Kao što je gore navedeno, tri figure su među jednostavnim ravnim figurama: pravougaonik, trokut i krug. Ove figure se smatraju jednostavnim jer je položaj težišta ovih figura unaprijed poznat. Sve ostale figure mogu biti sastavljene od ovih jednostavnih figura i smatraju se složenim. Izračunajmo aksijalne momente inercije jednostavnih figura oko njihovih centralnih ose.

1. Pravougaonik. Razmotrimo presjek pravokutnog profila sa dimenzijama (slika 4.6). Odaberite element presjeka po dva beskonačno bliska dijela na udaljenosti od centralne ose
.

Izračunajte moment inercije pravokutnog presjeka oko ose:

. (4.10)

Moment inercije pravokutnog presjeka oko ose
naći slično. Izlaz nije prikazan ovdje.

. (4.11)


i
je nula, budući da su osi
i
su ose simetrije i stoga glavne ose.

2. Jednakokraki trougao. Razmotrite dio trokutastog profila s dimenzijama
(Sl.4.7). Odaberite element presjeka po dva beskonačno bliska dijela na udaljenosti od centralne ose
. Težište trougla je na udaljenosti
iz baze. Pretpostavlja se da je trokut jednakokračan, tako da je os
presjek je osa simetrije.

Izračunajte moment inercije presjeka oko ose
:

. (4.12)

vrijednost definišemo iz sličnosti trokuta:

; gdje
.

Zamjena izraza za u (4.12) i integrirajući, dobijamo:

. (4.13)

Moment inercije za jednakokraki trokut oko ose
nalazi se na isti način i jednako je:

(4.14)

Centrifugalni moment inercije oko osi
i
je nula jer je os
je osa simetrije presjeka.

3. Krug. Razmotrite dio kružnog profila s promjerom (Sl.4.8). Odaberimo element presjeka po dva beskonačno bliska koncentrična kruga smještena na udaljenosti od težišta kruga .

Izračunajmo polarni moment inercije kružnice koristeći izraz (4.5):

. (4.15)

Koristeći uvjet invarijantnosti za zbir aksijalnih momenata inercije oko dvije međusobno okomite ose (4.6) i uzimajući u obzir da je za kružnicu, zbog simetrije
, određujemo vrijednost aksijalnih momenata inercije:

. (4.16)

. (4.17)

Centrifugalni moment inercije oko osi i je nula, budući da su osi
i
su osi simetrije presjeka.

4.4. Odnosi između momenata inercije oko paralelnih osa

Prilikom izračunavanja momenata inercije za složene figure, treba imati na umu jedno pravilo: vrijednosti momenata inercije mogu se dodati, ako se računaju u odnosu na istu osu. Za složene figure najčešće se težišta pojedinačnih jednostavnih figura i cijele figure ne poklapaju. Centralne ose za pojedinačne jednostavne figure i čitavu figuru se ne poklapaju, respektivno. U tom smislu postoje metode za dovođenje momenata inercije na jednu os, na primjer, središnju os cijele figure. To može biti zbog paralelnog prevođenja osi inercije i dodatnih proračuna.

Razmotrimo definiciju momenata inercije oko paralelnih osa inercije, prikazanu na Sl.4.9.

Neka su aksijalni i centrifugalni momenti inercije prikazani na slici 4.9. figure o proizvoljno odabranim osama
i
sa ishodištem u tački poznato. Potrebno je izračunati aksijalne i centrifugalne momente inercije figure u odnosu na proizvoljne paralelne osi
i
sa ishodištem u tački . sjekire
i
izvode na daljinama i odnosno sa osi
i
.

Koristimo izraze za aksijalne momente inercije (4.4) i za centrifugalni moment inercije (4.7). Zamijenite u ovim izrazima umjesto trenutnih koordinata
i
element sa beskonačno malom koordinatnom površinom
i
in novi sistem koordinate. Dobijamo:

Analizirajući dobijene izraze, dolazimo do zaključka da je prilikom izračunavanja momenata inercije u odnosu na paralelne ose momentima inercije izračunatim u odnosu na početne ose inercije potrebno dodati dodatke u vidu dodatnih članova, koji mogu biti mnogo veći od vrijednosti za momente inercije u odnosu na početne ose. Stoga, ove dodatne uslove ni u kom slučaju ne treba zanemariti.

Razmatrani slučaj je najopštiji slučaj paralelnog prenosa osa, kada su kao početne uzete proizvoljne ose inercije. U većini proračuna postoje posebni slučajevi određivanja momenata inercije.

Prvi poseban slučaj . Referentne ose su centralne osi inercije figure. Zatim, koristeći glavno svojstvo za statički moment površine, moguće je isključiti iz jednačina (4.18)-(4.20) članove jednadžbi, koje uključuju statički moment površine figure. Kao rezultat, dobijamo:

. (4.21)

. (4.22)

. (4.23)

Evo sjekire
i
- centralna osa inercije.

Drugi poseban slučaj. Referentne ose su glavne ose inercije. Tada, s obzirom da je centrifugalni moment inercije nula u odnosu na glavne osi inercije, dobijamo:

. (4.24)

. (4.25)

. (4.26)

Evo sjekire
i
- Glavne osi inercije.

Koristimo dobijene izraze i razmotrimo nekoliko primjera izračunavanja momenata inercije ravnih figura.

Primjer 4.2. Odredite aksijalne momente inercije figure prikazane na sl. 4.10, u odnosu na centralne ose i .

U prethodnom primjeru 4.1, za sliku prikazanu na slici 4.10, određen je položaj težišta C. Koordinata centra gravitacije je iscrtana iz ose i napravljeno
. Izračunajmo udaljenosti i između osovina i i sjekire i . Ove udaljenosti su bile respektivno
i
. Od originalnih sjekira i su središnje osi za jednostavne figure u obliku pravokutnika, za određivanje momenta inercije figure oko ose koristimo derivacije za prvi poseban slučaj, posebno za formulu (4.21).

Moment inercije oko ose dobijeno zbrajanjem momenata inercije jednostavnih figura oko iste ose, budući da je os je zajednička središnja os za jednostavne figure i za cijelu figuru.

cm 4.

Centrifugalni moment inercije oko osi i je nula, budući da je osa inercije je glavna osa (osa simetrije figure).

Primjer 4.3. Koja je veličina b(u cm) figura prikazana na sl. 4.11, ako je moment inercije figure oko ose jednako 1000 cm 4?

Izražavamo moment inercije oko ose kroz nepoznatu veličinu sekcije , koristeći formulu (4.21), uzimajući u obzir da je rastojanje između osa i jednako 7 cm:

cm 4. (a)

Rješavanje izraza (a) s obzirom na veličinu presjeka , dobijamo:

cm.

Primjer 4.4. Koja od slika prikazanih na slici 4.12 ima veći moment inercije oko ose ako oba oblika imaju istu površinu
cm 2?

1. Površine figura izražavamo njihovim veličinama i određujemo:

a) prečnik preseka za okrugli presjek:

cm 2; Gdje
cm.

b) veličina stranice kvadrata:

; Gdje
cm.

2. Izračunajte moment inercije za kružni presjek:

cm 4.

3. Izračunajte moment inercije za kvadratni presjek:

cm 4.

Upoređujući dobijene rezultate, dolazi se do zaključka da će kvadratni presjek imati najveći moment inercije u odnosu na okrugli presjek iste površine.

Primjer 4.5. Odrediti polarni moment inercije (u cm 4) pravokutnog presjeka u odnosu na njegovo težište, ako je širina presjeka
cm, visina presjeka
cm.

1. Odrediti momente inercije presjeka u odnosu na horizontalu i vertikalno centralne osi inercije:

cm 4;
cm 4.

2. Odrediti polarni moment inercije presjeka kao zbir aksijalnih momenata inercije:

cm 4.

Primjer 4.6. Odredite moment inercije trouglastog oblika prikazanog na slici 4.13, u odnosu na centralnu osu , ako je moment inercije figure oko ose jednako 2400 cm 4.

Moment inercije trouglastog presjeka oko glavne osi inercije će biti manji od momenta inercije oko ose po iznosu
. Stoga, kada
vidi moment inercije presjeka oko ose pronađite na sledeći način.

tijelo m po kvadratnoj udaljenosti d između osovina:

J = J c + m d 2 , (\displaystyle J=J_(c)+md^(2),)

gdje m- ukupna tjelesna težina.

