Berilgan nuqtadagi funktsiya grafigiga normalning tenglamasi qanday topiladi?

Ushbu darsda biz normalning tenglamasini qanday topishni o'rganamiz funktsiya grafikasi bir nuqtada va ushbu muammoga tegishli ko'plab misollarni ko'rib chiqing. Materialni yaxshi tushunish uchun siz tushunishingiz kerak hosilaning geometrik ma'nosi va ularni hech bo'lmaganda quyidagi maqolalar darajasida topa olish:

hosilani qanday topish mumkin? Murakkab funktsiyaning hosilasi va .

Ushbu darslar "qo'g'irchoqlar" ga mavzuni tezda yo'naltirish va farqlash qobiliyatlarini deyarli noldan yaxshilash imkonini beradi. Aslida, paragrafning batafsil davomi tangens tenglamasi Yuqoridagi ro'yxatdagi 3-modda. Nega davomi? Oddiy tenglama tangens tenglama bilan chambarchas bog'liq. Boshqa narsalar bilan bir qatorda, funktsiya mavjud bo'lgan holatlarda ushbu chiziqlar tenglamalarini qanday qurish bo'yicha muammolarni ko'rib chiqaman. bilvosita o'rnatiladi yoki parametrik .

Lekin birinchi navbatda, xotiralarimizni yangilaymiz: agar funktsiya farqlanishi mumkin bir nuqtada (ya'ni, agar mavjud bo'lsa yakuniy hosila), u holda nuqtadagi funksiya grafigiga teginish tenglamasini quyidagi formula bilan topish mumkin:

Bu biz allaqachon darsda duch kelgan eng keng tarqalgan holat. Losmalar bilan eng oddiy muammolar . Biroq, masala bu bilan cheklanmaydi: agar nuqtada cheksiz hosila mavjud bo'lsa: , u holda tangens o'qga parallel bo'ladi va uning tenglamasi shaklni oladi. Kutish rejimiga misol: yaqin cheksizlikka o'tadigan hosilasi bo'lgan funksiya tanqidiy nuqta . Tegishli tangens tenglama bilan ifodalanadi: (y o'qi).

Agar hosila mavjud bo'lmasa (masalan, nuqta hosilasi), keyin, albatta, mavjud emas va umumiy tangens .

Oxirgi ikkita holatni qanday ajratish mumkin, men biroz keyinroq aytaman, ammo hozircha bugungi darsning asosiy oqimiga qaytaylik:

Oddiy nima? normal nuqtadagi funksiya grafigiga deyiladi To'g'riga berilgan nuqtadan shu nuqtadagi funksiya grafigiga tangensga perpendikulyar o‘tish (tangens mavjud bo'lishi aniq). Xulosa qilib aytganda, normal deb tangens nuqtasidan o'tuvchi tangensga perpendikulyar to'g'ri chiziqdir.

Oddiy tenglamani qanday topish mumkin? Kimdan analitik geometriya kursi juda oddiy algoritm o'zini taklif qiladi: biz topamiz tangens tenglamasi va uni taqdim eting umumiy ko'rinish . Keyinchalik "olib tashlash" normal vektor nuqta va yo‘nalish vektori uchun normal tenglama tuzing.

Ushbu usuldan foydalanish mumkin, ammo matematik tahlilda unga asoslangan tayyor formuladan foydalanish odatiy holdir perpendikulyar chiziqlarning qiyalik koeffitsientlari munosabati . Agar mavjud bo'lsa yakuniy va noldan farq qiladi hosila bo'lsa, u holda nuqtadagi funktsiya grafigiga normalning tenglamasi quyidagi tenglama bilan ifodalanadi:

Biz, albatta, nolga yoki cheksizga teng bo'lgan maxsus holatlarni ko'rib chiqamiz, lekin birinchi "odatiy" misollar:

1-misol

Egri chiziq grafigiga teginish va normal tenglamalarni tuzing abtsissasi bo'lgan nuqtada.

Amaliy topshiriqlarda ko'pincha tangensni topish talab qilinadi. Biroq, bu faqat qo'lda - "to'liq qo'l" bo'lsa yaxshi bo'ladi =)

Yechim: Vazifaning birinchi qismi yaxshi ma'lum, biz quyidagi formula bo'yicha tangens tenglamasini tuzamiz:

Ushbu holatda:

Keling, topamiz hosila :
Bu erda birinchi bosqichda hosila belgisidan doimiyni oldi , ikkinchisida - ishlatilgan birikma funksiyani differentsiallash qoidasi .

Endi hisoblaylik bir nuqtada hosila :

Qabul qildi chekli son va u yoqadi. Formuladagi o'rniga:

Keling, uni chap tomonning yuqori qismiga o'tkazamiz, qavslarni ochamiz va tangens tenglamasini taqdim etamiz. umumiy ko'rinish : Vazifaning ikkinchi qismi endi qiyin emas. Oddiy tenglamani quyidagi formula bo'yicha tuzamiz: Qutilish uch qavatli kadr va tenglamani yodda tuting: zarur tenglama hisoblanadi.

