Namuna uchun siz ehtimollik nazariyasidagi tasodifiy o'zgaruvchilarning asosiy raqamli xususiyatlariga o'xshash bir qator raqamli xususiyatlarni belgilashingiz mumkin ( kutilgan qiymat, dispersiya, standart og'ish, rejim, median) va qaysidir ma'noda (bu keyinroq aniq bo'ladi) ularning taxminiy qiymatidir.

Tanlanma hajmining statistik taqsimoti berilsin n chastotalar va nisbiy chastotalar uchun:

Agar yig'indi belgisi ostida ko'paytiruvchi qo'shsak, nisbiy chastotalar bo'yicha namunaviy o'rtacha formulani olamiz:

.

E'tibor bering, intervalli seriyalar bo'lsa, o'rtacha o'rtacha qiymat raqamlar bo'lsa, bir xil formulalar yordamida hisoblanadi X 1 , … , X k oraliqlarning o'rta nuqtalarini oling: , … ,.

Namuna farqi Namuna qiymatlarining o'rtacha o'rtacha qiymatidan kvadrat og'ishlarining arifmetik o'rtachasi deyiladi:

Yig'indi belgisi ostida yana bir omilni kiritish orqali biz nisbiy chastotalar bo'yicha tanlama dispersiyasi formulasini olamiz:

Oddiy o'zgartirishlar namunaviy dispersiyani hisoblash uchun qulayroq formulaga olib keladi

,

qaerda o'rganilayotgan tasodifiy o'zgaruvchining kvadratining namunaviy o'rtacha qiymati, ya'ni.

Agar namuna intervalli statistik qator bilan ifodalangan bo'lsa, unda namunaviy dispersiya uchun formulalar bir xil bo'lib qoladi, bu erda odatdagidek raqamlar kabi X 1 , … , X k intervallarning o'rta nuqtalari olinadi: , … ,.

Standart og'ish namunasi chaqirdi Kvadrat ildiz namunadagi farqdan

.

Tozalash o'zgarishi R namunadagi maksimal va minimal qiymatlar orasidagi farq. Agar namunadagi variantlar tartiblangan bo'lsa (o'sish tartibida joylashtirilgan), keyin

.

O'zgaruvchanlik koeffitsienti formula bilan aniqlanadi

.

Moda M haqida o'zgaruvchanlik qatori eng yuqori chastotaga (yoki nisbiy chastotaga) ega bo'lgan variant deb ataladi.

Median M e variatsion qatorga uning o'rtasi bo'lgan son deyiladi. Toq sonli diskret qator uchun median variant uning o‘rta variantiga teng. Agar variantlar soni juft bo'lsa, Madina ikkita o'rta variantning o'rtacha qiymatiga (ya'ni, yig'indining yarmiga) teng bo'ladi.

Bir qator o'lchovlarning asosiy statistik xarakteristikalari (variatsiya seriyalari) pozitsiya xususiyatlarini (o'rtacha xarakteristikalar yoki namunaning markaziy tendentsiyasini) o'z ichiga oladi; tarqalish xususiyatlari (variatsiyalar yoki tebranishlar) va tarqatish shaklining xususiyatlari.

Kimga pozitsiya xususiyatlari arifmetik o'rtacha (o'rtacha), rejim va medianani o'z ichiga oladi.

Tarqalish xususiyatlariga(variatsiyalar yoki tebranishlar)ga quyidagilar kiradi: oʻzgaruvchanlik diapazoni, dispersiya, oʻrtacha kvadratik (standart) ogʻish, oʻrtacha arifmetik xato (oʻrtacha qiymat xatosi), oʻzgarish koeffitsienti va boshqalar.

Shaklning xususiyatlariga qiyshiqlik, qiyshiqlik va kurtozni o'z ichiga oladi.

51. Umumiy populyatsiya parametrlarini baholash. Nuqta va intervalni baholash. Ishonch oralig'i. Muhimlik darajasi

Parametrni baholash aholi

Umumiy parametrlarning nuqta va intervalli baholari mavjud.

nuqtali bitta raqam. Bu taxminlar, masalan,

Uchun statistik baholar taxminiy parametrlarning "yaxshi" taxminlarini berdi, ular quyidagilar bo'lishi kerak:

xolis;

samarali;

badavlat.