Na primjer, moment inercije štapa oko ose koja prolazi kroz njegov kraj je:

J \u003d J c + m d 2 = 1 12 m l 2 + m (l 2) 2 = 1 3 m l 2. (\displaystyle J=J_(c)+md^(2)=(\frac (1)(12))ml^(2)+m\left((\frac (l)(2))\desno)^ (2)=(\frac (1)(3))ml^(2).)

Aksijalni momenti inercije nekih tijela

Trenuci inercije homogena tijela najjednostavnijeg oblika u odnosu na neke ose rotacije
Tijelo Opis Položaj osovine a Moment inercije J a
Materijalna tačka mase m Na daljinu r sa tačke, fiksno
Šuplji cilindar tankih zidova ili prsten radijusa r i mase m Osa cilindra m r 2 (\displaystyle mr^(2))
Puni polumjer cilindra ili diska r i mase m Osa cilindra 1 2 m r 2 (\displaystyle (\frac (1)(2))mr^(2))
Šuplji masni cilindar debelih zidova m sa spoljnim radijusom r 2 i unutrašnji radijus r 1 Osa cilindra m r 2 2 + r 1 2 2 (\displaystyle m(\frac (r_(2)^(2)+r_(1)^(2))(2)))
Čvrsta dužina cilindra l, radijus r i mase m 1 4 m ⋅ r 2 + 1 12 m ⋅ l 2 (\displaystyle (1 \preko 4)m\cdot r^(2)+(1 \preko 12)m\cdot l^(2))
Dužina šupljeg cilindra tankog zida (prstena). l, radijus r i mase m Osa je okomita na cilindar i prolazi kroz njegovo središte mase 1 2 m ⋅ r 2 + 1 12 m ⋅ l 2 (\displaystyle (1 \preko 2)m\cdot r^(2)+(1 \preko 12)m\cdot l^(2))
Ravno tanka dužina štapa l i mase m Osa je okomita na štap i prolazi kroz njegovo središte mase 1 12 m l 2 (\displaystyle (\frac (1)(12))ml^(2))
Ravno tanka dužina štapa l i mase m Os je okomita na štap i prolazi kroz njegov kraj 1 3 m l 2 (\displaystyle (\frac (1)(3))ml^(2))
Tankozidna sfera polumjera r i mase m Osa prolazi kroz centar sfere 2 3 m r 2 (\displaystyle (\frac (2)(3))mr^(2))
polumjer lopte r i mase m Os prolazi kroz centar lopte 2 5 m r 2 (\displaystyle (\frac (2)(5))mr^(2))
Radijus konusa r i mase m konusna osovina 3 10 m r 2 (\displaystyle (\frac (3)(10))mr^(2))
Jednakokraki trougao sa visinom h, baza a i težinu m Osa je okomita na ravan trougla i prolazi kroz vrh 1 24 m (a 2 + 12 h 2) (\displaystyle (\frac (1)(24))m(a^(2)+12h^(2)))
Pravougli trokut sa stranom a i težinu m Osa je okomita na ravan trougla i prolazi kroz centar mase 1 12 m a 2 (\displaystyle (\frac (1)(12))ma^(2))
Kvadrat sa stranom a i težinu m Osa je okomita na ravan kvadrata i prolazi kroz centar mase 1 6 m a 2 (\displaystyle (\frac (1)(6))ma^(2))
Pravougaonik sa stranicama a i b i težinu m Osa je okomita na ravan pravougaonika i prolazi kroz centar mase 1 12 m (a 2 + b 2) (\displaystyle (\frac (1)(12))m(a^(2)+b^(2)))
Regularni n-ugao poluprečnika r i težinu m Osa je okomita na ravan i prolazi kroz centar mase m r 2 6 [ 1 + 2 cos ⁡ (π / n) 2 ] (\displaystyle (\frac (mr^(2))(6))\left)
Torus (šuplji) sa polumjerom kružnice vodilice R, radijus generirajuće kružnice r i težinu m Os je okomita na ravan vodeće kružnice torusa i prolazi kroz centar mase I = m (3 4 r 2 + R 2) (\displaystyle I=m\left((\frac (3)(4))\,r^(2)+R^(2)\desno))

Izvođenje formula

Tankozidni cilindar (prsten, obruč)

Izvođenje formule

moment inercije tela jednak je zbiru momente inercije njegovih sastavnih delova. Podijelimo tankozidni cilindar na elemente s masom dm i momente inercije DJ i. Onda

J = ∑ d J i = ∑ R i 2 d m . (jedan) . (\displaystyle J=\sum dJ_(i)=\sum R_(i)^(2)dm.\qquad (1).)

Budući da su svi elementi tankozidnog cilindra na istoj udaljenosti od ose rotacije, formula (1) se pretvara u oblik

J = ∑ R 2 d m = R 2 ∑ d m = m R 2 . (\displaystyle J=\suma R^(2)dm=R^(2)\suma dm=mR^(2).)

Cilindar debelih zidova (prsten, obruč)

Izvođenje formule

Neka postoji homogeni prsten sa spoljnim radijusom R, unutrašnji radijus R 1, debljina h i gustina ρ. Izlomimo ga na tanke kolutiće debljine dr. Masa i moment inercije tankog prstena poluprečnika r iznose

d m = ρ d V = ρ ⋅ 2 π r h d r ; d J = r 2 d m = 2 π ρ h r 3 d r . (\displaystyle dm=\rho dV=\rho \cdot 2\pi rhdr;\qquad dJ=r^(2)dm=2\pi \rho hr^(3)dr.)

Moment inercije debelog prstena nalazimo kao integral

J = ∫ R 1 R d J = 2 π ρ h ∫ R 1 R r 3 d r = (\displaystyle J=\int _(R_(1))^(R)dJ=2\pi \rho h\int _ (R_(1))^(R)r^(3)dr=) = 2 π ρ h r 4 4 | R 1 R = 1 2 π ρ h (R 4 − R 1 4) = 1 2 π ρ h (R 2 − R 1 2) (R 2 + R 1 2) . (\displaystyle =2\pi \rho h\lijevo.(\frac (r^(4))(4))\desno|_(R_(1))^(R)=(\frac (1)(2 ))\pi \rho h\left(R^(4)-R_(1)^(4)\desno)=(\frac (1)(2))\pi \rho h\left(R^(2) )-R_(1)^(2)\desno)\lijevo(R^(2)+R_(1)^(2)\desno).)

Pošto su zapremina i masa prstena jednake

V = π (R 2 − R 1 2) h ; m = ρ V = π ρ (R 2 − R 1 2) h , (\displaystyle V=\pi \left(R^(2)-R_(1)^(2)\right)h;\qquad m= \rho V=\pi \rho \levo(R^(2)-R_(1)^(2)\desno)h,)

dobijamo konačnu formulu za moment inercije prstena

J = 1 2 m (R 2 + R 1 2) . (\displaystyle J=(\frac (1)(2))m\levo(R^(2)+R_(1)^(2)\desno).)

Homogeni disk (puni cilindar)

Izvođenje formule

Razmatrajući cilindar (disk) kao prsten sa nultim unutrašnjim radijusom ( R 1 = 0 ), dobijamo formulu za moment inercije cilindra (diska):

J = 1 2 m R 2 . (\displaystyle J=(\frac (1)(2))mR^(2).)

čvrsti konus

Izvođenje formule

Podijelite konus na tanke diskove debljine dh okomito na osu stošca. Radijus takvog diska je

r = R h H , (\displaystyle r=(\frac (Rh)(H)),)

gdje R je poluprečnik osnove stošca, H je visina stošca, h je udaljenost od vrha konusa do diska. Masa i moment inercije takvog diska će biti

d J = 1 2 r 2 d m = 1 2 π ρ r 4 d h = 1 2 π ρ (R h H) 4 d h ; (\displaystyle dJ=(\frac (1)(2))r^(2)dm=(\frac (1)(2))\pi \rho r^(4)dh=(\frac (1)( 2))\pi \rho \left((\frac (Rh)(H))\desno)^(4)dh;)

Integrisanje, dobijamo

J = ∫ 0 H d J = 1 2 π ρ (R H) 4 ∫ 0 H h 4 d h = 1 2 π ρ (R H) 4 h 5 5 | 0 H == 1 10 π ρ R 4 H = (ρ ⋅ 1 3 π R 2 H) 3 10 R 2 = 3 10 m R 2 . (\displaystyle (\begin(aligned)J=\int _(0)^(H)dJ=(\frac (1)(2))\pi \rho \left((\frac (R)(H)) \desno)^(4)\int _(0)^(H)h^(4)dh=(\frac (1)(2))\pi \rho \left((\frac (R)(H) )\desno)^(4)\lijevo.(\frac (h^(5))(5))\desno|_(0)^(H)==(\frac (1)(10))\pi \rho R^(4)H=\lijevo(\rho \cdot (\frac (1)(3))\pi R^(2)H\desno)(\frac (3)(10))R^( 2)=(\frac (3)(10))mR^(2).\end(poravnano)))

Čvrsta uniformna lopta

Izvođenje formule

Podijelite lopticu na tanke diskove dh, okomito na os rotacije. Radijus takvog diska koji se nalazi na visini h iz centra sfere, nalazimo po formuli

r = R 2 − h 2 . (\displaystyle r=(\sqrt (R^(2)-h^(2))).)

