Potencijalna energija naboj u električnom polju. Rad snaga električno polje pri pomicanju pozitivnog naboja q od položaja 1 do položaja 2, predstavljaju kao promjenu potencijalne energije ovog naboja:

gdje W n1 i W n2 - potencijalne energije naelektrisanja q na pozicijama 1 i 2. Za male kretanje naboja q u polju stvorenom pozitivnim tačkastim nabojem Q, promjena potencijalne energije je

.

Sa konačnim kretanjem naboja q od pozicije 1 do pozicije 2, smještene na udaljenostima r 1 i r 2 bez naknade Q,

Ako je polje kreirao sistem tačkaste naknade Q 1 ,Q 2 ,¼ , Q n , zatim promjena potencijalne energije naboja q u ovoj oblasti:

.

Gore navedene formule vam omogućavaju samo pronalaženje promijeniti potencijalna energija tačkastog naboja q nego sama potencijalna energija. Da bi se odredila potencijalna energija, potrebno je dogovoriti se u kojoj tački polja se smatra jednakom nuli. Za potencijalnu energiju tačkastog naboja q, koji se nalazi u električnom polju stvorenom drugim tačkastim nabojem Q, dobijamo

,

gdje C je proizvoljna konstanta. Neka potencijalna energija bude nula za beskonačnost velika udaljenost od naplate Q(kod r® ¥ ), zatim konstanta C= 0 i prethodni izraz postaje

U ovom slučaju, potencijalna energija je definirana kao rad obavljen za pomicanje naboja iz date tačke u tačku u beskonačnosti. U slučaju električnog polja stvorenog sistemom tačkastih naelektrisanja, potencijalna energija naelektrisanja q:

.

Potencijalna energija sistema tačkastih naelektrisanja. Kada elektrostatičko polje potencijalna energija služi kao mjera interakcije naelektrisanja. Neka postoji sistem tačkastih naelektrisanja u prostoru Q i(i = 1, 2, ... , n). Energija interakcija svih n naknada je određena omjerom

,

gdje rij- udaljenost između odgovarajućih naboja, a zbrajanje se vrši na način da se interakcija između svakog para naboja uzima u obzir jednom.

Potencijal elektrostatičkog polja. Konzervativno polje sila može se opisati ne samo vektorska funkcija, ali ekvivalentan opis ovog polja može se dobiti definisanjem odgovarajuće skalarne vrijednosti u svakoj od njegovih tačaka. Za elektrostatičko polje ova veličina je potencijal elektrostatičkog polja, definisan kao omjer potencijalne energije ispitnog naboja q na veličinu ovog naboja, j = W P / q, odakle slijedi da je potencijal numerički jednak potencijalnoj energiji koju jedinični pozitivni naboj posjeduje u datoj tački polja. Jedinica potencijala je Volt (1 V).

Potencijal polja tačkastog naboja Q u homogenoj izotropnoj sredini sa permitivnost e :

Princip superpozicije. Potencijal je skalarna funkcija, za nju vrijedi princip superpozicije. Dakle, za potencijal polja sistema tačkastih naelektrisanja Q 1, Q 2 ¼ ,Qn imamo

,

gdje ri- udaljenost od tačke polja koja ima potencijal j, prije punjenja Q i. Ako je naboj nasumično raspoređen u prostoru, onda

,

gdje r- udaljenost od osnovnog volumena d x, d y, d z do tačke ( x, y, z), gdje je potencijal određen; V je volumen prostora u kojem je naboj raspoređen.

Potencijal i rad sila električnog polja. Na osnovu definicije potencijala, može se pokazati da rad sila električnog polja pri kretanju tačkastog naboja q od jedne tačke polja do druge jednak je proizvodu veličine ovog naboja i razlike potencijala u početnoj i krajnjoj tački puta, A=q (j 1 - j 2 ) .
Ako, po analogiji s potencijalnom energijom, pretpostavimo da je u tačkama beskonačno udaljenim od električnih naboja - izvora polja, potencijal jednak nuli, tada rad sila električnog polja pri pomicanju naboja q od tačke 1 do beskonačnosti može se predstaviti kao A ¥ = qj 1 .
Dakle, potencijal â u datoj tački elektrostatičkog polja je fizička količina, numerički jednaka radu koju vrše sile električnog polja kada pomjeraju jedan pozitivan tačkasti naboj iz date tačke polja na beskonačno udaljenu: j = A ¥ / q.
U nekim slučajevima, potencijal električnog polja je jasnije definisan kao fizička veličina brojčano jednaka radu vanjskih sila protiv sila električnog polja pri pomicanju jednog pozitivnog točkastog naboja iz beskonačnosti u dati poen . Posljednja definicija se može zgodno napisati na sljedeći način:

AT moderna nauka i tehnologije, posebno kada se opisuju pojave koje se dešavaju u mikrokosmosu, često se koristi jedinica rada i energije, tzv. elektron volt(eV). Ovo je posao obavljen u pomicanju punjenja. jednak naboju elektron, između dvije tačke sa potencijalnom razlikom od 1 V: 1 eV = 1,60 × 10 - 1 9 Cl × 1 V = 1,60 × 10 - 1 9 J.

Pitanja

1) Dajte definiciju potencijala date tačke polja i razlike potencijala dvije tačke polja.

2) Dajte grafike jačine polja i potencijala u zavisnosti od udaljenosti za jednolično nabijenu sfernu površinu. Dajte njihovo objašnjenje i opravdanje.

Počinjemo s raspravom o potencijalnoj energiji koju naboj ima u elektrostatičkom polju. Prije svega, potrebno je podsjetiti na uslove pod kojima je općenito moguće uvesti pojam potencijalne energije.

4.1 Konzervativne snage

Sila se naziva konzervativnom (ili potencijalnom) ako rad te sile ne ovisi o obliku putanje i određen je samo početnim i konačnim položajem tijela.

