Vjerovatnoće P(H i) hipoteza H i nazivaju se apriorne vjerovatnoće - vjerovatnoće prije eksperimenata.
Vjerovatnoće P(A/H i) se nazivaju aposteriorne vjerovatnoće - vjerovatnoće hipoteza H i rafiniranih kao rezultat eksperimenta.

Primjer #1. Uređaj se može sastaviti od visokokvalitetnih delova i od delova običnog kvaliteta. Oko 40% uređaja sastavljeno je od visokokvalitetnih dijelova. Ako je uređaj sastavljen od visokokvalitetnih dijelova, njegova pouzdanost (vjerovatnost vrijeme rada) tokom vremena t je 0,95; ako od dijelova običnog kvaliteta - njegova pouzdanost je 0,7. Uređaj je testiran za vrijeme t i radio je besprijekorno. Pronađite vjerovatnoću da je sastavljen od visokokvalitetnih dijelova.
Rješenje. Moguće su dvije hipoteze: H 1 - uređaj je sastavljen od visokokvalitetnih dijelova; H 2 - uređaj je sastavljen od dijelova običnog kvaliteta. Vjerovatnoće ovih hipoteza prije eksperimenta: P(H 1) = 0,4, P(H 2) = 0,6. Kao rezultat eksperimenta, uočen je događaj A - uređaj je radio besprijekorno za vrijeme t. Uslovne verovatnoće ovog događaja pod hipotezama H 1 i H 2 su: P(A|H 1) = 0,95; P(A|H 2) = 0,7. Koristeći formulu (12) nalazimo vjerovatnoću hipoteze H 1 nakon eksperimenta:

Primjer #2. Dva strijelca nezavisno pucaju u istu metu, svaki ispaljuje po jedan hitac. Vjerovatnoća pogađanja mete za prvog strijelca je 0,8, za drugog 0,4. Nakon gađanja pronađena je jedna rupa na meti. Uz pretpostavku da dva strijelca ne mogu pogoditi istu tačku, pronađite vjerovatnoću da je prvi strijelac pogodio metu.
Rješenje. Neka događaj A bude jedna rupa pronađena u meti nakon gađanja. Prije početka snimanja moguće su hipoteze:
H 1 - ni prvi ni drugi strijelac neće pogoditi, vjerovatnoća ove hipoteze: P(H 1) = 0,2 0,6 = 0,12.
H 2 - oba strijelca će pogoditi, P(H 2) = 0,8 0,4 = 0,32.
H 3 - prvi strijelac će pogoditi, a drugi neće pogoditi, P(H 3) = 0,8 0,6 = 0,48.
H 4 - prvi strijelac neće pogoditi, ali će drugi pogoditi, P (H 4) = 0,2 0,4 = 0,08.
Uslovne vjerovatnoće događaja A prema ovim hipotezama su:

Nakon iskustva, hipoteze H 1 i H 2 postaju nemoguće, a vjerovatnoće hipoteza H 3 i H 4
će biti jednako:

Primjer #3. U montažnoj radnji na uređaj je priključen elektromotor. Elektromotore isporučuju tri proizvođača. U skladištu se nalazi 19,6 odnosno 11 elektromotora navedenih pogona, koji mogu raditi bez kvara do kraja garantnog roka, respektivno, sa vjerovatnoćom od 0,85, 0,76 i 0,71. Radnik nasumično uzima jedan motor i montira ga na uređaj. Nađite vjerovatnoću da je elektromotor, montiran i bez greške do kraja garantnog roka, isporučio prvi, drugi ili treći proizvođač.
Rješenje. Prvi test je izbor elektromotora, drugi je rad elektromotora u garantnom roku. Razmotrite sljedeće događaje:
A - elektromotor radi besprijekorno do kraja garantnog roka;
H 1 - monter će uzeti motor iz proizvoda prve fabrike;
H 2 - monter će uzeti motor iz proizvoda druge fabrike;
H 3 - monter će uzeti motor iz proizvoda treće fabrike.
Vjerovatnoća događaja A izračunava se po formuli puna verovatnoća:

Uslovne vjerovatnoće su navedene u iskazu problema:

Nađimo vjerovatnoće

Primjer #4. Vjerovatnoće da će tokom rada sistema, koji se sastoji od tri elementa, otkazati elementi sa brojevima 1, 2 i 3, odnose se na 3: 2: 5. Vjerovatnoće otkrivanja kvarova ovih elemenata su 0,95; 0,9 i 0,6.

b) U uslovima ovog zadatka, otkriven je kvar tokom rada sistema. Koji element će najvjerovatnije otkazati?

