Udaljenost od date tačke do ravni. Određivanje udaljenosti između tačke i ravni, prave i ravni, između ravnina i kosih linija. Udaljenost od tačke do ravni

Uslovi za paralelnost i okomitost

1°. Uslov komplanarnosti za dvije ravni

Neka su date dvije ravni:

A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0, n 1 = {A 1 ; B 1 ; C 1 } ≠ 0 ;(1)

A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0, n 2 = {A 2 ; B 2 ; C 2 } ≠ 0 .(2)

Kada su komplanarni (tj. paralelni ili isti)? Očigledno, to će biti ako i samo ako su njihovi normalni vektori kolinearni. Primjenom kriterija komplanarnosti dobijamo

Prijedlog 1. Dvije ravni su komplanarne ako i samo ako je unakrsni proizvod njihovih normalnih vektora jednak nultom vektoru:

[n 1 , n 2 ] = 0 .

2°. Uslov podudarnosti dve ravni

Prijedlog 2. Ravnine (1) i (2) se poklapaju ako i samo ako su sva četiri njihova koeficijenta proporcionalna, tj. postoji broj λ takav da

A 2 = λ A 1 , B 2 = λ B 1 , C 2 = λ C 1 , D 2 = λ D 1 . (3)

Dokaz. Neka su ispunjeni uslovi (3). Tada se jednačina druge ravni može napisati na sljedeći način:

λ A 1 x + λ B 1 y + λ C 1 z + λ D 1 = 0.

λ ≠ 0, inače bi bilo A 2 = B 2 = C 2 = D 2 = 0, što je u suprotnosti sa uslovom n 2 ≠ 0 . Prema tome, posljednja jednačina je ekvivalentna jednačini (1), što znači da su dvije ravni iste.

Neka se sada, naprotiv, zna da se date ravni poklapaju. Tada su njihovi normalni vektori kolinearni, tj. postoji broj λ takav da

A 2 = λ A 1 , B 2 = λ B 1 , C 2 = λ C 1 .

Jednačina (2) se sada može prepisati kao:

λ A 1 x + λ B 1 y + λ C 1 z + D 2 = 0.

Pomnožeći jednačinu (1) sa λ, dobijamo ekvivalentna jednačina prva ravan (jer λ ≠ 0):

λ A 1 x + λ B 1 y + λ C 1 z + λ D 1 = 0.

Uzmi poen x 0 , y 0 , z 0) iz prve (a time i druge) ravni i zameniti njene koordinate u poslednje dve jednačine; dobijamo tačne jednakosti:

λ A 1 x 0 + λ B 1 y 0 + λ C 1 z 0 + D 2 = 0 ;

λ A 1 x 0 + λ B 1 y 0 + λ C 1 z 0 + λ D 1 = 0.

Oduzimajući od gornjeg dna, dobijamo D 2 − λ D 1 = 0, tj. D 2 = λ D 1, QED.

3°. Uslov okomitosti dvije ravni

Očigledno, za ovo je neophodno i dovoljno da vektori normale budu okomiti.

Prijedlog 3. Dvije ravnine su okomite ako i samo ako je produkt točkast normalnih vektora nula:

(n 1 , n 2) = 0 .

Neka je data jednačina ravni

Sjekira + By + cz + D = 0, n = {A; B; C} ≠ 0 ,

i tačka M 0 = (x 0 , y 0 , z 0). Izvodimo formulu za udaljenost od tačke do ravni:

Uzmite proizvoljnu tačku Q = (x 1 , y 1 , z 1) leži u datoj ravni. Njegove koordinate zadovoljavaju jednačinu ravni:

Sjekira 1 + By 1 + cz 1 + D = 0.

Obratite pažnju sada na željenu udaljenost d jednaka je apsolutnoj vrijednosti vektorske projekcije u pravcu vektora n (ovdje uzimamo projekciju kao numerička vrijednost, a ne kao vektor). Zatim primijenite formulu za izračunavanje projekcije:

Slična formula vrijedi i za udaljenost d sa tačke M 0 = (x 0 , y 0) ravan na pravu liniju datu opštom jednačinom Sjekira + By + C = 0.

