Poglavlje 6. Ekonometrija vremenskih serija

6.1. Modeli stacionarnih i nestacionarnih vremenskih serija, njihova identifikacija

Razmotrimo vremensku seriju X(t). Neka vremenska serija prvo uzme numeričke vrijednosti. To može biti, na primjer, cijena vekne hleba u obližnjoj prodavnici ili kurs dolara za rublju u najbližoj menjačnici. Obično se identifikuju dva glavna trenda u ponašanju vremenske serije – trend i periodične fluktuacije.

U ovom slučaju, trend se podrazumijeva kao ovisnost o vremenu linearnog, kvadratnog ili drugog tipa, koja se otkriva jednom ili drugom metodom izglađivanja (na primjer, eksponencijalno izglađivanje) ili proračunom, posebno metodom najmanjih kvadrata. . Drugim riječima, trend je glavni trend vremenske serije, očišćen od slučajnosti.

Vremenske serije obično osciliraju oko trenda, pri čemu su odstupanja od trenda često tačna. Često je to zbog prirodne ili određene učestalosti, kao što je sezonska ili sedmična, mjesečna ili tromjesečna (na primjer, prema platnom spisku i rasporedu plaćanja poreza). Ponekad su prisutnost periodičnosti, a još više njeni uzroci, nejasni, a zadatak ekonometričara je da otkrije postoji li periodičnost zaista.

Elementarne metode za procjenu karakteristika vremenskih serija obično se dovoljno detaljno razmatraju u predmetima "Opšte teorije statistike" (vidi, na primjer, udžbenike), pa ih ovdje nema potrebe detaljno analizirati. (Međutim, u nastavku će biti riječi o nekim modernim metodama za procjenu dužine perioda i same periodične komponente.)

Karakteristike vremenske serije. Za detaljnije proučavanje vremenskih serija koriste se vjerovatno-statistički modeli. Istovremeno, vremenska serija X(t) smatra se slučajnim procesom (sa diskretnim vremenom) glavne karakteristike su matematičko očekivanje X(t), tj.

disperzija X(t), tj.

i autokorelacione funkcije vremenske serije X(t)

one. funkcija dvije varijable, jednak koeficijentu korelacije između vrijednosti dvije vremenske serije X(t) i X(s).

U teorijskim i primijenjenim istraživanjima razmatra se širok raspon modela vremenskih serija. Prvo odaberite stacionarno modeli. Imaju zajedničke funkcije distribucije za bilo koji broj vremenskih tačaka k, a samim tim i sve karakteristike gore navedenih vremenskih serija ne mijenjaju se tokom vremena. Konkretno, srednja vrijednost i varijansa su konstante, funkcija autokorelacije ovisi samo o razlici t-s. Vremenske serije koje nisu stacionarne se nazivaju nestacionarni.

Modeli linearne regresije sa homoskedastičnim i heteroskedastičnim, nezavisnim i autokoreliranim rezidualima. Kao što se vidi iz navedenog, glavna stvar je "čišćenje" vremenske serije od slučajnih odstupanja, tj. evaluacija matematičko očekivanje. Za razliku od jednostavnijih regresijskih modela o kojima se govori u poglavlju 5, složeniji modeli se prirodno pojavljuju. Na primjer, varijansa može ovisiti o vremenu. Takvi modeli se nazivaju heteroskedastičnim, a oni u kojima nema vremenske zavisnosti nazivaju se homoskedastičnim. (Tačnije, ovi termini se mogu odnositi ne samo na varijablu "vrijeme" već i na druge varijable.)

Nadalje, u poglavlju 5, pretpostavljeno je da su greške nezavisne jedna od druge. U smislu ovog poglavlja, to bi značilo da bi funkcija autokorelacije trebala biti degenerirana - jednaka 1 ako su argumenti jednaki i 0 ako nisu. Jasno je da to nije uvijek slučaj za serije u realnom vremenu. Ako je prirodan tok promjena u posmatranom procesu dovoljno brz u odnosu na interval između uzastopnih opažanja, onda možemo očekivati „bledenje“ autokorelacije i dobijanje gotovo nezavisnih reziduala, inače će reziduali biti autokorelirani.

Identifikacija modela. Identifikacija modela se obično shvata kao otkrivanje njihove strukture i procena parametara. Budući da je i struktura parametar, iako nenumerički (vidi poglavlje 8), govorimo o jednom od tipičnih zadataka ekonometrije – estimaciji parametara.

Problem procjene se najlakše rješava za linearne (u smislu parametara) modele sa homoskedastičkim nezavisnim rezidualima. Obnavljanje zavisnosti u vremenskim serijama može se izvršiti na osnovu metoda najmanjih kvadrata i najmanjih modula o kojima se govori u poglavlju 5 linearnih (po parametrima) regresijskih modela. Rezultati povezani sa procjenom potrebnog skupa regresora mogu se prenijeti na slučaj vremenskih serija, a posebno je lako dobiti graničnu geometrijsku raspodjelu procjene stepena trigonometrijskog polinoma.

Međutim, tako jednostavan prijenos ne može se izvršiti na općenitiju situaciju. Tako, na primjer, u slučaju vremenske serije sa heteroskedastičnim i autokoreliranim rezidualima, opet možete koristiti opći pristup metode najmanjih kvadrata, ali će sistem jednadžbi metode najmanjih kvadrata i, naravno, njegovo rješenje biti drugačiji . Formule u smislu matrične algebre spomenute u poglavlju 5 bit će različite. Stoga se dotična metoda naziva " generalizovani najmanji kvadrati(OMNK)" (vidi, na primjer,).

Komentar. Kao što je napomenuto u poglavlju 5, najjednostavniji model metode najmanjih kvadrata omogućava veoma daleke generalizacije, posebno u oblasti sistema simultanih ekonometrijskih jednačina za vremenske serije. Za razumijevanje relevantne teorije i algoritama potrebno je stručno poznavanje matrične algebre. Stoga one koji se zanimaju upućujemo na literaturu o sistemima ekonometrijskih jednačina i direktno o vremenskim serijama, za koje postoji veliko interesovanje za teoriju spektra, tj. odvajanje signala od šuma i njegovo razlaganje u harmonike. Još jednom to naglašavamo iza svakog poglavlja ova knjiga postoji veliko područje znanstvenih i primijenjenih istraživanja, koje je sasvim vrijedno da mu se posveti mnogo truda. Međutim, zbog ograničenog obima knjige, primorani smo da prezentaciju učinimo sažetim.

Prethodno

UVOD

Postojeći modeli vremenskih serija se široko koriste u procesu proučavanja dinamike realnih pojava različite prirode. Često se koriste u studijama dinamike tokova tereta i putnika, robnih i magacinskih zaliha, migracijskih procesa, analiza hemijski procesi, modeliranje raznih prirodnih događaja. U analizi se najaktivnije koriste modeli vremenskih serija finansijska tržišta, pri procjeni promjena finansijskih pokazatelja, prognoziranju cijena za razne robe, cijena dionica, kursnih odnosa itd.

Širok raspon stvarnih društvenih i prirodnih procesa obično se može predstaviti skupom uzastopnih vrijednosti procijenjenog indikatora y 1 , y 2 ,..., y t ,..., y T, koje su fiksne u određenim vremenima t=1,2,.. .T, pa je interval (t, t+1) konstantan. Navedeni skup vrijednosti za t , t=1,2,... obično se naziva vremenska serija (vremenska serija). Takav niz je diskretni vremenski proces.

Promjene vrijednosti y t tokom vremena u pravi zivot obično nastaju pod uticajem bilo kojih uzroka, faktora. Međutim, njihova raznolikost, složenost mjerenja, nesigurnost u pretpostavkama o postojanju odnosa sa varijablom y uvelike otežava opravdavanje i konstrukciju „pogodnog“ za opisivanje procesa y t , t=1,2, ... multifaktorski ekonometrijski model klasičnog tipa. Stoga se često pretpostavlja da kombinovani uticaj ovih faktora formira unutrašnje obrasce u odnosu na proces y t .

Ova pretpostavka ima za cilj korištenje ekonometrijskih modela iz određene klase modela vremenskih serija za opisivanje procesa u realnom vremenu.

MODELI STACIONARNIH VREMENSKIH SERIJA

Karakteristike stacionarnih vremenskih serija i testovi stacionarnosti

Svi modeli vremenskih serija imaju zajedničku osobinu, koja se zasniva na pretpostavci o značajnoj zavisnosti trenutne vrednosti nivoa indikatora yt od njegove istorije. Drugim riječima, nivo indikatora y t generiran je vrijednostima y t-1 , y t-2 ,... na osnovu pravilnosti karakterističnih za ovu vremensku seriju.

Ova pretpostavka je izražena opštom jednačinom:

y t = f(y t-1 , y t-2 , …) + t (1.1)

gdje je t greška modela u trenutku t.

Ovdje funkcija f odražava prirodu odnosa koji postoje u razmatranim vremenskim serijama y t , t=1,2,... Uspješan odabir funkcije f uzrokuje visok stepen aproksimacije desnog “determinističkog” dijela izraz (1.1) na realne vrijednosti serije. Stepen ove aproksimacije obično se karakteriše procjenama i svojstvima greške serije t, t=1,2,... u ovom slučaju prije svega mislimo na minimalnu varijansu, korespondenciju bijelom šumu itd.

Za širok raspon procesa, funkcija f ima linearni pogled. Na primjer,

y t = a 1 y t-1 + a n y t-n + t .

Za opisivanje stacionarnih procesa po pravilu se koriste linearni modeli vremenskih serija, dok se misli na stacionarne procese drugog reda. Za stacionarni proces n-tog reda, vrijednosti svih njegovih momenata reda n i niže na svim vremenskim intervalima uključenim u interval t=1,2,...,T su konstantne. Strogo stacionarne procese odlikuje činjenica da su njihovi momenti svih redova konstantni. Iz navedenog slijedi da za bilo koja dva vremenska intervala (T 1 , T 2) i (T 3 , T 4) za stacionarni proces drugog reda na t moraju biti ispunjeni sljedeći uvjeti:

jednakost matematičkih očekivanja;

Jednakost varijansi;

Jednakost koeficijenata autokorelacije jednog reda.