Neka se, na primjer, tijelo pod djelovanjem konzervativne sile ~ pomakne od početnog

tačke 1 do krajnje tačke 2 (slika 16). Tada rad sile zavisi samo od položaja

same tačke 1 i 2, ali ne sa putanje tijela. Na primjer, za trajektorije 1 ! a! 2 i 1! b! 2 vrijednost A će biti ista.

Rice. 16. O konceptu konzervativne sile

Imajte na umu da je rad koji izvrši konzervativna sila duž bilo koje zatvorene putanje jednak nuli. Zaista, ostavimo tačku 1 duž putanje 1! a! 2 i vratite se putanjom 2 ! b! 1. Na prvoj putanji, sila će izvršiti rad A, a na drugoj trajektoriji rad će biti jednak A. Kao rezultat, ukupan rad će biti nula.

Dakle, koncept potencijalne energije može se uvesti samo u slučaju konzervativne sile. Potencijalna energija W je matematički izraz koji ovisi o koordinatama tijela, tako da je rad sile jednak promjeni ovog izraza sa predznakom minus:

Ili, što je isto:

A = (W2 W1 ) = W1 W2 :

Kao što vidite, rad konzervativne sile je razlika između vrijednosti potencijalne energije izračunate za početni i konačni položaj tijela.

Primjeri konzervativnih snaga su vam dobro poznati. Na primjer, gravitacija je konzervativna. Sila opruge je takođe konzervativna. Zato možemo govoriti o potencijalnoj energiji tijela podignutog iznad tla, ili o potencijalnoj energiji deformisane opruge.

Ali sila trenja nije konzervativna: rad sile trenja ovisi o obliku putanje i nije jednak nuli na zatvorenoj putanji. Dakle, ne postoji ¾potencijalna energija tijela u polju sile trenja¿.

4.2 Potencijal elektrostatičkog polja

Ispostavilo se da je sila kojom elektrostatičko polje djeluje na nabijeno tijelo također konzervativna. Rad ove sile, koji se vrši pri pomicanju naboja, naziva se rad elektrostatičkog polja. Dakle, imamo najvažniju činjenicu:

Rad elektrostatičkog polja ne zavisi od oblika putanje duž koje se naelektrisanje kreće, a određen je samo početnim i konačnim položajem naelektrisanja. Rad polja duž zatvorenog puta je nula.

Ova činjenica se naziva i potencijalnošću elektrostatičkog polja. Kao i gravitaciono polje, elektrostatičko polje je potencijalno. Rad elektrostatičkog polja je isti za sve puteve po kojima se naelektrisanje može kretati od jedne fiksne tačke u prostoru do druge.

Strogi matematički dokaz potencijalnosti elektrostatičkog polja je izvan dosega školski program. Međutim, ¾na fizičkom nivou strogosti¿ možemo provjeriti valjanost ove činjenice uz pomoć sljedećeg jednostavnog rezonovanja.

Lako je vidjeti da ako elektrostatičko polje nije potencijalno, onda bi bilo moguće izgraditi vječni motor! Zaista, tada bi postojala zatvorena putanja, kada se naelektrisanje kreće duž koje bi polje vršilo pozitivan rad (i ne bi došlo do promjena u okolnim tijelima). Okrećemo svoj naboj duž ove putanje, crpimo neograničenu količinu energije niotkuda i svi energetski problemi čovječanstva su riješeni :-) Ali to se, nažalost, ne primjećuje, to je eklatantno u suprotnosti sa zakonom održanja energije.

Pošto je elektrostatičko polje potencijalno, možemo govoriti o potencijalnoj energiji naboja u ovom polju. Počnimo s jednostavnim i važnim slučajem.

4.3 Potencijalna energija naboja u uniformnom polju

Potencijalna energija tijela podignutog iznad tla jednaka je mgh. Slučaj naelektrisanja u jednoličnom polju ispada veoma sličan ovoj mehaničkoj situaciji.

Razmotrimo jednolično elektrostatičko polje E, čije su linije intenziteta usmjerene duž X ose (slika 17). Neka se pozitivni naboj q kreće duž linije sile od tačke 1 (sa koordinatom x1) do tačke 2 (sa koordinatom x2).

0x1

Rice. 17. Kretanje naelektrisanja u uniformnom polju

Polje djeluje na naboj sa silom ~ , koja je usmjerena duž linija napetosti. Posao

ova sila, kao što je lako vidjeti, bit će jednaka:

A = F (x2 x1) = qE(x2 x1):

Šta će se promijeniti ako tačke 1 i 2 ne leže na istoj liniji napetosti? Ispada ništa! Formula za rad na terenu će ostati ista. To ćemo provjeriti uz pomoć Sl. osamnaest .

0x1

Rice. 18. Kretanje naelektrisanja u uniformnom polju

Krećući se od tačke 1 do tačke 2, izaberimo put 1! 3! 2, gdje tačka 3 leži na istoj liniji polja sa tačkom 1. Tada je rad A32 u presjeku 32 jednak nuli jer se krećemo okomito na silu. Kao rezultat, dobijamo:

A = A13 + A32 = A13 = qE(x2 x1):

Vidimo da rad polja zavisi samo od apscise početne i krajnje pozicije naelektrisanja. Dobivenu formulu pišemo na sljedeći način:

A = qEx2 qEx1 = ((qEx2 ) (qEx1 )) = (W2 W1 ) = W:

Ovdje W1 = qEx1 , W2 = qEx2 . Rad polja, u skladu s formulom (8), ispada jednak promjeni sa predznakom minus vrijednosti

Ova vrijednost je potencijalna energija naboja u jednoličnom elektrostatičkom polju. X označava apscisu tačke u kojoj se traži potencijalna energija. Nulti nivo potencijalne energije u ovom slučaju odgovara početku x = 0 i prikazan je na slikama isprekidanom linijom okomitom na linije napetosti4.

