Vektor uzunligini uning koordinatalari (to‘rtburchaklar koordinatalar sistemasida), vektorning boshi va oxiri nuqtalarining koordinatalari hamda kosinuslar teoremasi (2 vektor va ular orasidagi burchak berilgan) bo‘yicha topamiz.

Vektor yo'naltirilgan chiziq segmentidir. Ushbu segmentning uzunligi vektorning raqamli qiymatini aniqlaydi va deyiladi vektor uzunligi yoki vektor moduli.

1. Vektor uzunligini uning koordinatalaridan hisoblash

Agar vektor koordinatalari tekis (ikki o'lchovli) to'rtburchaklar koordinatalar tizimida berilgan bo'lsa, ya'ni. a x va y ma'lum bo'lsa, u holda vektor uzunligini formula bo'yicha topish mumkin

Fazoda vektor bo'lsa, uchinchi koordinata qo'shiladi

MS EXCEL ifodasida =ROOT(SUMSQ(B8:B9)) vektor modulini hisoblash imkonini beradi (vektor koordinatorlari hujayralarga kiritilgan deb taxmin qilinadi) B8: B9, misol fayliga qarang).

SUMSQ() funktsiyasi argumentlar kvadratlari yig'indisini qaytaradi, ya'ni. bu holda =B8*B8+B9*B9 formulasiga ekvivalent.

Misol fayli fazodagi vektor uzunligini ham hisoblab chiqadi.

Muqobil formula - ifodadir =ROOT(SUMPRODUCT(B8:B9,B8:B9)).

2. Nuqtalar koordinatalari orqali vektor uzunligini topish

Agar vektor uning boshlang'ich va oxirgi nuqtalarining koordinatalari orqali berilgan bo'lsa, formula boshqacha bo'ladi =ROOT(SUMDIFF(C28:C29,B28:B29))

Formula boshlang'ich va yakuniy nuqtalarning koordinatalari diapazonlarga kiritilganligini nazarda tutadi C28: C29 Va B28: B29 mos ravishda.

Funktsiya SUMMQVAR() ichida Ikki massivdagi mos qiymatlarning kvadrat farqlari yig'indisini qaytaradi.

Aslida, formula birinchi navbatda vektorning koordinatalarini (nuqtalarning mos keladigan koordinatalari orasidagi farq), so'ngra ularning kvadratlari yig'indisini hisoblab chiqadi.

3. Kosinus teoremasi yordamida vektor uzunligini topish

Agar kosinus teoremasi yordamida vektor uzunligini topmoqchi bo'lsangiz, u holda odatda 2 vektor (ularning modullari va ular orasidagi burchak) beriladi.

Formuladan foydalanib vektor uzunligini toping =ROOT(SUMQ(B43:C43)-2*B43*C43*COS(B45))

Hujayralarda B43: B43 a va b vektorlari va katakning uzunliklarini o'z ichiga oladi B45 - ular orasidagi burchak radianlarda (PI() sonining kasrlarida).

Agar burchak darajalarda berilgan bo'lsa, unda formula biroz boshqacha bo'ladi. =ROOT(B43*B43+C43*C43-2*B43*C43*COS(B46*PI()/180))

Eslatma: ravshanlik uchun burchak qiymati darajalarda bo'lgan katakchada foydalanishingiz mumkin, masalan, maqolaga qarang.

vektor moduli- vektorning kattaligi - [L.G.Sumenko. Ingliz ruscha axborot texnologiyalari lug'ati. M .: GP TsNIIS, 2003.] Umumiy mavzular axborot texnologiyalari Sinonimlar vektor qiymati EN vektorning mutlaq qiymati ...

vektor moduli- vektoriaus modulis statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. vektor vokning mutlaq qiymati. Vectorbetrag, m rus. vektor uzunligi, f; vektor moduli, m pranc. modul d’un vecteur, m … Fizikos terminų žodynas

- (Lotin modulidan "kichik o'lchov" dan): Vikilug'atda "modul" Mo ... Vikipediya maqolasi mavjud

