Bu eng keng tarqalgan matritsa operatsiyalaridan biridir. Ko'paytirishdan keyin olingan matritsa matritsa mahsuloti deyiladi.

Matritsa mahsuloti A m × n matritsaga B n × k matritsa bo'ladi Sm × k shunday qilib, matritsa elementi C da joylashgan i-chi qator va j-ustun, ya'ni element c ij summasiga teng elementlarning mahsulotlari i matritsaning uchinchi qatori A tegishli elementlar bo'yicha j matritsaning ustuni B.

Jarayon matritsalarni ko'paytirish birinchi matritsaning ustunlari soni ikkinchi matritsaning satrlari soniga teng bo'lsagina mumkin.

Misol:
Matritsani matritsaga ko'paytirish mumkinmi?

m =n, ya'ni matritsaning ma'lumotlarini ko'paytirishingiz mumkin.

Agar matritsalar almashtirilsa, bunday matritsalar bilan endi ko'paytirish mumkin bo'lmaydi.

m≠ n, shuning uchun siz ko'paytirishni amalga oshira olmaysiz:

Ko'pincha talabaga taklif qilinganda, siz hiyla bilan vazifalarni topishingiz mumkin matritsalarni ko'paytiring, ularning ko'payishi aniq mumkin emas.

E'tibor bering, ba'zida matritsalarni ikkala usulda ham ko'paytirish mumkin. Masalan, matritsalar uchun va, ehtimol, ko'paytirish sifatida MN, ko'paytirish ham shunday N.M.

Bu juda qiyin harakat emas. Matritsalarni ko'paytirishni aniq misollar bilan tushunish mumkin, masalan Faqat ta'rif juda chalkash bo'lishi mumkin.

Eng oddiy misoldan boshlaylik:

ga ko'paytirilishi kerak. Avvalo, biz ushbu holat uchun formulani beramiz:

- bu erda yaxshi namuna bor.

ga ko'paytiring.

Bu holat uchun formula: .

Matritsani ko'paytirish va natija:

Natijada, deb atalmish. null matritsa.

Shuni esda tutish kerakki, bu erda "terminlar joylarini qayta joylashtirish qoidasi" ishlamaydi, chunki deyarli har doim MN≠ NM. Shuning uchun ishlab chiqarish matritsalarni ko'paytirish amali hech qanday holatda ularni almashtirmaslik kerak.

Endi uchinchi tartibli matritsalarni ko'paytirish misollarini ko'rib chiqing:

Ko'paytiring kuni .

Formula avvalgilariga juda o'xshash:

Matritsali yechim: .

Bu bir xil matritsani ko'paytirish, ikkinchi matritsa o'rniga faqat tub son olinadi. Siz taxmin qilganingizdek, bu ko'paytirishni bajarish ancha oson.

Matritsani raqamga ko'paytirishga misol:

Bu erda hamma narsa aniq - buning uchun matritsani raqamga ko'paytirish, matritsaning har bir elementini ko'rsatilgan songa ketma-ket ko'paytirish kerak. Bunday holda, 3.

Yana bir foydali misol:

- matritsani kasr songa ko'paytirish.

Avvalo, nima qilmaslik kerakligini ko'rsatamiz:

Matritsani kasr songa ko'paytirishda matritsaga kasr kiritish shart emas, chunki bu, birinchi navbatda, matritsa bilan keyingi harakatlarni murakkablashtiradi, ikkinchidan, o'qituvchiga yechimni tekshirishni qiyinlashtiradi. .

Bundan tashqari, matritsaning har bir elementini -7 ga bo'lishning hojati yo'q:

.

Bu holda nima qilish kerak matritsaga minus qo'shish:

.

Agar sizda matritsaning barcha elementlari 7 ga qoldiqsiz bo'linadigan misol bo'lsa, unda bo'lish mumkin (va kerak!).

IN bu misol matritsaning barcha elementlarini ½ ga ko'paytirish mumkin va zarur, chunki matritsaning har bir elementi qoldiqsiz 2 ga bo'linadi.

Izoh: oliy matematika nazariyasida maktab tushunchasi"bo'linish" emas. “Bu bunga boʻlinadi” iborasi oʻrniga har doim “bu kasrga koʻpaytiriladi” deyish mumkin. Ya'ni, bo'linish maxsus holat ko'paytirish.

Matritsalarning asosiy qo'llanilishi operatsiya bilan bog'liq ko'paytirish.

Ikki matritsa berilgan:

A - o'lchami mn

B - o'lcham n k

Chunki A matritsadagi satr uzunligi B matritsadagi ustun balandligiga to‘g‘ri kelsa, siz C=AB matritsasini belgilashingiz mumkin, uning o‘lchamlari m bo‘ladi. k. Element ixtiyoriy i-qatorda (i=1,…,m) va ixtiyoriy j-ustunda (j=1,…,k) joylashgan C matritsasi taʼrifi boʻyicha ikkita vektorning skalyar koʻpaytmasiga teng.
:A matritsaning i- qatori va B matritsasining j-ustun:

Xususiyatlari:

A matritsani l soniga ko'paytirish amali qanday aniqlanadi?

A ning l soniga ko'paytmasi matritsa bo'lib, uning har bir elementi A ning tegishli elementining l ga ko'paytmasiga teng. Natija: barcha matritsa elementlarining umumiy omili matritsa belgisidan chiqarilishi mumkin.

13. Teskari matritsaning ta’rifi va uning xossalari.

Ta'rif. Agar shartni qanoatlantiradigan bir xil tartibdagi X va A kvadrat matritsalar bo'lsa:

Bu erda E - A matritsa bilan bir xil tartibdagi o'ziga xos matritsa, u holda X matritsa deyiladi. teskari matritsaga A va A -1 bilan belgilanadi.

Teskari matritsalarning xossalari

Teskari matritsalarning quyidagi xossalarini ko'rsatamiz:

1) (A -1) -1 = A;

2) (AB) -1 = B -1 A -1

3) (A T) -1 = (A -1) T.

1. Agar teskari matritsa mavjud bo'lsa, u yagonadir.

2. Har bir nolga teng emas kvadrat matritsa qarama-qarshilik mavjud.

14. Determinantlarning asosiy xossalarini keltiring. Mulkni tekshiring |AB|=|A|*|B| matritsalar uchun

A= va B=

Determinantlarning xususiyatlari:

1. Agar aniqlovchining har qanday qatori nollardan iborat bo'lsa, aniqlovchining o'zi nolga teng.

2. Ikki satr almashtirilganda aniqlovchi -1 ga ko'paytiriladi.

3. Ikkita bir xil qatorli aniqlovchi nolga teng.

4. Har qanday qator elementlarining umumiy koeffitsientini aniqlovchi belgisidan chiqarish mumkin.

5. Agar A aniqlovchining ma’lum bir qatori elementlari ikki hadning yig’indisi sifatida taqdim etilsa, u holda determinantning o’zi B va D ikki aniqlovchi yig’indisiga teng bo’ladi. B aniqlovchida ko’rsatilgan qator birinchidan iborat bo’ladi. shartlari, D - ikkinchi shartlar. B va D determinantlarining qolgan qatorlari A dagi bilan bir xil.

6. Satrlardan biriga boshqa qator qo‘shilsa, istalgan songa ko‘paytirilsa, determinantning qiymati o‘zgarmaydi.

7. Har qanday qator elementlari va boshqa qatorning mos elementlariga algebraik qo‘shimchalar ko‘paytmalari yig‘indisi 0 ga teng.

8. A matritsaning determinanti ko'chirilgan A m matritsasining determinantiga teng, ya'ni. determinant ko‘chirilganda o‘zgarmaydi.