Rješenje.
Neka je A događaj neuspjeha. Uvedemo sistem hipoteza H1 - kvar prvog elementa, H2 - kvar drugog elementa, H3 - kvar trećeg elementa.
Pronalazimo vjerovatnoće hipoteza:
P(H1) = 3/(3+2+5) = 0,3
P(H2) = 2/(3+2+5) = 0,2
P(H3) = 5/(3+2+5) = 0,5

U skladu sa uslovom problema, uslovne verovatnoće događaja A su:
P(A|H1) = 0,95, P(A|H2) = 0,9, P(A|H3) = 0,6

a) Pronađite vjerovatnoću otkrivanja kvara u sistemu.
P(A) = P(H1)*P(A|H1) + P(H2)*P(A|H2) + P(H3)*P(A|H3) = 0,3*0,95 + 0,2*0,9 + 0,5 *0,6 = 0,765

b) U uslovima ovog zadatka, otkriven je kvar tokom rada sistema. Koji element će najvjerovatnije otkazati?
P1 = P(H1)*P(A|H1)/ P(A) = 0,3*0,95 / 0,765 = 0,373
P2 = P(H2)*P(A|H2)/ P(A) = 0,2*0,9 / 0,765 = 0,235
P3 = P(H3)*P(A|H3)/ P(A) = 0,5*0,6 / 0,765 = 0,392

Maksimalna vjerovatnoća trećeg elementa.

Kratka teorija

Ako se događaj dogodi samo ako se dogodi jedan od događaja koji čine kompletnu grupu nekompatibilnih događaja, onda je jednak zbiru proizvoda vjerovatnoća svakog od događaja i odgovarajućeg novčanika uslovne vjerovatnoće.

U ovom slučaju, događaji se nazivaju hipotezama, a vjerovatnoće a priori. Ova formula se naziva formula ukupne vjerovatnoće.

Bayesova formula se koristi u rješavanju praktičnih problema, kada se dogodio događaj koji se pojavljuje zajedno sa bilo kojim od događaja koji čine kompletnu grupu događaja i potrebno je izvršiti kvantitativnu procjenu vjerovatnoća hipoteza. A priori (prije iskustva) vjerovatnoće su poznate. Potrebno je izračunati aposteriori (nakon iskustva) vjerovatnoće, tj. U suštini, morate pronaći uslovne vjerovatnoće. Bayesova formula izgleda ovako:

Sljedeća stranica se bavi problemom na .

Primjer rješenja problema

Uslov zadatka 1

U fabrici, mašine 1, 2 i 3 proizvode 20%, 35% i 45% svih delova. Kod njihovih proizvoda, nedostatak je 6%, 4%, 2%. Kolika je vjerovatnoća da je slučajno odabrani predmet neispravan? Kolika je vjerovatnoća da je proizveden: a) mašinom 1; b) mašina 2; c) mašina 3?

Rješenje problema 1

Označite slučajem da se standardni proizvod pokazao neispravnim.

Događaj se može dogoditi samo ako se dogodi jedan od tri događaja:

Proizvod se proizvodi na mašini 1;

Proizvod se proizvodi na mašini 2;

Proizvod se proizvodi na mašini 3;

Napišimo uslovne vjerovatnoće:

Formula ukupne vjerovatnoće

Ako se događaj može dogoditi samo kada se dogodi jedan od događaja koji čine kompletnu grupu nekompatibilnih događaja, tada se vjerovatnoća događaja izračunava po formuli

Koristeći formulu ukupne vjerovatnoće, nalazimo vjerovatnoću događaja:

Bayesova formula

Bayesova formula vam omogućava da "preuredite uzrok i posljedicu": prema poznata činjenica događaj kako bi se izračunala vjerovatnoća da je uzrokovan određenim uzrokom.

Vjerovatnoća da je neispravan proizvod proizveden na mašini 1:

Vjerovatnoća da je neispravan predmet proizveden na mašini 2:

Vjerovatnoća da je neispravan predmet proizveden na mašini 3:

Uslov zadatka 2

Grupu čini 1 odličan učenik, 5 dobrih učenika i 14 osrednjih učenika. Odličan učenik odgovara na 5 i 4 sa jednakom vjerovatnoćom, dobar učenik na 5, 4 i 3 jednakom vjerovatnoćom, a osrednji na 4,3 i 2 sa jednakom vjerovatnoćom. Nasumično odabran učenik je odgovorio na 4. Koja je vjerovatnoća da je nazvan osrednji učenik?

Rešenje 2. problema

Hipoteze i uslovne vjerovatnoće

Moguće su sljedeće hipoteze:

Odličan učenik je odgovorio;

Odgovoreno dobro;

– odgovorio je osrednji student;

Neka događaj - učenik dobije 4.

odgovor:

Na cijenu snažno utiče hitnost odluke (od dana do nekoliko sati). Online pomoć na ispitu/testiranju vrši se po dogovoru.

Aplikaciju možete ostaviti direktno u chatu, prethodno odbacivši stanje zadataka i obavijestivši vas o rokovima za rješavanje istog. Vrijeme odgovora je nekoliko minuta.

