit rândurile copertei.
- Ce prieten? – râse un alt soldat de țăranul ghemuit sub ghiulele zburătoare.
Câțiva soldați s-au adunat la metereze, privind ce se întâmpla în față.
„Și au scos lanțul, vezi, s-au întors”, au spus ei, arătând peste ax.
„Uitați-vă la afacerea voastră”, le strigă bătrânul subofițer. - S-au întors, ceea ce înseamnă că e de lucru înapoi. - Iar subofiţerul, luând de umăr pe unul dintre soldaţi, l-a împins cu genunchiul. S-au auzit râsete.
- Treci la a cincea armă! strigă dintr-o parte.
„Împreună, mai amiabil, în burlatski”, s-au auzit strigătele vesele ale celor care au schimbat pistolul.
„Da, aproape că i-am dat jos pălăria stăpânului nostru”, a râs de Pierre, arătându-și dinții. — O, neîndemânatic, adăugă el cu reproș la mingea care căzuse în roata și piciorul unui bărbat.
- Ei bine, vulpi! un altul a râs de milițienii care se zvârcoliau care intrau în bateria pentru răniți.
- Al nu este terci delicios? Ah, corbi, legănat! – au strigat la miliție, care a ezitat în fața unui soldat cu piciorul tăiat.
„Așa ceva, micuțule”, mimau țăranii. - Nu le place pasiunea.
Pierre a observat cum, după fiecare lovitură, după fiecare înfrângere, o renaștere generală a izbucnit din ce în ce mai mult.
Ca dintr-un nor de tunete înaintat, din ce în ce mai des, din ce în ce mai strălucitoare fulgerau pe fețele tuturor acestor oameni (parcă în respingere față de ceea ce se întâmpla) fulgere de foc ascuns, care arde.
Pierre nu privea înainte pe câmpul de luptă și nu era interesat să știe ce se întâmplă acolo: era cu totul absorbit în contemplarea acestui foc, tot mai aprins, care în același fel (simțea) se aprindea în sufletul său.
La ora zece soldații infanteriei, care se aflau înaintea bateriei în tufișuri și de-a lungul râului Kamenka, s-au retras. Din baterie se vedea cum au fugit înapoi pe lângă ea, purtând răniții pe arme. Un general cu alaiul său a intrat în movilă și, după ce a vorbit cu colonelul, privind furios la Pierre, a coborât din nou, poruncând capacului de infanterie, care stătea în spatele bateriei, să se întindă pentru a fi mai puțin expus la împușcături. În urma acesteia, în rândurile infanteriei, în dreapta bateriei, s-a auzit o tobă, strigăte de comandă, iar din baterie se vedea cum înaintează rândurile infanteriei.
Pierre se uită peste puț. O față în special i-a atras atenția. Era un ofițer care, cu un chip tânăr palid, mergea cu spatele, purtând o sabie coborâtă și privind neliniștit în jur.
Rândurile soldaților de infanterie au dispărut în fum, s-au auzit strigătele lor lungi și tragerile dese de arme. Câteva minute mai târziu, de acolo au trecut mulțimi de răniți și brancardieri. Obuzele au început să lovească bateria și mai des. Mai mulți oameni zăceau necurățați. Lângă tunuri, soldații se mișcau mai ocupați și mai vioi. Nimeni nu i-a mai dat atenție lui Pierre. O dată sau de două ori a fost strigat furios la el pentru că era pe drum. Ofițerul superior, cu o față încruntă, se mișca cu pași mari și rapizi de la o armă la alta. Tânărul ofițer, înroșit și mai mult, a poruncit soldaților și mai sârguincios. Soldații au tras, s-au întors, au încărcat și și-au făcut treaba cu strălucire intensă. Au sărit pe drum, ca pe izvoare.