Masa i moment inercije takvog diska će biti

d m = ρ d V = ρ ⋅ π r 2 d h ; (\displaystyle dm=\rho dV=\rho \cdot \pi r^(2)dh;) d J = 1 2 r 2 d m = 1 2 π ρ r 4 d h = 1 2 π ρ (R 2 − h 2) 2 d h = 1 2 π ρ (R 4 − 2 R 2 h 2 + h 4) d h . (\displaystyle dJ=(\frac (1)(2))r^(2)dm=(\frac (1)(2))\pi \rho r^(4)dh=(\frac (1)( 2))\pi \rho \left(R^(2)-h^(2)\desno)^(2)dh=(\frac (1)(2))\pi \rho \left(R^( 4)-2R^(2)h^(2)+h^(4)\desno)dh.)

Moment inercije lopte nalazi se integracijom:

J = ∫ − R R d J = 2 ∫ 0 R d J = π ρ ∫ 0 R (R 4 − 2 R 2 h 2 + h 4) d h = = π ρ (R 4 h − 2 3 R 2 h 3 + 1 5 h 5) | 0 R = π ρ (R 5 − 2 3 R 5 + 1 5 R 5) = 8 15 π ρ R 5 = = (4 3 π R 3 ρ) ⋅ 2 5 R 2 = 2 5 m R 2 . (\displaystyle (\begin(aligned)J&=\int _(-R)^(R)dJ=2\int _(0)^(R)dJ=\pi \rho \int _(0)^(R) )\left(R^(4)-2R^(2)h^(2)+h^(4)\desno)dh=\\&=\pi \rho \left.\left(R^(4) h-(\frac (2)(3))R^(2)h^(3)+(\frac (1)(5))h^(5)\right)\right|_(0)^( R)=\pi \rho \left(R^(5)-(\frac (2)(3))R^(5)+(\frac (1)(5))R^(5)\desno) =(\frac (8)(15))\pi \rho R^(5)=\\&=\left((\frac (4)(3))\pi R^(3)\rho \right) \cdot (\frac (2)(5))R^(2)=(\frac (2)(5))mR^(2).\end(poravnano)))

sfera tankih zidova

Izvođenje formule

Za izvođenje koristimo formulu za moment inercije homogene lopte poluprečnika R :

J 0 = 2 5 M R 2 = 8 15 π ρ R 5 . (\displaystyle J_(0)=(\frac (2)(5))MR^(2)=(\frac (8)(15))\pi \rho R^(5).)

Izračunajmo koliko će se promijeniti moment inercije lopte ako se pri konstantnoj gustoći ρ njen polumjer poveća za beskonačno malu vrijednost dR .

J = d J 0 d R d R = d d R (8 15 π ρ R 5) d R = = 8 3 π ρ R 4 d R = (ρ ⋅ 4 π R 2 d R) 2 3 R 2 = 2 3 m R 2 . (\displaystyle (\begin(aligned)J&=(\frac (dJ_(0))(dR))dR=(\frac (d)(dR))\left((\frac (8)(15))\ pi \rho R^(5)\desno)dR=\\&=(\frac (8)(3))\pi \rho R^(4)dR=\left(\rho \cdot 4\pi R^ (2)dR\desno)(\frac (2)(3))R^(2)=(\frac (2)(3))mR^(2).\end(poravnano)))

Tanka šipka (os prolazi kroz centar)

Izvođenje formule

Podijelimo štap na male fragmente dužine dr. Masa i moment inercije takvog fragmenta je

d m = m d r l ; d J = r 2 d m = m r 2 d r l . (\displaystyle dm=(\frac (mdr)(l));\qquad dJ=r^(2)dm=(\frac (mr^(2)dr)(l)).)

Integrisanje, dobijamo

J = ∫ − l / 2 l / 2 d J = 2 ∫ 0 l / 2 d J = 2 m l ∫ 0 l / 2 r 2 d r = 2 m l r 3 3 | 0 l / 2 = 2 m l l 3 24 = 1 12 m l 2 . (\displaystyle J=\int _(-l/2)^(l/2)dJ=2\int _(0)^(l/2)dJ=(\frac (2m)(l))\int _ (0)^(l/2)r^(2)dr=(\frac (2m)(l))\levo.(\frac (r^(3))(3))\desno|_(0) ^(l/2)=(\frac (2m)(l))(\frac (l^(3))(24))=(\frac (1)(12))ml^(2).)

Tanka šipka (os prolazi kroz kraj)

Izvođenje formule

Prilikom pomicanja osi rotacije od sredine štapa do njegovog kraja, težište štapa se pomiče u odnosu na os za razdaljinu ⁄2. Prema Steinerovoj teoremi, novi moment inercije će biti jednak

J \u003d J 0 + m r 2 \u003d J 0 + m (l 2) 2 = 1 12 m l 2 + 1 4 m l 2 = 1 3 m l 2. (\displaystyle J=J_(0)+mr^(2)=J_(0)+m\levo((\frac (l)(2))\desno)^(2)=(\frac (1)( 12))ml^(2)+(\frac (1)(4))ml^(2)=(\frac (1)(3))ml^(2).)

Bezdimenzionalni momenti inercije planeta i satelita

Od velikog značaja za proučavanje unutrašnje strukture planeta i njihovih satelita su njihovi bezdimenzijski momenti inercije. Bezdimenzionalni moment inercije tijela poluprečnika r i mase m jednak je omjeru njegovog momenta inercije oko osi rotacije i momenta inercije materijalna tačka iste mase u odnosu na fiksnu os rotacije koja se nalazi na udaljenosti r(jednak gospodin 2 ). Ova vrijednost odražava distribuciju mase po dubini. Jedna od metoda za njegovo mjerenje za planete i satelite je određivanje Doplerovog pomaka radio signala koji AMS prenosi oko određene planete ili satelita. Za sferu tankih zidova, bezdimenzionalni moment inercije jednak je 2/3 (~0,67), za homogenu kuglu - 0,4, a općenito što je manja, to je veća masa tijela koncentrisana u njenom središtu. Na primjer, Mjesec ima bezdimenzionalni moment inercije blizu 0,4 (jednako 0,391), pa se pretpostavlja da je relativno homogen, njegova gustina se malo mijenja sa dubinom. Bezdimenzionalni moment inercije Zemlje manji je od momenta homogene lopte (jednak 0,335), što je argument u prilog postojanja gustog jezgra u njoj.

centrifugalni moment inercije

Centrifugalni momenti inercije tijela u odnosu na osi pravougaonog kartezijanskog koordinatnog sistema su sljedeće veličine:

J x y = ∫ (m) x y d m = ∫ (V) x y ρ d V , (\displaystyle J_(xy)=\int \limits _((m))xydm=\int \limits _((V))xy\ rho dV,) J x z = ∫ (m) x z d m = ∫ (V) x z ρ d V , (\displaystyle J_(xz)=\int \limits _((m))xzdm=\int \limits _((V))xz\ rho dV,) J y z = ∫ (m) y z d m = ∫ (V) y z ρ d V , (\displaystyle J_(yz)=\int \limits _((m))yzdm=\int \limits _((V))yz\ rho dV,)

gdje x , y i z- koordinate malog elementa tijela sa zapreminom dV, gustina ρ i masa dm .

Osa OX se zove glavna osa inercije tela ako su centrifugalni momenti inercije Jxy i Jxz su istovremeno nula. Kroz svaku tačku tijela mogu se povući tri glavne osi inercije. Ove ose su međusobno okomite jedna na drugu. Momenti inercije tijela u odnosu na tri glavne osi inercije povučene u proizvoljnoj tački O tijela se nazivaju glavni momenti inercije ovog tela.

