Ta'rif. Aylanaga teguvchi tekislikdagi aylana bilan aynan bitta umumiy nuqtaga ega bo'lgan to'g'ri chiziqdir.

Mana bir nechta misollar:

Markazi bilan doira O to'g'ri chiziqqa tegadi l nuqtada A Har qanday joydan M Aylanadan tashqarida aynan ikkita tangens chizish mumkin tangens orasidagi farq l, sekant Miloddan avvalgi va to'g'ridan-to'g'ri m, bu doira bilan umumiy nuqtalari yo'q

Bu oxiri bo'lishi mumkin, ammo amaliyot shuni ko'rsatadiki, ta'rifni yodlashning o'zi kifoya emas - siz chizmalardagi tangenslarni ko'rishni, ularning xususiyatlarini bilishni va bundan tashqari, haqiqiy muammolarni hal qilishda ushbu xususiyatlardan qanday foydalanishni o'rganishingiz kerak. . Bularning barchasi bilan bugun shug'ullanamiz.

Tangenslarning asosiy xossalari

Har qanday muammoni hal qilish uchun siz to'rtta asosiy xususiyatni bilishingiz kerak. Ulardan ikkitasi har qanday ma'lumotnomada / darslikda tasvirlangan, ammo oxirgi ikkitasi qandaydir tarzda unutilgan, ammo behuda.

1. Bir nuqtadan chizilgan tangenslarning segmentlari teng

Biroz yuqoriroqda, biz bir nuqtadan olingan ikkita tangens haqida gapirgan edik M. Shunday qilib:

Bir nuqtadan chizilgan aylanaga teguvchi segmentlar tengdir.

Segmentlar AM va BM teng

2. Tangens teginish nuqtasiga chizilgan radiusga perpendikulyar

Keling, yuqoridagi rasmga yana qaraylik. Keling, radiuslarni chizamiz O.A va OB, shundan so'ng biz burchaklarni topamiz OAM va OBM- To'g'riga.

Tangens nuqtasiga chizilgan radius tangensga perpendikulyar.

Bu fakt har qanday muammoda isbotsiz ishlatilishi mumkin:

Tangens nuqtaga chizilgan radiuslar tangenslarga perpendikulyar

Aytgancha, e'tibor bering: agar siz segmentni chizsangiz OM, keyin ikkita teng uchburchakni olamiz: OAM va OBM.

3. Tangens va sekant o'rtasidagi munosabat

Ammo bu jiddiyroq haqiqat va ko'pchilik maktab o'quvchilari buni bilishmaydi. Bir xil umumiy nuqtadan o'tuvchi tangens va sekantni ko'rib chiqaylik M. Tabiiyki, sekant bizga ikkita segmentni beradi: doira ichida (segment Miloddan avvalgi- u akkord deb ham ataladi) va tashqarida (bu shunday deyiladi - tashqi qism MC).

Butun sekantning tashqi qismi bo'yicha mahsuloti tangens segmentining kvadratiga teng

Sekant va tangens o'rtasidagi munosabat

4. Tangens va akkord orasidagi burchak

Murakkab muammolarni hal qilish uchun ko'pincha qo'llaniladigan yanada rivojlangan fakt. Men uni bortga olishni tavsiya qilaman.

Tangens va akkord orasidagi burchak bu akkordga asoslangan chizilgan burchakka teng.

Nuqta qayerdan keladi B? Haqiqiy muammolarda, odatda, vaziyatning bir joyida "ochiladi". Shuning uchun, chizmalarda ushbu konfiguratsiyani tanib olishni o'rganish muhimdir.


Ba'zan u hali ham amal qiladi :)

Aylanaga teginish tushunchasi

Doira to'g'ri chiziqqa nisbatan uchta mumkin bo'lgan o'zaro pozitsiyaga ega:

    Agar aylananing markazidan chiziqgacha bo'lgan masofa radiusdan kichik bo'lsa, u holda chiziq doira bilan kesishgan ikkita nuqtaga ega.

    Agar aylananing markazidan chiziqgacha bo'lgan masofa radiusga teng bo'lsa, u holda chiziq doira bilan kesishgan ikkita nuqtaga ega.

    Agar aylananing markazidan to'g'ri chiziqgacha bo'lgan masofa radiusdan katta bo'lsa, u holda to'g'ri chiziq doira bilan kesishgan ikkita nuqtaga ega.

Endi aylanaga tangens chiziq tushunchasini kiritamiz.

Ta'rif 1

Aylanaga teguvchi to'g'ri chiziq bo'lib, u bilan bir kesishish nuqtasi bo'ladi.

Aylana va tangensning umumiy nuqtasi teginish nuqtasi deb ataladi (1-rasm).

1-rasm. Aylanaga teginish

Aylanaga teguvchi tushunchaga oid teoremalar

Teorema 1

Tangens xossa teoremasi: Aylanaga tegish nuqtaga chizilgan radiusga perpendikulyar.

Isbot.