Podsjetimo da se za sada smatra q > 0. Iz formule (9) slijedi da kada se naboj kreće duž linije polja, potencijalna energija opada sa povećanjem x. To je prirodno: na kraju krajeva, polje obavlja pozitivan rad, ubrzavajući naboj i kinetička energija naboj se povećava zbog smanjenja njegove potencijalne energije.

Lako je pokazati da formula (9) ostaje važeća za q< 0. В этом случае потенциальная энергия возрастает с ростом x. Это тоже понятно: ведь сила, с которой поле действует на заряд, теперь будет направлена влево, так что движение заряда вправо будет осуществляться против действия поля. Заряд тормозится полем, кинетическая энергия заряда уменьшается, а потенциальная энергия увеличивается.

Dakle, važan zaključak: u formuli za potencijalnu energiju, q označava algebarsku vrijednost naboja (uzimajući u obzir predznak), a ne njegov modul.

4 Zapravo, nulti nivo potencijalne energije može se izabrati bilo gdje. Drugim riječima, potencijalna energija je definirana samo do proizvoljne aditivne konstante C, tj. W = qEx+C. Nema ništa loše u takvoj nesigurnosti: sama potencijalna energija ima fizičko značenje, a razlika u potencijalnim energijama jednaka je radu polja. U ovoj razlici konstanta C se poništava.

4.4 Potencijalna energija interakcije tačkastih naelektrisanja

Neka su dva tačkasta naboja q1 i q2 u vakuumu na udaljenosti r jedno od drugog. Može se pokazati da je potencijalna energija njihove interakcije data formulom:

		kq1 q2

Prihvatamo formulu (10) bez dokaza. Trebalo bi razmotriti dvije karakteristike ove formule.

Prvo, gdje je nulti nivo potencijalne energije? Na kraju krajeva, potencijalna energija, kao što se može vidjeti iz formule (10), ne može se okrenuti na nulu. Ali u stvari, nulti nivo postoji, i to u beskonačnosti. Drugim riječima, kada su naboji locirani beskonačno udaljeni jedno od drugog, pretpostavlja se da je potencijalna energija njihove interakcije nula (što je u ovom slučaju logično, naboji već ¾ne interaguju).

Drugo, q1 i q2 su opet algebarske veličine naboja, odnosno naboja, uzimajući u obzir njihov predznak.

Na primjer, potencijalna energija interakcije dva slična naboja bit će pozitivna. Zašto? Ako ih pustimo, počet će ubrzavati i udaljavati se jedni od drugih. Njihova kinetička energija raste, pa im se potencijalna energija smanjuje. Ali u beskonačnosti, potencijalna energija nestaje, a pošto se smanjuje na nulu, onda je pozitivna.

Ali potencijalna energija interakcije suprotnih naboja ispada negativnom. Zaista, hajde da ih uklonimo na vrlo velikoj udaljenosti jedan od drugog tako da potencijalna energija bude nula i pustimo. Naboji će početi da se ubrzavaju, približavaju se, a potencijalna energija ponovo opada. Ali ako je nula, gdje bi se onda trebao smanjiti? Samo prema negativnim vrijednostima.

Formula (10) takođe pomaže da se izračuna potencijalna energija sistema naelektrisanja ako je broj naelektrisanja veći od dva. Da biste to učinili, trebate zbrojiti energije svakog para naboja. Nećemo izdati opšta formula; Hajde da bolje ilustrujmo ono što je rečeno jednostavnim primerom, prikazanim na slici 19.

Rice. 19. Interakcija tri naboja

Ako su naboji q1, q2, q3 u vrhovima trokuta sa stranicama a, b, c, tada je potencijalna energija njihove interakcije jednaka:

		kq1 q2		kq2 q3		kq1 q3

4.5 Potencijal

Iz formule W = qEx vidimo da je potencijalna energija naboja q u jednoličnom polju direktno proporcionalna ovom naboju.

Istu stvar vidimo iz formule W = kq1 q2 =r: potencijalna energija naelektrisanja q1 koja se nalazi u polju tačkastog naelektrisanja q2 je direktno proporcionalna naelektrisanju q1 .

Ako a električno tijelo deluje na elektricno naelektrisana tela, onda je u stanju da obavlja posao pomeranja naelektrisanih tela. Elektrostatičko polje koje stvara tačkasto naelektrisanje je centralno, odnosno sila koja deluje na tačkasto naelektrisanje u takvom polju usmerena je duž prave linije koja povezuje izvorno naelektrisanje i ispitno naelektrisanje. Ranije smo pokazali da je svaka centralna sila potencijalna, odnosno rad te sile ne zavisi od oblika putanje, već je određen samo početnim i konačnim položajem tijela.

Prisjetimo se ukratko dokaza ove najvažnije tvrdnje. Neka se tačkasto probno naelektrisanje q kreće u centralnom polju stvorenom fiksnim naelektrisanjem Q (Sl. 174). Sila koja djeluje na probni naboj određena je Coulombovim zakonom

Gdje je vektor povučen od izvornog naboja Q do tačke A, gdje se nalazi probni naboj. Kada se naboj kreće duž lukova kružnica sa središtem na naboju Q (na primjer, duž lukova AB, CD), rad električna sila jednaka je nuli, pa su vektori sile i pomaka međusobno okomiti. Pri kretanju u radijalnom smjeru (na primjer, duž segmenata BC, DE), rad ovisi samo o početnoj i konačnoj udaljenosti do izvornog naboja. Dakle, rad elektrostatičkog polja pri kretanju duž segmenata DE i D1E1 je očigledno jednak. Najljepši dokaz ove tvrdnje je vezan za simetriju polja - zarotirajmo naš sistem oko ose koja prolazi kroz izvor, tako da se segment D1E1 poklopi sa segmentom DE - raspodjela polja se neće promijeniti, zašto bi rad terenske promjene?