Glavne osi inercije koje prolaze kroz centar mase tijela nazivaju se glavne centralne osi inercije tela, a momenti inercije oko ovih osa su njegovi glavni centralni momenti inercije. Osa simetrije homogenog tijela uvijek je jedna od njegovih glavnih centralnih osi inercije.

Geometrijski momenti inercije

Geometrijski moment inercije zapremine

J V a = ∫ (V) r 2 d V , (\displaystyle J_(Va)=\int \limits _((V))r^(2)dV,)

gde, kao i ranije r- udaljenost od elementa dV to axis a .

Geometrijski moment inercije površine u odnosu na osu - geometrijska karakteristika tijela, izražena formulom:

J S a = ∫ (S) r 2 d S , (\displaystyle J_(Sa)=\int \limits _((S))r^(2)dS,)

gdje se integracija vrši preko površine S, a dS je element ove površine.

Dimenzija J Sa- dužina na četvrtu potenciju ( d i m J S a = L 4 (\displaystyle \mathrm (dim) J_(Sa)=\mathrm (L^(4)) )), odnosno SI jedinica je 4. U građevinskim proračunima, literaturi i asortimanima valjanog metala često se navodi u cm 4.

Kroz geometrijski moment inercije površine izražava se moment otpora presjeka:

W = J S a r m a x . (\displaystyle W=(\frac (J_(Sa))(r_(max))).)

Evo rmax- maksimalna udaljenost od površine do ose.

Geometrijski momenti inercije površine nekih figura
Rectangle Height h (\displaystyle h) i širina b (\displaystyle b): J y = b h 3 12 (\displaystyle J_(y)=(\frac (bh^(3))(12)))

J z = h b 3 12 (\displaystyle J_(z)=(\frac (hb^(3))(12)))
Visina i širina pravokutnog kutijastog presjeka duž vanjskih kontura H (\displaystyle H) i B (\displaystyle B), i za interne h (\displaystyle h) i b (\displaystyle b) respektivno J z = B H 3 12 − b h 3 12 = 1 12 (B H 3 − b h 3) (\displaystyle J_(z)=(\frac (BH^(3))(12))-(\frac (bh^( 3))(12))=(\frac (1)(12))(BH^(3)-bh^(3)))

J y = H B 3 12 − h b 3 12 = 1 12 (H B 3 − h b 3) (\displaystyle J_(y)=(\frac (HB^(3))(12))-(\frac (hb^( 3))(12))=(\frac (1)(12))(HB^(3)-hb^(3)))
Prečnik kruga d (\displaystyle d) J y = J z = π d 4 64 (\displaystyle J_(y)=J_(z)=(\frac (\pi d^(4))(64)))

Moment inercije oko aviona

moment inercije čvrsto telo u odnosu na određenu ravan naziva se skalarna veličina, jednaka zbroju proizvoda mase svake tačke tijela i kvadrata udaljenosti od ove tačke do ravnine o kojoj je riječ.

Ako kroz proizvoljnu tačku O (\displaystyle O) nacrtati koordinatne ose x , y , z (\displaystyle x,y,z), zatim momenti inercije oko koordinatnih ravnina x O y (\displaystyle xOy), y O z (\displaystyle yOz) i zO x (\displaystyle zOx)će se izraziti formulama:

J x O y = ∑ i = 1 n m i z i 2 , (\displaystyle J_(xOy)=\sum _(i=1)^(n)m_(i)z_(i)^(2)\ ,) J y O z = ∑ i = 1 n m i x i 2 , (\displaystyle J_(yOz)=\sum _(i=1)^(n)m_(i)x_(i)^(2)\ ,) J z O x = ∑ i = 1 n m i y i 2 . (\displaystyle J_(zOx)=\suma _(i=1)^(n)m_(i)y_(i)^(2)\ .)

U slučaju čvrstog tijela, sumiranje je zamijenjeno integracijom.

Centralni moment inercije

Centralni moment inercije (moment inercije oko tačke O, moment inercije oko pola, polarni moment inercije) J O (\displaystyle J_(O)) je vrijednost određena izrazom:

J a = ∫ (m) r 2 d m = ∫ (V) ρ r 2 d V , (\displaystyle J_(a)=\int \limits _((m))r^(2)dm=\int \limits _((V))\rho r^(2)dV,)

Centralni moment inercije može se izraziti kroz glavne aksijalne momente inercije, kao i kroz momente inercije oko ravni:

J O = 1 2 (J x + J y + J z) , (\displaystyle J_(O)=(\frac (1)(2))\left(J_(x)+J_(y)+J_(z) \desno)) J O = J x O y + J y O z + J x O z . (\displaystyle J_(O)=J_(xOy)+J_(yOz)+J_(xOz).)

Tenzor inercije i elipsoid inercije

Moment inercije tijela oko proizvoljne ose koja prolazi kroz centar mase i ima smjer zadan jediničnim vektorom s → = ‖ s x , s y , s z ‖ T , | s → | = 1 (\displaystyle (\vec (s))=\left\Vert s_(x),s_(y),s_(z)\desno\Vert ^(T),\left\vert (\vec (s) )\right\vert=1), može se predstaviti kao kvadratni (bilinearni) oblik:

I s = s → T ⋅ J ^ ⋅ s → , (\displaystyle I_(s)=(\vec (s))^(T)\cdot (\hat (J))\cdot (\vec (s)) ,\qquad ) (1)

gdje je tenzor inercije. Matrica tenzora inercije je simetrična, ima dimenzije 3 × 3 (\displaystyle 3\puta 3) a sastoji se od komponenti centrifugalnih momenata:

J ^ = ‖ J x x − J x y − J x z − J y x J y y − J y z − J z x − J z y J z z ‖ , (\displaystyle (\hat (J))=\left\Vert (\begin(array )(ccc)J_(xx)&-J_(xy)&-J_(xz)\\-J_(yx)&J_(yy)&-J_(yz)\\-J_(zx)&-J_(zy) &J_(zz)\end(niz))\desno\Vert ,) J x y = J y x , J x z = J z x , J z y = J y z , (\displaystyle J_(xy)=J_(yx),\quad J_(xz)=J_(zx),\quad J_(zy)= J_(yz),\quad )J x x = ∫ (m) (y 2 + z 2) d m , J y y = ∫ (m) (x 2 + z 2) d m , J z z = ∫ (m) (x 2 + y 2) d m . (\displaystyle J_(xx)=\int \ograničenja _((m))(y^(2)+z^(2))dm,\quad J_(yy)=\int \ograničenja _((m)) (x^(2)+z^(2))dm,\quad J_(zz)=\int \limits _((m))(x^(2)+y^(2))dm.)

Izborom odgovarajućeg koordinatnog sistema, matrica tenzora inercije može se svesti na dijagonalni oblik. Da bismo to učinili, moramo riješiti problem svojstvenih vrijednosti za tenzorsku matricu J ^ (\displaystyle (\šešir(J))):

J ^ d = Q ^ T ⋅ J ^ ⋅ Q ^ , (\displaystyle (\kašir (J))_(d)=(\šešir (Q))^(T)\cdot (\šešir (J))\ cdot(\šešir(Q)),) J ^ d = ‖ J X 0 0 0 J Y 0 0 0 J Z ‖ , (\displaystyle (\hat (J))_(d)=\left\Vert (\begin(array)(ccc)J_(X)&0&0\ \0&J_(Y)&0\\0&0&J_(Z)\end(array))\desno\Vert ,)

gdje Q ^ (\displaystyle (\šešir(Q)))- ortogonalna matrica prijelaza na vlastitu bazu tenzora inercije. U svojoj osnovi, koordinatne osi su usmjerene duž glavnih osa tenzora inercije, a također se poklapaju s glavnim poluosama elipsoida tenzora inercije. Vrijednosti J X , J Y , J Z (\displaystyle J_(X),J_(Y),J_(Z)) su glavni momenti inercije. Izraz (1) u vlastitom koordinatnom sistemu ima oblik:

I s = J X ⋅ s x 2 + J Y ⋅ s y 2 + J Z ⋅ s z 2 , (\displaystyle I_(s)=J_(X)\cdot s_(x)^(2)+J_(Y)\cdot s_(y )^(2)+J_(Z)\cdot s_(z)^(2),)

odakle se dobija jednadžba elipsoida u sopstvenim koordinatama. Deljenje obe strane jednačine sa I s (\displaystyle I_(s))

(s x I s) 2 ⋅ J X + (s y I s) 2 ⋅ J Y + (s z I s) 2 ⋅ J Z = 1 (\displaystyle \left((s_(x) \preko (\sqrt (I_(s)) ))\desno)^(2)\cdot J_(X)+\left((s_(y) \preko (\sqrt (I_(s))))\desno)^(2)\cdot J_(Y) +\levo((s_(z) \preko (\sqrt (I_(s))))\desno)^(2)\cdot J_(Z)=1)

i vršenje zamjena:

ξ = s x I s , η = s y I s , ζ = s z I s , (\displaystyle \xi =(s_(x) \preko (\sqrt (I_(s)))),\eta =(s_(y ) \preko (\sqrt (I_(s)))),\zeta =(s_(z) \preko (\sqrt (I_(s)))),)

dobijamo kanonski oblik elipsoidne jednadžbe u koordinatama ξ η ζ (\displaystyle \xi \eta \zeta ):

ξ 2 ⋅ J X + η 2 ⋅ J Y + ζ 2 ⋅ J Z = 1. (\displaystyle \xi ^(2)\cdot J_(X)+\eta ^(2)\cdot J_(Y)+\zeta ^( 2)\cdot J_(Z)=1.)