ZADACI C2 JEDINSTVENOG DRŽAVNOG ISPITA IZ MATEMATIKE ZA NALAZANJE UDALJENOSTI OD TAČKE DO RAVNINE

Kulikova Anastasia Yurievna

Student 5. godine odsjeka za matematiku. Analiza, algebra i geometrija EI KFU, Ruska Federacija, Republika Tatarstan, Elabuga

Ganeeva Aigul Rifovna

naučni mentor, dr. ped. nauka, vanredni profesor, EI KFU, Ruska Federacija, Republika Tatarstan, Elabuga

AT USE zadatke u matematici na poslednjih godina postoje problemi za izračunavanje udaljenosti od tačke do ravni. U ovom članku, na primjeru jednog problema, razmatraju se različite metode za određivanje udaljenosti od tačke do ravni. Za rješavanje raznih problema možete koristiti najprikladniju metodu. Nakon rješavanja problema jednom metodom, druga metoda može provjeriti ispravnost rezultata.

Definicija. Udaljenost od tačke do ravni koja ne sadrži ovu tačku je dužina segmenta okomice ispuštene iz ove tačke u datu ravan.

Zadatak. Dan kuboid ALIBODDA 1 B 1 C 1 D 1 sa stranama AB=2, BC=4, aa 1=6. Pronađite udaljenost od tačke D do aviona ACD 1 .

1 način. Koristeći definicija. Pronađite udaljenost r( D, ACD 1) iz tačke D do aviona ACD 1 (sl. 1).

Slika 1. Prvi način

Hajde da potrošimo D.H.⊥AC, dakle, teoremom o tri okomice D 1 H⊥AC i (DD 1 H)⊥AC. Hajde da potrošimo direktno DT okomito D 1 H. Pravo DT leži u avionu DD 1 H, Shodno tome DT⊥AC. shodno tome, DT⊥ACD 1.

ALIDC naci hipotenuzu AC i visina D.H.

Iz pravouglog trougla D 1 D.H. naci hipotenuzu D 1 H i visina DT

Odgovor: .

2 way.Volume Method (korištenje pomoćne piramide). Problem ovog tipa može se svesti na problem izračunavanja visine piramide, gdje je visina piramide željena udaljenost od tačke do ravni. Dokažite da je ova visina željena udaljenost; pronađite zapreminu ove piramide na dva načina i izrazite ovu visinu.

Imajte na umu da kada ovu metodu nema potrebe konstruisati okomicu iz date tačke na datu ravan.

Kuboid je kvadar čije su sve strane pravokutnici.

AB=CD=2, BC=AD=4, aa 1 =6.

Željena udaljenost će biti visina h piramide ACD 1 D, pao sa vrha D na zemlji ACD 1 (sl. 2).

Izračunajte zapreminu piramide ACD 1 D dva načina.

Računajući, na prvi način, uzimamo ∆ kao osnovu ACD 1, dakle

Računajući, na drugi način, uzimamo ∆ kao osnovu ACD, onda

Izjednačimo desne strane posljednje dvije jednakosti, dobijamo

Slika 2. Drugi način

Iz pravokutnih trougla ACD, DODATI 1 , CDD 1 pronađite hipotenuze koristeći Pitagorinu teoremu

ACD

Izračunajte površinu trokuta ACD 1 koristeći Heronovu formulu

Odgovor: .

3 way. koordinatni metod.

Neka se da poen M(x 0 ,y 0 ,z 0) i avion α , dato jednačinom sjekira+by+cz+d=0 u pravokutnim Dekartovim koordinatama. Udaljenost od tačke M na ravan α može se izračunati po formuli:

Hajde da uvedemo koordinatni sistem (slika 3). Porijeklo u tački AT;

Pravo AB- osa X, ravno sunce- osa y, ravno BB 1 - os z.

