Transektalar, tangenslar - bularning barchasini geometriya darslarida yuzlab marta eshitish mumkin edi. Ammo maktabni tugatish tugadi, yillar o'tadi va bu bilimlarning barchasi unutiladi. Nimani eslash kerak?

Mohiyat

"Doiraga teginish" atamasi, ehtimol, hamma uchun tanish. Ammo hamma uning ta'rifini tezda shakllantirishi dargumon. Shu bilan birga, tangens bir tekislikda yotgan to'g'ri chiziq bo'lib, uni faqat bitta nuqtada kesib o'tadigan aylana bilan. Ularning xilma-xilligi juda katta bo'lishi mumkin, ammo ularning barchasi bir xil xususiyatlarga ega, ular quyida muhokama qilinadi. Siz taxmin qilganingizdek, aloqa nuqtasi aylana va chiziq kesishgan joydir. Har bir holatda, bu bitta, lekin agar ular ko'proq bo'lsa, u sekant bo'ladi.

Kashfiyot va o'rganish tarixi

Tangens tushunchasi antik davrda paydo bo'lgan. Bu toʻgʻri chiziqlarni dastlab aylanaga, soʻngra chizgʻich va sirkul yordamida ellips, parabola va giperbolalarga yasash geometriya rivojlanishining dastlabki bosqichlarida ham amalga oshirilgan. Albatta, tarix kashfiyotchining nomini saqlab qolmagan, ammo ma'lumki, o'sha paytda ham odamlar aylanaga tegishning xususiyatlarini yaxshi bilishgan.

Zamonaviy davrda ushbu hodisaga qiziqish yana kuchaydi - bu kontseptsiyani o'rganishning yangi bosqichi, yangi egri chiziqlarning ochilishi bilan birlashtirildi. Shunday qilib, Galiley sikloid tushunchasini kiritdi va Ferma va Dekart unga tangensni yaratdilar. Davralarga kelsak, bu hududda qadimiylar uchun hech qanday sir qolmagandek.

Xususiyatlari

Kesishish nuqtasiga chizilgan radius bo'ladi

aylanaga teguvchi asosiy, lekin yagona xususiyat emas. Yana bir muhim xususiyat allaqachon ikkita to'g'ri chiziqni o'z ichiga oladi. Shunday qilib, aylanadan tashqarida joylashgan bitta nuqta orqali ikkita tangens chizish mumkin, shu bilan birga ularning segmentlari teng bo'ladi. Ushbu mavzu bo'yicha yana bir teorema mavjud, ammo u kamdan-kam hollarda standart doirasida o'tkaziladi maktab kursi, garchi u ba'zi muammolarni hal qilish uchun juda qulay. Bu shunday eshitiladi. Aylanadan tashqarida joylashgan bir nuqtadan unga tangens va sekant tortiladi. AB, AC va AD segmentlari hosil bo'ladi. A - chiziqlarning kesishishi, B - aloqa nuqtasi, C va D - kesishmalar. Bunday holda, quyidagi tenglik o'rinli bo'ladi: aylanaga tegining uzunligi, kvadrat, AC va AD segmentlarining ko'paytmasiga teng bo'ladi.

Yuqoridagilarning muhim natijasi bor. Doiraning har bir nuqtasi uchun siz tangens qurishingiz mumkin, lekin faqat bitta. Buning isboti juda oddiy: nazariy jihatdan radiusdan unga perpendikulyar tushirsak, hosil bo'lgan uchburchak mavjud bo'lmasligini bilib olamiz. Va bu tangens noyob ekanligini anglatadi.

Bino

Geometriyadagi boshqa vazifalar qatorida, qoida tariqasida, maxsus toifa mavjud

talabalar va talabalar tomonidan ma'qullangan. Ushbu toifadagi vazifalarni hal qilish uchun sizga faqat kompas va o'lchagich kerak. Bu qurilish vazifalari. Tangensni yasash usullari ham mavjud.

Shunday qilib, doira va uning chegaralaridan tashqarida joylashgan nuqta berilgan. Va ular orqali tangens chizish kerak. Buni qanday qilish kerak? Avvalo, aylana markazi O va o'rtasida segmentni chizishingiz kerak berilgan nuqta. Keyin kompas yordamida uni yarmiga bo'ling. Buni amalga oshirish uchun siz radiusni o'rnatishingiz kerak - asl doira markazi va berilgan nuqta orasidagi masofaning yarmidan bir oz ko'proq. Shundan so'ng, siz ikkita kesishgan yoyni qurishingiz kerak. Bundan tashqari, kompasning radiusini o'zgartirish kerak emas va aylananing har bir qismining markazi mos ravishda boshlang'ich nuqta va O bo'ladi. Yoylarning kesishuvlari ulanishi kerak, bu esa segmentni yarmiga bo'ladi. Kompasda shu masofaga teng radiusni o'rnating. Keyinchalik, markazni kesishish nuqtasida bo'lgan holda, yana bir doira chizing. Unda boshlang’ich nuqta ham, O ham yotadi.Bu holda masalada berilgan aylana bilan yana ikkita kesishma bo’ladi. Ular dastlab berilgan nuqta uchun teginish nuqtalari bo'ladi.

Bu tug'ilishga olib kelgan aylanaga teginishlarning qurilishi edi

differensial hisob. Bu mavzudagi birinchi asar mashhur nemis matematigi Leybnits tomonidan nashr etilgan. U kasr va irratsional qiymatlardan qat'i nazar, maksimal, minimal va tangenslarni topish imkoniyatini ta'minladi. Xo'sh, endi u boshqa ko'plab hisob-kitoblar uchun ham qo'llaniladi.

Shuningdek, aylanaga tegish bilan bog'liq geometrik ma'no tangens. Uning nomi shu erdan kelib chiqqan. Lotin tilidan tarjima qilingan tangens "tangens" degan ma'noni anglatadi. Shunday qilib, bu tushuncha nafaqat geometriya va differentsial hisoblar, balki trigonometriya bilan ham bog'liq.

Ikki doira

Tangens har doim ham faqat bitta raqamga ta'sir qilmaydi. Agar bitta aylanaga juda ko'p to'g'ri chiziqlar chizish mumkin bo'lsa, nega aksincha emas? mumkin. Ammo bu holda vazifa juda murakkab, chunki ikkita aylanaga tegish hech qanday nuqtadan o'tolmaydi va bu raqamlarning nisbiy pozitsiyasi juda katta bo'lishi mumkin.

boshqacha.

Turlari va navlari

Qachon gaplashamiz ikki doira va bir yoki bir nechta to'g'ri chiziqlar haqida, agar ular tangentlar ekanligi ma'lum bo'lsa ham, bu raqamlarning barchasi bir-biriga nisbatan qanday joylashganligi darhol aniq bo'lmaydi. Bunga asoslanib, bir nechta navlar mavjud. Shunday qilib, aylanalarda bitta yoki ikkita umumiy nuqta bo'lishi mumkin yoki umuman bo'lmasligi mumkin. Birinchi holda, ular kesishadi, ikkinchisida esa ular tegadi. Va bu erda ikkita nav mavjud. Agar bitta doira, xuddi ikkinchisiga o'rnatilgan bo'lsa, teginish ichki, agar bo'lmasa, tashqi deb ataladi. Siz raqamlarning nisbiy o'rnini nafaqat chizmaga asoslanib, balki ularning radiuslari yig'indisi va markazlari orasidagi masofa haqida ma'lumotga ega bo'lishingiz mumkin. Agar bu ikki miqdor teng bo'lsa, aylanalar tegadi. Agar birinchisi kattaroq bo'lsa, ular kesishadi va agar kamroq bo'lsa, unda umumiy nuqtalar yo'q.

To'g'ri chiziqlar bilan bir xil. Umumiy nuqtalari bo'lmagan har qanday ikkita doira uchun bitta mumkin

to'rtta tangens hosil qiling. Ulardan ikkitasi raqamlar o'rtasida kesishadi, ular ichki deb ataladi. Yana bir nechtasi tashqi.