Udaljenost od centra elipsoida do neke od njegovih tačaka povezana je sa vrijednošću momenta inercije tijela duž prave linije koja prolazi kroz centar elipsoida i ovu tačku.

Trenutna stranica: 3 (ukupno knjiga ima 9 stranica) [dostupan odlomak za čitanje: 7 stranica]

Font:

100% +

22. Statički moment presjeka

Proračuni čvrstoće pokazuju da naprezanje i deformacija koji se javljaju u čvrstom tijelu ovise o unutarnjim faktorima sile i geometrijskim karakteristikama poprečnog presjeka. Kod naprezanja, na primjer, napon ovisi o površini poprečnog presjeka, a budući da je napon u ovom slučaju ravnomjerno raspoređen po presjeku, ne ovisi o obliku presjeka. Prilikom torzije naponi zavise od veličine i oblika presjeka zbog neravnomjerne raspodjele naprezanja. Formule proračuna grede u torziji uključuju polarni moment inercije I str i polarni moment otpora W str- geometrijske karakteristike presjeka. Prilikom proračuna čvrstoće grede pri savijanju potrebno je poznavati momente inercije i momente otpora presjeka u odnosu na ose koje prolaze kroz težište grede. Uzmimo za razmatranje određeni dio grede s površinom A i osa koja prolazi kroz centar gravitacije ovog tijela. Statički moment ravnog presjeka oko neke ose x je zbir proizvoda površina elementarnih površina koje čine presjek, rastojanja ovih površina do ose koja prolazi kroz centar gravitacije. Slično za osovinu y.



Statički moment se mjeri u kubnim metrima. Može biti pozitivan, negativan ili nula, ovisno o odabranoj osi. Ako su poznati statički momenti i površina poprečnog presjeka, tada se koordinate težišta mogu odrediti kao omjer statičkog momenta i površine poprečnog presjeka. I obrnuto, ako su poznate koordinate centra gravitacije presjeka - x c , y c, statički moment jednak je proizvodu površine poprečnog presjeka i udaljenosti od težišta do ose.

S x=Ay c

Sy=Sjekira c

Iz dobijenih relacija može se vidjeti da je u slučaju kada osa prolazi kroz težište, statički moment jednak nuli.

U slučaju kada se poprečni presjek može smatrati kao n-ti broj sastavnih dijelova sa poznatim područjima A i i koordinate centara gravitacije x i , y i, položaj cijelog centra gravitacije može se definirati kao zbir proizvoda:



Svaki član u brojniku određuje statički moment ovog preseka u odnosu na izabranu osu.

23. Moment inercije presjeka

Aksijalni (ili ekvatorijalni) moment inercije ravnog presjeka oko neke ose x je zbir proizvoda površina elementarnih površina koje čine poprečni presjek kvadratom udaljenosti ovih površina do ose koja prolazi kroz centar gravitacije. Dakle, aksijalni momenti su integrali po cijeloj površini presjeka.



Polarni moment inercije u odnosu na neku tačku (pol) je zbir proizvoda površina elementarnih površina koje čine presek, po kvadratu udaljenosti ovih površina do izabrane tačke.



centrifugalni moment inercije u odnosu na neke dvije međusobno okomite ose je zbir proizvoda elementarnih površina koje čine presjek, sa udaljenostima ovih površina od ovih osa.



Momenti inercije se mjere u m 4 . Aksijalni i polarni momenti inercije mogu biti samo pozitivni, jer se za bilo koji znak koordinate u formuli uzima kvadrat ove koordinate. Centrifugalni moment inercije može biti pozitivan, negativan ili nula.

Zbir aksijalnih momenata inercije oko dvije međusobno okomite ose jednak je polarnom momentu inercije oko tačke u kojoj se ove ose seku.

I ρ = I x +I y

Zaista, ρ je udaljenost od elementarne površine presjeka do neke tačke, definira se kao hipotenuza trokuta sa stranicama x i y.

ρ 2 = x 2 + y 2

Zamijenimo ovu relaciju u izraz za polarni moment inercije i dobijemo:


24. Momenti inercije jednostavnih presjeka

Razmotrimo momente inercije nekih jednostavnih figura.

Krug. I ρ = I x +I y . Pošto je krug simetrična figura, onda I x = I y. shodno tome, I p = 2 I x. Na osnovu definicije polarnog momenta inercije i odnosa polarnog momenta inercije i aksijalnog momenta inercije u slučaju kružnice, imamo:



Za prstenovi prečnika d i unutrašnji prečnik d 0



Polukrug. Glavne centralne osi su osa simetrije ovog polukruga i osa okomita na njega. Za polukrug, moment inercije je upola manji od kruga za istu os. Ako odredimo x 1 osnovna osa, zatim



Iz omjera koji povezuje momente inercije paralelnih osa, od kojih je jedna centralna, i, znajući vrijednost ordinate težišta polukruga y c ≈ 0.424r možete odrediti momente inercije polukruga:



Pravougaonik. Hajde da definišemo moment inercije I x1, koji se poklapa sa osnovom pravokutnika, i razmotrimo presjek A kao zbir elementarnih pravougaonika širine b i visina dy 1 , A=bdy 1



Za momente inercije paralelnih osa, od kojih je jedna centralna, I x =I x1 – a 2 A. U ovom slučaju, udaljenost a=h/ 2, A=bh, moment inercije oko osi x i y

I x = bh 3 / 12

I y = hb 3 / 12

U konkretnom slučaju kvadrata

I x =I y = b 4 / 12

Za trougao izračunati moment inercije I x1, u odnosu na osu x 1 , koji se poklapa sa bazom, a za to smatramo presjek kao zbir elementarnih pravokutnika širine b. Nakon izvođenja matematičkih transformacija, nalazimo vrijednost I x = bh 3 / 12. Moment inercije oko centralne ose je I x =Ix1-a 2 b, u ovom slučaju a=h/ 3,A= (1 / 2)bh. Kao rezultat, dobijamo:

I x =bh 3 / 12 – (h/3) 3 (1 / 2)bh= bh 3 / 36

Općenito, osovina x nije glavni

I y= bh 3 / 48

25. Odnos momenata inercije oko paralelnih osa

Uspostavimo odnos između momenata inercije oko paralelnih osa, od kojih je jedna centralna. Da biste to učinili, razmotrite poprečni presjek s površinom ALI. (Sl. 10) Pretpostavimo da su koordinate težišta presjeka poznate C i momente inercije I xc , I yc u odnosu na centralne ose x c , y c. U ovom slučaju moguće je odrediti momente inercije oko osi x i y, paralelno sa centralnim i udaljeno od centralnog na daljinu a i b respektivno. Zapisujemo relaciju za koordinate paralelnih osa:

x= x c+b

y= yc+a

Zatim moment inercije presjeka oko ose x biće napisan u obliku:



U ovom izrazu, prvi član je moment inercije oko ose x c, u drugom članu integral predstavlja statički moment (a u odnosu na centralnu osu statički moment je uvijek nula), treći član je površina poprečnog presjeka pomnožena s kvadratom udaljenosti između osa a. Na ovaj način:

I x = I xc + a 2 A

I y = I yc + b 2 A

Moment inercije oko bilo koje osi jednak je zbroju momenta inercije oko središnje osi paralelne datoj i umnošku površine poprečnog presjeka figure na kvadrat udaljenosti između osovina.

