Razmotrite rasprostranjen problem o približnom izračunavanju vrijednosti funkcije pomoću diferencijala.

Ovdje i dolje ćemo se fokusirati na diferencijale prvog reda; radi sažetosti, često ćemo reći samo "diferencijal". Problem približnih proračuna uz pomoć diferencijala ima rigidan algoritam rješenja, pa stoga ne bi trebalo biti posebnih poteškoća. Jedina stvar je da postoje male zamke koje će takođe biti očišćene. Stoga slobodno zaronite glavom.

Osim toga, odjeljak sadrži formule za pronalaženje apsolutnih i relativnih grešaka proračuna. Materijal je vrlo koristan, jer se greške moraju računati i u drugim problemima.

Da biste uspješno savladali primjere, morate biti u stanju pronaći izvode funkcija barem na prosječnom nivou, pa ako je diferencijacija potpuno pogrešna, počnite s pronalaženje derivacije u tački i sa pronalaženje diferencijala u tački. Od tehničkih sredstava trebat će vam mikrokalkulator sa raznim matematičke funkcije. Možete koristiti mogućnosti MS Excel-a, ali je u ovom slučaju manje zgodno.

Lekcija se sastoji iz dva dela:

– Približna izračunavanja koristeći diferencijal vrijednosti funkcije jedne varijable u točki.

– Približni proračuni koristeći totalni diferencijal vrijednosti funkcije dvije varijable u jednoj tački.

Zadatak koji se razmatra usko je povezan s konceptom diferencijala, ali budući da još uvijek nemamo lekciju o značenju derivacije i diferencijala, ograničit ćemo se na formalno razmatranje primjera, što je sasvim dovoljno za učenje kako ih riješiti.

Približni proračuni korištenjem diferencijala funkcije jedne varijable

U prvom paragrafu pravila je funkcija jedne varijable. Kao što svi znaju, označava se sa y ili kroz f(x). Za ovaj problem je mnogo zgodnije koristiti drugu notaciju. Prijeđimo na popularan primjer koji se često javlja u praksi:

Primjer 1

Rješenje: Prepišite u svoju bilježnicu radnu formulu za približni izračun koristeći diferencijal:

Počnimo, lako je!

Prvi korak je kreiranje funkcije. Po uslovu se predlaže izračunavanje kubnog korijena broja: , pa odgovarajuća funkcija ima oblik: .

Moramo koristiti formulu da pronađemo približnu vrijednost.

Gledamo lijeva strana formule , i pada mi na pamet misao da se broj 67 mora predstaviti kao . Koji je najlakši način da to učinite? Preporučujem sljedeći algoritam: izračunajte ovu vrijednost na kalkulatoru:

- ispalo je 4 sa repom, ovo je važna smjernica za rješenje.

As x 0 odaberite "dobru" vrijednost, da izvučemo koren. Naravno, ova vrijednost x 0 bi trebalo biti što bliže do 67.

U ovom slučaju x 0 = 64. Zaista, .

Napomena: Kada je sa odabiromx 0 problem se i dalje javlja, samo pogledajte izračunatu vrijednost (u ovom slučaju ), uzmite najbliži cijeli broj (u ovom slučaju 4) i podignite ga na željeni stepen (u ovom slučaju ). Kao rezultat, bit će napravljen željeni odabir. x 0 = 64.

Ako a x 0 = 64, tada je prirast argumenta: .

Dakle, broj 67 je predstavljen kao zbir

Prvo izračunavamo vrijednost funkcije u tački x 0 = 64. Zapravo, ovo je već urađeno ranije:

Diferencijal u tački se nalazi po formuli:

Takođe možete kopirati ovu formulu u svoju bilježnicu.

Iz formule slijedi da trebate uzeti prvu izvodnicu:

I pronađite njegovu vrijednost u tački x 0:

Na ovaj način:

Sve je spremno! prema formuli:

Pronađena približna vrijednost je prilično blizu vrijednosti od 4,06154810045 izračunato pomoću mikrokalkulatora.

odgovor:

Primjer 2

Izračunajte približno , zamjenjujući priraštaje funkcije s njenim diferencijalom.

Ovo je "uradi sam" primjer. Grubi primjer završnog rada i odgovor na kraju lekcije. Za početnike preporučujem da prvo izračunate tačnu vrijednost na mikrokalkulatoru kako biste shvatili koji broj uzeti za x 0 , a koji - za Δ x. Treba napomenuti da Δ x in ovaj primjerće biti negativan.

Neki mogu imati pitanje, zašto je ovaj zadatak potreban, ako možete sve mirno i preciznije izračunati na kalkulatoru? Slažem se, zadatak je glup i naivan. Ali pokušaću da to malo opravdam. Prvo, zadatak ilustruje značenje diferencijala funkcija. Drugo, u antičko doba, kalkulator je bio nešto poput ličnog helikoptera u naše vrijeme. I sam sam vidio kako je iz jednog instituta izbačen kompjuter veličine sobe negdje 1985-86 (radio amateri sa šrafcigerima su trčali iz cijelog grada, a nakon par sati od jedinice je ostao samo kućište ). Antikviteti su pronađeni i na našem odsjeku za fiziku, međutim, u manjoj veličini - negdje veličine radnog stola. Tako su patili naši preci sa metodama približnih proračuna. Prevozno sredstvo je i konjska zaprega.

Na ovaj ili onaj način, problem je ostao u standardnom kursu više matematike i moraće da se reši. Ovo je glavni odgovor na vaše pitanje =).

