Agar chiziqlar parallel bo'lsa, ularning bir xil nomdagi proyeksiyalari paralleldir.

Agar to'g'ri chiziqlar kesishsa, ularning bir xil nomdagi proyeksiyalari kesishadi bir-biri bilan bu chiziqlarning kesishish nuqtasining proyeksiyalari bo'lgan nuqtalarda.

To'g'ri chiziqlarni kesib o'tish kesishmang va parallel emas o'zaro, lekin ularning proyeksiyalari kesishishi yoki parallel bo'lishi mumkin.

Ushbu proyeksiyalarning kesishish nuqtalari bir xil aloqa chizig'ida yotmaydi. bir nuqta 1 v ikki ochkoga mos keladi 1 n va 1" n. Bu nuqtalar tekislikka bir xil perpendikulyar yotadi V(2.9a, b, c-rasm).

Guruch. 2.9. Diagrammadagi segmentlarning o'zaro joylashishi:

A) parallel b) kesishuvchi; c) kesib o'tish

2.3.1. Raqobat nuqtalari

Proyeksiyalar tekisligiga bir xil perpendikulyar bo'lgan nuqtalar deyiladi raqobatlashmoqda bu tekislikka nisbatan (2.10a, b-rasm).

Raqobat nuqtalari diagrammadagi geometrik tasvirlarning ko'rinishini aniqlaydi. Berilgan proektsiyada ko'rinadigan narsa har doim yolg'on bo'lgan raqobatdosh nuqtalardan biri bo'ladi uzoqroq bu proyeksiya tekisligidan uzoqda, shuning uchun tomoshabinga yaqinroq. ball LEKIN va DA jabhada raqobatbardoshdirlar. Frontal proyeksiya tekisligida nuqta ko'rinadi LEKIN, chunki u samolyotdan uzoqroqda joylashgan V va kuzatuvchiga yaqinroq. ball LEKIN va FROM gorizontal raqobatbardoshdir. Gorizontal proyeksiya tekisligida nuqta ham ko'rinadi LEKIN, chunki u samolyotdan tashqarida H nuqtadan uzoqroqda FROM.

Guruch. 2.10. Raqobat nuqtalari: a) dimetriyada; b) diagrammada

2.4. Tekislik burchak proyeksiyalari

Ikkita kesishuvchi chiziq tekis burchak hosil qiladi.

Agar burchak proyeksiyalar tekisligiga parallel tekislikda joylashgan bo'lsa, u holda unga to'liq hajmda proyeksiya qilinadi.

Umuman olganda, tomonlari proyeksiya tekisligiga parallel bo'lmagan tekis burchak bu tekislikka buzilish bilan proyeksiyalanadi.

2.4.1. To'g'ri burchakli proyeksiyalar teoremasi

Shaklda to'g'ri burchak ortogonal proyeksiyalanishi uchun to'g'ri burchak, uning hech bo'lmaganda bir tomoni bo'lishi zarur va etarli proyeksiya tekisligiga parallel, ikkinchisi esa bu tekislikka perpendikulyar emas(2.11a, b-rasm).

Guruch. 2.11. Syujetdagi to'g'ri burchakning proyeksiyalari:

A) frontal proyeksiya tekisligida; b) gorizontal proyeksiyalar tekisligida

Isbot: Kosmosda to'g'ri burchakka ega bo'lsin SIZ. Uni samolyotga loyihalashtiring H ortogonal. Faraz qilaylik, bu tomon AB berilgan burchak tekislikka parallel H. Keyin bizda:  SIZ= 90˚; AB || H; AA nH. Buni isbotlaylik  DA n LEKIN n FROM n= 90º (2.12-rasm).  LEKIN n AB= 90°, chunki raqam AA n BB n- to'rtburchak. Shunday qilib, to'g'ri chiziq AB proyeksiyalovchi tekislikka perpendikulyar Q bu tekislikning ikkita chizig'iga perpendikulyar sifatida ( ABAC; ABAA n). Shunung uchun ABQ, lekin LEKIN n DA n || AB bu yerdan va LEKIN n DA nQ, bu degani  DA n LEKIN n FROM n= 90º.

2.12-rasm To'g'ri burchakli proyeksiya

Vazifa: Nuqtadan masofani aniqlang LEKIN old tomonga (2.13-rasm).