Modul (lotincha modulus "kichik o'lchov" dan) umumiy qismdan ajratiladigan yoki hech bo'lmaganda aqliy jihatdan ajratilgan tarkibiy qismdir. Modulli narsa odatda aniq belgilangan qismlardan tashkil topgan narsa deb ataladi, uni ko'pincha buyumni buzmasdan olib tashlash yoki qo'shish mumkin ... ... Vikipediya

Haqiqiy yoki kompleks x sonning mutlaq qiymati yoki moduli x dan koordinatagacha bo'lgan masofadir. Aniqroq qilib aytadigan bo'lsak: x haqiqiy sonning mutlaq qiymati manfiy bo'lmagan son bo'lib |x| bilan belgilanadi. va quyidagicha ta'riflangan: ... ... Vikipediya

to'lqin vektor moduli- - [L.G. Sumenko. Ingliz ruscha axborot texnologiyalari lug'ati. M .: GP TsNIIS, 2003.] Mavzular axborot texnologiyalari umumiy EN tarqalish vektorining kattaligi ... Texnik tarjimon uchun qo'llanma

konvert kodi vektor konvolver moduli- - [L.G. Sumenko. Ingliz ruscha axborot texnologiyalari lug'ati. M.: GP TsNIIS, 2003.] Mavzular axborot texnologiyalari umumiy EN shakli kodvektor konvolyutsiya moduli ... Texnik tarjimon uchun qo'llanma

Kompleks sonning moduli bu songa mos vektor uzunligi: . Kompleks z sonining moduli odatda | bilan belgilanadi z | yoki r. Keling va shunday haqiqiy sonlar bo'lsinki, kompleks son (odatiy belgi). Keyin raqamlar ... Vikipediya

Matematikadan modul, 1) z = x + iy kompleks sonining M. (yoki mutlaq qiymati) ═ soni (ildiz ortiqcha belgisi bilan olinadi). Kompleks z sonini trigonometrik shaklda z \u003d r (cos j + i sin j) ko'rinishida ifodalashda haqiqiy r soni ... ... Buyuk Sovet Entsiklopediyasi

Operator halqali Abel guruhi. M. - K qandaydir halqa bilan almashtirilgan holat uchun K maydon ustidagi (chiziqli) vektor fazosining umumlashtirilishi. A halqasi berilsin.Abeliy guruhi Mnas qo'shimchasi. Agar aniqlangan bo'lsa, modul qoldirgan ... ... Matematik entsiklopediya

Kattaligi va yo'nalishi bilan tavsiflanadi. Masalan, geometriya va tabiiy fanlarda vektor Evklid fazosida (yoki tekislikdagi) yo'naltirilgan chiziq segmentidir.

Bu chiziqli algebraning asosiy tushunchalaridan biridir. Eng umumiy ta'rifdan foydalanilganda vektorlar chiziqli algebrada o'rganiladigan deyarli barcha ob'ektlar, shu jumladan matritsalar, tensorlar bo'lib chiqadi, ammo agar bu ob'ektlar atrofdagi kontekstda mavjud bo'lsa, vektor mos ravishda qator vektori yoki bir vektor sifatida tushuniladi. ustun vektori, birinchi darajali tenzor. Vektorlar ustidagi amallarning xossalari vektor hisobida o'rganiladi.

Belgilash [ | ]

To'plam bilan ifodalangan vektor n (\displaystyle n) elementlar (komponent) a 1 , a 2 , … , a n (\displaystyle a_(1),a_(2),\ldots ,a_(n)) quyidagi yo‘llar bilan ifodalanadi:

Bu vektor (va skaler emas) ekanligini ta'kidlash uchun yuqori chiziq, yuqori o'q, qalin yoki gotik shriftdan foydalaning:

Vektor qo'shilishi deyarli har doim ortiqcha belgisi bilan belgilanadi:

Raqamga ko'paytirish shunchaki uning yonida maxsus belgisiz yoziladi, masalan:

va raqam odatda chap tomonda yoziladi.

Umumiy qabul qilingan vektor belgilari yo'q, qalin shrift, harf ustidagi chiziq yoki o'q, gotika alifbosi va boshqalar ishlatiladi.