Primjer 3

Izračunajte približno koristeći diferencijalnu vrijednost funkcije u tački x= 1,97. Izračunajte precizniju vrijednost funkcije u tački x= 1,97 koristeći mikrokalkulator, procijenite apsolutne i relativne greške u proračunu.

Zapravo, ovaj zadatak se lako može preformulisati na sljedeći način: „Izračunajte približnu vrijednost sa diferencijalom

Rješenje: Koristimo poznatu formulu:

U ovom slučaju, već je data gotova funkcija: . Još jednom, skrećem vam pažnju na činjenicu da je za označavanje funkcije, umjesto "igre", pogodnije koristiti f(x).

Značenje x= 1,97 mora biti predstavljeno kao x 0 = Δ x. Pa, ovdje je lakše, vidimo da je broj 1,97 vrlo blizu "dvojke", tako da traži x 0 = 2. I, prema tome: .

Izračunajte vrijednost funkcije u tački x 0 = 2:

Koristeći formulu , izračunavamo diferencijal u istoj tački.

Pronalaženje prve derivacije:

I njegova vrijednost u ovom trenutku x 0 = 2:

Dakle, diferencijal u tački:

Kao rezultat, prema formuli:

Drugi dio zadatka je pronaći apsolutnu i relativnu grešku proračuna.

Približni proračuni pomoću diferencijala

U ovoj lekciji ćemo se osvrnuti na uobičajeni problem o približnom izračunavanju vrijednosti funkcije pomoću diferencijala. Ovdje i u nastavku ćemo govoriti o diferencijalima prvog reda, radi sažetosti često ću reći samo "diferencijal". Problem približnih proračuna uz pomoć diferencijala ima rigidan algoritam rješenja, pa stoga ne bi trebalo biti posebnih poteškoća. Jedina stvar je da postoje male zamke koje će takođe biti očišćene. Zato slobodno zaronite glavom.

Pored toga, stranica sadrži formule za pronalaženje apsolutne i relativne greške u proračunu. Materijal je vrlo koristan, jer se greške moraju računati i u drugim problemima. Fizičari, gdje je vaš aplauz? =)

Da biste uspješno savladali primjere, morate biti u stanju pronaći izvode funkcija barem na prosječnom nivou, pa ako je diferencijacija potpuno pogrešna, počnite s lekcijom Kako pronaći derivat? Također preporučujem čitanje članka Najjednostavniji problemi sa derivatom, odnosno paragrafi o pronalaženju derivacije u tački i pronalaženje diferencijala u tački. Od tehničkih sredstava trebat će vam mikrokalkulator s različitim matematičkim funkcijama. Možete koristiti Excel, ali u ovom slučaju je manje zgodan.

Radionica se sastoji iz dva dela:

– Približna izračunavanja pomoću diferencijala funkcije jedne varijable.

– Približna izračunavanja koristeći ukupni diferencijal funkcije dvije varijable.

Kome šta treba. U stvari, bilo je moguće podijeliti bogatstvo na dvije gomile, iz razloga što se druga tačka odnosi na primjene funkcija više varijabli. Ali šta da radim, volim dugačke članke.

Približne kalkulacije
koristeći diferencijal funkcije jedne varijable

Zadatak koji se razmatra i njegov geometrijsko značenje već obrađeno u lekciji Šta je derivat? , a sada ćemo se ograničiti na formalno razmatranje primjera, što je sasvim dovoljno da naučimo kako ih rješavati.

U prvom paragrafu pravila je funkcija jedne varijable. Kao što svi znaju, označava se kroz ili kroz. Za ovaj problem je mnogo zgodnije koristiti drugu notaciju. Prijeđimo na popularan primjer koji se često javlja u praksi:

Primjer 1

Rješenje: Molimo prepišite u svoju bilježnicu radnu formulu za približno izračunavanje pomoću diferencijala:

Počnimo, lako je!

Prvi korak je kreiranje funkcije. Po uslovu se predlaže izračunavanje kubnog korijena broja: , pa odgovarajuća funkcija ima oblik: . Moramo koristiti formulu da pronađemo približnu vrijednost.

Kako biramo "dobru" vrijednost, da izvučemo koren. Naravno, ova vrijednost bi trebala biti što bliže do 67. U ovom slučaju: . Zaista: .

Napomena: Kada je postavljanje i dalje problem, samo pogledajte izračunatu vrijednost (u ovom slučaju ), uzmite najbliži cijeli broj (u ovom slučaju 4) i podignite ga na željeni stepen (u ovom slučaju ). Kao rezultat, biće napravljen željeni odabir: .

Ako je , tada se argument povećava: .

Dakle, broj 67 je predstavljen kao zbir

Prvo izračunavamo vrijednost funkcije u tački . Zapravo, ovo je već urađeno ranije:

Diferencijal u tački se nalazi po formuli:
Možete i kopirati u svoju bilježnicu.

Iz formule slijedi da trebate uzeti prvu izvodnicu:

I pronađite njegovu vrijednost u tački:

Na ovaj način:

Sve je spremno! prema formuli:

Pronađena približna vrijednost je dovoljno blizu vrijednosti izračunati pomoću mikrokalkulatora.

odgovor:

Primjer 2

Izračunajte približno , zamjenjujući priraštaje funkcije s njenim diferencijalom.

Ovo je "uradi sam" primjer. Grubi primjer završnog rada i odgovor na kraju lekcije. Za početnike preporučujem da prvo izračunate točnu vrijednost na mikrokalkulatoru kako biste saznali za koji broj uzeti, a za koji. Treba napomenuti da će u ovom primjeru biti negativan.