Javob:

Bu erda siz qisman tekshirishni amalga oshirishingiz mumkin. Birinchidan, nuqta koordinatalari har bir tenglamani qondirishi kerak:

- haqiqiy tenglik.

- haqiqiy tenglik.

Va ikkinchidan, normal vektorlar ortogonal bo'lishi kerak. Bu yordamida osongina tekshiriladi nuqta mahsuloti : , tekshirilishi kerak edi.

Shu bilan bir qatorda, oddiy vektorlar o'rniga siz foydalanishingiz mumkin chiziqlarning yo'nalish vektorlari .

! Agar nuqtadagi hosila va/yoki hosila noto'g'ri topilsa, bu tekshirish foydasiz bo'lib chiqadi. Bu " zaif aloqa» vazifalari - juda ehtiyot bo'ling!

Shartga ko'ra, chizma kerak emas edi, lekin to'liqlik uchun:
Bu kulgili, lekin aslida bu to'liq tekshiruv bo'lib chiqdi, chunki chizma juda aniq bajarilgan =) Aytgancha, funktsiya yuqori yoyni belgilaydi ellips .

Mustaqil yechim uchun quyidagi vazifa:

2-misol

Nuqtadagi funksiya grafigiga teginish va normal tenglamalarni tuzing.

Dars oxiridagi yakuniy topshiriqning namunasi.

Endi ikkita maxsus holatni ko'rib chiqamiz:

1) Agar nuqtadagi hosila nolga teng bo'lsa: , u holda tangens tenglama soddalashtiriladi: Ya'ni, tangens o'qga parallel bo'ladi.

Shunga ko'ra, normal o'qga parallel nuqtadan o'tadi, ya'ni uning tenglamasi shaklni oladi.

2) Nuqtadagi hosila mavjud bo lsa, lekin cheksiz bo lsa: , u holda maqolaning boshida qayd etilganidek, tangens vertikal bo ladi: . Va normal o'qga parallel bo'lgan nuqtadan o'tganligi sababli, uning tenglamasi "oyna" shaklida ifodalanadi:

Hammasi oddiy:

3-misol

Parabolaning tangens va normal tenglamalarini tuzing nuqtada. Chizma qiling.

Men chizmani bajarish talabini qo'shmadim - vazifa asl nusxada shunday tuzilgan. Bu kamdan-kam bo'lsa-da.

Yechim: tangens tenglamasini tuzing. Ushbu holatda

Hisob-kitoblar arzimasdek tuyuladi, ammo belgilarda chalkashib ketish haqiqatdan ham ko'proq:

Shunday qilib:

Tangens o'qga parallel bo'lgani uchun (1-holat), u holda bir xil nuqtadan o'tadigan normal y o'qiga parallel bo'ladi:

Chizish, albatta, qo'shimcha muammo, lekin analitik yechimni yaxshi tekshirish:

Javob: ,

Maktab matematika kursida tangensning soddalashtirilgan ta'rifi keng tarqalgan bo'lib, u quyidagicha shakllantirilgan: "Funksiya grafigiga tegish - bu grafik bilan bitta umumiy nuqtaga ega bo'lgan to'g'ri chiziq". Ko'rib turganingizdek, umumiy holatda bu bayonot noto'g'ri. Ga ko'ra hosilaning geometrik ma'nosi , yashil chiziq ko'k chiziq emas, balki tangensdir.

Quyidagi misol №1 holatga bag'ishlangan:

4-misol

Nuqtadagi egri chiziqning tangens va normal tenglamasini yozing.

Dars oxirida qisqacha yechim va javob

2-sonli holat, unda u kamdan-kam hollarda amalda uchraydi, shuning uchun yangi boshlanuvchilar juda ko'p tashvishlanmasliklari va engil yurak bilan beshinchi misolni o'tkazib yuborishlari mumkin. Kursivdagi ma'lumotlar bilan tanish bo'lgan ilg'or o'quvchilar uchun mo'ljallangan hosila va tangensning ta'riflari va shuningdek, tajribaga ega ta'rifi bo'yicha hosilani topish :

5-misol

Nuqtadagi funksiya grafigiga teginish va normal tenglamalarini toping

Yechim : ichidatanqidiy nuqta hosilaviy maxraj yo'qoladi va shuning uchun bir tomonlama hosilalarni bu erda hosila ta'rifi yordamida hisoblash kerak (maqolaning oxiriga qarang).Ta'rifi bo'yicha hosila ):
Ikkala hosila ham cheksizdir, shuning uchun nuqtada umumiy vertikal tangens mavjud: Xo'sh, normal x o'qi ekanligi aniq. Rasmiy ravishda formula bo'yicha: Muammoni yaxshiroq tushunish uchun men rasm beraman: Javob :

Internetda sayr qilish uchun ketmaganingizdan xursandman, chunki barcha qiziqarlilik endi boshlanmoqda! Keyingi paragrafning materialini o'zlashtirish uchun siz topa olishingiz kerak bilvosita hosilasi berilgan funksiya :

Agar funktsiya bilvosita berilgan bo'lsa, tangens tenglama va normal tenglama qanday topiladi?