Matematički, ovi uslovi se izražavaju relacijama:

gdje - procjene matematičkih očekivanja;

D 1 (y), D 2 (y) - procjene varijansi;

Procjene koeficijenata autokorelacije i-tog reda procesa y t na 1. odnosno 2. intervalu;

Prosječna vrijednost procesa (procjena matematičkog očekivanja) na intervalu (1,T);

D(y) - procjena disperzije procesa na intervalu (1,T).

U stvarnom proučavanju stacionarnih vremenskih serija, jednakosti (1.2)-(1.4) se razmatraju u statističkom smislu. To daje osnovu za tvrdnju da se čak i uz nepotpunu korespondenciju hipoteza o postojanosti matematičkog očekivanja procesa yt može prihvatiti ako su vrijednosti i određeni statistički kriterij zadovoljeni.

Koriste se različiti testovi da se potvrdi da je vremenska serija y t, t=1,2,... konzistentna sa stacionarnim procesom i da su uslovi (1.2)-(1.4) zadovoljeni. Ako rezultati jednog od njih ne omogućavaju da se potvrdi istinitost ili netačnost postavljene hipoteze, tada će možda biti potrebno koristiti nekoliko testova za testiranje istog stanja.

Cijeli skup testova za stacionarnost vremenskih serija može se podijeliti u tri glavne grupe: neparametarski, poluparametarski i parametarski testovi.

Neparametarski testovi ne daju nikakve informacije o zakonu distribucije testirane vremenske serije, njenim parametrima. Oni se temelje na proučavanju odnosa između niza vrijednosti koje ga formiraju, omogućuju vam da identificirate prisutnost ili odsutnost obrazaca u trajanju i (ili) izmjenjivanju njihovih serija, formiranih, na primjer, nizovima populacijskih jedinica sa isti znakovi, promjena znakova za ove jedinice itd.

Semiparametrijski testovi koriste relativno slabe pretpostavke o prirodi distribucije vrijednosti vremenskih serija. Oni odražavaju opšta svojstva funkcije raspodjele prirasta vrijednosti serije - simetrija, lokacija kvantila.

Kada se koriste metode ove grupe, procjene parametara distribucije se procjenjuju statistikom reda: srednja vrijednost preko medijane, standardna devijacija - preko raspona nivoa serije itd.

Parametarski testovi se koriste pod relativno strogim pretpostavkama o zakonu distribucije vremenske serije i njenih parametara. Ovi testovi omogućavaju procjenu stepena aproksimacije empirijskih (opaženih) karakteristika distribucije vremenske serije na izračunate teorijske nivoe.

Upravo ovaj stepen aproksimacije omogućava da se prihvati ili odbije hipoteza da svojstva serije koji se razmatraju odgovaraju stacionarnom procesu.

Uvod…………………………………………………………………….2

1. Glavni zadaci analize vremenskih serija…………….4

2. Analiza vremenskih serija…………………………………….9

2.3 Stacionarni modeli vremenskih serija i njihova identifikacija…13

2.3.2. Modeli poretka pokretnog prosjeka q (MA(q)-modeli)….17

Zaključak……………………………………………………………………21

Literatura……………………………………………………………………..23

Uvod

AT poslednjih godina u ekonometrijskoj literaturi se velika pažnja posvećuje proučavanju serije dinamike vremenskih indikatora. Različiti sadržajni zadaci ekonomske analize zahtijevaju korištenje statističkih podataka koji karakteriziraju proučavane ekonomske procese i raspoređene u vremenu u obliku vremenskih serija. Istovremeno, iste vremenske serije se često koriste za rješavanje različitih suštinskih problema.

Nisu uvijek vrijednosti vremenske serije formirane samo pod utjecajem bilo kojeg faktora. Često se dešava da je razvoj određenog procesa posljedica njegovih unutrašnjih zakonitosti, a odstupanja od determinističkog procesa uzrokovana su greškama mjerenja ili slučajnim fluktuacijama. Posebno su interesantni procesi koji su u "tranzicijskom" modu, tj. procesi koji su u suštini "stacionarni", ali pokazuju svojstva nestacionarnog vremenskog niza u vremenskom intervalu koji se proučava, što se objašnjava početnim uslovima daleko od stacionarnog režima. U situacijama kada se vremenska serija formira pod uticajem određenog skupa slučajnih i neslučajnih faktora, analiza pojedinačnih vremenskih serija, kako rezultatskih tako i faktorskih, je od velike važnosti. Ovo je neophodno za ispravnu identifikaciju modela koji se grade na osnovu informacija o procesima koji se proučavaju (vektorske autoregresije, modeli korekcije grešaka, dinamički modeli sa distribuiranim kašnjenjima, itd.).

Prilikom analize vremenskih serija, glavna pažnja se posvećuje proučavanju, opisu i/ili modeliranju njihove strukture. Svrha takvih studija je, po pravilu, šira od jednostavnog modeliranja proučavanja relevantnih procesa. Konstruisani model se obično koristi za ekstrapolaciju ili predviđanje vremenske serije, a tada kvalitet prognoze može poslužiti kao koristan kriterijum pri izboru između nekoliko alternativnih modela. Izrada dobrih serijskih modela neophodna je i za druge primjene kao što su sezonsko prilagođavanje i izglađivanje. Konačno, konstruisani modeli se mogu koristiti za statističko modeliranje dugih serija posmatranja u proučavanju velikih sistema, za koje se vremenske serije smatraju ulaznom informacijom.

Zbog prisustva grešaka u mjerenju ekonomskih pokazatelja, prisustva slučajnih fluktuacija svojstvenih posmatranim sistemima, vjerovatno-statistički pristup se široko koristi u proučavanju vremenskih serija. U okviru ovog pristupa posmatrana vremenska serija se shvata kao realizacija nekog slučajnog procesa. Istovremeno, implicitno se pretpostavlja da vremenska serija ima neku strukturu koja je razlikuje od niza nezavisnih slučajne varijable, tako da zapažanja nisu skup potpuno nezavisnih numeričkih vrijednosti. (Neki elementi strukture serije se ponekad mogu identifikovati već na osnovu jednostavne vizuelne analize grafa serije. Ovo se, na primer, odnosi na komponente serije kao što su trend i ciklusi.) Obično se pretpostavlja da struktura serije se mogu opisati modelom koji sadrži mali broj parametara u odnosu na broj posmatranja, što je praktično važno kada se model koristi za predviđanje. Primjeri takvih modela su modeli autoregresije, pokretnog prosjeka i njihove kombinacije - modeli AR(p), MA(q), ARMA(p, q), ARIMA(p, k, q).

Prilikom izgradnje modela odnosa na duži rok potrebno je uzeti u obzir činjenicu da analizirana makroekonomska serija ima ili nema stohastički (nedeterministički) trend. Drugim riječima, potrebno je odlučiti da li svaki od nizova koji se razmatra pripada klasi serija koji su stacionarni u odnosu na deterministički trend (ili jednostavno stacionarni) - TS (trend stacionarni) niz, ili klasi serija koji imaju stohastički trend (možda zajedno sa determinističkim trendom) i koji dovode do stacionarne (ili stacionarne u odnosu na deterministički trend) serije samo jednostrukom ili k-strukom diferencijacijom serije - DS (razlika stacionarna) serija. Osnovna razlika između ove dvije klase serija je u tome što u slučaju TS serije, oduzimanje odgovarajućeg determinističkog trenda iz serije dovodi do stacionarni red, dok u slučaju DS serije, oduzimanjem determinističke komponente serije serija ostaje nestacionarna zbog prisustva stohastičkog trenda u njoj.

Poglavlje 1. Glavni zadaci analize vremenskih serija.

Fundamentalne razlike između vremenske serije i niza opservacija koje formiraju slučajni uzorak su sljedeće:

prvo, za razliku od elemenata slučajnog uzorka, članovi vremenske serije nisu nezavisni;

drugo, članovi vremenske serije nisu nužno jednako raspoređeni, pa P(xt< x} P{xt < x} при t t.

To znači da se svojstva i pravila statističke analize slučajnog uzorka ne mogu proširiti na vremenske serije. S druge strane, međuzavisnost članova vremenske serije stvara svoju specifičnu osnovu za konstruisanje prediktivnih vrednosti analiziranog indikatora na osnovu posmatranih vrednosti.

Geneza opservacija koje formiraju vremensku seriju (mehanizam generisanja podataka). Radi se o o strukturi i klasifikaciji glavnih faktora pod čijim uticajem se formiraju vrednosti vremenske serije. U pravilu se razlikuju 4 vrste takvih faktora.

Dugoročno, formirajući opšti (dugoročni) trend u promeni analiziranog obeležja xt. Obično se ovaj trend opisuje upotrebom jedne ili druge neslučajne funkcije ftr(t) (čiji je argument vrijeme), obično monotone. Ova funkcija se zove funkcija trenda ili jednostavno trend.

Sezonsko, formiranje koje se periodično ponavlja određeno vrijeme godine fluktuacije analizirane osobine. Budući da ova funkcija (e) mora biti periodična (sa periodima koji su višestruki od "godišnjih doba"), njen analitički izraz uključuje harmonike ( trigonometrijske funkcije), čija je učestalost, po pravilu, određena sadržajnom suštinom zadatka.

Ciklične (oportunističke), koje formiraju promjene u analiziranoj osobini, uslijed djelovanja dugotrajnih ciklusa ekonomske ili demografske prirode (Kondratijevski valovi, demografske „jame“ itd.) Rezultat djelovanja cikličkih faktora će biti označen koristeći neslučajnu funkciju (t).

Nasumično (nepravilno), nije podložno računovodstvu i registraciji. Njihov uticaj na formiranje vrednosti vremenske serije upravo određuje stohastičku prirodu elemenata xt, a samim tim i potrebu da se x1,…, xT interpretira kao zapažanja na slučajnim varijablama 1,…, T. će označavati rezultat utjecaja slučajnih faktora korištenjem slučajnih veličina („reziduali“, „greške“) t.

Naravno, uopšte nije neophodno da faktori sva četiri tipa istovremeno učestvuju u procesu formiranja vrednosti bilo koje vremenske serije. Zaključci o tome da li su faktori ovog tipa uključeni u formiranje vrijednosti određene serije ili ne mogu se temeljiti kako na analizi sadržajne suštine problema, tako i na posebnoj statističkoj analizi vremenske serije koja se proučava. . Međutim, u svim slučajevima pretpostavlja se neizostavno učešće slučajnih faktora. Dakle, u opšti pogled model generisanja podataka (sa aditivnim blok dijagramom uticaja faktora) izgleda ovako:

xt = 1f(t) + 2(t) +3(t) + t. (jedan)

gdje je i = 1 ako su faktori i-tog tipa uključeni u formiranje vrijednosti serije i i = 0 u suprotnom.