15. Kompleks sonning moduli va argumentini aniqlang. √3+ sonlarni trigonometrik shaklda yozingi, -1+ i.

Har bir z=a+ib kompleks soniga (a,b)€R 2 vektor berilishi mumkin. Bu vektorning √a 2 + b 2 ga teng uzunligi deyiladi. kompleks sonlar moduli z va |z| bilan belgilanadi. Berilgan vektor va Ox o'qining musbat yo'nalishi orasidagi ph burchagi deyiladi murakkab son argumenti z va arg z bilan belgilanadi.

Har qanday kompleks son z≠0 z=|z|(cosph +isinph) shaklida ifodalanishi mumkin.

Kompleks sonni yozishning bunday shakli trigonometrik deyiladi.

√3+i=2(√3/2+1/2i)=2(cosp/6+isinp/6);

1+i=2(-√2/2+i√2/2)=2(cosp/4+isinp/4).

Har bir kompleks son Z = a + ib ga R^2 ga tegishli vektor (a; b) berilishi mumkin. Bu vektorning a^2 + b^2 ning CV ga teng uzunligi kompleks sonning moduli deb ataladi va Z moduli bilan belgilanadi. Bu vektor va Ox o'qining musbat yo'nalishi orasidagi burchak deyiladi. kompleks sonning argumenti (arg Z bilan belgilanadi).

Ta'rif. Ikki matritsaning mahsuloti A Va IN matritsa deb ataladi BILAN, kimning elementi, chorrahada joylashgan i-chi qator va j-ustun, elementlarning ko'paytmalari yig'indisiga teng i-matritsaning qatori A tegishli (tartibda) elementlar bo'yicha j-matritsaning ustuni IN.

Ushbu ta'rif matritsa elementi uchun formulani nazarda tutadi C:

Matritsa mahsuloti A matritsaga IN belgilangan AB.

1-misol Ikki matritsaning mahsulotini toping A Va B, Agar

,

.

Yechim. Ikki matritsaning mahsulotini topish qulay A Va IN 2-rasmdagi kabi yozing:

Diagrammada kulrang o'qlar matritsaning qaysi qatorining elementlarini ko'rsatadi A matritsaning qaysi ustunining elementlari bo'yicha IN matritsaning elementlarini olish uchun ko'paytirish kerak BILAN, va matritsa elementining ranglari C matritsalarning mos keladigan elementlari ulanadi A Va B, uning mahsulotlari matritsa elementini olish uchun qo'shiladi C.

Natijada matritsalar mahsulotining elementlarini olamiz:

Endi ikkita matritsaning mahsulotini yozish uchun hamma narsa bor:

.

Ikki matritsaning mahsuloti AB faqat matritsaning ustunlar soni mantiqiy bo'ladi A matritsa qatorlari soniga mos keladi IN.

Agar siz quyidagi eslatmalardan tez-tez foydalansangiz, ushbu muhim xususiyatni eslab qolish osonroq bo'ladi:

Matritsalar mahsulotining satr va ustunlar soniga nisbatan yana bir muhim xususiyati bor:

Matritsalar hosilasida AB qatorlar soni matritsa qatorlari soniga teng A, va ustunlar soni matritsaning ustunlar soniga teng IN .

2-misol Matritsaning qator va ustunlari sonini toping C, bu ikki matritsaning mahsulotidir A Va B quyidagi o'lchamlar:

a) 2 X 10 va 10 X 5;

b) 10 X 2 va 2 X 5;

3-misol Matritsalar hosilasi toping A Va B, Agar:

.

A B- 2. Demak, matritsaning o'lchami C = AB- 2 x 2.

Matritsa elementlarini hisoblash C = AB.

Matritsalarning topilgan mahsuloti: .

Ushbu va boshqa shunga o'xshash muammolarning echimini tekshirishingiz mumkin onlayn matritsa mahsulot kalkulyatori .

5-misol Matritsalar hosilasi toping A Va B, Agar:

.

Yechim. Matritsadagi qatorlar soni A- 2, matritsadagi ustunlar soni B C = AB- 2 X 1.

Matritsa elementlarini hisoblash C = AB.

Matritsalar hosilasi ustunli matritsa shaklida yoziladi: .

Ushbu va boshqa shunga o'xshash muammolarning echimini tekshirishingiz mumkin onlayn matritsa mahsulot kalkulyatori .

6-misol Matritsalar hosilasi toping A Va B, Agar:

.

Yechim. Matritsadagi qatorlar soni A- 3, matritsadagi ustunlar soni B- 3. Demak, matritsaning o'lchami C = AB- 3x3.

Matritsa elementlarini hisoblash C = AB.

Matritsalarning topilgan mahsuloti: .

Ushbu va boshqa shunga o'xshash muammolarning echimini tekshirishingiz mumkin onlayn matritsa mahsulot kalkulyatori .

7-misol Matritsalar hosilasi toping A Va B, Agar:

.

Yechim. Matritsadagi qatorlar soni A- 1, matritsadagi ustunlar soni B- 1. Binobarin, matritsaning o'lchami C = AB- 1 X 1.

Matritsaning elementini hisoblang C = AB.

Matritsalar ko'paytmasi bitta elementning matritsasi: .

Ushbu va boshqa shunga o'xshash muammolarning echimini tekshirishingiz mumkin onlayn matritsa mahsulot kalkulyatori .

C++ da ikkita matritsa hosilasining dasturiy ta'minoti "Kompyuterlar va dasturlash" blokidagi tegishli maqolada muhokama qilinadi.

Matritsani bir darajaga ko'tarish matritsani bir xil matritsaga ko'paytirish sifatida aniqlanadi. Matritsalar mahsuloti faqat birinchi matritsaning ustunlari soni ikkinchi matritsaning satrlari soni bilan bir xil bo'lganda mavjud bo'lganligi sababli, faqat kvadrat matritsalar kuchga ko'tarilishi mumkin. n matritsani o'ziga ko'paytirish orqali matritsaning th darajasi n bir marta:

8-misol Matritsa berilgan. Toping A² va A³ .

Matritsalar mahsulotini o'zingiz toping, so'ngra yechimni ko'ring

9-misol Matritsa berilgan

Berilgan matritsa va ko‘chirilgan matritsaning ko‘paytmasini, ko‘chirilgan matritsa va berilgan matritsaning ko‘paytmasini toping.

Mulk 1. Har qanday A matritsasi va mos keladigan tartibdagi E matritsasining mahsuloti ham o'ngda, ham chapda A matritsaga to'g'ri keladi, ya'ni. AE = EA = A.

Boshqacha qilib aytganda, matritsalarni ko'paytirishda o'ziga xoslik matritsasining roli sonlarni ko'paytirishda birliklarning roli bilan bir xil.

10-misol Matritsaning ko'paytmalarini topib, 1-xususiyatning to'g'ri ekanligiga ishonch hosil qiling

o'ng va chapdagi identifikatsiya matritsasiga.

Yechim. Matritsadan beri A uchta ustunni o'z ichiga oladi, keyin siz mahsulotni topishingiz kerak AE, Qayerda

-
uchinchi tartibli identifikatsiya matritsasi. Keling, ishning elementlarini topamiz BILAN = AE :

Ma'lum bo'ladiki AE = A .

