Funktsiya gradienti nuqtada koordinatalari mos keladigan qisman hosilalarga teng bo'lgan vektor deb ataladi va belgilanadi.

Agar birlik vektorni e=() deb hisoblasak, (3) formulaga muvofiq, yo’nalishdagi hosila gradientning skalyar ko’paytmasi va yo’nalishni aniqlovchi birlik vektor hisoblanadi. Ma'lumki, ikkita vektorning yo'nalishi bir xil bo'lsa, ularning skalyar ko'paytmasi maksimal bo'ladi. Demak, funksiyaning berilgan nuqtadagi gradienti ushbu nuqtadagi funksiyaning maksimal o‘sishining yo‘nalishi va kattaligini xarakterlaydi.

Teorema . Agar funktsiya differentsial bo'lsa va M nuqtada 0 Agar gradient qiymati nolga teng bo'lmasa, u holda gradient o'tuvchi sath chizig'iga perpendikulyar bo'ladi. berilgan nuqta va bir vaqtning o'zida funktsiyani oshirish yo'nalishiga yo'naltiriladi

Xulosa: 1) Belgilangan nuqtada ushbu funktsiyaning gradienti bilan aniqlangan yo'nalish bo'ylab nuqtadagi funktsiyaning hosilasi boshqa har qanday yo'nalish bo'ylab shu nuqtadagi hosilaga nisbatan maksimal qiymatga ega.

• 2) funktsiyaning berilgan nuqtadagi gradientini aniqlaydigan yo'nalishdagi hosilasining qiymati ga teng.
• 3) Har bir nuqtada funksiyaning gradientini bilgan holda, qandaydir xatolik bilan darajali chiziqlar qurish mumkin. M 0 nuqtasidan boshlaylik. Keling, shu nuqtada gradient quramiz. Yo'nalishni gradientga perpendikulyar o'rnating. Keling, daraja chizig'ining kichik qismini quraylik. M 1 yaqin nuqtasini ko'rib chiqing, unga gradient quring va hokazo.

Kimdan maktab kursi Matematiklar tekislikdagi vektor yo'naltirilgan segment ekanligini bilishadi. Uning boshi va oxiri ikkita koordinataga ega. Vektor koordinatalari yakuniy koordinatalardan boshlang'ich koordinatalarini ayirish yo'li bilan hisoblanadi.

Vektor tushunchasini n o'lchovli fazoga ham kengaytirish mumkin (ikkita koordinata o'rniga n koordinata bo'ladi).

Gradient z = f(x 1 , x 2 , …x n) funksiyaning grad z nuqtadagi funksiyaning qisman hosilalari vektori, yaʼni. koordinatalari bo'lgan vektor.

Isbotlash mumkinki, funktsiya gradienti nuqtadagi funksiya darajasining eng tez o'sish yo'nalishini tavsiflaydi.

Masalan, z \u003d 2x 1 + x 2 funktsiyasi uchun (5.8-rasmga qarang) har qanday nuqtadagi gradient koordinatalarga ega bo'ladi (2; 1). U vektorning boshi sifatida istalgan nuqtani olib, tekislikda turli yo'llar bilan qurilishi mumkin. Masalan, (0; 0) nuqtani (2; 1) nuqtaga yoki (1; 0) nuqtani (3; 1) yoki (0; 3) nuqtani (2; 4) nuqtaga ulashingiz mumkin, yoki t .P. (5.8-rasmga qarang). Shu tarzda tuzilgan barcha vektorlar koordinatalariga ega bo'ladi (2 - 0; 1 - 0) =
= (3 – 1; 1 – 0) = (2 – 0; 4 – 3) = (2; 1).

5.8-rasmda funktsiya darajasi gradient yo'nalishi bo'yicha o'sib borishi aniq ko'rsatilgan, chunki qurilgan darajali chiziqlar 4 > 3 > 2 daraja qiymatlariga mos keladi.

5.8-rasm - Gradient funktsiyasi z \u003d 2x 1 + x 2

Yana bir misolni ko'rib chiqaylik - z = 1/(x 1 x 2) funktsiyasi. Ushbu funktsiyaning gradienti endi har doim bir xil bo'lmaydi turli nuqtalar, chunki uning koordinatalari formulalar bilan aniqlanadi (-1 / (x 1 2 x 2); -1 / (x 1 x 2 2)).

