Gradijentna funkcija nekoliko varijabli. Vektorska analiza skalarno polje površine i linija nivoa usmjerena derivacija derivacija skalarnog polja gradijent osnovna svojstva gradijenta invarijantna definicija pravila proračuna gradijenta
Funkcija Gradijent u tački se naziva vektor čije su koordinate jednake odgovarajućim parcijalnim derivacijama i označava se.
Ako uzmemo u obzir jedinični vektor e=(), onda prema formuli (3), derivacija u pravcu je skalarni proizvod gradijenta i jediničnog vektora koji određuje pravac. Poznato je da je skalarni proizvod dva vektora maksimalan ako imaju isti smjer. Stoga, gradijent funkcije u datoj tački karakterizira smjer i veličinu maksimalnog rasta funkcije u ovoj tački.
Teorema . Ako je funkcija diferencijabilna i u tački M 0 Ako je vrijednost gradijenta različita od nule, tada je gradijent okomit na liniju nivoa koja prolazi dati poen a istovremeno je usmjeren u pravcu povećanja funkcije
![](https://i2.wp.com/vuzlit.ru/imag_/43/111843/image063.png)
ZAKLJUČAK: 1) Izvod funkcije u tački duž pravca koji je određen gradijentom te funkcije u navedenoj tački ima maksimalnu vrijednost u poređenju s izvodom u toj tački duž bilo kojeg drugog smjera.
- 2) Vrijednost izvoda funkcije u pravcu, koji određuje gradijent ove funkcije u datoj tački, jednaka je.
- 3) Poznavajući gradijent funkcije u svakoj tački, moguće je graditi linije nivoa sa nekom greškom. Počnimo od tačke M 0 . Napravimo gradijent u ovoj tački. Postavite pravac okomito na gradijent. Izgradimo mali dio linije nivoa. Razmotrite blisku tačku M 1 , napravite gradijent na njoj i tako dalje.
![](https://i1.wp.com/vuzlit.ru/imag_/43/111843/image065.jpg)
Od školski kurs Matematičari znaju da je vektor na ravni usmjereni segment. Njegov početak i kraj imaju dvije koordinate. Vektorske koordinate se izračunavaju oduzimanjem početnih koordinata od krajnjih koordinata.
Koncept vektora se također može proširiti na n-dimenzionalni prostor (umjesto dvije koordinate biće n koordinata).
Gradijent grad z funkcije z = f(h 1 , h 2 , …h n) je vektor parcijalnih izvoda funkcije u tački, tj. vektor sa koordinatama.
Može se dokazati da gradijent funkcije karakteriše pravac najbržeg rasta nivoa funkcije u tački.
Na primjer, za funkciju z = 2x 1 + x 2 (vidi sliku 5.8), gradijent u bilo kojoj tački imat će koordinate (2; 1). Može se izgraditi na ravni na različite načine, uzimajući bilo koju tačku kao početak vektora. Na primjer, možete povezati tačku (0; 0) sa tačkom (2; 1) ili tačku (1; 0) sa tačkom (3; 1) ili tačku (0; 3) sa tačkom (2; 4), ili t .P. (vidi sliku 5.8). Svi vektori konstruisani na ovaj način imaće koordinate (2 - 0; 1 - 0) =
= (3 – 1; 1 – 0) = (2 – 0; 4 – 3) = (2; 1).
Slika 5.8 jasno pokazuje da nivo funkcije raste u pravcu gradijenta, budući da konstruisane linije nivoa odgovaraju vrednostima nivoa 4 > 3 > 2.
Slika 5.8 - Funkcija gradijenta z \u003d 2x 1 + x 2
Razmotrimo još jedan primjer - funkciju z = 1/(x 1 x 2). Gradijent ove funkcije više neće biti uvijek isti u različite tačke, pošto su njegove koordinate određene formulama (-1 / (x 1 2 x 2); -1 / (x 1 x 2 2)).