Pošto princip superpozicije važi za jačinu elektrostatičkog polja, svako elektrostatičko polje je potencijalno. Zaista, neka je tačkasto naelektrisanje q u električnom polju stvorenom sistemom fiksnih tačkastih naelektrisanja Q1, Q2, … ,QN . Prilikom pomjeranja naboja na vektor malog pomaka, po definiciji, električno polje će obaviti posao, gdje

Rezultirajuća sila koja djeluje na pokretni naboj q, jednaka je zbiru sila koje djeluju iz svakog od naboja u fiksnoj tački Qk. Rad ove sile može se izračunati po formuli

Da bi se izračunao rad na završnoj dionici putanje potrebno je podijeliti putanju na male dijelove (Sl. 175), zatim pomoću formule (1) izračunati rad na svakoj maloj dionici, a zatim ih zbrojiti

. (2) U stvari, ovaj zbir je dvostruk, jer je svaka rezultujuća sila zbir sila, prema formuli (1). Imajte na umu da se u formuli (2) rezultujuća sila mijenja, budući da je izračunata u različite tačke trajektorije.

Kao što smo ranije pokazali, rad električnog polja točkastog naboja ne ovisi o obliku putanje, odnosno svaki član iz formule (1) ne ovisi o obliku putanje, dakle, cijeli zbir ne zavisi od oblika putanje. Dakle, svako elektrostatičko polje je potencijalno.

Stoga se za tačkasto naelektrisanje u elektrostatičkom polju može uvesti potencijalna energija interakcije U(x, y, z). Ova funkcija ima sljedeće fizičko značenje: rad električnog polja pri pomicanju tačkastog naboja iz jedne tačke sa koordinatama (x1,y1,z1) u drugu, sa koordinatama (x2,y2,z2) jednak je promjeni potencijala energija, uzeta sa suprotnim predznakom:

. (3) Promjena prijave ovu definiciju sasvim logično: ako je električno polje izvršilo pozitivan rad (A > 0), tada se njegova energija smanjuje (ΔU< 0). Для вычисления работы силы взаимодействия между двумя точечными заряженными телами достаточно подсчитать эту работу при движении вдоль радиального отрезка при изменении расстояния от r1 до r2 (Рис. 176). Если построить зависимость силы взаимодействия между зарядами от расстояния r между телами, тогда площадь под графиком этой зависимости в указанных пределах и будет равна искомой работе (Рис. 177). Зависимость силы электростатического взаимодействия от расстояния аналогична силе гравитационного взаимодействия, с одним существенным отличием: гравитационная сила всегда есть сила притяжения, а электрическая может быть как силой притяжения, так и силой отталкивания. В частности два pozitivan naboj odbiti. Stoga će izraz za rad električnog polja biti sličan formuli za rad gravitacijske sile, ali će imati suprotan predznak

Ovaj rad je jednak smanjenju potencijalne energije interakcije, odnosno, Iz ovog izraza možete odrediti izraz za potencijalnu energiju elektrostatičke interakcije dva točkasta naboja. (4) Prema ovoj definiciji, potencijalna energija interakcije dva naboja istog predznaka je pozitivna i teži nuli na beskonačnoj udaljenosti između tijela. Sila interakcije naboja suprotnih predznaka usmjerena je u suprotnom smjeru, pa će rad ove sile s povećanjem udaljenosti između naboja biti negativan. Međutim, ne trebamo praviti nikakve dodatne rezerve, jer formula (4) automatski uzima u obzir predznake naboja - ako su naboji suprotni, onda je njihov proizvod (odnosno energija) negativan. Znak potencijalne energije interakcije naelektrisanja ima vrlo jasno značenje. Naboji istog predznaka se odbijaju, dakle, kada "pobjegnu" na beskonačno veliku udaljenost, električno polje će obaviti pozitivan rad - dakle, u početku sistem ovih naboja ima sposobnost da radi, stoga je njegova energija pozitivna, kada se naboji udaljavaju jedno od drugog, njihova energija se smanjuje na nulu. Naboji suprotnih znakova se privlače, da bi ih uklonile na beskonačnu udaljenost, vanjske sile moraju obaviti pozitivan rad. U ovom slučaju, energija para naboja bi se trebala povećati, dakle, u početku je negativna, a kada se naboji uklone jedan od drugog, povećava se na nulu. Općenito, uobičajena situacija je da privlačnost odgovara negativnoj energiji, a odbojnost pozitivnoj. Napominjemo samo da su takvi dokazi validni samo kada se bira nulti nivo potencijalne energije u beskonačnosti. Formula (4) određuje potencijalnu energiju interakcije dva tačkasto nabijena tijela. Vrijednosti naboja tijela Q i q ulaze, kako se očekivalo, simetrično u ovu formulu. Podjela naboja na izvorno i testno naelektrisanje je uslovna, mogu se potpuno zamijeniti. Stoga je poželjno ovu formulu napisati u simetričnom obliku: energija interakcije dva tačkasta naboja q1 i q2 je , ili se oba naboja kreću, konačno, bez obzira na putanje kretanja oba naboja. Nadalje, nemoguće je reći kojem konkretnom naboju "pripada" ta energija, u budućnosti ćemo pokazati da je energija interakcije naboja dio energije samog elektrostatičkog polja, odnosno "razmazana" preko čitavog prostora u kojem postoji polje koje stvaraju ova naelektrisanja. Ako se sistem sastoji od više od dva naboja, tada je za izračunavanje energije interakcije ovih naboja potrebno zbrojiti energije interakcije svih parova naboja

ovdje je Uik energija interakcije naboja qi i qk koji se nalaze na udaljenosti rik jedan od drugog (slika 178).

40 Pitanje:

Elektrostatičko polje - el. polje stacionarnog naboja.

Fel, djelujući na naboj, pokreće ga, obavljajući posao. U jednoličnom električnom polju Fel = qE - konstantan

Rad polja (elektronske sile) ne zavisi od oblika putanje i od zatvorene trajektorije = nula.

POTENCIJALNA ENERGIJA NAPUNJENOG TIJELA U HOMOGENOM ELEKTROSTATIČKOM POLJU

Elektrostatička energija je potencijalna energija sistema naelektrisanih tela (jer su u interakciji i sposobna su za rad).