Neki mogu imati pitanje, zašto je ovaj zadatak potreban, ako možete sve mirno i preciznije izračunati na kalkulatoru? Slažem se, zadatak je glup i naivan. Ali pokušaću da to malo opravdam. Prvo, zadatak ilustruje značenje diferencijala funkcija. Drugo, u antičko doba, kalkulator je bio nešto poput ličnog helikoptera u naše vrijeme. I sam sam vidio kako je iz lokalnog politehničkog instituta izbačen kompjuter veličine sobe negdje 1985-86 (radio amateri sa šrafcigerima su dotrčavali iz cijelog grada, a nakon par sati od jedinice je ostalo samo kućište ). Antikviteti su pronađeni i na našem odsjeku za fiziku, međutim, u manjoj veličini - negdje veličine školske klupe. Tako su patili naši preci sa metodama približnih proračuna. Prevozno sredstvo je i konjska zaprega.

Na ovaj ili onaj način, problem je ostao u standardnom kursu više matematike i moraće da se reši. Ovo je glavni odgovor na vaše pitanje =)

Primjer 3

u tački . Izračunajte precizniju vrijednost funkcije u nekoj tački koristeći mikrokalkulator, procijenite apsolutne i relativne greške u proračunu.

Zapravo, isti zadatak, lako se može preformulisati na sljedeći način: „Izračunajte približnu vrijednost sa diferencijalom

Rješenje: Koristimo poznatu formulu:
U ovom slučaju, već je data gotova funkcija: . Još jednom, skrećem vam pažnju na činjenicu da je za označavanje funkcije zgodnije koristiti umjesto "igre".

Vrijednost mora biti predstavljena kao . Pa, ovdje je lakše, vidimo da je broj 1,97 vrlo blizak "dvojci", pa se sam po sebi sugeriše. I zbog toga: .

Koristeći formulu , izračunavamo diferencijal u istoj tački.

Pronalaženje prve derivacije:

I njegova vrijednost na tački:

Dakle, diferencijal u tački:

Kao rezultat, prema formuli:

Drugi dio zadatka je pronaći apsolutnu i relativnu grešku proračuna.

Apsolutna i relativna greška proračuna

Apsolutna greška u proračunu nalazi se prema formuli:

Znak modulo pokazuje da nas nije briga koja je vrijednost veća, a koja manja. Bitan, koliko daleko približni rezultat je odstupio od tačne vrijednosti u jednom ili drugom smjeru.

Relativna računska greška nalazi se prema formuli:
, ili, isto:

Relativna greška se pokazuje u kom procentu približni rezultat je odstupio od tačne vrijednosti. Postoji verzija formule bez množenja sa 100%, ali u praksi skoro uvijek vidim gornju verziju sa procentima.

Nakon kratke pozadine, vraćamo se na naš problem, u kojem smo izračunali približnu vrijednost funkcije korištenjem diferencijala.

Izračunajmo tačnu vrijednost funkcije pomoću mikrokalkulatora:
, striktno govoreći, vrijednost je još uvijek približna, ali ćemo je smatrati tačnom. Takvi zadaci se dešavaju.

Izračunajmo apsolutnu grešku:

Izračunajmo relativnu grešku:
, dobiju se hiljaditi dio procenta, tako da je diferencijal dao samo odličnu aproksimaciju.

odgovor: , apsolutna greška proračuna , relativna greška proračuna

Sljedeći primjer je za samostalno rješenje:

Primjer 4

Izračunajte približno koristeći diferencijalnu vrijednost funkcije u tački . Izračunajte precizniju vrijednost funkcije u datoj tački, procijenite apsolutne i relativne greške u proračunu.

Grubi primjer završnog rada i odgovor na kraju lekcije.

Mnogi su primijetili da se u svim razmatranim primjerima pojavljuju korijeni. To nije slučajno; u većini slučajeva, u problemu koji se razmatra, zaista se predlažu funkcije s korijenima.

Ali za čitatelje koji pate, iskopao sam mali primjer s arksinom:

Primjer 5

Izračunajte približno koristeći diferencijalnu vrijednost funkcije u tački

Ovaj je kratak ali obrazovni primjer takođe za samostalnu odluku. I malo sam se odmorio kako bih s novom snagom razmotrio poseban zadatak:

Primjer 6

Izračunajte približno koristeći diferencijal, zaokružite rezultat na dvije decimale.

Rješenje:Šta je novo u zadatku? Prema uslovu, potrebno je zaokružiti rezultat na dvije decimale. Ali nije to poenta, problem zaokruživanja škole, mislim, nije težak za vas. Poenta je da imamo tangentu sa argumentom koji je izražen u stepenima. Šta učiniti kada se od vas traži da riješite trigonometrijsku funkciju sa stupnjevima? Na primjer, itd.

Algoritam rješenja je u osnovi sačuvan, odnosno potrebno je, kao iu prethodnim primjerima, primijeniti formulu

Zapišite očiglednu funkciju

Vrijednost mora biti predstavljena kao . Ozbiljna pomoć će tablica vrijednosti trigonometrijskih funkcija. Inače, ako ga niste odštampali, preporučujem vam da to uradite, jer ćete tu morati da gledate tokom čitavog studija više matematike.

Analizirajući tabelu, primjećujemo "dobru" vrijednost tangente, koja je blizu 47 stepeni:

Na ovaj način:

Nakon preliminarne analize stepeni moraju biti pretvoreni u radijane. Da, i samo tako!