Slika 5.9 prikazuje linije nivoa funkcije z = 1/(x 1 x 2) za nivoe 2 i 10 (linija 1/(x 1 x 2) = 2 je označena isprekidanom linijom, a linija
1 / (x 1 x 2) \u003d 10 - puna linija).
Slika 5.9 - Gradijent funkcije z \u003d 1 / (x 1 x 2) u različitim točkama
Uzmite, na primjer, tačku (0,5; 1) i izračunajte gradijent u ovoj tački: (-1 / (0,5 2 * 1); -1 / (0,5 * 1 2)) \u003d (-4; - 2) . Imajte na umu da tačka (0,5; 1) leži na liniji nivoa 1 / (x 1 x 2) \u003d 2, jer je z = f (0,5; 1) = 1 / (0,5 * 1) \u003d 2. prikazujemo vektor (-4; -2) na slici 5.9, povezujemo tačku (0.5; 1) sa tačkom (-3.5; -1), jer
(-3,5 – 0,5; -1 - 1) = (-4; -2).
Uzmimo još jednu tačku na istoj ravni, na primjer, tačku (1; 0,5) (z = f(1; 0,5) = 1/(0,5*1) = 2). Izračunajte gradijent u ovoj tački
(-1/(1 2 *0,5); -1/(1*0,5 2)) = (-2; -4). Da bismo to prikazali na slici 5.9, povezujemo tačku (1; 0,5) sa tačkom (-1; -3,5), jer (-1 - 1; -3,5 - 0,5) = (-2; - četiri).
Uzmimo još jednu tačku na istoj ravni, ali samo sada u ne-pozitivnoj koordinatnoj četvrtini. Na primjer, tačka (-0,5; -1) (z = f(-0,5; -1) = 1/((-1)*(-0,5)) = 2). Gradijent u ovoj tački će biti
(-1/((-0,5) 2 *(-1)); -1/((-0,5)*(-1) 2)) = (4; 2). Oslikajmo to na slici 5.9 spajanjem tačke (-0,5; -1) sa tačkom (3,5; 1), jer (3,5 - (-0,5); 1 - (-1)) = (4 ; 2).
Definicija 1
Ako je svakom paru $(x,y)$ vrijednosti dvije nezavisne varijable iz nekog domena određena vrijednost $z$, onda se kaže da je $z$ funkcija dvije varijable $(x,y) )$. Notacija: $z=f(x,y)$.
Razmotrimo funkciju $z=f(x,y)$, koja je definirana u nekom domenu u prostoru $Oxy$.
shodno tome,
Definicija 3
Ako se svakom trostrukom $(x,y,z)$ vrijednosti tri nezavisne varijable iz neke domene dodijeli određena vrijednost $w$, onda se kaže da je $w$ funkcija tri varijable $(x, y,z)$ u ovoj oblasti.
Oznaka:$w=f(x,y,z)$.
Razmotrimo funkciju $w=f(x,y,z)$, koja je definirana u nekom domenu u prostoru $Oxyz$.
Za datu funkciju definirati vektor za koji su projekcije na koordinatne ose vrijednosti parcijalnih izvoda date funkcije u nekoj tački $\frac(\partial z)(\partial x) ;\frac(\partial z)(\ djelomično y) $.
Definicija 4
Gradijent date funkcije $w=f(x,y,z)$ je vektor $\overrightarrow(gradw) $ sljedećeg oblika:
Teorema 3
Neka je polje gradijenta definisano u nekom skalarnom polju $w=f(x,y,z)$
\[\overrightarrow(gradw) =\frac(\partial w)(\partial x) \cdot \overrightarrow(i) +\frac(\partial w)(\partial y) \cdot \overrightarrow(j) +\frac (\partial w)(\partial z) \cdot \overrightarrow(k) .\]
Izvod $\frac(\partial w)(\partial s) $ u pravcu datog vektora $\overrightarrow(s) $ jednak je projekciji vektora gradijenta $\overrightarrow(gradw) $ na dati vektor $\overrightarrow(s) $.