Glavni zadaci analize vremenskih serija. Osnovni cilj statističke analize vremenske serije je da se prati postojeća putanja ove serije:

odrediti koje su od neslučajnih funkcija prisutne u ekspanziji (1), tj. odrediti vrijednosti indikatora i;

izgraditi "dobre" procjene za one neslučajne funkcije koje su prisutne u ekspanziji (1);

odabrati model koji adekvatno opisuje ponašanje slučajnih reziduala t i statistički procijeniti parametre ovog modela.

Uspješno rješavanje navedenih zadataka, zbog osnovnog cilja statističke analize vremenskih serija, predstavlja osnovu za postizanje konačnih ciljeva primijenjenog istraživanja i prije svega za rješavanje problema kratkoročnog i srednjoročnog predviđanja. vrijednosti vremenske serije. Predstavimo ukratko glavne elemente ekonometrijske analize vremenskih serija.

· Većina matematičko-statističkih metoda bavi se modelima u kojima se pretpostavlja da su posmatranja nezavisna i jednako raspoređena. Istovremeno, zavisnost između posmatranja najčešće se smatra preprekom efikasnoj primeni ovih metoda. Međutim, različiti podaci u ekonomiji, sociologiji, finansijama, trgovini i drugim oblastima ljudske aktivnosti dolaze u obliku vremenskih serija u kojima su opažanja međusobno zavisna, a priroda te zavisnosti je upravo glavni interes istraživača. Skup metoda i modela za proučavanje takvih serija zavisnih posmatranja naziva se analiza vremenskih serija. Osnovni cilj ekonometrijske analize vremenskih serija je da se izgrade, koliko je to moguće, jednostavniji i ekonomski parametrizovani modeli koji adekvatno opisuju dostupne serije posmatranja i čine osnovu za rešavanje, pre svega, sledećih zadataka:

(a) otkrivanje mehanizma geneze opservacija koje čine analizirano

(b) vremenske serije;

razvoj strategije upravljanja i optimizacije analiziranih procesa.

· Govoreći o genezi zapažanja koja formiraju vremensku seriju, treba imati u vidu (i, ako je moguće, opisati modelski) četiri vrste faktora pod čijim uticajem se ova zapažanja mogu formirati: dugoročna, sezonska , ciklički (ili konjunkturni) i slučajni. Istovremeno, faktori sva četiri tipa ne bi trebali nužno sudjelovati u procesu formiranja vrijednosti određene vremenske serije. Uspješno rješavanje problema identifikacije i modeliranja djelovanja ovih faktora je osnova, osnovno polazište za postizanje konačnih ciljeva primijenjenog istraživanja, od kojih su glavni navedeni u prethodnom pasusu.

· Kada se počne analizirati diskretni niz zapažanja raspoređenih hronološkim redom, prije svega treba provjeriti da li su u formiranju vrijednosti ove serije zaista sudjelovali neki faktori osim čisto slučajnih. Istovremeno, „čisto slučajni“ označavaju samo one slučajne faktore, pod čijim uticajem se generišu nizovi međusobno nekoreliranih i identično raspoređenih slučajnih varijabli koje imaju konstantne (vremenski nezavisne) proseke i varijanse.

Ako, kao rezultat provjere takvih statistička hipoteza Ispostavilo se da su dostupna zapažanja međusobno zavisna (i, moguće, neravnomjerno raspoređena), onda se prelazi na izbor odgovarajućeg modela za ovu seriju. Skup modela u okviru kojeg se ovaj odabir provodi obično je ograničen na sljedeće klase modela: (a) klasa stacionarnih vremenskih serija (koje se uglavnom koriste za opisivanje ponašanja "slučajnih reziduala"), (b) klasa nestacionarnih vremenskih serija, koje su zbir determinističkog trenda i stacionarne vremenske serije, (c) klasa nestacionarnih vremenskih serija koje imaju stohastički trend koji se može ukloniti sukcesivnom diferencijacijom serije (tj. prelazeći sa niza nivoa na niz razlika prvog ili višeg reda).

U sklopu ekonometrijske analize vremenskih serija makroekonomskih pokazatelja ruska ekonomija obavljeni u ovom radu, mi kombinujemo serije u klasama (a) i (b) u jednu klasu, koju, slijedeći nedavnu praksu (vidi, na primjer, Maddala, Kim (1998), nazivamo klasu TS-redovi ( trend stacionarne serije - redovi koji su stacionarni u odnosu na deterministički trend). Adekvatna metoda za stacionarne vremenske serije koje pripadaju klasi (b) je oduzimanje determinističkog trenda iz serije. Naprotiv, za serije koje pripadaju klasi (c), adekvatna metoda za stacionarne serije je prijelaz iz niza nivoa u niz razlika (prvog ili višeg reda).

· Stacionarne (u širem smislu) vremenske serije xt karakteriše činjenica da njihove prosečne vrednosti Ext, varijanse Dxt i kovarijanse () = E ne zavise od t za koji su izračunate. Međuzavisnosti koje postoje između članova stacionarne vremenske serije, po pravilu, mogu se adekvatno opisati u okviru p-reda autoregresivnih modela (AR(p)-modeli), q-reda pokretnih prosečnih modela (MA(q) -modeli), ili autoregresivni modeli pokretnog prosjeka u ostacima reda p i q (ARMA(p, q)-modeli) .

· Vremenska serija xt naziva se integrisana (integrisana) reda k ako uzastopne razlike kxt ovog niza reda k (ali ne manje od reda!) formiraju stacionarnu vremensku seriju. Ponašanje takvih serija, uključujući serije koje sadrže sezonsku komponentu, u primijenjenim ekonometričkim problemima prilično je uspješno opisano korištenjem modela autoregresije p, k, i q integriranog pokretnog prosjeka (ARIMA(p, k, q) modela) i nekih njihovih modifikacija . Ova klasa takođe uključuje najjednostavniji model stohastičkog trenda - proces slučajnog hoda (ARIMA(0, 1, 0)). Inkrementi slučajnog hoda formiraju niz nezavisnih, identično raspoređenih slučajnih varijabli (“bijeli šum”). Stoga se proces slučajnog hoda naziva i „integrirani bijeli šum“.

Trenutno, klasa integrisanih nizova reda k uključuje i nizove za koje je razlika reda k (ali ne manje!) proces koji je stacionaran u odnosu na deterministički trend. Ovo je definicija koja se koristi u našem radu. Štaviše, ako je sama vremenska serija stacionarna ili stacionarna u odnosu na deterministički trend (TS-serija), onda se definiše kao integrisana serija nultog reda.

U prisustvu sezonalnosti, ponekad je moguće dobiti stacionarnu seriju prelazeći na razlike ne susjednih vrijednosti serije, već vrijednosti razdvojenih odgovarajućim brojem vremenskih jedinica. Na primjer, s kvartalnim podacima, da bi se postigla stacionarnost, može biti dovoljno prijeći na niz razlika u serijskim vrijednostima razmaknutim za 4 jedinice vremena.

Podešavanje modela za određenu vremensku seriju (xt), t = 1, 2,…, T znači identifikovanje odgovarajuće parametarske porodice modela kao validnog skupa rešenja, a zatim statističku procenu parametara modela na osnovu dostupnih zapažanja x1, x2,…, xT. Cijeli ovaj proces naziva se proces identifikacije modela ili jednostavno identifikacija. Da bi se ispravno identificirao model vremenske serije, potrebno je odlučiti da li je vremenska serija koja se proučava stacionarna, stacionarna u odnosu na deterministički trend (tj. zbir determinističkih komponenti i stacionarne serije) ili sadrži stohastički trend. Glavni dio ovog rada posvećen je rješavanju ovog problema za niz ruskih makroekonomskih serija.

U situacijama kada su vremenske serije (xt) i (yt), t = 1, 2,…, T, početni podaci za građenje regresije y na x, i uticaj jednokratne promjene u jednoj od njih ( x) s druge strane (y) je rastegnut (distribuiran) u vremenu, takozvani modeli distribuiranog kašnjenja su od velikog primijenjenog interesa. U okviru ove posebne klase modela, posebno se vrši ekonometrijska analiza tako važnih ekonomskih pojava kao što su „proces parcijalnog prilagođavanja“, „modeli adaptivnih očekivanja“ itd.

Važnu ulogu u sistemima podrške ekonomskim odlukama igra predviđanje ekonomskih pokazatelja. Metode automatskog predviđanja zasnovane na analizi vremenskih serija ekstrapoliraju dostupne serije samo na osnovu informacija sadržanih u njima. Ovakva prognoza može biti efikasna samo kratkoročno i, najviše, srednjoročno. Ozbiljno rješenje problema dugoročnog predviđanja zahtijeva korištenje integriranih pristupa, a prije svega uključivanje različitih (uključujući i statističkih) tehnologija za prikupljanje i analizu stručnih procjena.

Efikasan pristup rješavanju kratkoročnih i srednjoročnih autoprognostičkih problema je predviđanje zasnovano na korištenju “ugrađenih” (identificiranih) modela tipa ARIMA(p, k, q), uključujući, kao posebne slučajeve, AR-, MA- i ARMA modeli.

U rješavanju primijenjenih problema kratkoročnih i srednjoročnih autoprognoza vrlo su rasprostranjene takozvane adaptivne metode, koje omogućavaju ažuriranje prethodno napravljenih prognoza sa minimalnim zakašnjenjem i korištenjem relativno jednostavnih matematičkih procedura kako novi podaci budu dostupni.

Poglavlje 2. Analiza vremenskih serija

2.1. Stacionarne vremenske serije i njihove glavne karakteristike

Potraga za modelom koji adekvatno opisuje ponašanje slučajnih reziduala t analizirane vremenske serije xt obično se provodi unutar klase stacionarnih vremenskih serija.

Definicija 2.1. Niz xt se naziva striktno stacionarnim (ili stacionarnim u užem smislu) ako je zajednička raspodjela vjerovatnoće m opservacija ista kao za m opservacija, za bilo koje i t1,…, tm.