Tangens va normal formulalar bir xil bo'lib qoladi, ammo yechim texnikasi o'zgaradi:

6-misol

Nuqtadagi egri chiziqning tangens va normal tenglamalarini toping.

Yechim: tenglamaga ko'ra, bu qandaydir 3-tartib qator , qaysi biri - bizni hozir umuman qiziqtirmaydi.

Tenglamada zararli dastur mavjud va shuning uchun funktsiyani ifodalash istiqbollari aniq juda xira ko'rinadi.

Lekin bu shart emas! Juda ham aqlli yechim bor. Xuddi shu formuladan foydalanib, tangens tenglamasini tuzamiz.

Vaziyatdan ma'lum bo'lgan qiymatlar, aytmoqchi, ular taklif qilingan tenglamani haqiqatan ham qondirishiga ishonch hosil qilish zarar qilmaydi: To'g'ri tenglik olinadi, ya'ni hamma narsa nuqtaga mos keladi.

Hisoblash uchun qoladi. Birinchidan, standart sxemadan foydalanib, biz topamiz aniq belgilangan funksiyaning hosilasi :

Keling, natijani muammomiz uchun mosroq belgi bilan qayta yozamiz:

2-bosqichda hosilaning topilgan ifodasini almashtiramiz:

Bo'ldi shu!

Tenglama bilan ehtiyotkorlik bilan shug'ullanish kerak:

Oddiy tenglamani yozamiz:

Javob:

Tayyor! Va dastlab bu qiyin tuyuldi. Garchi bu erda hosila, albatta, zaif joy. Mustaqil yechim uchun eskiz:

7-misol

Nuqtadagi chiziqning normal tenglamasini toping

Tangensni maydalash uchun etarli =)

Bunday holda, nima ekanligini aniqlash oson doira radius nuqtasida markaz va hatto kerakli funktsiyani ifodalaydi . Lekin nega?! Axir, hosilasini topish uchun yashirin funksiya ancha oson! U bu erda deyarli eng ibtidoiy.

Dars oxirida qisqacha yechim va javob.

Agar funktsiya parametrik berilgan bo'lsa, tangens tenglama va normal tenglama qanday topiladi?

Hatto osonroq. Ammo buning uchun siz topishni mashq qilishingiz kerak parametrik aniqlangan funksiyaning hosilasi . Va shuning uchun - deyarli bepul:

8-misol

Nuqtaga chizilgan sikloidning tangens va normal tenglamalarini tuzing.

Tsikloidning rasmini sahifada topish mumkin Agar chiziq parametrik ravishda o'rnatilgan bo'lsa, S va V (Shunday qilib, ushbu maqola avvalroq yaratilgan). U hatto aloqa nuqtasini ham ko'rsatadi.

Yechim: tangens nuqtaning abscissa va ordinatasi to'g'ridan-to'g'ri egri chiziqning parametrik tenglamalaridan hisoblanadi:

Keling, topamiz Parametrli aniqlangan funksiyaning 1-hosilasi :

Va uning qiymatini quyidagicha hisoblang:

Biz tangens tenglamani odatdagi formula bo'yicha tuzamiz, biroz farqli belgilar uchun tuzatamiz:

Oddiy tenglama:

Javob:

Xulosa qilib, men yana bir qiziqarli yo'nalish bilan tanishishni taklif qilaman:

9-misol

Qaysi nuqtaga chizilgan yarim kubik parabolaning normalga tenglamasini yozing.

Bu o'z-o'zidan bajariladigan misol. Sizga shuni eslatib o'tamanki, parametrik berilgan funktsiyalarning grafiklari, masalan, my-dan foydalanib tuzilishi mumkin hisoblangan geometrik tartib .

Xo'sh, bizning darsimiz o'z nihoyasiga yetdi va umid qilamanki, taqdim etilgan material siz uchun tangensial emas edi, lekin odatda =)

E'tiboringiz uchun rahmat va omad tilaymiz!

Yechimlar va javoblar:

2-misol:Yechim Ushbu holatda: Shunday qilib: Oddiy tenglamani formula bo'yicha tuzamiz : Javob :

4-misol:Yechim : tangens tenglamasini quyidagi formula bilan tuzamiz: Bu vazifada:
Shunday qilib: Bir nuqtada tangens o'qga parallel bo'ladi, shuning uchun mos keladigan normal tenglama: Javob :

7-misol:Yechim : bu muammoda: . Keling, hosilani topamiz: Yoki: Hosil iborada o‘rniga qo‘ying: Kerakli normal tenglama: Javob :

9-misol:Yechim : Ushbu holatda: Keling, hosilani topamiz va uning qiymatini hisoblaymiz: Oddiy tenglama: Javob :

http://www.mathprofi.ru saytidan olingan

Ta'rif: M 0 nuqtasidagi y \u003d ¦ (x) egri chizig'ining normali M 0 nuqtasidan o'tadigan va ushbu egri chiziqqa M 0 nuqtasidagi tangensga perpendikulyar to'g'ri chiziqdir.