Agar uning tanlanma taqsimotining matematik taxmini umumiy parametr qiymatiga to'g'ri kelsa, taxmin xolis deb ataladi.

Nuqtalarni baholash boshqa shunga o'xshash baholarga nisbatan tanlama taqsimotining eng kichik farqiga ega bo'lsa, samarali deb ataladi, ya'ni. eng kichik tasodifiy o'zgarishlarni topadi.

Agar tanlama hajmining oshishi bilan umumiy parametr qiymatiga moyil bo'lsa, ball bahosi izchil deb ataladi.

Masalan, namunaviy o'rtacha aholi o'rtacha izchil, xolis baholash hisoblanadi. Oddiy populyatsiyadan olingan namuna uchun bu taxmin ham samarali hisoblanadi.

Kichkina hajmda namuna olishda, nuqta bahosi taxmin qilingan parametrdan sezilarli darajada farq qilishi mumkin, ya'ni. qo'pol xatolarga olib keladi. Shu sababli, kichik namuna o'lchami bilan foydalanish kerak intervalli ballar.

Interval aniqlanadigan smeta deb ataladi ikkita raqam– interval tugaydi– ishonch oralig'i.

Intervalli hisob-kitoblar hisob-kitoblarning aniqligi va ishonchliligini aniqlash imkonini beradi.

Ishonch oralig'i yordamida umumiy parametrni baholash uchun uchta miqdor kerak bo'ladi:

Masalan, umumiy o'rtacha uchun ishonch oralig'i quyidagi formula bo'yicha topiladi: muhimlik darajasida .

Ishonch oralig'i- matematik statistikada statistik parametrlarni intervalli baholash uchun ishlatiladigan atama, bu nuqta baholashdan ko'ra kichik tanlama hajmi bilan afzalroqdir.

Muhimlik darajasi - bu biz farqlarni muhim deb hisoblashimiz ehtimoli, lekin ular aslida tasodifiy.

Biz farqlar 5% ahamiyatlilik darajasida yoki da muhim ekanligini ko'rsatganimizda R< 0,05 , u holda biz ularning hali ham ishonchsiz bo'lish ehtimoli 0,05 ekanligini bildiramiz.

Biz farqlar 1% ahamiyatlilik darajasida yoki da muhim ekanligini ko'rsatganimizda R< 0,01 , u holda biz ularning hali ham ishonchsiz bo'lish ehtimoli 0,01 ekanligini bildiramiz.

Agar bularning barchasini yanada rasmiylashtirilgan tilga tarjima qiladigan bo'lsak, unda ahamiyat darajasi nol gipotezani rad etish ehtimoli bo'ladi, ammo bu haqiqat.

Nol gipoteza to'g'ri bo'lganda uni rad etadigan xato 1-toifa xato deb ataladi. (1-jadvalga qarang)

Tab. 1. Nol va muqobil gipotezalar va mumkin bo'lgan test holatlari.

Bunday xatolik ehtimoli odatda quyidagicha belgilanadi α. Aslida, biz p emas, balki qavsga qo'yishimiz kerak edi < 0,05 yoki p < 0,01 va a < 0,05 yoki a < 0,01.

Agar xato ehtimoli bo'lsa α , keyin to'g'ri qaror ehtimoli: 1-a. a qanchalik kichik bo'lsa, to'g'ri yechim ehtimoli shunchalik katta bo'ladi.

Tarixiy jihatdan psixologiyada 5% darajasini (p≤0,05) statistik ahamiyatga ega bo'lgan eng past daraja deb hisoblash odatiy holdir: 1% darajasi etarli (p≤0,01) va eng yuqori 0,1% darajasi (p≤0,001), shuning uchun kritik qiymatlar jadvallarida mezonlarning qiymatlari odatda p≤0,05 va p≤0,01, ba'zan esa - p≤0,001 statistik ahamiyat darajalariga mos keladi. Ba'zi mezonlar uchun jadvallar ularning turli empirik qiymatlarining aniq ahamiyat darajasini ko'rsatadi. Masalan, ph*=1,56 p=0,06 uchun.

