Uz pomoć ovoga online kalkulator naci jednacinu za ravan koja prolazi per dati poen i paralelno sa datom ravninom. Dato je detaljno rješenje sa objašnjenjima. Da biste pronašli jednadžbu ravnine, unesite koordinate tačke i koeficijente jednačine ravnine u ćelije i kliknite na dugme "Riješi".

×

Upozorenje

Obrisati sve ćelije?

Zatvori Clear

Uputstvo za unos podataka. Brojevi se unose kao cijeli brojevi (primjeri: 487, 5, -7623, itd.), decimalni brojevi (npr. 67., 102.54, itd.) ili razlomci. Razlomak se mora upisati u obliku a/b, gdje su a i b (b>0) cijeli ili decimalni brojevi. Primjeri 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7, itd.

Jednadžba ravni koja prolazi kroz datu tačku i paralelna je sa datom ravninom - teorija, primjeri i rješenja

Neka se da poen M 0 (x 0 , y 0 , z 0) i jednačina u ravni

Sve paralelne ravni imaju kolinearne normalne vektore. Dakle, da se konstruiše ravan paralelna sa (1) koja prolazi kroz tačku M 0 (x 0 , y 0 , z 0) kao vektor normale željene ravni treba uzeti vektor normale n=(A, B, C) ravan (1). Zatim morate pronaći takvu vrijednost D, pri čemu je tačka M 0 (x 0 , y 0 , z 0) zadovoljio jednačinu ravni (1):

Zamjenjiva vrijednost D od (3) do (1), dobijamo:

Jednačina (5) je jednačina ravnine koja prolazi kroz tačku M 0 (x 0 , y 0 , z 0) i paralelno sa ravninom (1).

Naći jednačinu ravni koja prolazi kroz tačku M 0 (1, −6, 2) i paralelno s ravninom:

Zamjena koordinata tačke M 0 i koordinate vektora normale u (3), dobijamo.

Predavanje 5

1. Napišite jednačinu za ravan koja prolazi kroz tačku M 0 (1, -2, 5) paralelno sa ravninom 7 x-y-2z-1=0.

Rješenje. Označiti sa R dati avion, neka R 0 je željena paralelna ravan koja prolazi kroz tačku M 0 (1, -2, 5).

Razmotrimo normalni (okomiti) vektor avion R. Koordinate vektora normale su koeficijenti varijabli u jednadžbi ravni 
.

Jer avioni R i R 0 su paralelni, onda vektor okomito na ravan R 0 , tj. je normalni vektor ravnine R 0 .

Jednadžba ravni koja prolazi kroz tačku M 0 (x 0 , y 0 , z 0) sa normalnim
:

Zamijenite koordinate tačke M 0 i normalni vektori u jednačinu (1):

Proširujući zagrade, dobijamo opštu jednačinu ravni (konačan odgovor):

2. Sastaviti kanonske i parametarske jednačine prave linije koja prolazi kroz tačku M 0 (-2, 3, 0) paralelno sa linijom
.

Rješenje. Označiti sa L data linija, neka L 0 je željena paralelna prava koja prolazi kroz tačku M 0 (-2,3,0).

Vodeći vektor ravno L(nenulti vektor paralelan ovoj pravoj) je takođe paralelan pravoj L 0 . Dakle, vektor je vektor smjera linije L 0 .

Vektorske koordinate jednaki su odgovarajućim nazivnicima u kanonskim jednačinama date prave

.

Kanonske jednadžbe prave u prostoru koja prolazi kroz tačku M 0 (x 0 , y 0 , z {l, m, n}

. (2)

Zamijenite koordinate tačke M 0 i vektor smjera u jednačinu (2) i dobijemo kanonske jednačine prave:

.

Parametarske jednadžbe prava u prostoru koja prolazi kroz tačku M 0 (x 0 , y 0 , z 0) paralelno sa vektorom koji nije nula {l, m, n), imaju oblik:

(3)

Zamijenite koordinate tačke M 0 i vektor smjera u jednačine (3) i dobiti parametarske jednačine prave:

3. Pronađite tačku
, simetrično prema tački
, u odnosu na: a) direktno
b) avioni

Rješenje. a) Sastavite jednačinu okomite ravni P projektovanje tačke
na ovu liniju:

Naći
koristimo uslov okomitosti date prave i projekcijske ravni. Vektor pravca pravca
okomito na ravan  vektor
je normalni vektor
na ravan  Jednadžba ravni okomite na datu pravu ima oblik ili

Nađimo projekciju R bodova M ravno. Dot R je tačka preseka prave i ravni, tj. njegove koordinate moraju istovremeno zadovoljiti i jednačine prave i jednačinu ravni. Rešimo sistem:

.