Slika 3. Treći način

B(0,0,0), ALI(2,0,0), OD(0,4,0), D(2,4,0), D 1 (2,4,6).

Neka ax+by+ cz+ d=0 – jednačina u ravni ACD jedan . Zamjenjujući u njega koordinate tačaka A, C, D 1 dobijamo:

Jednačina ravnine ACD 1 će preuzeti formu

Odgovor: .

4 way. vektorska metoda.

Uvodimo osnovu (slika 4) , .

Slika 4. Četvrti način

Ovaj članak govori o određivanju udaljenosti od tačke do ravni. hajde da analiziramo koordinatni metod, koji će nam omogućiti da pronađemo rastojanje od date tačke u trodimenzionalnom prostoru. Da biste konsolidirali, razmotrite primjere nekoliko zadataka.

Udaljenost od tačke do ravni nalazi se pomoću poznatog rastojanja od tačke do tačke, pri čemu je jedna od njih data, a druga je projekcija na datu ravan.

Kada je u prostoru dana tačka M 1 sa ravni χ, tada se kroz tačku može povući prava prava okomita na ravan. H 1 je zajednička tačka njihovog preseka. Odavde dobijamo da je segment M 1 H 1 okomica, koja je povučena iz tačke M 1 u ravan χ, gde je tačka H 1 osnova okomice.

Definicija 1

Oni nazivaju udaljenost od date tačke do osnove okomice, koja je povučena iz date tačke u datu ravan.

Definicija se može napisati u različitim formulacijama.

Definicija 2

Udaljenost od tačke do ravni naziva se dužina okomice, koja je povučena iz date tačke u datu ravan.

Rastojanje od tačke M 1 do ravni χ je definisano na sledeći način: udaljenost od tačke M 1 do ravni χ biće najmanja od date tačke do bilo koje tačke u ravni. Ako se tačka H 2 nalazi u χ ravni i nije jednaka tački H 2, onda se dobija pravougaoni trokut oblika M 2 H 1 H 2 , koji je pravougaoni, gde se nalazi krak M 2 H 1, M 2 H 2 - hipotenuza. Dakle, ovo implicira da je M 1 H 1< M 1 H 2 . Тогда отрезок М 2 H 1 smatra se kosim, koji je povučen iz tačke M 1 u ravan χ. Imamo da je okomica povučena iz date tačke na ravan manja od nagnute povučene iz tačke u datu ravan. Razmotrite ovaj slučaj na donjoj slici.

Udaljenost od tačke do ravni - teorija, primjeri, rješenja

Postoji niz geometrijskih problema čija rješenja moraju sadržavati udaljenost od tačke do ravni. Načini da se ovo otkrije mogu biti različiti. Za rješavanje koristite Pitagorinu teoremu ili sličnost trokuta. Kada je, prema uslovu, potrebno izračunati rastojanje od tačke do ravni, datog u pravougaonom koordinatnom sistemu trodimenzionalnog prostora, rešavaju se koordinatnom metodom. Ovaj paragraf se bavi ovom metodom.

Prema uslovu zadatka, imamo da je data tačka u trodimenzionalnom prostoru sa koordinatama M 1 (x 1, y 1, z 1) sa ravninom χ, potrebno je odrediti rastojanje od M 1 do ravan χ. Za rješavanje se koristi nekoliko rješenja.

Prvi način

Ova metoda se zasniva na pronalaženju udaljenosti od tačke do ravni koristeći koordinate tačke H 1, koje su osnova okomice iz tačke M 1 na ravan χ. Zatim morate izračunati udaljenost između M 1 i H 1.

Za rješavanje problema na drugi način koristi se normalna jednačina date ravni.

Drugi način

Po uslovu imamo da je H 1 osnova okomice, koja je spuštena iz tačke M 1 u ravan χ. Zatim odredimo koordinate (x 2, y 2, z 2) tačke H 1. Željena udaljenost od M 1 do χ ravni nalazi se po formuli M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2, gdje je M 1 (x 1, y 1 , z 1) i H 1 (x 2 , y 2 , z 2) . Da biste to riješili, morate znati koordinate tačke H 1.