Agar biz bitta umumiy nuqtaga ega bo'lgan doiralar haqida gapiradigan bo'lsak, unda vazifa juda soddalashtirilgan. Gap shundaki, bu holda har qanday o'zaro kelishuv uchun ular faqat bitta tangensga ega bo'ladi. Va u ularning kesishgan nuqtasidan o'tadi. Shunday qilib, qurilish qiyinchilik tug'dirmaydi.

Agar raqamlar ikkita kesishgan nuqtaga ega bo'lsa, u holda ular uchun aylanaga teguvchi to'g'ri chiziqni qurish mumkin, ikkalasi ham, ikkinchisi, lekin faqat tashqi. Ushbu muammoni hal qilish quyida muhokama qilinadigan narsaga o'xshaydi.

Muammoni hal qilish

Ikki doiraning ichki va tashqi tangenslari qurilishda unchalik oddiy emas, garchi bu muammoni hal qilish mumkin. Gap shundaki, buning uchun yordamchi raqam ishlatiladi, shuning uchun bu usulni o'zingiz o'ylab ko'ring

ancha muammoli. Shunday qilib, turli radiusli va markazlari O1 va O2 bo'lgan ikkita doira berilgan. Ular uchun siz ikki juft tangens qurishingiz kerak.

Avvalo, katta doiraning markaziga yaqin joyda siz yordamchini qurishingiz kerak. Bunday holda, ikkita dastlabki raqamning radiuslari orasidagi farq kompasda o'rnatilishi kerak. Yordamchi doiraga teglar kichikroq doira markazidan qurilgan. Shundan so'ng, O1 va O2 dan, bu chiziqlarga perpendikulyarlar dastlabki raqamlar bilan kesishmaguncha o'tkaziladi. Tangensning asosiy xususiyatidan kelib chiqqan holda, ikkala doiradagi kerakli nuqtalar topiladi. Muammo, hech bo'lmaganda, uning birinchi qismi hal qilindi.

Ichki tangenslarni qurish uchun amalda hal qilish kerak

shunga o'xshash vazifa. Shunga qaramay, sizga yordamchi shakl kerak bo'ladi, lekin bu safar uning radiusi bo'ladi summasiga teng boshlang'ich. Unga berilgan aylanalardan birining markazidan tangentlar quriladi. Yechimning keyingi yo'nalishini oldingi misoldan tushunish mumkin.

Aylanaga yoki hatto ikkita yoki undan ko'piga tegish unchalik qiyin ish emas. Albatta, matematiklar uzoq vaqtdan beri bunday muammolarni qo'lda hal qilishni to'xtatdilar va hisob-kitoblarni maxsus dasturlarga ishonadilar. Ammo endi buni o'zingiz qilishingiz shart emas deb o'ylamang, chunki kompyuter uchun vazifani to'g'ri shakllantirish uchun siz ko'p narsani qilishingiz va tushunishingiz kerak. Afsuski, bilimlarni nazorat qilishning test shakliga yakuniy o'tishdan so'ng, qurilish vazifalari talabalar uchun tobora ko'proq qiyinchiliklarga olib keladi, degan qo'rquvlar mavjud.

Ko'proq doiralar uchun umumiy tangenslarni topishga kelsak, bu har doim ham mumkin emas, hatto ular bir tekislikda yotsa ham. Ammo ba'zi hollarda bunday chiziqni topish mumkin.

Haqiqiy hayot misollari

Ikki doiraning umumiy tangensi amalda tez-tez uchrab turadi, garchi bu har doim ham sezilmaydi. Konveyerlar, blokli tizimlar, kasnak uzatish kamarlari, tikuv mashinasida ip tarangligi va hatto velosiped zanjiri - bularning barchasi hayotdan misollar. Shuning uchun geometrik muammolar faqat nazariy jihatdan qoladi deb o'ylamang: muhandislik, fizika, qurilish va boshqa ko'plab sohalarda ular amaliy qo'llanilishini topadilar.

\[(\Katta(\matn(Markaziy va Yozilgan burchaklar)))\]

Ta'riflar

Markaziy burchak - bu uchi aylananing markazida joylashgan burchak.

Chizilgan burchak cho'qqisi aylana ustida joylashgan burchakdir.

Doira yoyining daraja o'lchovi unga tayanadigan markaziy burchakning daraja o'lchovidir.

Teorema

Chizilgan burchakning o'lchami u kesib o'tgan yoyning yarmiga teng.

Isbot

Biz dalilni ikki bosqichda bajaramiz: birinchidan, chizilgan burchakning bir tomoni diametrga ega bo'lgan holat uchun bayonotning to'g'riligini isbotlaymiz. \(B\) nuqta chizilgan burchakning tepasi \(ABC\) va \(BC\) aylananing diametri bo'lsin:

Uchburchak \(AOB\) teng yon tomonli, \(AO = OB\) , \(\AOC burchagi) tashqi, keyin \(\ AOC burchagi = \ OAB burchagi + \ ABO burchagi = 2 \ ABC burchagi\), qayerda \(\burchak ABC = 0,5\cdot\burchak AOC = 0,5\cdot\buildrel\smile\over(AC)\).

Endi ixtiyoriy chizilgan burchakni ko'rib chiqing \(ABC\) . Chizilgan burchakning tepasidan aylana diametrini \(BD\) chizing. Ikki holat mumkin:

1) diametr burchakni ikkita burchakka kesib tashladi \(\angle ABD, \angle CBD\) (ularning har biri uchun teorema yuqorida isbotlanganidek to'g'ri, shuning uchun bu ularning yig'indisi bo'lgan dastlabki burchak uchun ham to'g'ri. ikkita va shuning uchun ular tayangan yoylar yig'indisining yarmiga teng, ya'ni u tayangan yoyning yarmiga teng). Guruch. bitta.

2) diametr burchakni ikki burchakka kesib tashlamadi, keyin bizda yana ikkita yangi yozilgan burchak bor \(\angle ABD, \angle CBD\) , ularning tomoni diametrini o'z ichiga oladi, shuning uchun ular uchun teorema to'g'ri, keyin u asl burchak uchun ham to'g'ri keladi (bu ikki burchakning farqiga teng, ya'ni ular tayangan yoylarning yarmi farqiga teng, ya'ni u joylashgan yoyning yarmiga teng. dam oladi). Guruch. 2.

Oqibatlari

1. Xuddi shu yoyga asoslangan chizilgan burchaklar teng.

2. Yarim doira asosida chizilgan burchak to'g'ri burchakdir.

3. Chizilgan burchak bir xil yoyga asoslangan markaziy burchakning yarmiga teng.

\[(\Katta(\matn(aylanaga teg)\]

Ta'riflar

Uchta turi mavjud nisbiy pozitsiya to'g'ri chiziq va aylana:

1) \(a\) chiziq aylanani ikki nuqtada kesib o'tadi. Bunday chiziq sekant deb ataladi. Bunda aylana markazidan to'g'ri chiziqgacha bo'lgan masofa \(d\) aylana radiusidan \(R\) kichik bo'ladi (3-rasm).

2) \(b\) chiziq aylanani bir nuqtada kesib o'tadi. Bunday to'g'ri chiziq tangens, ularning umumiy nuqtasi \(B\) esa teginish nuqtasi deyiladi. Bu holda \(d=R\) (4-rasm).

Teorema

1. Aylanaga tegish nuqtaga chizilgan radiusga perpendikulyar.

2. Agar aylana radiusining uchidan o`tuvchi to`g`ri chiziq shu radiusga perpendikulyar bo`lsa, u aylanaga tangens bo`ladi.

Natija

Bir nuqtadan aylanaga chizilgan tangenslarning segmentlari teng.

Isbot

\(K\) nuqtadan aylanaga ikkita teg \(KA\) va \(KB\) chizing:

Shunday qilib, \(OA\perp KA, OB\perp KB\) radiuslar sifatida. To'g'ri burchakli uchburchaklar \(\uchburchak KAO\) va \(\uchburchak KBO\) oyoq va gipotenuzada teng, shuning uchun \(KA=KB\) .