U ovom primjeru, direktno iz trigonometrijske tablice, to možete saznati. Formula za pretvaranje stupnjeva u radijane je: (formule se mogu naći u istoj tabeli).

Dalji šablon:

Na ovaj način: (u proračunima koristimo vrijednost ). Rezultat, kako to zahtijeva uvjet, zaokružuje se na dvije decimale.

odgovor:

Primjer 7

Izračunajte približno koristeći diferencijal, zaokružite rezultat na tri decimale.

Ovo je "uradi sam" primjer. Potpuno rješenje i odgovor na kraju lekcije.

Kao što vidite, ništa komplicirano, prevodimo stupnjeve u radijane i pridržavamo se uobičajenog algoritma rješenja.

Približne kalkulacije
koristeći ukupni diferencijal funkcije dvije varijable

Sve će biti vrlo, vrlo slično, pa ako ste došli na ovu stranicu s ovim konkretnim zadatkom, onda prvo preporučujem da pogledate barem nekoliko primjera iz prethodnog pasusa.

Da biste proučili pasus, morate biti u stanju pronaći parcijalni derivati drugog reda, kuda bez njih. U gornjoj lekciji funkciju dvije varijable označio sam slovom. S obzirom na zadatak koji se razmatra, pogodnije je koristiti ekvivalentnu notaciju.

Kao iu slučaju funkcije jedne varijable, uvjet problema se može formulirati na različite načine, a ja ću pokušati razmotriti sve formulacije na koje se susrećemo.

Primjer 8

Rješenje: Bez obzira na to kako je uvjet napisan, u samom rješenju, za označavanje funkcije, ponavljam, bolje je koristiti ne slovo "Z", već.

A evo radne formule:

Pred nama je zapravo starija sestra formule iz prethodnog paragrafa. Varijabla je upravo postala veća. Šta da kažem, sebe algoritam rješenja bit će u osnovi isti!

Prema uslovu, potrebno je pronaći približnu vrijednost funkcije u tački .

Predstavimo broj 3.04 kao . Sama lepinja traži da se pojede:
,

Predstavimo broj 3,95 kao . Došao je red na drugu polovinu Koloboka:
,

I ne gledajte sve vrste lisičjih trikova, postoji Gingerbread Man - morate ga pojesti.

Izračunajmo vrijednost funkcije u tački:

Diferencijal funkcije u tački nalazi se po formuli:

Iz formule slijedi da morate pronaći parcijalni derivati prvog reda i izračunajte njihove vrijednosti u tački .

Izračunajmo parcijalne izvode prvog reda u tački:

Ukupni diferencijal u tački:

Dakle, prema formuli, približna vrijednost funkcije u tački:

Izračunajmo tačnu vrijednost funkcije u tački:

Ova vrijednost je apsolutno tačna.

Greške se izračunavaju pomoću standardnih formula, o kojima je već bilo riječi u ovom članku.

Apsolutna greška:

Relativna greška:

odgovor:, apsolutna greška: , relativna greška:

Primjer 9

Izračunajte približnu vrijednost funkcije u tački koristeći puni diferencijal, procijenite apsolutnu i relativnu grešku.

Ovo je "uradi sam" primjer. Ko se detaljnije zadrži na ovom primjeru, obratit će pažnju na činjenicu da su se greške u proračunu pokazale vrlo, vrlo uočljive. To se dogodilo iz sljedećeg razloga: u predloženom problemu, priraštaji argumenata su dovoljno veliki: . Opšti obrazac je sljedeći - što su veći ovi priraštaji apsolutne vrijednosti, to je niža tačnost proračuna. Tako, na primjer, za sličnu tačku, prirast će biti mali: , a tačnost približnih proračuna bit će vrlo visoka.

Ova karakteristika vrijedi i za slučaj funkcije jedne varijable (prvi dio lekcije).

Primjer 10

Rješenje: Ovaj izraz izračunavamo približno koristeći ukupni diferencijal funkcije dvije varijable:

Razlika od primjera 8-9 je u tome što prvo trebamo sastaviti funkciju od dvije varijable: . Kako je funkcija sastavljena, mislim, intuitivno je svima jasno.

Vrijednost 4,9973 je blizu "pet", dakle: , .
Vrijednost 0,9919 je blizu "jedan", stoga pretpostavljamo: , .

Izračunajmo vrijednost funkcije u tački:

Pronalazimo diferencijal u tački po formuli:

Da bismo to učinili, izračunavamo parcijalne izvode prvog reda u tački .

Izvodi ovdje nisu najjednostavniji i treba biti oprezan:

;

Ukupni diferencijal u tački:

Dakle, približna vrijednost ovog izraza:

Izračunajmo precizniju vrijednost pomoću mikrokalkulatora: 2,998899527

Nađimo relativnu grešku u proračunu:

odgovor: ,

Samo ilustracija gore navedenog, u razmatranom problemu, priraštaji argumenata su vrlo mali, a greška se pokazala fantastično oskudna.

Primjer 11

Koristeći ukupni diferencijal funkcije dvije varijable, izračunajte približno vrijednost ovog izraza. Izračunajte isti izraz pomoću mikrokalkulatora. Procijenite u postocima relativnu grešku proračuna.

Ovo je "uradi sam" primjer. Približan uzorak završne obrade na kraju lekcije.