Biroq, statistik ahamiyatga egalik darajasi p=0,05 ga etmaguncha, biz hali nol gipotezani rad etishga haqli emasmiz. Biz tafovutlar yo'q (HO) gipotezasini rad etish va farqlarning statistik ahamiyati haqidagi gipotezani qabul qilish (H 1) bo'yicha quyidagi qoidaga amal qilamiz.

Namuna natijalarini matematik-statistik tahlil qilish uchun faqat pozitsiyaning xususiyatlarini bilish etarli emas. Xuddi shu o'rtacha qiymat butunlay boshqa namunalarni tavsiflashi mumkin.

Shuning uchun, ularga qo'shimcha ravishda, statistika ham hisobga olinadi tarqalish xususiyatlari (o'zgarishlar, yoki o'zgaruvchanlik ) natijalar.

1. Variatsiya diapazoni

Ta'rif. katta ma'noda Variatsiya - eng katta va eng kichik tanlama natijalari o'rtasidagi farq, belgilangan R va qat'iy

R=X maksimal - X min.

Ushbu ko'rsatkichning ma'lumotlar tarkibi unchalik yuqori emas, garchi kichik namunalar bilan sportchilarning eng yaxshi va eng yomon natijalari o'rtasidagi farqni baholash oson.

2. Dispersiya

Ta'rif. dispersiya atribut qiymatlarining o'rtacha arifmetik qiymatdan chetlanishining o'rtacha kvadrati deyiladi.

Guruhlanmagan ma'lumotlar uchun dispersiya formula bilan aniqlanadi

qayerda X i- xususiyatning qiymati, - o'rta arifmetik.

Intervallarga guruhlangan ma'lumotlar uchun dispersiya formula bilan aniqlanadi

,

qayerda X i- o'rtacha qiymati i guruhlash oralig'i, n i- intervalli chastotalar.

Hisob-kitoblarni soddalashtirish va natijalarni yaxlitlashda hisoblash xatolariga yo'l qo'ymaslik uchun (ayniqsa, namuna hajmini oshirishda) dispersiyani aniqlash uchun boshqa formulalar ham qo'llaniladi. Agar o'rtacha arifmetik allaqachon hisoblangan bo'lsa, guruhlanmagan ma'lumotlar uchun quyidagi formuladan foydalaniladi:

 2 =
,

guruhlangan ma'lumotlar uchun:

.

Bu formulalar oldingilaridan yig'indi belgisi ostidagi ayirma kvadratini kengaytirish yo'li bilan olinadi.

Arifmetik o'rtacha va dispersiya bir vaqtning o'zida hisoblangan hollarda quyidagi formulalar qo'llaniladi:

guruhlanmagan ma'lumotlar uchun:

 2 =
,

guruhlangan ma'lumotlar uchun:

.

3. O'rtacha kvadrat(standart)og'ish

Ta'rif. ildiz o'rtacha kvadrat (standart ) og'ish natijalarning mutlaq birliklarda o'rtacha qiymatdan og'ish darajasini tavsiflaydi, chunki dispersiyadan farqli o'laroq, u o'lchov natijalari bilan bir xil o'lchov birliklariga ega. Boshqacha qilib aytganda, standart og'ish guruhdagi natijalarning o'rtacha atrofida taqsimlanish zichligini yoki guruhning bir xilligini ko'rsatadi.

Guruhlanmagan ma'lumotlar uchun standart og'ish formulalar bilan aniqlanishi mumkin

 =
,

 =
yoki =
.

Intervallarga guruhlangan ma'lumotlar uchun standart og'ish formulalar bilan aniqlanadi:

,

yoki
.

4. O'rtacha arifmetik xato (o'rtacha xato)

O'rtacha arifmetik xato o'rtachaning tebranishini tavsiflaydi va quyidagi formula bo'yicha hisoblanadi:

.

Formuladan ko'rinib turibdiki, tanlama hajmining ortishi bilan o'rtacha xatolik namuna hajmining kvadrat ildiziga mutanosib ravishda kamayadi.

5. Variatsiya koeffitsienti

O'zgaruvchanlik koeffitsienti standart og'ishning o'rtacha arifmetik qiymatga nisbati sifatida aniqlanadi, foiz sifatida ifodalanadi:

.