Cel mai adesea, problemele geometrice cauzează dificultăți aplicanților, absolvenților și participanților la olimpiadele de matematică. Dacă te uiți la statisticile USE în 2010, poți vedea că aproximativ 12% dintre participanți au început sarcina geometrică C4 și doar 0,2% dintre participanți au primit un scor complet și, în general, sarcina sa dovedit a fi cea mai dificilă dintre toate cele propuse.

Evident, cu cât le oferim școlarilor mai devreme frumoși sau neaștepți în ceea ce privește modul în care rezolvă problemele, cu atât ei sunt mai probabil să-i intereseze și să-i captiveze în mod serios și pentru o perioadă lungă de timp. Dar, cât de greu este să găsești probleme interesante și dificile la nivelul clasei a VII-a, când studiul sistematic al geometriei abia începe. Ce poate fi oferit unui student interesat de matematică, care cunoaște doar semnele egalității triunghiurilor, proprietățile adiacente și unghiuri verticale? Cu toate acestea, este posibil să se introducă conceptul de tangentă la un cerc, ca o dreaptă care are un punct comun cu cercul; acceptați că raza trasată la punctul de contact este perpendiculară pe tangente. Desigur, merită luate în considerare toate cazurile posibile de locație a două cercuri și tangente comune la acestea, care pot fi trase de la zero la patru. Prin demonstrarea teoremelor propuse mai jos, este posibilă extinderea semnificativă a setului de sarcini pentru elevii de clasa a VII-a. În același timp, pe parcurs, dovedeste fapte importante sau pur și simplu interesante și distractive. Mai mult, deoarece multe afirmații nu sunt incluse în manualul școlar, ele pot fi discutate atât la clasă, cât și cu absolvenții la repetarea planimetriei. Aceste fapte s-au dovedit a fi relevante în ultimul an universitar. Deoarece multe diagnostice funcționează în sine UTILIZAȚI munca conţinea o problemă pentru soluţionarea căreia a fost necesar să se folosească proprietatea unui segment tangent demonstrată mai jos.

T 1 Segmente de tangente la un cerc desenate din
un punct este egal (Fig. 1)

Asta e cu teorema, mai întâi îi poți prezenta pe elevii de clasa a șaptea.
În procesul de demonstrare, am folosit semnul de egalitate al triunghiurilor dreptunghic, am ajuns la concluzia că centrul cercului se află pe bisectoarea unghiului BCA.
În treacăt, ne-am amintit că bisectoarea unui unghi este locul punctelor regiunii interioare a unghiului, echidistant de laturile sale. Rezolvarea unei probleme departe de a fi banale se bazează pe aceste fapte, accesibile chiar și începătorilor în studiul geometriei.

1. Bisectoarele unghiurilor ȘI, LAși DIN patrulater convex ABCD se intersectează la un punct. Raze ABși DC se intersectează într-un punct E, și razele
Soareși ANUNȚ la punct F. Demonstrați că un patrulater neconvex AECF suma lungimilor laturilor opuse este egală.

Soluție (Fig. 2). Lăsa O este punctul de intersecție al acestor bisectoare. Apoi O echidistant de toate laturile patrulaterului ABCD, acesta este
este centrul unui cerc înscris într-un patrulater. Prin teoremă 1 egalitățile sunt corecte: AR = AK, ER = EP, FT = FK. Adăugăm părțile din stânga și din dreapta termen cu termen, obținem egalitatea corectă:

(AR + ER) + FT = (AK +FK) + EP; AE + (FC + CT) = AF + (UE + PC). La fel de SF = RS, apoi AE + FC = AF + UE, ceea ce urma să fie dovedit.

Să considerăm o problemă cu o formulare neobișnuită, pentru a cărei rezolvare este suficient să cunoaștem teorema 1 .

2. Există n-gon ale cărui laturi sunt consecutiv 1, 2, 3, ..., nîn care poate fi înscris cercul?

Decizie. Să spunem așa n-gon există. ȘI 1 ȘI 2 =1, …, ȘI n-1 ȘI n= n– 1,ȘI n ȘI 1 = n. B 1 , …, B n sunt punctele de atingere corespunzătoare. Apoi prin teorema 1 A 1 B 1 = A 1 B n< 1, n – 1 < A n B n< n. Prin proprietatea segmentelor tangente A n B n= A n B n-1. Dar, A n B n-1< A n-1 ȘI n= n- 1. Contradicţie. Prin urmare, nu n-gon care satisface conditia problemei.