Natija

Aylananing markazi \(O\) bir xil nuqtadan chizilgan ikkita tangens tomonidan hosil qilingan \(AKB\) burchakning bissektrisasida yotadi \(K\) .

\[(\Large(\text(Burchaklar bilan bog'liq teoremalar)))\]

Sekantlar orasidagi burchak haqidagi teorema

Xuddi shu nuqtadan chizilgan ikkita sekant orasidagi burchak ular tomonidan kesilgan katta va kichik yoylarning daraja o'lchovlarining yarim farqiga teng.

Isbot

Rasmda ko'rsatilganidek, ikkita sekant chizilgan nuqta \(M\) bo'lsin:

Keling, buni ko'rsataylik \(\angle DMB = \dfrac(1)(2)(\buildrel\smile\over(BD) - \buildrel\smile\over(CA))\).

\(\DAB burchagi\) uchburchakning tashqi burchagi \(MAD\) , keyin \(\DAB burchagi = \DMB burchagi + \MDA burchagi\), qayerda \(\DMB burchagi = \DAB burchagi - \MDA burchagi\), lekin burchaklar \(\DAB burchagi\) va \(\MDA burchagi\) chiziladi, keyin \(\ burchak DMB = \ burchak DAB - \ burchak MDA = \ frac(1)(2)\buildrel\smile\over(BD) - \frac(1)(2)\buildrel\smile\over(CA) = \frac(1)(2)(\buildrel\smile\over(BD) - \buildrel\smile\over(CA))\), bu isbotlanishi kerak edi.

Kesishuvchi akkordlar orasidagi burchak teoremasi

Ikki kesishuvchi akkord orasidagi burchak ular kesgan yoylarning daraja o'lchovlari yig'indisining yarmiga teng: \[\angle CMD=\dfrac12\chap(\buildrel\smile\over(AB)+\buildrel\smile\over(CD)\o'ng)\]

Isbot

\(\BMA burchagi = \burchak CMD\) vertikal sifatida.

\(AMD\) uchburchakdan: \(\ burchak AMD = 180^\circ - \burchak BDA - \burchak CAD = 180^\circ - \frac12\buildrel\smile\over(AB) - \frac12\buildrel\smile\over(CD)\).

Lekin \(\ AMD burchagi = 180^\circ - \CMD burchagi\), shuning uchun biz shunday xulosaga keldik \[\angle CMD = \frac12\cdot\buildrel\smile\over(AB) + \frac12\cdot\buildrel\smile\over(CD) = \frac12(\buildrel\smile\over(AB) + \buildrel\ tabassum\over(CD)).\]

Akkord va tangens orasidagi burchak haqidagi teorema

Tangens va akkordning teginish nuqtasidan o'tadigan burchagi akkord tomonidan ayiriladigan yoyning daraja o'lchovining yarmiga teng.

Isbot

\(a\) chizig'i \(A\) nuqtadagi aylanaga tegib tursin, \(AB\) bu aylana akkordi, \(O\) uning markazi bo'lsin. \(OB\) ni o'z ichiga olgan chiziq \(a\) nuqtada \(M\) kesishsin. Keling, buni isbotlaylik \(\burchak BAM = \frac12\cdot \buildrel\tabassum(AB)\).

\(\burchak OAB = \alfa\) ni belgilang. \(OA\) va \(OB\) radiuslar ekan, u holda \(OA = OB\) va \(\OBA burchagi = \OAB burchagi = \alfa\). Shunday qilib, \(\buildrel\smile\over(AB) = \burchak AOB = 180^\circ - 2\alpha = 2(90^\circ - \alpha)\).

\(OA\) teginish nuqtasiga chizilgan radius bo'lgani uchun, u holda \(OA\perp a\) , ya'ni \(\burchak OAM = 90^\circ\) , shuning uchun, \(\burchak BAM = 90^\circ - \burchak OAB = 90^\circ - \alpha = \frac12\cdot\buildrel\smile\over(AB)\).

Teng akkordlar bilan qisqargan yoylar haqidagi teorema

Teng akkordlar subtend teng yoylar, kichikroq yarim doiralar.

Va aksincha: teng yoylar teng akkordlar bilan qisqaradi.

Isbot

1) \(AB=CD\) bo'lsin. Keling, kamonning kichikroq yarim doiralari ekanligini isbotlaylik.

Uch tomondan, shuning uchun \(\ burchak AOB = \ burchak COD \) . Ammo beri \(\ AOB burchagi, \ COD burchagi \) - markaziy burchaklar yoylarga asoslanadi \(\buildrel\smile\over(AB), \buildrel\smile\over(CD)\) mos ravishda, keyin \(\buildrel\smile\over(AB)=\buildrel\smile\over(CD)\).

2) Agar \(\buildrel\smile\over(AB)=\buildrel\smile\over(CD)\), keyin \(\uchburchak AOB=\uchburchak COD\) ikki tomon bo'ylab \(AO=BO=CO=DO\) va ular orasidagi burchak \(\burchak AOB=\burchak COD\) . Shuning uchun, \(AB=CD\) .

Teorema

Agar radius akkordni ikkiga bo'lsa, u holda u unga perpendikulyar bo'ladi.

Buning aksi ham to'g'ri: agar radius akkordga perpendikulyar bo'lsa, u holda kesishish nuqtasi uni ikkiga bo'ladi.

Isbot

1) \(AN=NB\) bo'lsin. \(OQ\perp AB\) ekanligini isbotlaylik.

\(\uchburchak AOB\) ni ko'rib chiqing: bu teng yon tomonli, chunki \(OA=OB\) – aylana radiusi. Chunki \(ON\) - bazaga chizilgan mediana, keyin u ham balandlikdir, shuning uchun \(ON\perp AB\) .

2) \(OQ\perp AB\) bo'lsin. \(AN=NB\) ekanligini isbotlaylik.

Xuddi shunday, \(\uchburchak AOB\) teng yon tomonlar, \(ON\) - balandlik, shuning uchun \(ON\) - mediana. Shuning uchun, \(AN=NB\) .

\[(\Large(\text(Segmentlar uzunligi bilan bog'liq teoremalar)))\]

Akkordlar segmentlari hosilasi haqidagi teorema

Agar aylananing ikkita akkordi kesishsa, u holda bir akkord segmentlarining ko'paytmasi ikkinchi akkord segmentlarining ko'paytmasiga teng bo'ladi.

Isbot

\(AB\) va \(CD\) akkordlari \(E\) nuqtada kesishsin.

\(ADE\) va \(CBE\) uchburchaklarini ko'rib chiqing. Bu uchburchaklarda \(1\) va \(2\) burchaklar teng, chunki ular chizilgan va bir xil yoyga tayanadi \(BD\) , va burchaklar \(3\) va \(4\) vertikalga teng. \(ADE\) va \(CBE\) uchburchaklari o'xshash (birinchi uchburchak o'xshashlik mezoniga ko'ra).

Keyin \(\dfrac(AE)(EC) = \dfrac(DE)(BE)\), qaerdan \(AE\cdot BE = CE\cdot DE\) .

Tangens va sekant teoremasi

Tangens segmentning kvadrati sekant va uning tashqi qismining mahsulotiga teng.

Isbot

Tangens \(M\) nuqtadan o'tib, \(A\) nuqtadagi aylanaga teginsin. Sekant \(M\) nuqtadan o'tib, aylanani \(B\) va \(C\) nuqtalarda kesib o'tsin, shunday qilib \(MB) bo'lsin.< MC\) . Покажем, что \(MB\cdot MC = MA^2\) .

\(MBA\) va \(MCA\) uchburchaklarini ko'rib chiqing: \(\ burchak M\) umumiy, \(\BCA burchagi = 0,5\cdot\buildrel\tabassum(AB)\). Tangens va sekant orasidagi burchak teoremasiga ko'ra, \(\BAM burchagi = 0,5\cdot\buildrel\tabassum(AB) = \BCA burchagi\). Shunday qilib, \(MBA\) va \(MCA\) uchburchaklar ikki burchakda o'xshashdir.

\(MBA\) va \(MCA\) uchburchaklarining o'xshashligidan bizda: \(\dfrac(MB)(MA) = \dfrac(MA)(MC)\), bu \(MB\cdot MC = MA^2\) ga teng.