Agar o'zgaruvchanlik koeffitsienti 10% dan oshmasa, namunani bir hil deb hisoblash mumkin, ya'ni bitta umumiy populyatsiyadan olingan.

Matematik statistika tajriba natijalari asosida taqsimot qonunlari va sonli xarakteristikalar topishning taxminiy usullarini oʻrganuvchi matematikaning bir boʻlimidir.

Aholi Bu kuzatuvlarning (ob'ektlarning) taxmin qilinadigan barcha qiymatlari to'plami bo'lib, u qandaydir xususiyatga ko'ra bir hil, amalga oshirilishi mumkin.

Namuna – bu umumiy aholidan bevosita o'rganish uchun tasodifiy tanlangan kuzatishlar (ob'ektlar) to'plamidir.

Statistik taqsimot x i variantlari va ularning mos keladigan chastotalari n i birikmasidir.

Chastotalar gistogrammasi bu to'g'ri chiziq orqali qurilgan qo'shni to'rtburchaklardan tashkil topgan pog'onali figura bo'lib, ularning asoslari bir xil va sinfning kengligiga teng, balandligi esa n i intervalga tushish chastotasiga yoki nisbiy chastota n i ga teng. /n. Interval kengligi i aniqlanishi mumkin Sturges formulasiga muvofiq:

I=(x max -x min)/(1+3,32lgn),

Bu erda x max maksimal; x min - variantning minimal qiymati va ularning farqi deyiladi o'zgaruvchanlik diapazoni; n - namuna hajmi.

Chastotali poligon – siniq chiziq, uning segmentlari nuqtalarni x i, n i koordinatalari bilan bog‘laydi.

5. Joylashuv (rejim, median, o'rtacha tanlanma) va tarqalish (namuna dispersiyasi va namunaviy standart og'ish) xususiyatlari.

Moda (M haqida ) – bu oldingi va keyingi qiymatlar kamroq paydo bo'lish chastotasiga ega bo'lgan variant qiymatidir.

Unimodal taqsimotlar uchun rejim ma'lum bir populyatsiyada eng ko'p uchraydigan variant hisoblanadi.

Intervalli seriyalar rejimini aniqlash uchun quyidagi formula mavjud:

M 0 =x pastroq +i*((n 2 -n 1 )/(2n 2 -n 1 +n 3 )),

bu yerda x pastki - modal sinfning pastki chegarasi, ya'ni. n 2 paydo bo'lishning eng yuqori chastotasi bo'lgan sinf; n 2 – modal sinf chastotasi; n 1 - modaldan oldingi sinfning chastotasi; n 3 - modaldan keyingi sinfning chastotasi; i - sinf oralig'ining kengligi.

Median (M e )- xususiyatning qiymati hisoblanadi. Bunga nisbatan taqsimot seriyasi hajmi teng 2 qismga bo'linadi.

O'rtacha namuna - bu statistik qator variantining o'rtacha arifmetik qiymati

Namuna farqi- variantning o'rtacha qiymatidan chetlanish kvadratlarining o'rtacha arifmetik qiymati:

Standart og'ish – namunaviy dispersiyaning kvadrat ildizi:

S ichida =√(S ichida 2 )

6. Umumiy populyatsiya parametrlarini uning tanlanishi (nuqta va interval) asosida baholash. Ishonch oralig'i va ishonch ehtimoli.

Umumiy aholini tavsiflovchi raqamli qiymatlar deyiladi parametrlari.

Statistik baholash ikki usulda amalga oshirilishi mumkin:

1)ball bahosi- muayyan nuqta uchun berilgan baho;

2)intervalni baholash- namunaviy ma'lumotlarga ko'ra, oraliq taxmin qilinadi, unda haqiqiy qiymat yotadi berilgan ehtimollik.

Nuqtalarni baholash bitta raqam bilan belgilanadigan taxmindir. Va bu raqam namuna bilan aniqlanadi.

Nuqta bahosi deyiladi badavlat, agar tanlama hajmining ortishi bilan tanlama xarakteristikasi umumiy populyatsiyaning mos keladigan xususiyatiga moyil bo'lsa.