5.9-rasmda 2 va 10 darajalar uchun z = 1 / (x 1 x 2) funktsiyaning darajali chiziqlari ko'rsatilgan (1 / (x 1 x 2) = 2 to'g'ri chiziq nuqta bilan ko'rsatilgan va to'g'ri chiziq.
1 / (x 1 x 2) \u003d 10 - qattiq chiziq).

5.9-rasm - Har xil nuqtalarda z \u003d 1 / (x 1 x 2) funktsiyasining gradientlari

Masalan, (0,5; 1) nuqtani oling va bu nuqtadagi gradientni hisoblang: (-1 / (0,5 2 * 1); -1 / (0,5 * 1 2)) \u003d (-4; - 2) . E'tibor bering (0,5; 1) nuqta 1 / (x 1 x 2) \u003d 2 daraja chizig'ida yotadi, chunki z \u003d f (0,5; 1) \u003d 1 / (0,5 * 1) \u003d 2. To 5.9-rasmdagi vektorni (-4; -2) tasvirlaymiz, biz (0,5; 1) nuqtani (-3,5; -1) nuqta bilan bog'laymiz, chunki
(-3,5 – 0,5; -1 - 1) = (-4; -2).

Xuddi shu darajadagi chiziqdagi yana bir nuqtani olaylik, masalan, nuqta (1; 0,5) (z = f(1; 0,5) = 1/(0,5*1) = 2). Ushbu nuqtada gradientni hisoblang
(-1/(1 2 *0,5); -1/(1*0,5 2)) = (-2; -4). Uni 5.9-rasmda tasvirlash uchun (1; 0,5) nuqtani (-1; -3,5) nuqta bilan bog'laymiz, chunki (-1 - 1; -3,5 - 0,5) = (-2; - to'rt).

Keling, bir xil darajadagi chiziqda yana bir nuqtani olaylik, lekin faqat hozir ijobiy bo'lmagan koordinatali chorakda. Masalan, nuqta (-0,5; -1) (z = f(-0,5; -1) = 1/((-1)*(-0,5)) = 2). Bu nuqtada gradient bo'ladi
(-1/((-0,5) 2 *(-1)); -1/((-0,5)*(-1) 2)) = (4; 2). Uni 5.9-rasmda (-0,5; -1) nuqtani (3,5; 1) nuqta bilan tutashtirib tasvirlaymiz, chunki (3,5 - (-0,5); 1 - (-1)) = (4 ; 2).

Ta'rif 1

Agar biron bir domendan ikkita mustaqil o'zgaruvchining har bir $(x,y)$ juftligi uchun ma'lum $z$ qiymati tayinlangan bo'lsa, u holda $z$ ikkita o'zgaruvchining $(x,y) funktsiyasi deyiladi. )$. Belgilash: $z=f(x,y)$.

$z=f(x,y)$ funksiyasini ko'rib chiqaylik, u $Oxy$ fazosida ba'zi domenlarda aniqlangan.

Binobarin,

Ta'rif 3

Agar biron bir domendan uchta mustaqil o'zgaruvchining har bir uchlik $(x,y,z)$ qiymati uchun ma'lum bir $w$ qiymati tayinlangan bo'lsa, $w$ uchta o'zgaruvchining funktsiyasi deyiladi $(x, y,z)$ bu hududda.

Belgilash:$w=f(x,y,z)$.

$w=f(x,y,z)$ funksiyasini ko'rib chiqaylik, u $Oxyz$ fazosida ba'zi domenlarda aniqlangan.

Uchun berilgan funksiya vektorni aniqlang, buning uchun koordinata o'qlari bo'yicha proyeksiyalar ma'lum bir nuqtada berilgan funktsiyaning qisman hosilalarining qiymatlari $\frac(\qisman z)(\qisman x) ;\frac(\qisman z)(\ qisman y) $.

Ta'rif 4

Berilgan $w=f(x,y,z)$ funksiyaning gradienti quyidagi shakldagi $\overrightarrow(gradw) $ vektoridir:

Teorema 3

$w=f(x,y,z)$ skalyar maydonda gradient maydoni aniqlansin

\[\overrightarrow(gradw) =\frac(\qisman w)(\qisman x) \cdot \overrightarrow(i) +\frac(\qisman w)(\qisman y) \cdot \overrightarrow(j) +\frac (\qisman w)(\qisman z) \cdot \overrightarrow(k) .\]

Berilgan $\overrightarrow(s) $ vektori yoʻnalishidagi $\frac(\partial w)(\qisman s) $ hosilasi $\overrightarrow(gradw) $ gradient vektorining berilgan vektorga proyeksiyasiga teng. $\overrightarrow(s) $.