Pošto rad polja ne zavisi od oblika putanje, onda u isto vreme

upoređujući formule rada, dobijamo potencijalnu energiju naboja u jednoličnom elektrostatičkom polju

Ako polje radi pozitivno (uz linije sile), zatim potencijalnu energiju

naelektrisanog tijela opada (ali prema zakonu održanja energije kinetička energija raste) i obrnuto.

POTENCIJAL ELEKTROstatičkog POLJA

Energetska karakteristika el. polja.

Ona je jednaka omjeru potencijalne energije naboja u polju i ovog naboja.

Skalarna vrijednost koja određuje potencijalnu energiju punjenja u bilo kojoj tački e-pošte. polja.

Potencijalna vrijednost se razmatra u odnosu na odabrani nulti nivo.

POTENCIJALNA RAZLIKA (ili na drugi način NAPON)

Ovo je razlika potencijala na početnoj i krajnjoj tački putanje punjenja.

Napon između dvije tačke (U) jednak je razlici potencijala ovih tačaka i jednak je radu polja pri kretanju jediničnog naboja.

ODNOS IZMEĐU JAKOSTI POLJA I RAZLIKE POTENCIJALA

§ 12.3 Rad sila elektrostatičkog polja. Potencijal. Ekvipotencijalne površine

Naelektrisanje q pr postavljeno u proizvoljnu tačku elektrostatičkog polja jačine E podliježe sili F = q pr E. Ako naboj nije fiksiran, sila će ga natjerati da se pomakne i, prema tome, rad će biti obavljen . Elementarni rad koji vrši sila F pri pomeranju električnog naboja q pr iz tačke a električnog polja do tačke b na segmentu puta dℓ, po definiciji, jednak je

(α je ugao između F i smjera kretanja) (slika 12.13).

Ako je posao obavljen spoljne sile, zatim dA< 0 , если силами поля, то dA >0. Integracijom posljednjeg izraza dobijamo da je rad protiv sila polja pri pomicanju q pr iz tačke a do tačke b

(12.20)

Slika -12.13

(

- Kulonova sila koja djeluje na ispitni naboj q pr u svakoj tački polja jačine E).

Onda radi

(12.21)

Kretanje je okomito na vektor , dakle cosα =1, rad probnog prijenosa naboja q pr iz a to b je jednako

(12.22)

Rad sila električnog polja pri kretanju naboja ne zavisi od oblika puta, već zavisi samo od relativnu poziciju početne i krajnje tačke putanje.

Dakle, elektrostatičko polje tačkastog naboja jepotencijal , a elektrostatičke sile sukonzervativan .

Ovo je svojstvo potencijalnih polja. Iz toga slijedi da je rad obavljen u električnom polju duž zatvorenog kola jednak nuli:

(12.23)

Integral

pozvao cirkulacija vektora napetosti . Iz nestajanja cirkulacije vektora E proizilazi da se linije jačine elektrostatičkog polja ne mogu zatvoriti, počinju na pozitivnim, a završavaju na negativnim nabojima.

Kao što znate, rad konzervativnih sila obavlja se zbog gubitka potencijalne energije. Stoga se rad sila elektrostatičkog polja može predstaviti kao razlika potencijalnih energija koju tačkasti naboj q pr ima u početnoj i krajnjoj tački polja naelektrisanja q:

(12.24)

odakle slijedi da je potencijalna energija naboja q pr u polju naboja q jednaka

(12.25)

Za slične naboje q pr q >0 i potencijalna energija njihove interakcije (odbijanja) je pozitivna, za različite naboje q pr q< 0 и потенциальная энергия их взаимодействия (притяжения) отрицательна.

Ako je polje kreirano sistemom od n tačkastih naboja q 1, q 2, .... q n , tada je potencijalna energija U naboja q pr koji se nalazi u ovom polju jednaka zbroju njegovih potencijalnih energija U i koje stvara svaki od naboja posebno:

(12.26)

Stav ne zavise od naboja q i energetska je karakteristika elektrostatičkog polja.

Skalarna fizička veličina, mjerena odnosom potencijalne energije probnog naboja u elektrostatičkom polju i vrijednosti tog naboja, naziva sepotencijal elektrostatičkog polja.

(12.27)

Potencijal polja koji stvara tačkasti naboj q jednak je

(12.28)

Potencijalna jedinica - volt.

Rad koji vrše sile elektrostatičkog polja pri pomeranju naboja q pr od tačke 1 do tačke 2 može se predstaviti kao

one. jednak je proizvodu prenesenog naboja i potencijalne razlike u početnoj i krajnjoj tački.

Razlika potencijala dvije tačke elektrostatičkog polja φ 1 -φ 2 jednaka je naponu. Onda

Odnos rada koji izvrši elektrostatičko polje pri premeštanju probnog naboja iz jedne tačke polja u drugu prema vrednosti ovog naelektrisanja naziva setenzija između ovih tačaka.

(12.30)

Grafički se električno polje može prikazati ne samo uz pomoć linija napetosti, već i uz pomoć ekvipotencijalnih površina.

Equipotential površine je skup tačaka sa istim potencijalom. Slika pokazuje da su linije napetosti (radijalni zraci) okomite na ekvipotencijalne linije.

E postoji beskonačan broj potencijalnih površina oko svakog naelektrisanja i svakog sistema naelektrisanja (slika 12.14). Međutim, oni se izvode tako da su potencijalne razlike između bilo koje dvije susjedne ekvipotencijalne površine iste. Tada gustina ekvipotencijalnih površina jasno karakteriše jačinu polja u različitim tačkama. Tamo gdje su ove površine gušće, jačina polja je veća. Poznavajući lokaciju ekvipotencijalnih linija (površina), moguće je konstruisati linije napetosti, ili se iz poznate lokacije linija napetosti mogu konstruisati ekvipotencijalne površine.