Imamo da je H 1 tačka preseka ravni χ sa pravom a, koja prolazi kroz tačku M 1 koja se nalazi okomito na ravan χ. Iz toga slijedi da je potrebno formulisati jednačinu prave koja prolazi kroz datu tačku okomito na datu ravan. Tada možemo odrediti koordinate tačke H 1 . Potrebno je izračunati koordinate tačke preseka prave i ravni.

Algoritam za pronalaženje udaljenosti od tačke sa koordinatama M 1 (x 1, y 1, z 1) do χ ravni:

Definicija 3

sastaviti jednačinu prave a koja prolazi kroz tačku M 1 i istovremeno
okomito na ravan χ;
pronađite i izračunajte koordinate (x 2, y 2, z 2) tačke H 1, koje su tačke
presek prave a sa ravninom χ ;
izračunajte udaljenost od M 1 do χ koristeći formulu M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + z 2 - z 1 2.

Treći način

U datom pravougaonom koordinatnom sistemu O x y z postoji ravan χ, tada dobijamo normalnu jednačinu ravni oblika cos α · x + cos β · y + cos γ · z - p = 0 . Odavde dobijamo da je rastojanje M 1 H 1 sa tačkom M 1 (x 1 , y 1 , z 1) povučeno u ravan χ, izračunato po formuli M 1 H 1 = cos α x + cos β y + cos γ z-p. Ova formula je važeća, jer je uspostavljena zahvaljujući teoremi.

Teorema

Ako je tačka M 1 (x 1 , y 1 , z 1) data u trodimenzionalnom prostoru, koja ima normalnu jednačinu χ ravnine oblika cos α x + cos β y + cos γ z - p = 0, tada se izračunavanje udaljenosti od tačke do ravnine M 1 H 1 izvodi iz formule M 1 H 1 = cos α · x + cos β · y + cos γ · z - p, budući da je x = x 1 , y = y 1 , z = z 1 .

Dokaz

Dokaz teoreme se svodi na određivanje udaljenosti od tačke do prave. Odavde dobijamo da je rastojanje od M 1 do χ ravni modul razlike između numeričke projekcije radijus vektora M 1 sa rastojanjem od početka do χ ravni. Tada dobijamo izraz M 1 H 1 = n p n → O M → - p . Vektor normale ravni χ ima oblik n → = cos α , cos β , cos γ , a njegova dužina je jednaka jedan, n p n → O M → je numerička projekcija vektora O M → = (x 1 , y 1 , z 1) u pravcu određenom vektorom n → .

Primijenimo formulu za izračunavanje skalarnih vektora. Tada dobijamo izraz za pronalaženje vektora oblika n → , O M → = n → n p n → O M → = 1 n p n → O M → = n p n → O M → , budući da je n → = cos α , cos β , cos γ z i O M → = (x 1 , y 1 , z 1) . Koordinatni oblik notacije će imati oblik n →, O M → = cos α x 1 + cos β y 1 + cos γ z 1, zatim M 1 H 1 = n p n → O M → - p = cos α x 1 + cos β · y 1 + cos γ · z 1 - p . Teorema je dokazana.

Odavde dobijamo da se udaljenost od tačke M 1 (x 1, y 1, z 1) do ravni χ izračunava zamjenom u lijevu stranu normalne jednadžbe ravnine cos α x + cos β y + cos γ z - p = 0 umjesto x, y, z koordinate x 1 , y 1 i z1 koji se odnosi na tačku M 1 , uzimajući apsolutnu vrijednost dobijene vrijednosti.

Razmotrimo primjere pronalaženja udaljenosti od tačke s koordinatama do date ravni.

Primjer 1

Izračunajte udaljenost od tačke sa koordinatama M 1 (5 , - 3 , 10) do ravni 2 x - y + 5 z - 3 = 0 .

Rješenje

Rešimo problem na dva načina.