T 2 Sumele laturilor opuse ale unui patrulater circumscris aproximativ
cercurile sunt egale (Fig. 3)

Scolarii, de regulă, dovedesc cu ușurință această proprietate a patrulaterului descris. După demonstrarea teoremei 1 , este un exercițiu de antrenament. Acest fapt poate fi generalizat - sumele laturilor gonului par circumscris, luate prin unul, sunt egale. De exemplu, pentru un hexagon ABCDEF dreapta: AB + CD + EF = BC + DE + FA.

3. Universitatea de Stat din Moscova.Într-un patrulater ABCD sunt două cercuri: primul cerc atinge laturile AB, BCși ANUNȚ, iar a doua - laturile BC, CDși ANUNȚ. Pe laturi î.Hrși ANUNȚ sunt luate puncte Eși Fîn consecință, segment EF atinge ambele cercuri și perimetrul patrulaterului ABEF pe 2p mai mare decât perimetrul patrulaterului ECDF. Găsi AB, dacă cd=a.

Soluție (Fig. 1). Întrucât patrulaterele ABEF și ECDF sunt înscrise, prin teorema 2 Р ABEF = 2(AB + EF) și Р ECDF = 2(CD + EF), după condiție

P ABEF - P ECDF = 2(AB + EF) - 2(CD + EF) = 2p. AB-CD=p. AB = a + p.

Sarcina de bază 1. Direct ABși AC sunt tangente în puncte LAși DIN la un cerc centrat în punctul O. Printr-un punct arbitrar X arcuri Soare
se trasează o tangentă la un cerc care intersectează segmentele ABși AC la puncte Mși R respectiv. Demonstrați că perimetrul triunghiului TU AI SPUS iar unghiul MPA nu depind de alegerea punctului X.

Soluție (Fig. 5). Prin teorema 1 MB = MX și PC = RX. Deci perimetrul triunghiului TU AI SPUS egală cu suma segmentelor ABși LA FEL DE. Sau dublă tangentă trasă la excerc pentru un triunghi TU AI SPUS . Valoarea unghiului MOP este măsurată cu jumătate din valoarea unghiului WOS, care nu depinde de alegerea punctului X.

Sarcina de referință 2a. Într-un triunghi cu laturi a, bși c cerc înscris tangent la latură ABși punct LA. Aflați lungimea unui segment AK.

Soluție (Fig. 6). Metoda unu (algebrică). Lăsa AK \u003d AN \u003d x, apoi BK = BM = c - x, CM = CN = a - c + x. AC = AN + NC, atunci putem scrie o ecuație pentru x: b \u003d x + (a - c + x). Unde .

Metoda a doua (geometrică). Să trecem la diagramă. Segmentele de tangente egale, luate pe rând, se adună până la un semiperimetru
triunghi. Roșu și verde alcătuiesc o latură A. Apoi segmentul de interes pentru noi x = p - a. Desigur, rezultatele obținute sunt consistente.

Sarcina de sprijin 2b. Aflați lungimea segmentului tangentei ak, dacă La este punctul de tangență al excercului cu latura AB. Rezolvare (Fig. 7). AK = AM = x, apoi BK = BN = c - x, CM = CN. Avem ecuația b + x = a + (c - x). Unde . Z Rețineți că din problema de bază 1 urmează că CM = p ∆ ABC. b+x=p; x \u003d p - b. Formulele obţinute sunt utilizate în următoarele sarcini.

4. Aflați raza unui cerc înscris într-un triunghi dreptunghic cu catete a, b si ipotenuza Cu. Soluție (Fig. 8). T Cum OMCN- pătrat, atunci raza cercului înscris este egală cu segmentul tangentei CN. .