Drugim riječima, svojstva striktno stacionarne vremenske serije se ne mijenjaju kada se promijeni početak vremena. Konkretno, za m = 1, iz pretpostavke stroge stacionarnosti vremenske serije xt slijedi da zakon raspodjele vjerovatnoće slučajne varijable xt ne zavisi od t, što znači da svi njeni glavni numeričke karakteristike, uključujući: srednju vrijednost Ext = i varijansu Dxt = 2.

Očigledno, vrijednost određuje konstantni nivo u odnosu na koji analizirana vremenska serija xt fluktuira, a konstantna vrijednost karakteriše raspon ovih fluktuacija. Pošto je zakon raspodjele vjerovatnoće slučajne varijable xt isti za sve t, onda se ona i njene glavne numeričke karakteristike mogu procijeniti iz zapažanja x1,…, xT. posebno:

procjena srednje vrijednosti, procjena varijanse.

Funkcija autokovarijance (). Vrijednosti autokovarijancijske funkcije su statistički procijenjene iz dostupnih zapažanja vremenske serije pomoću formule

gdje je = 1,… T 1, a izračunato po formuli (2.1).

Očigledno, vrijednost funkcije autokovarijance na = 0 nije ništa drugo do varijansa vremenske serije.

Autokorelacija funkcija r(). Jedna od glavnih razlika između niza posmatranja koji formiraju vremensku seriju i slučajnog uzorka je u tome što su članovi vremenske serije, općenito govoreći, statistički međuzavisni. Stepen nepropusnosti statistička povezanost između dvije slučajne varijable može se mjeriti koeficijentom parne korelacije. Budući da u našem slučaju koeficijent mjeri korelaciju koja postoji između članova iste vremenske serije, obično se naziva koeficijent autokorelacije. Kada se analizira promjena vrijednosti r() u zavisnosti od vrijednosti, uobičajeno je govoriti o autokorelacijskoj funkciji r(). Dijagram autokorelacijske funkcije ponekad se naziva korelogram. Funkcija autokorelacije (za razliku od autokovarijancijske funkcije) je bezdimenzionalna, tj. ne zavisi od merne skale analizirane vremenske serije. Njegove vrijednosti, po definiciji, mogu biti u rasponu od 1 do +1. Osim toga, iz stacionarnosti slijedi da je r() = r(), tako da se pri analizi ponašanja autokorelacijskih funkcija ograničavamo na razmatranje samo pozitivnih vrijednosti.

Postoje generalni karakteristike, koji razlikuju ponašanje autokorelacione funkcije stacionarne vremenske serije. Drugim riječima, može se opisati uopšteno govoreći shematski prikaz korelograma stacionarne vremenske serije. Ovo je zbog sljedećeg opšteg razmatranja: očigledno, što je više članova vremenske serije xt i xt+ vremenski odvojeno, to je slabiji odnos ovih članova i, shodno tome, apsolutna vrijednost r() bi trebala biti manja. Štoviše, u nekim slučajevima postoji takva vrijednost praga r0, počevši od koje će sve vrijednosti biti identično jednake nuli.

Privatna autokorelacija funkcija rpart(). Uz pomoć ove funkcije ostvaruje se ideja mjerenja autokorelacije koja postoji između odvojenih vremenskih taktova članova vremenske serije xt i xt+, pri čemu je eliminisan indirektan uticaj svih međučlanova ovog vremenskog niza na ovu međuzavisnost. Djelomična autokorelacija 1. reda može se izračunati korištenjem odnosa:

gdje je prosječna vrijednost analiziranog stacionarnog procesa.

Parcijalne autokorelacije višeg reda mogu se izračunati na sličan način pomoću elemenata opće korelacijske matrice R = ||rij||, u kojoj je rij = r(xi, xj) = r(|i j|), gdje je i, j = 1,… , T i r(0) = 1. Tako je, na primjer, parcijalna autokorelacija 2. reda određena formulom:

Empirijske (selektivne) verzije autokorelacijskih funkcija dobivaju se korištenjem istih relacija (2.4), (2.5) zamjenom teoretskih vrijednosti autokorelacije r() uključenih u njih njihovim statističke procjene.

Rezultirajuće parcijalne autokorelacije rpart(1), rpart(2),… mogu se iscrtati na graf u kojem vrijednost pomaka igra ulogu apscise. Poznavanje autokorelacionih funkcija r() i rpart() pruža značajnu pomoć u rešavanju problema izbora i identifikacije modela analizirane vremenske serije.

Upotreba svojstava ove funkcije u primijenjenoj analizi vremenskih serija definira se kao "spektralna analiza vremenskih serija". Prilično potpun opis ovog pristupa dat je, na primjer, u [Jenkins, Watts (1971, 1972)] i [Lloyd, Lederman (1990)]. Što se tiče statističke analize ekonomskih vremenskih serija, ovaj pristup nije dobio rasprostranjena, jer Empirijska analiza spektralne gustine zahteva kao svoju informacijsku osnovu ili dovoljno duge stacionarne vremenske serije ili nekoliko putanja analiziranih vremenskih serija (obe situacije su veoma retke u praksi statističke analize ekonomskih vremenskih serija).

Za smislenu analizu važno je da vrijednost spektralne gustine karakteriše jačinu veze koja postoji između vremenske serije xt i harmonika sa periodom 2/. Ovo omogućava da se spektar koristi kao sredstvo za hvatanje periodičnosti u analiziranoj vremenskoj seriji: skup vrhova spektra određuje skup harmonijskih komponenti u ekspanziji. Ako serija sadrži skriveni frekvencijski harmonik, onda sadrži i periodične članove sa frekvencijama /2, /3, itd. Ovo je takozvani "eho" koji se ponavlja u spektru na niskim frekvencijama. Efekat "eho" analiziran je u članku na primjeru serije mjesečnih bezgotovinskih plaćanja između američkih banaka za 1875-1958.

Moguće je donekle proširiti klasu modela stacionarnih vremenskih serija koji se koriste u analizi specifičnih serija ekonomske dinamike.

Definicija 2.2. Za niz se kaže da je slabo stacionaran (ili široko stacionaran) ako njegova srednja vrijednost, varijansa i kovarijansa ne zavise od t.

2.2. Neslučajna komponenta vremenske serije i metode za njeno izglađivanje.

Bitnu ulogu u rješavanju problema identifikacije i evaluacije trenda, sezonskih i cikličkih komponenti u ekspanziji (1.1.1) igra početna faza analize, u kojoj:

otkriva se sama činjenica prisustva/odsustva neslučajne (i vremenski zavisne) komponente u ekspanziji (1.1.1); U suštini, ovo je statistički test hipoteze.

H0: Ext = = const (2.6)

(uključujući tvrdnju o međusobnoj statističkoj nezavisnosti članova vremenske serije koja se proučava) sa različitim opcijama za konkretizaciju alternativnih hipoteza tipa

konstruiše se procjena (aproksimacija) za nepoznatu integralnu neslučajnu komponentu f(t) = 1ftr(t) + 2(t) +3(t), tj. riješen je problem izglađivanja (eliminacije slučajnih reziduala t) analizirane vremenske serije xt.

Metode za izdvajanje neslučajne komponente u putanji koja odražava ponašanje vremenske serije podijeljene su u dva tipa.

Metode prvog tipa (analitičke) zasnivaju se na pretpostavci da je poznat opći oblik neslučajne komponente u ekspanziji

f(t) = 1ftr(t) + 2(t) +3(t). (2.8)

Na primjer, ako je poznato da je opisana neslučajna komponenta vremenske serije linearna funkcija vrijeme f(t) = 0 + 1t, gdje su 0 i 1 neki nepoznati parametri modela, onda se problem njegovog odabira (problem eliminacije slučajnih reziduala ili problem izglađivanja vremenske serije) svodi na problem konstruisanje dobrih procjena za parametre modela.

Metode drugog tipa (algoritamske) nisu vezane restriktivnom pretpostavkom da je opšti analitički oblik željene funkcije (2.8) poznat istraživaču. U tom smislu, oni su fleksibilniji, privlačniji. Međutim, “na izlazu” problema, oni istraživaču nude samo algoritam za izračunavanje procjene za željenu funkciju f(t) u bilo kojoj unaprijed određenoj tački t i ne tvrde da imaju analitičku reprezentaciju funkcije.

Analitičke metode za odabir (procjenu) neslučajne komponente vremenske serije. Ove metode se implementiraju u okviru regresionih modela u kojima varijabla xt djeluje kao zavisna varijabla, a vrijeme t kao jedina varijabla koja objašnjava. Dakle, razmatramo regresijski model forme

xt = f(t,) + t, t = 1,…, T, u kojoj je poznat opći oblik funkcije f(t,), ali su vrijednosti parametara = (0, 1,…, m) su nepoznati. Procjene parametara su zasnovane na zapažanjima. Izbor metode procjene ovisi o hipotetičkom obliku funkcije f(t,) i stohastičkoj prirodi reziduala slučajne regresije t.

Algoritamske metode za odabir neslučajne komponente vremenske serije (metode pokretnog prosjeka). Ove metode za eliminaciju slučajnih fluktuacija u ponašanju analiziranih vremenskih serija zasnovane su na jednostavnoj ideji: ako se karakteriše „individualno“ širenje vrednosti člana vremenske serije xt oko njegove prosečne (izglađene) vrednosti a varijansom 2, tada će širenje prosjeka N članova vremenske serije (x1 + x2 +…+ xT) / N blizu iste vrijednosti a biti okarakterisano mnogo manjom vrijednošću disperzije, odnosno disperzijom jednakom 2 / N. A smanjenje mjere slučajnog širenja (varijanse) znači upravo izglađivanje odgovarajuće trajektorije. Stoga se bira neka neparna „dužina usrednjavanja“ N = 2m + 1, mjerena brojem uzastopnih članova analizirane vremenske serije. A onda se izglađena vrijednost vremenske serije xt izračunava iz vrijednosti xtm, xtm+1,…, xt, xt+1,…, xt+m

gdje su wk (k = m, m + 1,…, m) neki pozitivni “težinski” koeficijenti koji se zbrajaju do jedan, tj. tjedan > 0 i. Budući da se promjenom t od m + 1 u T m čini da „klizimo” duž vremenske ose, onda se metode zasnovane na formuli (2.9) obično nazivaju metode pokretnog prosjeka (MSA).

Očigledno, jedan MSS se razlikuje od drugog po izboru parametara m i wk.