Kao što je već napomenuto, najčešći gost u ovoj vrsti zadatka je neka vrsta korijena. Ali s vremena na vrijeme postoje i druge funkcije. I posljednji jednostavan primjer za opuštanje:

Primjer 12

Koristeći ukupni diferencijal funkcije dvije varijable, izračunajte približno vrijednost funkcije if

Rješenje je bliže dnu stranice. Još jednom, obratite pažnju na formulacije zadataka lekcije, u različitim primjerima u praksi formulacije mogu biti različite, ali to suštinski ne mijenja suštinu i algoritam rješenja.

Da budem iskren, malo sam se umorio, jer je materijal bio dosadan. Nije bilo pedagoški reći na početku članka, ali sada je već moguće =) Zaista, problemi računske matematike obično nisu baš teški, nisu baš zanimljivi, možda je najvažnije ne napraviti greška u uobičajenim proračunima.

Neka se ključevi vašeg kalkulatora ne izbrišu!

Rješenja i odgovori:

Primjer 2: Rješenje: Koristimo formulu:
U ovom slučaju: , ,

Na ovaj način:
odgovor:

Primjer 4: Rješenje: Koristimo formulu:
U ovom slučaju: , ,

Diferencijal funkcioniše u jednom trenutku naziva se glavnim, linearnim u odnosu na inkrement argumenta
dio inkrementa funkcije
, jednako umnošku derivacije funkcije u tački za povećanje nezavisne varijable:

Otuda i prirast funkcije
različit od svog diferencijala
na beskonačno malu vrijednost i za dovoljno male vrijednosti, možemo pretpostaviti
ili

Gornja formula se koristi u približnim proračunima, i to manje
, to je tačnija formula.

Primjer 3.1. Izračunajte približno

Rješenje. Razmotrite funkciju
. to funkcija snage i njen derivat

As morate uzeti broj koji zadovoljava uslove:

Značenje
poznato ili prilično lako izračunati;

Broj treba da bude što bliže 33,2.

U našem slučaju, ovi zahtjevi su zadovoljeni brojem = 32, za šta
= 2,
= 33,2 -32 = 1,2.

Primjenom formule nalazimo traženi broj:

+
.

Primjer 3.2. Pronađite vrijeme za udvostručenje depozita u banci ako je kamatna stopa banke 5% godišnje.

Rješenje. Tokom godine doprinos se povećava za
puta, ali za godine doprinos će se povećati u
jednom. Sada treba da rešimo jednačinu:
=2. Uzimajući logaritam, dobijamo gde
. Dobijamo približnu formulu za izračun
. Pretpostavljam
, nađi
i u skladu sa okvirnom formulom. U našem slučaju
i
. Odavde. Jer
, nalazimo vrijeme udvostručenja doprinosa
godine.

Pitanja za samoispitivanje

1. Definirajte diferencijal funkcije u tački.

2. Zašto je formula koja se koristi za proračune približna?

3. Koje uslove broj mora da zadovolji uključeno u gornju formulu?

Zadaci za samostalan rad

Izračunajte približnu vrijednost
, zamjenjujući na mjestu
povećanje funkcije
njegov diferencijal.

Tabela 3.1

Broj varijante

4 .Istraživanje funkcija i konstrukcija njihovih grafova

Ako je funkcija jedne varijable data kao formula
, onda je domen njegove definicije takav skup vrijednosti argumenta , na kojem su definirane vrijednosti funkcije.

Primjer 4.1. Vrijednost funkcije
definirane su samo za nenegativne vrijednosti radikalnog izraza:
. Dakle, domen definicije funkcije je poluinterval, budući da je vrijednost trigonometrijske funkcije
zadovoljiti nejednakost: -1
1.

Funkcija
pozvao čak, ako za bilo koje vrijednosti iz domena njegove definicije, jednakosti

i čudno, ako je druga relacija tačna:
. U drugim slučajevima, funkcija se poziva funkcija opšti pogled.

Primjer 4.4. Neka
. Provjerimo: . Dakle, ova funkcija je parna.

Za funkciju
u pravu. Stoga je ova funkcija čudna.

Zbroj prethodnih funkcija
je opća funkcija, budući da funkcija nije jednaka
i
.

Asimptota graf funkcije
naziva se prava koja ima svojstvo da je udaljenost od tačke ( ;
) ravni na ovu pravu liniju teži nuli na neograničenoj udaljenosti od tačke grafika od početka. Postoje vertikalne (slika 4.1), horizontalne (slika 4.2) i kose (sl. 4.3) asimptote.

Rice. 4.1. Raspored

Rice. 4.2. Raspored

Rice. 4.3. Raspored

Vertikalne asimptote funkcije treba tražiti ili u točkama diskontinuiteta druge vrste (barem jedna od jednostranih granica funkcije u točki je beskonačna ili ne postoji), ili na krajevima njene domene definicije
, ako
su konačni brojevi.

Ako je funkcija
je definirana na cijeloj brojevnoj pravoj i postoji konačna granica
, ili
, zatim ravna linija zadana jednadžbom
, je desna horizontalna asimptota i prava linija
je lijeva horizontalna asimptota.

Ako postoje granice

i
,

zatim pravo
je kosa asimptota grafa funkcije. Kosa asimptota takođe može biti desnoruka (
) ili ljevoruki (
).

Funkcija
naziva se povećanjem na setu
, ako postoji
, takav da >, vrijedi sljedeća nejednakost:
>
(smanjenje ako u isto vrijeme:
<
). Mnogo
u ovom slučaju se naziva interval monotonosti funkcije.

Sljedeći dovoljan uslov za monotonost funkcije je tačan: ako je derivacija diferencijabilne funkcije unutar skupa
je pozitivna (negativna), onda se funkcija povećava (opada) na ovom skupu.