Geometriyada [ | ]

Geometriyada vektorlar yo'naltirilgan segmentlar deb tushuniladi. Ushbu talqin ko'pincha kompyuter grafikasida sirt normalari yordamida yorug'lik xaritalarini yaratishda qo'llaniladi. Shuningdek, siz vektorlardan turli shakllarning, masalan, uchburchaklar va parallelogrammlarning maydonlarini, shuningdek jismlarning hajmlarini topishingiz mumkin: tetraedr va parallelepiped.
Ba'zan yo'nalish vektor bilan aniqlanadi.

Geometriyada vektor tabiiy ravishda uzatish (parallel uzatish) bilan bog'liq bo'lib, bu uning nomining kelib chiqishini aniq aniqlaydi (lat. vektor, tashuvchi). Haqiqatan ham, har qanday yo'naltirilgan segment tekislik yoki fazoning qandaydir parallel tarjimasini yagona tarzda aniqlaydi va aksincha, parallel tarjima bitta yo'naltirilgan segmentni yagona tarzda belgilaydi (bir ma'noda - bir xil yo'nalish va uzunlikdagi barcha yo'naltirilgan segmentlarni teng deb hisoblasak - ya'ni ularni erkin vektorlar deb hisoblang) .

Vektorni tarjima sifatida talqin qilish vektor qo'shish operatsiyasini tabiiy va intuitiv ravishda aniq - ikkita (yoki bir nechta) tarjimalarning tarkibi (ketma-ket qo'llanilishi) sifatida kiritish imkonini beradi; xuddi shu narsa vektorni songa ko'paytirish amaliga ham tegishli.

Chiziqli algebrada[ | ]

Umumiy ta'rif[ | ]

Vektorning eng umumiy ta'rifi umumiy algebra yordamida berilgan:

• Belgilamoq F (\displaystyle (\mathfrak (F)))(Gotik F) koʻp elementlarga ega boʻlgan maydon F (\displaystyle F), qo'shimcha operatsiya + (\displaystyle +), multiplikativ operatsiya ∗ (\displaystyle*), va mos keladigan neytral elementlar : qo'shimcha birlik va ko'paytma birlik 1 (\displaystyle 1).
• Belgilamoq V (\ displaystyle (\ mathfrak (V)))(Gotik V) elementlar to'plamiga ega ba'zi Abel guruhi V (\displaystyle V), qo'shimcha operatsiya + (\displaystyle +) va shunga mos ravishda qo'shimcha birlik bilan 0 (\displaystyle\mathbf(0) ).

Boshqacha qilib aytganda, ruxsat bering F = ⟨F; + , ∗ ⟩ (\displaystyle (\mathfrak (F))=\langle F;+,*\rangle ) Va V = ⟨V; + ⟩ (\displaystyle (\mathfrak (V))=\langle V;+\rangle ).

Agar operatsiya bo'lsa F × V → V (\displaystyle F\ marta V\dan V gacha), har qanday uchun shunday a , b ∈ F (\displaystyle a,b\in F) va har qanday uchun x , y ∈ V (\displaystyle \mathbf (x) ,\mathbf (y) \V ichida) quyidagi munosabatlar amalga oshiriladi:

Vektor ketma-ketlik sifatida[ | ]

Vektor- (ketma-ketlik, kortej) bir hil elementlar. Bu eng umumiy ta'rif bo'lib, an'anaviy vektor operatsiyalari umuman berilmasligi mumkin, ular kamroq bo'lishi mumkin yoki ular odatiy chiziqli fazo aksiomalarini qoniqtirmaydi. Aynan shu shaklda vektor dasturlashda tushuniladi, bu erda, qoida tariqasida, kvadrat qavslar bilan identifikator nomi bilan belgilanadi (masalan, ob'ekt). Qabul qilingan xususiyatlar modellari ro'yxati

a → vektorining uzunligi a → bilan belgilanadi. Bu belgi sonning moduliga o'xshaydi, shuning uchun vektor uzunligi vektorning moduli deb ham ataladi.

Tekislikdagi vektor uzunligini uning koordinatalari bo'yicha topish uchun to'rtburchak dekart koordinatalar sistemasi O x y ni ko'rib chiqish talab etiladi. Unda qandaydir vektor a → koordinatalari a x bo'lsin; ay . a → vektorining uzunligini (modulini) a x va a y koordinatalari bo‘yicha topish formulasini kiritamiz.