Yechim. Kerakli perpendikulyar va old tomon o'rtasidagi to'g'ri burchak Quyosh samolyotga to'liq hajmda proyeksiyalangan V. Perpendikulyarning tabiiy kattaligi AK to‘g‘ri burchakli uchburchak usuli yordamida topish mumkin.

Guruch. 2.13. A nuqtadan miloddan avvalgi oldingi masofani aniqlash

Agar ikkita chiziq tekislikda yotsa, ularning o'zaro joylashishining uch xil holati mumkin: 1) chiziqlar kesishadi (ya'ni bitta umumiy nuqtaga ega), 2) chiziqlar parallel va bir-biriga to'g'ri kelmaydi, 3) chiziqlar. mos keladi.

Agar chiziqlar tenglamalari bilan berilgan bo'lsa, ushbu holatlarning qaysi biri sodir bo'lishini qanday aniqlash mumkinligini bilib olaylik

Agar chiziqlar kesishsa, ya'ni bitta umumiy nuqtaga ega bo'lsa, bu nuqtaning koordinatalari ikkala tenglamani (15) qondirishi kerak. Shuning uchun chiziqlarning kesishish nuqtasining koordinatalarini topish uchun ularning tenglamalarini birgalikda yechish kerak. Buning uchun biz birinchi navbatda noma'lum x ni yo'q qilamiz, buning uchun birinchi tenglamani ga, ikkinchisini esa A ga ko'paytiramiz va ikkinchisidan birinchisini ayiramiz. Bo'ladi:

(15) tenglamalardan noma’lum y ni yo‘q qilish uchun ularning birinchisini ga, ikkinchisini esa ko‘paytiramiz va birinchisidan ikkinchisini ayirib olamiz. Biz olamiz:

Agar (15) va (15") tenglamalardan (15) sistemaning yechimini olamiz:

Formulalar (16) ikkita chiziqning kesishish nuqtasining x, y koordinatalarini beradi.

Shunday qilib, agar u holda chiziqlar kesishsa. Agar formulalar (16) mantiqiy emas. Bu holda chiziqlar qanday joylashtirilgan? Bu holda chiziqlar parallel ekanligini ko'rish oson. Darhaqiqat, shartdan kelib chiqadiki (agar , bo'lsa, chiziqlar Oy o'qiga parallel va shuning uchun bir-biriga parallel).

Shunday qilib, agar chiziqlar parallel bo'lsa. Ko'rib chiqilayotgan shartni shunday yozish mumkinki, agar chiziqlar tenglamalarida joriy koordinatalarda mos keladigan koeffitsientlar proportsional bo'lsa, u holda chiziqlar parallel bo'ladi.

Xususan, parallel chiziqlar mos kelishi mumkin. Keling, chiziqlarning mos kelishining analitik mezoni nima ekanligini bilib olaylik. Buning uchun (15) va ) tenglamalarni ko'rib chiqing. Agar bu tenglamalarning erkin shartlari ikkalasi ham nolga teng bo'lsa, ya'ni.

ya'ni noma'lumlar koeffitsientlari va tenglamalarning erkin shartlari (15) proportsionaldir. Bunda sistemaning tenglamalaridan biri ikkinchisidan uning barcha shartlarini qandaydir umumiy omilga ko'paytirish yo'li bilan olinadi, ya'ni (15) tenglamalar ekvivalentdir. Shuning uchun ko'rib chiqilayotgan parallel chiziqlar mos keladi.

Agar (15) va ) tenglamalarning erkin shartlaridan kamida bittasi noldan farq qilsa (yoki yoki

u holda (15) va (15") tenglamalar va shuning uchun (15) tenglamalar yechimga ega bo'lmaydi (tengliklardan kamida bittasi (15) yoki (15") imkonsiz bo'ladi). Bunday holda, parallel chiziqlar bir-biriga mos kelmaydi.

Shunday qilib, ikkita chiziqning mos kelishining sharti (zarur va etarli) ularning tenglamalarining tegishli koeffitsientlarining mutanosibligidir:

Misol 1. To'g'ri chiziqlarning kesishish nuqtasini toping

Tenglamalarni birgalikda yechish, ikkinchisini 3 ga ko'paytiring.