Primjer 4.5. Zadata funkcija
. Pronađite njegove intervale povećanja i smanjenja.

Rješenje. Nađimo njen derivat
. Očigledno je da >0 at >3 i <0 при<3. Отсюда функция убывает на интервале (
;3) i povećava se za (3;
).

Dot zove tačka lokalni maksimum (minimum) funkcije
, ako je u nekom susjedstvu točke nejednakost
(
) . Vrijednost funkcije u tački pozvao maksimum (minimum). Maksimum i minimum funkcije su kombinovani zajedničkim imenom ekstrem funkcije.

Da bi funkcija
imao ekstremum u tački potrebno je da njegov izvod u ovoj tački bude jednak nuli (
) ili nije postojao.

Pozivaju se tačke u kojima je derivacija funkcije nula stacionarno funkcionalne tačke. U stacionarnoj tački ne bi trebalo nužno postojati ekstremum funkcije. Za pronalaženje ekstrema potrebno je dodatno istražiti stacionarne tačke funkcije, na primjer, korištenjem dovoljnih ekstremnih uvjeta.

Prvi od njih je da ako, prilikom prolaska kroz stacionarnu tačku s lijeva na desno, derivacija diferencijabilne funkcije mijenja predznak iz plusa u minus, tada se u tački postiže lokalni maksimum. Ako se predznak promijeni iz minusa u plus, onda je to minimalna točka funkcije.

Ako se predznak derivacije ne promijeni pri prolasku kroz tačku koja se proučava, tada u ovoj tački nema ekstrema.

Drugi dovoljan uslov za ekstremum funkcije u stacionarnoj tački koristi drugi izvod funkcije: ako
<0, тоje maksimalna tačka, i ako
>0, onda - minimalni bod. At
=0 pitanje o vrsti ekstremuma ostaje otvoreno.

Funkcija
pozvao konveksno (konkavno)) na setu
, ako za bilo koje dvije vrijednosti
vrijedi sljedeća nejednakost:

Sl.4.4. Graf konveksne funkcije

Ako je drugi izvod dvostruko diferencibilne funkcije
pozitivno (negativno) unutar skupa
, tada je funkcija konkavna (konveksna) na skupu
.

Prevojna tačka grafa neprekidne funkcije
naziva se tačka koja razdvaja intervale u kojima je funkcija konveksna i konkavna.

Drugi derivat
dvostruko diferencibilna funkcija u točki pregiba jednako nuli, tj
= 0.

Ako je drugi izvod pri prolasku kroz neku tačku onda menja svoj predznak je prevojna tačka njegovog grafa.

Prilikom proučavanja funkcije i crtanja njenog grafa, preporučuje se korištenje sljedeće šeme:

Približna vrijednost prirasta funkcije

Za dovoljno male inkremente funkcije je približno jednaka njenom diferencijalu, tj. Dy » dy i, prema tome,

Primjer 2 Pronađite približnu vrijednost prirasta funkcije y= kada se argument x promijeni iz vrijednosti x 0 =3 na x 1 =3,01.

Rješenje. Koristimo formulu (2.3). Da bismo to učinili, izračunavamo

X 1 - x 0 = 3,01 - 3 = 0,01, zatim

Uradi » .

Približna vrijednost funkcije u točki

U skladu sa definicijom prirasta funkcije y = f(x) u tački x 0, kada se poveća argument Dx (Dx®0), Dy = f(x 0 + Dx) - f(x 0) a formula (3.3) se može napisati

f(x 0 + Dx) » f(x 0) + . (3.4)

Posebni slučajevi formule (3.4) su izrazi:

(1 + Dx) n » 1 + nDx (3.4a)

ln(1 + Dx) » Dx (3.4b)

sinDx » Dx (3.4v)

tgDx » Dx (3,4g)

Ovdje se, kao i ranije, pretpostavlja da je Dx®0.

Primjer 3 Pronađite približnu vrijednost funkcije f (x) = (3x -5) 5 u tački x 1 = 2,02.

Rješenje. Za proračune koristimo formulu (3.4). Predstavimo x 1 kao x 1 = x 0 + Dx. Tada je x 0 = 2, Dx = 0,02.

f(2,02)=f(2 + 0,02) » f(2) +

f(2) = (3 × 2 - 5) 5 = 1

15 × (3 × 2 - 5) 4 = 15

f(2,02) = (3 × 2,02 - 5) 5 » 1 + 15 × 0,02 = 1,3

Primjer 4 Izračunaj (1.01) 5 , , ln(1.02), ln .

Rješenje

1. Koristimo formulu (3.4a). Da bismo to učinili, predstavljamo (1.01) 5 kao (1+0.01) 5 .

Tada, uz pretpostavku Dx = 0,01, n = 5, dobijamo

(1,01) 5 = (1 + 0,01) 5 » 1 + 5 × 0,01 = 1,05.

2. Predstavljajući u obliku (1 - 0,006) 1/6, prema (3.4a) dobijamo

(1 - 0,006) 1/6 "1 + .

3. Uzimajući u obzir da je ln(1.02) = ln(1 + 0.02) i uz pretpostavku Dx=0.02, po formuli (3.4b) dobijamo

ln(1,02) = ln(1 + 0,02) » 0,02.

4. Slično

ln = ln(1 - 0,05) 1/5 = .