Endi ishni topamiz EA, Qayerda E ikkinchi tartibli identifikatsiya matritsasi, chunki A matritsasi ikkita qatordan iborat. Keling, ishning elementlarini topamiz BILAN = EA :

Matritsalar ko‘paytmasi (C= AB) faqat izchil A va B matritsalar uchun amal bo‘lib, unda A matritsa ustunlari soni B matritsa satrlari soniga teng bo‘ladi:

C ⏟ m × n = A ⏟ m × p × B ⏟ p × n

1-misol

Matritsa ma'lumotlari:

• A = a (i j) o'lchamlari m × n;
• B = b (i j) p × n

C matritsa, uning elementlari c i j quyidagi formula bilan hisoblanadi:

c i j = a i 1 × b 1 j + a i 2 × b 2 j +. . . + a i p × b p j, i = 1,. . . m, j = 1,. . . m

2-misol

AB=BA mahsulotlarni hisoblaymiz:

A = 1 2 1 0 1 2, B = 1 0 0 1 1 1

Matritsani ko'paytirish qoidasi yordamida yechim:

A ⏟ 2 × 3 × B ⏟ 3 × 2 = 1 2 1 0 1 2 × 1 0 0 1 1 1 = 1 × 1 + 2 × 0 + 1 × 1 1 × 0 + 2 × 1 + 1 × 1 0 × 1 + 1 × 0 + 2 × 1 0 × 0 + 1 × 1 + 2 × 1 = = 2 3 2 3 ⏟ 2 × 2

B ⏟ 3 × 2 × A ⏟ 2 × 3 = 1 0 0 1 1 1 × 1 2 1 0 1 2 = 1 × 1 + 0 × 0 1 × 2 + 0 × 1 1 × 1 + 0 × 2 0 × 1 + 1 × 0 0 × 2 + 1 × 1 0 × 1 + 1 × 2 1 × 1 + 1 × 0 1 × 2 + 1 × 1 1 × 1 + 1 × 2 = 1 2 1 0 1 2 1 3 3 ⏟ 3×3

A B va B A mahsuloti topilgan, lekin ular turli o'lchamdagi matritsalardir: A B B A ga teng emas.

Matritsalarni ko'paytirishning xossalari

Matritsalarni ko'paytirish xususiyatlari:

• (A B) C = A (B C) - matritsani ko'paytirishning assotsiativligi;
• A (B + C) \u003d A B + A C - distributiv ko'paytirish;
• (A + B) C \u003d A C + B C - ko'paytirishning taqsimlanishi;
• l (A B) = (l A) B

№1 xususiyatni tekshiring: (A B) C = A (B C):

(A × B) × A = 1 2 3 4 × 5 6 7 8 × 1 0 0 2 = 19 22 43 50 × 1 0 0 2 = 19 44 43 100,

A (B × C) = 1 2 3 4 × 5 6 7 8 1 0 0 2 = 1 2 3 4 × 5 12 7 16 = 19 44 43 100.

2-misol

Biz №2 mulkni tekshiramiz: A (B + C) \u003d A B + A C:

A × (B + C) = 1 2 3 4 × 5 6 7 8 + 1 0 0 2 = 1 2 3 4 × 6 6 7 10 = 20 26 46 58,

A B + A C \u003d 1 2 3 4 × 5 6 7 8 + 1 2 3 4 × 1 0 0 2 \u003d 19 22 43 50 + 1 4 3 8 \u003d 20 26 46 58 .

Uch matritsaning mahsuloti

Uchta A B C matritsalarining mahsuloti 2 usulda hisoblanadi:

• A B ni toping va C ga ko'paytiring: (A B) C;
• yoki avval B C ni toping va keyin A (B C) ni ko'paytiring.

Matritsalarni ikki usulda ko'paytirish:

4 3 7 5 × - 28 93 38 - 126 × 7 3 2 1

Harakat algoritmi:

• 2 ta matritsaning mahsulotini toping;
• keyin yana 2 matritsaning mahsulotini toping.

1). A B \u003d 4 3 7 5 × - 28 93 38 - 126 \u003d 4 (- 28) + 3 × 38 4 × 93 + 3 (- 126) 7 (- 28) + 5 × 38 7 × 93 + 5 (- 126 ) = 2 - 6 - 6 21

2). A B C = (A B) C = 2 - 6 - 6 21 7 3 2 1 = 2 × 7 - 6 × 2 2 × 3 - 6 × 1 - 6 × 7 + 21 × 2 - 6 × 3 + 21 × 1 = 2 0 0 3 .

Biz A B C \u003d (A B) C formulasidan foydalanamiz:

1). B C = - 28 93 38 - 126 7 3 2 1 = - 28 × 7 + 93 × 2 - 28 × 3 + 93 × 1 38 × 7 - 126 × 2 38 × 3 - 126 × 1 = - 10 9 14 - 12

2). A B C \u003d (A B) C \u003d 7 3 2 1 - 10 9 14 - 12 \u003d 4 (- 10) + 3 × 14 4 × 9 + 3 (- 12) 7 (- 10) + 5 × 14 7 × 9 + 5 (- 12) = 2 0 0 3

Javob: 4 3 7 5 - 28 93 38 - 126 7 3 2 1 = 2 0 0 3

Matritsani raqamga ko'paytirish

A matritsasining k soniga mahsuloti bir xil o'lchamdagi B \u003d A k matritsasi bo'lib, u asl nusxadan uning barcha elementlarining ma'lum soniga ko'paytirish orqali olinadi:

b i, j = k × a i, j

Matritsani songa ko‘paytirish xossalari:

• 1 × A = A
• 0 × A = nol matritsa
• k(A + B) = kA + kB
• (k + n) A = k A + n A
• (k×n)×A = k(n×A)

A \u003d 4 2 9 0 matritsasining 5 ga mahsulotini toping.

5 A = 5 4 2 9 0 5 × 4 5 × 2 5 × 9 5 × 0 = 20 10 45 0

Matritsani vektorga ko'paytirish

Matritsa va vektorning mahsulotini topish uchun satr-ustun qoidasiga ko'ra ko'paytirish kerak:

• agar siz matritsani ustun vektoriga ko'paytirsangiz, matritsadagi ustunlar soni ustun vektoridagi qatorlar soniga mos kelishi kerak;
• ustun vektorini ko'paytirish natijasi faqat ustun vektoridir:

A B = a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ a m 1 a m 2 ⋯ a m n b 1 b 2 ⋯ b 1 n = a + a 11 × b 2 1 + a + a 2 b 1 n × b n a 21 × b 1 + a 22 × b 2 + ⋯ + a 2 n × b n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ a m 1 × b 1 + a m 2 × b 2 + ⋯ + a m n × b n = c 1 c2 1 m

• agar siz matritsani satr vektoriga ko'paytirsangiz, u holda ko'paytiriladigan matritsa faqat ustun vektori bo'lishi kerak va ustunlar soni qator vektoridagi ustunlar soniga mos kelishi kerak:

A B = a a ⋯ a b b ⋯ b = a 1 × b 1 a 1 × b 2 ⋯ a 1 × b n a 2 × b 1 a 2 × b 2 ⋯ a 2 × b n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ a n × b 1 a ⋯ ⋯ a n × b 1 a ⋯ n × b a n × b n = c 11 c 12 ⋯ c 1 n c 21 c 22 ⋯ c 2 n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ c n 1 c n 2 ⋯ c n n

5-misol

A matritsa va ustun vektor B ko'paytmasini toping:

A B \u003d 2 4 0 - 2 1 3 - 1 0 1 1 2 - 1 \u003d 2 × 1 + 4 × 2 + 0 × (- 1) - 2 × 1 + 1 × 2 + 3 × (- 1) - 1 × 1 + 0 × 2 + 1 × (- 1) = 2 + 8 + 0 - 2 + 2 - 3 - 1 + 0 - 1 = 10 - 3 - 2

6-misol

A matritsa va B qator vektorining mahsulotini toping:

A \u003d 3 2 0 - 1, B \u003d - 1 1 0 2

A B = 3 2 0 1 × - 1 1 0 2 = 3 × (- 1) 3 × 1 3 × 0 3 × 2 2 × (- 1) 2 × 1 2 × 0 2 × 2 0 × (- 1) 0 × 1 0 × 0 0 × 2 1 × (- 1) 1 × 1 1 × 0 1 × 2 = - 3 3 0 6 - 2 2 0 4 0 0 0 0 - 1 1 0 2

Javob: A B \u003d - 3 3 0 6 - 2 2 0 4 0 0 0 0 - 1 1 0 2

Agar siz matnda xatolikni sezsangiz, uni belgilab, Ctrl+Enter tugmalarini bosing

Shunday qilib, oldingi darsda biz matritsalarni qo'shish va ayirish qoidalarini tahlil qildik. Bu shunday oddiy operatsiyalarki, ko'pchilik talabalar ularni tom ma'noda tushunadilar.