Natija

\(O\) nuqtadan va uning tashqi qismidan chizilgan sekantning mahsuloti \(O\) nuqtadan chizilgan sekantni tanlashga bog'liq emas.

ball $x\_0\backslash in\; \backslash mathbb(R)$, va unda farqlanadi: $f\; \backslash in\; \backslash mathcal(D)(x\_0)$. Funksiya grafigiga teginish $f$ nuqtada $x\_0$ tenglama bilan berilgan chiziqli funktsiyaning grafigi deyiladi $y\; =\; f(x\_0)\; +\; f"(x\_0)(x-x\_0),\backslash to\text{'}rtlik\; x\backslash in\; \backslash mathbb(R)$.

Agar funktsiya $f$ nuqtada bor $x\_0$ cheksiz hosila $f"(x\_0)\; =\; \backslash pm\backslash infty,$ u holda bu nuqtadagi tangens chiziq tenglama bilan berilgan vertikal chiziqdir $x\; =\; x\_0.$

Izoh

To'g'ridan-to'g'ri ta'rifdan kelib chiqadiki, teginish chizig'ining grafigi nuqtadan o'tadi $(x\_0,f(x\_0))$. Burchak $\backslash alfa$ egri chiziqqa tangens va x o'qi orasidagi tenglamani qanoatlantiradi

$\backslash operatorname(tg)\backslash ,\backslash alpha\; =\; f"(x\_0)=k,$

qayerda $\backslash operator\; nomi\; (tg)$ tangensni bildiradi va $\backslash operator\; nomi\; (k)$- tangens qiyalik koeffitsienti. Bir nuqtada hosila $x\_0$ ga teng burchak koeffitsienti funksiya grafigiga teginish $y\; =\; f(x)$ ayni paytda.

Tangens sekantning cheklovchi pozitsiyasi sifatida

Mayli $f\backslash kolon\; U(x\_0)\; \backslash to\; \backslash R$ va $x\_1\backslash in\; U(x\_0).$ Keyin nuqtalardan o'tadigan to'g'ri chiziq $(x\_0,f(x\_0))$ va $(x\_1,f(x\_1))$ tenglama bilan berilgan

$y\; =\; f(x\_0)\; +\; \backslash frac(f(x\_1)\; -\; f(x\_0))(x\_1\; -\; x\_0)(x-x\_0).$

Bu chiziq nuqta orqali o'tadi $(x\_0,f(x\_0))$ har kim uchun $x\_1\backslash in\; U(x\_0),$ va uning moyillik burchagi $\backslash alpha(x\_1)$ tenglamani qanoatlantiradi

$\backslash operator\; nomi(tg)\backslash ,\backslash alfa(x\_1)\; =\; \backslash frac(f(x\_1)\; -\; f(x\_0))(x\_1\; -\; x\_0).$

Funksiyaning hosilasi mavjudligi tufayli $f$ nuqtada $x\_0,$ da chegaraga o'tish $x\_1\backslash x\_0,$ chegarasi borligini tushunamiz

$\backslash lim\backslash limits\_(x\_1\; \backslash to\; x\_0)\; \backslash operatorname(tg)\backslash ,\backslash alpha(x\_1)\; =\; f"(x\_0),$

va yoy tangensining uzluksizligi va cheklovchi burchak tufayli

$\backslash alpha\; =\; \backslash operatorname(arctg)\backslash ,f"(x\_0).$

Nuqtadan o'tuvchi chiziq $(x\_0,f(x\_0))$ va qoniqtiradigan cheklov burchagiga ega bo'lish $\backslash operatorname(tg)\backslash ,\backslash alpha\; =\; f"(x\_0),$ tangens tenglama bilan berilgan:

$y\; \backslash u003d\; f\; (x\_0)\; +\; f\; "(x\_0)\; (x-x\_0).$

Aylanaga teginish

Aylana bilan bitta umumiy nuqtasi bo'lgan va u bilan bir tekislikda joylashgan to'g'ri chiziq aylanaga teguvchi deyiladi.

Xususiyatlari

1. Aylanaga tegish nuqtaga chizilgan radiusga perpendikulyar.
2. Bir nuqtadan chizilgan aylanaga teguvchi segmentlar teng bo'lib, shu nuqtadan o'tuvchi chiziq va aylananing markazi bilan teng burchaklar hosil qiladi.
3. Tangensning aylana markazidan chizilgan nur bilan kesishgan nuqtasi va kesishish nuqtasi o'rtasida olingan, birlik radiusi bo'lgan doiraga tortilgan tangens segmentining uzunligi bu nur orasidagi burchakning tangensidir. va aylananing markazidan teginish nuqtasiga yo'nalish. Latdan "tangens". tangenslar- "tangens".

Variatsiyalar va umumlashtirishlar

Bir tomonlama yarim tangenslar

• Agar to'g'ri hosila mavjud bo'lsa keyin o'ng yarim tangent funksiya grafigiga $f$ nuqtada $x\_0$ nur deb ataladi

$y\; =\; f(x\_0)\; +\; f"\_+(x\_0)(x\; -\; x\_0),\backslash quad\; x\; \backslash geqslant\; x\_0.$

• Agar chap lotin mavjud bo'lsa keyin chap yarim tangent funksiya grafigiga $f$ nuqtada $x\_0$ nur deb ataladi

$y\; =\; f(x\_0)\; +\; f"\_-(x\_0)(x\; -\; x\_0),\backslash quad\; x\; \backslash leqslant\; x\_0.$

• Agar cheksiz to'g'ri hosila mavjud bo'lsa $f"\_+(x\_0)\; =\; +\backslash infty\backslash ;\; (-\backslash infty),$ $f$ nuqtada $x\_0$ nur deb ataladi

$x\; =\; x\_0,\; \backslash ;\; y\; \backslash geqslant\; f(x\_0)\backslash ;\; (y\backslash leqslant\; f(x\_0)).$

• Agar cheksiz chap hosila mavjud bo'lsa $f"\_-(x\_0)\; =\; +\backslash infty\backslash ;\; (-\backslash infty),$ keyin funksiya grafigiga o‘ng yarim tangens $f$ nuqtada $x\_0$ nur deb ataladi

$x\; =\; x\_0,\; \backslash ;\; y\; \backslash leqslant\; f(x\_0)\backslash ;\; (y\backslash geqslant\; f(x\_0)).$

Shuningdek qarang

• Oddiy, binormal

"Tangent Line" maqolasiga sharh yozing

Adabiyot

• Toponogov V.A. Egri va sirtlarning differensial geometriyasi. - Fizmatkniga, 2012. - ISBN 9785891552135.
• // Brokxauz va Efronning entsiklopedik lug'ati: 86 jildda (82 jild va 4 ta qo'shimcha). - Sankt-Peterburg. , 1890-1907.