Definicija wk opcija zasniva se na sljedećoj proceduri. U skladu sa Weierstrassovom teoremom, svaka glatka funkcija f(x) pod najopštijim pretpostavkama može biti lokalno predstavljena algebarskim polinomom odgovarajućeg stepena p. Stoga, uzimamo prvih 2m + 1 članova vremenske serije x1,…, x2m+1, konstruiramo polinom stepena p koristeći LSM koji aproksimira ponašanje ovog početnog dijela putanje vremenske serije i koristimo ovaj polinom da odredimo procjena izglađene vrijednosti f(t) vremenske serije u srednjoj (tj. (m + 1)-toj) tački ovog segmenta serije, tj. mi vjerujemo. Zatim „klizimo“ duž vremenske ose za jedan ciklus i na isti način biramo polinom istog stepena p na segment vremenske serije x2,…, xm+2 i određujemo procenu izglađene vrednosti vremenske serije na sredini segmenta vremenske serije pomaknuta za jedan, tj. , itd.

Kao rezultat, naći ćemo procjene za izglađene vrijednosti analizirane vremenske serije za sve t, osim za t = 1,…, m i t = T,… T m + 1.

Odabirom najbolje (u smislu kriterija najmanjih kvadrata) polinoma koji aproksimira putanju analizirane vremenske serije dolazi se do formule oblika, a rezultat ne ovisi o tome koji od „kliznih” vremenskih intervala ovaj odabir je napravljen za.

Eksponencijalno ponderisani pokretni prosek (Brownov metod). U skladu sa ovom metodom, procjena izglađene vrijednosti u tački t definira se kao rješenje optimizacijskog problema oblika

gdje je 0< < 1. Следовательно, веса k в критерии Q(f) обобщенного («взвешенного») МНК уменьшаются экспоненциально по мере удаления наблюдений xtk в прошлое. Решение оптимизационной задачи (2.10) дает:

Za razliku od uobičajenog MCC-a, samo desni kraj intervala usrednjavanja klizi ovdje, i, osim toga, težine se eksponencijalno smanjuju kako se krećemo dalje u prošlost. Formula (2.11) daje procjenu izglađene vrijednosti vremenske serije ne na sredini, već na desnoj krajnjoj tački intervala usrednjavanja.

2.3. Modeli stacionarnih vremenskih serija i njihova identifikacija.

U 2.2 razmatrana je klasa stacionarnih vremenskih serija u okviru koje se bira model koji je pogodan za opisivanje ponašanja slučajnih reziduala proučavane vremenske serije (1). Ovdje razmatramo skup linearnih parametarskih modela iz ove klase i metode za njihovu identifikaciju. Dakle, ovdje ne govorimo o modeliranju vremenskih serija, već o modeliranju njihovih slučajnih reziduala t, dobijenih eliminacijom njegove neslučajne komponente (2.8) iz originalne vremenske serije xt. Stoga, za razliku od prognoze zasnovane na regresijskom modelu koji zanemaruje vrijednosti slučajnih reziduala, predviđanje vremenskih serija značajno koristi međuzavisnost i prognozu samih slučajnih reziduala.

Hajde da uvedemo notaciju. Pošto je ovdje opisano ponašanje slučajnih reziduala, simuliranu vremensku seriju označavamo sa t, a pretpostavit ćemo da je za sve t njeno matematičko očekivanje jednako nuli, tj. Et, 0. Vremenske sekvence koje formiraju "bijeli šum" će biti označene sa t.

Opis i analiza modela o kojima se raspravlja u nastavku formulisani su u smislu opšteg linearnog procesa, predstavljenog kao ponderisani zbroj sadašnjih i prošlih vrednosti belog šuma, odnosno:

Dakle, bijeli šum je niz impulsa koji, u širokoj klasi stvarnih situacija, generiraju nasumične ostatke vremenske serije koja se proučava.

Vremenski niz t može se predstaviti u ekvivalentnom obliku, u kojem se dobija u obliku klasičnog linearnog modela višestruke regresije, u kojem njegove vlastite vrijednosti u svim prošlim vremenima djeluju kao objašnjavajuće varijable:

U ovom slučaju, težinski koeficijenti 1, 2,… su vezani određenim uvjetima koji osiguravaju stacionarnost niza t. Prijelaz iz (2.14) u (2.13) vrši se sukcesivnom zamjenom u desnu stranu (2.14) umjesto t1, t2, ... njihovih izraza izračunatih u skladu sa (2.14) za vremenske momente t 1, t 2 , itd.

Razmotrimo i proces mješovitog tipa u kojem postoje i autoregresivni termini samog procesa i klizni zbroj elemenata bijelog šuma:

Pretpostavićemo da p i q takođe mogu poprimiti beskonačne vrednosti, kao i da su u posebnim slučajevima neki (ili čak svi) koeficijenti ili jednaki nuli.

Razmotrimo prvo najjednostavnije posebne slučajeve.

Autoregresivni model 1. reda AR(1) (Markovljev proces). Ovaj model je najjednostavnija verzija autoregresivnog procesa tipa (2.14), kada su svi koeficijenti osim prvog jednaki nuli. Shodno tome, može se definirati izrazom

t = t1 + t, (2.15)

gdje je neki numerički koeficijent koji u apsolutnoj vrijednosti ne prelazi jedan (||< 1), а t последовательность случайных величин, образующая белый шум. При этом t зависит от t и всех предшествующих, но не зависит от будущих значений. Соответственно, в уравнении (2.15) t не зависит от t1 и более ранних значений. В связи с этим, t называют инновацией (обновлением).

Nizovi koji zadovoljavaju relaciju (2.15) se takođe često nazivaju Markovljevim procesima. To znači da

r(t, tk) = k, (2.17)

cov(t, tk) = kDt. (2.19)

Jedna važna posljedica (2.19) je da ako || je blizu jedinice, tada će varijansa t biti mnogo veća od varijanse. A to znači da ako su susjedne vrijednosti serije t u jakoj korelaciji, tada će niz prilično slabih perturbacija t generirati brze oscilacije reziduala t.

Uslov stacionarnosti za seriju (2.15) određen je zahtjevom za koeficijentom: ||< 1, или, что то же, корень z0 уравнения 1 z = 0 должен быть по абсолютной величине больше единицы.

Autokorelacija Markovljevog procesa određena je relacijom (2.17):

r() = r(t, t) = . (2.20)

Ovo, posebno, implicira jednostavnu probabilističku interpretaciju parametra: = r(t, t1), tj. vrijednost određuje količinu korelacije između dva susjedna člana t serije.

Iz (2.20) se može vidjeti da stepen bliskosti korelacije između članova niza (2.15) opada eksponencijalno kako se oni udaljavaju jedan od drugog u vremenu.

Parcijalna autokorelacija funkcija rpart() = r(t, t+ | t+1 = t+2 =…= t+1 = 0) može se izračunati korištenjem formula (2.4)-(2.5). Direktno izračunavanje pomoću ovih formula daje sljedeći jednostavan rezultat: vrijednosti parcijalne korelacijske funkcije rpart() jednake su nuli za sve = 2, 3,…. Ovo svojstvo se može koristiti pri prilagođavanju modela: ako se izračunate parcijalne korelacije uzorka statistički beznačajno razlikuju od nule na = 2, 3,..., tada se koristi autoregresivni model 1. reda za opisivanje ponašanja slučajnih reziduala vremenske serije nije u suprotnosti sa originalnim statističkim podacima.

Spektralna gustina Markovljevog procesa (2.15) može se izračunati uzimajući u obzir poznati oblik autokorelacione funkcije (2.20):

U slučaju vrijednosti parametra blizu 1, susjedne vrijednosti t serije su bliske jedna drugoj po veličini, autokorelacija se eksponencijalno smanjuje dok ostaje pozitivna, a u spektru prevladavaju niske frekvencije, što znači prilično veliki prosjek udaljenost između vrhova t serije. Kada je vrijednost parametra blizu -1, niz brzo oscilira (visoke frekvencije prevladavaju u spektru), a graf autokorelacijske funkcije pada eksponencijalno na nulu s naizmjeničnom promjenom predznaka.

Identifikacija modela, tj. statistička procjena njegovih parametara i prema postojećoj implementaciji vremenske serije xt (a ne njenih reziduala, koji su neuočljivi), zasniva se na relacijama (2.16)(2.19) i može se provesti metodom momenata. Da bismo to učinili, potrebno je prvo riješiti problem odabira neslučajne komponente, što će nam omogućiti da u budućnosti operiramo sa rezidualima.

Zatim se varijansa uzorka reziduala izračunava pomoću formule

gdje, i "ostaci" (reziduali) se izračunavaju po formuli.

Procjena parametra se dobija korištenjem formule (2.18), zamjenjujući njegovu vrijednost uzorka umjesto koeficijenta korelacije, tj. .

Konačno, procjena parametra se zasniva na relaciji (2.19), u kojoj su veličine Dt i zamijenjene procjenama, respektivno, i:

Autoregresivni modeli 2. reda - AR(2) (Youul procesi). Ovaj model, kao i AR(1), jeste poseban slučaj autoregresivni proces, kada su svi koeficijenti j na desnoj strani (2.14) osim prva dva jednaki nuli. Shodno tome, može se definirati izrazom

t = 1t1 + 2t2 + t, (2.22)

gdje niz 1, 2,… formira bijeli šum.

Uslovi stacionarnosti za seriju (2.22) (neophodan i dovoljan) su definisani kao:

U okviru opšte teorije modela, isti uslovi stacionarnosti dobijaju se iz zahteva da svi koreni odgovarajuće karakteristične jednačine leže izvan jediničnog kruga. Karakteristična jednačina za autoregresivni model 2. reda je:

Autokorelaciona funkcija Yule procesa izračunava se na sledeći način. Prve dvije vrijednosti r(1) i r(2) definirane su relacijama

a vrijednosti za r(), = 3, 4,… se izračunavaju pomoću rekurzivne relacije

r() = 1r(1) + 2r(2).