Biroq, siz erta xursand bo'lasiz. Erkinlik tugadi - keling, ko'paytirishga o'tamiz. Men sizni darhol ogohlantiraman: ikkita matritsani ko'paytirish, siz o'ylaganingizdek, bir xil koordinatali hujayralardagi raqamlarni ko'paytirish emas. Bu erda hamma narsa yanada qiziqarli. Va siz dastlabki ta'riflardan boshlashingiz kerak.

Mos keluvchi matritsalar

Matritsaning eng muhim xususiyatlaridan biri uning o'lchamidir. Biz bu haqda allaqachon yuz marta gapirganmiz: $A=\left[ m\times n \right]$ matritsada aynan $m$ satrlar va $n$ ustunlar borligini bildiradi. Biz satrlarni ustunlar bilan qanday aralashtirmaslik kerakligini allaqachon muhokama qildik. Endi yana bir narsa muhim.

Ta'rif. $A=\left[ m\times n \right]$ va $B=\left[ n\times k \right]$ koʻrinishdagi matritsalar, bunda birinchi matritsadagi ustunlar soni bir xil boʻladi. ikkinchisidagi qatorlar soni izchil deyiladi.

Yana bir bor: birinchi matritsadagi ustunlar soni ikkinchisidagi qatorlar soniga teng! Shundan biz bir vaqtning o'zida ikkita xulosaga kelamiz:

1. Biz matritsalarning tartibi haqida qayg'uramiz. Masalan, $A=\left[ 3\times 2 \right]$ va $B=\left[ 2\times 5 \right]$ matritsalari bir-biriga mos keladi (birinchi matritsada 2 ta ustun va ikkinchisida 2 qator) , lekin aksincha — $B=\left[ 2\times 5 \right]$ va $A=\left[ 3\times 2 \right]$ matritsalari endi bir-biriga mos kelmaydi (birinchi matritsadagi 5 ta ustun quyidagicha: ikkinchisida 3 qator emas edi).
2. Agar siz barcha o'lchamlarni ketma-ket yozsangiz, izchillikni tekshirish oson. Oldingi paragrafdagi misoldan foydalanib: "3 2 2 5" - bir xil raqamlar o'rtada, shuning uchun matritsalar izchil. Lekin “2 5 3 2” kelishilmagan, chunki o'rtada turli raqamlar bor.

Bundan tashqari, kapitan $\left[ n\times n \right]$ bir xil o'lchamdagi kvadrat matritsalar doimo mos kelishiga ishora qilganga o'xshaydi.

Matematikada ob'ektlarni sanab o'tish tartibi muhim bo'lsa (masalan, yuqorida muhokama qilingan ta'rifda matritsalar tartibi muhim), ko'pincha tartiblangan juftliklar haqida gapiriladi. Biz ular bilan maktabda tanishganmiz: $\left(1;0 \right)$ va $\left(0;1 \right)$ koordinatalarini belgilash aqlga sig‘maydi deb o‘ylayman. turli nuqtalar yuzada.

Shunday qilib: koordinatalar ham tartiblangan juftlar bo'lib, ular raqamlardan iborat. Ammo bunday matritsalarni yaratishga hech narsa to'sqinlik qilmaydi. Keyin shunday deyish mumkin bo'ladi: "Birinchi matritsadagi ustunlar soni ikkinchi matritsadagi qatorlar soni bilan bir xil bo'lsa, $\left(A;B \right)$ matritsalarining tartiblangan juftligi mos keladi. "

Xo'sh, nima?

Ko'paytirishning ta'rifi

Ikkita izchil matritsani ko'rib chiqing: $A=\left[ m\times n \right]$ va $B=\left[ n\times k \right]$. Va biz ular uchun ko'paytirish operatsiyasini aniqlaymiz.

Ta'rif. Ikki izchil $A=\left[ m\times n \right]$ va $B=\left[ n\times k \right]$ matritsalarining koʻpaytmasi yangi $C=\left[ m\times k \ matritsasidir. o'ng] $, uning elementlari formula bo'yicha hisoblanadi:

\[\begin(align) & ((c)_(i;j))=((a)_(i;1))\cdot ((b)_(1;j))+((a)_ (i;2))\cdot ((b)_(2;j))+\ldots +((a)_(i;n))\cdot ((b)_(n;j))= \\ & =\sum\limits_(t=1)^(n)(((a)_(i;t))\cdot ((b)_(t;j))) \end(align)\]

Bunday mahsulot standart tarzda belgilanadi: $C=A\cdot B$.

Ushbu ta'rifni birinchi marta ko'rganlar uchun darhol ikkita savol tug'iladi:

1. Bu qanday yovvoyi o'yin?
2. Nega bunchalik qiyin?

Xo'sh, birinchi narsa. Birinchi savoldan boshlaylik. Bu indekslarning barchasi nimani anglatadi? Va qanday qilib haqiqiy matritsalar bilan ishlashda xato qilmaslik kerak?

Birinchidan, shuni ta'kidlaymizki, $((c)_(i;j))$ ni hisoblash uchun uzun chiziq (adab qo'ymaslik uchun indekslar orasiga nuqta-vergul qo'ying, lekin ularni qo'yish shart emas. umumiy - Men o'zim ta'rifdagi formulani yozishdan charchadim) haqiqatan ham oddiy qoidaga tushadi:

1. Birinchi matritsadagi $i$-chi qatorni oling;
2. Ikkinchi matritsadagi $j$-th ustunini oling;
3. Biz ikkita raqam ketma-ketligini olamiz. Biz ushbu ketma-ketliklarning elementlarini bir xil raqamlar bilan ko'paytiramiz, so'ngra olingan mahsulotlarni qo'shamiz.

Ushbu jarayonni rasmdan tushunish oson:

Yana bir bor: biz birinchi matritsadagi $i$ qatorini, ikkinchi matritsadagi $j$ ustunini tuzatamiz, elementlarni bir xil raqamlar bilan ko'paytiramiz, so'ngra olingan mahsulotlarni qo'shamiz - $((c)_(ij) ni olamiz. ))$. Shunday qilib, barcha $1\le i\le m$ va $1\le j\le k$ uchun. Bular. jami $m\times k$ shunday "buzilishlar" bo'ladi.