Cilj: formirati vještine za rješavanje problema u teoriji vjerovatnoće korištenjem formule ukupne vjerovatnoće i Bayesove formule.

Formula ukupne vjerovatnoće

Vjerovatnoća događaja ALI, što se može dogoditi samo ako se dogodi jedan od nekompatibilnih događaja B x, B 2 ,..., B n, formiranje kompletne grupe jednako je zbiru proizvoda verovatnoća svakog od ovih događaja i odgovarajuće uslovne verovatnoće događaja A:

Ova formula se zove formula ukupne vjerovatnoće.

Vjerovatnoća hipoteza. Bayesova formula

Neka događaj ALI može se dogoditi ako se dogodi jedan od nekompatibilnih događaja B b B 2 ,...,B p, formirajući kompletnu grupu. Pošto se ne zna unaprijed koji će se od ovih događaja dogoditi, oni se nazivaju hipotezama. Vjerovatnoća da se dogodi neki događaj ALI određuje se formulom ukupne vjerovatnoće:

Pretpostavimo da je izvršen test kao rezultat kojeg se dogodio događaj ALI. Potrebno je utvrditi kako su se promijenili (zbog činjenice da je događaj ALI već stigle) vjerovatnoće hipoteza. Uslovne vjerovatnoće hipoteza se nalaze po formuli

U ovoj formuli, indeks / = 1.2

Ova formula se zove Bayesova formula (po engleskom matematičaru koji ju je izveo; objavljena 1764.). Bayesova formula vam omogućava da precijenite vjerovatnoće hipoteza nakon što postane poznat rezultat testa, kao rezultat kojeg se događaj pojavio ALI.

Zadatak 1. Postrojenje proizvodi određeni tip dijela, svaki dio ima defekt sa vjerovatnoćom od 0,05. Dio pregleda jedan inspektor; detektuje defekt sa verovatnoćom od 0,97, a ako se ne pronađe defekt, predaje deo u gotov proizvod. Osim toga, inspektor može greškom odbiti dio koji nema nedostatak; vjerovatnoća za to je 0,01. Naći vjerovatnoće sljedećih događaja: A - dio će biti odbijen; B - dio će biti odbijen, ali pogrešno; C - dio će biti preskočen na gotov proizvod s nedostatkom.

Rješenje

Označimo hipoteze:

H= (standardni dio će biti poslan na pregled);

H= (nestandardni dio će biti poslan na pregled).

Događaj A =(dio će biti odbijen).

Iz uslova problema nalazimo vjerovatnoće

P H (A) = 0,01; Pfi(A) = 0,97.

Prema formuli ukupne vjerovatnoće dobijamo

Vjerovatnoća da će dio biti odbijen greškom je

Nađimo vjerovatnoću da će dio biti preskočen u gotov proizvod s nedostatkom:

odgovor:

Zadatak 2. Standardnost proizvoda provjerava jedan od tri stručnjaka za robu. Vjerovatnoća da će proizvod doći do prvog trgovca je 0,25, do drugog - 0,26 i do trećeg - 0,49. Vjerovatnoća da će prvi trgovac proizvod prepoznati kao standard je 0,95, drugi - 0,98, treći - 0,97. Pronađite vjerovatnoću da standardni proizvod provjeri drugi inspektor.

Rješenje

Označimo događaje:

L. =(proizvod na verifikaciju će ići kod /-tog robnog menadžera); / = 1, 2, 3;

B =(proizvod će biti priznat kao standard).

Prema stanju problema poznate su vjerovatnoće:

Takođe znamo i uslovne verovatnoće

Koristeći Bayesovu formulu, nalazimo vjerovatnoću da standardni proizvod provjeri drugi kontroler:

odgovor:“0.263.

Zadatak 3. Dvije mašine proizvode dijelove koji idu na zajednički transporter. Vjerovatnoća dobivanja nestandardnog dijela na prvoj mašini je 0,06, a na drugoj - 0,09. Performanse druge mašine su dvostruko veće od prve. Nestandardni dio je uzet sa transportera. Nađite vjerovatnoću da ovaj dio proizvede druga mašina.

Rješenje

Označimo događaje:

A. =(deo preuzet sa montažne linije proizvodi i-ta mašina); / = 1,2;

AT= (uzeti dio će biti nestandardan).

Takođe znamo i uslovne verovatnoće

Koristeći formulu ukupne vjerovatnoće, nalazimo

Koristeći Bayesovu formulu, nalazimo vjerovatnoću da je drugi automat proizveden nestandardni dio:

odgovor: 0,75.

Zadatak 4. Testiran je uređaj koji se sastoji od dva čvora, čija je pouzdanost 0,8 odnosno 0,9. Čvorovi propadaju nezavisno jedan od drugog. Uređaj nije uspio. Nađite, uzimajući u obzir ovo, vjerovatnoće hipoteza:

• a) samo prvi čvor je neispravan;
• b) samo drugi čvor je neispravan;
• c) oba čvora su neispravna.