§ 12.4Odnos između napetosti i potencijala

Elektrostatičko polje ima dvije karakteristike: snagu (snagu) i energiju (potencijal). Napetost i potencijal su različite karakteristike iste tačke polja, stoga mora postojati veza između njih.

Rad pomicanja pozitivnog naboja jedne tačke iz jedne tačke u drugu duž x ose, pod uslovom da su tačke beskonačno blizu jedna drugoj i da je x 1 - x 2 = dx, jednak je qE x dx. Isti rad je jednak q(φ 1 - φ 2)= -dφq. Izjednačavajući oba izraza, možemo napisati

Ponavljajući slično razmišljanje za y i z ose, možemo pronaći vektor :

gdje

- jedinični vektori koordinatnih osa x, y, z.

Iz definicije gradijenta slijedi da

ili

(12.31)

one. jačina polja E jednaka je potencijalnom gradijentu sa predznakom minus. Znak minus je određen činjenicom da vektor napetosti E polje je usmereno u pravcu opadanja potencijala.

Uspostavljeni odnos između jačine i potencijala omogućava da se pomoću poznate jačine polja pronađe razlika potencijala između dvije proizvoljne tačke ovog polja.

Polje jednoliko nabijene sfere radijusR

Jačina polja izvan sfere određena je formulom

(r>R)

Razlika potencijala između tačaka r 1 i r 2 (r 1 >R; r 2 >R) određuje se pomoću relacije

Dobijamo potencijal sfere ako je r 1 = R, r 2 → ∞:

Polje jednoliko nabijenog beskonačno dugog cilindra

Jačina polja izvan cilindra (r > R) određena je formulom

(τ je linearna gustina).

Razlika potencijala između dvije tačke koje leže na udaljenosti r 1 i r 2 (r 1 >R; r 2 >R) od ose cilindra jednaka je

(12.32)

Polje jednolično nabijene beskonačne ravni

Jačina polja ove ravni je određena formulom

(σ - površinska gustina).

Razlika potencijala između tačaka koje leže na udaljenosti x 1 i x 2 od ravni je jednaka

(12.33)

Polje dvije suprotno nabijene beskonačne paralelne ravni

Jačina polja ovih ravni je određena formulom

Razlika potencijala između aviona je

(12.34)

(d je rastojanje između ravnina).

Primjeri rješavanja problema

Primjer 12.1 . Naboji u tri tačke Q 1 = 2nC, Q 2 = 3nC i Q 3 = -4nC nalaze se na vrhovima jednakostraničnog trokuta sa dužinom stranice a=10cm. Odredite potencijalnu energiju ovog sistema.

Dato : Q 1 = 2nCl = 2∙10 -9 C; Q 2 = 3nCl = 3 ∙ 10 -9 C; i Q 3 = -4nCl = 4∙10 -9 C; a=10cm=0.1m.

Nađi : U.

R Rješenje: Potencijalna energija sistema naelektrisanja jednaka je algebarskom zbiru energija interakcije svakog od parova naelektrisanja u interakciji, tj.

U=U 12 +U 13 +U 23

gdje je, respektivno, potencijalne energije jednog od naboja smještenih u polju drugog naboja na udaljenosti a od njega, jednak

;

;

(2)

Formule (2) zamenimo u izraz (1), nađemo željenu potencijalnu energiju sistema naelektrisanja

odgovor: U \u003d -0,126 μJ.

Primjer 12.2 . Odrediti potencijal u centru prstena sa unutrašnjim poluprečnikom R 1 =30cm i spoljašnjim R 2 =60cm, ako je naelektrisanje q=5nC na njemu ravnomerno raspoređeno.

Dato: R 1 = 30 cm = 0,3 m; R 2 = 60 cm = 0,6 m; q=5nCl=5∙10 -9 C

Nađi : φ .

Rješenje: Prsten dijelimo na koncentrične beskonačno tanke prstenove sa unutrašnjim polumjerom r i vanjskim polumjerom (r+dr).

Površina razmatranog tankog prstena (vidi sliku) dS=2πrdr.

P potencijal u centru prstena, stvoren beskonačno tankim prstenom,

gdje je površinska gustina naboja.

Da bi se odredio potencijal u centru prstena, treba aritmetički dodati dφ iz svih beskonačno tankih prstenova. Onda

S obzirom da je naelektrisanje prstena Q=σS, gde je S= π(R 2 2 -R 1 2) površina prstena, dobijamo željeni potencijal u centru prstena

Odgovori : φ=25V

Primjer 12.3. Dva punjenja istog imena (q 1 =2nC iq 2 \u003d 5nC) su u vakuumu na udaljenostir 1 = 20cm. Odrediti rad A koji treba obaviti da ih približimo udaljenostir 2 =5cm.

Dato: q 1 =2nCl=2∙10 -9 C; q 2 =5nCl=5∙10 -9 C ; r 1 = 20cm=0,2m;r 2 =5cm=0.05m.

Nađi : ALI.

Rješenje: Rad koji vrše sile elektrostatičkog polja pri pomicanju naboja Q iz tačke u polju s potencijalom φ 1 u tačku s potencijalom φ 2.

A 12 \u003d q (φ 1 - φ 2)

Kada se slični naboji približavaju jedan drugom, rad obavljaju vanjske sile, pa je rad ovih sila jednak po apsolutnoj vrijednosti, ali suprotan po predznaku od rada Kulombovih sila:

A \u003d -q (φ 1 - φ 2) = q (φ 2 - φ 1). (jedan)

Potencijali tačaka 1 i 2 elektrostatičkog polja

;

(2)

Zamjenom formule (2) u izraz (1) nalazimo željeni rad koji se mora obaviti da bi se naboji približili,

odgovor: A=1,35 μJ.

Primjer 12.4. Elektrostatičko polje stvara pozitivno nabijena beskonačna nit. Proton koji se kreće pod dejstvom elektrostatičkog polja duž linije napetosti iz filamenta sa udaljenostir 1 =2cm dor 2 =10cm, promijenio brzinu odυ 1 =1Mm/s doυ 2 =5Mm/s. Odrediti linearnu gustoću τ naboja niti.