Aslida, biz allaqachon matritsalarni ko'paytirish bilan uchrashganmiz maktab o'quv dasturi, faqat ancha qisqartirilgan shaklda. Vektorlar berilsin:

\[\begin(align) & \vec(a)=\left(((x)_(a));((y)_(a));((z)_(a)) \right); \\ & \overrightarrow(b)=\left(((x)_(b));((y)_(b));((z)_(b)) \o'ng). \\ \end (tekislash)\]

Shunda ularning skalyar mahsuloti aynan juft hosilalar yig‘indisiga teng bo‘ladi:

\[\overrightarrow(a)\times \overrightarrow(b)=((x)_(a))\cdot ((x)_(b))+((y)_(a))\cdot ((y) )_(b))+((z)_(a))\cdot ((z)_(b))\]

Darhaqiqat, daraxtlar yashil va osmon yorqinroq bo'lgan o'sha uzoq yillarda biz $\overrightarrow(a)$ qator vektorini $\overrightarrow(b)$ ustun vektoriga ko'paytirdik.

Bugun hech narsa o'zgarmadi. Shunchaki, endi bu qator va ustun vektorlari ko'proq.

Ammo nazariya etarli! Keling, ko'rib chiqaylik haqiqiy misollar. Va eng boshidan boshlaylik oddiy holat kvadrat matritsalardir.

Kvadrat matritsalarni ko'paytirish

Vazifa 1. Ko'paytirishni bajaring:

\[\left[ \begin(massiv)(*(35)(r)) 1 & 2 \\ -3 & 4 \\\end(massiv) \o'ng]\cdot \left[ \begin(massiv)(* (35)(r)) -2 & 4 \\ 3 & 1 \\\end(massiv) \o'ng]\]

Yechim. Shunday qilib, bizda ikkita matritsa bor: $A=\left[ 2\times 2 \right]$ va $B=\left[ 2\times 2 \right]$. Ularning izchilligi aniq (bir xil o'lchamdagi kvadrat matritsalar doimo izchil). Shunday qilib, biz ko'paytirishni qilamiz:

\[\begin(align) & \left[ \begin(massiv)(*(35)(r)) 1 & 2 \\ -3 & 4 \\\end(massiv) \o'ng]\cdot \left[ \ start(massiv)(*(35)(r)) -2 & 4 \\ 3 & 1 \\\end(massiv) \o'ng]=\left[ \begin(massiv)(*(35)(r)) 1\cdot \left(-2 \o'ng)+2\cdot 3 & 1\cdot 4+2\cdot 1 \\ -3\cdot \left(-2 \o'ng)+4\cdot 3 va -3\cdot 4+4\cdot 1 \\\end(massiv) \o'ng]= \\ & =\left[ \begin(massiv)(*(35)(r)) 4 & 6 \\ 18 & -8 \\\ end(massiv)\o'ng]. \end(tuzalash)\]

Ana xolos!

Javob: $\left[ \begin(massiv)(*(35)(r))4 & 6 \\ 18 & -8 \\\end(massiv) \right]$.

Vazifa 2. Ko'paytirishni bajaring:

\[\left[ \begin(matritsa) 1 & 3 \\ 2 & 6 \\\end(matritsa) \o'ng]\cdot \left[ \begin(massiv)(*(35)(r))9 va 6 \\ -3 & -2 \\\end(massiv) \o'ng]\]

Yechim. Yana izchil matritsalar, shuning uchun biz quyidagi amallarni bajaramiz:\[\]

\[\begin(align) & \left[ \begin(matrix) 1 & 3 \\ 2 & 6 \\\end(matritsa) \right]\cdot \left[ \begin(massiv)(*(35)( r)) 9 va 6 \\ -3 & -2 \\\end(massiv) \o'ng]=\left[ \begin(massiv)(*(35)(r)) 1\cdot 9+3\cdot \ chap (-3 \o'ng) & 1\cdot 6+3\cdot \left(-2 \o'ng) \\ 2\cdot 9+6\cdot \left(-3 \o'ng) va 2\cdot 6+6\ cdot \left(-2 \right) \\\end(massiv) \right]= \\ & =\left[ \begin(matrix) 0 & 0 \\ 0 & 0 \\\end(matritsa) \o'ng] . \end(tuzalash)\]

Ko'rib turganingizdek, natija nollar bilan to'ldirilgan matritsadir

Javob: $\left[ \begin(matrix) 0 & 0 \\ 0 & 0 \\\end(matrix) \right]$.

Yuqoridagi misollardan ma'lum bo'ladiki, matritsalarni ko'paytirish unchalik murakkab operatsiya emas. Kamida 2 ga 2 kvadrat matritsalar uchun.

Hisob-kitoblar jarayonida biz oraliq matritsani tuzdik, u erda biz ma'lum bir hujayraga qanday raqamlar kiritilganligini to'g'ridan-to'g'ri chizdik. Haqiqiy muammolarni hal qilishda aynan shunday qilish kerak.

Matritsa mahsulotining asosiy xossalari

Qisqasini etkanda. Matritsani ko'paytirish:

1. Kommutativ bo'lmagan: $A\cdot B\ne B\cdot A$ umumiy. Albatta, $A\cdot B=B\cdot A$ tengligi bo'lgan maxsus matritsalar mavjud (masalan, agar $B=E$ identifikatsiya matritsasi bo'lsa), lekin aksariyat hollarda bu ishlamaydi. ;
2. Assotsiativ: $\left(A\cdot B \o'ng)\cdot C=A\cdot \left(B\cdot C \o'ng)$. Bu erda hech qanday variant yo'q: qo'shni matritsalarni bu ikki matritsaning chap va o'ng tomonida nima ekanligi haqida o'ylamasdan ko'paytirish mumkin.
3. Tarqatish bo'yicha: $A\cdot \left(B+C \o'ng)=A\cdot B+A\cdot C$ va $\left(A+B \o'ng)\cdot C=A\cdot C+B\cdot C $

Va endi - hammasi bir xil, lekin batafsilroq.

Matritsalarni ko'paytirish klassik sonlarni ko'paytirishga o'xshaydi. Ammo farqlar mavjud, ulardan eng muhimi matritsalarni ko'paytirish, umuman olganda, kommutativ emas.

1-masaladagi matritsalarni yana bir bor ko‘rib chiqing. Biz ularning bevosita mahsulotini bilamiz:

\[\left[ \begin(massiv)(*(35)(r)) 1 & 2 \\ -3 & 4 \\\end(massiv) \o'ng]\cdot \left[ \begin(massiv)(* (35)(r)) -2 & 4 \\ 3 & 1 \\\end(massiv) \o'ng]=\left[ \begin(massiv)(*(35)(r))4 va 6 \\ 18 & -8 \\\end(massiv) \o'ng]\]

Ammo matritsalarni almashtirsak, biz butunlay boshqacha natijaga erishamiz:

\[\left[ \begin(massiv)(*(35)(r)) -2 & 4 \\ 3 & 1 \\\end(massiv) \right]\cdot \left[ \begin(massiv)(* (35)(r)) 1 & 2 \\ -3 & 4 \\\end(massiv) \o'ng]=\left[ \begin(matritsa) -14 & 4 \\ 0 & 10 \\\end(matritsa) )\o'ng]\]

Ma'lum bo'lishicha, $A\cdot B\ne B\cdot A$. Bundan tashqari, ko'paytirish amali faqat $A=\left[ m\times n \right]$ va $B=\left[ n\times k \right]$ izchil matritsalari uchun aniqlanadi, ammo ularning qolishiga hech kim kafolat bermagan. izchil, agar ular almashtirilsa. Masalan, $\left[ 2\times 3 \right]$ va $\left[ 3\times 5 \right]$ matritsalari bu tartibda juda mos keladi, lekin bir xil matritsalar $\left[ 3\times 5 \ o'ng] $ va $\left[ 2\time 3 \right]$ teskari tartibda yozilgan endi mos kelmaydi. G'azab :(

Berilgan o'lchamdagi $n$ kvadrat matritsalar orasida har doim to'g'ridan-to'g'ri va teskari tartibda ko'paytirilganda bir xil natija beradiganlar bo'ladi. Bunday barcha matritsalarni qanday tasvirlash (va umuman olganda ularning qanchasi) alohida dars uchun mavzu. Bugun biz bu haqda gaplashmaymiz. :)

Biroq, matritsalarni ko'paytirish assotsiativdir:

\[\left(A\cdot B \o'ng)\cdot C=A\cdot \left(B\cdot C \o'ng)\]

Shuning uchun, bir vaqtning o'zida bir nechta matritsalarni bir vaqtning o'zida ko'paytirish kerak bo'lganda, buni muddatidan oldin qilish shart emas: ba'zi qo'shni matritsalar ko'paytirilganda, ko'paytirilishi mumkin. qiziqarli natija. Masalan, yuqorida muhokama qilingan 2-masaladagi kabi nol matritsa.