Nuqta bahosi deyiladi samarali agar u boshqa shunga o'xshash baholarga nisbatan eng kichik tanlanma taqsimotiga ega bo'lsa.

Nuqtali taxmin deyiladi xolis, agar uning matematik kutilishi har qanday tanlama kattaligi uchun taxminiy parametrga teng bo'lsa.

Umumiy o'rtachaning xolis baholovchisi(matematik kutish) o'rtacha namunadir:

ichida = i n i ,

bu yerda x i – tanlab olish variantlari; n i – yuzaga kelish chastotasi varianti x i ; n - namuna hajmi.

Intervalni baholash- bu ikki raqam bilan belgilanadigan raqamli oraliq - umumiy populyatsiyaning noma'lum parametrini o'z ichiga olgan oraliq chegaralari.

Ishonch oralig'i- bu oldindan belgilangan ehtimollik bilan umumiy populyatsiyaning noma'lum parametri mavjud bo'lgan interval.

Ishonch ehtimolip – u shunday ehtimollikki, ehtimollik (1-p) hodisasini imkonsiz deb hisoblash mumkin. a=1-p - muhimlik darajasi. Odatda 1 ga yaqin ehtimollar ishonchli ehtimollar sifatida ishlatiladi.Shunda interval xarakteristikani qamrab olgan hodisa amaliy jihatdan ishonchli bo'ladi. Bular p≥0,95, p≥0,99, p≥0,999.

Kichik namuna o'lchami uchun (n<30) нормально распределенного количественного признака х доверительный интервал может иметь вид:

ichida - mt≤≤ ichida + mt (p≥0,95),

umumiy o'rtacha ko'rsatkich qayerda; c – namunaviy o‘rtacha; t - (n-1) erkinlik darajasi bilan normallashtirilgan Student taqsimot indeksi, bu umumiy parametrning ushbu intervalga tushishi ehtimoli bilan aniqlanadi; m - namunaviy o'rtacha xato.

O'rtacha xarakteristikalar qanchalik muhim bo'lishidan qat'i nazar, raqamli ma'lumotlar massivining muhim xarakteristikasi - bu massivning qolgan a'zolarining o'rtachaga nisbatan xatti-harakati, ular o'rtacha qiymatdan qanchalik farq qiladi, massivning qancha a'zosi farq qiladi. o'rtachadan sezilarli darajada. Otish mashg'ulotlarida ular natijalarning to'g'riligi haqida gapiradilar, statistikada ular tarqalish (tarqalish) xususiyatlarini o'rganadilar.

X ning har qanday qiymatining x ning o'rtacha qiymatidan farqi deyiladi og'ish va x, - x farqi sifatida hisoblanadi. Bunday holda, agar raqam o'rtacha qiymatdan katta bo'lsa, og'ish ikkala ijobiy qiymatni va o'rtacha qiymatdan kichik bo'lsa, salbiy qiymatlarni olishi mumkin. Biroq, statistikada ko'pincha ma'lumotlar massivining barcha raqamli elementlarining "aniqligi" ni tavsiflovchi bitta raqam bilan ishlay olish muhimdir. Massiv a'zolarining barcha og'ishlarining har qanday yig'indisi nolga olib keladi, chunki ijobiy va salbiy og'ishlar bir-birini bekor qiladi. Nullingni oldini olish uchun kvadratik farqlar tarqalishini, aniqrog'i, kvadrat og'ishlarning arifmetik o'rtachasini tavsiflash uchun ishlatiladi. Ushbu tarqalish xususiyati deyiladi namunaviy farq.

Dispersiya qanchalik katta bo'lsa, tasodifiy o'zgaruvchining qiymatlarining tarqalishi shunchalik katta bo'ladi. Dispersiyani hisoblash uchun ma'lumotlar massivining barcha a'zolariga nisbatan bir raqam chegarasi bilan tanlanma o'rtacha x ning taxminiy qiymati qo'llaniladi. Aks holda, ko'p sonli taxminiy qiymatlarni yig'ishda muhim xatolik to'planadi. Raqamli qiymatlarning o'lchami bilan bog'liq holda, namunaviy dispersiya kabi tarqalish indeksining bir kamchiligini ta'kidlash kerak: dispersiyani o'lchash birligi D qiymatlar birligining kvadratidir X, uning xarakteristikasi dispersiyadir. Ushbu kamchilikdan xalos bo'lish uchun statistika bunday tarqalish xususiyatini kiritdi namunaviy standart og'ish , bu belgi bilan belgilanadi a ("sigma" ni o'qing) va formula bo'yicha hisoblanadi