5. Demonstrați că punctele de tangență ale cercurilor înscrise și ale cercurilor cu latura triunghiului sunt simetrice față de punctul mijlociu al acestei laturi.

Soluție (Fig. 9). Rețineți că AK este segmentul tangentei excercului pentru triunghi ABC. Prin formula (2) . VM- segment de linie tangentă în cerc pentru triunghi ABC. Conform formulei (1) . AK = VM, iar asta înseamnă că punctele K și M echidistant de mijlocul lateralului AB, Q.E.D.

6. Două tangente exterioare comune și o tangentă interioară sunt desenate în două cercuri. Tangenta interioară le intersectează pe cele exterioare în puncte A, Bși atinge cercuri în puncte A 1și ÎN 1 . Demonstrează asta AA 1 \u003d BB 1.

Soluție (Fig. 10). Opreste-te... Dar ce e de decis? Este doar o altă formulare a problemei anterioare. Este evident că unul dintre cercuri este înscris, iar celălalt este excerc pentru un triunghi ABC.Și segmentele AA 1 și BB 1 corespund segmentelor AKși VM sarcini 5. Este de remarcat faptul că sarcina propusă pentru Olimpiada integrală ruseascășcolari la matematică, se rezolvă într-un mod atât de evident.

7. Laturile pentagonului sunt 5, 6, 10, 7, 8 în ordinea ocolirii.Demonstrați că un cerc nu poate fi înscris în acest pentagon.

Soluție (Fig. 11). Să presupunem că pentagonul ABCDE poti inscrie un cerc. Mai mult, părțile AB, î.Hr, CD, DEși EA sunt egale cu 5, 6, 10, 7 și, respectiv, 8. F, G, H, Mși N. Fie lungimea segmentului AF este egal cu X.

Apoi bf = FD – AF = 5 – X = BG. GC = î.Hr – BG = = 6 – (5 – X) = 1 + X = CH. Si asa mai departe: HD = DM = 9 – X; PE MINE = RO = X – 2, UN = 10 – X.

Dar, AF = UN. Adică 10 - X = X; X= 5. Cu toate acestea, segmentul tangentei AF nu poate fi egală AB. Contradicția rezultată demonstrează că un cerc nu poate fi înscris într-un pentagon dat.

8. Un cerc este înscris într-un hexagon, laturile sale în ordinea de ocolire sunt 1, 2, 3, 4, 5. Aflați lungimea celei de-a șasea laturi.

Decizie. Desigur, segmentul tangent poate fi notat ca X, ca și în problema anterioară, scrieți o ecuație și obțineți un răspuns. Dar, este mult mai eficient și mai eficient să folosești nota la teoremă 2 : sumele laturilor hexagonului circumscris, luate printr-unul, sunt egale.

Atunci 1 + 3 + 5 = 2 + 4 + X, Unde X- a șasea față necunoscută, X = 3.

9. Universitatea de Stat din Moscova, 2003. Facultatea de Chimie, nr. 6(6). într-un pentagon ABCDE cerc înscris, R este punctul de contact al acestui cerc cu latura Soare. Aflați lungimea segmentului VR, dacă se știe că lungimile tuturor laturilor pentagonului sunt numere întregi, AB = 1, CD = 3.

Soluție (fig.12). Deoarece lungimile tuturor laturilor sunt numere întregi, părțile fracționale ale lungimii segmentelor sunt egale BT, BP, DM, DN, AKși LA. Avem LA + televizor= 1, iar părțile fracționale ale lungimii segmentelor LAși televizor sunt egale. Acest lucru este posibil doar atunci când LA + televizor= 0,5. Prin teoremă 1 WT + VR.
Mijloace, VR= 0,5. Rețineți că condiția CD= 3 s-au dovedit a fi nerevendicate. Evident, autorii problemei au presupus o altă soluție. Răspuns: 0,5.