Egri chiziq tenglamasini va M 0 nuqtaning koordinatalarini bilgan holda tangens va normal tenglamani yozamiz. Tangent bor qiyalik k \u003d t g \u003d ¦, (x 0). Analitik geometriyadan ma'lumki, to'g'ri chiziq y-y 0 = k(x - x 0) tenglamaga ega.

Shuning uchun tangens tenglama: y - y 0 \u003d ¦, (x 0) (x - x 0); (bir)

Oddiy K n \u003d qiyaligi (chunki ular perpendikulyar), ammo keyin normal tenglama:

y-y 0 \u003d (-1 / ¦, (x 0) (x - x 0); (2)

Agar biror nuqtada hosila mavjud bo'lmasa, u holda tangens ham mavjud emas.

Masalan, ¦(x)=|x| funksiyasi x=0 nuqtada hosilasi yo'q.

lim D x ®0 (D y/ D x)= lim D x ®0 (| D x|/ D x)=

Bir tomonlama chegaralar mavjud, lekin lim D x ®0 (D y / D x) mavjud emas

Tangent ham.

Bunday nuqta grafikning burchak nuqtasi deb ataladi.

§ to'rt. Funktsiyaning uzluksizligi va differentsialligi o'rtasidagi bog'liqlik.

Differensiallanuvchi funksiya haqidagi quyidagi teorema o‘rinli.

Teorema: agar y \u003d ¦ (x) funktsiyasi x 0 nuqtasida chekli hosilaga ega bo'lsa, u holda bu nuqtada funktsiya uzluksizdir.

Isbot:

Chunki x 0 nuqtada ¦, (x 0) hosilasi mavjud, ya'ni. chegarasi bor

lim D x ®0 (D y/ D x)= ¦ , (x 0), keyin D y/ D x= ¦ , (x 0)+ , bunda

B.m.v., D x ga qarab. D x®0, ®0 uchun, chunki \u003d (D y / D x) - ¦, (x 0) ®0 da D x®0

Bu erdan bizda: D y \u003d ¦, (x 0) D x + D x.

Ammo keyin

Argumentning cheksiz kichik o'sishi funksiyaning cheksiz kichik o'sishiga to'g'ri keladi, shuning uchun ¦(x) x 0 nuqtada uzluksizdir.

Qarama-qarshi teorema to'g'ri emasligini tushunish muhimdir!

Har bir uzluksiz funktsiyani differentsiallash mumkin emas.

Shunday qilib, ¦(x) =|x| x 0 =0 nuqtada uzluksiz, grafik yaxlit chiziq, lekin ¦ , (0) mavjud emas.

§5. Doimiy, sinus, kosinus va ko‘rsatkichli funksiyaning hosilalari.

1. y \u003d ¦ (x) \u003d c; y, = (c), = 0; (bir)

Isbot:

a) istalgan nuqtada x ¦(x) = c

b) x ga D x, x + D x o'sishini beramiz, funksiyaning qiymati ¦ (x + D x) = c;

c) ¦ (x + D x) - ¦ (x) \u003d c - c \u003d 0;

d) D y / D x \u003d 0 / D x \u003d 0

e) lim D x ®0 (D y / D x) = lim D x ®0 0 = 0

2. y \u003d sin x; y, = (sin x), = cos x; (2)

Isbot:

a) istalgan nuqtada x ¦ (x) = sin x;

b) x orttirmasin D x, x + D x, funksiya qiymati

Hosila ilovalar.

5.1.Hosilning geometrik ma'nosi:

Funktsiya grafigini ko'rib chiqing y= f (x).

1-rasmda har qanday ikkita nuqta uchun ko'rsatilgan A va B funksiya grafigi: , bu yerda a - sekantning qiyaligi AB.

Shunday qilib, farq nisbati sekantning qiyaligiga teng. Agar biz bir nuqtani tuzatsak A va nuqtani unga qarab harakatlantiring B, keyin cheksiz kamayadi va 0 ga yaqinlashadi va sekant AB tangensga yaqinlashadi AC.

Shuning uchun, farq nisbati chegarasi A nuqtadagi tangensning nishabiga teng, ya'ni. . Bu quyidagilarni nazarda tutadi: Funktsiyaning x 0 nuqtadagi hosilasi bu nuqtadagi y = f(x) funksiya grafigiga teginish qiyaligiga teng, ya'ni. .

1. (x 0; f (x 0)) nuqtadagi funksiya grafigiga teginish sekantning (AC) chegaralovchi pozitsiyasidir.