To'g'ri chiziqlar va makonni tashkil qilish

To'g'ri chiziqlar - oddiy, lekin juda
ekspressiv element:
chiziq tekislikni ikkiga ajratadi
individual
qismlar;
-chiziq birlashishga yordam beradi
tarkibi
bir butunga;
qator, ortiq
to'rtburchak
ritmga ta'sir qiladi
kompozitsiyalar.

Chiziqlardan frontal va chuqur kompozitsiyalar
va to'rtburchaklar

hatto eng oddiy vositalar bilan ham
hissiyotlarga erisha oladi
tasvir

Chiziq "yo'qotilgan vazn" emas
to'rtburchaklar" va mustaqil
tasviriy element qatori biriktirilgan
butun kompozitsiyaning ekspressivligi. DA
chiziq to'g'ridan-to'g'ri o'tgan joyda ishlaydi (chetdan chetga
varaq), u chidaganga o'xshaydi
doirasidan tashqarida tasviriy harakat va
kompozitsiyani ochiq, ochiq qiladi
va yanada qiziqarli.
yupqa, uzun va
to'g'ri chiziqlar kesiladi
hukmdor tomonidan

ishlaydi
yuqorida
ularning
kompozitsiyalar,
rejalar hajmidagi farqlarni izlash,
chunki u tasviriy tasvirni yaratadi
polifoniya, intonatsiya boyligi va,
shunga ko'ra, ko'proq ekspressivlik
kompozitsiyalar.

VAZIFALAR
To'g'ri chiziqlar - planar tashkilot elementi
kompozitsiyalar.
1. 3-4 to'g'ri chiziqning joylashishi va o'zaro kesishishi
har xil qalinlik uyg'un artikulyatsiyaga erishadi
bo'shliqlar (chiziqlardan foydalaning).
2. 2-3 to‘rtburchak va 3-4 to‘g‘ri chiziqdan iborat kompozitsiya yarating
o'z tartibiga ko'ra elementlarni bog'laydigan chiziqlar
yagona kompozitsion butun. Yarating: a) frontal
tarkibi; b) chuqur kompozitsiya.
3. Elementlarning ixtiyoriy sonidan qiziqarlisini yarating
tarkibi.
Elementlarni tekislikda ritmik tartibga solish, erishish
hissiy-majoziy taassurot (masalan, "uchish", torayish, "sekinlashish" va boshqalar).
Vazifalar kompyuterda bajarilishi mumkin.

HUQUQLARNING MUNOSABATI.

Ikki chiziq orasidagi burchak, ikkita chiziqning parallelligi va perpendikulyarligi shartlari, chiziqlar kesishishi, berilgan nuqtadan berilgan chiziqgacha bo'lgan masofa.

Tekislikdagi to'g'ri chiziqlar orasidagi burchak ikkisining kichikroq (o'tkir) deb tushuniladi qo'shni burchaklar bu chiziqlar orqali hosil qilingan.

Agar l 1 va l 2 chiziqlar tenglamalar bilan berilgan bo'lsa Nishab omillari y \u003d k 1 x + b 1 va y \u003d k 2 x + b 2, keyin ular orasidagi ph burchak formula bo'yicha hisoblanadi

l 1 va l 2 chiziqlar uchun parallellik sharti shaklga ega

va ularning perpendikulyarligi sharti

k 1 = - (yoki k 1 k 2 = - 1)

Agar l 1 va l 2 qatorlari berilgan bo'lsa umumiy tenglamalar A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 va A 2 x + B 2 y + C 2 \u003d 0,

keyin ular orasidagi burchakning ph qiymati formula bo'yicha hisoblanadi

tg ph=

ularning burchak parallelizmlari

(yoki A 1 B 2 -A 2 B 1 \u003d 0)

Ularning perpendikulyarligi sharti

A 1 A 2 + B 1 B 2 \u003d 0

l 1 va l 2 chiziqlarning umumiy nuqtalarini topish uchun tizimni yechish kerak

tenglamalar

A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0, y \u003d k 1 x + b 1

yoki

A 2 x + B 2 y + C 2 \u003d 0, y \u003d k 2 x + b 2

Bunda:

Agar a
, keyin chiziqlarning kesishishining yagona nuqtasi mavjud;

Agar a
- l 1 va l 2 chiziqlar umumiy nuqtaga ega emas, ya'ni parallel;

Agar a
-chiziqlar cheksiz ko'p nuqtaga ega, ya'ni ular bir-biriga to'g'ri keladi

M 0 (x 0; y 0) nuqtadan Ax + Vy + C \u003d 0 to'g'ri chiziqgacha bo'lgan masofa d - bu nuqtadan to'g'ri chiziqqa tushirilgan perpendikulyarning uzunligi.