O A → = a → vektorni koordinatadan chetga surib qo'ying. A nuqtaning koordinata o'qlariga mos keladigan proyeksiyalarini A x va A y deb belgilaymiz. Endi diagonali O A bo'lgan O A x A A y to'rtburchakni ko'rib chiqing.

Pifagor teoremasidan O A 2 = O A x 2 + O A y 2 tengligi kelib chiqadi, bundan O A = O A x 2 + O A y 2. To'g'ri to'rtburchaklar dekart koordinatalar sistemasidagi vektor koordinatalarining allaqachon ma'lum bo'lgan ta'rifidan O A x 2 = a x 2 va O A y 2 = a y 2 ekanligini va qurilishga ko'ra, O A uzunligining uzunligiga teng ekanligini olamiz. vektor O A →, demak, O A → = O A x 2 + O A y 2.

Shunday qilib, shunday bo'ladi vektor uzunligini topish formulasi a → = a x; a y mos keladigan shaklga ega: a → = a x 2 + a y 2 .

Agar a → vektori a → = a x i → + a y j → koordinata vektorlarida kengayish sifatida berilgan bo‘lsa, u holda uning uzunligini bir xil a → = a x 2 + a y 2 formulasi yordamida hisoblash mumkin, bu holda a x va a y koeffitsientlari. berilgan koordinatalar sistemasidagi a → vektorining koordinatalari sifatida.

1-misol

a → = 7 vektorining uzunligini hisoblang; e , to'rtburchaklar koordinatalar tizimida berilgan.

Yechim

Vektor uzunligini topish uchun a → = a x 2 + a y 2 koordinatalari bo‘yicha vektor uzunligini topish formulasidan foydalanamiz: a → = 7 2 + e 2 = 49 + e.

Javob: a → = 49 + e.

a → = a x vektor uzunligini topish formulasi; ay ; a z fazodagi Dekart koordinata tizimidagi Oxyz koordinatalari bo'yicha, tekislikdagi holat uchun formulaga o'xshash tarzda olinadi (quyidagi rasmga qarang)

Bunday holda, O A 2 \u003d O A x 2 + O A y 2 + O A z 2 (chunki OA to'rtburchaklar parallelepipedning diagonali), shuning uchun O A \u003d O A x 2 + O A y 2 + O A z 2. Vektorning koordinatalarini aniqlashdan quyidagi tengliklarni yozishimiz mumkin O A x = a x ; O A y = a y; O A z = a z ; , va OA uzunligi biz izlayotgan vektor uzunligiga teng, shuning uchun O A → = O A x 2 + O A y 2 + O A z 2.

Bundan kelib chiqadiki, a → = a x vektorining uzunligi; ay ; a z a → = a x 2 + a y 2 + a z 2 ga teng.

2-misol

a → = 4 i → - 3 j → + 5 k → vektor uzunligini hisoblang, bu erda i → , j → , k → to‘rtburchaklar koordinatalar sistemasining birlik vektorlari.

Yechim

a → = 4 · i → - 3 · j → + 5 · k → vektorining parchalanishi berilgan bo‘lsa, uning koordinatalari a → = 4, - 3, 5 ga teng. Yuqoridagi formuladan foydalanib, a → = a x 2 + a y 2 + a z 2 = 4 2 + (- 3) 2 + 5 2 = 5 2 ni olamiz.

Javob: a → = 5 2 .

Vektorning boshlanish va tugash nuqtalarining koordinatalari bo'yicha uzunligi

Yuqorida vektor uzunligini uning koordinatalari bo'yicha topish imkonini beruvchi formulalar olingan. Biz ishlarni tekislikda va uch o'lchovli fazoda ko'rib chiqdik. Ulardan vektorning koordinatalarini uning boshlang‘ich va oxirgi nuqtalari koordinatalari bo‘yicha topamiz.

Demak, A (a x; a y) va B (b x; b y) koordinatalari berilgan nuqtalar, demak, A B → vektori koordinatalariga ega (b x - a x; b y - a y), bu uning uzunligini quyidagi formula bilan aniqlash mumkinligini anglatadi: A B → = ( ​​b x - a x) 2 + (b y - a y) 2

Va agar uch o'lchovli fazoda A (a x; a y; a z) va B (b x; b y; b z) koordinatalari berilgan nuqtalar berilgan bo'lsa, u holda A B → vektorining uzunligini formula bo'yicha hisoblash mumkin.