Prva metoda će započeti izračunavanjem vektora smjera linije a. Po uslovu imamo da je data jednačina 2 x - y + 5 z - 3 = 0 opšta jednačina ravni, a n → = (2 , - 1 , 5) je vektor normale date ravni. Koristi se kao usmjeravajući vektor za pravu a, koja je okomita na datu ravan. Trebalo bi biti zapisano kanonska jednačina prava linija u prostoru koja prolazi kroz M 1 (5 , - 3 , 10) sa vektorom pravca sa koordinatama 2 , - 1 , 5 .

Jednačina će izgledati kao x - 5 2 = y - (- 3) - 1 = z - 10 5 ⇔ x - 5 2 = y + 3 - 1 = z - 10 5 .

Treba definisati tačke preseka. Da biste to učinili, lagano kombinirajte jednadžbe u sistem za prijelaz sa kanonske na jednačine dvije linije koje se seku. Uzmimo ovu tačku kao H 1 . Shvatili smo to

x - 5 2 = y + 3 - 1 = z - 10 5 ⇔ - 1 (x - 5) = 2 (y + 3) 5 (x - 5) = 2 (z - 10) 5 ( y + 3) = - 1 (z - 10) ⇔ ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 5 y + z + 5 = 0 ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0

Zatim morate omogućiti sistem

x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 2 x - y + 5 z - 3 = 0 ⇔ x + 2 y = 1 5 x - 2 z = 5 2 x - y + 5 z = 3

Okrenimo se pravilu za rješavanje sistema po Gaussu:

1 2 0 - 1 5 0 - 2 5 2 - 1 5 3 ~ 1 2 0 - 1 0 - 10 - 2 10 0 - 5 5 5 ~ 1 2 0 - 1 0 - 10 - 2 10 0 0 6 0 ⇒ ⇒ z = 0 6 = 0 , y = - 1 10 10 + 2 z = - 1 , x = - 1 - 2 y = 1

Dobijamo da je H 1 (1, - 1, 0) .

Izračunavamo udaljenost od date tačke do ravni. Uzimamo tačke M 1 (5, - 3, 10) i H 1 (1, - 1, 0) i dobijamo

M 1 H 1 = (1 - 5) 2 + (- 1 - (- 3)) 2 + (0 - 10) 2 \u003d 2 30

Drugo rješenje je da se zadata jednačina 2 x - y + 5 z - 3 = 0 dovede u normalni oblik. Određujemo faktor normalizacije i dobijamo 1 2 2 + (- 1) 2 + 5 2 = 1 30 . Odavde izvodimo jednačinu ravni 2 30 · x - 1 30 · y + 5 30 · z - 3 30 = 0 . Lijeva strana jednadžbe izračunava se zamjenom x \u003d 5, y \u003d - 3, z \u003d 10, a trebate uzeti udaljenost od M 1 (5, - 3, 10) do 2 x - y + 5 z - 3 = 0 po modulu. Dobijamo izraz:

M 1 H 1 = 2 30 5 - 1 30 - 3 + 5 30 10 - 3 30 \u003d 60 30 = 2 30

Odgovor: 2 30 .

Kada je χ ravan specificirana jednom od metoda metoda presjeka za specificiranje ravnine, tada prvo trebate dobiti jednačinu χ ravni i izračunati potrebnu udaljenost bilo kojom metodom.

Primjer 2

Tačke sa koordinatama M 1 (5 , - 3 , 10) , A (0 , 2 , 1) , B (2 , 6 , 1) , C (4 , 0 , - 1) postavljene su u trodimenzionalni prostor. Izračunajte udaljenost od M 1 do ravni A B C.

Rješenje

Prvo treba da zapišete jednadžbu ravnine koja prolazi kroz date tri tačke sa koordinatama M 1 (5, - 3, 10) , A (0 , 2 , 1) , B (2 , 6 , 1) , C ( 4 , 0 , - jedan) .

x - 0 y - 2 z - 1 2 - 0 6 - 2 1 - 1 4 - 0 0 - 2 - 1 - 1 = 0 ⇔ x y - 2 z - 1 2 4 0 4 - 2 - 2 = 0 ⇔ ⇔ - 8x + 4y - 20z + 12 = 0 ⇔ 2x - y + 5z - 3 = 0

Iz toga slijedi da problem ima rješenje slično prethodnom. Dakle, rastojanje od tačke M 1 do ravni A B C je 2 30 .

Odgovor: 2 30 .

Pronalaženje udaljenosti od date tačke na ravni ili do ravni sa kojom su paralelne je pogodnije primenom formule M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 + cos γ · z 1 - p . Odavde dobijamo da se normalne jednačine ravni dobijaju u nekoliko koraka.

Primjer 3

Pronađite udaljenost od date tačke sa koordinatama M 1 (- 3 , 2 , - 7) do koordinatne ravni O x y z i ravni, dato jednačinom 2y - 5 = 0 .

Rješenje

Koordinatna ravan O y z odgovara jednačini oblika x = 0. Za ravan O y z, to je normalno. Stoga je potrebno zamijeniti vrijednosti x \u003d - 3 u lijevu stranu izraza i uzeti apsolutnu vrijednost udaljenosti od tačke s koordinatama M 1 (- 3, 2, - 7) do ravnine . Dobijamo vrijednost jednaku - 3 = 3 .

Nakon transformacije, normalna jednadžba ravni 2 y - 5 = 0 će poprimiti oblik y - 5 2 = 0 . Tada možete pronaći potrebnu udaljenost od tačke sa koordinatama M 1 (- 3 , 2 , - 7) do ravni 2 y - 5 = 0 . Zamjenom i računanjem dobijamo 2 - 5 2 = 5 2 - 2.

odgovor:Željena udaljenost od M 1 (- 3 , 2 , - 7) do O y z ima vrijednost 3 , a do 2 y - 5 = 0 ima vrijednost 5 2 - 2 .

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Ravan u prostoru je data jednačinom 3x-4y+2z+5=0, pronađite udaljenost od nje do tačke M(3;-2;6).
Dato:
$$ x_0 = 3, \quad y_0 = -2, \quad z_0 = 6 $$

$$ A = 3, \quad B = -4, \quad C = 2, \quad D = 5 $$
Rješenje:
Da bismo riješili problem, koristimo formulu za pronalaženje udaljenosti od tačke do ravni, koja je jednaka dužini okomice spuštene iz ove tačke na ravan:

$$ p = (| A \cdot x_0 + B \cdot y_0 + C \cdot z_0 + D|) \over \sqrt((A^2 + B^2 + C^2)) $$

gdje su A, B, C, D koeficijenti ravnine jednačine, a x0, y0, z0 su koordinate tačke.

Napravimo zamjenu:

$$ \frac(|3 \cdot 3 + (-4) \cdot (-2)+2 \cdot 6 + 5 |)( \sqrt((3^2 + (-4)^2 + 2^2) ) ) = \frac(|9+8+12+5|)(\sqrt((9+16+4))) =6.314$$ (linearne jedinice)
odgovor:
Data je kocka ABCDA1B1C1D1 sa ivicom jednakim 1 cm. Izračunajte rastojanje od tačke A1 do ravni definisane tačkama B, D i C1.
Rješenje:
Da bismo riješili problem, primjenjujemo koordinatnu metodu. Početak koordinatnog sistema nalazi se u tački A. X-osa je kompatibilna sa ivicom AD, osa y je kompatibilna sa ivicom AB, osa z je kompatibilna sa ivicom AA1.

Zatim koordinate tačke A1 (0;0;1), tačaka B (0; 1; 0), D (1; 0; 0), C1(1; 1; 1). Stavljajući koordinate svake od tačaka u opštu jednačinu za ravan A·x+B·y+C·z+D=0, dobijamo sistem od tri jednačine, rešavanjem kojih nalazimo koeficijente i jednačinu ravan x+y-z-1=0.

$$ p = \frac( |A \cdot x_0 + B \cdot y_0 + C \cdot z_0 + D| )( \sqrt((A^2 + B^2 + C^2)) ) $$, zamjena:

$$ p = \frac( |1 \cdot 0 + 1 \cdot 0 - 1 \cdot 1 - 1| )( \sqrt((1+1+1)) ) = 1.155 cm$$
odgovor:
$$ R = 1.155 cm $$
Zatim pronađite udaljenost tačke M (2; 4; -7) do ravni XOY.
Rješenje:
Jednačina XOY ravni je poseban slučaj, njegova jednadžba je z=0. Primijenimo formulu:

$$ p = \frac( | A \cdot x_0 + B \cdot y_0 + C \cdot z_0 + D| )( (A^2 + B^2 + C^2) ) $$ , gdje je A=0, B =0, S=1, D=0, x0=2, y0=4, z0=-7.

Napravimo zamjenu:

$$ p = \frac( |0 \cdot 2 + 0 \cdot 4 + 1 \cdot (-7)) + 0| )( \sqrt((0^2 + 0^2 + 1^2)) ) = 7$$
odgovor:
Ravan je određena okvirom od tri tačke sa koordinatama u pravougaonom sistemu A1 (0;2;1), B1(2;6;1), C1(4;0;-1). Odredi na kojoj se udaljenosti od nje nalazi tačka sa koordinatama M (5; -3; 10).
Rješenje:
Da bismo odredili udaljenost od tačke do ravni, koristimo formulu

$$ p= \frac( |A \cdot x_0 + B \cdot y_0 + C \cdot z_0 + D| )( sqrt( (A^2 + B^2 + C^2) ) ) $$

Da bismo ga koristili, potrebno je izvesti jednadžbu ravnine definisane tačkama A1, B1 i C1. Opšti oblik ove jednačine A·x+B·y+C·z+D=0. Koristeći jednu od metoda za izvođenje jednačine ravnine (sistem jednačina sa koordinatama tačaka ili determinantom), nalazimo jednačinu ravnine, dobijamo $$2x-y+5z-3=0$$.

Dobijene koeficijente jednačine i koordinate tačke zamjenjujemo u formulu:

$$ p = \frac( |A \cdot x_0 + B \cdot y_0 + C \cdot z_0 + D| )( \sqrt( (A^2 + B^2 + C^2) ) ) = \frac( | 2 \cdot 5 - (-3) + 5 \cdot 10 - 3|)( \sqrt( (2^2 + (-1)^2 + 5^2) ) ) = 10,95 $
odgovor:
Pronađite rastojanje od ravni 4x-6y-4z+7=0 do početka O koordinatnog sistema.
Dato:
$$ x_0 = 0, \quad y_0 = 0, \quad z_0 = 0 $$

$$ A = 4, \quad B = -6, \quad C = -4, \quad D = 7 $$
Rješenje:
Koordinate početka koordinatnog sistema O(0;0;0). Koristimo formulu:

$$ p= \frac( |A \cdot x_0 + B \cdot y_0 + C \cdot z_0 + D| )( sqrt( (A^2 + B^2 + C^2) ) ) $$ Za avion $$4 x-6y-4z+7=0$$,

$$ A=4, $$
$$ B=-6, $$
$$ C=-4, $$
$$ D=7. $$

Zamijenite vrijednosti:

$$ p = \frac( |A \cdot x_0 + B \cdot y_0 + C \cdot z_0 + D| )( \sqrt( (A^2 + B^2 + C^2) ) ) = \frac( | 4 \cdot 0 - 6 \cdot 0 - 4 \cdot 0 + 7|)( \sqrt( (4^2 + (-6)^2 + (-4)^2) ) ) = 0,85 $$
odgovor:

Neka bude avion . Hajde da nacrtamo normalnu
kroz ishodište O. Neka
su uglovi koje formira normala sa koordinatnim osama.
. Neka je dužina normalnog segmenta
prije prelaska aviona. Uz pretpostavku da su poznati kosinusi smjera normale , izvodimo jednačinu ravni .

Neka
) je proizvoljna tačka ravni. Vektor jedinične normale ima koordinate. Nađimo projekciju vektora
do normalnog.

Od tačke M onda pripada avionu

Ovo je jednadžba za datu ravan, tzv normalno .

Udaljenost od tačke do ravni

Neka se da avion ,M*
- tačka u prostoru d je njegova udaljenost od ravnine.

Definicija. odstupanje bodova M* iz aviona se zove broj ( + d), ako M* leži na drugoj strani ravni gdje je pozitivan smjer normalnih tačaka , i broj (- d) ako se tačka nalazi na drugoj strani ravni:

Teorema. Pustite avion sa jedinicom normalno dato normalnom jednadžbom:

Neka M*
– tačka prostora Devijacija t. M* iz ravni je dato izrazom

Dokaz. projekcija t.
* označavaju normalu Q. Point Deviation M* iz aviona je

Pravilo. Naći odstupanje t. M* iz ravni, trebate zamijeniti koordinate t u normalnu jednačinu ravnine. M* . Udaljenost od tačke do ravni je .

Redukcija opće jednačine ravnine na normalni oblik

Neka je ista ravan data sa dve jednačine:

Opća jednadžba,

normalna jednačina.

Budući da obje jednačine definiraju istu ravan, njihovi koeficijenti su proporcionalni:

Kvadiramo prve tri jednakosti i dodamo:

Odavde nalazimo je faktor normalizacije:

. (10)

Pomnožeći opštu jednačinu ravni sa normalizujućim faktorom, dobijamo normalnu jednačinu ravni:

Primjeri zadataka na temu "Avion".

Primjer 1 Sastavite jednačinu ravnine prolazeći kroz datu tačku
(2,1,-1) i paralelno sa ravninom.

Rješenje. Normalno na ravan :
. Pošto su ravni paralelne, normala je takođe normala na željenu ravan . Koristeći jednačinu ravni koja prolazi kroz datu tačku (3), dobijamo za ravan jednadžba:

odgovor:

Primjer 2 Osnova okomice pala je od početka do ravni , je tačka
. Pronađite jednadžbu ravnine .

Rješenje. Vector
je normala na avion . Dot M 0 pripada avionu. Možete koristiti jednadžbu ravnine koja prolazi kroz datu tačku (3):

odgovor:

Primjer 3 Build Plane prolazeći kroz tačke

i okomito na ravan :.

Stoga, za neko vrijeme M (x, y, z) pripadao je avionu , potrebno je da tri vektora
bili su komplanarni:

=0.

Ostaje da otvorimo determinantu i dobijeni izraz dovedemo u oblik opšte jednačine (1).

Primjer 4 Avion dato opštom jednačinom:

Pronađite odstupanje tačke
iz date ravni.

Rješenje. Dovodimo jednačinu ravni u normalni oblik.

Zamijenite u rezultirajuću normalnu jednačinu koordinate tačke M*.

odgovor:
.

Primjer 5 Da li segment siječe ravan.

Rješenje. Izrezati AB prešao avion, odstupanja i iz aviona mora imati različite znakove:

Primjer 6 Presek tri ravni u jednoj tački.

Sistem ima jedina odluka, dakle, tri ravni imaju jednu zajedničku tačku.

Primjer 7 Pronalaženje simetrala diedarskog ugla kojeg formiraju dvije date ravni.

Neka i - odstupanje neke tačke
iz prve i druge ravni.

Na jednoj od bisektoralnih ravni (koja odgovara kutu u kojem leži ishodište koordinata) ova odstupanja su jednaka po veličini i predznaku, a na drugoj su jednaka po veličini i suprotna po predznaku.

Ovo je jednadžba prve bisektoralne ravni.

Ovo je jednadžba druge bisektoralne ravni.

Primjer 8 Pronalaženje lokacije dvije podatkovne tačke i u odnosu na diedralne uglove formirane ovim ravnima.