Dato: q=1,6∙10 -19 C; m=1,67∙10 -27 kg; r 1 = 2 cm \u003d 2 ∙ 10 -2 m; r 2 = 10 cm = 0,1 m; r 2 = 5 cm \u003d 0,05 m; υ 1 = 1 Mm / s = 1 ∙ 10 6 m / s; do υ 2 \u003d 5 mm / s = 5 ∙ 10 6 m / s.

Nađi : τ .

Rješenje: Rad koji vrše sile elektrostatičkog polja pri pomeranju protona iz tačke polja sa potencijalom φ 1 u tačku sa potencijalom φ 2 ide na povećanje kinetičke energije protona

q(φ 1 - φ 2) \u003d ΔT (1)

U slučaju filamenta, elektrostatičko polje je aksijalno simetrično, dakle

ili dφ=-Edr,

tada razlika potencijala između dvije tačke koje se nalaze na udaljenosti r 1 i r 2 od niti,

(uzeli smo u obzir da je jačina polja stvorenog od jednolično nabijene beskonačne niti,

).

Zamjenjujući izraz (2) u formulu (1) i uzimajući to u obzir

, dobijamo

Gdje je željena linearna gustina naboja niti

Odgovori : τ = 4,33 µC/m.

Primjer 12.5. Elektrostatičko polje stvara se u vakuumu pomoću lopte poluprečnikaR=8cm, jednoliko naelektrisan sa zapreminskom gustinom ρ=10nC/m 3 . Odredite razliku potencijala između dvije tačke ovog polja koje leže na udaljenosti od centra lopte: 1)r 1 =10cm ir 2 =15cm; 2)r 3 = 2cm ir 4 =5cm..

Dato: R=8cm=8∙10 -2 m; ρ=10nC/m 3 =10∙10 -9 nC/m 3; r 1 = 10 cm \u003d 10 ∙ 10 -2 m;

r 2 = 15 cm \u003d 15 ∙ 10 -2 m; r 3 = 2 cm = 2 ∙ 10 -2 m; r 4 = 5 cm \u003d 5 ∙ 10 -2 m.

Nađi : 1) φ 1 - φ 2 ; 2) φ 3 - φ 4 .

Rješenje: 1) Razlika potencijala između dvije tačke koje leže na udaljenosti r 1 i r 2 od centra lopte.

(1)

gdje

je jačina polja koju generiše jednoliko nabijena lopta sa zapreminskom gustinom ρ u bilo kojoj tački van lopte na udaljenosti r od njenog centra.

Zamjenom ovog izraza u formulu (1) i integracijom dobijamo željenu potencijalnu razliku

2) Razlika potencijala između dvije tačke koje leže na udaljenosti r 3 i r 4 od centra lopte,

(2)

gdje

je jačina polja koju generiše jednoliko nabijena kugla zapreminske gustine ρ u bilo kojoj tački koja leži unutar lopte na udaljenosti r od njenog centra.

Zamjenom ovog izraza u formulu (2) i integracijom dobijamo željenu potencijalnu razliku

Odgovori : 1) φ 1 - φ 2 \u003d 0,643 V; 2) φ 3 - φ 4 \u003d 0,395 V

Izračunajmo potencijalnu energiju električnih naboja za najjednostavnije, ali vrlo važne posebne slučajeve.
Potencijalna energija naboja u homogenom polju Neka se naboj q kreće u jednoličnom električnom polju jačine E od tačke 1 do tačke 2. Položaj tačke 1 određen je radijus vektorom, a tačke 2 radijus vektorom r2 . Sila koja djeluje na naboj F = qE je konstantna. Rad sile F ne zavisi od oblika putanje koja povezuje tačke 1 i 2. Ovo sledi iz opšteg dokaza o potencijalnosti elektrostatičkog polja. Također je moguće izvesti dokaz korištenjem direktnog proračuna obavljenog rada kada se naboj kreće različitim putanjama na isti način kao što je to urađeno u Mehanici za gravitacijske sile. Sada to nećemo raditi.
Najlakši način da se izračuna rad je ako se naelektrisanje kreće duž prave linije koja povezuje tačku 1 i tačku 2 (slika 1.78). Vektor pomaka Dg = r2 - rv Rad je jednak skalarnom proizvodu sile i pomaka:
A = F Ar^qE (r2-r1) = qE r2-qE gg (1.18.1)
S druge strane, prema (1.17.1), A \u003d ~ (W 2 ~ Upoređujući izraze (1.18.1) i (1.17.1), dobijamo izraz za potencijalnu energiju naboja u uniformnom polju :
Wp ~ -qE g. (1.18.2)
Ujednačeno polje se stvara, posebno, u prostoru između paralelnih ploča, nošenje optužbi suprotnih znakova (sl. 1.79). Prirodno je odabrati koordinatni sistem tako da os X bude usmjerena okomito na ploče. Tada su projekcije En i E jednake nuli i izražene su
na z
niži (1.18.2) ima oblik:
Wp = -q(Exx + Eyy + Ezz) = ~qExx. (1.18.3)