Primjer 4
Rješenje:
Izraz za gradijent se nalazi po formuli
\[\overrightarrow(gradw) =\frac(\partial w)(\partial x) \cdot \overrightarrow(i) +\frac(\partial w)(\partial y) \cdot \overrightarrow(j) +\frac (\partial w)(\partial z) \cdot \overrightarrow(k) .\]
\[\frac(\partial w)(\partial x) =2x;\frac(\partial w)(\partial y) =4y;\frac(\partial w)(\partial z) =2.\]
shodno tome,
\[\overrightarrow(gradw) =2x\cdot \overrightarrow(i) +4y\cdot \overrightarrow(j) +2\cdot \overrightarrow(k) .\]
Primjer 5
Odrediti gradijent date funkcije
u tački $M(1;2;1)$. Izračunajte $\left(|\overrightarrow(gradz) |\right)_(M) $.
Rješenje:
Izraz za gradijent u dati poen pronađite po formuli
\[\left(\overrightarrow(gradw) \right)_(M) =\left(\frac(\partial w)(\partial x) \right)_(M) \cdot \overrightarrow(i) +\left (\frac(\partial w)(\partial y) \right)_(M) \cdot \overrightarrow(j) +\left(\frac(\partial w)(\partial z) \right)_(M) \cdot \overrightarrow(k) .\]
Parcijalni derivati imaju oblik:
\[\frac(\partial w)(\partial x) =2x;\frac(\partial w)(\partial y) =4y;\frac(\partial w)(\partial z) =6z^(2) .\]
Derivati u tački $M(1;2)$:
\[\frac(\partial w)(\partial x) =2\cdot 1=2;\frac(\partial w)(\partial y) =4\cdot 2=8;\frac(\partial w)( \partial z) =6\cdot 1^(2) =6.\]
shodno tome,
\[\left(\overrightarrow(gradw) \right)_(M) =2\cdot \overrightarrow(i) +8\cdot \overrightarrow(j) +6\cdot \overrightarrow(k) \]
\[\left(|\overrightarrow(gradw) |\right)_(M) =\sqrt(2^(2) +8^(2) +6^(2) ) =\sqrt(4+64+36 ) =\sqrt(104) .\]
Hajde da navedemo neke svojstva gradijenta:
Derivat date funkcije u datoj tački duž pravca nekog vektora $\overrightarrow(s)$ ima najveću vrijednost ako se smjer datog vektora $\overrightarrow(s)$ poklapa sa smjerom gradijenta. U ovom slučaju, ova najveća vrijednost derivacije se poklapa sa dužinom vektora gradijenta, tj. $|\overrightarrow(gradw) |$.
Derivat date funkcije u odnosu na smjer vektora koji je okomit na vektor gradijenta, tj. $\overrightarrow(gradw) $ je jednako 0. Pošto je $\varphi =\frac(\pi )(2) $, onda je $\cos \varphi =0$; stoga $\frac(\partial w)(\partial s) =|\overrightarrow(gradw) |\cdot \cos \varphi =0$.
FUNKCIJA GRADIJENTA u = f(x, y, z) specificirano u nekom regionu. prostor (X Y Z), tu je vektor sa projekcijama označenim simbolima: grad gdje i, j, k- koordinatni vektori. G. f. - postoji funkcija tačke (x, y, z), tj. formira vektorsko polje. Derivat u pravcu G. f. u ovom trenutku dostiže najveća vrednost i jednak je:
Smjer gradijenta je smjer najbržeg povećanja funkcije. G. f. u datoj tački je okomita na ravnu površinu koja prolazi kroz ovu tačku. Efikasnost upotrebe G. f. u litološkim studijama pokazalo se proučavanjem eolskog ex. Centralni Karakum.
Geološki rječnik: u 2 toma. - M.: Nedra. Uredili K. N. Paffengolts et al.. 1978 .