Funkcija parcijalne autokorelacije vremenske serije generisana modelom autoregresije 2. reda ima sljedeće karakteristično svojstvo: rpart() = 0 za sve = 3, 4,…

Spektralna gustina procesa Yule može se izračunati pomoću formule:

Vrijednosti se koriste za izračunavanje procjena i, shodno tome, varijanse Dt i autokorelacija r(1) i r(2). Ovo se radi pomoću relacija (2.2) i (2.3):

autoregresivni modeli pth reda - AR(p) (p 3). Ovi modeli, koji čine podskup u klasi opštih linearnih modela, sami po sebi čine prilično široku klasu modela. Ako u opštem linearnom modelu (2.14) pretpostavimo da su svi parametri j, osim prvih p koeficijenata, jednaki nuli, tada dolazimo do definicije AR(p) modela:

gdje niz slučajnih varijabli 1, 2,… formira bijeli šum.

Uslovi stacionarnosti za proces generisan modelom (2.23) su takođe formulisani u smislu korena njegove karakteristične jednačine

1 1z 2z2 … pzp = 0.

Za stacionarnost procesa potrebno je i dovoljno da svi korijeni karakteristične jednadžbe leže izvan jediničnog kruga, tj. bi premašio jedinicu u modulu.

Funkcija autokorelacije procesa (2.23) može se izračunati korištenjem rekurentne relacije za njegove prve p vrijednosti r(1),..., r(p). Ovaj omjer izgleda ovako:

r () = 1r(1) + 2r(2) +…+ pr(p), = p + 1, p + 2,... (2.24)

Funkcija parcijalne autokorelacije procesa (2.23) imat će vrijednosti različite od nule samo za p; sve vrijednosti rpart(p) za > p će biti nula, vidi, na primjer, [Box, Jenkins (1974)]. analizirane vremenske serije. Ako se, na primjer, svi parcijalni koeficijenti autokorelacije, počevši od reda k, statistički beznačajno razlikuju od nule, onda je prirodno odrediti red autoregresivnog modela jednak p = k 1.

Identifikacija autoregresivnog modela p-reda zasniva se na odnosima koji povezuju nepoznate parametre modela i autokorelacije proučavane vremenske serije. Da bi se izvele ove relacije, vrijednosti = 1, 2,…, p sukcesivno se zamjenjuju u (2.24). Ispostavilo se da je sistem linearne jednačine u odnosu na 1, 2,..., p:

nazvane Yule-Walkerove jednačine Yule (1927), Walker (1931).. Procjene za parametre k će se dobiti zamjenom teoretskih vrijednosti autokorelacija r(k) njihovim procjenama i rješavanjem tako dobijenog sistema jednačina.

Procjena parametra se dobija iz relacije zamjenom svih veličina koje učestvuju u desnoj strani njihovim procjenama.

2.3.2. Modeli poretka pokretnog prosjeka q (MA(q)-modeli).

Razmotrimo poseban slučaj opšteg linearnog procesa (2.13), kada je samo prvi q težinskih koeficijenata j različit od nule. U ovom slučaju, proces izgleda tako

t = t 1t1 2t2 … qtq, (2.26)

gdje se simboli 1,…, q koriste za označavanje konačnog skupa parametara uključenih u (2.13). Proces (2.26) se naziva modelom pokretnog prosjeka reda q (MA(q)).

Dualnost u predstavljanju AR i MA modela i koncept reverzibilnosti MA modela. Iz (2.13) i (2.14) se može vidjeti da se isti opći linearni proces može predstaviti ili kao AR model beskonačnog reda ili kao MA model beskonačnog reda.

Relacija (2.26) se može prepisati kao

t =t + 1t1 + 2t2 +…+ qtq.

t = t 1t1 2t2 …, (2.27)

pri čemu su koeficijenti j (j = 1, 2,…) izraženi na određeni način u terminima parametara 1,…, q. Relacija (2.27) se može napisati u obliku autoregresivnog modela beskonačnog reda (tj. u obliku inverzne ekspanzije)

Poznato je (vidi, na primjer, [Box, Jenkins, (1974)]) da je uslov za reverzibilnost MA(q)-modela (tj. uslov za konvergenciju niza) formuliran u terminima karakterističnu jednačinu modela (2.26) kako slijedi:

Svi korijeni karakteristične jednadžbe moraju ležati izvan jediničnog kruga, tj. |zj| > 1 za sve j = 1, 2,…, q.

Glavne karakteristike MA(q) procesa. Dakle, funkcija autokorelacije r() MA(q) procesa jednaka je nuli za sve vrijednosti veće od reda procesa q. Ovo važno svojstvo se koristi za odabir reda MA(q) modela iz eksperimentalnih podataka;

Spektralna gustina MA(q) procesa može se izračunati pomoću relacije:

Model MA(q) identifikuje se na osnovu relacija (2.29), i to: 1) vrednosti se izračunavaju pomoću formule; 2) vrijednosti = 1,…, q sukcesivno se zamjenjuju u relacije sa vrijednostima r() zamijenjenim na lijevoj strani prethodno dobijenim procjenama; 3) tako dobijeni sistem q jednačina je rešen u odnosu na nepoznate vrednosti 1,…, q; rješenja ovog sistema i daće procjene nepoznatih parametara modela; 4) procjena parametra se može dobiti korištenjem prve od relacija (2.28) zamjenom u nju umjesto (0), 1,…,q njihovih procjena.

Napominjemo da su, za razliku od sistema YuleWalkerovih jednačina (2.25), jednačine za određivanje procena parametara MA(q)-modela nelinearne. Stoga, ove jednačine moraju biti riješene korištenjem iterativnih procedura, vidi, na primjer, Box i Jenkins (1974).

Odnos između AR(q) i MA(q) procesa. Hajde da damo neke napomene o odnosu između procesa autoregresije i pokretnog proseka.

Za konačni autoregresivni proces reda p, t se može predstaviti kao konačan ponderisani zbir antecedenata, ili t može biti predstavljen kao beskonačan zbir antecedenata. U isto vrijeme, u procesu konačnog pokretnog prosjeka q t se može predstaviti kao konačan ponderisani zbir antecedenata ili t kao beskonačan ponderisani zbir antecedenata.

Konačni MA proces ima funkciju autokorelacije koja nestaje nakon nekog trenutka, ali budući da je ekvivalentan beskonačnom AR procesu, njegova djelomična autokorelacija je beskonačno proširena. Glavnu ulogu u tome igraju prigušene eksponencijale i (ili) prigušene sinusoide. Suprotno tome, AR proces ima djelomičnu autokorelaciju koja nestaje nakon neke tačke, ali njegova autokorelacija ima beskonačan opseg i sastoji se od skupa opadajućih eksponencijala i/ili raspadajućih sinusoida.

Parametri autoregresivnog procesa konačnog reda ne smiju zadovoljiti nikakve uslove da bi proces bio stacionaran. Međutim, da bi MA proces bio reverzibilan, korijeni njegove karakteristične jednadžbe moraju ležati izvan jediničnog kruga.

Spektar procesa pokretnog prosjeka je inverzan spektru odgovarajućeg autoregresivnog procesa.

Predstavljanje procesa tipa MA kao autoregresivnog procesa je neekonomično sa stanovišta njegove parametrizacije. Slično, AR proces se ne može ekonomski predstaviti modelom pokretnog prosjeka. Stoga, da bi se dobila ekonomična parametrizacija, ponekad je svrsishodno uključiti u model i termine koji opisuju autoregresiju i termine koji modeliraju rezidual kao pokretni prosjek. Takvi linearni procesi imaju oblik

t = 1t1 +…+ ptp + t 1t1 … qtq (2.30)

Stacionarnost i reverzibilnost ARMA(p, q)-procesa. Zapisivanje procesa (2.30) u obliku (2.31) gdje se može analizirati stacionarnost (2.31) prema istoj shemi kao i za AR(p)-procese. Razlika između „reziduala“ i e ni na koji način neće uticati na zaključke koji određuju uslove stacionarnosti za autoregresivni proces. Stoga je proces (2.30) stacionaran ako i samo ako svi korijeni karakteristične jednadžbe AR(p)-procesa leže izvan jedinične kružnice.

Slično, označavajući i razmatrajući proces (2.30) u obliku, dobijamo iste zaključke u pogledu uslova reverzibilnosti ovog procesa kao i za MA(q) proces: da ARMA(p, q)-proces bude reverzibilan , potrebno je i dovoljno da svi korijeni karakteristične jednadžbe MA(q)-procesa budu izvan jediničnog kruga.

Funkcija autokorelacije je analizirana na isti način kao što je to urađeno za AR i MA procese, što nam omogućava da izvučemo sljedeće zaključke.

1) Iz relacija () = 1(1) +…+ p(p) + () 1(1) … q(q), (gdje je (k) = E(tkt) “unakrsna” kovarijantna funkcija nizova t i t ) za = 0, 1,…, q slijedi da su kovarijance (0), (1),…, (q) i, shodno tome, autokorelacije r(1),…, r(q) povezane određenim sistem zavisnosti sa q parametara pokretnog proseka 1,…, q i p sa parametrima autoregresije 1,…, str. U ovom slučaju, unakrsne kovarijance (), (1),…, (q) za pozitivne vrijednosti vremenskog pomaka jednake su nuli, a za negativne se mogu izraziti i kroz parametre 1, …, p,1,…, q koristeći sljedeću metodu: neka je k > 0; tada (k) = E(tkt); u proizvodu tkt, uz pomoć (k + 1)-struke sekvencijalne zamjene prvog faktora prema formuli (2.30), zamjenjuje se linearnom kombinacijom t1, elemenata bijelog šuma i parametara modela, koja nakon primjenom operacije usrednjavanja E na rezultirajući proizvod, daje se izraz koji ovisi samo o modelu parametara (jer je E(t1t) = 0).

2) Vrijednosti autokorelacijske funkcije r() za q + 1 izračunate su rekurzivnom relacijom r() = 1r(1) + 2r(2) +…+ pr(p) za q + 1, što je tačno ponavlja sličnu rekurzivnu relaciju (2.24) za autokorelacione funkcije procesa AR(p). To znači da se, počevši od = q + 1, autokorelacija procesa ARMA(p, q) ponaša na isti način kao i autokorelacija procesa AR(p), tj. sastojat će se od skupa prigušenih eksponencijala i (ili) prigušenih sinusoida, a njegova svojstva su određena koeficijentima 1,…, p i početnim vrijednostima r(1),…, r(p).

Funkcija djelomične autokorelacije ARMA(p, q) procesa se ponaša pri velikim vrijednostima kao djelomična autokorelacija MA(q) procesa. To znači da u njemu prevladavaju pojmovi poput opadajućih eksponenta i (ili) raspadajućih sinusoida (odnos između njih ovisi o redoslijedu pokretnog prosjeka q i vrijednosti parametara procesa).