Dobili smo relaciju za momente inercije oko centralnih osa pri prelasku u necentralne paralelne njima. Ove relacije se također nazivaju formule za paralelni prijenos.

Iz dobijenih formula jasno je da je moment inercije oko središnje ose uvijek manji od momenta inercije bilo koje necentralne ose koja je paralelna s njom.


26. Glavne ose inercije i glavni momenti inercije

Kroz bilo koju tačku presečne ravni može se povući beskonačan broj parova međusobno okomitih osa. Budući da je zbir dva aksijalna momenta inercije presjeka polarni moment i iznosi konstantna vrijednost, tada je pomeranjem koordinatnog sistema moguće izabrati takav položaj osi, u kojem će jedan od odabranih momenata inercije biti maksimalan, a drugi - minimalan. Razmotrimo odnos između momenata inercije oko osi x 0 , y 0 i momenti inercije oko osi x i y, rotirano za ugao α u odnosu na x 0 , y 0 . Nađimo takve vrijednosti ugla α pri kojima će momenti inercije okomitih osa poprimiti maksimalnu i minimalnu vrijednost. Da bismo to učinili, nalazimo prvi izvod s obzirom na ugao rotacije od I x , I y i izjednačiti ga sa nulom ( matematičko pravilo pronalaženje ekstrema funkcije).



Nakon transformacije, omjer će poprimiti oblik:



Rezultirajuća formula određuje položaj dvije međusobno okomite osi, od kojih je moment inercije u odnosu na jednu maksimalan, a moment inercije u odnosu na drugu minimalan. Takve osovine se nazivaju glavne osi inercije. Momenti inercije oko takvih osa nazivaju se glavni momenti inercije. U ovom slučaju, centrifugalni moment je nula.

Osi koje prolaze kroz centar gravitacije presjeka nazivaju se centralne ose. U praktičnim proračunima, glavni momenti inercije oko centralnih osa su od interesa, oni se nazivaju glavni centralni momenti inercije, i takve sjekire glavne centralne ose. Pošto su samo centralne ose od interesa, one se jednostavno nazivaju glavnim osema radi kratkoće, a aksijalni momenti inercije izračunati u odnosu na takve ose jednostavno se nazivaju glavnim momentima inercije.

Jedna od glavnih osi inercije je os koja prolazi kroz centar simetrije ravnine presjeka, druga je okomita na nju. Osa simetrije i svaka okomita na nju čine sistem glavnih osa. Ako presjek ima nekoliko osa simetrije (na primjer, krug, kvadrat, jednakostranični trokut), tada su sve središnje ose glavne i svi središnji momenti jednaki.

27. Proračun momenata inercije složenih presjeka

Pronaći moment inercije kompleksnog presjeka s površinom A dio je podijeljen na jednostavan A 1 , A 2 , … A n, za koje se momenti inercije nalaze prema gotovim formulama ili tabelama.

Moment inercije složene figure nalazi se kao zbir momenata inercije koji čine jednostavne figure.

I x = I x 1 + I x 2 +… + I xn

Moment inercije je integral po površini poprečnog presjeka,



za integral je tačno:



Stoga se može napisati da:



Drugim riječima, moment inercije složenog presjeka oko neke ose je zbir momenata inercije komponenti ovog presjeka oko iste ose.

Prilikom rješavanja problema ove vrste, slijedi se sljedeći algoritam. Pronađite težište ravnog presjeka i odredite glavne središnje osi. Iz tablica ili korištenjem gotovih formula izračunavaju se vrijednosti momenata inercije sastavnih dijelova u odnosu na njihove vlastite središnje ose paralelne s glavnim središnjim osovinama presjeka. Koristeći formule za paralelni prijenos, izračunavaju se vrijednosti momenata inercije sastavnih dijelova presjeka u odnosu na glavne osi presjeka. Sumiranjem se određuju vrijednosti glavnih središnjih momenata inercije.

Ovo pravilo vrijedi i za centrifugalni moment inercije.

28. Koncept obrtnog momenta

Torzija je jedna od vrsta deformacija grede, kod koje se u poprečnom presjeku grede javlja jedan unutrašnji faktor sile, tzv. obrtni moment Mk. Ova vrsta deformacije nastaje kada par sila djeluje na gredu, tzv torzione momente M primijenjen okomito na njegovu uzdužnu osu.

Šipka opterećena obrtnim momentima naziva se osovina. Zbir momenta koji djeluju na osovinu je nula ako se osovina rotira jednoliko. Moment se može odrediti formulom, pod uvjetom da je poznata prenesena snaga P i ugaonu brzinu w.



Uz poznatu frekvenciju rotacije osovine, kutna brzina se može zapisati kao



Stoga se izraz za moment može zapisati kao:



U praktičnim proračunima, stvarni objekat se zamjenjuje proračunskom shemom. Da bismo pojednostavili problem, pretpostavlja se da su rotacijski momenti koncentrirani u srednjem dijelu dijelova, a ne raspoređeni po njihovoj površini. U presjeku proizvoljnog vratila, obrtni moment se može odrediti metodom sekcija, kada se osovina mentalno preseče ravninom. Jedan od dijelova se odbacuje i njegov utjecaj zamjenjuje momentom Mk, a zatim se određuje iz jednačina ravnoteže. Numerička vrijednost momenta je zbir momenta koji se nalaze na jednoj strani presjeka.

U poprečnim presjecima grede prilikom torzije nastaju samo tangencijalna naprezanja, normalne sile su paralelni uzdužnoj osi grede i njihovi momenti su jednaki nuli. Stoga se definicija momenta može formulirati na sljedeći način: moment je rezultujući moment unutrašnjih tangencijalnih sila koje nastaju u poprečnom presjeku grede u odnosu na njegovu uzdužnu os.

Prilikom izračunavanja čvrstoće u slučaju torzije grede potrebno je pronaći opasan dio grede. Ako su dimenzije poprečnog presjeka duž osi grede nepromijenjene, tada se dijelovi s najvećim zakretnim momentom smatraju opasnim. Za pronalaženje opasnih dionica izrađuju se dijagrami zakretnog momenta (grafovi promjena momenta duž dužine grede). Prilikom konstruiranja dijagrama, uobičajeno je pretpostaviti da je moment pozitivan ako se njegov smjer poklapa sa smjerom kazaljke na satu, ako pogledate nacrtani presjek. Ova pretpostavka je proizvoljna, budući da predznak momenta nema fizičko značenje.

29. Određivanje napona pri torziji okruglog vratila

Prilikom proučavanja torzije osovina, postoje sljedeće pretpostavke:

– hipoteza ravnih presjeka: ravni poprečni presjeci grede nakon deformacije također ostaju ravni i usmjereni duž normale na svoju osu, okrećući se pod nekim uglom u odnosu na ovu osu;

- radijusi poprečnih presjeka nisu zakrivljeni, a njihova dužina ostaje konstantna;

- duž osi grede, razmaci između poprečnih presjeka ostaju konstantni.

Na osnovu gore navedenih pretpostavki, torzija okruglog vratila može se smatrati čistim posmikom. Formule dobijene na osnovu ovih pretpostavki su potvrđene eksperimentalno.

Razmotrimo torziju presjeka kružne grede polumjera r dugo dz. Jedan od krajeva će se smatrati fiksnim.



Kada se zakrene kroz kut a u poprečnom presjeku, kut smicanja koji leži na površini takve osovine određuje se formulom:



Stav puni ugao uvijanje na dijelu osovine do njegove dužine naziva se relativni ugao uvijanja.

Mentalno izdvojimo cilindar polumjera ρ u razmatranom dijelu osovine, kut smicanja za površinu ovog cilindra određuje se slično:



Prema Hookeovom zakonu, u slučaju posmika, posmična naprezanja su jednaka:



Tako su tijekom torzije posmična naprezanja direktno proporcionalna udaljenosti od težišta presjeka, a u centru gravitacije posmična naprezanja jednaka su nuli. Približavajući se površini okna, poprimaju svoje maksimalne vrijednosti.