Rješenje

Označimo događaje:

D = (7. čvor neće otkazati); i = 1,2;

D - odgovarajući suprotni događaji;

ALI= (tokom testa, uređaj neće uspjeti).

Iz uslova zadatka dobijamo: P(D) = 0,8; P(L 2) = 0,9.

Svojstvom vjerovatnoće suprotnih događaja

Događaj ALI jednak je zbiru proizvoda nezavisnih događaja

Koristeći teoremu sabiranja za vjerovatnoće nekompatibilnih događaja i teoremu za množenje vjerovatnoća nezavisnih događaja, dobijamo

Sada nalazimo vjerovatnoće hipoteza:

odgovor:

Zadatak 5. U fabrici se vijci izrađuju na tri mašine, koje proizvode 25%, 30% i 45% od ukupnog broja vijaka. U proizvodnji alatnih mašina, kvar iznosi 4%, 3% i 2%. Kolika je vjerovatnoća da će vijak, nasumično uzet iz dolaznog proizvoda, biti neispravan?

Rješenje

Označimo događaje:

4 = (na i-toj mašini napravljen je nasumično uzet vijak); i = 1, 2, 3;

AT= (nasumično uzet vijak će biti neispravan).

Iz uslova problema, koristeći klasičnu formulu vjerovatnoće, nalazimo vjerovatnoće hipoteza:

Također, koristeći klasičnu formulu vjerovatnoće, nalazimo uslovne vjerovatnoće:

Koristeći formulu ukupne vjerovatnoće, nalazimo

odgovor: 0,028.

Zadatak 6. Elektronsko kolo pripada jednoj od tri serije sa vjerovatnoćom od 0,25; 0,5 i 0,25. Vjerovatnoća da će kolo raditi nakon garantnog roka za svaku od strana je 0,1; 0,2 i 0,4. Pronađite vjerovatnoću da će slučajno odabrano kolo raditi nakon garantnog roka.

Rješenje

Označimo događaje:

4 \u003d (nasumično preuzeta shema iz r-th party); i = 1, 2, 3;

AT= (nasumično uzeto kolo će raditi nakon garantnog roka).

Prema stanju problema poznate su vjerovatnoće hipoteza:

Takođe znamo i uslovne verovatnoće:

Koristeći formulu ukupne vjerovatnoće, nalazimo

odgovor: 0,225.

Zadatak 7. Uređaj sadrži dva bloka, od kojih je upotrebljivost svakog od njih neophodna za rad uređaja. Vjerojatnosti rada bez greške za ove blokove su 0,99 i 0,97, respektivno. Uređaj nije u funkciji. Odredite vjerovatnoću da su obje jedinice otkazale.

Rješenje

Označimo događaje:

D = ( z blok neće uspjeti); i = 1,2;

ALI= (uređaj neće uspjeti).

Iz uslova zadatka, prema svojstvu vjerovatnoća suprotnih događaja, dobijamo: DD) = 1-0,99 = 0,01; DD) = 1-0,97 = 0,03.

Događaj ALI javlja se samo kada je barem jedan od događaja D ili A 2 . Dakle, ovaj događaj je jednak zbiru događaja ALI= D + ALI 2 .

Teoremom sabiranja za vjerovatnoće zajedničkih događaja dobijamo

Koristeći Bayesovu formulu, nalazimo vjerovatnoću da je uređaj otkazao zbog kvara oba bloka.

odgovor:

Zadaci za samostalno rješavanje Zadatak 1. U magacinu televizijskog studija nalazi se 70% kineskopa fabrika br.1; preostali kineskopi su proizvedeni u fabrici br. 2. Vjerovatnoća da kineskop neće otkazati u garantnom roku je 0,8 za kineskope pogona br. 1 i 0,7 za kineskope pogona br. 2. Kineskop je prošao garantni rok. Nađite vjerovatnoću da ga je proizvela postrojenje broj 2.

Zadatak 2. Na montažu dolaze dijelovi iz tri automatske mašine. Poznato je da 1. mašina daje 0,3% kvarova, 2. - 0,2%, 3. - 0,4%. Naći vjerovatnoću prijema neispravnog dijela za sklop, ako je primljeno 1000 dijelova od 1. mašine, 2000 od 2. i 2500 dijelova od 3.

Zadatak 3. Dvije mašine proizvode identične dijelove. Vjerovatnoća da će dio proizveden na prvoj mašini biti standardan je 0,8, a na drugoj - 0,9. Performanse druge mašine su tri puta veće od prve. Odrediti vjerovatnoću da će standardni dio biti nasumično uzet sa transportera, koji prima dijelove iz obje mašine.