4-misol

Yechim:

Gradientning ifodasi formula bo'yicha topiladi

\[\overrightarrow(gradw) =\frac(\qisman w)(\qisman x) \cdot \overrightarrow(i) +\frac(\qisman w)(\qisman y) \cdot \overrightarrow(j) +\frac (\qisman w)(\qisman z) \cdot \overrightarrow(k) .\]

\[\frac(\qisman w)(\qisman x) =2x;\frac(\qisman w)(\qisman y) =4y;\frac(\qisman w)(\qisman z) =2.\]

Binobarin,

\[\overrightarrow(gradw) =2x\cdot \overrightarrow(i) +4y\cdot \overrightarrow(j) +2\cdot \overrightarrow(k) .\]

5-misol

Berilgan funksiyaning gradientini aniqlang

$M(1;2;1)$ nuqtada. $\left(|\overrightarrow(gradz) |\right)_(M) $ ni hisoblang.

Yechim:

Gradient uchun ifoda berilgan nuqta formula bo'yicha toping

\[\left(\overrightarrow(gradw) \o'ng)_(M) =\left(\frac(\qisman w)(\qisman x) \o'ng)_(M) \cdot \overrightarrow(i) +\chap (\frac(\qisman w)(\qisman y) \o'ng)_(M) \cdot \overrightarrow(j) +\left(\frac(\qisman w)(\qisman z) \o'ng)_(M) \cdot \overrightarrow(k) .\]

Qisman hosilalar quyidagi shaklga ega:

\[\frac(\qisman w)(\qisman x) =2x;\frac(\qisman w)(\qisman y) =4y;\frac(\qisman w)(\qisman z) =6z^(2) .\]

$M(1;2)$ nuqtadagi hosilalar:

\[\frac(\qisman w)(\qisman x) =2\cdot 1=2;\frac(\qisman w)(\qisman y) =4\cdot 2=8;\frac(\qisman w)( \qisman z) =6\cdot 1^(2) =6.\]

Binobarin,

\[\left(\overrightarrow(gradw) \right)_(M) =2\cdot \overrightarrow(i) +8\cdot \overrightarrow(j) +6\cdot \overrightarrow(k) \]

\[\left(|\overrightarrow(gradw) |\right)_(M) =\sqrt(2^(2) +8^(2) +6^(2) ) =\sqrt(4+64+36) ) =\sqrt(104) .\]

Keling, ba'zilarini sanab o'tamiz gradient xususiyatlari:

$\overrightarrow(s)$ vektorining yo'nalishi bo'yicha berilgan nuqtada berilgan funktsiyaning hosilasi, agar berilgan $\overrightarrow(s)$ vektorining yo'nalishi gradient yo'nalishiga to'g'ri kelsa, eng katta qiymatga ega bo'ladi. Bunday holda, lotinning bu eng katta qiymati gradient vektorining uzunligiga to'g'ri keladi, ya'ni. $|\overrightarrow(gradw) |$.

Berilgan funktsiyaning gradient vektoriga perpendikulyar bo'lgan vektor yo'nalishiga nisbatan hosilasi, ya'ni. $\overrightarrow(gradw) $ 0 ga teng. $\varphi =\frac(\pi )(2) $ ekan, $\cos \varphi =0$; shuning uchun $\frac(\qisman w)(\qisman s) =|\overrightarrow(gradw) |\cdot \cos \varphi =0$.

GRADIENT FUNKSIYASI u = f(x, y, z) ba'zi mintaqalarda ko'rsatilgan. bo'sh joy (X Y Z), u yerda vektor belgilar bilan belgilangan proyeksiyalar bilan: grad qayerda i, j, k- koordinata vektorlari. G. f. - nuqta funksiyasi mavjud (x, y, z), ya'ni vektor maydonini hosil qiladi. G. f yoʻnalishi boʻyicha hosila. shu nuqtaga yetadi eng katta qiymat va teng: Gradientning yo'nalishi - bu funktsiyaning eng tez o'sish yo'nalishi. G. f. berilgan nuqtada bu nuqtadan o'tuvchi sath yuzasiga perpendikulyar. Foydalanish samaradorligi G. f. litologik tadqiqotlarda eoliy sobiqni o'rganishda ko'rsatilgan. Markaziy Qoraqum.