Pronađite približne inkremente funkcija

155. y = 2x 3 + 5 kada se argument x promijeni sa x 0 = 2 na x 1 = 2,001

156. y = 3x 2 + 5x + 1 za x 0 = 3 i Dx = 0,001

157. y = x 3 + x - 1 sa x 0 = 2 i Dx = 0,01

158. y = ln x pri x 0 = 10 i Dx = 0,01

159. y = x 2 - 2x sa x 0 = 3 i Dx = 0,01

Pronađite približne vrijednosti funkcija

160. y = 2x 2 - x + 1 na x 1 = 2,01

161. y = x 2 + 3x + 1 kod x 1 = 3,02

162.y= u tački x 1 = 1.1

163. y = u tački x 1 = 3,032

164. y = u tački x 1 = 3,97

165. y = sin 2x na x 1 = 0,015

Izračunajte približno

166. (1,025) 10 167. (9,06) 2 168.(1,012) 3

169. (9,95) 3 170. (1,005) 10 171. (0,975) 4

172. 173. 174.

175. 176. 177.

178 ln(1.003×e) 179 ln(1.05) 5 180 ln

181.ln0.98 182.ln 183.ln(e 2 ×0.97)

Istraživanje funkcija i crtanje

Znakovi monotonosti funkcije

Teorema 1 (neophodan uslov za rastuće (opadajuće) funkcije) . Ako diferencijabilna funkcija y = f(x), xn(a; b) raste (opada) na intervalu (a; b), tada je za bilo koje x 0 n(a; b).

Teorema 2 (dovoljan uslov za rastuće (opadajuće) funkcije) . Ako funkcija y = f(x), xn(a; b) ima pozitivnu (negativnu) derivaciju u svakoj tački intervala (a; b), tada se ova funkcija povećava (smanjuje) na ovom intervalu.

Ekstremi funkcije

Definicija 1. Tačka x 0 naziva se maksimalna (minimalna) točka funkcije y = f (x) ako je za sve x iz nekog d-susjedstva točke x 0 nejednakost f (x)< f(x 0) (f(x) >f(x 0)) za x ¹ x 0 .

Teorema 3 (Farma) (neophodan uslov za postojanje ekstremuma) . Ako je tačka x 0 tačka ekstrema funkcije y = f(x) i u ovoj tački postoji izvod, tada

Teorema 4 (prvi dovoljan uslov za postojanje ekstremuma) . Neka je funkcija y = f(x) diferencijabilna u nekom d-susjedstvu tačke x 0 . onda:

1) ako derivacija prilikom prolaska kroz tačku x 0 promeni predznak sa (+) na (-), tada je x 0 maksimalna tačka;

2) ako derivacija prilikom prolaska kroz tačku x 0 promeni predznak sa (-) na (+), tada je x 0 tačka minimuma;

3) ako izvod ne promijeni predznak pri prolasku kroz tačku x 0, tada u tački x 0 funkcija nema ekstrem.

Definicija 2. Pozivaju se tačke u kojima derivacija funkcije nestaje ili ne postoji kritične tačke prve vrste.

koristeći prvi derivat

1. Naći domenu definicije D(f) funkcije y = f(x).

2. Izračunajte prvi izvod

3. Pronađite kritične tačke prve vrste.

4. Postavite kritične tačke u domenu D(f) funkcije y = f(x) i odredite predznak izvoda u intervalima na koje kritične tačke dele domen funkcije.

5. Odaberite maksimalnu i minimalnu tačku funkcije i izračunajte vrijednosti funkcije u tim tačkama.

Primjer 1 Istražite funkciju y \u003d x 3 - 3x 2 za ekstrem.

Rješenje. U skladu sa algoritmom za pronalaženje ekstrema funkcije koristeći prvi izvod imamo:

1. D(f): xn(-¥; ¥).

2. .

3. 3x 2 - 6x = 0 z x = 0, x = 2 su kritične tačke prve vrste.

Derivat pri prolasku kroz tačku x = 0

mijenja predznak iz (+) u (-), pa je to tačka

Maksimum. Prilikom prolaska kroz tačku x \u003d 2, mijenja predznak iz (-) u (+), stoga je ovo minimalna tačka.

5. ymax = f(0) = 0 3 × 3 × 0 2 = 0.

Maksimalne koordinate (0; 0).

y min \u003d f (2) = 2 3 - 3 × 2 2 = -4.

Minimalne koordinate (2; -4).

Teorema 5 (drugi dovoljan uslov za postojanje ekstremuma) . Ako je funkcija y = f(x) definirana i dvostruko diferencibilna u nekom susjedstvu točke x 0 , i , tada u točki x 0 funkcija f(x) ima maksimum ako i minimum ako .

Algoritam za pronalaženje ekstrema funkcije

koristeći drugi izvod

1. Naći domenu definicije D(f) funkcije y = f(x).

2. Izračunajte prvi izvod

208. f(x) = 209. f(x) =

210. f(x) = x (log x - 2) 211. f(x) = x log 2 x + x + 4

23. Koncept diferencijala funkcije. Svojstva. Primjena diferencijala u aproksimacijith kalkulacije.

Koncept diferencijala funkcija

Neka funkcija y=ƒ(x) ima derivaciju različitu od nule u tački x.

Tada, prema teoremi o povezanosti funkcije, njene granice i beskonačno male funkcije, možemo napisati ∆h+α ∆h.

Dakle, prirast funkcije ∆u je zbir dva člana ƒ "(h) ∆h i a ∆h, koji su beskonačno mali na ∆x→0. U ovom slučaju, prvi član je beskonačno mala funkcija od isti red sa ∆h, pošto a drugi član je beskonačno mala funkcija višeg reda od ∆x:

Stoga se prvi član ƒ "(x) ∆x naziva glavni dio prirasta funkcije ∆u.

diferencijalna funkcija y \u003d ƒ (x) u tački x naziva se glavni dio njegovog prirasta, jednak umnošku derivacije funkcije i prirasta argumenta, i označava se du (ili dƒ (x)):

dy=ƒ"(h) ∆h. (1)

Diferencijal du se također naziva diferencijal prvog reda. Nađimo diferencijal nezavisne varijable x, odnosno diferencijal funkcije y=x.