Tangens chiziqni tavsiflovchi parcha

- Joylarda! - deb baqirdi yosh ofitser Per atrofida to'plangan askarlarga. Bu yosh ofitser, shekilli, birinchi yoki ikkinchi marta o'z lavozimini bajargan va shuning uchun ham askarlarga, ham qo'mondonga alohida aniqlik va bir xillik bilan munosabatda bo'lgan.
To'p va miltiqlarning tartibsiz o'q otilishi butun maydonda, ayniqsa Bagrationning chaqnashlari bo'lgan chap tomonda kuchaydi, lekin Per turgan joydan o'qlarning tutuni tufayli hech narsani ko'rish deyarli mumkin emas edi. Bundan tashqari, batareykada bo'lgan oila (boshqalardan ajralgan) odamlar doirasi qanday qilib Perning barcha e'tiborini o'ziga tortdi. Uning jang maydonidagi ko‘rinish va tovushlar ta’sirida paydo bo‘lgan ilk ongsiz quvonchli hayajon, ayniqsa, o‘tloqda yotgan bu yolg‘iz askarni ko‘rgandan keyin boshqa bir tuyg‘u bilan almashtirildi. Hozir ariq yonbag‘rida o‘tirib, atrofidagi chehralarni kuzatdi.
Soat o'nga kelib, yigirma kishi allaqachon akkumulyatordan olib ketilgan edi; ikkita qurol sindirildi, ko'proq snaryadlar batareyaga tegdi va uchib ketdi, g'ichirlab va hushtak chalib, uzoq masofaga otiladigan o'qlar. Ammo batareyada bo'lgan odamlar buni sezmaganga o'xshaydi; har tomondan quvnoq suhbat, hazillar eshitildi.
- Chinenko! - yaqinlashib kelayotgan, hushtak chalayotgan granataga qarab qichqirdi askar. - Bu yerda emas! Piyodalarga! – granata uchib o‘tib, muqova qatoriga tegib ketganini payqab kulib qo‘shib qo‘ydi yana biri.
- Nima, do'stim? - deb kuldi boshqa bir askar uchib yurgan to'p ostida cho'kkalab o'tirgan dehqonga.
Bir necha askarlar qal'aga yig'ilib, oldinda nima bo'layotganini ko'rishdi.
"Va ular zanjirni olib tashlashdi, ko'rdingizmi, ular qaytib ketishdi", dedilar milni ko'rsatib.
"Ishlaringga qarang", deb baqirdi keksa unter-ofitser ularga. - Ular qaytib ketishdi, demak, ish bor. - Va unter-ofitser askarlardan birini yelkasidan ushlab, tizzasi bilan itarib yubordi. Kulgi eshitildi.
- Beshinchi qurolga o'ting! — qichqirdi bir tomondan.
"Birgalikda, do'stona, burlatskiyda", qurolni almashtirganlarning quvnoq qichqirig'i eshitildi.
"Ha, men xo'jayinimizning shlyapasini yiqitib yubordim", dedi qizil yuzli hazil tishlarini ko'rsatib, Perga kulib. "Oh, qo'pol", - deya tanbeh bilan qo'shib qo'ydi u odamning g'ildiragi va oyog'iga tushgan to'pga.
- Xo'sh, tulkilar! yana biri yaradorlar uchun akkumulyatorga kirib kelayotgan gurkirab turgan militsionerlarga kuldi.
- Al mazali bo'tqa emasmi? Oh, qarg'alar, chayqalishdi! – deb baqirdi ular oyog‘i kesilgan askar oldida ikkilanib turgan militsiyaga.
- Shunaqa narsa, kichkintoy, - taqlid qilishdi dehqonlar. - Ular ehtirosni yoqtirmaydilar.
Per har bir zarbadan keyin, har bir mag'lubiyatdan keyin umumiy jonlanish tobora kuchayib borayotganini payqadi.
Ko'tarilayotgan momaqaldiroq buluti tufayli bu odamlarning yuzlarida (go'yo nima bo'layotganiga qarshi bo'lgandek) tobora yorqinroq va yorqinroq chaqmoq chaqnadi.
Per jang maydonida oldinga qaramadi va u erda nima sodir bo'layotganini bilishdan manfaatdor emas edi: u xuddi shu tarzda (u his qilgan) qalbida alangalanib borayotgan bu, tobora ko'proq yonayotgan olov haqida o'ylash bilan shug'ullanardi.
Soat o'nda butalarda va Kamenka daryosi bo'ylab batareyadan oldinda bo'lgan piyoda askarlari orqaga chekinishdi. Batareyadan ular qanday qilib yaradorlarni qurollarida ko'tarib, uning yonidan yugurib o'tganliklari ko'rinib turardi. Ba'zi bir general o'z mulozimlari bilan tepalikka kirishdi va polkovnik bilan gaplashgandan so'ng, Perga g'azab bilan qarab, yana pastga tushib, batareyaning orqasida turgan piyoda askarlariga o'q otishlariga kamroq ta'sir qilish uchun yotishni buyurdi. Shundan so'ng, piyodalar safida, batareyaning o'ng tomonida, baraban ovozi, buyruq qichqirig'i eshitildi va batareyadan piyoda askarlari saflari qanday oldinga siljishi aniq edi.
Per milga qaradi. Ayniqsa, bir yuz uning e'tiborini tortdi. Bu bir ofitser edi, o‘zi oppoq yosh chehrasi bilan orqaga qarab yurib, tushirilgan qilichini ko‘tarib, atrofga beozor qarab turardi.
Piyoda askarlarining saflari tutun ichida g'oyib bo'ldi, ularning uzoq davom etgan faryodlari va tez-tez o'q otishlari eshitildi. Bir necha daqiqadan so'ng u erdan yaradorlar va zambillar olomon o'tib ketishdi. Chig'anoqlar batareyaga tez-tez ura boshladi. Bir necha kishi tozalanmagan holda yotardi. To'plar yonida askarlar yanada gavjum va jonliroq harakat qilishdi. Endi hech kim Perga e'tibor bermadi. Bir-ikki marta yo'lda qolgani uchun jahl bilan baqirishdi. Katta ofitser yuzini chimirib, katta va tez qadamlar bilan bir quroldan ikkinchisiga o‘tdi. Yana qizarib ketgan yosh ofitser askarlarga yanada tirishqoqlik bilan buyruq berdi. Askarlar o'q uzdilar, o'girildilar, yuk ortdilar va o'z vazifalarini shiddatli tirishqoqlik bilan bajarishdi. Ular yo'l bo'ylab go'yo buloqlarda sakradilar.

Ko'pincha abituriyentlar, bitiruvchilar va matematika olimpiadalari ishtirokchilari uchun qiyinchilik tug'diradigan geometrik muammolar. Agar siz 2010 yildagi USE statistik ma'lumotlariga qarasangiz, ishtirokchilarning taxminan 12 foizi C4 geometrik topshirig'ini boshlaganini va faqat 0,2 foiz ishtirokchilar to'liq ball olganini va umuman olganda, vazifa shunday bo'lib chiqdi. taklif qilinganlarning eng qiyini.

Shubhasiz, biz maktab o'quvchilariga ularni hal qilish usuli bo'yicha chiroyli yoki kutilmagan vazifalarni qanchalik tez taklif qilsak, ular shunchalik jiddiy va uzoq vaqt davomida ularni qiziqtiradi va o'ziga jalb qiladi. Ammo, geometriyani tizimli o'rganish endi boshlanayotgan 7-sinf darajasida qiziqarli va qiyin masalalarni topish qanchalik qiyin. Matematikaga qiziquvchi, uchburchaklar tenglik belgilarini, qo‘shni va qo‘shnilarning xossalarini biladigan talabaga nimani taklif qilish mumkin. vertikal burchaklar? Biroq, aylana bilan bitta umumiy nuqtaga ega bo'lgan to'g'ri chiziq sifatida aylanaga teginish tushunchasini kiritish mumkin; aloqa nuqtasiga chizilgan radius tangensga perpendikulyar ekanligini qabul qiling. Albatta, noldan to'rttagacha chizilishi mumkin bo'lgan ikkita doira va ularga umumiy teginishlarning joylashishining barcha mumkin bo'lgan holatlarini ko'rib chiqishga arziydi. Quyida taklif qilingan teoremalarni isbotlash orqali yettinchi sinf o‘quvchilari uchun vazifalar majmuasini sezilarli darajada kengaytirish mumkin. Shu bilan birga, yo'lda muhim yoki oddiygina qiziqarli va qiziqarli faktlarni isbotlang. Bundan tashqari, ko'plab bayonotlar maktab darsligiga kiritilmaganligi sababli, ularni sinfda ham, bitiruvchilar bilan ham planimetriyani takrorlashda muhokama qilish mumkin. Bu faktlar o‘tgan o‘quv yilida dolzarb bo‘lib chiqdi. Ko'p diagnostika o'zi ishlaganligi sababli Ishdan foydalanish hal qilish uchun quyida isbotlangan tangens segmentining xususiyatidan foydalanish zarur bo'lgan muammo mavjud edi.

T 1 dan chizilgan aylanaga teguvchi segmentlar
bir nuqta teng (1-rasm)

Bu teorema bilan tugadi, siz birinchi navbatda ettinchi sinf o'quvchilarini tanishtirishingiz mumkin.
Isbotlash jarayonida biz to'g'ri burchakli uchburchaklarning tenglik belgisidan foydalandik, aylananing markazi burchak bissektrisasida yotadi, degan xulosaga keldik. BCA.
O'tishda biz burchakning bissektrisasi uning tomonlaridan teng masofada joylashgan burchakning ichki mintaqasi nuqtalarining joylashishini esladik. Arzimas muammoni hal qilish bu faktlarga asoslanadi, hatto geometriyani o'rganishda yangi boshlanuvchilar ham foydalanishlari mumkin.