D masofasi formula bilan aniqlanadi

d=

M 0 (x 0; y 0) nuqtadan x cos to'g'ri chiziqgacha bo'lgan masofa + y gunoh - p=0 formula bo'yicha hisoblanadi

d=

Misol: chiziqlar orasidagi burchakni toping:

1) y=2x-3 va y=
;

2) 2x-3y+10=0 va 5x – y+4=0;

3) y=
va 8x+6y+5=0;

4) y=5x+1 va y=5x-2;

=arctg
);

Amaliy mashg'ulotlar uchun vazifalar:

1. Chiziqlar orasidagi burchakni toping:

1) y=0,5x-3 va y=2x-2;

2) 2x-3y-7=0 va 2x-y+5=0;

3) y=x+6 va 3x-2y-8=0;

4) y= 7x -1 va y=7x+1;

1) 3x+5y-9=0 va 10x-6y+4=0

2) 2x+5y-2=0 va x+y+4=0;

3) 2y=x-1 va 4y-2x+2=0;

4) x+8=0 va 2x-3=0;

5)
=1 va y=x+2;

6) x+y=0 va x-y=0

7) y+3=0 va 2x+y-1=0;

8) y=3-6x va 12x+2y-5=0;

9) 2x+3y=8 va x-y-3=0

10) x-y-1=0 va x+y+2=0

3. Qanday qiymatlarda quyidagi juft chiziqlar: a) parallel; b) perpendikulyar.

1) 2x-3y+4=0 va x-6y+7=0;

2) x-4y+1=0 va -2x+y+2=0;

3) 4x+y-6=0 va 3x+ y-2=0;

4) x- y+5=0 va 2x+3y+3=0;

4. 3x-2y + 5 \u003d 0 chiziqlarning kesishish nuqtasi orqali; x+2y-9=0 to'g'ri chiziqqa parallel 2x+y+6=0 to'g'ri chiziq o'tkaziladi. Uning tenglamasini yozing.

5. A nuqtadan o‘tuvchi (-1; 2) to‘g‘ri chiziq tenglamasini toping:

a) y \u003d 2x-7 to'g'ri chiziqqa parallel;

b) x+3y-2=0 chiziqqa perpendikulyar.

6. Uchlari A (4; -3) bo'lgan uchburchakdagi VD balandligi uzunligini toping; B (-2; 6) va C (5; 4).

7. Uchburchak tomonlari tenglamalari berilgan: x+3y-3=0, 3x-11y-29=0 va 3x-y+11=0.

Bu uchburchakning uchlarini toping.

Mustaqil hal qilish uchun vazifalar

1. Toping o'tkir burchak qatorlar orasida:

1) y \u003d 3x va y \u003d - x

2) 2x-3y+6=0 va 3x-y-3=0

4) 3x+4y-12=0 va 15x-8y-45=0

2. Quyidagi juft chiziqlarning nisbiy o‘rnini o‘rganing:

1) 2x-3y+4=0 va 10x+3y-6=0

2) 3x-4y+12=0 va 4x+3y-6=0

3) 25x+20y-8=0 va 5x+4y+4=0

4) 4x+5y-8=0 va 3x-2y+4=0

5) y=3x+4 va y=-3x+2

3. B (2;-3) nuqtadan o‘tuvchi to‘g‘ri chiziq tenglamasini toping.

a) M 1 (-4; 0) va M 2 (2; 2) nuqtalarni tutashtiruvchi to'g'ri chiziqqa parallel;

b) x-y=0 to'g'ri chiziqqa perpendikulyar.

4. Uchlari bo‘lgan uchburchakda VD balandligini o‘z ichiga oluvchi to‘g‘ri chiziq tenglamasini yozing.

A (-3; 2), B (5; -2), C (0; 4)

5. 2x+y+4=0, x+7y-11=0 va 3x-5y-7=0 chiziqlardan hosil bo‘lgan uchburchakning maydonini toping.