A B → = (b x - a x) 2 + (b y - a y) 2 + (b z - a z) 2

3-misol

A B → to'rtburchaklar koordinata tizimida A 1, 3, B - 3, 1 bo'lsa vektor uzunligini toping.

Yechim

Tekislikdagi boshlang'ich va oxirgi nuqtalarning koordinatalaridan vektor uzunligini topish formulasidan foydalanib, A B → = (b x - a x) 2 + (b y - a y) 2: A B → = (- 3 - 1) 2 ni olamiz. + (1 - 3) 2 = 20 - 2 3 .

Ikkinchi yechim bu formulalarni o z navbatida qo llashni nazarda tutadi: A B → = (- 3 - 1; 1 - 3) = (- 4; 1 - 3) ; A B → = (- 4) 2 + (1 - 3) 2 = 20 - 2 3 . -

Javob: A B → = 20 - 2 3.

4-misol

A B → vektorining uzunligi qanday qiymatlar uchun A (0, 1, 2) bo'lsa, 30 ga teng ekanligini aniqlang; B (5 , 2 , l 2) .

Yechim

Birinchidan, A B → vektorining uzunligini quyidagi formula bo'yicha yozamiz: A B → = (b x - a x) 2 + (b y - a y) 2 + (b z - a z) 2 = (5 - 0) 2 + (2 -) 1) 2 + (l 2 - 2) 2 = 26 + (l 2 - 2) 2

Keyin olingan ifodani 30 ga tenglashtiramiz, bu erdan kerakli l ni topamiz:

26 + (l 2 - 2) 2 = 30 26 + (l 2 - 2) 2 = 30 (l 2 - 2) 2 = 4 l 2 - 2 = 2 va l va l 2 - 2 = - 2 l 1 = - 2, l 2 = 2, l 3 = 0.

Javob: l 1 \u003d - 2, l 2 \u003d 2, l 3 \u003d 0.

Kosinuslar qonunidan foydalanib vektor uzunligini topish

Afsuski, vektorning koordinatalari har doim ham vazifalarda ma'lum emas, shuning uchun vektor uzunligini topishning boshqa usullarini ko'rib chiqaylik.

Ikki vektorning uzunliklari A B →, A C → va ular orasidagi burchak (yoki burchak kosinasi) berilsin va B C → yoki C B → vektorining uzunligini topish talab qilinadi. Bunday holda, siz uchburchakda kosinus teoremasidan foydalanishingiz kerak △ A B C , tomonning uzunligini hisoblang B C , bu vektorning kerakli uzunligiga teng.

Bunday holatni quyidagi misolda ko'rib chiqamiz.

5-misol

A B → va A C → vektorlarining uzunliklari mos ravishda 3 va 7 ga teng, ular orasidagi burchak esa p 3 ga teng. B C → vektorining uzunligini hisoblang.

Yechim

B C → vektorining uzunligi bu holda uchburchakning B C tomonining uzunligiga teng △ A B C . Shartdan uchburchakning A B va A C tomonlarining uzunliklari ma'lum (ular mos vektorlarning uzunliklariga teng), ular orasidagi burchak ham ma'lum, shuning uchun biz kosinus teoremasidan foydalanishimiz mumkin: B C 2 = A B 2 + A C 2 - 2 A B A C cos ∠ (A B , → A C →) = 3 2 + 7 2 - 2 3 7 cos p 3 = 37 ⇒ B C = 37 Shunday qilib, B C → = 37.

Javob: B C → = 37.

Demak, vektor uzunligini koordinatalari bo‘yicha topish uchun boshi va oxiri nuqtalarining koordinatalariga ko‘ra a → = a x 2 + a y 2 yoki a → = a x 2 + a y 2 + a z 2 formulalari mavjud. vektorining A B → = (b x - a x) 2 + ( b y - a y) 2 yoki A B → = (b x - a x) 2 + (b y - a y) 2 + (b z - a z) 2, ba'zi hollarda kosinus teoremasi ishlatilishi kerak.

Agar siz matnda xatolikni sezsangiz, uni belgilab, Ctrl+Enter tugmalarini bosing