1. Burchaklar bissektrisalari LEKIN, DA va FROM qavariq to'rtburchak A B C D bir nuqtada kesishadi. Nurlar AB va DC bir nuqtada kesishadi E, va nurlar
quyosh va AD nuqtada F. Qavariq bo'lmagan to'rtburchak ekanligini isbotlang AECF qarama-qarshi tomonlarning uzunliklari yig'indisi teng.

Yechim (2-rasm). Mayli O bu bissektrisalarning kesishish nuqtasidir. Keyin O to'rtburchakning barcha tomondan teng masofada joylashgan A B C D, ya'ni
to'rtburchak ichiga chizilgan aylana markazidir. Teorema bo'yicha 1 tenglik to'g'ri: AR = AK, ER = EP, FT = FK. Biz chap va o'ng qismlarni termin bo'yicha qo'shamiz, biz to'g'ri tenglikni olamiz:

(AR + ER) + FT = (AK +FK) + EP; AE + (FK + KT) = AF + (EI + Kompyuter). Chunki ST = RS, keyin AE + FK = AF + EI, bu isbotlanishi kerak edi.

Keling, g'ayrioddiy formulali masalani ko'rib chiqaylik, uni hal qilish uchun teoremani bilish kifoya. 1 .

2. bormi n-gon, uning tomonlari ketma-ket 1, 2, 3, ..., n qaysi doiraga yozish mumkin?

Yechim. Shunday deylik n-gon mavjud. LEKIN 1 LEKIN 2 =1, …, LEKIN n-1 LEKIN n= n– 1,LEKIN n LEKIN 1 = n. B 1 , …, B n mos keladigan teginish nuqtalari. Keyin 1-teorema bo'yicha A 1 B 1 = A 1 B n< 1, n – 1 < A n B n< n. Tangens segmentlar xususiyatiga ko'ra A n B n= A n B n-1. Lekin, A n B n-1< A n-1 LEKIN n= n- 1. Qarama-qarshilik. Shuning uchun, yo'q n-gon muammoning shartini qanoatlantiradi.

T 2 Taxminan chegaralangan to'rtburchakning qarama-qarshi tomonlari yig'indisi
doiralar teng (3-rasm)

Maktab o'quvchilari, qoida tariqasida, tasvirlangan to'rtburchakning bu xususiyatini osongina isbotlaydilar. Teoremani isbotlagandan keyin 1 , bu o'quv mashg'ulotidir. Bu faktni umumlashtirish mumkin - bitta orqali olingan chegaralangan juft burchakning tomonlari yig'indisi tengdir. Masalan, olti burchakli uchun ABCDEF o'ngda: AB + CD + EF = BC + DE + FA.

3. Moskva davlat universiteti. To'rtburchakda A B C D ikkita doira mavjud: birinchi doira tomonlarga tegadi AB, BC va AD, va ikkinchi - tomonlar BC, CD va AD. Yonlarda Miloddan avvalgi va AD ball olinadi E va F mos ravishda segment EF ikkala aylanaga va to'rtburchakning perimetriga tegadi ABEF ustida 2p to'rtburchakning perimetridan kattaroqdir ECDF. Toping AB, agar cd=a.

Yechim (1-rasm). ABEF va ECDF to'rtburchaklar chizilgan bo'lgani uchun 2-teorema bo'yicha R ABEF = 2(AB + EF) va R ECDF = 2(CD + EF), shart bo'yicha

P ABEF - P ECDF = 2 (AB + EF) - 2 (CD + EF) = 2p. AB-CD=p. AB = a + p.

Asosiy vazifa 1. To'g'ridan-to'g'ri AB va AC nuqtalardagi tangenslardir DA va FROM markazi O nuqtada joylashgan aylanaga. Ixtiyoriy nuqta orqali X yoylar quyosh
segmentlarni kesib o'tuvchi aylanaga teginish chiziladi AB va AC nuqtalarda M va R mos ravishda. Uchburchakning perimetri ekanligini isbotlang USAID va burchak MPA X nuqtasini tanlashga bog'liq emas.

Yechim (5-rasm). 1-teorema bo'yicha MB = MX va PC = RX. Shunday qilib, uchburchakning perimetri USAID segmentlar yig'indisiga teng AB va AS. Yoki uchburchak uchun aylanaga chizilgan qo'sh tangens USAID . MOP burchagi qiymati burchak qiymatining yarmi bilan o'lchanadi WOS, bu nuqta tanlashga bog'liq emas X.

Malumot vazifasi 2a. Yonlari bo'lgan uchburchakda a, b va c yon tomonga tegib chizilgan doira AB va nuqta TO. Segment uzunligini toping AK.

Yechim (6-rasm). Birinchi usul (algebraik). Mayli AK \u003d AN \u003d x, keyin BK = BM = c - x, CM = CN = a - c + x. AC = AN + NC, keyin uchun tenglama yozishimiz mumkin x: b \u003d x + (a - c + x). Qayerda .

Ikkinchi usul (geometrik). Keling, diagrammaga murojaat qilaylik. Bir vaqtning o'zida birma-bir olingan teng tangensli segmentlar yarim perimetrga qo'shiladi
uchburchak. Qizil va yashil bir tomonni tashkil qiladi a. Keyin bizni qiziqtiradigan segment x = p - a. Albatta, olingan natijalar izchil.

Yordamchi vazifa 2b. Tangens segmentining uzunligini toping ak, agar Kimga aylananing yon tomoni bilan teginish nuqtasidir AB.Eritmasi (7-rasm). AK = AM = x, keyin BK = BN = c - x, CM = CN. Bizda tenglama bor b + x = a + (c - x). Qayerda . Z E'tibor bering, asosiy muammodan 1 shunga amal qiladi CM = p ∆ ABC. b+x=p; x \u003d p - b. Olingan formulalar quyidagi vazifalarda qo'llaniladi.

4. Oyoqlari bo‘lgan to‘g‘ri burchakli uchburchak ichiga chizilgan aylananing radiusini toping a, b va gipotenuza Bilan. Yechim (8-rasm). T Qanday OMCN- kvadrat, keyin chizilgan doira radiusi CN tangens segmentiga teng. .

5. Uchburchak tomoni bilan chizilgan va aylana aylanalarning teginish nuqtalari shu tomonning o'rta nuqtasiga nisbatan simmetrik ekanligini isbotlang.

Yechim (9-rasm). E'tibor bering, AK uchburchak uchun aylana tangensining segmentidir ABC. Formula bo'yicha (2) . VM- chiziq segmenti uchburchak uchun tangens doirasi ABC. Formula bo'yicha (1) . AK = VM, va bu nuqtalarni anglatadi K va M yon tomonning o'rtasidan teng masofada joylashgan AB, Q.E.D.

6. Ikkita aylanaga ikkita umumiy tashqi teg va bitta ichki tangens chizilgan. Ichki tangens tashqi tomonlarni nuqtalarda kesib o'tadi A, B va nuqtalarda aylanalarga tegadi A 1 va IN 1. Buni isbotlang AA 1 \u003d BB 1.

Yechim (10-rasm). To'xtating ... Lekin nima qaror qilish kerak? Bu avvalgi muammoning yana bir formulasi. Ko'rinib turibdiki, doiralardan biri chizilgan, ikkinchisi esa qandaydir uchburchak uchun aylanadir. ABC. Va segmentlar AA 1 va BB 1 segmentlarga mos keladi AK va VM vazifalar 5. uchun taklif etilgan vazifa e'tiborga molik Butunrossiya olimpiadasi matematikada maktab o'quvchilari, shunday ravshan tarzda hal qilinadi.

7. Beshburchakning yon tomonlari aylanib chiqish tartibida 5, 6, 10, 7, 8. Bu beshburchak ichiga aylana chizib bo‘lmasligini isbotlang.