6. 3x + 2y-4 \u003d 0 va x-5y + 8 \u003d 0 chiziqlarning kesishish nuqtasi orqali chiziqlar chiziladi, ulardan biri koordinatali nuqtadan o'tadi, ikkinchisi esa Ox o'qiga parallel. Ularning tenglamalarini yozing.

7. Cho'qqilari A (3; 5) bo'lgan to'rtburchak ABCD berilgan; In (6;6); C (5; 3); D (1; 1). Toping:

a) diagonallarning kesishish nuqtasining koordinatalari;

b) diagonallar orasidagi burchak .

8. Uchburchakning A (2; -2), B (3; 5), C (6; 1) uchlari berilgan. Toping:

1) AC va BC tomonlarining uzunliklari;

2) BC va AC tomonlari yotadigan chiziqlar tenglamalari;

3) B dan chizilgan balandlik yotgan to'g'ri chiziq tenglamasi;

4) bu balandlikning uzunligi;

5) A nuqtadan chizilgan mediana yotuvchi to'g'ri chiziq tenglamasi;

6) bu mediananing uzunligi;

7) C burchakning bissektrisasi yotgan to'g'ri chiziq tenglamasi;

8) uchburchakning og'irlik markazi;

9) uchburchakning maydoni;

10) burchak C;

Mustaqil hal qilish uchun vazifalarga javoblar:

1. 1) 63 0 ; 2) 37,9 0 ; 3) 31,3 0 ; 4) 81,2 0 . 2. 1) parallel;

2) perpendikulyar; 3) parallel; 4) kesishish; 5) kesishish;

3. a) x-3y-11=0; b) x + y + 1 = 0; 4. 3x+2y-11=0; 5. 13; 6. 7x-y=0 va 17y-28=0; 7. a)(4;4);

b); 8. 1) -5;5 2) 4x+3y-27=0,3x-4y-14=0; 3) 4x+3y-27=0; 4) 5; 5) 2x-y-6=0; 6) ; 7) x+7y-13=0; 8) (;); 9); 10)

Berilgan orqali AB va C parallel chiziqlarni o'tkazsak D proyeksiyalarning gorizontal tekisligiga perpendikulyar tekisliklar bo'lsa, u holda bu ikki tekislik parallel bo'ladi va ularning H tekisligi bilan kesishgan joyida ikkita o'zaro parallel chiziq olinadi. A"B" va C"D", ular AB va to'g'ri chiziqlar ma'lumotlarining ortogonal proyeksiyalari CD proyeksiyalarning gorizontal tekisligida (25-rasm).

Xuddi shunday, berilgan chiziqlarning V frontal tekislikka ortogonal proyeksiyalarini olish mumkin.

Murakkab chizmada bir xil nomdagi parallel chiziqlarning proyeksiyalari parallel: A"B"C"D" va A""B""C""D"" (25-rasm).

kesishuvchi chiziqlar

O'zaro kesishgan chiziqlar umumiy nuqtaga ega, masalan, chiziq segmentlari AB va CD bir nuqtada kesishadi Kimga. Kesishuvchi chiziqlarning proyeksiyalari kesishadi va ularning kesishish nuqtalari ( K" va K"") bir xil aloqa liniyasida yotadi - o'qga perpendikulyar x(26-rasm).

Kesishgan chiziqlar

Bular parallel bo'lmagan va kesishmaydigan chiziqlardir. Murakkab chizmada kesishuvchi chiziqlarning proyeksiyalari (to'g'ri chiziqlar AB va CD) kesishishi mumkin, lekin kesishish nuqtalari ( 1 ,2 va 3 ,4 ) turli aloqa liniyalarida yotadi (27-rasm). Egri chiziqlarning bir xil nomdagi proyeksiyalarining kesishish nuqtalari fazoda ikkita nuqtaga to'g'ri keladi: bir holatda - 1 va 2 , va boshqasida 3 va 4 to'g'ri chiziqlarda joylashgan. Chizmada chiziqlarning gorizontal proyeksiyalarining kesishish nuqtasi nuqtalarning ikkita frontal proyeksiyasiga mos keladi. 1 "" va 2 "". Xuddi shunday - nuqta bilan 3 va 4 .