Odatda, ma'lumotlar massivi a'zolarining yarmidan ko'pi o'rtacha qiymatdan standart og'ish qiymatidan kamroq farq qiladi, ya'ni. segmentiga tegishli [X - a; x + a]. Aks holda ular aytadilar: ma'lumotlarning tarqalishini hisobga olgan holda o'rtacha ko'rsatkich x ± a.

Boshqa tarqalish xarakteristikasining kiritilishi ma'lumotlar massivi a'zolarining o'lchami bilan bog'liq. Statistikaning barcha raqamli tavsiflari turli tasodifiy o'zgaruvchilarni tavsiflovchi turli raqamli massivlarni o'rganish natijalarini solishtirish uchun kiritilgan. Biroq, turli xil ma'lumotlar massivlarining turli o'rtacha qiymatlaridan standart og'ishlarni solishtirish muhim emas, ayniqsa bu qiymatlarning o'lchamlari ham farq qilsa. Misol uchun, agar mikro- va makro-mahsulotlar ishlab chiqarishda har qanday ob'ektlarning uzunligi va og'irligi yoki sochilishi solishtirilsa. Yuqoridagi mulohazalar bilan bog'liq holda, nisbiy sochilishning xarakteristikasi kiritiladi, bu deyiladi o'zgaruvchanlik koeffitsienti va formula bo'yicha hisoblanadi

Tasodifiy o'zgaruvchining qiymatlari dispersiyasining raqamli xususiyatlarini hisoblash uchun jadvaldan foydalanish qulay (6.9-jadval).

6.9-jadval

Tasodifiy o'zgarmaydigan qiymatlarning tarqalishining raqamli xususiyatlarini hisoblash

Ushbu jadvalni to'ldirish jarayonida o'rtacha namunadir X, keyinchalik ikki shaklda qo'llaniladi. Yakuniy o'rtacha xarakteristikasi sifatida (masalan, jadvalning uchinchi ustunida) namunaviy o'rtacha X raqamli ma'lumotlar massivining har qanday a'zosining eng kichik raqamiga mos keladigan eng yaqin raqamga yaxlitlanishi kerak x r Biroq, bu ko'rsatkich keyingi hisob-kitoblar uchun jadvalda qo'llaniladi va bu holatda, ya'ni jadvalning to'rtinchi ustunida hisoblashda o'rtacha namunaviy ko'rsatkich X raqamli ma'lumotlar massivining har qanday a'zosining eng kichik raqamidan bitta raqamga yaxlitlanishi kerak X (.

Jadval kabi yorliq yordamida hisob-kitoblar natijasi. 6.9 tanlama dispersiyasi qiymatini oladi va javobni yozib olish uchun standart og'ish a qiymatini tanlama dispersiyasi qiymatiga qarab hisoblash kerak.

Javobda quyidagilar ko'rsatilgan: a) shakldagi ma'lumotlarning tarqalishini hisobga olgan holda o'rtacha natija x±o; b) ma'lumotlarning barqarorligi xarakteristikasi v. Javob o'zgaruvchanlik koeffitsientining sifatini baholashi kerak: yaxshi yoki yomon.

Sport tadqiqotlarida natijalarning bir xilligi yoki barqarorligi ko'rsatkichi sifatida qabul qilinadigan o'zgaruvchanlik koeffitsienti 10-15% ni tashkil qiladi. O'zgaruvchanlik koeffitsienti V= Har qanday tadqiqotda 20% juda katta ko'rsatkich hisoblanadi. Namuna hajmi bo'lsa P> 25, keyin V> 32% juda yomon ko'rsatkich.

Masalan, diskret variatsion qator 1 uchun; 5; to'rtta; to'rtta; 5; 3; 3; bitta; bitta; bitta; bitta; bitta; bitta; 3; 3; 5; 3; 5; to'rtta; to'rtta; 3; 3; 3; 3; 3 tab. 6.9 quyidagicha to'ldiriladi (6.10-jadval).