Haqiqiy masalalarda ko'pincha $\left[ n\times n \right]$ o'lchamdagi kvadrat matritsalarni ko'paytirish kerak bo'ladi. Bunday barcha matritsalar to‘plami $((M)^(n))$ bilan belgilanadi (ya’ni, $A=\left[ n\times n \right]$ va \ yozuvlari bir xil ma’noni bildiradi) va u shunday bo‘ladi. albatta $E$ matritsasini o'z ichiga oladi, bu identifikatsiya matritsasi deb ataladi.

Ta'rif. $n$ oʻlchamli identifikatsiya matritsasi $E$ matritsasi boʻlib, har qanday $A=\left[ n\times n \right]$ kvadrat matritsasi uchun tenglik bajariladi:

Bunday matritsa har doim bir xil ko'rinadi: uning asosiy diagonalida birliklar, qolgan barcha hujayralarda esa nollar mavjud.

\[\begin(align) & A\cdot \left(B+C \right)=A\cdot B+A\cdot C; \\ & \left(A+B \o'ng)\cdot C=A\cdot C+B\cdot C. \\ \end(tuzala)\]

Boshqacha qilib aytganda, agar siz bitta matritsani boshqa ikkitasining yig'indisiga ko'paytirishingiz kerak bo'lsa, uni ushbu "boshqa ikkita" ning har biriga ko'paytirishingiz va keyin natijalarni qo'shishingiz mumkin. Amalda siz odatda teskari operatsiyani bajarishingiz kerak: biz bir xil matritsani ko'ramiz, uni qavsdan chiqaramiz, qo'shamiz va shu bilan hayotimizni soddalashtiramiz. :)

E'tibor bering, taqsimotni tavsiflash uchun biz ikkita formulani yozishimiz kerak edi: yig'indi ikkinchi omilda va yig'indi birinchi bo'lgan joyda. Bu aniq matritsalarni ko'paytirishning kommutativ bo'lmaganligi bilan bog'liq (va umuman, kommutativ bo'lmagan algebrada oddiy sonlar bilan ishlashda xayolga ham kelmaydigan har xil hazillar juda ko'p). Va agar, masalan, imtihon paytida siz ushbu xususiyatni yozishingiz kerak bo'lsa, unda ikkala formulani ham yozishni unutmang, aks holda o'qituvchi biroz g'azablanishi mumkin.

Xo'sh, bularning barchasi kvadrat matritsalar haqidagi ertaklar edi. To'rtburchaklar haqida nima deyish mumkin?

To'rtburchaklar matritsalar holati

Ammo hech narsa - hamma narsa to'rtburchaklar bilan bir xil.

Vazifa 3. Ko'paytirishni bajaring:

\[\left[ \begin(matritsa) \begin(matritsa) 5 \\ 2 \\ 3 \\\end(matritsa) & \begin(matritsa) 4 \\ 5 \\ 1 \\\end(matritsa) \ \\end(matritsa) \o'ng]\cdot \left[ \begin(massiv)(*(35)(r)) -2 & 5 \\ 3 & 4 \\\end(massiv) \o'ng]\]

Yechim. Bizda ikkita matritsa bor: $A=\left[ 3\times 2 \right]$ va $B=\left[ 2\times 2 \right]$. O'lchamlarni ko'rsatadigan raqamlarni qatorga yozamiz:

Ko'rib turganingizdek, markaziy ikkita raqam bir xil. Bu shuni anglatadiki, matritsalar izchil va ularni ko'paytirish mumkin. Va natijada biz $C=\left[ 3\times 2 \right]$ matritsasini olamiz:

\[\begin(align) & \left[ \begin(matritsa) \begin(matritsa) 5 \\ 2 \\ 3 \\\end(matritsa) & \begin(matritsa) 4 \\ 5 \\ 1 \\ \end(matritsa) \\\end(matritsa) \o'ng]\cdot \left[ \begin(massiv)(*(35)(r)) -2 & 5 \\ 3 & 4 \\\end(massiv) \right]=\left[ \begin(massiv)(*(35)(r)) 5\cdot \left(-2 \right)+4\cdot 3 & 5\cdot 5+4\cdot 4 \\ 2 \cdot \left(-2 \o'ng)+5\cdot 3 & 2\cdot 5+5\cdot 4 \\ 3\cdot \left(-2 \o'ng)+1\cdot 3 va 3\cdot 5+1 \cdot 4 \\\end(massiv) \o'ng]= \\ & =\left[ \begin(massiv)(*(35)(r)) 2 & 41 \\ 11 & 30 \\ -3 & 19 \ \\end(massiv)\o'ng]. \end(tuzalash)\]

Hammasi aniq: yakuniy matritsada 3 qator va 2 ustun mavjud. Juda $=\left[ 3\times 2 \right]$.

Javob: $\left[ \begin(massiv)(*(35)(r)) \begin(massiv)(*(35)(r)) 2 \\ 11 \\ -3 \\\end(massiv) & \begin(matritsa) 41 \\ 30 \\ 19 \\\end(matritsa) \\\end(massiv) \right]$.

Endi matritsalar bilan ishlashni boshlaganlar uchun eng yaxshi o'quv vazifalaridan birini ko'rib chiqing. Unda siz shunchaki ikkita tabletkani ko'paytirishingiz kerak emas, balki birinchi navbatda aniqlashingiz kerak: bunday ko'paytirish joizmi?

Masala 4. Matritsalarning barcha mumkin bo‘lgan juft ko‘paytmalarini toping:

\\]; $B=\left[ \begin(matritsa) \begin(matritsa) 0 \\ 2 \\ 0 \\ 4 \\\end(matritsa) & \begin(matritsa) 1 \\ 0 \\ 3 \\ 0 \ \\end(matritsa) \\\end(matritsa) \o'ng]$; $C=\left[ \begin(matritsa)0 & 1 \\ 1 & 0 \\\end(matritsa) \right]$.

Yechim. Birinchidan, matritsalarning o'lchamlarini yozamiz:

\;\ B=\left[ 4\times 2 \right];\ C=\left[ 2\times 2 \right]\]

Biz $A$ matritsasini faqat $B$ matritsasi bilan moslashtirish mumkinligini tushunamiz, chunki $A$ dagi ustunlar soni 4 ta boʻlib, faqat $B$ bu qatorlar soniga ega. Shunday qilib, biz mahsulotni topishimiz mumkin:

\\cdot \left[ \begin(massiv)(*(35)(r)) 0 & 1 \\ 2 & 0 \\ 0 & 3 \\ 4 & 0 \\\end(massiv) \o'ng]=\ chap[ \begin(massiv)(*(35)(r))-10 & 7 \\ 10 & 7 \\\end(massiv) \o'ng]\]

Men o'quvchiga oraliq bosqichlarni mustaqil ravishda bajarishni taklif qilaman. Shuni ta'kidlaymanki, natijada olingan matritsaning o'lchamini oldindan, hatto har qanday hisob-kitoblardan oldin aniqlash yaxshiroqdir:

\\cdot \left[ 4\times 2 \right]=\left[ 2\times 2 \right]\]

Boshqacha qilib aytganda, biz matritsalarning izchilligini ta'minlagan "o'tish" koeffitsientlarini oddiygina olib tashlaymiz.