Spektralna gustina ARMA(p, q) procesa može se izračunati korištenjem odnosa:

Identifikacija ARMA(p, q) procesa zasniva se (kao i AR i MA modeli) na statističkoj procjeni parametara modela korištenjem metode momenata. Postupak za procjenu parametara k (k = 1, 2,…, p), j (j = 1, 2,…, q) i podijeljen je u dvije faze. U 1. fazi dobijaju se procjene parametara k, u 2. fazi procjene parametara j i.

1. faza. Parametri autokorelacione komponente modela (2.30) zadovoljavaju sistem linearnih jednačina:

Zamjenom njihovih vrijednosti uzorka umjesto r(k) u (2.32) i rješavanjem rezultirajućeg sistema u odnosu na j (j = 1,…, p), dobijamo procjene.

2. faza. Zamjenom dobijenih procjena u (2.30) dobijamo skup q + 1 odnosa:

Ovaj sistem omogućava dobijanje nelinearnih zavisnosti koje povezuju željene parametre, 1,…, q sa autokovarijansama i ocenama izgrađenim u 1. fazi.

Zaključak

Ekonometrija je metoda ekonomske analize koja kombinuje ekonomsku teoriju sa statističkim i matematičkim metodama analize. To je pokušaj poboljšanja ekonomskih prognoza i omogućavanja uspješnog planiranja ekonomske politike. U ekonometriji, ekonomske teorije se izražavaju kao matematički omjeri, a zatim se empirijski testiraju statističkim metodama. Ovaj sistem koristi se za kreiranje modela za predviđanje važnih indikatora kao što su bruto nacionalni proizvod, stopa nezaposlenosti, stopa inflacije i deficit federalnog budžeta. Ekonometrija se sve više koristi, uprkos činjenici da prognoze dobijene uz pomoć nje nisu uvijek bile dovoljno tačne.

Problemi u ekonometriji su brojni i raznoliki. Ekonomija je složen, dinamičan, višedimenzionalan i evoluirajući objekt, pa ga je teško proučavati. Vremenom se menjaju i društvo i društveni sistem, menjaju se zakoni, javljaju se tehnološke inovacije, tako da nije lako pronaći invarijante u ovom sistemu. Vremenske serije su kratke, visoko agregirane, heterogene, nestacionarne, zavise od vremena i jedna od druge, tako da imamo malo empirijskih informacija za proučavanje. Ekonomske veličine su neprecizno mjerene, podložne značajnijim kasnijim korekcijama, a važne varijable su često neizmjerene ili neuočljive, pa su svi zaključci neprecizni i nepouzdani. Ekonomske teorije mijenjaju se tokom vremena, konkurentna objašnjenja koegzistiraju jedno s drugim i stoga su pouzdana teorijska pozadina nije dostupno za modele. A čini se da među samim ekonometričarima nema saglasnosti o tome kako se treba baviti njihovom temom.

Posljednjih godina velika pažnja u ekonometrijskoj literaturi posvećena je analizi strukturnih svojstava ekonomskih vremenskih serija. To je zbog činjenice da se vrijednosti vremenske serije ne formiraju uvijek pod utjecajem određenih faktora. Često se dešava da je razvoj određenog procesa posljedica njegovih unutrašnjih zakonitosti, a odstupanja od determinističkog procesa uzrokovana su greškama mjerenja ili slučajnim fluktuacijama. Nedavno se pojavio prilično veliki broj radova koji razmatraju različite ekonometrijske aspekte razvoja ruske ekonomije.

Za vremenske serije, glavni interes je opis ili modeliranje njihove strukture. Svrha ovakvih studija je, po pravilu, šira od modeliranja, iako se neke informacije mogu dobiti direktno iz modela, izvodeći zaključke o performansama određenih ekonomski zakoni(recimo, zakon pariteta kupovne moći) i testiranje raznih hipoteza. Konstruisani model se može koristiti za ekstrapolaciju ili predviđanje vremenske serije, a onda kvalitet prognoze može poslužiti kao koristan kriterijum pri izboru između nekoliko modela. Izrada dobrih serijskih modela neophodna je i za druge primjene kao što su sezonsko prilagođavanje i izglađivanje. Konačno, konstruisani modeli se mogu koristiti za statističko modeliranje dugih serija posmatranja u proučavanju velikih sistema, za koje se vremenske serije smatraju ulaznom informacijom.

Književnost

1. Efimova M. R., Petrova E. V., Rumyantsev V. N. Opšta teorija statistike, Moskva: Infra-N, 2000.

2. Eliseeva I.I. Yuzbashev M.M. Opća teorija statistike. Moskva, "Finansije i statistika" 2005.

3. A.O.Kryshtanovskiy. Metode analize vremenskih serija // Monitoring javnog mnijenja: ekonomske i društvene promjene. 2000. br. 2 (46). str. 44-51. [Članak]

4. Šmojlova R. A. Teorija statistike, M.: Finansije i statistika, 1996.

5. Teorija statistike. Textbook./Ed. Šmojlova R. A. 3. izd., Rev.-M.: Finansije i statistika, 2002.

6. Gusarov V.M. Teorija statistike. - M.: Revizija, 2001. - 248 str.

7. Kildishev G.S., Ovsienko V.E., Rabinovich P.M., Ryabushkin T.V. Opća teorija statistike. - M.: Statistika, 2001. - 423 str.

8. Radionica o statistici: Tutorial za univerzitete (Uredio V.M. Simchera). VZFEI. - M.: CJSC "Finstatinform", 2001. - 259 str.

Uvod…………………………………………………………………….2

1. Glavni zadaci analize vremenskih serija…………….4

2. Analiza vremenskih serija…………………………………….9

2.3 Stacionarni modeli vremenskih serija i njihova identifikacija…13

2.3.2. Modeli poretka pokretnog prosjeka q (MA(q)-modeli)….17

Zaključak……………………………………………………………………21

Literatura……………………………………………………………………..23

Uvod

Posljednjih godina se u ekonometrijskoj literaturi velika pažnja poklanja proučavanju vremenskih serija. Različiti sadržajni zadaci ekonomske analize zahtijevaju korištenje statističkih podataka koji karakteriziraju proučavane ekonomske procese i raspoređene u vremenu u obliku vremenskih serija. Istovremeno, iste vremenske serije se često koriste za rješavanje različitih suštinskih problema.

Zbog prisustva grešaka u mjerenju ekonomskih pokazatelja, prisustva slučajnih fluktuacija svojstvenih posmatranim sistemima, vjerovatno-statistički pristup se široko koristi u proučavanju vremenskih serija. U okviru ovog pristupa posmatrana vremenska serija se shvata kao realizacija nekog slučajnog procesa. U ovom slučaju, implicitno se pretpostavlja da vremenska serija ima neku strukturu koja je razlikuje od niza nezavisnih slučajnih varijabli, tako da opažanja nisu skup potpuno nezavisnih numeričkih vrijednosti. (Neki elementi strukture serije se ponekad mogu identifikovati već na osnovu jednostavne vizuelne analize grafa serije. Ovo se, na primer, odnosi na komponente serije kao što su trend i ciklusi.) Obično se pretpostavlja da struktura serije se mogu opisati modelom koji sadrži mali broj parametara u odnosu na broj posmatranja, što je praktično važno kada se model koristi za predviđanje. Primjeri takvih modela su modeli autoregresije, pokretnog prosjeka i njihove kombinacije - modeli AR(p), MA(q), ARMA(p, q), ARIMA(p, k, q).

Prilikom izgradnje modela odnosa na duži rok potrebno je uzeti u obzir činjenicu da analizirana makroekonomska serija ima ili nema stohastički (nedeterministički) trend. Drugim riječima, potrebno je odlučiti da li svaki od nizova koji se razmatra pripada klasi serija koji su stacionarni u odnosu na deterministički trend (ili jednostavno stacionarni) - TS (trend stacionarni) niz, ili klasi serija koji imaju stohastički trend (možda zajedno sa determinističkim trendom) i koji dovode do stacionarne (ili stacionarne u odnosu na deterministički trend) serije samo jednostrukom ili k-strukom diferencijacijom serije - DS (razlika stacionarna) serija. Osnovna razlika između ove dvije klase serija je u tome što u slučaju TS serije, oduzimanjem odgovarajućeg determinističkog trenda iz serije dolazi do stacionarnog niza, dok u slučaju DS serije oduzimanjem determinističke komponente serije ostaje serija je nestacionarna zbog prisustva stohastičkog trenda u njoj.

Poglavlje 1. Glavni zadaci analize vremenskih serija.

Fundamentalne razlike između vremenske serije i niza opservacija koje formiraju slučajni uzorak su sljedeće:

prvo, za razliku od elemenata slučajnog uzorka, članovi vremenske serije nisu nezavisni;

drugo, članovi vremenske serije nisu nužno jednako raspoređeni, pa P(xt< x} P{xt < x} при t t.

Geneza opservacija koje formiraju vremensku seriju (mehanizam generisanja podataka). Riječ je o strukturi i klasifikaciji glavnih faktora pod čijim utjecajem se formiraju vrijednosti vremenske serije. U pravilu se razlikuju 4 vrste takvih faktora.

Sezonske, formiraju fluktuacije analiziranog svojstva koje se periodično ponavljaju u određeno doba godine. Kako ova funkcija (e) mora biti periodična (sa periodima koji su višestruki od „godišnjih doba“), u njenom analitičkom izražavanju učestvuju harmonici (trigonometrijske funkcije), čija je periodičnost, po pravilu, određena sadržajem problema.

Naravno, uopšte nije neophodno da faktori sva četiri tipa istovremeno učestvuju u procesu formiranja vrednosti bilo koje vremenske serije. Zaključci o tome da li su faktori ovog tipa uključeni u formiranje vrijednosti određene serije ili ne mogu se temeljiti kako na analizi sadržajne suštine problema, tako i na posebnoj statističkoj analizi vremenske serije koja se proučava. . Međutim, u svim slučajevima pretpostavlja se neizostavno učešće slučajnih faktora. Dakle, generalno, model generisanja podataka (sa aditivnim blok dijagramom uticaja faktora) izgleda ovako:

xt = 1f(t) + 2(t) +3(t) + t. (jedan)

gdje je i = 1 ako su faktori i-tog tipa uključeni u formiranje vrijednosti serije i i = 0 u suprotnom.