Markazi $O$ bo'lgan doirani ko'rib chiqing. $A$ nuqtada $a$ tangensini chizamiz. $OA=r$ (2-rasm).

$a\bot r$ ekanligini isbotlaylik

Teoremani “ziddiyat bilan” usuli bilan isbotlaymiz. $a$ tangensi aylana radiusiga perpendikulyar emas deb faraz qilaylik.

2-rasm. 1-teoremaning tasviri

Ya'ni, $OA$ tangensga qiya. $a$ chiziqqa perpendikulyar har doim bir xil chiziqqa qiyaligidan kichik bo'lgani uchun aylananing markazidan chiziqgacha bo'lgan masofa radiusdan kichik bo'ladi. Ma'lumki, bu holda chiziq doira bilan kesishgan ikkita nuqtaga ega. Bu tangens ta'rifiga zid keladi.

Demak, tangens aylana radiusiga perpendikulyar.

Teorema isbotlangan.

Teorema 2

Tangens xossa teoremasiga qarama-qarshi: Agar aylana radiusining uchidan oʻtuvchi chiziq radiusga perpendikulyar boʻlsa, bu chiziq shu aylanaga teginishdir.

Isbot.

Masalaning shartiga ko'ra, bizda radius aylananing markazidan berilgan chiziqqa chizilgan perpendikulyardir. Shuning uchun aylananing markazidan to'g'ri chiziqgacha bo'lgan masofa radius uzunligiga teng. Ma'lumki, bu holda aylananing bu chiziq bilan faqat bitta kesishish nuqtasi mavjud. 1-ta'rifga ko'ra, berilgan chiziq aylanaga teginish ekanligini tushunamiz.

Teorema isbotlangan.

Teorema 3

Bir nuqtadan chizilgan aylanaga teguvchi segmentlar teng bo'lib, shu nuqtadan o'tuvchi chiziq va aylananing markazi bilan teng burchak hosil qiladi.

Isbot.

$O$ nuqtada markazlashtirilgan aylana berilsin. $A$ nuqtadan (barcha doiralarda joylashgan) ikki xil tangens chiziladi. Tegishli nuqtadan $B$ va $C$ mos ravishda (3-rasm).

$\angle BAO=\angle CAO$ ekanligini va $AB=AC$ ekanligini isbotlaylik.

3-rasm. 3-teoremaning tasviri

1-teorema bo'yicha bizda:

Demak, $ABO$ va $ACO$ uchburchaklari toʻgʻri burchakli uchburchaklardir. $OB=OC=r$ va gipotenuza $OA$ umumiy boʻlganligi uchun bu uchburchaklar gipotenuza va oyogʻida tengdir.

Demak, $\angle BAO=\angle CAO$ va $AB=AC$ ni olamiz.

Teorema isbotlangan.

Aylanaga teginish tushunchasi bo'yicha topshiriq misoli

1-misol

Markazi $O$ va radiusi $r=3\ sm$ boʻlgan aylana berilgan. $AC$ tangensi $C$ tangens nuqtasiga ega. $AO=4\sm$. $AC$ toping.

Yechim.

Birinchidan, rasmdagi hamma narsani tasvirlaymiz (4-rasm).

4-rasm

$AC$ tangens va $OC$ radius boʻlgani uchun 1-teorema boʻyicha biz $\angle ACO=(90)^(()^\circ )$ olamiz. Ma'lum bo'lishicha, $ACO$ uchburchak to'rtburchaklar shaklida bo'lib, Pifagor teoremasiga ko'ra bizda:

\[(AC)^2=(AO)^2+r^2\] \[(AC)^2=16+9\] \[(AC)^2=25\] \

\[(\Katta(\matn(Markaziy va Yozilgan burchaklar)))\]

Ta'riflar

Markaziy burchak - bu uchi aylananing markazida joylashgan burchak.

Chizilgan burchak cho'qqisi aylana ustida joylashgan burchakdir.

Doira yoyining daraja o'lchovi unga tayanadigan markaziy burchakning daraja o'lchovidir.

Teorema

Chizilgan burchakning o'lchami u kesib o'tgan yoyning yarmiga teng.

Isbot

Biz dalilni ikki bosqichda bajaramiz: birinchidan, chizilgan burchakning bir tomoni diametrga ega bo'lgan holat uchun bayonotning to'g'riligini isbotlaymiz. \(B\) nuqta chizilgan burchakning tepasi \(ABC\) va \(BC\) aylananing diametri bo'lsin:

Uchburchak \(AOB\) teng yon tomonli, \(AO = OB\) , \(\AOC burchagi) tashqi, keyin \(\ AOC burchagi = \ OAB burchagi + \ ABO burchagi = 2 \ ABC burchagi\), qayerda \(\burchak ABC = 0,5\cdot\burchak AOC = 0,5\cdot\buildrel\smile\over(AC)\).

Endi ixtiyoriy chizilgan burchakni ko'rib chiqing \(ABC\) . Chizilgan burchakning tepasidan aylana diametrini \(BD\) chizing. Ikki holat mumkin:

1) diametr burchakni ikkita burchakka kesib tashladi \(\angle ABD, \angle CBD\) (ularning har biri uchun teorema yuqorida isbotlanganidek to'g'ri, shuning uchun bu ularning yig'indisi bo'lgan dastlabki burchak uchun ham to'g'ri. ikkita va shuning uchun ular tayangan yoylar yig'indisining yarmiga teng, ya'ni u tayangan yoyning yarmiga teng). Guruch. bitta.

2) diametr burchakni ikki burchakka kesib tashlamadi, keyin bizda yana ikkita yangi yozilgan burchak bor \(\angle ABD, \angle CBD\) , ularning tomoni diametrini o'z ichiga oladi, shuning uchun ular uchun teorema to'g'ri, keyin u asl burchak uchun ham to'g'ri keladi (bu ikki burchakning farqiga teng, ya'ni ular tayangan yoylarning yarmi farqiga teng, ya'ni u joylashgan yoyning yarmiga teng. dam oladi). Guruch. 2.


Oqibatlari

1. Xuddi shu yoyga asoslangan chizilgan burchaklar teng.

2. Yarim doira asosida chizilgan burchak to'g'ri burchakdir.

3. Chizilgan burchak bir xil yoyga asoslangan markaziy burchakning yarmiga teng.

\[(\Katta(\matn(aylanaga teg)\]

Ta'riflar

Uchta turi mavjud nisbiy pozitsiya to'g'ri chiziq va aylana:

1) \(a\) chiziq aylanani ikki nuqtada kesib o'tadi. Bunday chiziq sekant deb ataladi. Bunda aylana markazidan to'g'ri chiziqgacha bo'lgan masofa \(d\) aylana radiusidan \(R\) kichik bo'ladi (3-rasm).

2) \(b\) chiziq aylanani bir nuqtada kesib o'tadi. Bunday to'g'ri chiziq tangens, ularning umumiy nuqtasi \(B\) esa teginish nuqtasi deyiladi. Bu holda \(d=R\) (4-rasm).


Teorema

1. Aylanaga tegish nuqtaga chizilgan radiusga perpendikulyar.

2. Agar chiziq aylana radiusining uchidan o'tsa va shu radiusga perpendikulyar bo'lsa, u holda aylanaga tegib turadi.

Natija

Bir nuqtadan aylanaga chizilgan tangenslarning segmentlari teng.

Isbot

\(K\) nuqtadan aylanaga ikkita teg \(KA\) va \(KB\) chizing:


Shunday qilib, \(OA\perp KA, OB\perp KB\) radiuslar sifatida. To'g'ri burchakli uchburchaklar \(\uchburchak KAO\) va \(\uchburchak KBO\) oyoq va gipotenuzada teng, shuning uchun \(KA=KB\) .

Natija

Aylananing markazi \(O\) bir xil nuqtadan chizilgan ikkita tangens hosil qilgan \(AKB\) burchakning bissektrisasida yotadi \(K\) .

\[(\Large(\text(Burchaklar bilan bog'liq teoremalar)))\]

Sekantlar orasidagi burchak haqidagi teorema

Xuddi shu nuqtadan chizilgan ikkita sekant orasidagi burchak ular tomonidan kesilgan katta va kichik yoylarning daraja o'lchovlarining yarim farqiga teng.

Isbot

Rasmda ko'rsatilganidek, ikkita sekant chizilgan nuqta \(M\) bo'lsin:


Keling, buni ko'rsataylik \(\angle DMB = \dfrac(1)(2)(\buildrel\smile\over(BD) - \buildrel\smile\over(CA))\).

\(\DAB burchagi\) uchburchakning tashqi burchagi \(MAD\) , keyin \(\DAB burchagi = \DMB burchagi + \MDA burchagi\), qayerda \(\DMB burchagi = \DAB burchagi - \MDA burchagi\), lekin burchaklar \(\DAB burchagi\) va \(\MDA burchagi\) chiziladi, keyin \(\ burchak DMB = \ burchak DAB - \ burchak MDA = \ frac(1)(2)\buildrel\smile\over(BD) - \frac(1)(2)\buildrel\smile\over(CA) = \frac(1)(2)(\buildrel\smile\over(BD) - \buildrel\smile\over(CA))\), bu isbotlanishi kerak edi.

Kesishuvchi akkordlar orasidagi burchak teoremasi

Ikki kesishuvchi akkord orasidagi burchak ular kesgan yoylarning daraja o'lchovlari yig'indisining yarmiga teng: \[\angle CMD=\dfrac12\chap(\buildrel\smile\over(AB)+\buildrel\smile\over(CD)\o'ng)\]

Isbot

\(\BMA burchagi = \burchak CMD\) vertikal sifatida.


\(AMD\) uchburchakdan: \(\ burchak AMD = 180^\circ - \burchak BDA - \burchak CAD = 180^\circ - \frac12\buildrel\smile\over(AB) - \frac12\buildrel\smile\over(CD)\).