Zadatak 4. Direktor kompanije odlučio je da koristi usluge dvije od tri transportne kompanije. Verovatnoća neblagovremene isporuke robe za prvu, drugu i treću firmu je 0,05; 0,1 i 0,07. Upoređujući ove podatke sa podacima o sigurnosti transporta tereta, upravnik je došao do zaključka da je izbor pravičan i odlučio se na to žrebom. Pronađite vjerovatnoću da će poslani teret biti isporučen na vrijeme.

Zadatak 5. Uređaj sadrži dva bloka, od kojih je upotrebljivost svakog od njih neophodna za rad uređaja. Vjerojatnosti rada bez otkaza za ove blokove su 0,99 i 0,97, respektivno. Uređaj nije u funkciji. Odredite vjerovatnoću da je druga jedinica otkazala.

Zadatak 6. Montažna radnja prima dijelove od tri mašine. Prva mašina daje 3% braka, druga - 1%, a treća - 2%. Odredite vjerovatnoću da neispravan dio uđe u sklop ako je od svake mašine primljeno 500, 200, 300 dijelova.

Zadatak 7. Skladište prima proizvode tri firme. Štaviše, proizvodnja prve firme je 20%, druge - 46% i treće - 34%. Takođe je poznato da je prosečan procenat nestandardnih proizvoda za prvu firmu 5%, za drugu - 2%, a za treću - 1%. Nađite vjerovatnoću da je proizvod izabran nasumično proizvela druga kompanija ako se ispostavi da je standardan.

Zadatak 8. Brak u proizvodnji biljke zbog kvara a iznosi 5%, a među odbijenima na osnovu a proizvoda u 10% slučajeva postoji kvar R. I u proizvodima bez kvarova a, defekt R javlja se u 1% slučajeva. Pronađite vjerovatnoću da naiđete na kvar R u svim proizvodima.

Zadatak 9. Preduzeće ima 10 novih automobila i 5 starih koji su prethodno bili u remontu. Vjerovatnoća ispravnog rada za novi automobil je 0,94, za stari - 0,91. Pronađite vjerovatnoću da će nasumično odabran automobil ispravno raditi.

Zadatak 10. Dva senzora šalju signale na zajednički komunikacioni kanal, a prvi od njih šalje dvostruko više signala od drugog. Vjerovatnoća primanja izobličenog signala od prvog senzora je 0,01, od drugog - 0,03. Kolika je vjerovatnoća primanja izobličenog signala u zajedničkom komunikacijskom kanalu?

Zadatak 11. Postoji pet serija proizvoda: tri serije od po 8 komada, od kojih su 6 standardnih i 2 nestandardne i dvije serije od 10 komada, od kojih su 7 standardnih i 3 nestandardne. Jedna od serija se bira nasumično, a detalj se uzima iz ove serije. Odredite vjerovatnoću da će odabrani dio biti standardni.

Zadatak 12. Sastavljač dobija u prosjeku 50% dijelova iz prve fabrike, 30% iz druge fabrike i 20% iz treće fabrike. Vjerovatnoća da je dio prve fabrike odličnog kvaliteta je 0,7; za dijelove drugog i trećeg postrojenja 0,8 i 0,9. Slučajno uzeto učešće pokazalo se odličnog kvaliteta. Odrediti vjerovatnoću da je dio napravljen od strane prve tvornice.

Zadatak 13. Carinski pregled automobila vrše dva inspektora. U prosjeku, od 100 automobila, 45 prođe kroz prvog inspektora. Vjerovatnoća da prilikom pregleda automobil koji ispunjava carinska pravila neće biti zadržan je 0,95 za prvog inspektora i 0,85 za drugog. Pronađite vjerovatnoću da automobil koji je u skladu sa carinskim pravilima neće biti zadržan.

Zadatak 14. Dijelovi potrebni za sklapanje uređaja dolaze iz dvije automatske mašine, čiji je učinak isti. Izračunajte vjerovatnoću da standardni dio uđe u sklop ako jedan od automata daje u prosjeku 3% standardnog kršenja, a drugi - 2%.

Zadatak 15. Trener dizanja tegova je izračunao da za dobijanje timskih bodova u ovoj težinskoj kategoriji sportista mora da gurne uteg od 200 kg. Ivanov, Petrov i Sidorov traže mesto u timu. Ivanov je tokom treninga pokušao da podigne takvu težinu u 7 slučajeva, a podigao je u 3 od njih. Petrov je podigao 6 puta od 13, a Sidorov ima 35% šanse da uspešno barata sa utegom. Trener nasumično bira jednog sportistu za tim.

• a) Pronađite vjerovatnoću da će izabrani sportista donijeti timu bodove.
• b) Tim nije dobio nijedan poen. Pronađite vjerovatnoću da je Sidorov govorio.