30. Proračun momenata koji se prenose na osovinu

Razmotrite torziju presjeka okrugle osovine promjera r i dužina dz. U njemu izdvajamo cilindar prečnika ρ. Budući da je torzija čisto posmično, normalna naprezanja su nula, a posmična naprezanja kada se rotiraju kroz kut α raspoređuju se na sljedeći način:



Obrtni moment je definisan kao:



ALI- površina poprečnog presjeka. Zamjenom posmičnog naprezanja u ovaj izraz i uzimajući u obzir da je integral polumjera po površini poprečnog presjeka polarni moment inercije poprečnog presjeka , dobijamo:



Zamjenom ovog izraza u formulu za posmična naprezanja, dobivamo:



Dakle, posmična naprezanja su definirana kao proizvod momenta i polumjera, podijeljen s polarnim momentom presjeka. Jasno je da su za tačke na jednakim udaljenostima od ose, naponi smicanja jednaki, maksimalne vrijednosti naprezanja su u točkama koje se nalaze na površini osovine.



Evo je polarni torzijski moment otpora.

Za okrugli presjek



Uvjet torzijske čvrstoće je sljedeći:



[τ] je maksimalno dozvoljeno naprezanje smicanja.

Ova formula također vam omogućava da odredite dozvoljeni moment ili odaberete dozvoljeni promjer osovine.

31, Torziona deformacija. Potencijalna energija

U procesu torzije, momenti rotiraju zajedno sa poprečnim presjekom pod određenim uglom i istovremeno obavljaju rad koji se, kao i kod drugih vrsta deformacija, troši na stvaranje određene rezerve potencijalne energije u tijelu koje prolazi. deformacija i određuje se formulom:



Ovaj omjer proizlazi iz linearna zavisnost obrtni moment M to od ugla rotacije φ.



Kada se primeni opterećenje, obrtni moment se postepeno povećava, dok se u skladu sa Hookeovim zakonom proporcionalno povećava ugao rotacije. Rad koji obavlja obrtni moment jednak je potencijalnoj energiji deformacije prema zakonu održanja energije, dakle,



Ako u rezultirajući omjer zamijenimo poznatu formulu za ugao uvijanja, tada će izraz dobiti oblik:



Sa stepenastom promjenom momenta ili poprečnog presjeka grede potencijalna energija je zbir:



Ako se moment ili polarni momenti (ili oboje u isto vrijeme) kontinuirano mijenjaju duž dužine sekcija grede, tada je potencijalna energija integral po dužini


32. Proračun spiralnih opruga

U mašinstvu i instrumentaciji široko se koriste spiralne opruge koje mogu biti cilindrične, konusne ili oblikovane. Najčešće korištene opruge su cilindrične, izrađene od žice okruglog presjeka: opruge za produženje (izrađene bez razmaka između zavojnica) i opruge za pritisak (sa razmakom). Da bismo pojednostavili proračun opruga za krutost i čvrstoću, pretpostavit ćemo da je kut nagiba zavojnica toliko mali da se može zanemariti, a presjek duž ose opruge smatra se poprečnim na zavojnicu. Iz uslova ravnoteže za presečeni deo opruge, jasno je da u preseku nastaju dva unutrašnja faktora sile: poprečna sila Q y = F i obrtni moment M to = FD / 2, tj. u presjeku zavojnice nastaju samo tangencijalni naponi. Pretpostavit ćemo da su posmični naponi povezani s poprečnom silom jednoliko raspoređeni po presjeku, a posmične sile povezane s prisustvom momenta raspoređene su prema linearnom zakonu i dostižu svoje maksimalne vrijednosti u ekstremnim točkama odjeljak. Tačka najbliža osi opruge bit će najopterećenija, napon za nju je jednak:



Odnos prečnika opruge i prečnika žice naziva se indeks opruge,

c n =D/d



Dobivena formula je približna zbog zanemarivanja utjecaja poprečne sile i zbog činjenice da se zakrivljenost zavojnica ne uzima u obzir. Hajde da uvedemo faktor korekcije To, u zavisnosti od indeksa opruge i ugla nagiba zavojnica. Tada uslov snage poprima oblik:



Kada se primijeni opterećenje, opruga mijenja svoju dužinu. Ova promjena se zove prolećni nacrtλ. Odredimo koliki je nacrt jednak ako zavojnice doživljavaju samo torziju. Prema Clapeyron formuli, rad vanjskih statičkih sila je:



Potencijalna energija deformacije



U ovom slučaju



gdje l- dužina razmatranog dijela opruge;

n- broj okreta.

Nakon izvršenja zamjene i matematičke transformacije, dobivamo sljedeće:


33. Pomaci i naprezanja u spiralnim oprugama

Zavojne opruge se široko koriste u mašinstvu kao uređaji za apsorpciju udara ili uređaji za obrnuto napajanje. Proračun zavojnih opruga dobro pokazuje metodu za određivanje pomaka. Zavojne opruge se dijele na zatezne, kompresijske i torzijske. Zatezne i kompresijske opruge opterećene su silama koje djeluju duž ose opruge, torzione opruge su opterećene momentima koji se nalaze u ravnini okomitoj na osu opruge.

Uvrnuta opruga se može smatrati prostorno savijenom šipkom sa zavojnom osom. Oblik opruge karakterišu sledeći parametri: prečnik opruge D, broj okreta n, ugao elevacije θ i nagib opruge s definisano formulom:

s= π dtgθ

Obično je korak opruge mnogo manji od π D, ugao θ je prilično mali (manji od 5°).

Razmislite o oprugi zatezanja i kompresije. Pod uticajem spoljašnjeg opterećenja R u svakom poprečnom presjeku, rezultirajući unutrašnja snaga R i trenutak M=PD / 2, koji leži u ravni djelovanja sila R. Na sl. 13 prikazuje sile koje djeluju u poprečnom presjeku opruge.



projekcije punom snagom i momenat u odnosu na koordinatni sistem povezan sa presekom opisuju se sledećim relacijama:

M to = (PD/ 2) × cosθ,

M out= (PD / 2) × sinθ,

Q=P× cosθ,

N=P× sinθ.

Pretpostavimo moć R jednak 1, tada će omjeri sila i momenata imati oblik:

M k1 = (D/ 2) × cosθ,

M izg1 = (D/ 2) × sinθ,

Q 1 = cosθ,

N 1 = sinθ.

Nađimo aksijalni pomak u oprugi koristeći Mohrov integral. Uzimajući u obzir male pomake uzrokovane normalnim i poprečnim silama, kao i aksijalni pomak, u ovom slučaju Mohrov integral se zapisuje na sljedeći način:



gdje je proizvod u nazivniku torzijska krutost opruge;

l je dužina radnog dijela opruge;

l≈ π Dn

Zbog malog ugla nagiba zavoja θ pretpostavljamo da je cos θ = 1, onda



Naponi u zavojnim oprugama koje rade u kompresijsko-napregnutim ili torzijskim uvjetima određuju se na sljedeći način.

Rezultat proračuna ne ovisi samo o površini poprečnog presjeka, stoga se pri rješavanju problema o čvrstoći materijala ne može bez određivanja geometrijske karakteristike figura: statički, aksijalni, polarni i centrifugalni momenti inercije. Neophodno je moći odrediti položaj težišta presjeka (navedene geometrijske karakteristike zavise od položaja težišta). Pored toga geometrijske karakteristike jednostavnih oblika: pravougaonik, kvadrat, jednakokraki i pravokutni trokut, krug, polukrug. Težište i položaj glavnih centralnih osi su naznačeni, a geometrijske karakteristike su određene u odnosu na njih, pod uslovom da je materijal grede homogen.