10. Într-un patrulater ABCD AD=DC, AB=3, BC=5. Cercuri înscrise în triunghiuri ABDși CBD atingeți segmentul BD la puncte Mși N respectiv. Aflați lungimea unui segment MN.

Soluție (Fig. 13). MN = DN - DM. Conform formulei (1) pentru triunghiuri DBAși DBC respectiv, avem:

11. Într-un patrulater ABCD poti inscrie un cerc. Cercuri înscrise în triunghiuri ABDși CBD au raze Rși r respectiv. Aflați distanța dintre centrele acestor cercuri.

Soluție (Fig. 13). Întrucât, prin condiție, patrulaterul ABCDînscris, prin teoremă 2 avem: AB + DC = AD + BC. Să folosim ideea de a rezolva problema anterioară. . Aceasta înseamnă că punctele de contact ale cercurilor cu segmentul DM se potrivesc. Distanța dintre centrele cercurilor este egală cu suma razelor. Răspuns: R + r.

De fapt, se dovedește că condiția este într-un patrulater ABCD puteți înscrie un cerc, care este echivalent cu condiția - într-un patrulater convex ABCD cercuri înscrise în triunghiuri ABCși ADC atingeți unul pe altul. Opusul este adevărat.

Se propune demonstrarea acestor două afirmații reciproc inverse în următoarea problemă, care poate fi considerată o generalizare a acesteia.

12. Într-un patrulater convex ABCD (orez. paisprezece) cercuri înscrise în triunghiuri ABCși ADC atingeți unul pe altul. Demonstrați că cercuri înscrise în triunghiuri ABDși bdc se ating de asemenea.

13. Într-un triunghi ABC cu părţile a, bși c pe partea de Soare punct marcat D astfel încât cercurile înscrise în triunghiuri ABDși ACD atingeți segmentul ANUNȚ la un moment dat. Aflați lungimea unui segment BD.

Soluție (Fig. 15). Aplicam formula (1) pentru triunghiuri ADCși adb, calculând DM Două

Se dovedește, D- punctul de contact cu partea laterală Soare cerc înscris într-un triunghi ABC. Opusul este adevărat: dacă vârful unui triunghi este legat de punctul tangent al cercului înscris pe latura opusă, atunci cercurile înscrise în triunghiurile rezultate se ating.

14. Centrele O 1 , O 2 și O 3 trei cercuri care nu se intersectează de aceeași rază sunt situate la vârfurile triunghiului. Din puncte O 1 , O 2 , O 3, tangentele la aceste cercuri sunt desenate așa cum se arată în figură.

Se știe că aceste tangente, intersectându-se, au format un hexagon convex, ale cărui laturi printr-una sunt colorate în roșu și albastru. Demonstrați că suma lungimilor segmentelor roșii este egală cu suma lungimilor celor albastre.

Soluție (Fig. 16). Este important să înțelegeți cum să folosiți faptul că cercurile date au aceleași raze. Rețineți că segmentele BRși DM sunt egale, ceea ce decurge din egalitatea triunghiurilor dreptunghiulare O 1 BRși O 2 BM. În mod similar DL = D.P., FN = FK. Adunăm egalitățile termen cu termen, apoi scădem din sumele rezultate aceleași segmente de tangente trase din vârfuri ȘI, DIN, și E hexagon ABCDEF: ARși AK, CLși CM, ROși EP. Primim ceea ce ne trebuie.

Iată un exemplu de problemă de stereometrie propusă la al XII-lea Turneu Internațional de Matematică pentru Liceeni „A. N. Kolmogorov Memory Cup”.

16. Având în vedere o piramidă pentagonală SA 1 A 2 A 3 A 4 A 5 . Există un domeniu de aplicare w, care atinge toate marginile piramidei și o altă sferă w 1, care atinge toate laturile bazei A 1 A 2 A 3 A 4 A 5şi prelungiri ale coastelor laterale SA 1 , SA 2 , SA 3 , SA 4 , SA 5 pentru vârfurile bazei. Demonstrați că vârful piramidei este echidistant de vârfurile bazei. (Berlov S. L., Karpov D. V.)