Formula (1.18.3) je slična formuli Wp = mgh za potencijalnu energiju tijela iznad Zemljine površine. Ulogu mase igra naboj, ubrzanje slobodan pad je jačina polja, a umjesto visine h je x koordinata. Ali znak energije je drugačiji: minus umjesto plus. Poenta je u ovome. Masa je uvijek pozitivna, a sila gravitacije je nužno usmjerena vertikalno naniže. Uzimajući u obzir ove okolnosti, napisana je formula Wp = mgh. Sadrži modul ubrzanja slobodnog pada, a visina h se mjeri od Zemljine površine. Formula (1.18.3) je opštija. Naboj q može biti pozitivan ili negativan; jačina polja može biti usmjerena bilo gdje, a njena projekcija može biti pozitivna ili negativna, ovisno o izboru koordinatnog sistema.
Konkretno, ako je jačina polja E usmjerena okomito naniže, a os X prema gore, tada
Wp = qE\x\ (1.18.4)
u tačnom skladu sa izrazom Wp = mgh.
Ako električno polje radi pozitivan rad, tada se energija nabijenog tijela u polju smanjuje: AW 0. Takvo kretanje nabijene čestice je slično kretanju kamena bačenog prema gore. U tom slučaju potencijalna energija čestice raste, a kinetička opada: čestica se usporava.
Nulta potencijalna energija
Potencijalna energija u elektrodinamici se određuje, kao i u mehanici, do proizvoljne konstante. Umjesto izraza (1.18.2) mogli bismo napisati:
W=-qE-r + C, (1.18.5)
gdje je C proizvoljna konstanta. U tom slučaju promjena potencijalne energije ostaje ista, a rad određuje upravo promjenu potencijalne energije, a ne same energije. Zapisujući formulu (1.18.2), mi smo zapravo izjednačili konstantu C sa nulom. Ovo odgovara određenom izboru nultog nivoa potencijalne energije. Na primjer, za slučaj prikazan na slici 1.79, pretpostavlja se da je potencijalna energija nula na površini ploče B. Ali, kao i kod djelovanja gravitacijskih sila, nulti nivo potencijalne energije se bira proizvoljno. Možemo pretpostaviti da je W - O na udaljenosti od ploče B. Tada
wp=-qExx-qExx y
Nije sama potencijalna energija ono što ima fizičko značenje, već razlika u njenim vrijednostima, određena radom polja kada se naboj kreće iz početne pozicije u konačni.
Energija interakcije tačkastih naelektrisanja
U toku mehanike dobijen je izraz za energiju interakcije tačkastih tela:
tí u "W \u003d -G---.
R g
Ako umjesto masa tačaka uzmemo dva naboja q1 i q2 suprotnih predznaka (naboji se privlače), onda možemo dobiti sličan izraz za potencijalnu energiju njihove interakcije:
w (1.18.6)
R y "
Za naboje istog predznaka (naboji se odbijaju), predznak potencijalne energije će biti suprotan:
w (1.18.7)
R y "
Formule (1.18.6) i (1.18.7) se mogu kombinovati u jednu ako umjesto modula naboja uzmemo njihove algebarske vrijednosti:
W. (1.18.8)
R r v "
Potencijalni energetski znak će se automatski pokazati ispravnim.
Ako naboji ql i q2 imaju iste predznake, tada je potencijalna energija njihove interakcije pozitivna (slika 1.80, a). Što je veća, to je manja udaljenost između naboja, jer će rad koji Kulonove sile mogu obaviti kada se naboji odbijaju jedno od drugog biti veći. Ako naelektrisanja imaju suprotne predznake, tada je energija negativna i njena maksimalna vrijednost, jednaka nuli, postiže se na r -> oo (slika 1.80, b). Što je veći r, to će više posla obaviti sile privlačenja kada se naboji približe jedan drugom.

Rice. 1.80
Prilikom zapisivanja potencijalne energije u obliku (1.18.8) već je napravljen određeni izbor nultog nivoa potencijalne energije. Vjeruje se da je potencijalna energija beskonačno udaljenih naelektrisanja jednaka nuli: Wp -» 0 kada je r -» oo. Ovaj izbor nultog nivoa je zgodan, ali nije potreban. Umjesto izraza (1.18.8), moglo bi se i to napisati
(1.18.9)
rg y"
gdje je C proizvoljna konstanta. Ovo pokazuje da je pozitivna ili negativna vrijednost potencijalne energije posebna fizičkog čula nema. Predznak potencijalne energije će se odrediti fiksiranjem proizvoljne konstante C. Promjenom vrijednosti C možemo promijeniti predznak Wp za datu udaljenost r između naboja.
Potencijalna energija sistema tačkastih naelektrisanja
Potencijalna energija sistema tačkastih naelektrisanja qv q2, ..., qN jednaka je zbiru potencijalnih energija svih parova naelektrisanja u interakciji. Za tri punjenja
w kbSi+hbS*+hwz l
R G1.2 G1.3 G2.3
Dokažite i sami koristeći sljedeći trik. U početku su naboji q2 i qz na beskonačnoj udaljenosti od naboja qv. Zatim se naboj q2 pomiče do tačke koja se nalazi na udaljenosti gl 2 od prvog naboja. Nakon toga, naboj qz se pomiče u tačku na udaljenosti r1 3 od prvog naboja i r2 3 od drugog. Potrebno je izračunati rad Coulombovih sila koji se obavljaju pri ovim pomacima i izjednačiti ga sa promjenom potencijalne energije, uzete sa suprotnim predznakom.
Općenito, N naplaćuje
N N
wp=llk7rh> (1.18.11)
i=lfc=l (i*k)
gdje je r; k - udaljenost između naboja mastila brojeva. Koeficijent - 1
2 se dobija zbog činjenice da se prilikom zbrajanja potencijalna energija dva puta uzima u obzir u obliku identične
ri, k rk, i
Formule za potencijalnu energiju električni naboj u homogenom polju (1.18.2) i za dva točkasta naboja (1.18.8) preporučljivo je zapamtiti. Sastajaće se prilično često.
? 1. Da li je moguće stvoriti elektrostatiku
le, čije su linije zatezanja paralelne- ^^^^^^^
lelny, a modul intenziteta starosti je
em u smjeru okomitom na
niyam (sl. 1.81)? Rice. 1.81
Nacrtajte grafik zavisnosti potencijalne energije suprotno naelektrisanih čestica od udaljenosti, pod uslovom da je proizvoljna konstanta C u formuli (1.18.9) pozitivna.
Kako će izgledati formula (1.18.8) ako su naelektrisanja u mediju sa dielektričnom konstantom ê?