Zadatak 16. U bijeloj kutiji nalazi se 12 crvenih i 6 plavih loptica. U crnom - 15 crvenih i 10 plavih loptica. Baci kocku. Ako je broj bodova višestruki od 3, onda se iz bijele kutije nasumično uzima loptica. Ako ispadne bilo koji drugi broj bodova, onda se iz crne kutije nasumično uzima loptica. Kolika je vjerovatnoća da se pojavi crvena lopta?

Zadatak 17. Dvije kutije sadrže radio cijevi. Prva kutija sadrži 12 lampi, od kojih je 1 nestandardna; u drugom se nalazi 10 lampi od kojih je 1 nestandardna. Lampa je nasumično uzeta iz prve kutije i prebačena u drugu. Pronađite vjerovatnoću da je lampa izvučena nasumično iz druge kutije nestandardna.

Zadatak 18. Bijela kugla se baci u urnu u kojoj se nalaze dvije kuglice, nakon čega se jedna kuglica nasumično izvlači. Naći vjerovatnoću da će izvučena lopta biti bijela ako su sve moguće pretpostavke o početnom sastavu loptica (po boji) jednako moguće.

Zadatak 19. Standardni dio se baca u kutiju koja sadrži 3 identična dijela, a zatim se jedan dio nasumično izvlači. Pronađite vjerovatnoću da je standardni dio nacrtan ako su sva moguća nagađanja o broju standardnih dijelova izvorno u kutiji jednako vjerovatna.

Zadatak 20. Za poboljšanje kvaliteta radio komunikacije koriste se dva radio prijemnika. Vjerovatnoća da svaki prijemnik primi signal je 0,8, a ovi događaji (prijem signala od strane prijemnika) su nezavisni. Odredite vjerovatnoću prijema signala ako je vjerovatnoća rada bez greške tokom radiokomunikacijske sesije za svaki prijemnik 0,9.

Prilikom izvođenja formule ukupne vjerovatnoće, pretpostavljeno je da je događaj ALI, čija je vjerovatnoća trebalo da se utvrdi, moglo se dogoditi jednom od događaja H 1 , N 2 , ... , H n, formirajući kompletnu grupu parno nekompatibilnih događaja. Vjerovatnoće ovih događaja (hipoteze) bile su unaprijed poznate. Pretpostavimo da je izveden eksperiment, kao rezultat toga događaj ALI Došlo. Ovo Dodatne informacije omogućava vam da ponovo procenite verovatnoće hipoteza h i , izračunavši P(H i /A).

ili, koristeći formulu ukupne vjerovatnoće, dobijamo

Ova formula se zove Bayesova formula ili teorema hipoteze. Bayesova formula vam omogućava da "revidirate" vjerovatnoće hipoteza nakon što postane poznat rezultat eksperimenta, kao rezultat kojeg se događaj pojavio ALI.

Vjerovatnoće R(N i) su apriorne vjerovatnoće hipoteza (izračunate su prije eksperimenta). Vjerovatnoće P(H i /A) su a posteriori vjerovatnoće hipoteza (one se izračunavaju nakon eksperimenta). Bayesova formula vam omogućava da izračunate posteriorne vjerovatnoće iz njihovih prethodnih vjerovatnoća i iz uvjetnih vjerovatnoća događaja ALI.

Primjer. Poznato je da je 5% svih muškaraca i 0,25% svih žena daltonisti. Nasumično odabrana osoba prema broju zdravstvene knjižice boluje od daltonizma. Kolika je vjerovatnoća da je u pitanju muškarac?

Rješenje. Događaj ALI Osoba je slepa za boje. Prostor elementarnih događaja za eksperiment - osoba se bira po broju medicinske kartice - Ω = ( H 1 , N 2 ) sastoji se od 2 događaja:

H 1 - čovjek je odabran,

H 2 - odabrana je žena.

Ovi događaji se mogu odabrati kao hipoteze.

Prema uslovu problema (slučajni izbor), vjerovatnoće ovih događaja su iste i jednake P(H 1 ) = 0.5; P(H 2 ) = 0.5.

U ovom slučaju, uslovne vjerovatnoće da osoba pati od sljepoće za boje su jednake, odnosno:

P(A/N 1 ) = 0.05 = 1/20; P(A/N 2 ) = 0.0025 = 1/400.

Budući da je poznato da je odabrana osoba slijepa za boje, odnosno da se događaj dogodio, koristimo Bayesovu formulu za ponovnu procjenu prve hipoteze:

Primjer. Postoje tri identične kutije. Prva kutija sadrži 20 bijelih loptica, druga kutija sadrži 10 bijelih i 10 crnih loptica, a treća kutija sadrži 20 crnih loptica. Bijela kugla se izvlači iz nasumično odabrane kutije. Izračunajte vjerovatnoću da je lopta izvučena iz prve kutije.

Rješenje. Označiti sa ALI događaj - pojava bele lopte. O izboru kutije mogu se postaviti tri pretpostavke (hipoteze): H 1 ,H 2 , H 3 - izbor prve, druge i treće kutije, respektivno.