6.10-jadval

Qiymatlar dispersiyasining raqamli xarakteristikalarini hisoblash misoli

Javob: a) ma'lumotlarning tarqalishini hisobga olgan holda o'rtacha xarakteristikasi X± a = = 3 ± 1,4; b) olingan o'lchovlarning barqarorligi past darajada, chunki o'zgaruvchanlik koeffitsienti V = 48% > 32%.

Jadvalning analogi. 6.9 dan intervalli o'zgarishlar qatorining tarqalish xarakteristikalarini hisoblash uchun ham foydalanish mumkin. Shu bilan birga, variantlar x r bo'shliqlar vakillari bilan almashtiriladi x v ja mutlaq chastotalar opsiyasi f(- bo'shliqlarning mutlaq chastotalariga fv

Yuqoridagilarga asoslanib, quyidagilarni amalga oshirish mumkin xulosalar.

Matematik statistikaning xulosalari, agar ommaviy hodisalar haqidagi ma'lumotlar qayta ishlansa, ishonchli bo'ladi.

Odatda, namuna vakillik bo'lishi kerak bo'lgan ob'ektlarning umumiy populyatsiyasidan o'rganiladi.

Namuna ob'ektlarining har qanday xususiyatini o'rganish natijasida olingan eksperimental ma'lumotlar tasodifiy o'zgaruvchining qiymati hisoblanadi, chunki tadqiqotchi ma'lum bir ob'ektga qaysi raqam mos kelishini oldindan taxmin qila olmaydi.

Tajriba ma'lumotlarini tavsiflash va birlamchi qayta ishlash uchun u yoki bu algoritmni tanlash uchun tasodifiy o'zgaruvchining turini aniqlay olish muhimdir: diskret, uzluksiz yoki aralash.

Diskret tasodifiy o'zgaruvchilar diskret variatsion qator va uning grafik shakli - chastotali ko'pburchak bilan tavsiflanadi.

Aralash va uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchilar intervalli o'zgarishlar qatori va uning grafik shakli - gistogramma bilan tavsiflanadi.

Muayyan xususiyatning shakllangan ™ darajasiga ko'ra bir nechta namunalarni taqqoslashda o'rtacha sonli xarakteristikalar va tasodifiy o'zgaruvchining o'rtachaga nisbatan dispersiyasining raqamli tavsiflari qo'llaniladi.

O'rtacha xarakteristikani hisoblashda uni qo'llash sohasiga mos keladigan o'rtacha xarakteristikaning turini to'g'ri tanlash muhimdir. Tarkibiy o'rtacha qiymatlar rejimi va median eksperimental ma'lumotlarning tartiblangan qatorida variantning joylashuvi tuzilishini tavsiflaydi. Miqdoriy o'rtacha variantning o'rtacha hajmini (o'rtacha namunaviy) baholash imkonini beradi.

Tarqalishning sonli xarakteristikalarini hisoblash uchun - namunaviy dispersiya, standart og'ish va o'zgarish koeffitsienti - jadval usuli samarali hisoblanadi.

Variatsiya seriyasi

Umumiy populyatsiyada ma'lum bir miqdoriy belgi o'rganilmoqda. Undan tasodifiy hajm namunasi olinadi n, ya'ni namunadagi elementlar soni n. Statistik ishlov berishning birinchi bosqichida oralig'ida namunalar, ya'ni. raqamni buyurtma qilish x1, x2, …, xn Ko'tarilish. Har bir kuzatilgan qiymat xi chaqirdi variant. Chastotasi mil qiymatni kuzatishlar soni xi namunada. Nisbiy chastota (chastota) wi chastota nisbati hisoblanadi mil namuna hajmiga n: wi=mi/n.

Variatsion qatorni o'rganishda yig'ma chastota va yig'ma chastota tushunchalari ham qo'llaniladi. Mayli x ba'zi raqam. Keyin variantlar soni , ularning qiymatlari kamroq x, jami chastota deyiladi: xi uchun minak=mi kümülatif chastota deyiladi: winak=miak/n.