Pogledajte šta je "GRADIENTNA FUNKCIJA" u drugim rječnicima:
Ovaj članak je o matematičkim karakteristikama; o metodi popunjavanja pogledajte: Gradijent (kompjuterska grafika) ... Wikipedia
- (lat.). Razlika u barometrijskim i termometričkim očitanjima u različitim područjima. Rječnik strane reči uključeno u ruski jezik. Chudinov A.N., 1910. GRADIENTNA razlika u očitavanju barometra i termometra u istom trenutku ... ... Rečnik stranih reči ruskog jezika
gradijent- Promjena vrijednosti neke količine po jedinici udaljenosti u datom smjeru. Topografski gradijent je promjena nadmorske visine na izmjerenoj horizontalnoj udaljenosti. Zaštita releja EN gradijent karakteristike okidanja diferencijalne zaštite… Priručnik tehničkog prevodioca
Gradijent- vektor usmjeren prema najbržem rastu funkcije i jednak po veličini njenoj derivaciji u ovom smjeru: gdje simboli ei označavaju jedinične vektore koordinatnih osa (orths) ... Ekonomsko-matematički rječnik
Jedan od osnovnih koncepata vektorske analize i teorije nelinearnih preslikavanja. Gradijent skalarne funkcije vektorskog argumenta iz euklidskog prostora E n se zove. derivacija funkcije f (t) u odnosu na vektorski argument t, odnosno n-dimenzionalni vektor sa ... ... Mathematical Encyclopedia
fiziološki gradijent- - vrijednost koja odražava promjenu k ili indikator funkcije u zavisnosti od druge vrijednosti; npr. gradijent parcijalni pritisak razlika parcijalnih pritisaka, koja određuje difuziju gasova iz alveola (akcinusa) u krv i iz krvi u ... ... Rječnik pojmova za fiziologiju domaćih životinja
I Gradijent (od latinskog gradiens, genus gradientis hodanje) Vektor koji pokazuje smjer najbrže promjene neke veličine, čija se vrijednost mijenja od jedne tačke u prostoru do druge (vidi Teoriju polja). Ako je vrijednost ... ... Velika sovjetska enciklopedija
Gradijent- (od lat. gradiens hodanje, hodanje) (u matematici) vektor koji pokazuje smjer najbržeg porasta neke funkcije; (u fizici) mjera povećanja ili smanjenja u prostoru ili na nekoj ravni fizička količina po jedinici ... ... Počeci moderne prirodne nauke
Knjige
- Metode rješavanja nekih zadataka odabranih odjeljaka više matematike. Praktikum, Klimenko Konstantin Grigorijevič, Levitskaja Galina Vasiljevna, Kozlovsky Evgenij Aleksandrovič. Ova radionica govori o metodama za rješavanje nekih vrsta problema iz takvih dijelova općeprihvaćenog kursa matematičke analize kao što su granica i ekstremum funkcije, gradijent i izvod...
1 0 Gradijent je usmjeren duž normale na ravnu površinu (ili na liniju nivoa ako je polje ravno).
2 0 Gradijent je usmjeren u smjeru povećanja funkcije polja.
3 0 Modul gradijenta jednak je najvećoj derivaciji u pravcu u datoj tački polja:
Ova svojstva daju invarijantnu karakteristiku gradijenta. Kažu da vektor gradU ukazuje na smjer i veličinu najveće promjene u skalarnom polju u datoj tački.
Napomena 2.1. Ako je funkcija U(x,y) funkcija dvije varijable, tada je vektor
leži u oksi ravni.
Neka su U=U(x,y,z) i V=V(x,y,z) funkcije diferencijabilne u tački M 0 (x,y,z). Tada vrijede sljedeće jednakosti:
a) grad()= ; b) grad(UV)=VgradU+UgradV;
c) grad(U V)=gradU gradV; d) d) grad = , V ;
e) gradU( = gradU, gdje , U=U() ima izvod u odnosu na .
Primjer 2.1. Zadana je funkcija U=x 2 +y 2 +z 2. Odrediti gradijent funkcije u tački M(-2;3;4).
Rješenje. Prema formuli (2.2) imamo
Površine nivoa ovog skalarnog polja su porodica sfera x 2 +y 2 +z 2 , vektor gradU=(-4;6;8) je normalni vektor ravni.