Lekin \(\ AMD burchagi = 180^\circ - \CMD burchagi\), shuning uchun biz shunday xulosaga keldik \[\angle CMD = \frac12\cdot\buildrel\smile\over(AB) + \frac12\cdot\buildrel\smile\over(CD) = \frac12(\buildrel\smile\over(AB) + \buildrel\ tabassum\over(CD)).\]

Akkord va tangens orasidagi burchak haqidagi teorema

Tangens va akkordning teginish nuqtasidan o'tadigan burchagi akkord tomonidan ayiriladigan yoyning daraja o'lchovining yarmiga teng.

Isbot

\(a\) chizig'i \(A\) nuqtadagi aylanaga tegsin, \(AB\) bu aylana akkordi, \(O\) uning markazi bo'lsin. \(OB\) ni o'z ichiga olgan chiziq \(a\) nuqtada \(M\) kesishsin. Keling, buni isbotlaylik \(\burchak BAM = \frac12\cdot \buildrel\tabassum(AB)\).


\(\burchak OAB = \alfa\) ni belgilang. \(OA\) va \(OB\) radiuslar ekan, u holda \(OA = OB\) va \(\OBA burchagi = \OAB burchagi = \alfa\). Shunday qilib, \(\buildrel\smile\over(AB) = \burchak AOB = 180^\circ - 2\alpha = 2(90^\circ - \alpha)\).

\(OA\) teginish nuqtasiga chizilgan radius bo'lgani uchun, u holda \(OA\perp a\) , ya'ni \(\burchak OAM = 90^\circ\) , shuning uchun, \(\burchak BAM = 90^\circ - \burchak OAB = 90^\circ - \alpha = \frac12\cdot\buildrel\smile\over(AB)\).

Teng akkordlar bilan qisqargan yoylar haqidagi teorema

Teng akkordlar teng yoylarni, kichikroq yarim doiralarni qamrab oladi.

Va aksincha: teng yoylar teng akkordlar bilan qisqaradi.

Isbot

1) \(AB=CD\) bo'lsin. Keling, kamonning kichikroq yarim doiralari ekanligini isbotlaylik.


Uch tomondan, shuning uchun \(\ burchak AOB = \ burchak COD \) . Ammo beri \(\ AOB burchagi, \ COD burchagi \) - markaziy burchaklar yoylarga asoslanadi \(\buildrel\smile\over(AB), \buildrel\smile\over(CD)\) mos ravishda, keyin \(\buildrel\smile\over(AB)=\buildrel\smile\over(CD)\).

2) Agar \(\buildrel\smile\over(AB)=\buildrel\smile\over(CD)\), keyin \(\uchburchak AOB=\uchburchak COD\) ikki tomon bo'ylab \(AO=BO=CO=DO\) va ular orasidagi burchak \(\burchak AOB=\burchak COD\) . Shuning uchun, \(AB=CD\) .

Teorema

Agar radius akkordni ikkiga bo'lsa, u holda u unga perpendikulyar bo'ladi.

Buning aksi ham to'g'ri: agar radius akkordga perpendikulyar bo'lsa, u holda kesishish nuqtasi uni ikkiga bo'ladi.


Isbot

1) \(AN=NB\) bo'lsin. \(OQ\perp AB\) ekanligini isbotlaylik.

\(\uchburchak AOB\) ni ko'rib chiqing: bu teng yon tomonli, chunki \(OA=OB\) – aylana radiusi. Chunki \(ON\) - bazaga chizilgan mediana, keyin u ham balandlikdir, shuning uchun \(ON\perp AB\) .

2) \(OQ\perp AB\) bo'lsin. \(AN=NB\) ekanligini isbotlaylik.

Xuddi shunday, \(\uchburchak AOB\) teng yon tomonlar, \(ON\) - balandlik, shuning uchun \(ON\) - mediana. Shuning uchun, \(AN=NB\) .

\[(\Large(\text(Segmentlar uzunligi bilan bog'liq teoremalar)))\]

Akkordlar segmentlari hosilasi haqidagi teorema

Agar aylananing ikkita akkordi kesishsa, u holda bir akkord segmentlarining ko'paytmasi ikkinchi akkord segmentlarining ko'paytmasiga teng bo'ladi.

Isbot

\(AB\) va \(CD\) akkordlari \(E\) nuqtada kesishsin.

\(ADE\) va \(CBE\) uchburchaklarini ko'rib chiqing. Bu uchburchaklarda \(1\) va \(2\) burchaklar teng, chunki ular chizilgan va bir xil yoyga tayanadi \(BD\) , va burchaklar \(3\) va \(4\) vertikalga teng. \(ADE\) va \(CBE\) uchburchaklari o'xshash (birinchi uchburchakning o'xshashlik mezoniga ko'ra).

Keyin \(\dfrac(AE)(EC) = \dfrac(DE)(BE)\), qaerdan \(AE\cdot BE = CE\cdot DE\) .

Tangens va sekant teoremasi

Tangens segmentning kvadrati sekant va uning tashqi qismining mahsulotiga teng.

Isbot

Tangens \(M\) nuqtadan o'tib, \(A\) nuqtadagi aylanaga teginsin. Sekant \(M\) nuqtadan o'tib, aylanani \(B\) va \(C\) nuqtalarda kesib o'tsin, shunday qilib \(MB) bo'lsin.< MC\) . Покажем, что \(MB\cdot MC = MA^2\) .


\(MBA\) va \(MCA\) uchburchaklarini ko'rib chiqing: \(\ burchak M\) umumiy, \(\BCA burchagi = 0,5\cdot\buildrel\tabassum(AB)\). Tangens va sekant orasidagi burchak teoremasiga ko'ra, \(\BAM burchagi = 0,5\cdot\buildrel\tabassum(AB) = \BCA burchagi\). Shunday qilib, \(MBA\) va \(MCA\) uchburchaklar ikki burchakda o'xshashdir.

\(MBA\) va \(MCA\) uchburchaklarining o'xshashligidan biz: \(\dfrac(MB)(MA) = \dfrac(MA)(MC)\), bu \(MB\cdot MC = MA^2\) ga teng.

Natija

\(O\) nuqtadan va uning tashqi qismidan chizilgan sekantning mahsuloti \(O\) nuqtadan chizilgan sekantni tanlashga bog'liq emas.

To'g'ri chiziq va aylananing o'zaro joylashish holatlarini eslaylik.

Markazi O, radiusi r bo‘lgan aylana berilgan. P chiziq, markazdan chiziqgacha bo'lgan masofa, ya'ni perpendikulyar OM, d ga teng.

1-holat- aylana markazidan to'g'ri chiziqgacha bo'lgan masofa aylananing radiusidan kichik:

Biz isbotladikki, d masofa aylana radiusidan kichik bo'lsa, chiziq va aylana faqat ikkita umumiy nuqtaga ega (1-rasm).

Guruch. 1. 1-holati tasviri

Ikkinchi holat- aylana markazidan to'g'ri chiziqgacha bo'lgan masofa aylananing radiusiga teng:

Biz bu holatda umumiy nuqta yagona ekanligini isbotladik (2-rasm).

Guruch. 2. 2-holat tasviri

3-holat- aylana markazidan to'g'ri chiziqgacha bo'lgan masofa aylananing radiusidan katta bo'lsa:

Biz bu holatda aylana va chiziq umumiy nuqtalarga ega emasligini isbotladik (3-rasm).

Guruch. 3. 3-holati tasviri

Ushbu darsda biz chiziq va aylana bitta umumiy nuqtaga ega bo'lgan ikkinchi holatga qiziqamiz.

Ta'rif:

Aylana bilan bitta umumiy nuqtaga ega bo'lgan chiziq aylanaga teguvchi deyiladi, umumiy nuqta chiziq bilan aylana o'rtasidagi aloqa nuqtasi deb ataladi.

p to'g'ri chiziq tangens, A nuqta aloqa nuqtasidir (4-rasm).

Guruch. 4. Tangens

Teorema:

Aylanaga tegish kontakt nuqtasiga chizilgan radiusga perpendikulyar (5-rasm).

Guruch. 5. Teorema uchun rasm

Isbot:

Aksincha, OA p to'g'ri chiziqqa perpendikulyar bo'lmasin. Bunday holda, O nuqtadan p chiziqqa perpendikulyar tushiramiz, bu aylananing markazidan chiziqgacha bo'lgan masofa bo'ladi:

To'g'ri burchakli uchburchakdan OH gipotenuzasi OA oyog'idan kichik, ya'ni chiziq va aylana ikkita umumiy nuqtaga ega, p chiziq sekant deb aytishimiz mumkin. Shunday qilib, biz qarama-qarshilikni oldik, bu teorema isbotlanganligini anglatadi.

Guruch. 6. Teorema uchun rasm

Qarama-qarshi teorema ham to'g'ri.

Teorema:

Agar aylana ustida yotgan radiusning uchidan toʻgʻri chiziq oʻtsa va shu radiusga perpendikulyar boʻlsa, u tangens hisoblanadi.

Isbot:

Chiziq radiusga perpendikulyar bo'lgani uchun OA masofa chiziqdan aylananing markazigacha bo'lgan masofa va u radiusga teng: . Ya'ni, va bu holda, biz ilgari bahs qilganimizdek, chiziq va aylana yagona umumiy nuqtaga ega - bu A nuqta, shuning uchun p chiziq ta'rifi bo'yicha aylanaga tegib turadi (7-rasm).

Guruch. 7. Teorema uchun rasm

To'g'ridan-to'g'ri va teskari teoremalarni quyidagicha birlashtirish mumkin (8-rasm):

Markazi O, to'g'ri chiziq p, radiusi OA bo'lgan aylana berilgan

Guruch. 8. Teorema uchun rasm

Teorema:

Chiziq aylanaga teginish nuqtasiga chizilgan radius unga perpendikulyar bo'lgan taqdirdagina tangens hisoblanadi.

Bu teorema shuni anglatadiki, agar chiziq tangens bo'lsa, u holda teginish nuqtasiga chizilgan radius unga perpendikulyar va aksincha, OA va p ning perpendikulyarligidan p tangens, ya'ni chiziq va aylana bo'ladi. yagona umumiy fikrga ega.

Aylanaga bir nuqtadan chizilgan ikkita tangensni ko'rib chiqing.

Teorema:

Bir nuqtadan chizilgan aylanaga teglar segmentlari teng va bu nuqtadan o'tkazilgan to'g'ri chiziq va aylananing markazi bilan teng burchaklar hosil qiladi.

Aylana berilgan, markaz O, aylanadan tashqarida A nuqta. A nuqtadan ikkita tangens chizilgan, B va C nuqtalar teginish nuqtalari. 3 va 4 burchaklar teng ekanligini va buni isbotlash talab qilinadi.

Guruch. 9. Teorema uchun rasm

Isbot:

Isbot uchburchaklarning tengligiga asoslanadi . Uchburchaklar tengligini tushuntiring. Ular to'rtburchaklardir, chunki aloqa nuqtasiga chizilgan radius tangensga perpendikulyar. Demak, va burchaklari to'g'ri va tengdir. OB va OS oyoqlari teng, chunki ular aylananing radiusi. Gipotenuz AO - keng tarqalgan.

Shunday qilib, uchburchaklar oyoq va gipotenuzaning tengligi bo'yicha tengdir. Bundan ko'rinib turibdiki, AB va AC oyoqlari ham teng. Shuningdek, teng tomonlarga qarama-qarshi burchaklar teng, ya'ni burchaklar va , tengdir.

Teorema isbotlangan.

Shunday qilib, biz aylanaga teginish tushunchasi bilan tanishdik, keyingi darsda aylana yoyining daraja o'lchovini ko'rib chiqamiz.

Adabiyotlar ro'yxati

  1. Aleksandrov A.D. va hokazo Geometriya 8-sinf. - M.: Ta'lim, 2006 yil.
  2. Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Prasolov V.V. Geometriya 8. - M.: Ma'rifat, 2011.
  3. Merzlyak A.G., Polonskiy V.B., Yakir S.M. Geometriya 8-sinf. - M.: VENTANA-GRAF, 2009 yil.
  1. Univer.omsk.su ().
  2. Oldskola1.narod.ru ().
  3. School6.aviel.ru ().

Uy vazifasi

  1. Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B. va boshqalar, Geometriya 7-9, № 634-637, bet. 168.

ball x_0\in \mathbb(R), va unda farqlanadi: f \in \mathcal(D)(x_0). Funksiya grafigiga teginish f nuqtada x_0 tenglama bilan berilgan chiziqli funktsiyaning grafigi deyiladi y = f(x_0) + f"(x_0)(x-x_0),\to'rtlik x\in \mathbb(R).

  • Agar funktsiya f nuqtada bor x_0 cheksiz hosila f"(x_0) = \pm\infty, u holda bu nuqtadagi tangens chiziq tenglama bilan berilgan vertikal chiziqdir x = x_0.

    • Izoh

    To'g'ridan-to'g'ri ta'rifdan kelib chiqadiki, teginish chizig'ining grafigi nuqtadan o'tadi (x_0,f(x_0)). Burchak \alfa egri chiziqqa tangens va x o'qi orasidagi tenglamani qanoatlantiradi

    \operatorname(tg)\,\alpha = f"(x_0)=k,

    qayerda \operator nomi (tg) tangensni bildiradi va \operator nomi (k)- tangens qiyalik koeffitsienti. Bir nuqtada hosila x_0 ga teng burchak koeffitsienti funksiya grafigiga teginish y = f(x) ayni paytda.

    Tangens sekantning cheklovchi pozitsiyasi sifatida

    Mayli f\kolon U(x_0) \to \R va x_1\in U(x_0). Keyin nuqtalardan o'tadigan to'g'ri chiziq (x_0,f(x_0)) va (x_1,f(x_1)) tenglama bilan berilgan

    y = f(x_0) + \frac(f(x_1) - f(x_0))(x_1 - x_0)(x-x_0).

    Bu chiziq nuqta orqali o'tadi (x_0,f(x_0)) har kim uchun x_1\in U(x_0), va uning moyillik burchagi \alpha(x_1) tenglamani qanoatlantiradi

    \operator nomi(tg)\,\alfa(x_1) = \frac(f(x_1) - f(x_0))(x_1 - x_0).

    Funksiyaning hosilasi mavjudligi tufayli f nuqtada x_0, da chegaraga o'tish x_1\x_0, chegarasi borligini tushunamiz

    \lim\limits_(x_1 \to x_0) \operatorname(tg)\,\alpha(x_1) = f"(x_0),

    va yoy tangensining uzluksizligi va cheklovchi burchak tufayli

    \alpha = \operatorname(arctg)\,f"(x_0).

    Nuqtadan o'tuvchi chiziq (x_0,f(x_0)) va qoniqtiradigan cheklov burchagiga ega bo'lish \operatorname(tg)\,\alpha = f"(x_0), tangens tenglama bilan berilgan:

    y \u003d f (x_0) + f "(x_0) (x-x_0).

    Aylanaga teginish

    Aylana bilan bitta umumiy nuqtasi bo'lgan va u bilan bir tekislikda joylashgan to'g'ri chiziq aylanaga teguvchi deyiladi.

    Xususiyatlari

    1. Aylanaga tegish nuqtaga chizilgan radiusga perpendikulyar.
    2. Bir nuqtadan chizilgan aylanaga teguvchi segmentlar teng bo'lib, shu nuqtadan o'tuvchi chiziq va aylananing markazi bilan teng burchaklar hosil qiladi.
    3. Tangensning aylana markazidan chizilgan nur bilan kesishgan nuqtasi va kesishish nuqtasi o'rtasida olingan, birlik radiusi bo'lgan doiraga tortilgan tangens segmentining uzunligi bu nur orasidagi burchakning tangensidir. va aylananing markazidan teginish nuqtasiga yo'nalish. Latdan "tangens". tangenslar- "tangens".

    Variatsiyalar va umumlashtirishlar

    Bir tomonlama yarim tangenslar

    • Agar to'g'ri hosila mavjud bo'lsa f"_+(x_0)< \infty, keyin o'ng yarim tangent funksiya grafigiga f nuqtada x_0 nur deb ataladi
    y = f(x_0) + f"_+(x_0)(x - x_0),\quad x \geqslant x_0.
    • Agar chap lotin mavjud bo'lsa f"_-(x_0)< \infty, keyin chap yarim tangent funksiya grafigiga f nuqtada x_0 nur deb ataladi
    y = f(x_0) + f"_-(x_0)(x - x_0),\quad x \leqslant x_0.
    • Agar cheksiz to'g'ri hosila mavjud bo'lsa f"_+(x_0) = +\infty\; (-\infty), f nuqtada x_0 nur deb ataladi
    x = x_0, \; y \geqslant f(x_0)\; (y\leqslant f(x_0)).
    • Agar cheksiz chap hosila mavjud bo'lsa f"_-(x_0) = +\infty\; (-\infty), keyin funksiya grafigiga o‘ng yarim tangens f nuqtada x_0 nur deb ataladi
    x = x_0, \; y \leqslant f(x_0)\; (y\geqslant f(x_0)).

    Shuningdek qarang

    • Oddiy, binormal

    "Tangent Line" maqolasiga sharh yozing

    Adabiyot

    • Toponogov V.A. Egri va sirtlarning differensial geometriyasi. - Fizmatkniga, 2012. - ISBN 9785891552135.
    • // Brokxauz va Efronning entsiklopedik lug'ati: 86 jildda (82 jild va 4 ta qo'shimcha). - Sankt-Peterburg. , 1890-1907.

    Tangens chiziqni tavsiflovchi parcha

    - Joylarda! - deb baqirdi yosh ofitser Per atrofida to'plangan askarlarga. Bu yosh ofitser, shekilli, birinchi yoki ikkinchi marta o'z lavozimini bajargan va shuning uchun ham askarlarga, ham qo'mondonga alohida aniqlik va bir xillik bilan munosabatda bo'lgan.
    To'p va miltiqlarning tartibsiz o'q otilishi butun maydonda, ayniqsa Bagrationning chaqnashlari bo'lgan chap tomonda kuchaydi, lekin Per turgan joydan o'qlarning tutuni tufayli hech narsani ko'rish deyarli mumkin emas edi. Bundan tashqari, batareykada bo'lgan oila (boshqalardan ajralgan) odamlar doirasi qanday qilib Perning diqqatini o'ziga tortdi. Uning jang maydonidagi ko‘rinish va tovushlar ta’sirida paydo bo‘lgan ilk ongsiz quvonchli hayajon, ayniqsa, o‘tloqda yotgan bu yolg‘iz askarni ko‘rgandan keyin boshqa bir tuyg‘u bilan almashtirildi. Hozir ariq yonbag‘rida o‘tirib, atrofidagi chehralarni kuzatdi.
    Soat o'nga kelib, yigirma kishi allaqachon akkumulyatordan olib ketilgan edi; ikkita qurol sindirildi, ko'proq snaryadlar batareyaga tegdi va uchib ketdi, g'ichirlab va hushtak chalib, uzoq masofaga otiladigan o'qlar. Ammo batareyada bo'lgan odamlar buni sezmaganga o'xshaydi; har tomondan quvnoq suhbat, hazillar eshitildi.
    - Chinenko! - yaqinlashib kelayotgan, hushtak chalayotgan granataga qarab qichqirdi askar. - Bu yerda emas! Piyodalarga! – granata uchib o‘tib, muqova qatoriga tegib ketganini payqab kulib qo‘shib qo‘ydi yana biri.
    - Nima, do'stim? - deb kuldi boshqa bir askar uchib yurgan to'p ostida cho'kkalab o'tirgan dehqonga.
    Bir necha askarlar qal'aga yig'ilib, oldinda nima bo'layotganini ko'rishdi.
    "Va ular zanjirni olib tashlashdi, ko'rdingizmi, ular qaytib ketishdi", dedilar milni ko'rsatib.
    "Ishlaringga qarang", deb baqirdi keksa unter-ofitser ularga. - Ular qaytib ketishdi, demak, ish bor. - Va unter-ofitser askarlardan birini yelkasidan ushlab, tizzasi bilan itarib yubordi. Kulgi eshitildi.
    - Beshinchi qurolga o'ting! — qichqirdi bir tomondan.
    "Birgalikda, do'stona, burlatskiyda", qurolni almashtirganlarning quvnoq qichqirig'i eshitildi.
    "Ha, men xo'jayinimizning shlyapasini yiqitib yubordim", dedi qizil yuzli hazil tishlarini ko'rsatib, Perga kulib. "Oh, qo'pol", - deya tanbeh bilan qo'shib qo'ydi u odamning g'ildiragi va oyog'iga tushgan to'pga.
    - Xo'sh, tulkilar! yana biri yaradorlar uchun akkumulyatorga kirib kelayotgan gurkirab turgan militsionerlarga kuldi.
    - Al mazali bo'tqa emasmi? Oh, qarg'alar, chayqalishdi! – deb baqirdi ular oyog‘i kesilgan askar oldida ikkilanib turgan militsiyaga.
    - Shunaqa narsa, kichkintoy, - taqlid qilishdi dehqonlar. - Ular ehtirosni yoqtirmaydilar.
    Per har bir zarbadan keyin, har bir mag'lubiyatdan keyin umumiy jonlanish tobora kuchayib borayotganini payqadi.
    Ko'tarilayotgan momaqaldiroq bulutidan bu odamlarning yuzlarida (go'yo sodir bo'layotgan narsaga qarshi bo'lgandek) tobora yorqinroq va yorqinroq chaqmoq chaqnadi.
    Per jang maydonida oldinga qaramadi va u erda nima sodir bo'layotganini bilishdan manfaatdor emas edi: u xuddi shu tarzda (u his qilgan) qalbida alangalanib borayotgan bu, tobora ko'proq yonayotgan olov haqida o'ylash bilan shug'ullanardi.
    Soat o'nlarda butalar va Kamenka daryosi bo'ylab batareyadan oldinda bo'lgan piyoda askarlari orqaga chekinishdi. Batareyadan ular qanday qilib yaradorlarni qurollarida ko'tarib, uning yonidan yugurib o'tishganini ko'rish mumkin edi. Ba'zi bir general o'z mulozimlari bilan tepalikka kirishdi va polkovnik bilan gaplashgandan so'ng, Perga g'azab bilan qarab, yana pastga tushib, batareyaning orqasida turgan piyoda askarlariga o'q otishlariga kamroq ta'sir qilish uchun yotishni buyurdi. Shundan so'ng, piyodalar safida, batareyaning o'ng tomonida, baraban ovozi, buyruq qichqirig'i eshitildi va batareyadan piyoda askarlari saflari qanday oldinga siljishi aniq edi.
    Per milga qaradi. Ayniqsa, bir yuz uning e'tiborini tortdi. Bu bir ofitser edi, o‘zi oppoq yosh chehrasi bilan orqaga qarab yurib, tushirilgan qilichini ko‘tarib, atrofga beozor qarab turardi.
    Piyoda askarlarining saflari tutun ichida g'oyib bo'ldi, ularning uzoq davom etgan faryodlari va tez-tez o'q otishlari eshitildi. Bir necha daqiqadan so'ng u erdan yaradorlar va zambillar olomon o'tib ketishdi. Chig'anoqlar batareyaga tez-tez ura boshladi. Bir necha kishi tozalanmagan holda yotardi. To'plar yonida askarlar yanada gavjum va jonliroq harakat qilishdi. Endi hech kim Perga e'tibor bermadi. Bir-ikki marta yo'lda qolgani uchun jahl bilan baqirishdi. Katta ofitser yuzini chimirib, katta va tez qadamlar bilan bir quroldan ikkinchisiga o‘tdi. Yana qizarib ketgan yosh ofitser askarlarga yanada tirishqoqlik bilan buyruq berdi. Askarlar o'q uzdilar, o'girildilar, yuk ortdilar va o'z vazifalarini shiddatli tirishqoqlik bilan bajarishdi. Ular yo'l bo'ylab go'yo buloqlarda sakradilar.