Yechim (11-rasm). Faraz qilaylik, beshburchak ABCDE siz doira yozishingiz mumkin. Bundan tashqari, tomonlar AB, Miloddan avvalgi, CD, DE va EA mos ravishda 5, 6, 10, 7 va 8 ga teng. F, G, H, M va N. Segmentning uzunligi bo'lsin AF ga teng X.

Keyin bf = FD – AF = 5 – x = BG. GC = Miloddan avvalgi – BG = = 6 – (5 – x) = 1 + x = CH. Va hokazo: HD = DM = 9 – x; ME = UZ = x – 2, AN = 10 – X.

Lekin, AF = AN. Ya'ni 10 - X = X; X= 5. Shu bilan birga, tangensning segmenti AF tomoni teng bo'lishi mumkin emas AB. Olingan qarama-qarshilik berilgan beshburchakda aylana chizib bo'lmasligini isbotlaydi.

8. Doira olti burchakli chizilgan, uning tomonlari aylanma tartibda 1, 2, 3, 4, 5. Oltinchi tomonning uzunligini toping.

Yechim. Albatta, tangens segmentni sifatida belgilash mumkin X, oldingi masalada bo'lgani kabi, tenglama yozing va javob oling. Biroq, teorema uchun eslatmadan foydalanish ancha samarali va samaraliroq 2 : chegaralangan olti burchakli tomonlarning yig'indisi bittadan olingan, tengdir.

Keyin 1 + 3 + 5 = 2 + 4 + X, qayerda X- noma'lum oltinchi tomon, X = 3.

9. Moskva davlat universiteti, 2003 y. Kimyo fakulteti, № 6(6). beshburchak ichiga ABCDE yozilgan doira, R bu doiraning yon tomoni bilan aloqa nuqtasidir quyosh. Segment uzunligini toping VR, agar beshburchakning barcha tomonlari uzunligi ma'lum bo'lsa butun sonlar, AB = 1, CD = 3.

Yechim (12-rasm). Barcha tomonlarning uzunliklari butun son bo'lganligi sababli, segmentlar uzunliklarining kasr qismlari tengdir. BT, BP, DM, DN, AK va DA. Bizda ... bor DA + televizor= 1, va segmentlar uzunliklarining kasr qismlari DA va televizor teng. Bu faqat qachon mumkin DA + televizor= 0,5. Teorema bo'yicha 1 WT + VR.
Ma'nosi, VR= 0,5. E'tibor bering, shart CD= 3 talab qilinmagan bo'lib chiqdi. Shubhasiz, muammo mualliflari boshqa yechimni taxmin qilishgan. Javob: 0,5.

10. To'rtburchakda ABCD AD=DC, AB=3, BC=5. Uchburchaklar ichiga chizilgan doiralar ABD va CBD segmentga teging BD nuqtalarda M va N mos ravishda. Segment uzunligini toping MN.

Yechim (13-rasm). MN = DN - DM. Uchburchaklar uchun formula (1) ga muvofiq DBA va DBC mos ravishda bizda:

11. To'rtburchakda A B C D siz doira yozishingiz mumkin. Uchburchaklar ichiga chizilgan doiralar ABD va CBD radiuslarga ega R va r mos ravishda. Ushbu doiralarning markazlari orasidagi masofani toping.

Yechim (13-rasm). Chunki, shartga ko'ra, to'rtburchak A B C D teorema bo'yicha yozilgan 2 bizda ... bor: AB + DC = AD + BC. Keling, oldingi muammoni hal qilish g'oyasidan foydalanaylik. . Bu segment bilan doiralarning aloqa nuqtalarini bildiradi DM mos. Doira markazlari orasidagi masofa radiuslar yig'indisiga teng. Javob: R + r.

Darhaqiqat, shartning to'rtburchakda ekanligi isbotlangan A B C D shartga teng bo'lgan doirani - qavariq to'rtburchakda yozishingiz mumkin A B C D uchburchaklar ichiga chizilgan doiralar ABC va ADC bir-biriga teging. Buning aksi haqiqatdir.

Ushbu ikkita o'zaro qarama-qarshi fikrni quyidagi masalada isbotlash taklif etiladi, buning umumlashmasi deb hisoblash mumkin.

12. Qavariq to'rtburchakda A B C D (guruch. o'n to'rt) uchburchaklar ichiga chizilgan doiralar ABC va ADC bir-biriga teging. Uchburchaklar ichiga chizilgan doiralar ekanligini isbotlang ABD va bdc ham bir-biriga teginish.

13. Uchburchakda ABC tomonlar bilan a, b va c yon tomonda quyosh belgilangan nuqta D shunday qilib, uchburchaklarga yozilgan doiralar ABD va ACD segmentga teging AD bir nuqtada. Segment uzunligini toping BD.

Yechim (15-rasm). Biz uchburchaklar uchun (1) formulani qo'llaymiz ADC va adb, hisoblash DM ikki

Aylanadi, D- yon tomon bilan aloqa qilish nuqtasi quyosh uchburchak ichiga chizilgan doira ABC. Buning teskarisi: agar uchburchakning uchi qarama-qarshi tomondan chizilgan doiraning teginish nuqtasi bilan bog'langan bo'lsa, unda hosil bo'lgan uchburchaklarga chizilgan doiralar bir-biriga tegadi.

14. Markazlar O 1 , O 2 va O Uchburchakning uchlarida bir xil radiusli 3 ta kesishmaydigan uchta aylana joylashgan. Ballardan O 1 , O 2 , O 3, bu doiralarga teglar rasmda ko'rsatilganidek chizilgan.

Ma'lumki, bu teglar kesishgan holda qavariq olti burchak hosil qilgan, uning tomonlari bitta orqali qizil va ko'k rangga ega. Qizil segmentlarning uzunliklari yig'indisi ko'klarning uzunliklari yig'indisiga teng ekanligini isbotlang.

Yechim (16-rasm). Berilgan doiralar bir xil radiuslarga ega ekanligidan qanday foydalanishni tushunish muhimdir. E'tibor bering, segmentlar BR va DM teng bo'lib, bu to'g'ri burchakli uchburchaklar tengligidan kelib chiqadi O 1 BR va O 2 BM. Xuddi shunday DL = D.P., FN = FK. Biz tengliklarni had bo'yicha qo'shamiz, so'ngra olingan yig'indilardan cho'qqilardan chizilgan bir xil tangens segmentlarini ayiramiz. LEKIN, FROM, va E olti burchakli ABCDEF: AR va AK, CL va SM, UZ va EP. Biz kerakli narsani olamiz.

Bu erda o'rta maktab o'quvchilari uchun "A. N. Kolmogorov xotira kubogi" XII Xalqaro matematika turnirida taklif qilingan stereometriya masalasiga misol keltiramiz.

16. Beshburchakli piramida berilgan SA 1 A 2 A 3 A 4 A 5. Imkoniyat bor w, piramidaning barcha qirralariga va boshqa sharga tegib turadi w 1, Bu poydevorning barcha tomonlariga tegadi A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 va lateral qovurg'alarning kengayishi SA 1 , SA 2 , SA 3 , SA 4 , SA 5 taglikning tepalari uchun. Piramida cho'qqisi poydevor cho'qqilaridan teng masofada joylashganligini isbotlang. (Berlov S. L., Karpov D. V.)

Yechim. Shar sharning har qanday yuzlari tekisligi bilan w ning kesishishi yuzning chizilgan doirasidir. Sharning har bir yuz bilan kesishishi w 1 SA i A i+1 - yon tomonga teginish aylanasi A i A i+1 uchburchak SA i A i+1 va boshqa ikki tomonning davomi. Yon tomonning kengaytmasi bilan w 1 aloqa nuqtasini belgilang SA i orqali B i. Malumot muammosi 1 bo'yicha, bizda shunday SB i = SB i +1 = p SAiAi+1, shuning uchun piramidaning barcha yon yuzlarining perimetrlari tengdir. Tangens nuqtasini yon tomoni bilan belgilang SA i orqali C i. Keyin SC 1 = SC 2 = SC 3 = SC 4 = SC 5 = s,
chunki tangenslarning segmentlari teng. Mayli C i A i = a i. Keyin p SAiAi +1 = s+a i +a i+1 va perimetrlarning tengligidan kelib chiqadi a 1 = a 3 = a 5 = a 2 = a 4, qaerdan SA 1 = SA 2 = SA 3 = SA 4 = SA 5 .