Glavni zadaci analize vremenskih serija. Osnovni cilj statističke analize vremenske serije je da se prati postojeća putanja ove serije:

odrediti koje su od neslučajnih funkcija prisutne u ekspanziji (1), tj. odrediti vrijednosti indikatora i;

izgraditi "dobre" procjene za one neslučajne funkcije koje su prisutne u ekspanziji (1);

odabrati model koji adekvatno opisuje ponašanje slučajnih reziduala t i statistički procijeniti parametre ovog modela.

Napomena: Pod vremenskim nizom podrazumijevaju se ekonomske vrijednosti koje zavise od vremena. U ovom slučaju se pretpostavlja da je vrijeme diskretno; inače se govori o slučajnim procesima, a ne o vremenskim serijama.

Modeli stacionarnih i nestacionarnih vremenskih serija, njihova identifikacija

Razmotrimo vremensku seriju. Neka vremenska serija prvo uzme numeričke vrijednosti. To može biti, na primjer, cijena vekne hleba u obližnjoj prodavnici ili kurs dolara za rublju u najbližoj menjačnici. Obično se identifikuju dva glavna trenda u ponašanju vremenske serije – trend i periodične fluktuacije.

Istovremeno, pod trendom se podrazumijeva ovisnost o vremenu linearnog, kvadratnog ili drugog tipa, koja se otkriva jednom ili drugom metodom izglađivanja (na primjer, eksponencijalno izglađivanje) ili proračunom, posebno korištenjem metoda najmanjih kvadrata. Drugim riječima, trend je glavni trend vremenske serije, očišćen od slučajnosti.

Karakteristike vremenske serije. Za detaljnije proučavanje vremenskih serija koriste se vjerovatno-statistički modeli. U ovom slučaju, vremenska serija se smatra slučajnim procesom (sa diskretnim vremenom), glavne karakteristike su matematičko očekivanje, tj.

Disperzija, tj.

i autokorelacione funkcije vremenske serije

one. funkcija dvije varijable jednaka koeficijent korelacije između dvije vrijednosti vremenske serije i .

U teorijskim i primijenjenim istraživanjima razmatra se širok raspon modela vremenskih serija. Prvo odaberite stacionarno modeli. Imaju funkciju zajedničke distribucije za bilo koji broj vremenskih tačaka , a samim tim i sve karakteristike gore navedenih vremenskih serija ne mijenjaju se tokom vremena. Konkretno, matematičko očekivanje i varijansa su konstante, funkcija autokorelacije ovisi samo o razlici. Vremenske serije koje nisu stacionarne se nazivaju nestacionarni.

Modeli linearne regresije sa homoskedastičnim i heteroskedastičnim, nezavisnim i autokoreliranim rezidualima. Kao što se vidi iz navedenog, glavna stvar je "čišćenje" vremenske serije od slučajnih odstupanja, tj. procjena matematičkog očekivanja. Za razliku od najjednostavnijih modela regresiona analiza razmatrani u , ovdje se prirodno pojavljuju složeniji modeli. Na primjer, varijansa može ovisiti o vremenu. Takvi modeli se nazivaju heteroscedastic, a one u kojima nema ovisnosti o vremenu su homoskedastičke. (Tačnije, ovi termini se mogu odnositi ne samo na varijablu "vrijeme" već i na druge varijable.)

Komentar. Kao što je navedeno u "Multivarijantnoj statističkoj analizi", najjednostavniji model metoda najmanjih kvadrata omogućava veoma daleke generalizacije, posebno u oblasti sistema simultanih ekonometrijskih jednačina za vremenske serije. Za razumijevanje relevantne teorije i algoritama potrebno je stručno poznavanje matrične algebre. Stoga one koji se zanimaju upućujemo na literaturu o sistemima ekonometrijskih jednačina i direktno o vremenskim serijama, za koje postoji veliko interesovanje za teoriju spektra, tj. odvajanje signala od šuma i njegovo razlaganje u harmonike. Još jednom naglašavamo da se iza svakog poglavlja ove knjige krije veliko područje naučnog i primijenjenog istraživanja, koje je sasvim vrijedno da mu se posveti mnogo truda. Međutim, zbog ograničenog obima knjige, primorani smo da prezentaciju učinimo sažetim.

Sistemi ekonometrijskih jednačina

Primjer autoregresivnog modela. Kao početni primjer, razmotrite ekonometrijski model vremenske serije koja opisuje rast indeksa potrošačkih cijena (indeks inflacije). Neka - rast cijena mjesečno (više o ovom pitanju pogledajte u "Ekonometrijskoj analizi inflacije"). Tada je, prema nekim ekonomistima, prirodno pretpostaviti da je to

(6.1)

gdje je rast cijene u prethodnom mjesecu (a je određeni koeficijent prigušenja, pod pretpostavkom da će u nedostatku vanjskih utjecaja rast cijene stati), konstanta (odgovara linearnoj promjeni vrijednosti tokom vremena), je termin koji odgovara efektu emisije novca (tj. povećanje količine novca u privredi zemlje, koje sprovodi Centralna banka) u iznosu i proporcionalno emisiji sa koeficijentom , a ovaj efekat se ne pojavljuje odmah, već nakon 4 mjeseca; Konačno, ovo je neizbježna greška.

Model (1), uprkos svojoj jednostavnosti, pokazuje mnoge karakterne osobine mnogo složeniji ekonometrijski modeli. Prvo, obratimo pažnju na činjenicu da su neke varijable definirane (izračunate) unutar modela, poput . Oni se nazivaju endogeni (interni). Drugi se daju eksterno (ovo je egzogeni varijable). Ponekad, kao u teoriji kontrole, među egzogene varijable, dodijeliti uspio varijable - one pomoću kojih menadžer može dovesti sistem u željeno stanje.

Drugo, varijable novih tipova se pojavljuju na relaciji (1) - sa zaostajanjem, tj. argumenti u varijablama se ne odnose na trenutni trenutak u vremenu, već na neke prošle trenutke.

Treće, kompilacija ekonometrijskog modela tipa (1) nikako nije rutinska operacija. Na primjer, kašnjenje od tačno 4 mjeseca u roku vezanom za izdavanje novca rezultat je prilično sofisticirane preliminarne statističke obrade. Dalje, pitanje zavisnosti ili nezavisnosti veličina i treba proučiti. Kao što je gore navedeno, konkretna implementacija postupka zavisi od rješenja ovog pitanja. metoda najmanjih kvadrata.

S druge strane, u modelu (1) postoje samo 3 nepoznata parametra i iskaz metoda najmanjih kvadrata lako je napisati:

Problem identifikacije. Zamislimo sada tapa model (6.1) sa velikim brojem endogenih i egzogene varijable, sa kašnjenjima i složenom unutrašnjom strukturom. Uopšteno govoreći, niotkuda ne proizilazi da postoji barem jedno rješenje za takav sistem. Dakle, ne postoji jedan, već dva problema. Postoji li barem jedno rješenje (problem identifikacije)? Ako da, kako pronaći najbolje moguće rješenje? (Ovo je problem statističke procjene parametara.)

I prvi i drugi zadatak su prilično teški. Za rješavanje oba problema razvijene su mnoge metode, obično prilično složene, od kojih samo neke naučno obrazloženje. Konkretno, često koriste statističke procjene koje nisu konzistentne (strogo govoreći, ne mogu se ni nazvati procjenama).

Hajde da ukratko opišemo neke uobičajene tehnike u radu sa sistemima linearnih ekonometrijskih jednačina.

Sistem linearnih simultanih ekonometrijskih jednadžbi. Čisto formalno, sve varijable se mogu izraziti u vidu varijabli koje zavise samo od trenutnog trenutka u vremenu. Na primjer, u slučaju jednačine (6.1), dovoljno je postaviti

Tada je jednadžba primjer oblika

(6.2)

Ovdje napominjemo mogućnost korištenja regresijskih modela sa varijabilnu strukturu uvođenjem lažnih varijabli. Ove varijable u nekom trenutku vrijednosti (recimo, početne) poprimaju primjetne vrijednosti, au drugim nestaju (postaju zapravo jednake 0). Kao rezultat toga, formalno (matematički) jedan te isti model opisuje potpuno različite zavisnosti.

Indirektni, dvostepeni i najmanji kvadrati u tri koraka. Kao što je već napomenuto, razvijeno je mnogo metoda za heurističku analizu sistema ekonometrijskih jednačina. Oni su dizajnirani da riješe određene probleme koji se javljaju prilikom pokušaja pronalaženja numerička rješenja sistemi jednačina.

Jedan od problema je vezan za postojanje apriornih ograničenja na procijenjene parametre. Na primjer, prihod domaćinstva može se potrošiti ili na potrošnju ili na štednju. To znači da je zbir udjela ove dvije vrste potrošnje a priori jednak 1. A u sistemu ekonometrijskih jednačina ovi udjeli mogu samostalno učestvovati. Postoji ideja da se oni procijene najmanjih kvadrata, zanemarujući apriorno ograničenje, a zatim prilagodite. Ovaj pristup se naziva indirektnim. najmanjih kvadrata.

dva koraka metoda najmanjeg kvadrata sastoji se u procjeni parametara pojedinačne jednačine sistema, a ne u razmatranju sistema kao cjeline. Istovremeno, tri koraka metoda najmanjeg kvadrata koristi se za procjenu parametara sistema simultanih jednačina u cjelini. Prvo se na svaku jednadžbinu primjenjuje metoda u dva koraka kako bi se procijenili koeficijenti i greške svake jednačine, a zatim se konstruirala procjena za matricu kovarijanse greške. Nakon toga se primjenjuje generalizirana metoda za procjenu koeficijenata ceo sistem. metoda najmanjeg kvadrata.

Menadžer i ekonomista ne bi trebalo da postane specijalista za sastavljanje i rešavanje sistema ekonometrijskih jednačina, čak ni uz pomoć određenih softverskih sistema, ali treba da bude svestan mogućnosti ove oblasti ekonometrije kako bi formulisao zadatak za stručnjake za ekonometriju na kvalifikovan način ako je potrebno.

Od procjene trenda (glavnog trenda), prijeđimo na drugi glavni zadatak ekonometrije vremenskih serija – procjenu perioda (ciklusa).