Pošto je y"=x"=1, onda prema formuli (1) imamo dy=dx=∆x, tj. diferencijal nezavisne varijable jednak je prirastu ove varijable: dx=∆x.

Stoga se formula (1) može napisati na sljedeći način:

dy \u003d ƒ "(x) dx, (2)

drugim riječima, diferencijal funkcije jednak je proizvodu derivacije ove funkcije i diferencijala nezavisne varijable.

Iz formule (2) slijedi jednakost dy / dx \u003d ƒ "(x). Sada je oznaka

derivacija dy/dx se može posmatrati kao omjer diferencijala dy i dx.

Diferencijalima sljedeća glavna svojstva.

1. d(With)=0.

2. d(u+w-v)=du+dw-dv.

3. d(uv)=du v+u dv.

d(Withu)=Withd(u).

4. .

5. y= f(z), , ,

Oblik diferencijala je nepromjenjiv (invarijantan): uvijek je jednak proizvodu derivacije funkcije i diferencijala argumenta, bez obzira da li je argument jednostavan ili složen.

Primjena diferencijala na približne proračune

Kao što je već poznato, prirast ∆u funkcije y=ƒ(h) u tački x može se predstaviti kao ∆u=ƒ"(h) ∆h+α ∆h, gdje je α→0 kao ∆h→0, ili dy+α ∆x Odbacivanjem infinitezimalnog α ∆x višeg reda od ∆x, dobijamo približnu jednakost

∆y≈dy, (3)

štaviše, ova jednakost je točnija što je ∆x manji.

Ova jednakost nam omogućava da izračunamo približno prirast bilo koje diferencijabilne funkcije sa velikom preciznošću.

Diferencijal se obično nalazi mnogo lakše od priraštaja funkcije, pa se formula (3) široko koristi u računskoj praksi.

24. Antiderivativna funkcija i neodređenoth integral.

POJAM DERIVATNE FUNKCIJE I NEODREĐENOG INTEGRALA

Funkcija F (X) se zove antiderivativna funkcija za ovu funkciju f (X) (ili, ukratko, primitivno ovu funkciju f (X)) na datom intervalu, ako je na ovom intervalu . Primjer. Funkcija je antiderivat funkcije na cijeloj brojevnoj osi, budući da je za bilo koju X. Imajte na umu da je zajedno sa antiderivativnom funkcijom za bilo koja funkcija oblika , gdje OD- proizvoljan broj konstante (ovo proizilazi iz činjenice da je derivacija konstante jednaka nuli). Ovo svojstvo vrijedi iu općem slučaju.

Teorema 1. Ako i su dva antiderivata za funkciju f (X) u nekom intervalu, tada je razlika između njih u ovom intervalu jednaka konstantnom broju. Iz ove teoreme slijedi da ako je poznat neki antiderivat F (X) ove funkcije f (X), zatim cijeli skup antiderivata za f (X) iscrpljuje se funkcijama F (X) + OD. Izraz F (X) + OD, gdje F (X) je antiderivat funkcije f (X) i OD je proizvoljna konstanta, tzv neodređeni integral od funkcije f (X) i označava se simbolom , i f (X) se zove integrand ; - integrand , X - integracijska varijabla ; ∫ - neodređeni integralni znak . Dakle, po definiciji ako . postavlja se pitanje: za bilo koji funkcije f (X) postoji antiderivat, a time i neodređeni integral? Teorema 2. Ako je funkcija f (X) kontinuirano na [ a ; b], zatim na ovom segmentu za funkciju f (X) postoji primitivac . U nastavku ćemo govoriti o antiderivama samo za kontinuirane funkcije. Prema tome, integrali razmatrani u nastavku u ovom odeljku postoje.

25. Svojstva neodređenogiintegral. Integrals iz osnovnih elementarnih funkcija.

Svojstva neodređenog integrala

U formulama ispod f i g- varijabilne funkcije x, F- antiderivat funkcije f, a, k, C su konstantne vrijednosti.



Integrali elementarnih funkcija

Lista integrala racionalnih funkcija

(antiderivat nule je konstanta; u bilo kojem rasponu integracije, integral nule je jednak nuli)

Lista integrala logaritamskih funkcija

Lista integrala eksponencijalnih funkcija

Lista integrala iracionalnih funkcija

("dugi logaritam")

lista integrala trigonometrijskih funkcija , lista integrala inverznih trigonometrijskih funkcija

26. Metoda zamjenas varijabla, metoda integracije po dijelovima u neodređenom integralu.

Metoda zamjene varijable (metoda zamjene)

Metoda supstitucijske integracije sastoji se od uvođenja nove integracione varijable (odnosno supstitucije). U ovom slučaju, dati integral se svodi na novi integral, koji je tabelarni ili svodiv na njega. Ne postoje općenite metode za odabir zamjena. Sposobnost pravilnog određivanja zamjene stiče se praksom.

Neka je potrebno izračunati integral. Napravimo zamjenu gdje je funkcija koja ima kontinuirani izvod.

Onda i na osnovu svojstva invarijantnosti formule za integraciju neodređenog integrala dobijamo formula za integraciju zamjene: