Vrlo često ekonomski pokazatelji predstavljeni kao vremenske serije imaju složenu strukturu. Modeliranje takvih serija izgradnjom modela trenda, sezonalnosti i periodičnih komponenti ne dovodi do zadovoljavajućih rezultata. Brojni ostaci često imaju statističke obrasce. Najčešći modeli stacionarnih serija su modeli autoregresije i pokretnog prosjeka.

Razmotrićemo klasu stacionarnih vremenskih serija. Zadatak je izgraditi model reziduala vremenskih serija u t i predviđanje njegovih vrijednosti.

Autoregresivni model je dizajniran da opiše stacionarne vremenske serije. Stacionarni proces zadovoljava jednačinu autoregresije beskonačnog reda sa prilično brzo opadajućim koeficijentima. Stoga je posebno dovoljan autoregresivni model high order može dobro aproksimirati gotovo svaki stacionarni proces. U tom smislu, autoregresivni model se često koristi za modeliranje reziduala u jednom ili drugom parametarskom modelu, kao što je model regresije ili model trenda.

Markovljevi procesi se nazivaju procesi u kojima je stanje objekta u svakom sljedećem trenutku određeno samo stanjem u sadašnjem trenutku i ne ovisi o tome kako je objekt došao u ovo stanje. U smislu korelacione analize za vremenske serije, Markovljev proces se može opisati na sledeći način: postoji statistički značajna korelacija između originalne serije i serije pomerene za jedan vremenski interval, a ne postoji korelacija sa nizom pomerenim za dva, tri, itd. vremenska intervala. U idealnom slučaju, ovi koeficijenti korelacije su nula.

u(t)=m u(t-1)+e(t) , (5.1)

gdje m- numerički koeficijent | m|<1, e(t) je niz slučajnih varijabli koje formiraju "bijeli šum" (E( e(t))=0, E( e(t)e(t+t)))=).

Model (5.1) se također naziva Markovljevim procesom.

E(u(t))º0. (5.2)

r(u(t)u(t± t))=m t . (5.3)

Du(t)=s 2 /(1-m 2). (5.4)

cov( u(t)u(t±t))= m t Du(t). (5.5)

Iz (5.3) slijedi da za | m| varijansu blizu jedinice u(t) će biti mnogo veća od varijanse e t. To znači (s obzirom (5.2) m=r(u(t)u(t±1))= r(1), tj. parametar m može se tumačiti kao vrijednost autokorelacije prvog reda), koja u slučaju jake korelacije susjednih vrijednosti serije u(t) niz slabih perturbacija e tće generisati brze oscilacije ostataka u(t).

Uvjet stacionarnosti za niz (5.1) određen je zahtjevom | m|<1.

Funkcija autokorelacije (ACF) r(t) Markovljevog procesa određena je relacijom (5.3).

Djelomična autokorelacija funkcija

rčesto ( t)=r(u(t)u(t+t)) | u(t+ 1)=u(t+ 2)=…=u(t+t-1)=0

može se izračunati po formuli: r dio (2)=( r(2)-r 2 (1))/(1-r 2 (1)). Za druge i više redove (vidi str. 413, 414) treba rčesto ( t)=0 "t=2,3,… . Pogodno je ovo koristiti za uklapanje modela (5.1): ako se izračuna iz procijenjenih reziduala u(t)=y t-parcijalne korelacije uzorka se statistički beznačajno razlikuju od nule na t=2,3,…, zatim koristeći model AR(1) za opisivanje slučajnih ostataka nije u suprotnosti sa izvornim podacima.

Identifikacija modela. Potrebno je statistički procijeniti parametre m i s 2 modela (5.1) prema dostupnim vrijednostima originalne serije y t.

Važni u analizi i predviđanju na osnovu vremenskih serija su stacionarne vremenske serije,čija se vjerovatnoća svojstva ne mijenjaju s vremenom. vremenske serije y ( = (1,2,..., P) kaže se da je striktno stacionaran ako je zajednička raspodjela vjerovatnoće P zapažanja y ( , y 2 , ???, y str isto kao i za zapažanja y 1+m, y 2+m, ???,U n+T(za bilo koje ", /njih). Svojstva striktno stacionarnih nizova ne zavise od trenutka vremena, tako da stacionarni slučajni proces karakteriše vremenska nepromjenjivost njegovih glavnih probabilističkih karakteristika, kao npr. očekivanu vrijednost i disperzija.

Pod stacionarnim nizovima se podrazumijevaju slučajni procesi homogeni u vremenu, čije se karakteristike ne mijenjaju tokom vremena /. Karakteristike ovih procesa određuju karakteristike procesa i predmet su istraživanja. Ako se ove karakteristike (matematičko očekivanje, disperzija, itd.) mogu pronaći sa datim stepenom tačnosti, onda problem predviđanja takvih stacionarnih procesa postaje krajnje jednostavan. Istovremeno, stacionarni procesi mogu imati vrlo različitu prirodu dinamike – promjena u jednom dijelu nema izražene trendove u vremenu, dinamika drugog dijela ima jasno izražen trend u vremenu, koji može biti i od veoma složene nelinearne prirode. Dakle, stacionarna grupa tipova dinamike vremenskih serija može se, pak, podeliti u dve podgrupe: 1) prosta stacionarna; 2) složeni stacionarni. Za prvu grupu faktora, jednostavnog stacionarnog tipa, zadovoljen je uslov nepromenljivosti u vremenu njihovog matematičkog očekivanja i druge karakteristike slučajnih procesa. Ako se matematičko očekivanje i druge karakteristike vjerovatnog procesa mijenjaju u vremenu, tada su takve serije složene stacionarne.

Modeli stacionarnih i nestacionarnih vremenskih serija

Jednostavni stacionarni procesi u odnosu na socio-ekonomske objekte analiziraju se i predviđaju korištenjem najjednostavnijih metoda matematičke statistike (tačkaste i intervalne prognoze dinamika vremenske serije). Najčešće se može tvrditi o postojanju normalnog zakona raspodjele, te stoga glavne napore treba usmjeriti na dokazivanje ove tvrdnje korištenjem odgovarajućih statističkih hipoteza i metoda za njihovo testiranje, a nakon toga i na izračunavanje karakteristika procesa. Ako je bilo moguće potvrditi hipotezu o normalnoj prirodi distribucije proučavane serije, onda je najbolja procjena njenog matematičkog očekivanja aritmetička sredina, a najbolja procjena varijanse varijansa uzorka. Štaviše, ovdje je relevantan osnovni princip metode uzorkovanja – što je više zapažanja, to su bolje procjene modela.

Složeni stacionarni procesi ukazuju na prisustvo mnogih faktora koji utiču na objekat, čiji se pokazatelji menjaju tokom vremena. Stoga je zadatak prognostičara da identifikuje glavni od ovih faktora i izgradi model koji opisuje uticaj glavnih faktora na objekat prognoze. Ako je ovih faktora mnogo, a glavne je iz nekog razloga nemoguće izdvojiti, oni smatraju da vrijeme djeluje kao takav generalizujući faktor i pronalaze model odnosa između indikatora prognoze i vremena. Po pravilu, u ovim slučajevima istraživač ne poznaje većinu glavnih karakteristika slučajnog dinamičkog stacionarnog procesa. On mora pronaći ove karakteristike iz podataka posmatranja procesa. Ovdje je istraživač primoran da pribjegne nekim apriornim pretpostavkama - da prizna postojanje jednog ili drugog zakona raspodjele vjerovatnoće, svojstava procesa i njegovih međuodnosa, prirode dinamike itd. U ovom slučaju, onaj dio ekonomske nauke, koji je tzv ekonometrija.

Budući da statistička svojstva kompleksnih stacionarnih nizova nemaju

mijenjaju se s vremenom, tada se ta svojstva mogu akumulirati i otkriti izračunavanjem nekih zadanih funkcija. Funkcija koja je prvi put korištena u tu svrhu je autokorelacione funkcije(AKF). Stepen čvrstoće veze između nizova posmatranja vremenske serije p y 2 , -,y yi 1+t, y 2+x, ’ Pack+x obično definisan sa koeficijent korelacije uzorka r( t). Njegova formula je data u nastavku:

/7-T (/7-T L ^

(l-t) 2>, 2 - 5>,

Xp-"sh.

• (6.5)

gdje je m broj perioda za koje se izračunava koeficijent autokorelacije (lag).

Ovaj koeficijent vrednuje korelaciju između nivoa iste serije, pa se ponekad naziva koeficijent autokorelacije. Formula za izračun Koeficijent autokorelacije 1. reda(za m = 1) može se predstaviti na sljedeći način:

• (6.6)

• 1=2 1=2

Koeficijent autokorelacije 2. reda određuje se formulom

• (6.8)
• - 2

• 1l 5> n
• (6.9)

Kako se kašnjenje povećava, smanjuje se broj parova vrijednosti koji se koriste za izračunavanje koeficijenta autokorelacije. Smatra se prikladnim koristiti pravilo kako bi se osigurala statistička pouzdanost koeficijenata autokorelacije - maksimalno kašnjenje ne bi trebalo biti veće od p/6. Funkcija G( t) se zove uzorak autokorelacijske funkcije, a njen raspored je korelogram je moj. Oblik autokorelacijske funkcije uzorka usko je povezan s

; y, = " 3

struktura reda.

• 1. Funkcija autokorelacije g(t) za "bijeli šum" na m > 0 također formira stacionarnu vremensku seriju sa srednjom vrijednošću nula.
• 2. Za stacionarnu seriju, ACF brzo opada sa povećanjem m. U prisustvu jasnog trenda, autokorelacija funkcija poprima karakterističan oblik krive koja se vrlo sporo opada.
• 3. U slučaju naglašene sezonskosti, ACF dijagram takođe sadrži „odlike“ za kašnjenja koja su višestruka od perioda sezonskosti, ali ovi „odstupnici“ mogu biti prikriveni prisustvom trenda ili velikom disperzijom slučajne komponente.

Ako se koeficijent autokorelacije prvog reda pokazao najvećim, serija koja se proučava sadrži samo trend. Ako se koeficijent autokorelacije reda m pokazao najvećim, tada serija sadrži cikličke fluktuacije s periodičnošću od m vremenskih tačaka. Ako nijedan od koeficijenata autokorelacije nije značajan, može se napraviti jedna od dvije pretpostavke o strukturi ove serije: ili serija ne sadrži trend i cikličke fluktuacije, ili serija sadrži izražen nelinearni trend, što zahtijeva dodatnu analizu. identificirati. Stoga je preporučljivo koristiti koeficijent autokorelacije i funkciju autokorelacije za identifikaciju komponente trenda i ciklične (sezonske) komponente u vremenskoj seriji. Dakle, pri proučavanju složenih stacionarnih vremenskih serija, glavni zadatak je identificirati i eliminirati autokorelaciju.

Nestacionarni procesi za razliku od stacionarnih, razlikuju se po tome što s vremenom mijenjaju sve svoje karakteristike. Štaviše, ova promjena može biti toliko značajna da će dinamika jednog indikatora odražavati razvoj jednog u potpunosti različiti procesi. Svi međusobni odnosi i međuzavisnosti objekta predviđanja se mijenjaju tokom vremena. Štaviše, struktura i smjer interakcije elemenata koji čine objekt predviđanja također se mijenjaju tokom vremena. Ovisno o tome koliko se prirasta mijenjaju tokom vremena VAN), nestacionarni procesi se takođe mogu podeliti u dve podgrupe: 1) evolucioni procesi; 2) haotični procesi.

Ako se povećava VAN) postepeno se povećavaju tokom vremena kao rezultat kvantitativnih i kvalitativnih promjena koje se dešavaju u sistemu, a odraz je implementacija nestacionarnog niza, tada se ovi procesi mogu nazvati evolucijski. Istovremeno, omjer D K(7)/T(? + 7), koji karakterizira porast nesigurnosti, s vremenom ima rastuću vrijednost. T dinamika - od nule do beskonačnosti. Kada se poveća VAN) nemaju dovoljno izražen trend u vremenu i njihove promjene su haotične (npr. pri prvom promatranju VAN) može biti prilično velika u poređenju sa samim indikatorom U(T)), onda se takvi procesi mogu klasifikovati kao haotično. Haotična priroda dinamike nastaje u onim slučajevima kada je ili sam proces neinercijan i dinamika njegovog razvoja lako se mijenja pod utjecajem vanjskih ili unutrašnjih faktora, ili kada na inercijski proces djeluju vanjski faktori takve sile da pod njihovim uticajem „puca” unutrašnja struktura procesa, njegove međusobne veze i dinamika. Drugim riječima, karakterizira evolucijska dinamika proces adaptacije objekt prema vanjskim i unutrašnjim utjecajima i haotičnoj dinamici - nedostatak sposobnosti objekta da se prilagodi.

Složena priroda nestacionarne dinamike predodređuje složenost aparata za modeliranje i predviđanje ove dinamike. Predviđanje evolutivnih komponenti ekonomske situacije donedavno nije spadalo u vidno polje stručnjaka za socio-ekonomsko predviđanje – samo u poslednjih godina relevantni dijelovi su počeli da se uključuju u udžbenike o prognozama. U praksi se evolucijski procesi jednostavno nisu izdvajali kao posebna grupa, a za njihovu analizu i predviđanje korištene su metode klasične ekonometrije, bez razmišljanja o ispravnosti takve primjene. Upravo upotreba prognostičkog aparata, metodološki nekompatibilnog sa svojstvima objekta prognoze, dovodi do ozbiljnih grešaka u izboru alata i značajne disperzije prognoze u praksi predviđanja socio-ekonomske dinamike. Za predviđanje vremenske serije socio-ekonomskih indikatora evolucijskog tipa, metodološki je opravdano koristiti adaptivne metode predviđanja. Pitanja predviđanja haotičnih serija socio-ekonomske dinamike trenutno se rješavaju korištenjem teorija haosa i teorija katastrofe.

Zatim ćemo razmotriti metode za predviđanje kompleksnih stacionarnih i evolucijskih nestacionarnih dinamički procesi. Za serije navedenih tipova engleski statističari D. Box i W. Jenkins sredinom 1990-ih. razvijen je algoritam za predviđanje. Hijerarhija Box-Jenkins algoritama uključuje nekoliko algoritama, od kojih je najpoznatiji i korišćeni algoritam AYA1MA. Ugrađen je u gotovo svaki specijalizovani paket za predviđanje. U klasičnoj verziji LYA1MA nezavisne varijable se ne koriste. Modeli se oslanjaju samo na informacije sadržane u istoriji predviđene serije, što ograničava mogućnosti algoritma. Trenutno u naučna literaturačesto se pominju varijante modela AYA1MA, omogućavajući uzimanje u obzir nezavisnih varijabli.

Modeli AYA1MA zasnivaju se uglavnom na autokorelacionoj strukturi podataka. U metodologiji AYA1MA ne postoji jasan model za predviđanje ove vremenske serije. Navedena je samo opšta klasa modela, koji opisuju vremensku seriju i omogućavaju da se na neki način izrazi trenutna vrednost varijable kroz njene prethodne vrednosti. Zatim algoritam AYA1MA, postavljajući parametre modela, bira najprikladniji model prognoze. Postoji čitava hijerarhija Box-Jenkins modela. Logično, može se definirati na sljedeći način:

AZ(p) + MA(d) -> AYAMA(p, d) AYAMA(p, d)(p, 0 ->

-? AR1MA(p, d, d)(P, 0 ja) ... (6.10)

gdje AYA (p) - model autoregresivnog poretka p MA(d) - model poretka pokretnog prosjeka d; AYAMA(r, d) - kombinovani model autoregresije i pokretnog proseka; AYAMA(str, e) (P, O)- model eksponencijalnog izglađivanja; AYA1MA(str, e, d) (P, 0 ja)- modeliranje nestacionarnog evolucionog procesa sa linearnim trendom.

Prva tri modela aproksimiraju dinamiku složenih stacionarnih vremenskih serija, sljedeća dva modela aproksimiraju dinamiku evolucijskih nestacionarnih vremenskih serija. Model se smatra prihvatljivim ako su ostaci (uglavnom mali) nasumično raspoređeni i ne sadrže korisne informacije. Ako je dati model nezadovoljavajući, proces se ponavlja, ali uz korištenje novog poboljšanog modela. Ovaj iterativni postupak se ponavlja dok se ne pronađe zadovoljavajući model. Od ove tačke, dati model se može koristiti za potrebe predviđanja.

U modelu ASHMA nivo dinamičkog opsega at definira se kao ponderirani zbir njegovih prethodnih vrijednosti i preostalih vrijednosti e g - trenutni i prethodni. Kombinira model autoregresije reda R i model poretka pokretnog prosjeka c. Trend je uključen u LSMA koristeći serijski operator konačnih razlika y g Za filtriranje linearnog trenda koriste se razlike 1. reda, za filtriranje paraboličnog trenda - razlike 2. reda, itd. Razlika th mora biti nepomičan. Pogled modela ASHMA, njegova adekvatnost stvarnom procesu i prediktivna svojstva zavise od reda autoregresije R i red pokretnog proseka

Ključni momenat modeliranja je postupak identifikacije – potvrđivanja tipa modela. U standardnoj metodi ASHMA identifikacija se svodi na vizuelnu analizu autokorelograma i zasniva se na principu ekonomičnosti, prema kojem (p + ashma order (R, (1 , (Rya, A?, 05). Na ovaj način, identifikacija vremenske serije naziva se konstrukcija adekvatnog modela za seriju reziduala, u kojoj su reziduali „bijeli šum“, a svi regresori su značajni.

Razmotrite neke modele ASHMA više. Autoregresivni model red R ima oblik

Y, = Ro + P1 At,-1 + P 2 T/- 2 + + P R U, - R+ e, (* = I 2, ..., P), (6.11)

gdje su P 0 , p., ..., p neke konstante; G (- nivo "belog šuma" koji se može izostaviti.

Ako proces koji se proučava at u trenutku kada je G određen svojim vrijednostima samo u prethodnom periodu 7-1, tada dobijamo autoregresivni model prvog reda

U,\u003d P 0 + P1L-1 + e, (7 \u003d 1,2, ..., "), (6.12)

AT modeli pokretnog proseka data je simulirana vrijednost linearna funkcija od perturbacija (reziduala) u prethodnim vremenima. Model pokretnog prosjeka reda q ima oblik

Y,= e 1 -Y 1 e, -1-Y 2 e, - 2 - - -Y, e, -, (7 \u003d 1,2, ..., "), (6.13)

gdje su y p u., ..., y neke konstante; e - greške.

Često se koristi kombinovani model autoregresije i pokretnog prosjeka, koji ima oblik

Y, = Ro + R.L-, + RzYa-2+- + RpU "-r +?1 - U&-1 - U 2^-2 -???- U&-Z (6.14)

Opcije R i

• 1) jedan parametar (R), ako se funkcija autokorelacije (ACF) smanjuje eksponencijalno;
• 2) dva parametra autoregresije (R), ako ACF ima oblik sinusoide ili se smanjuje eksponencijalno;
• 3) jedan parametar pokretnog prosjeka (
• 4) dva parametra pokretnog proseka (e) ako ACF ima outliers na lagovima 1 i 2 i ne postoji korelacija na drugim lagovima.

Adaptive Prediction

Prilikom proučavanja nestacionarnih evolucijskih vremenskih serija koristi se adaptivno predviđanje. Adaptivne metode predviđanja je skup modela diskontiranja podataka koji mogu prilagoditi svoju strukturu i parametre promjenjivim uvjetima. Prilikom procene parametara adaptivnih modela, opservacijama (nivoima serije) se dodeljuju različite težine u zavisnosti od toga koliko je jak njihov uticaj na trenutni nivo prepoznat. Ovo vam omogućava da uzmete u obzir promjene u trendu, kao i sve fluktuacije u kojima se uzorak može pratiti. Adaptivne metode predviđanja su izbor i prilagođavanje modela prognoze na osnovu novoprimljenih informacija. Najčešći od njih uključuju metodu eksponencijalnog izglađivanja i Helwigovu metodu harmonijskih težina.

Metoda eksponencijalnog izglađivanja. Njegova posebnost leži u činjenici da se u postupku usklađivanja za svako promatranje koriste samo vrijednosti prethodnih nivoa vremenske serije, uzete s određenom težinom. Težina svake opservacije se smanjuje kako se udaljava od trenutka za koji je određena izglađena vrijednost. Izglađena vrijednost nivoa serije 5 u trenutku / određena je formulom

5, \u003d ay, + (1-a) 5,_ 1, (6.15)

gdje je 5 vrijednost eksponencijalnog prosjeka u trenutku /; 5 / _ 1 - vrijednost eksponencijalnog prosjeka u ovom trenutku (/ - 1); ? - vrijednost ekonomskog procesa u to vrijeme /; a - težina /-te vrijednosti dinamičkog niza (ili parametar za izravnavanje čije vrijednosti variraju od nule do jedan).

Dosljedna primjena formule (6.15) omogućava izračunavanje eksponencijalnog prosjeka kroz vrijednosti svih nivoa date vremenske serije. Osim toga, na osnovu formule (6.15) određuju se eksponencijalni prosjeki 1. reda, tj. proseci dobijeni direktno izravnavanjem početnih podataka vremenske serije. U slučajevima kada trend nakon izglađivanja originalne serije nije jasno definisan, postupak izglađivanja se ponavlja, tj. izračunajte eksponencijalne prosjeke drugog, trećeg reda, itd., koristeći izraze (6.16-6.18):

gdje je 5^ eksponencijalni prosjek SZO naručite u jednom trenutku I (k = 1,

2, 3,..., P).

Za linearni model at = a 0 + a i početni uslovi su sledeći:

? - aa2 (1~a) a^O(y) "O„R (y) "Oh a"

Eksponencijalni prosjek prvog i drugog reda za ovaj model:

5,1" = ay,+ (1? - a)5™5,1 "= a5|" + (1 - a) 5

Prognoza se vrši prema formuli y *= i 0 + i,/. Štaviše, parametri a 0 i a ( odnosno jednaki

• (6.19)
• (6.20)

Greška prognoze je određena formulom

) / (G-a) [* -4 (1 - a) + 5 (1 - a) 2 + 2a (4-3a)

/ + 2 a h

gdje yy - standardna greška odstupanja od linearnog trenda.

Metoda harmonijskih težina. Ovu metodu je razvio poljski statističar Z. Helwig. Blizu je jednostavnoj metodi eksponencijalnog izglađivanja, koristi isti princip. Zasnovan je na ponderiranju pokretnog indikatora, ali umjesto pokretnog prosjeka koristi se ideja pokretnog trenda. Ekstrapolacija pro-

se provodi na pokretnom trendu, pojedinačne tačke polilinije su ponderisane pomoću harmonijskih težina, što omogućava da se novijim zapažanjima prida veća težina. Metoda harmonijskih težina zasniva se na sljedećim pretpostavkama:

• vremenski period za koji se ekonomski proces proučava mora biti dovoljno dug da bi se mogli odrediti njegovi obrasci;
• početna serija dinamike ne bi trebala imati skokove

• društveno-ekonomska pojava mora imati inerciju, tj. da bi došlo do značajne promjene karakteristika procesa, mora proći značajno vrijeme;
• odstupanja od trenda kretanja su nasumična;
• autokorelacija izračunata iz uzastopnih razlika mora se smanjivati ​​sa povećanjem /, tj. efekat novijih informacija trebao bi se snažnije odraziti na predviđenu vrijednost nego na izvornu informaciju.

Da bi se dobila tačna prognoza metodom harmonijskih pondera, potrebno je ispuniti sve gore navedene preduslove za originalnu vremensku seriju. Za korištenje ove metode, originalna serija je podijeljena u faze to. Broj faza mora biti manji od broja članova serije P, tj. k Tipično, faza je tri do pet nivoa. Za svaku fazu se izračunava linearni trend, tj.

Y t \u003d a,+ V 0" = 1, 2 ,P - to + 1).

Štaviše, za / jednako jedan, Γ = 1, 2,..., to; za / jednako dva, Γ = 2, 3,..., to+1; za / jednako p - k+ 1, r = i - k + ,n - k +2,..., P. Za procjenu parametara a. ( i b w koristi se metoda najmanjih kvadrata. Uz pomoć primljenih (n - do + 1) jednačine su određene vrijednostima pokretnog trenda. U tu svrhu, vrijednosti y (tsu za koje je G = /, oni su označeni y.^. Neka budu Pu Tada se pronalazi prosjek y t prema formuli

Nakon toga, potrebno je testirati hipotezu da su odstupanja od pokretnog trenda stacionarni proces. U tu svrhu izračunava se autokorelacija. Ako se vrijednosti autokorelacijske funkcije smanjuju iz perioda u period, onda je peta premisa ove metode zadovoljena. Zatim se priraštaji izračunavaju po formuli

Prosječna dobit se izračunava po formuli

gdje je C" +| - koeficijenti harmonika koji zadovoljavaju uslove ê +1 > 0 (/ = 1.2, P- 1) i ^C," (= 1.

Izraz (6.25) omogućava da se kasnijim informacijama daju veće težine, jer su dobici obrnuto proporcionalni vremenu koje odvaja originalnu informaciju od kasnijeg za trenutak G = P. Ako početna informacija ima težinu t 2 \u003d / [n - 1), zatim

težina informacije koja se odnosi na sljedeću tačku u vremenu je jednaka

t, \u003d t 2 - 1--- = --I---. (6.26)

3 2 p-2 p- 1 /7-2

AT opšti pogled niz harmonijskih težina je definiran kao

= t,l--

• (/ = 2, 3, , P 1),
• (6.27)

^t, +1 = /7 -1. (6.29)

Da bi se dobili harmonijski koeficijenti C", zadovoljavajući gornja dva uslova, harmonijske težine t 1+1 se mora podijeliti sa (P - 1), tj.

U,= U/ + Yu (6.31)

pod početnim stanjem Y* = Yd,y Ova metoda predviđanje se koristi kada postoji sigurnost da je trend u budućnosti opisan glatkom krivom, tj. u seriji nema sezonskih i cikličnih fluktuacija. Dakle, prije predviđanja razvoja objekta koji se proučava, potrebno je donijeti zaključak o stacionarnosti ili nestacionarnosti vremenske serije. Ova pozicija se može provjeriti korištenjem Dickey-Fullerovog testa. Osnovni proces generiranja koji se koristi u testu je autoregresivni proces prvog reda:

y (= t 0 + t ( / + y-y(_(+ e /? (6.32)

gdje t 0 , t ( ig - konstantni koeficijenti, koji se može naći pomoću najmanjih kvadrata; ? - slučajna greškašto se možda neće uzeti u obzir.

Ako je uslov 0 r 1 zadovoljen, tada je niz stacionaran. At r 0 i g> 1, onda proučavana vremenska serija nije stacionarna.

Karakteristike vremenskih serija. Za detaljnije proučavanje vremenskih serija koriste se vjerovatno-statistički modeli. U ovom slučaju, vremenska serija X(t) se smatra slučajnim procesom (sa diskretnim vremenom), glavne karakteristike su matematičko očekivanje X(t), tj.

varijansa X(t), tj.

i autokorelacijske funkcije vremenske serije X(t)

one. funkcija dvije varijable, jednak koeficijentu korelacije između dvije vrijednosti vremenske serije X(t) i X(s).

U teorijskim i primijenjenim istraživanjima razmatra se širok raspon modela vremenskih serija. Prvo odaberite stacionarni modeli. Imaju zajedničke funkcije raspodjele za bilo koji broj vremenskih tačaka k, te se stoga sve karakteristike gore navedenih vremenskih serija ne mijenjaju s vremenom. Konkretno, srednja vrijednost i varijansa su konstante, funkcija autokorelacije ovisi samo o razlike t-s. Vremenske serije koje nisu stacionarne nazivaju se nestacionarnim.

Pod vremenskim nizom se podrazumijeva vremenski uređen niz vrijednosti jedne ili konačnog skupa slučajnih varijabli. U prvom slučaju se govori o jednodimenzionalnoj vremenskoj seriji, u drugom o višedimenzionalnoj vremenskoj seriji. Ovdje će se razmatrati samo jednodimenzionalne vremenske serije. Jednodimenzionalni vremenski niz naziva se stacionarnim ako su njegove vjerovatnoće konstantne. Vremenska serija se naziva nestacionarnom ako barem jedna od vjerojatnosnih karakteristika nije konstantna. Niz slučajnih varijabli y 1 , y 2 , . . . ili y -1 , y 0 , y 1 , . . naziva se slučajni proces sa diskretnim vremenskim parametrom.

Budući da je važan redoslijed u vremenu nastanka sljedeće vrijednosti vremenske serije, a ne konkretna vrijednost vremena nastanka, u vremenskim serijama se kao argument koristi broj referentne vrijednosti vremenske serije. Na primjer:

x(1), x(2), ... ,x(k), ...

gdje je x(k) vrijednost vremenske serije u k-tom posmatranju po redu; k - broj posmatranja.

U većini praktičnih primjena, vremenske serije se smatraju stacionarnim i nestacionarnim u smislu matematičkog očekivanja s normalnim zakonom raspodjele vrijednosti serija. to znači da:

stacionarni niz: x(k) ê (µ, y 2) , µ = const, y 2 = const;

nestacionarni niz: x(k) ê (µ, y 2) , µ = var, y 2 = konst.

Slijedi implementacija stacionarne vremenske serije:

Predvidljivost vremenske serije.

Za predviđanje vremenske serije potrebno je izgraditi njen model. Predvidljivost niza je moguća samo kada postoji probabilistički (analitički) odnos između narednih vrijednosti serije i prethodnih. Predvidljivost stacionarne vremenske serije određuje se pomoću autokorelacione funkcije (ACF):

c(m) = M[(x(k) - µ)*(x(k + m) - µ)]/y 2

gdje je: c(m) - vrijednost autokorelacijske funkcije na pomaku m vremenske serije x(k)

ACF procjene serije imaju oblik:

Očigledno je da je c(0) = 1, jer je ovo korelacija vremenske serije na sebi.

Stacionarni vremenski niz je predvidljiv ako postoji m>0 c(m) ? 0.

Stacionarni vremenski niz je nepredvidiv ako je za bilo koje m>0 c(m) = 0. Takav niz se naziva "bijeli šum".

Budući da je ACF vrijednosti koeficijenata korelacije, on je funkcija neslučajnih vrijednosti.

Procjena ACF-a se vrši prema implementaciji vremenske serije. Ako implementacija sadrži n vrijednosti, tada je procjena autokorelacijske funkcije:

gdje je: r(m) - ACF procjena; x - prosječna vrijednost implementacije vremenske serije; S 2 - procjena varijanse implementacije vremenske serije.

Prilikom provjere predvidljivosti vremenske serije, dužina implementacije treba da bude najmanje 20 - 30 opservacija.

Treba napomenuti da predviđanje vremenskih serija razmatranom metodom pretpostavlja ispunjenje dva uslova:

• 1. Slučajna varijabla e(k) "bijelog šuma", kao komponenta modela, mora biti podređena normalan zakon distribucija sa nultim matematičkim očekivanjem i konačnom varijansom y e 2 .
• 2. Disperzija "bijelog šuma" y e 2 mora biti konstantna.

Formula za izračunavanje prognoze je:

x(k) = 27,2661 - 0,900766*

gdje je x(k) modelska prognoza za k-tu vrijednost vremenske serije.

Identifikacija modela stacionarne vremenske serije

Identifikacija modela. Za predviđanje budućih performansi na osnovu raspoloživih vremenskih serija, potrebno je identifikovati model koji najbolje opisuje proces generisanja uzorka vremenske serije. Da biste identificirali takav model, možete koristiti izračunatu funkciju autokorelacije. Od mnogih modela za opisivanje dinamike vremenskih serija najčešće se koriste tri: model bijelog šuma, autoregresivni model prvog reda i autoregresivni model drugog reda. Ako je izračunata funkcija autokorelacije kolekcija beznačajnih autokorelacija, to je jasan pokazatelj da je datu vremensku varijabilnost n-te serije najbolje okarakterisati kao "bijeli šum", ili slučajne fluktuacije.

Glavna ideja koja leži u osnovi identifikacije modela vremenske serije ostaje ista i za jednostavne i za složene modele: korespondencija posmatrane strukture podataka sa poznatom strukturom povezanom sa određenom klasom modela. Nakon što je model prethodno identificiran, procjenjuju se njegovi parametri.

Dijagnostička provjera. Budući da je identifikacija modela vremenske serije donekle zasnovana na subjektivnoj proceduri, ponekad se preporučuje da se proceni adekvatnost identifikovanog modela testiranjem značaja autokorelacione funkcije reziduala ovog modela. Ovo je korisno jer reziduali modela vremenske serije nisu autokorelirani.

Međutim, funkcija autokorelacije stacionarne vremenske serije ne dozvoljava jedinstvenu identifikaciju modela serije. To je moguće pomoću druge dodatne funkcije - privatne autokorelacijske funkcije (PACF). Vrijednosti FACF-a su vrijednost m-tog koeficijenta u reprezentaciji vremenske serije autoregresivnim procesom reda m. Neka postoji stacionarna vremenska serija x(k). Razmotrite sljedeće prikaze vremenskih serija kroz autoregresivni proces:

x(k) - m = a 11 *

x(k) - m = a 12 * + a 22 *

x(k) - m = a 13 * + a 23 * + a 33 *

... ... ... ... ... ... ... ... ...

x(k) - m = a 1 * + a 2 * + a 33 * + ... + a mm *

FACF vrijednosti za pomake 1, 2, 3, ..., m su vrijednosti koeficijenata: a 11, a 22, a 33, ..., a mm. CHAF grafikon može izgledati ovako:

Nakon procjene FACF-a, potrebno je za svaki m testirati hipotezu da je odgovarajući koeficijent parcijalne autokorelacije jednak nuli. U programima statističke obrade podataka izračunavaju se kritične vrijednosti za svaki od koeficijenata, koji na grafu procjene FACF-a imaju oblik kontrolnih granica.

Prilikom identifikacije modela, u pravilu se koriste sljedeća pravila:

• 1. Ako su h prve vrijednosti ACF različite od nule, a FACF asimptotski teži nuli po modulu, tada se odvija proces ARSS(0,h) - pokretni prosjek reda h.
• 2. Ako je h prvih vrijednosti PACF različito od nule, a ACF asimptotski teži nuli po modulu, tada se odvija proces ARSS(h,0) - autoregresija reda h.
• 3. Ako vrijednosti ACF i PACF asimptotski teže nuli u modulu, tada se odvija mješoviti proces ARSS(p,q).

Za stohastičku vremensku seriju kaže se da je stacionarna ako su njena srednja vrednost, varijansa, autokovarijanca i autokorelacija konstantne tokom vremena.

Glavni linearni modeli stacionarnih vremenskih serija su:

1. modeli autoregresije;
2. modeli pokretnog prosjeka;
3. modeli autoregresije pokretnog prosjeka.

Nivo vremenske serije predstavljen modelom autoregresije reda R, može se predstaviti na sljedeći način:

y t =δ 1 y t-1 +δ 2 y t-2 +…+δ p y t–p +ν t ,

vt- bijeli šum ( slučajna vrijednost sa nultim matematičkim očekivanjima)

U praksi se najčešće mogu koristiti autoregresivni modeli prvog, drugog, maksimalnog trećeg reda.

Autoregresivni model prvog reda AP(1) naziva se "Markovljevim procesom" jer su vrijednosti varijable y u trenutnom vremenu t zavise samo od vrijednosti varijable y u prethodnom trenutku (t–1) Ovaj model ima oblik:

y t =δy t–1 +ν t.

Za model AP(1) postoji ograničenje |δ|<1 .

y t =δ 1 y t-1 +δ 2 y t-2 +ν t.

1. (δ 1 +δ 2)<1;
2. (δ 1 –δ 2)<1;
3. |δ 2 |<1 .

Modeli s pokretnim prosjekom ᴏᴛʜᴏϲᴙ svode se na jednostavnu klasu modela vremenskih serija sa konačnim brojem parametara, koji se mogu dobiti predstavljanjem nivoa vremenske serije kao algebarski zbir članova serije bijelog šuma sa brojem članova. q.

Opći model poretka pokretnog prosjeka q izgleda kao:

y t =ν t –φ 1 ν t–1 –φ2ν t–2 –…–φqν t –q,

gdje je q red modela pokretnog prosjeka;

φ t – nepoznati koeficijenti modela koji se procjenjuje;

ν t je bijeli šum.

Model pokretnog prosjeka narudžbe q označeno kao CC(q) ili MA(q)

U praksi, prvi modeli sa pokretnim prosjekom CC(1) i drugog reda CC(2)

Koeficijenti modela poretka pokretnog prosjeka q ne moraju sabrati jedan i ne moraju biti pozitivni.

Da bi se postigla veća fleksibilnost modela vremenske serije u ekonometrijskom modeliranju, u njega su uključeni i autoregresivni termini i pojmovi pokretnog prosjeka. Takvi modeli se nazivaju mješoviti modeli autoregresije pokretnih prosjeka i također se odnose na linearne modele stacionarnih vremenskih serija.

Najčešće se u praksi koristi mješoviti ARCC(1) model sa jednim autoregresivnim parametrom p=1 i jednim parametrom pokretnog prosjeka. q=1. Ovaj model izgleda ovako:

y t =δy t–1 +ν t –φν t–1 ,

φ je parametar procesa pokretnog prosjeka;

ν t je bijeli šum.

Koeficijenti ovog modela podliježu sljedećim ograničenjima:

1. |δ|<1 je uslov koji osigurava stacionarnost mješovitog modela;
2. | φ |‹1 je uslov koji osigurava reverzibilnost mješovitog modela.

Svojstvo reverzibilnosti mješovitog APCC(p,q) modela znači da se model pokretnog prosjeka može obrnuti ili prepisati kao autoregresivni model neograničenog reda, i obrnuto.

Algoritam za konstrukciju modela vremenske serije na primjeru aditivnih i multiplikativnih modela

Algoritam za konstruisanje modela vremenske serije koji uključuje cikličke fluktuacije sastoji se od glavnih faza, čiji je sadržaj nešto drugačiji za aditivne i multiplikativne modele.

Pojednostavimo model uvođenjem jedne oznake za cikličnu komponentu serije, bez obzira na trajanje ciklusa, ili na njegovu sezonsku ili oportunističku prirodu. Označimo to s t . Tada će aditivni model imati oblik y t = u t + s t + e t , a multiplikativni - y t = u t * s t * e t .

Dakle, glavne faze izgradnje modela:

1) Izglađivanje originalne serije na osnovu proseka, koji se izračunavaju tokom vremenskog perioda koji odgovara trajanju ciklusa.

2) Određivanje vrijednosti ciklične ili sezonske komponente (za više detalja vidjeti Eliseeva I.I., Kurysheva S.V., Kosteeva T.V. et al. Ekonometrija: Udžbenik. - M.: Finansije i statistika, 2001. - P. 242-251 ). Za aditivni model, zbir vrijednosti ove komponente za sve periode jednog ciklusa mora biti jednak nuli, a u multiplikativnom modelu, broju perioda u ciklusu. Ovo osigurava uzajamno otkupljivanje ciklične komponente.

3) Uklanjanje cikličkih komponenti iz modela. U aditivnom modelu to se provodi oduzimanjem, nakon čega će model dobiti oblik y t = u t + e t . U multiplikativnom modelu to se provodi dijeljenjem, nakon čega će model dobiti oblik y t = u t * e t .

4) Analitičko poravnanje dobijene serije y t = u t + e t ili y t = u t * e t na osnovu konstrukcije jednačine trenda y t = f(t).

5) Ciklična komponenta se dodaje dobijenim nivoima serije (u slučaju aditivnog modela) ili množi s njom (u slučaju multiplikativnog modela): y t = f(t) + s t ili y t = f( t) * s t .

6) Poređenje izračunatih vrednosti nivoa serije, dobijenih korišćenjem konstruisanog modela, sa stvarnim vrednostima. Evaluacija rezultirajućeg modela, proračun grešaka.

Vremenske serije su stohastičke prirode i shodno tome se za njih mogu izračunati različite vjerovatnoće.

Stacionarna vremenska serija je vremenska serija za koju su sve vjerovatnoće konstantne.

To znači da bez obzira na to koji dio vremenske serije uzmemo, vjerojatnostne karakteristike vrijednosti indikatora će biti iste kao i za bilo koji drugi vremenski interval ove serije. Ne postoji komponenta trenda u stacionarnoj seriji.

Nestacionarni vremenski niz nema ovo svojstvo.

Vizuelno stacionarne i nestacionarne vremenske serije prikazane su na slici 5.1.

Razlikovati koncepte slab i stroga stacionarnost. Da bi se serija smatrala slabo stacionarnom, ili stacionarnom u širem smislu te riječi, dovoljno je da ima konstantno matematičko očekivanje, varijansu i koeficijente autokorelacije. Za rigorozniju definiciju stacionarnosti neophodna je i postojanost ostalih verovatnoća (funkcija distribucije mora biti ista), koje se detaljno proučavaju u okviru teorije verovatnoće.

Treba imati na umu da je svaka strogo stacionarna serija također slabo stacionarna, ali ne i obrnuto. Dakle, presjek (zajednički dio) skupa slabo stacionarnih nizova i skupa strogo stacionarnih redova je skup strogo stacionarnih redova. Unija skupa slabo stacionarnih redova i skupa strogo stacionarnih redova je skup slabo stacionarnih redova (jer su strogo stacionarni redovi uključeni u slabo stacionarne redove).

Primjer stacionarne vremenske serije bi bio "bijeli šum" u regresijskim modelima (tj. vremenski raspoređene vrijednosti slučajne komponente za koju su srednja vrijednost i varijansa konstantne (u kom slučaju je očekivana vrijednost ostatka nula) i ove vrijednosti nisu u korelaciji jedna s drugom).

Ergodic serija. Važno svojstvo nekih stacionarnih serija je svojstvo ergodicnost. Suština ovog svojstva je da se za ergodičku seriju matematičko očekivanje njenih nivoa u prostoru poklapa sa matematičkim očekivanjem njenih nivoa u vremenu.

Neka je za slabo stacionarni proces u bilo kojem trenutku t očekivanje vrijednosti M(y t) = µ (ovo je očekivanje u prostoru). Matematičko očekivanje u vremenu je prosjek n vrijednosti vremenske serije na n ® ¥. Ako , tada je takav niz ergodičan.

Drugim riječima, za stacionarnu vremensku seriju, prosječna vrijednost skupa realizacija za date trenutke u vremenu jednaka je prosjeku tokom vremena izračunatom za jednu realizaciju.