Da bismo to riješili, zapisujemo jednačinu prave u parametarskom obliku:

Zamjena izraza za
u jednadžbu ravni, dobijamo:

Odavde nalazimo Pronađene koordinate - ovo su koordinate sredine R segment linije koji povezuje tačku
i tačka simetrična njoj

AT školski kurs geometrije, formulisana je teorema.

Sredina segmenta je polovina zbira odgovarajućih koordinata njegovih krajeva.

Pronalaženje koordinata tačke
iz formula za koordinate sredine segmenta:

Dobijamo: Dakle
.

Rješenje. b) Pronaći tačku simetričnu tački
u odnosu na ovu ravan P, ispusti okomicu iz tačke
na ovaj avion. Sastavite jednadžbu prave linije sa vektorom pravca
prolazeći kroz tačku
:

Okomitost prave i ravni znači da je vektor pravca prave okomit na ravan 
. Zatim jednačina prave linije koja projektuje tačku
na datoj ravni, ima oblik:

Zajedničkim rješavanjem jednačina
i
pronađite projekciju R bodova
u avion. Da bismo to učinili, prepisujemo jednadžbe prave linije u parametarskom obliku:

Zamijenite ove vrijednosti
u jednadžbu ravni: Slično kao kod tačke a), koristeći formule za koordinate sredine segmenta, nalazimo koordinate simetrične tačke
:

One.
.

4. Napišite jednačinu za ravan koja prolazi kroz a) pravu liniju
paralelno sa vektorom
; b) kroz dve prave koje se seku
i
(prethodno dokazivanje da se seku); c) kroz dvije paralelne prave
i
; d) kroz pravu liniju
i tačka
.

Rješenje. a) Pošto data prava leži u željenoj ravni, a željena ravan je paralelna vektoru , tada će normalni vektor ravni biti okomit na usmjeravajući vektor prave
i vektor .

Stoga, kao normalni vektor ravni, može se izabrati unakrsni proizvod vektora i :

Dobijamo koordinate vektora normale ravnine
.

Nađimo tačku na pravoj. Izjednačavanje odnosa u kanonskim jednadžbama prave linije sa nulom:

,

nađi
,
,
. Data prava prolazi kroz tačku
, dakle, i ravan prolazi kroz tačku
. Koristeći jednadžbu ravnine koja prolazi kroz datu tačku okomito na vektor , dobijamo jednadžbu ravnine , ili , ili, konačno,
.

Rješenje. b) Dvije prave u prostoru mogu se sijecati, ukrštati ili biti paralelne. Date prave linije

i
(4)

nisu paralelni jer su njihovi vektori smjera
i
nije kolinearno:
.

Kako provjeriti da li se linije sijeku? Moguće je riješiti sistem (4) od 4 jednačine sa 3 nepoznate. Ako sistem ima jedinstveno rješenje, tada dobijamo koordinate tačke preseka pravih. Međutim, da bismo riješili naš problem - konstruiranje ravnine u kojoj leže obje prave, njihova presječna tačka nije potrebna. Stoga je moguće formulisati uslov za presek dve neparalelne prave u prostoru bez pronalaženja tačke preseka.

Ako se dvije neparalelne prave seku, onda su vektori smjera
,
i spajanje tačaka koje leže na linijama
i
vektor leže u istoj ravni, tj. komplanarno  mješoviti proizvod ovih vektora je nula:

. (5)

Izjednačavamo omjere u kanonskim jednadžbama linija sa nulom (ili sa 1 ili bilo kojim brojem)

i
,

i pronađite koordinate tačaka na linijama. Prva linija prolazi kroz tačku
, i druga prava linija kroz tačku
. Vektori pravca ovih linija su respektivno jednaki
i
. Dobijamo

Jednakost (5) je zadovoljena, dakle, date prave se sijeku. To znači da kroz ove dvije linije prolazi samo jedna ravan.

Pređimo na drugi dio zadatka - sastavljanje jednačine ravnine.

Kao normalni vektor ravnine, možete odabrati poprečni proizvod njihovih vektora smjera i :

Ravne normalne vektorske koordinate
.

Otkrili smo da je direktan
prolazi
, dakle, željena ravan također prolazi kroz ovu tačku. Dobijamo jednačinu ravni, ili
ili, konačno,
.

c) Od redova
i
su paralelni, tada se vektorski proizvod njihovih vektora smjera ne može odabrati kao normalni vektor, on će biti jednak nultom vektoru.

Odredite koordinate tačaka
i
kroz koje prolaze ove linije. Neka
i
, onda
,
. Izračunajmo koordinate vektora. Vector
leži u željenoj ravni i nekolinearan je vektoru , tada kao njegov normalni vektor možete odabrati unakrsni proizvod vektora
i vektor smjera prve linije
:

dakle,
.

Avion prolazi kroz pravu liniju
, tako da prolazi kroz tačku
. Dobijamo jednadžbu ravnine: , ili .

d) Izjednačavanje odnosa u kanonskim jednačinama prave linije sa nulom
, mi nalazimo
,
,
. Dakle, prava prolazi kroz tačku
.

Izračunajmo koordinate vektora. Vector
pripada željenoj ravni, kao njen normalni vektor izabrati vektorski proizvod usmjeravajućeg vektora prave linije
i vektor
:

Tada jednačina ravni ima oblik: , ili .

Ovaj članak sadrži informacije potrebne za rješavanje problema sastavljanja jednadžbe ravnine koja prolazi kroz datu pravu i datu tačku. Nakon rješavanja ovog problema u opšti pogled daćemo detaljna rešenja primera za sastavljanje jednačine ravni koja prolazi kroz datu pravu i tačku.

Navigacija po stranici.

Pronalaženje jednačine ravnine koja prolazi kroz datu pravu i datu tačku.

Neka je Oxyz fiksiran u trodimenzionalnom prostoru, date su prava a i tačka koja ne leži na pravoj a. Postavimo sebi zadatak: da dobijemo jednadžbu ravnine koja prolazi kroz pravu a i tačku M 3.

Hajde da prvo pokažemo da postoji jedna ravan čiju jednačinu želimo da zapišemo.

Prisjetite se dva aksioma:

• kroz tri različite tačke prostora koje ne leže na jednoj pravoj liniji prolazi jedna ravan;
• ako dvije različite tačke prave leže u određenoj ravni, onda sve tačke ove prave leže u toj ravni.

Iz ovih tvrdnji proizilazi da se kroz pravu i tačku koja ne leži na njoj može povući jedna ravan. Dakle, u zadatku koji smo postavili jedna ravan prolazi kroz pravu a i tačku M 3 , i treba da napišemo jednačinu ove ravni.

Sada počnimo s pronalaženjem jednačine ravnine koja prolazi kroz datu pravu a i tačku .

Ako je prava a data navođenjem koordinata dvije različite tačke M 1 i M 2 koje leže na njoj, onda je naš zadatak da pronađemo jednačinu ravnine koja prolazi kroz tri date tačke M 1 , M 2 i M 3 .

Ako je prava a data drugačije, onda prvo moramo pronaći koordinate dviju tačaka M 1 i M 2 koje leže na pravoj a, a nakon toga napisati jednačinu ravnine koja prolazi kroz tri tačke M 1, M 2 i M 3, što će biti željena jednačina ravnine koja prolazi kroz pravu a i tačku M 3 .

Hajde da shvatimo kako pronaći koordinate dvije različite tačke M 1 i M 2 koje leže na datoj pravoj a.

U pravougaonom koordinatnom sistemu u prostoru, bilo kojoj pravoj liniji odgovaraju neke jednačine prave u prostoru. Pretpostavljamo da nam metoda specificiranja prave a u uslovu problema omogućava da dobijemo njene parametarske jednadžbe prave u prostoru oblika . Onda, pod pretpostavkom , imamo poentu , leži na liniji a . Dajući parametru realnu vrijednost različitu od nule, iz parametarskih jednačina prave a možemo izračunati koordinate tačke M 2 , koja takođe leži na pravoj a i različita je od tačke M 1 .

Nakon toga, morat ćemo samo napisati jednadžbu ravnine koja prolazi kroz tri različite i ne leži na jednoj ravnoj tački i , u obliku .

Dakle, dobili smo jednačinu ravni koja prolazi kroz datu pravu a i datu tačku M 3 koja ne leži na pravoj a.

Primjeri sastavljanja jednadžbe ravni koja prolazi kroz datu tačku i pravu liniju.

Pokažimo rješenja nekoliko primjera, u kojima ćemo analizirati razmatranu metodu za pronalaženje jednačine ravnine koja prolazi kroz datu pravu i datu tačku.

Počnimo s najjednostavnijim slučajem.

Primjer.

Rješenje.

Uzmite dvije različite točke na koordinatnoj liniji Ox, na primjer, i .

Sada dobijamo jednačinu ravni koja prolazi kroz tri tačke M 1, M 2 i M 3:

Ova jednadžba je željena opšta jednačina ravnine koja prolazi kroz datu pravu Ox i tačku .

odgovor:

.

Ako je poznato da ravan prolazi kroz datu tačku i datu pravu liniju, a želite da napišete jednadžbu ravnine u segmentima ili normalnu jednačinu ravnine, onda prvo treba da dobijete opštu jednačinu dati avion, a iz njega se ide na jednadžbu ravni traženog oblika.

Primjer.

Napišite normalnu jednačinu za ravan koja prolazi kroz pravu liniju. i tačka .

Rješenje.

Prvo napišemo opštu jednačinu za datu ravan. Da bismo to učinili, nalazimo koordinate dvije različite tačke koje leže na pravoj liniji . Parametarske jednačine ove linije imaju oblik . Neka tačka M 1 odgovara vrednosti, a tačka M 2 -. Izračunavamo koordinate tačaka M 1 i M 2:

Sada možemo napisati opštu jednačinu prave linije koja prolazi kroz tačku i direktno :

Ostaje da dobijemo traženi oblik ravnine jednadžbe množenjem oba dijela rezultirajuće jednačine normalizirajućim faktorom .

odgovor:

.

Dakle, pronalaženje jednačine ravnine koja prolazi kroz datu tačku i datu pravu liniju počiva na pronalaženju koordinata dvije različite tačke koje leže na datoj pravoj liniji. To je često glavna poteškoća u rješavanju takvih problema. U zaključku ćemo analizirati rješenje primjera za sastavljanje jednačine ravnine koja prolazi kroz datu tačku i pravu liniju, a koja je određena jednačinama dvije ravnine koje se sijeku.

Primjer.

U pravougaonom koordinatnom sistemu Oxyz data je tačka i prava a , koja je linija preseka dve ravni i . Napišite jednačinu ravnine koja prolazi kroz pravu a i tačku M 3 .

Tri tačke u prostoru koje ne leže na istoj pravoj liniji definišu jednu ravan. Napišite jednačinu za ravan koja prolazi kroz tri date tačke M 1 (X 1 ; at 1 ; z 1), M 2 (X 2 ; at 2 ; z 2), M 3 (X 3 ; at 3 ; z 3). Uzmite proizvoljnu tačku na ravni M(X; at; z) i sastaviti vektore = ( x - x 1 ; at– at 1 ; z-z 1), = (X 2 - X 1 ; at 2 – at 1 ; z 2 -z 1), = (X 3 - X 1 ; at 3 – at 1 ; z 3 -z jedan). Ovi vektori leže u istoj ravni, stoga su komplanarni. Koristeći uslov komplanarnosti tri vektora (njihov mješoviti proizvod je jednak nuli), dobijamo ∙ ∙ = 0, tj.

= 0. (3.5)

Jednačina (3.5) se zove jednadžba ravni koja prolazi kroz tri date tačke.

Međusobni dogovor avioni u svemiru

Ugao između ravnina

Neka su date dvije ravni

ALI 1 X + AT 1 at + OD 1 z + D 1 = 0,

ALI 2 X + AT 2 at + OD 2 z + D 2 = 0.

Per ugao između ravni uzimamo ugao φ između bilo koja dva vektora okomita na njih (što daje dva ugla, oštar i tup, koji se međusobno nadopunjuju do π). Pošto su normalni vektori ravni = ( ALI 1 , AT 1 , OD 1) i = ( ALI 2 , AT 2 , OD 2) su okomite na njih, onda dobijamo

cosφ = .

Uslov okomitosti dvije ravni

Ako su dvije ravni okomite, onda su normalni vektori ovih ravni također okomiti i njihov skalarni proizvod je jednak nuli: ∙ = 0. Dakle, uvjet za okomitost dvije ravni je

ALI 1 ALI 2 + AT 1 AT 2 + OD 1 OD 2 = 0.

Uslov paralelnosti dve ravni

Ako su ravni paralelne, onda će i njihovi normalni vektori biti paralelni. Tada su istoimenovane koordinate vektora normale proporcionalne. Dakle, uslov za paralelne ravni je

= = .

Udaljenost od tačkeM 0 (x 0 , y 0 , z 0) do aviona Oh + Wu + Sz + D = 0.