17. FOYDALANISH. Diagnostika ishi 2009 yil 8 dekabr, S–4. Dana trapesiya A B C D, uning asoslari BC= 44,AD = 100, AB=CD= 35. Chiziqlarga teguvchi aylana AD va AC tomoniga tegadi CD nuqtada K. Segment uzunligini toping CK.VDC va BDA, yon tomonga teging BD nuqtalarda E va F. Segment uzunligini toping EF.

Yechim. Ikkita holat mumkin (20-rasm va 21-rasm). Formuladan (1) foydalanib, biz segmentlarning uzunliklarini topamiz DE va D.F..

Birinchi holda AD = 0,1AC, CD = 0,9AC. Ikkinchisida - AD = 0,125AC, CD = 1,125AC. Biz ma'lumotlarni almashtiramiz va javobni olamiz: 4,6 yoki 5,5.

Mustaqil hal qilish uchun vazifalar /

1. Aylanaga chizilgan teng yonli trapetsiyaning perimetri 2r. Trapetsiya diagonalining kattaroq asosga proyeksiyasini toping. (1/2p)

2. Matematikadan USE masalalarining ochiq banki. AT 4. Uchburchak ichiga yozilgan doiraga ABC (22-rasm), uchta tangens chizilgan. Kesiklangan uchburchaklarning perimetrlari 6, 8, 10. Shu uchburchakning perimetrini toping. (24)

3. Uchburchak ichiga ABC yozilgan doira. MN- aylanaga teginish MO AC, NO BC, BC = 13, AC = 14, AB = 15. Uchburchakning perimetrini toping MNC. (12)

4. Tomoni a bo‘lgan kvadrat ichiga chizilgan aylanaga uning ikki tomonini kesib o‘tuvchi teginish chiziladi. Kesilgan uchburchakning perimetrini toping. (a)

5. Tomonlari bo‘lgan beshburchakda aylana chizilgan a, d, c, d va e. Aloqa nuqtasi tomonni teng bo'lgan segmentlarni toping a.

6. Tomonlari 6, 10 va 12 bo‘lgan uchburchak ichiga aylana chizilgan. Aylanaga ikkita katta tomonni kesib o'tadigan tangens chizilgan. Kesilgan uchburchakning perimetrini toping. (16)

7. CD uchburchakning medianasidir ABC. Uchburchaklar ichiga chizilgan doiralar ACD va BCD, segmentga teging CD nuqtalarda M va N. Toping MN, agar AC – quyosh = 2. (1)

8. Uchburchakda ABC tomonlar bilan a, b va c yon tomonda quyosh belgilangan nuqta D. Uchburchaklar ichiga yozilgan doiralarga ABD va ACD, kesishgan umumiy tangens chiziladi AD nuqtada M. Segment uzunligini toping AM. (Uzunlik AM nuqtaning joylashishiga bog'liq emas D va
½ ga teng ( c + b - a))

9. To‘g‘ri burchakli uchburchak ichiga radiusli aylana chizilgan a. Aylana radiusi gipotenuzaga va oyoqlarning kengaytmalariga tegib turadi R. Gipotenuzaning uzunligini toping. ( R-a)

10. Uchburchakda ABC tomonlarning uzunligi ma'lum: AB = Bilan, AC = b, quyosh = a. Uchburchak ichiga chizilgan doira yon tomonga tegib turadi AB nuqtada 1 dan. Aylana tomonning kengaytmasiga tegib turadi AB nuqta uchun LEKIN nuqtada 2 dan. Segment uzunligini aniqlang S 1 S 2. (b)

11. Radiusi 3 sm bo‘lgan chizilgan aylananing tegish nuqtasiga 4 sm va 3 sm bo‘laklarga bo‘lingan uchburchak tomonlarining uzunliklarini toping (to‘g‘ri burchakli uchburchakda 7, 24 va 25 sm).

12. Soros Olimpiadasi 1996 yil, 2-bosqich, 11-sinf. Uchburchak berilgan ABC, tomonlarida nuqtalar belgilangan A 1, B 1, C 1. Uchburchaklar ichiga chizilgan doiralar radiusi AC 1 B 1, BC 1 A 1, CA 1 B 1 teng r. Uchburchak ichiga chizilgan aylana radiusi A 1 B 1 C 1 teng R. Uchburchak ichiga chizilgan aylananing radiusini toping ABC. (R +r).

4-8-masalalar R. K. Gordinning “Geometriya. Planimetriya." Moskva. MTSNMO nashriyoti. 2004 yil.

Ta'rif. Aylanaga teguvchi tekislikdagi aylana bilan aynan bitta umumiy nuqtaga ega bo'lgan to'g'ri chiziqdir.

Mana bir nechta misollar:

Markazi bilan doira O to'g'ri chiziqqa tegadi l nuqtada A Har qanday joydan M Aylanadan tashqarida aynan ikkita tangens chizish mumkin tangens orasidagi farq l, sekant Miloddan avvalgi va to'g'ridan-to'g'ri m, bu doira bilan umumiy nuqtalari yo'q

Bu oxiri bo'lishi mumkin, ammo amaliyot shuni ko'rsatadiki, ta'rifni yodlash kifoya emas - siz chizmalardagi tangenslarni ko'rishni, ularning xususiyatlarini bilishni va qo'shimcha ravishda haqiqiy muammolarni hal qilishda ushbu xususiyatlardan qanday foydalanishni o'rganishingiz kerak. . Bularning barchasi bilan bugun shug'ullanamiz.

Tangenslarning asosiy xossalari

Har qanday muammoni hal qilish uchun siz to'rtta asosiy xususiyatni bilishingiz kerak. Ulardan ikkitasi har qanday ma'lumotnomada / darslikda tasvirlangan, ammo oxirgi ikkitasi qandaydir tarzda unutilgan, ammo behuda.

1. Bir nuqtadan chizilgan tangenslarning segmentlari teng

Biroz yuqoriroqda, biz bir nuqtadan olingan ikkita tangens haqida gapirgan edik M. Shunday qilib:

Bir nuqtadan chizilgan aylanaga teguvchi segmentlar tengdir.

Segmentlar AM va BM teng

2. Tangens teginish nuqtasiga chizilgan radiusga perpendikulyar

Keling, yuqoridagi rasmga yana qaraylik. Keling, radiuslarni chizamiz O.A va OB, shundan so'ng biz burchaklarni topamiz OAM va OBM- To'g'riga.

Tangens nuqtasiga chizilgan radius tangensga perpendikulyar.

Bu fakt har qanday muammoda isbotsiz ishlatilishi mumkin:

Tangens nuqtaga chizilgan radiuslar tangenslarga perpendikulyar

Aytgancha, e'tibor bering: agar siz segmentni chizsangiz OM, keyin ikkita teng uchburchakni olamiz: OAM va OBM.

3. Tangens va sekant o'rtasidagi munosabat

Ammo bu jiddiyroq haqiqat va ko'pchilik maktab o'quvchilari buni bilishmaydi. Bir xil umumiy nuqtadan o'tuvchi tangens va sekantni ko'rib chiqaylik M. Tabiiyki, sekant bizga ikkita segmentni beradi: doira ichida (segment Miloddan avvalgi- u akkord deb ham ataladi) va tashqarida (bu shunday deyiladi - tashqi qism MC).

Butun sekantning tashqi qismi bo'yicha mahsuloti tangens segmentining kvadratiga teng

Sekant va tangens o'rtasidagi munosabat

4. Tangens va akkord orasidagi burchak

Murakkab muammolarni hal qilish uchun ko'pincha qo'llaniladigan yanada rivojlangan fakt. Men uni bortga olishni tavsiya qilaman.

Tangens va akkord orasidagi burchak bu akkordga asoslangan chizilgan burchakka teng.

Nuqta qayerdan keladi B? Haqiqiy muammolarda, odatda, vaziyatning bir joyida "ochiladi". Shuning uchun, chizmalarda ushbu konfiguratsiyani tanib olishni o'rganish muhimdir.

Ba'zan u hali ham amal qiladi :)