Geometrijske karakteristike pravougaonika i kvadrata

Aksijalni momenti inercije pravokutnika (kvadrata)

Geometrijske karakteristike pravouglog trougla

Aksijalni momenti inercije pravouglog trougla

Geometrijske karakteristike jednakokračnog trougla

Aksijalni momenti inercije jednakokračnog trougla

05-12-2012: Adolf Staljin

Bilo bi lijepo objasniti na dobrom primjeru za darovite, poput mene, šta je trenutak inercije i sa čime se jede. Na specijalizovanim stranicama sve je nekako vrlo zbunjujuće, a Doc ima jasan talenat da donese informacije, možda ne najkomplikovanije, ali vrlo kompetentne i jasne

05-12-2012: Lom

U principu, šta je moment inercije i odakle je došao, dovoljno je detaljno objašnjeno u članku "Osnove čvrstoće materijala, formule za proračun", ovdje ću samo ponoviti: "W je moment otpora križne grede presjek, drugim riječima, površina tlačnog ili zateznog dijela presjeka grede, pomnožena krakom rezultujuće sile. Za proračun čvrstoće konstrukcije mora biti poznat moment otpora, tj. za granična naprezanja. Moment inercije mora biti poznat da bi se odredili uglovi rotacije poprečnog presjeka i otklona (pomaka) težišta poprečnog presjeka, budući da se najveće deformacije javljaju u najgornjem i najnižem sloju konstrukcije savijanja, tada moment inercije se može odrediti množenjem momenta otpora sa rastojanjem od presjeka centra gravitacije do gornjeg ili donjeg sloja, dakle za pravokutne presjeke I=Wh/2. Prilikom određivanja momenta inercije presjeka složenih geometrijskih oblika, najprije se složena figura dijeli na jednostavne, zatim se određuju površine poprečnih presjeka ovih figura i momenti inercije najjednostavnijih figura, zatim površine najjednostavnijih figura. figure se množe s kvadratom udaljenosti od zajedničkog težišta presjeka do težišta najjednostavnije figure. Moment inercije najjednostavnije figure u sastavu složenog presjeka jednak je momentu inercije figure + kvadrat udaljenosti pomnožen s površinom. Zatim se sabiraju dobijeni momenti inercije i dobije se moment inercije kompleksnog presjeka. Ali ovo su najjednostavnije formulacije (iako, slažem se, i dalje izgleda prilično zeznuto). S vremenom ću napisati poseban članak.

20-04-2013: Petr

Ne morate u potpunosti vjerovati informacijama koje se nalaze na stranicama. Niko je zaista ne provjerava. I nema linkova za to. Tako je u tabeli 1. "Oblici presjeka, površine poprečnog presjeka, momenti inercije i momenti otpora za konstrukcije prilično jednostavnih geometrijskih oblika" za cijev tankih stijenki data definicija da je omjer prečnika i debljine školjka bi trebala biti više od 10. Prema drugim izvorima - trebala bi biti više od 20!!! (N.M. Belyaev. Otpornost materijala. M.1996. str.160. ili N.I. Bezukhov. Osnove teorije elastičnosti, plastičnosti i puzanja. M.1961.str.390)

21-04-2013: Lom

U redu. Ne može se vjerovati. Ali logičko razmišljanje do sada niko nije otkazao. Najispravnija opcija je izračunati moment inercije ili moment otpora za bilo koju cijev koristeći formule date za običnu cijev (1 bod više). Formule navedene za cijev s tankim zidovima, u svakom slučaju, bit će približne i prikladne su samo za početni proračun, a to se ne smije zaboraviti.
Međutim, parametri maksimalno dozvoljene debljine zida su korigovani.

25-06-2013: Sanya

potrebno je odrediti moment inercije za složeni nestandardni presjek. presjek: pravougaonik sa dva utora. izgleda kao slovo "Sh". ne mogu pronaći bilo kakvu informaciju. Bio bih zahvalan za bilo kakvu informaciju

25-06-2013: Lom

Pogledajte članak "Proračun čvrstoće stropnog profila za suhozid" (http://website/item249.html)
tu se posebno određuje moment inercije, što takođe nije sasvim jednostavan presek.

04-11-2014: Lom

Formula iz izvora koji ste naveli je netačna (može se koristiti samo za približne proračune) i to je lako provjeriti.
Za određivanje momenta inercije presjeka cijevi dovoljno je oduzeti moment inercije rupe (unutrašnji prečnik, jer unutar cijevi nema materijala, pa je to cijev). Nakon najjednostavnijih matematičkih transformacija, dobijamo formulu za moment inercije cijevi, prikazanu u tabeli.
A da biste odredili moment otpora, potrebno je podijeliti moment inercije s maksimalnom udaljenosti od centra gravitacije do najudaljenije točke presjeka, odnosno sa D / 2, ili pomnožiti sa 2 / D.
Kao rezultat toga, nemoguće je dobiti formulu koju ste naveli, a što je deblji zid cijevi, veća će biti greška pri korištenju ove formule.

04-11-2014: Radik

Hvala doc!

11-11-2014: Ilgam

Nisam mogao pronaći informacije o jedinicama (mm, cm, m) u kojima su sve vrijednosti u formulama.
Pokušao sam izračunati Wz za ugao od 210x90mm (ako odsiječete gornju policu za 24P kanal), ispalo je 667,5 cm3, pod uvjetom da su sve vrijednosti u cm.
Na primjer, za kanalnu šipku 24P (prije rezanja police) Wx (Wz) \u003d 243 cm3.

11-11-2014: Lom

to opšte formule. U kojim jedinicama zamjenjujete vrijednosti, u takve i dobit ćete rezultat, samo sam po sebi već u kubiku. Ali ako ste počeli da zamjenjujete, na primjer, u centimetrima, onda biste trebali nastaviti tako.
Za kanal bez prirubnice, modul otpora prema zadanim postavkama ne može biti veći nego za cijeli kanal. Za približno određivanje momenta otpora kanala bez prirubnice, možete koristiti formule za nejednak ugao (samo za određivanje Wz, ove formule neće raditi za Wy).

04-01-2015: Valerij

Ako je dio cijevi oslabljen za nekoliko značajnih rupa, kako to uzeti u obzir pri izračunavanju momenta inercije i momenta otpora? Cijev 32,39 cm i 9 rupa u njoj. prečnika 2,8 cm u poprečnom preseku (korak 10 cm po dužini cevi).

05-01-2015: Lom

Da biste odredili moment inercije, trebate oduzeti moment inercije vaše rupe od momenta inercije cijevi. Da biste to učinili, morate odrediti površinu poprečnog presjeka rupe, a zatim je pomnožiti s kvadratom udaljenosti do središta cijevi plus vlastitim momentom inercije rupe. Više detalja u članku "Momenti inercije poprečnih presjeka".
Ako proračun ne zahtijeva posebnu točnost i promjer rupe je 5 ili više puta manji od promjera cijevi (kao u vašem slučaju, ako je 32,39 vanjski promjer), tada se segment rupe može smanjiti na pravougaonik. Ako rupa nije prolazna, tada treba dodatno odrediti položaj težišta cijevi sa rupom kako bi se potom izračunala nova vrijednost momenta otpora.
Ali to nije sve. Treba uzeti u obzir da se u blizini rupa javljaju značajna lokalna naprezanja.

09-10-2015: Boris

Nejednak ugao. Prilikom izračunavanja Wy, ne y, već H-y

09-10-2015: Lom

Ne razumijem na šta misliš. Definicija momenta otpora u odnosu na y-osu uopće nije data u tabelama.

09-10-2015: bors

Za trouglove pri izračunavanju Wzp h na kvadrat.

09-10-2015: Boris

09-10-2015: Lom

U redu. Sada razumem šta misliš. Ispravnije bi bilo označiti moment otpora za gornji i donji dio presjeka, ali sam naveo samo za donji. Pa, pri određivanju momenta otpora trouglova, kvadrat je banalno promašen.
Ispravljeno. Hvala vam na pažnji.

28-04-2016: Jama

Zdravo! Ko može pomoći oko ispravnosti obračuna http://ej.kubagro.ru/2011/02/pdf/19.pdf
Ne mogu da shvatim gde se uzima vrednost od trenutka otpora. Pomozi mi molim te! 21-03-2017: igor

zdravo Sergey. Procitao sam neke od vasih clanaka, veoma interesantnih i razumljivih (uglavnom).Hteo bih da izracunam I-gredu, ali ne mogu da nadjem Ix i Wx. cinjenica je da nije standardno napravicu ga sam,od drveta.Mozes li mi pomoci? Platiću, ali neću moći da platim elektronskim putem. Ne znam kako da ga koristim.

21-03-2017: Lom

Igore, poslao sam ti pismo.

30-08-2017: Ali

Poštovani doktore, želim Vam sve najbolje. Molim vas pomozite koje su formule potrebne za odabir i ispitivanje čvrstoće grede sljedećih sekcija: kanal, ugao i profil sijalice, sa dozvoljenim momentom otpora W=58,58cm3. hvala vam puno i radujem se vašoj pomoći.

31-08-2017: Lom

Pogledajte članak "Proračun jednokrilnih čeličnih greda sa zglobnim nosačima pri savijanju prema SP 16.13330.2011", tamo je sve dovoljno detaljno opisano.

13-11-2017: Abduahad

Pozdrav, molim te reci mi zašto Ql ^ 2/8 zašto podijeljeno sa 8 i zašto ponekad dijelimo sa 6 i 24 itd. reci mi molim te, ali nisam razumio