Udaljenost od tačke M 0 (x 0 , y 0 , z 0) u avion Ah + Wu + Sz + D= 0 je dužina okomice povučene iz ove tačke u ravan, a nalazi se po formuli

d= .

Primjer 1 R(– 1, 2, 7) je okomita na vektor = (3, – 1, 2).

Rješenje

Prema jednačini (3.1) dobijamo

3(x + 1) – (y - 2) + 2(z- 7) = 0,

3X – at + 2z – 9 = 0.

Primjer 2 Napišite jednačinu za ravan koja prolazi kroz tačku M(2; – 3; – 7) paralelno sa ravninom 2 X – 6at – 3z + 5 = 0.

Rješenje

Vektor = (2; - 6; - 3) okomit na ravan je također okomit na paralelnu ravan. Dakle, željena ravan prolazi kroz tačku M(2; – 3; – 7) okomito na vektor = (2; – 6; – 3). Nađimo jednadžbu ravnine po formuli (3.1):

2(X - 2) – 6(y + 3) – 3(z + 7) = 0,

2X – 6at – 3z – 43 = 0.

Primjer 3 Naći jednačinu ravni koja prolazi kroz tačke M 1 (2; 3; – 1) i M 2 (1; 5; 3) okomito na ravan 3 X – at + 3z + 15 = 0.

Rješenje

Vektor = (3; - 1; 3) okomit na datu ravan biće paralelan sa željenom ravninom. Dakle, ravan prolazi kroz tačke M 1 i M 2 paralelno sa vektorom .

Neka M(x; y; z) proizvoljnu tačku ravnine, tada su vektori = ( X – 2; at – 3; z+ 1), = (– 1; 2; 4), = (3; – 1; 3) su koplanarni, pa je njihov mješoviti proizvod jednak nuli:

= 0.

Izračunajte determinantu proširenjem na elemente prvog reda:

(X – 2) – (at – 3) + (z + 1) = 0,

10(X - 2) – (– 15)(y - 3) + (– 5)(z + 1) = 0,

2(X - 2) + 3(y - 3) – (z + 1) = 0,

2x + 3at – z– 14 = 0 – jednačina u ravni.

Primjer 4 Napišite jednačinu za ravan koja prolazi kroz ishodište okomito na ravni 2 X – at + 5z+ 3 = 0 i X + 3at – z – 7 = 0.

Rješenje

Neka je vektor normale tražene ravni. Po uslovu, ravan je okomita na ove ravni, dakle i , gde je = (2; – 1; 5), = (1; 3; – 1). Dakle, kao vektor, možete uzeti unakrsni proizvod vektora i , odnosno = × .

= = – 14 + 7 + 7 .

Zamjena koordinata vektora u jednadžbu ravnine koja prolazi kroz ishodište Oh + Wu + Sz= 0, dobijamo

– 14X + 7at + 7z = 0,

2X – at – z = 0.

Pitanja za samoispitivanje

1 Zapišite opštu jednačinu ravni.

2 Šta je geometrijsko značenje koeficijenti at X, y, z in opšta jednačina avioni?

3 Napišite jednadžbu ravnine koja prolazi kroz tačku M 0 (x 0 ; y 0 ; z 0) okomito na vektor = ( ALI; AT; OD).

4. Napišite jednadžbu ravnine u segmentima duž osa i naznačite geometrijsko značenje parametara koji su u njoj uključeni.

5 Napišite jednačinu ravnine koja prolazi kroz tačke M 1 (X 1 ; at 1 ; z 1), M 2 (X 2 ; at 2 ; z 2), M 3 (X 3 ; at 3 ; z 3).

6 Zapišite formulu za pronalaženje ugla između dvije ravni.

7 Zapišite uslove za paralelnost dvije ravni.

8 Zapišite uvjet okomitosti dvije ravni.

9 Zapišite formulu po kojoj se izračunava udaljenost od tačke do ravni.

Zadaci za samostalno rješavanje

1 Napišite jednačinu za ravan koja prolazi kroz tačku M(2; – 1; 1) okomito na vektor = (1; – 2; 3). ( Odgovori: X – 2at + 3z – 7 = 0)

2 Dot R(1; - 2; - 2) je osnova okomice povučene iz ishodišta u ravan. Napišite jednačinu za ovu ravan. ( Odgovori: X – 2at – 2z – 9 = 0)

3 S obzirom na dva boda M 1 (2; – 1; 3) i M 2 (– 1; 2; 4). Napišite jednačinu za ravan koja prolazi kroz tačku M 1 je okomita na vektor . ( Odgovori: 3X – 3at – z – 6 = 0)