Yana qanday variantlar mumkin? Albatta $B\cdot A$ ni topish mumkin, chunki $B=\left[ 4\times 2 \right]$, $A=\left[ 2\times 4 \right]$, shuning uchun buyurtma qilingan juftlik $\ left(B ;A \right)$ mos keladi va mahsulotning o'lchami quyidagicha bo'ladi:

\\cdot \left[ 2\times 4 \right]=\left[ 4\times 4 \right]\]

Xulosa qilib aytganda, koeffitsientlarini hisoblash oson bo'lgan $\left[ 4\times 4 \right]$ matritsasi chiqadi:

\\cdot \left[ \begin(massiv)(*(35)(r)) 1 & -1 & 2 & -2 \\ 1 & 1 & 2 & 2 \\\end(massiv) \o'ng]=\ chap[ \begin(massiv)(*(35)(r))1 & 1 & 2 & 2 \\ 2 & -2 & 4 & -4 \\ 3 & 3 & 6 & 6 \\ 4 & -4 & 8 va -8 \\\end(massiv) \o'ng]\]

Shubhasiz, siz $C\cdot A$ va $B\cdot C$-ga ham mos kelishingiz mumkin, va shu bilan. Shunday qilib, biz shunchaki olingan mahsulotlarni yozamiz:

Bu oson edi. :)

Javob: $AB=\left[ \begin(massiv)(*(35)(r)) -10 & 7 \\ 10 & 7 \\\end(massiv) \right]$; $BA=\left[ \begin(massiv)(*(35)(r)) 1 & 1 & 2 & 2 \\ 2 & -2 & 4 & -4 \\ 3 & 3 & 6 & 6 \\ 4 & -4 & 8 & -8 \\\end(massiv) \o'ng]$; $CA=\left[ \begin(massiv)(*(35)(r)) 1 & 1 & 2 & 2 \\ 1 & -1 & 2 & -2 \\\end(massiv) \right]$; $BC=\left[ \begin(massiv)(*(35)(r))1 & 0 \\ 0 & 2 \\ 3 & 0 \\ 0 & 4 \\\end(massiv) \right]$.

Umuman olganda, men bu vazifani o'zingiz qilishingizni tavsiya qilaman. Va uy vazifasidagi yana bir shunga o'xshash vazifa. Bu oddiy ko'rinadigan fikrlar sizga matritsalarni ko'paytirishning barcha asosiy bosqichlarini ishlab chiqishga yordam beradi.

Ammo hikoya shu bilan tugamaydi. Keling, ko'paytirishning maxsus holatlariga o'tamiz. :)

Qator vektorlari va ustun vektorlari

Eng keng tarqalgan matritsa amallaridan biri bitta satr yoki bitta ustunga ega bo'lgan matritsaga ko'paytirishdir.

Ta'rif. Ustun vektori $\left[ m\times 1 \right]$ matritsasi, ya'ni. bir nechta satr va faqat bitta ustundan iborat.

Qator vektori $\left[ 1\times n \right]$ oʻlchamdagi matritsadir, yaʼni. bir qator va bir nechta ustunlardan iborat.

Aslida, biz bu ob'ektlar bilan allaqachon uchrashganmiz. Masalan, $\overrightarrow(a)=\left(x;y;z \right)$ stereometriyasidan oddiy uch o'lchovli vektor qator vektoridan boshqa narsa emas. Nazariy nuqtai nazardan, satr va ustunlar o'rtasida deyarli farq yo'q. Faqat atrofdagi multiplikator matritsalari bilan muvofiqlashtirishda ehtiyot bo'lishingiz kerak.

Vazifa 5. Ko'paytiring:

\[\left[ \begin(massiv)(*(35)(r)) 2 & -1 & 3 \\ 4 & 2 & 0 \\ -1 & 1 & 1 \\\end(massiv) \o'ng] \cdot \left[ \begin(massiv)(*(35)(r)) 1 \\ 2 \\ -1 \\\end(massiv) \o'ng]\]

Yechim. Bizda izchil matritsalar hosilasi bor: $\left[ 3\times 3 \right]\cdot \left[ 3\times 1 \right]=\left[ 3\times 1 \right]$. Ushbu qismni toping:

\[\left[ \begin(massiv)(*(35)(r)) 2 & -1 & 3 \\ 4 & 2 & 0 \\ -1 & 1 & 1 \\\end(massiv) \o'ng] \cdot \left[ \begin(massiv)(*(35)(r)) 1 \\ 2 \\ -1 \\\end(massiv) \right]=\left[ \begin(massiv)(*(35) )(r)) 2\cdot 1+\left(-1 \o'ng)\cdot 2+3\cdot \left(-1 \o'ng) \\ 4\cdot 1+2\cdot 2+0\cdot 2 \ \ -1\cdot 1+1\cdot 2+1\cdot \left(-1 \o'ng) \\\end(massiv) \o'ng]=\left[ \begin(massiv)(*(35)(r) ) -3 \\ 8 \\ 0 \\\end(massiv) \o'ng]\]

Javob: $\left[ \begin(massiv)(*(35)(r))-3 \\ 8 \\ 0 \\\end(massiv) \right]$.

Vazifa 6. Ko'paytirishni bajaring:

\[\left[ \begin(massiv)(*(35)(r)) 1 & 2 & -3 \\\end(massiv) \o'ng]\cdot \left[ \begin(massiv)(*(35) (r)) 3 & 1 & -1 \\ 4 & -1 & 3 \\ 2 & 6 & 0 \\\end(massiv) \o'ng]\]

Yechim. Yana hamma narsa bir xil: $\left[ 1\times 3 \right]\cdot \left[ 3\times 3 \right]=\left[ 1\times 3 \right]$. Biz ishni ko'rib chiqamiz:

\[\left[ \begin(massiv)(*(35)(r)) 1 & 2 & -3 \\\end(massiv) \o'ng]\cdot \left[ \begin(massiv)(*(35) (r)) 3 & 1 & -1 \\ 4 & -1 & 3 \\ 2 & 6 & 0 \\\end(massiv) \o'ng]=\left[ \begin(massiv)(*(35)( r))5 & -19 & 5 \\\end(massiv) \o'ng]\]

Javob: $\left[ \begin(matrix) 5 & -19 & 5 \\\end(matritsa) \right]$.

Ko'rib turganingizdek, satr vektorini va ustun vektorini kvadrat matritsaga ko'paytirishda chiqish har doim bir xil o'lchamdagi qator yoki ustun bo'ladi. Bu fakt hal qilishdan tortib ko'plab ilovalarga ega chiziqli tenglamalar har xil koordinata o'zgarishlariga (bular oxir-oqibat tenglamalar tizimiga ham tushadi, ammo qayg'uli narsalar haqida gapirmaylik).

Menimcha, bu erda hamma narsa aniq edi. Keling, bugungi darsning yakuniy qismiga o'tamiz.

Matritsaning eksponentatsiyasi

Barcha ko'paytirish operatsiyalari orasida alohida e'tibor eksponentsiyaga loyiq - bu biz bir xil ob'ektni o'z-o'zidan bir necha marta ko'paytiramiz. Matritsalar bundan mustasno emas, ular turli kuchlarga ham ko'tarilishi mumkin.