Budući da je izbor bilo kojeg od kutija jednako moguć, vjerovatnoće hipoteza su iste:

P(H 1 )=P(H 2 )=P(H 3 )= 1/3.

U zavisnosti od uslova zadatka, verovatnoća izvlačenja bele lopte iz prve kutije

Verovatnoća izvlačenja bele lopte iz drugog polja

Vjerovatnoća izvlačenja bijele lopte iz treće kutije

Željenu vjerovatnoću pronalazimo koristeći Bayesovu formulu:

Ponavljanje testova. Bernulijeva formula.

Postoji n pokušaja, u svakom od kojih se događaj A može dogoditi ili ne mora, a vjerovatnoća događaja A u svakom pojedinačnom ispitivanju je konstantna, tj. ne menja se od iskustva do iskustva. Već znamo kako pronaći vjerovatnoću događaja A u jednom eksperimentu.

Od posebnog interesa je vjerovatnoća pojave određenog broja puta (m puta) događaja A u n eksperimenata. takvi problemi se lako rješavaju ako su testovi nezavisni.

Def. Poziva se nekoliko testova nezavisno u odnosu na događaj A ako vjerovatnoća događaja A u svakom od njih ne zavisi od ishoda drugih eksperimenata.

Vjerovatnoća P n (m) da se događaj A dogodi tačno m puta (nenastanak n-m puta, događaj ) u ovim n pokusima. Događaj A se pojavljuje u različitim sekvencama m puta).

Bernulijeva formula.

Sljedeće formule su očigledne:

P n (m manje k puta u n pokusa.

P n (m>k) = P n (k+1) + P n (k+2) +…+ P n (n) - vjerovatnoća nastanka događaja A više k puta u n pokušaja.1) n = 8, m = 4, p = q = ½,

Bayesova formula

Bayesova teorema- jedna od glavnih teorema elementarne teorije vjerovatnoće, koja određuje vjerovatnoću da se događaj desi pod uslovima kada su na osnovu posmatranja poznate samo neke djelimične informacije o događajima. Prema Bayesovoj formuli moguće je preciznije preračunati vjerovatnoću, uzimajući u obzir i ranije poznate informacije i podatke iz novih opservacija.

"Fizičko značenje" i terminologija

Bayesova formula vam omogućava da "preuredite uzrok i posljedicu": s obzirom na poznatu činjenicu događaja, izračunajte vjerovatnoću da je on uzrokovan datim uzrokom.

Događaji koji odražavaju djelovanje "uzroka" u ovom slučaju se obično nazivaju hipoteze, jer jesu navodno događaje koji su tome doveli. Bezuslovna vjerovatnoća valjanosti hipoteze se naziva a priori(Koliko je vjerojatan uzrok? općenito), i uslovno - uzimajući u obzir činjenicu događaja - a posteriori(Koliko je vjerojatan uzrok? pokazalo se da uzima u obzir podatke o događajima).

Posljedica

Važna posljedica Bayesove formule je formula za ukupnu vjerovatnoću događaja u zavisnosti od nekoliko nedosljedne hipoteze ( i samo od njih!).

Izvođenje formule

Ako događaj zavisi samo od uzroka A i, onda ako se desilo, to znači da se neki od razloga nužno desio, tj.

Po Bayesovoj formuli

transfer P(B) desno, dobijamo željeni izraz.

Metoda filtriranja neželjene pošte

Metoda zasnovana na Bayesovoj teoremi uspješno je primijenjena u filtriranju neželjene pošte.

Opis

Prilikom treniranja filtera, za svaku riječ koja se nađe u slovima, izračunava se i pohranjuje njena „težina“ - vjerovatnoća da je pismo s ovom riječju neželjena pošta (u najjednostavnijem slučaju, prema klasičnoj definiciji vjerovatnoće: „pojavljivanja u neželjenoj pošti / izgled svega”).

Prilikom provjere novopristiglog pisma, vjerovatnoća da se radi o neželjenoj pošti izračunava se korištenjem gornje formule za skup hipoteza. U ovom slučaju, "hipoteze" su riječi, a za svaku riječ "pouzdanost hipoteze" -% ove riječi u slovu i "ovisnost događaja od hipoteze" P(B | A i) - prethodno izračunata "težina" riječi. Odnosno, "težina" slova u ovom slučaju nije ništa drugo do prosječna "težina" svih njegovih riječi.

Pismo se klasifikuje kao "spam" ili "ne-spam" prema tome da li njegova "težina" prelazi određenu granicu koju je postavio korisnik (obično se uzima 60-80%). Nakon donošenja odluke o pismu, u bazi se ažuriraju “težine” za riječi koje se u njemu nalaze.