4 Napišite jednačinu za ravan koja prolazi kroz tri tačke M 1 (3; – 1; 2), M 2 (4; – 1; – 1), M 3 (2; 0; 2). (Odgovori: 3X + 3at + z – 8 = 0)

5 M 1 (3; – 1; 2) i M 2 (2; 1; 3) paralelno sa vektorom = (3; - 1; 4). ( Odgovori: 9X + 7at – 5z – 10 = 0)

6 Napišite jednačinu za ravan koja prolazi kroz tačku M 1 (2; 3; – 4) paralelno sa vektorima = (3; 1; – 1) i = (1; – 2; 1). ( Odgovori: X + at + 7z + 14 = 0)

7 Napišite jednačinu za ravan koja prolazi kroz tačku M(1; – 1; 1) okomito na ravni 2 X – at + z– 1 = 0 i X + 2at – z + 1 = 0. (Odgovori: X – 3at – 5z + 1 = 0)

8 Napišite jednačinu za ravan koja prolazi kroz tačke M 1 (1; 0; 1) i M 2 (1; 2; – 3) okomito na ravan X – at + z – 1 = 0. (Odgovori: X + 2at + z – 2 = 0)

9 Pronađite ugao između ravnina 4 X – 5at + 3z– 1 = 0 i X – 4at – z + 9 = 0. (Odgovori: φ = arccos0.7)

10 Pronađite udaljenost od tačke M(2; – 1; – 1) do ravni 16 X – 12at + 15z – 4 = 0. (Odgovori: d = 1)

11 Pronađite tačku preseka tri ravni 5 X + 8at – z – 7 = 0, X + 2at + 3z – 1 = 0, 2X – 3at + 2z – 9 = 0. (Odgovori: (3; – 1; 0))

12 Napišite jednačinu za ravan koja prolazi kroz tačke M 1 (1; – 2; 6) i M 2 (5; - 4; 2) i odsiječe jednake segmente na osi Oh i OU. (Odgovori: 4X + 4at + z – 2 = 0)

13 Pronađite udaljenost između ravnina X + 2at – 2z+ 2 = 0 i 3 X + 6at – 6z – 4 = 0. (Odgovori: d = )

Posmatrajmo ravan Q u prostoru. Njen položaj je potpuno određen specificiranjem vektora N okomitog na ovu ravan i neke fiksne tačke koja leži u ravni Q. Vektor N okomit na ravan Q naziva se vektor normale ove ravni. Ako sa A, B i C označimo projekcije vektora normale N, onda

Izvedemo jednačinu ravni Q koja prolazi kroz datu tačku i ima dat vektor normale. Da biste to uradili, razmotrite vektor koji povezuje tačku sa proizvoljnom tačkom ravni Q (slika 81).

Za bilo koju poziciju tačke M na ravni Q, vektor MXM je okomit na vektor normale N ravni Q. Dakle, skalarni proizvod Zapišimo skalarni proizvod u terminima projekcija. Budući da , i vektor , onda

i stoga

Pokazali smo da koordinate bilo koje tačke Q ravni zadovoljavaju jednačinu (4). Lako je vidjeti da koordinate tačaka koje ne leže u ravni Q ne zadovoljavaju ovu jednačinu (u drugom slučaju, ). Dakle, dobili smo traženu jednačinu ravni Q. Jednačina (4) se naziva jednačina ravnine koja prolazi kroz datu tačku. Ona je prvog stepena u odnosu na trenutne koordinate

Dakle, pokazali smo da bilo kojoj ravni odgovara jednačina prvog stepena u odnosu na trenutne koordinate.

Primjer 1. Napišite jednačinu ravni koja prolazi kroz tačku okomitu na vektor.

Rješenje. Evo. Na osnovu formule (4) dobijamo

ili, nakon pojednostavljenja,

Davanjem različitih vrijednosti koeficijentima A, B i C jednačine (4), možemo dobiti jednačinu bilo koje ravni koja prolazi kroz tačku . Skup ravnina koje prolaze kroz datu tačku naziva se skup ravnina. Jednačina (4), u kojoj koeficijenti A, B i C mogu poprimiti bilo koju vrijednost, naziva se jednačina gomile ravnina.

Primjer 2. Napišite jednačinu za ravan koja prolazi kroz tri tačke, (slika 82).

Rješenje. Napišimo jednačinu za gomilu ravnina koje prolaze kroz tačku