Tangens tenglamasi : y – f(x 0) =

2. (x 0; f (x 0)) nuqtadagi tangensga (AC) perpendikulyar chiziq funksiya grafigiga normal deyiladi..

Oddiy tenglama: y – f(x 0) =

Vazifa: y=10x-x funksiya grafigiga abtsissasi x 0 =2 ga teng nuqtada chizilgan tangens va normal tenglamalarini tuzing.

Yechim:

1. Tegishli nuqtaning ordinatasini toping: f(x 0)= f(2)=10∙2–2 2 =16,

2. Tangensning qiyaligini toping: f "(x) \u003d (10x-x)" \u003d 10-2x, \u003d f"(2)=10–2∙2=6

3. Tangens tenglamani tuzing: y–16 = 6 ∙ (x-2), y–16 = 6x–12, y–6x–4 = 0 – tangens tenglama,

4. Normal tenglamani tuzing: y -16 =, 6y -96 = -x + 2, 6y + x -98 = 0 - normal tenglama.

5.2. jismoniy ma'no hosila:

Ta'rif. Tananing tezligi vaqtga nisbatan yo'lning birinchi hosilasiga teng:

5.3. Hosilning mexanik ma'nosi:

Ta'rif. Jismning tezlashishi vaqtga nisbatan tezlikning birinchi hosilasiga yoki vaqtga nisbatan yo'lning ikkinchi hosilasiga teng:

Vazifa: t=4c momentdagi qonun bo‘yicha harakatlanayotgan nuqtaning tezligi va tezlanishini aniqlang.

Yechim:

1. Tezlik qonunini toping: v= S"=

2. t = 4c momentdagi tezlikni toping: v(t)= v(4)=2∙4 2 +8∙4=64 birlik/sek

3. Tezlanish qonunini topamiz: a=v'=

4. t = 4c momentdagi tezlanishni toping: a(t)= a( 4)=4∙4+8=24birlik/sek 2

1.3-BO'lim. Funksiya differensiali va uning taqribiy hisoblarda qo‘llanilishi. Funksiya differensiali haqida tushuncha

funktsiya differentsiali y \u003d ƒ (x) nuqtadagi x funktsiya hosilasi va argument o'sishiga teng bo'lgan uning o'sishning asosiy qismi deb ataladi va du (yoki dƒ (x)) bilan belgilanadi: dy \u003d ƒ "(x)∙∆x(1).

Differensial du ham deyiladi birinchi tartibli differensial. X mustaqil o‘zgaruvchining differensialini, ya’ni y=x funksiyaning differentsialini topamiz.

y"=x"=1 bo'lgani uchun (1) formula bo'yicha biz dy=dx=∆x ga ega bo'lamiz, ya'ni mustaqil o'zgaruvchining differensiali bu o'zgaruvchining o'sishiga teng: dx=∆x.

Shuning uchun (1) formulani quyidagicha yozish mumkin: dy \u003d ƒ "(x) ∙ dx(2) boshqacha aytganda, funktsiyaning differensiali ushbu funktsiyaning hosilasi va mustaqil o'zgaruvchining differentsial ko'paytmasiga teng.

(2) formuladan dy / dx \u003d ƒ "(x) tengligi kelib chiqadi.

1-misol: ƒ(x)=3x 2 -sin(l+2x) funksiyaning differentsialini toping.

Yechim: dy \u003d ƒ "(x) dx formulasiga ko'ra, biz dy \u003d (3x 2 -sin (l + 2x))" dx \u003d (6x-2cos (l + 2x)) dx ni topamiz.

2-misol: Funksiyaning ikkinchi tartibli differensialini toping: y = x 3 –7x.

Yechim:

1.4-BO'lim. Ibtidoiy. Noaniq integral. Noaniq integralni hisoblash usullari.

Ta'rif 1. F(x) funksiya differensiali f(x)dx ifodaga teng bo'lgan ba'zi bir oraliqda f(x) funksiyaning anti hosilasi deyiladi. Misol: f (x) \u003d 3x 2 3x 2 dx F (x) \u003d x 3.

Shu bilan birga, funktsiyaning differensialligi bitta antiderivativga emas, balki ularning to'plamiga mos keladi. Misolni ko'rib chiqing: F 1 (x) = x 3, F 2 (x) = x 3 + 4, F 3 (x) = x 3 - 2, umuman F (x) + C, bu erda C ixtiyoriy doimiydir. . Demak, f(x)=3x2 funksiya uchun bir-biridan doimiy had bilan farq qiluvchi ko‘plab anti hosilalar mavjud.

Ta'rif 2. Qaysidir oraliqdagi barcha anti hosilaviy f(x) funksiyalar to‘plami shu oraliqdagi f(x) funksiyalarning noaniq integrali deyiladi va ∫f(x)dx belgisi bilan belgilanadi.

Bu belgi quyidagicha o'qiydi: "f(x) ning dx ustidan integrali", ya'ni ta'rifi bo'yicha:

∫ (x)dx = F(x)+C.