Bunday ishlar doimo muvofiqlashtiriladi:

\\cdot \left[ n\times n \right]=\left[ n\times n \right]\]

Va ular oddiy darajalar bilan bir xil tarzda belgilanadi:

\[\begin(align) & A\cdot A=((A)^(2)); \\ & A\cdot A\cdot A=((A)^(3)); \\ & \underbrace(A\cdot A\cdot \ldots \cdot A)_(n)=((A)^(n)). \\ \end (tekislash)\]

Bir qarashda hamma narsa oddiy. Keling, amalda qanday ko'rinishini ko'rib chiqaylik:

Vazifa 7. Matritsani belgilangan quvvatga ko'taring:

$((\left[ \begin(matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right])^(3))$

Yechim. Mayli, quraylik. Keling, avval uni kvadratga aylantiramiz:

\[\begin(align) & ((\left[ \begin(matritsa) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matritsa) \right])^(2))=\left[ \begin(matritsa) ) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matritsa) \o'ng]\cdot \left[ \begin(matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matritsa) \o'ng]= \\ & =\left[ \begin(massiv)(*(35)(r)) 1\cdot 1+1\cdot 0 & 1\cdot 1+1\cdot 1 \\ 0\cdot 1+1\cdot 0 & 0\cdot 1+1\cdot 1 \\\end(massiv) \o'ng]= \\ & =\left[ \begin(massiv)(*(35)(r)) 1 & 2 \\ 0 & 1 \ \\end(massiv) \o'ng] \end(hizala)\]

\[\begin(align) & ((\left[ \begin(matritsa) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matritsa) \o'ng])^(3))=((\left[ \begin) (matritsa) 1 va 1 \\ 0 & 1 \\\end(matritsa) \o'ng])^(3))\cdot \left[ \begin(matritsa) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end( matritsa) \right]= \\ & =\left[ \begin(massiv)(*(35)(r)) 1 & 2 \\ 0 & 1 \\\end(massiv) \o'ng]\cdot \left[ \begin(matritsa) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matritsa) \o'ng]= \\ & =\left[ \begin(massiv)(*(35)(r)) 1 & 3 \\ 0 va 1 \\\end(massiv) \o'ng] \end(hizala)\]

Ana xolos.:)

Javob: $\left[ \begin(matritsa)1 & 3 \\ 0 & 1 \\\end(matritsa) \right]$.

Masala 8. Matritsani belgilangan quvvatga ko‘taring:

\[((\left[ \begin(matritsa) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matritsa) \o'ng])^(10))\]

Yechim. Faqat hozir "darajasi juda yuqori", "dunyo adolatsiz" va "o'qituvchilar banklarini butunlay yo'qotib qo'ygan" deb yig'lamang. Aslida, hamma narsa oson:

\[\begin(align) & ((\left[ \begin(matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matritsa) \right])^(10))=((\left[ \begin) (matritsa) 1 va 1 \\ 0 & 1 \\\end(matritsa) \o'ng])^(3))\cdot ((\left[ \begin(matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\ end(matritsa) \o'ng])^(3))\cdot ((\left[ \begin(matritsa) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matritsa) \o'ng])^(3))\ cdot \left[ \begin(matritsa) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matritsa) \o'ng]= \\ & =\left(\left[ \begin(matritsa) 1 & 3 \\ 0 & 1 \\\end(matritsa) \o'ng]\cdot \left[ \begin(matritsa) 1 & 3 \\ 0 & 1 \\\end(matritsa) \o'ng] \o'ng)\cdot \left(\left[ \begin(matritsa) 1 & 3 \\ 0 & 1 \\\end(matritsa) \o'ng]\cdot \left[ \begin(matritsa) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matritsa) \o'ng ] \right)= \\ & =\left[ \begin(matritsa) 1 & 6 \\ 0 & 1 \\\end(matritsa) \o'ng]\cdot \left[ \begin(matritsa) 1 va 4 \\ 0 & 1 \\\end(matritsa) \o'ng]= \\ & =\left[ \begin(matritsa) 1 & 10 \\ 0 & 1 \\\end(matritsa) \o'ng] \end(tuzalash)\ ]

E'tibor bering, ikkinchi qatorda biz ko'paytirishning assotsiativligidan foydalandik. Aslida, biz uni oldingi vazifada ishlatgan edik, lekin u erda u yashirin edi.

Javob: $\left[ \begin(matritsa) 1 & 10 \\ 0 & 1 \\\end(matritsa) \right]$.

Ko'rib turganingizdek, matritsani kuchga ko'tarishda murakkab narsa yo'q. Oxirgi misolni umumlashtirish mumkin:

\[((\left[ \begin(matritsa) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matritsa) \o'ng])^(n))=\left[ \begin(massiv)(*(35) (r)) 1 & n \\ 0 & 1 \\\end(massiv) \o'ng]\]

Bu haqiqatni isbotlash oson matematik induksiya yoki to'g'ridan-to'g'ri ko'paytirish. Biroq, kuchga ko'tarilganda bunday naqshlarni qo'lga olish har doim ham mumkin emas. Shuning uchun ehtiyot bo'ling: u erda ba'zi naqshlarni izlashdan ko'ra, ko'pincha bir nechta matritsalarni "bo'sh" ko'paytirish osonroq va tezroq.

Umuman olganda, yo'q joyda yuqori ma'no izlamang. Xulosa qilib, matritsaning eksponentatsiyasini ko'rib chiqing kattaroq o'lcham- $\left[ 3\time 3 \right]$ qadar.

Masala 9. Matritsani belgilangan quvvatga ko‘taring:

\[((\left[ \begin(matritsa) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matritsa) \o'ng])^(3))\]

Yechim. Keling, naqshlarni qidirmaylik. Biz "orqali" ishlaymiz:

\[((\left[ \begin(matritsa) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matritsa) \o'ng])^(3))=(( \left[ \begin(matritsa) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matritsa) \o'ng])^(2))\cdot \left[ \begin (matritsa)0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matritsa) \o'ng]\]

Keling, ushbu matritsani kvadratga solishdan boshlaylik:

\[\begin(align) & ((\left[ \begin(matrix) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matritsa) \o'ngga])^( 2))=\left[ \begin(matritsa) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matritsa) \o'ng]\cdot \left[ \begin(matritsa) ) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matritsa) \oʻng]= \\ & =\left[ \begin(massiv)(*(35)(r) )) 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\\end(massiv) \o'ng] \end(align)\]

Endi uni kubga aylantiramiz:

\[\begin(align) & ((\left[ \begin(matrix) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matritsa) \o'ngga])^( 3))=\left[ \begin(massiv)(*(35)(r)) 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\\end(massiv) \o'ng] \cdot \left[ \begin(matritsa) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matritsa) \o'ng]= \\ & =\left[ \begin( massiv)(*(35)(r)) 2 & 3 & 3 \\ 3 & 2 & 3 \\ 3 & 3 & 2 \\\end(massiv) \o'ng] \end(align)\]

Ana xolos. Muammo hal qilindi.

Javob: $\left[ \begin(matritsa) 2 & 3 & 3 \\ 3 & 2 & 3 \\ 3 & 3 & 2 \\\end(matritsa) \right]$.

Ko'rib turganingizdek, hisob-kitoblar miqdori kattalashdi, ammo ma'nosi umuman o'zgarmadi. :)

Bu dars tugashi mumkin. Keyingi safar biz teskari operatsiyani ko'rib chiqamiz: biz mavjud mahsulot yordamida asl ko'paytirgichlarni qidiramiz.

Siz allaqachon taxmin qilganingizdek, biz teskari matritsa va uni topish usullari haqida gaplashamiz.