Decizie. Intersecția sferei w cu planul oricăreia dintre fețele sferei este cercul înscris al feței. Intersecția sferei w 1 cu fiecare dintre fețe SA i A i+1 - excerci tangent la latura A i A i+1 triunghi SA i A i+1 și continuarea celorlalte două părți. Se notează punctul de contact w 1 cu prelungirea laturii SA i prin B i. Prin problema de referință 1, avem asta SBi = SBi +1 = p SAiAi+1, prin urmare, perimetrele tuturor fețelor laterale ale piramidei sunt egale. Se notează punctul tangent w cu latura SA i prin C i. Apoi SC 1 = SC 2 = SC 3 = SC 4 = SC 5 = s,
întrucât segmentele tangentelor sunt egale. Lăsa C i A i = a i. Apoi p SAiAi +1 = s+a i +a i+1 , iar din egalitatea perimetrelor rezultă că A 1 = A 3 = A 5 = A 2 = A 4, de unde SA 1 = SA 2 = SA 3 = SA 4 = SA 5 .

17. UTILIZARE. Lucrări de diagnosticare 8 decembrie 2009, і4. Dana trapez ABCD, ale căror baze BC= 44,ANUNȚ = 100, AB=CD= 35. Cercul tangent la drepte ANUNȚși AC atinge partea laterală CD la punct K. Aflați lungimea segmentului CK.VDC și BDA, atingeți partea laterală BD la puncte Eși F. Aflați lungimea segmentului EF.

Decizie. Sunt posibile două cazuri (Fig. 20 și Fig. 21). Folosind formula (1), găsim lungimile segmentelor DEși D.F..

In primul caz ANUNȚ = 0,1AC, CD = 0,9AC. In secunda - ANUNȚ = 0,125AC, CD = 1,125AC. Înlocuim datele și obținem răspunsul: 4,6 sau 5,5.

Sarcini pentru soluție independentă /

1. Perimetrul unui trapez isoscel înscris în jurul unui cerc este 2r. Aflați proiecția diagonalei trapezului pe baza mai mare. (1/2r)

2. Bancă deschisă de probleme USE în matematică. LA 4. La un cerc înscris într-un triunghi ABC (fig. 22), sunt trasate trei tangente. Perimetrele triunghiurilor trunchiate sunt 6, 8, 10. Aflați perimetrul acestui triunghi. (24)

3. Într-un triunghi ABC cerc înscris. MN- tangentă la cerc MО AC, NО BC, BC = 13, AC = 14, AB = 15. Aflați perimetrul unui triunghi MNC. (12)

4. La un cerc înscris într-un pătrat cu latura a se trasează o tangentă care intersectează două dintre laturile sale. Găsiți perimetrul triunghiului tăiat. (A)

5. Un cerc este înscris într-un pentagon cu laturi A, d, c, dși e. Aflați segmentele în care punctul de contact împarte latura egală cu A.

6. Un cerc este înscris într-un triunghi cu laturile 6, 10 și 12. O tangentă este trasă la cerc astfel încât să intersecteze două laturi mari. Găsiți perimetrul triunghiului tăiat. (şaisprezece)

7. CD este mediana triunghiului ABC. Cercuri înscrise în triunghiuri ACDși BCD, atingeți segmentul CD la puncte Mși N. Găsi MN, dacă AC – Soare = 2. (1)

8. Într-un triunghi ABC cu părţile a, bși c pe partea de Soare punct marcat D. La cercuri înscrise în triunghiuri ABDși ACD, se trasează o tangentă comună care se intersectează ANUNȚ la punct M. Aflați lungimea unui segment A.M. (Lungime A.M nu depinde de poziția punctului Dși
este egal cu ½ ( c + b - a))

9. Un cerc de rază este înscris într-un triunghi dreptunghic A. Raza cercului tangent la ipotenuză și prelungirile catetelor este R. Aflați lungimea ipotenuzei. ( R-a)