Belgi ∫ integralning ishorasi deyiladi, f(x) integrand, f(x)dx integrand, x integrasiya o’zgaruvchisi, F(x) ba’zi antiderivativ,

C doimiy.

Noaniq integralning asosiy xossalari:

1. Noaniq integralning differensialligi integrandga teng, ya'ni.

d ∫ f(x)dx = f(x)dx.

2. Funksiya differentsialining noaniq integrali ixtiyoriy doimiyga qo‘shilgan ushbu funktsiyaga teng: ∫ d F(x) = F(x) + C

3. Integral belgisidan doimiy koeffitsientni chiqarish mumkin: ∫ kf(x)dx = k ∫ f(x)dx , k-const.

4. Funktsiyalar algebraik yig'indisining noaniq integrali summasiga teng ularning har biridan integrallar: ∫ (f 1 (x)+f 2 (x)-f 3 (x))dx = ∫ f 1 (x)dx + ∫ f 2 (x)dx – ∫f 3 (x)dx .

Tenglamasi shaklga ega bo'lgan egri chiziqni ko'rib chiqing

Bir nuqtada berilgan egri chiziqqa teginish tenglamasi quyidagi ko'rinishga ega:

Berilgan nuqtadagi egri chiziqning normali berilgan nuqtadan o‘tuvchi va shu nuqtadagi tangensga perpendikulyar to‘g‘ri chiziqdir.

Bir nuqtadagi normalning berilgan egri chiziqqa tenglamasi quyidagi ko'rinishga ega:

(35)

Tangens nuqtasi va abscissa o'qi orasiga o'ralgan teginish segmentining uzunligi deyiladi tangens uzunligi, bu segmentning x o'qiga proyeksiyasi deyiladi subtangent .

Tangens nuqtasi va abscissa o'qi o'rtasida joylashgan normal segmentning uzunligi deyiladi normal uzunlik, bu segmentning x o'qiga proyeksiyasi deyiladi subnormal.

17-misol

Abtsissasi teng boʻlgan nuqtadagi egri chiziqning tangens va normal tenglamalarini yozing.

Yechim:

Funktsiyaning nuqtadagi qiymatini topamiz:

Berilgan funksiyaning nuqtadagi hosilasi topilsin

Javob: Tangens tenglamasi:

Oddiy tenglama: .

18-misol

Ellips uchun tangens va normal, tangens va subtangens uzunligi, normal va subnormal uzunligi uchun tenglamalarni yozing.

qaysi nuqtada.

Yechim:

(10) formula bo‘yicha parametrik berilgan funksiyaning hosilasi sifatida topamiz:

Tegish nuqtasining koordinatalarini toping: va teginish nuqtasida hosilaning qiymati:

Tangens tenglama (34) formula bilan topiladi:

Tangensning o'q bilan kesishish nuqtasining koordinatalarini toping:

Tangens uzunligi segment uzunligiga teng:

Ta'rifga ko'ra, subtangent ga teng

Bu erda burchak tangens va eksa orasidagi burchakdir. Shuning uchun tangensning qiyaligi teng bo'ladi

Demak subtangent ga teng

Normal tenglamani (35) formula bo'yicha topamiz:

Normalning o'q bilan kesishish nuqtasining koordinatalarini toping:

Oddiy uzunligi segment uzunligiga teng:

Ta'rifga ko'ra, subnormal tengdir

Bu erda burchak normal va eksa orasidagi burchakdir. Shuning uchun, normaning qiyaligi ga teng

Shunday qilib, subnormal:

Javob: Tangens tenglamasi:

Oddiy tenglama:

Tangens uzunligi ; subtangent;

Oddiy uzunlik ; subnormal

Vazifalar 7. Tangens va normal tenglamalarni yozing:

1. Abtsissasi nuqtadagi parabolaga

2. X o'qi bilan kesishish nuqtalaridagi aylanaga

3. Qaysi nuqtada sikloidga

4. Egri chiziqning qaysi nuqtalarida tangens parallel:

a) Ox o'qi; b) to'g'ri

.

10. Funksiyaning monotonlik oraliqlari. Funktsiyaning ekstremallari.

Funktsiyaning monotonlik holati:

Differensiallanuvchi funksiya ortib ketmasligi uchun hosila unga tegishli barcha nuqtalarda musbat bo‘lmasligi zarur va yetarlidir.

Differensiallanuvchi funksiya kamaymasligi uchun hosila unga tegishli barcha nuqtalarda manfiy bo‘lmasligi zarur va yetarlidir.

Funktsiyaning hosilasi ma'lum bir belgini saqlaydigan oraliqlarga intervallar deyiladi. monotonlik funktsiyalari

19-misol

Funksiyaning monotonlik intervallarini toping.

Yechim:

Funktsiyaning hosilasi topilsin .

Olingan hosilaning doimiylik intervallari topilsin. Buning uchun

olingan kvadrat trinomialni koeffitsientlarga ajratamiz:

Olingan ifodaning ishorasini interval usuli yordamida tekshiramiz.