Karakteristično

Ova metoda je jednostavna (algoritmi su elementarni), praktična (omogućava vam da bez "crnih lista" i sličnih umjetnih trikova), učinkovita (nakon treninga na dovoljno velikom uzorku, odsiječe do 95-97% neželjene pošte i u slučaju bilo kakvih grešaka može se dodatno obučiti). Općenito, postoje sve indikacije za njegovu široku upotrebu, što se i događa u praksi - na njegovoj osnovi su izgrađeni gotovo svi moderni filteri za neželjenu poštu.

Međutim, metoda ima i fundamentalni nedostatak: to na osnovu pretpostavke, šta neke su riječi češće u neželjenoj pošti, dok su druge češće u redovnim e-porukama, i neefikasna je ako je ova pretpostavka netačna. Međutim, kao što pokazuje praksa, čak ni osoba nije u stanju odrediti takvu neželjenu poštu "na oko" - tek nakon što pročita pismo i shvati njegovo značenje.

Još jedan, ne fundamentalni, nedostatak povezan s implementacijom - metoda radi samo s tekstom. Znajući za ovo ograničenje, spameri su počeli da stavljaju reklamne informacije na sliku, dok tekst u pismu ili nema ili nema smisla. Protiv toga se mora koristiti bilo koji alat za prepoznavanje teksta („skupa“ procedura, koristi se samo kada hitan slučaj), ili stare metode filtriranja - "crne liste" i regularni izrazi (pošto takva slova često imaju stereotipni oblik).

vidi takođe

Bilješke

Linkovi

Književnost

• Byrd Kiwi. Rev. Bayesova teorema. // Computerra magazin, 24. avgust 2001
• Paul Graham. Plan za spam. // Osobna web stranica Paula Grahama.

Wikimedia Foundation. 2010 .

Pogledajte šta je "Bayesova formula" u drugim rječnicima:

Formula koja izgleda ovako: gdje su a1, A2, ..., An nekompatibilni događaji, Opća shema za primjenu F. in. g.: ako se događaj B može dogoditi u dekomp. uslova pod kojima se postavljaju n hipoteza A1, A2, ..., An sa vjerovatnoćama P (A1), ... poznatim prije eksperimenta, ... ... Geološka enciklopedija

Omogućava vam da izračunate vjerovatnoću događaja od interesa kroz uslovne vjerovatnoće ovog događaja, uz pretpostavku određenih hipoteza, kao i vjerovatnoće ovih hipoteza. Formulacija Neka je dat prostor vjerovatnoće i kompletna grupa u parovima ... ... Wikipedia

Omogućava vam da izračunate vjerovatnoću događaja od interesa kroz uslovne vjerovatnoće ovog događaja, uz pretpostavku određenih hipoteza, kao i vjerovatnoće ovih hipoteza. Formulacija Neka je dat prostor vjerovatnoće i kompletna grupa događaja, kao što je ... ... Wikipedia

- (ili Bayesova formula) je jedna od glavnih teorema teorije vjerovatnoće, koja vam omogućava da odredite vjerovatnoću da se neki događaj (hipoteza) dogodio uz prisustvo samo indirektnih dokaza (podataka) koji mogu biti netačni... Wikipedia

Bayesova teorema je jedna od glavnih teorema elementarne teorije vjerovatnoće, koja određuje vjerovatnoću da će se događaj dogoditi u uslovima kada su na osnovu posmatranja poznate samo neke djelimične informacije o događajima. Prema Bayesovoj formuli, možete ... ... Wikipedia

Bayes, Thomas Thomas Bayes Velečasni Thomas Bayes Datum rođenja: 1702. (1702.) Mjesto rođenja ... Wikipedia

Thomas Bayes Velečasni Thomas Bayes Datum rođenja: 1702. (1702.) Mjesto rođenja: London ... Wikipedia

Bayesovo zaključivanje je jedna od metoda statističkog zaključivanja, u kojoj se Bayesova formula koristi za pročišćavanje vjerojatnosnih procjena istinitosti hipoteza kada stignu dokazi. Upotreba Bayesovog ažuriranja je posebno važna u ... ... Wikipediji

Da biste poboljšali ovaj članak, poželjno je?: Pronađite i uredite u obliku fusnota linkove na autoritativne izvore koji potvrđuju napisano. Stavljajući fusnote, preciznije naznačite izvore. Pere ... Wikipedia

Hoće li zatvorenici izdati jedni druge, slijedeći vlastite sebične interese, ili će šutjeti i time minimizirati ukupnu kaznu? Prisoner's dilemma (eng. Prisoner's dilemma, naziv "dilema" se rjeđe koristi... Wikipedia

Knjige

• Teorija vjerojatnosti i matematička statistika u zadacima. Više od 360 zadataka i vježbi, Borzykh D.A. Predloženi priručnik sadrži zadatke različitim nivoima teškoće. Međutim, glavni naglasak je stavljen na zadatke srednje složenosti. Ovo je namjerno učinjeno kako bi se učenici podstakli da…