10. Într-un triunghi ABC se cunosc lungimile laturilor: AB = Cu, AC = b, Soare = A. Un cerc înscris într-un triunghi este tangent la o latură AB la punct De la 1. Excercul este tangent la prelungirea laturii AB pe punct ȘI la punct De la 2. Determinați lungimea segmentului S 1 S 2. (b)

11. Aflați lungimile laturilor triunghiului, împărțite la punctul de contact al cercului înscris cu raza de 3 cm în segmente de 4 cm și 3 cm (7, 24 și 25 cm într-un triunghi dreptunghic)

12. Olimpiada Soros 1996, runda a II-a, clasa a XI-a. Triunghiul dat ABC, pe laturile cărora sunt marcate puncte A 1, B 1, C 1. Razele cercurilor înscrise în triunghiuri AC 1 B 1 , BC 1 A 1 , CA 1 B 1 egal în r. Raza unui cerc înscris într-un triunghi A 1 B 1 C 1 egală R. Aflați raza unui cerc înscris într-un triunghi ABC. (R +r).

Problemele 4-8 sunt preluate din cartea de probleme a lui R. K. Gordin „Geometry. Planimetrie." Moscova. Editura MTSNMO. 2004.

Definiție. O tangentă la un cerc este o dreaptă în plan care are exact un punct comun cu cercul.

Iată câteva exemple:

Cerc cu centru O atinge o linie dreaptă l la punct A

De oriunde MÎn afara cercului pot fi trase exact două tangente

diferența dintre tangentă l, secant î.Hr si direct m, care nu are puncte comune cu cercul

Acesta ar putea fi sfârșitul, dar practica arată că nu este suficient doar să memorezi definiția - trebuie să înveți să vezi tangentele din desene, să le cunoști proprietățile și, în plus, să exersezi utilizarea acestor proprietăți atunci când rezolvi probleme reale. . Ne vom ocupa de toate acestea astăzi.

Proprietățile de bază ale tangentelor

Pentru a rezolva orice problemă, trebuie să cunoașteți patru proprietăți cheie. Două dintre ele sunt descrise în orice carte de referință / manual, dar ultimele două sunt cumva uitate, dar în zadar.

1. Segmentele tangentelor trase dintr-un punct sunt egale

Puțin mai sus, am vorbit deja despre două tangente trase dintr-un punct M. Deci:

Segmentele tangentelor la cerc, desenate dintr-un punct, sunt egale.

Segmente A.Mși BM egal

2. Tangenta este perpendiculară pe raza trasată la punctul de contact

Să ne uităm din nou la poza de mai sus. Să desenăm razele OAși OB, după care constatăm că unghiurile OAMși OBM- Drept.

Raza trasată la punctul tangent este perpendiculară pe tangente.

Acest fapt poate fi folosit fără dovezi în orice problemă:

Razele trasate la punctul tangent sunt perpendiculare pe tangente

Apropo, rețineți: dacă desenați un segment OM, atunci obținem două triunghiuri egale: OAMși OBM.

3. Relația dintre tangentă și secantă

Dar acesta este un fapt mai grav și majoritatea școlarilor nu îl știu. Luați în considerare o tangentă și o secantă care trec prin același punct comun M. Desigur, secanta ne va oferi două segmente: în interiorul cercului (segment î.Hr- se mai numește și coardă) și în exterior (se numește așa - partea exterioară MC).

Produsul întregii secante prin partea sa exterioară este egal cu pătratul segmentului tangent

Relația dintre secantă și tangentă

4. Unghiul dintre tangentă și coardă

Un fapt și mai avansat, care este adesea folosit pentru a rezolva probleme complexe. Recomand cu căldură să-l luați la bord.

Unghiul dintre o tangentă și o coardă este egal cu unghiul înscris pe baza acestei coarde.

De unde vine punctul B? În problemele reale, de obicei „apare” undeva în stare. Prin urmare, este important să învățați să recunoașteți această configurație în desene.