Shunday qilib, (36), (37) ga ko'ra, berilgan funktsiya ga ortishi va kamayishiga erishamiz.

Javob: Berilgan funksiya ga ortib, kamaymoqda.

Ta'rif Funktsiya nuqtada mavjud mahalliy maksimal (minimal), agar shart shunday nuqtaning qo'shnisi mavjud bo'lsa

Funktsiyaning mahalliy minimal yoki maksimal qiymati deyiladi mahalliy ekstremal.

Ekstremum mavjudligi uchun zaruriy shart.

Funktsiya nuqtaning qaysidir qo'shnisida aniqlansin. Agar funktsiya nuqtada ekstremumga ega bo'lsa, u holda nuqtadagi hosila nolga teng yoki mavjud emas.

Nuqta deyiladi tanqidiy nuqta nuqtadagi hosila nolga teng bo'lsa yoki mavjud bo'lmasa funktsiyalarni bajaradi.

Kritik nuqtada ekstremumning mavjudligi uchun etarli shartlar.

Nuqta tanqidiy bo'lsin.

Ekstremum uchun birinchi etarli shart:

Funktsiya nuqtaning qaysidir qo'shnisida uzluksiz bo'lsin va har bir nuqtada differentsial bo'lsin.

Nuqta mahalliy maksimaldir, agar u orqali o'tayotganda

Funktsiyaning hosilasi ishorani ortiqcha dan minusga o'zgartiradi.

Nuqta mahalliy minimal, agar u orqali o'tayotganda

Funktsiyaning hosilasi belgisini minusdan ortiqchaga o'zgartiradi.

20-misol

Funksiyaning ekstremalini toping.

Yechim:

Berilgan funksiyaning hosilasi topilsin

Olingan hosiladagi pay va maxrajni nolga tenglashtirib, kritik nuqtalarni topamiz:

Biz hosila belgisini intervallar usuli yordamida tekshiramiz.

Rasmdan ko'rinib turibdiki, hosila nuqtadan o'tganda ishorani ortiqcha dan minusga o'zgartiradi. Shuning uchun, nuqtada mahalliy maksimal mavjud.

Nuqtadan oʻtayotganda hosila belgisini minusdan plyusga oʻzgartiradi.

Shuning uchun nuqta mahalliy minimaldir.

Nuqtadan o'tayotganda hosila belgisini o'zgartirmaydi. Demak, kritik nuqta berilgan funksiyaning ekstremumi emas.

Javob:- mahalliy maksimal, - mahalliy minimum.

Ekstremum uchun ikkinchi etarli shart:

Agar funktsiyaning nuqtadagi birinchi hosilalari nolga teng bo'lsa va funktsiyaning nuqtadagi a-chi hosilasi nolga teng bo'lmasa, u holda nuqta funktsiyaning ekstremumidir va bundan tashqari,

keyin mahalliy minimum

keyin mahalliy maksimaldir.

21-misol

Ikkinchi hosila yordamida funksiyaning ekstremal qismini toping.

Yechim:

Berilgan funksiyaning birinchi hosilasi topilsin

Funktsiyaning kritik nuqtalarini topamiz:

Biz nuqtani hisobga olmaymiz, chunki funktsiya faqat chap qo'shnilikda aniqlanadi.

Keling, ikkinchi hosilani topamiz

topamiz

Shunday qilib, (39) ga asoslanib, biz at mahalliy maksimal degan xulosaga keldik.

Javob: mahalliy maksimal hisoblanadi.

Vazifalar 8.

O'sish va kamayish funktsiyalarini tekshiring:

Funktsiyaning ekstremal tomonlarini o'rganing:

Tangens to'g'ri chiziqdir , bu funksiya grafigiga bir nuqtada tegadi va uning barcha nuqtalari funksiya grafigidan eng kichik masofada joylashgan. Shuning uchun tangens funktsiya grafigiga ma'lum burchak ostida tangens o'tadi va bir nechta tangenslar turli burchaklardagi teginish nuqtasidan o'ta olmaydi. Tangens tenglamalari va funktsiya grafigiga normalning tenglamalari hosila yordamida tuziladi.

Tangens tenglama to'g'ri chiziq tenglamasidan olingan .

Tangens tenglamasini, keyin esa funktsiya grafigiga normal tenglamani olamiz.

y = kx + b .

Unda k- burchak koeffitsienti.

Bu yerdan biz quyidagi yozuvni olamiz:

y - y 0 = k(x - x 0 ) .

Hosil qiymati f "(x 0 ) funktsiyalari y = f(x) nuqtada x0 nishabga teng k=tg φ nuqta orqali chizilgan funksiya grafigiga teginish M0 (x 0 , y 0 ) , qayerda y0 = f(x 0 ) . Bu nima geometrik ma'no hosila .

Shunday qilib, biz almashtirishimiz mumkin k ustida f "(x 0 ) va quyidagilarni oling funksiya grafigiga teginish tenglamasi :

y - y 0 = f "(x 0 )(x - x 0 ) .