Primjer 2.2. Pronađite gradijent skalarnog polja U=x-2y+3z.
Rješenje. Prema formuli (2.2) imamo
Površine nivoa datog skalarnog polja su ravni
x-2y+3z=C; vektor gradU=(1;-2;3) je normalni vektor ravnina ove porodice.
Primjer 2.3. Pronađite najstrmiji nagib površine U=x y u tački M(2;2;4).
Rješenje. Imamo:
Primjer 2.4. Naći jedinični vektor normale na ravnu površinu skalarnog polja U=x 2 +y 2 +z 2 .
Rješenje. Površine nivoa date skalarne sfere polja x 2 +y 2 +z 2 =C (C>0).
Gradijent je usmjeren duž normale na ravnu površinu, tako da
Definira vektor normale na ravnu površinu u tački M(x,y,z). Za jedinični normalni vektor dobijamo izraz
Primjer 2.5. Pronađite gradijent polja U= , gdje su i konstantni vektori, r je radijus vektor tačke.
Rješenje. Neka
Zatim: . Po pravilu diferencijacije determinante dobijamo
shodno tome,
Primjer 2.6. Pronađite gradijent udaljenosti, gdje je P(x,y,z) tačka polja koje se proučava, P 0 (x 0 ,y 0 ,z 0) je neka fiksna tačka.
Rješenje. Imamo - jedinični vektor smjera.
Primjer 2.7. Odrediti ugao između gradijenata funkcija u tački M 0 (1,1).
Rješenje. Nalazimo gradijente ovih funkcija u tački M 0 (1,1), imamo
; Ugao između gradU i gradV u tački M 0 određuje se iz jednakosti
Dakle =0.
Primjer 2.8. Naći derivaciju u odnosu na pravac, radijus vektor je jednak
Rješenje. Pronalaženje gradijenta ove funkcije:
Zamjenom (2.5) u (2.4) dobijamo
Primjer 2.9. Pronađite u tački M 0 (1;1;1) smjer najveće promjene u skalarnom polju U=xy+yz+xz i veličinu ove najveće promjene u ovoj tački.
Rješenje. Smjer najveće promjene polja označen je vektorom grad U(M). Nalazimo ga:
I zbog toga, . Ovaj vektor određuje smjer najvećeg porasta ovog polja u tački M 0 (1;1;1). Vrijednost najveće promjene u polju u ovoj tački je jednaka
Primjer 3.1. Pronađite vektorske linije vektorsko polje gdje je konstantni vektor.
Rješenje. Imamo tako
Pomnožite brojilac i imenilac prvog razlomka sa x, drugog sa y, trećeg sa z i dodajte član po član. Koristeći svojstvo proporcije, dobijamo
Dakle, xdx+ydy+zdz=0, što znači
x 2 +y 2 +z 2 =A 1 , A 1 -const>0. Sada pomnožimo brojilac i imenilac prvog razlomka (3.3) sa c 1, drugog sa c 2, trećeg sa c 3 i zbrojimo član po član, dobijamo
Odakle c 1 dx+c 2 dy+c 3 dz=0
I, prema tome, sa 1 x+c 2 y+c 3 z=A 2 . A 2-konst.
Potrebne jednadžbe vektorskih linija
Ove jednačine pokazuju da se vektorske linije dobijaju kao rezultat preseka sfera koje imaju zajedničko središte u početku sa ravnima okomitim na vektor. Iz toga slijedi da su vektorske linije kružnice čiji su centri na pravoj liniji koja prolazi kroz početak u smjeru vektora c. Ravnine kružnica su okomite na navedenu liniju.
Primjer 3.2. Pronađite liniju vektora polja koja prolazi kroz tačku (1,0,0).
Rješenje. Diferencijalne jednadžbe vektorske linije
Stoga imamo . Rješavanje prve jednačine. Ili ako uvedemo parametar t, tada ćemo imati. U ovom slučaju, jednačina ima oblik ili dz=bdt, odakle z=bt+c 2 .