Funktsiya grafigiga teginish tenglamasini tuzish bo'yicha topshiriqlarda (va biz yaqinda ularga o'tamiz) yuqoridagi formuladan olingan tenglamani quyidagiga keltirish kerak. to'g'ri chiziqning umumiy tenglamasi. Buni amalga oshirish uchun barcha harflar va raqamlarni tenglamaning chap tomoniga o'tkazishingiz kerak, o'ng tomonda esa nolni qoldiring.

Endi oddiy tenglama haqida. Oddiy tangensga perpendikulyar funksiya grafigiga teguvchi nuqtadan oʻtuvchi toʻgʻri chiziq. Oddiy tenglama :

(x - x 0 ) + f "(x 0 )(y - y 0 ) = 0

Birinchi misolni qizdirish uchun sizdan uni o'zingiz hal qilishingiz so'raladi va keyin yechimga qarang. Bu vazifa o‘quvchilarimiz uchun “sovuq dush” bo‘lmaydi, deb umid qilishga to‘liq asoslar bor.

0-misol. Nuqtadagi funksiya grafigiga teginish tenglamasini va normal tenglamasini tuzing. M (1, 1) .

1-misol Funksiya grafigiga teginish tenglamasini va normal tenglamasini tuzing teginish nuqtasining absissasi bo'lsa.

Funktsiyaning hosilasini topamiz:

Endi bizda tangens tenglamani olish uchun nazariy ma'lumotnomada keltirilgan yozuvga almashtirilishi kerak bo'lgan hamma narsa bor. olamiz

Ushbu misolda bizga omad kulib boqdi: qiyalik nolga teng bo'lib chiqdi, shuning uchun tenglamani alohida keltiring. umumiy ko'rinish kerak emas edi. Endi biz oddiy tenglamani yozishimiz mumkin:

Quyidagi rasmda: bordo rangdagi funksiya grafigi, yashil rangdagi tangens, to'q sariq rangdagi normal.

Keyingi misol ham murakkab emas: funktsiya, avvalgidek, ham polinomdir, lekin qiyalik koeffitsienti nolga teng bo'lmaydi, shuning uchun yana bir qadam qo'shiladi - tenglamani umumiy shaklga keltirish.

2-misol

Yechim. Tegishli nuqtaning ordinatasini topamiz:

Funktsiyaning hosilasini topamiz:

.

Tuzatish nuqtasidagi hosilaning qiymatini, ya'ni teginish qiyaligini topamiz:

Olingan barcha ma'lumotlarni "bo'sh formula" ga almashtiramiz va tangens tenglamani olamiz:

Biz tenglamani umumiy shaklga keltiramiz (chap tomonda noldan boshqa barcha harflar va raqamlarni yig'amiz va o'ng tomonda nol qoldiramiz):

Oddiy tenglamani tuzamiz:

3-misol Tegishli nuqtaning abssissasi bo'lsa, funksiya grafigiga teginish tenglamasini va normal tenglamasini tuzing.

Yechim. Tegishli nuqtaning ordinatasini topamiz:

Funktsiyaning hosilasini topamiz:

.

Tuzatish nuqtasidagi hosilaning qiymatini, ya'ni teginish qiyaligini topamiz:

.

Tangens tenglamasini topamiz:

Tenglamani umumiy ko'rinishga keltirishdan oldin, siz uni biroz "birlashtirishingiz" kerak: muddatni 4 ga ko'paytiring. Biz buni qilamiz va tenglamani umumiy shaklga keltiramiz:

Oddiy tenglamani tuzamiz:

4-misol Tegishli nuqtaning abssissasi bo'lsa, funksiya grafigiga teginish tenglamasini va normal tenglamasini tuzing.

Yechim. Tegishli nuqtaning ordinatasini topamiz:

.

Funktsiyaning hosilasini topamiz:

Tuzatish nuqtasidagi hosilaning qiymatini, ya'ni teginish qiyaligini topamiz:

.

Tangens tenglamasini olamiz:

Tenglamani umumiy shaklga keltiramiz:

Oddiy tenglamani tuzamiz:

Tangens va normal tenglamalarni yozishda keng tarqalgan xato - bu misolda keltirilgan funktsiyaning murakkab ekanligini sezmaslik va uning hosilasini oddiy funktsiyaning hosilasi sifatida hisoblash. Quyidagi misollar allaqachon mavjud murakkab funktsiyalar(tegishli dars yangi oynada ochiladi).

5-misol Tegishli nuqtaning abssissasi bo'lsa, funksiya grafigiga teginish tenglamasini va normal tenglamasini tuzing.

Yechim. Tegishli nuqtaning ordinatasini topamiz:

Diqqat! Bu funksiya- murakkab, tangens argumentidan beri (2 x) o‘zi funksiyadir. Demak, funktsiyaning hosilasini kompleks funksiyaning hosilasi sifatida topamiz.