Geologik lug'at: 2 jildda. - M .: Nedra. K. N. Paffengolts va boshqalar tomonidan tahrirlangan.. 1978 .

Boshqa lug'atlarda "GRADIENT FUNCTION" nima ekanligini ko'ring:

Ushbu maqola matematik xarakteristikalar haqida; to'ldirish usuli haqida qarang: Gradient (kompyuter grafikasi) ... Vikipediya

- (lat.). Turli sohalarda barometrik va termometrik o'qishlardagi farq. Lug'at xorijiy so'zlar rus tiliga kiritilgan. Chudinov A.N., 1910. Bir vaqtning o'zida barometr va termometr ko'rsatkichlaridagi GRADIENT farqi ... ... Rus tilidagi xorijiy so'zlar lug'ati

gradient- ma'lum bir yo'nalishda masofa birligiga to'g'ri keladigan ba'zi miqdorning qiymatini o'zgartirish. Topografik gradient - o'lchangan gorizontal masofada balandlikning o'zgarishi. Differensial himoya o'chirish xarakteristikasining o'rni himoyasi EN gradienti ... Texnik tarjimon uchun qo'llanma

Gradient- funktsiyaning eng tez o'sishiga yo'naltirilgan va bu yo'nalishda uning hosilasiga teng bo'lgan vektor: bu erda ei belgilari koordinata o'qlarining (orthlarning) birlik vektorlarini bildiradi ... Iqtisodiy va matematik lug'at

Vektor tahlilining asosiy tushunchalaridan biri va chiziqli bo'lmagan xaritalar nazariyasi. Evklid fazosidan vektor argumentining skalyar funksiyasining gradienti E n deb ataladi. t vektor argumentiga nisbatan f (t) funksiyaning hosilasi, ya'ni ... ... bo'lgan n o'lchovli vektor. Matematik entsiklopediya

fiziologik gradient- - k ning o'zgarishini aks ettiruvchi qiymat yoki funktsiyaning boshqa qiymatga bog'liq ko'rsatkichi; masalan, gradient qisman bosim gazlarning alveolalardan (aksinus) qonga va qondan ... ichiga tarqalishini aniqlaydigan qisman bosimdagi farq. Qishloq hayvonlari fiziologiyasi atamalarining lug'ati

I Gradient (lotincha gradiens, gradientis yuruvchi jins) maʼlum miqdorning eng tez oʻzgarishi yoʻnalishini koʻrsatuvchi vektor, uning qiymati fazoning bir nuqtasidan ikkinchisiga oʻzgaradi (qarang: Maydon nazariyasi). Agar qiymat ...... Buyuk Sovet Entsiklopediyasi

Gradient- (lot. gradiens yurish, yurish) (matematikada) qandaydir funksiyaning eng tez ortish yo‘nalishini ko‘rsatuvchi vektor; (fizikada) fazoda yoki ba'zilarining tekisligida o'sish yoki kamayish o'lchovi jismoniy miqdor birlik uchun ...... Zamonaviy tabiatshunoslikning boshlanishi

Kitoblar

• Oliy matematikaning tanlangan bo'limlarining ayrim masalalarini yechish usullari. Amaliyot, Klimenko Konstantin Grigoryevich, Levitskaya Galina Vasilevna, Kozlovskiy Evgeniy Aleksandrovich. Ushbu seminarda matematik tahlilning umume'tirof etilgan bo'limlaridan funktsiyaning chegarasi va ekstremumlari, gradient va hosilaviy ... kabi ba'zi turdagi muammolarni hal qilish usullari muhokama qilinadi.

1 0 Gradient normal bo'ylab tekis sirtga (yoki maydon tekis bo'lsa, daraja chizig'iga) yo'naltiriladi.

2 0 Gradient maydon funktsiyasini oshirish yo'nalishiga yo'naltirilgan.

3 0 Gradient moduli maydonning ma'lum bir nuqtasida yo'nalishdagi eng katta lotinga teng:

Bu xususiyatlar gradientning o'zgarmas xarakteristikasini beradi. Ularning ta'kidlashicha, gradU vektori ma'lum bir nuqtada skalyar maydondagi eng katta o'zgarishlarning yo'nalishi va kattaligini ko'rsatadi.

Izoh 2.1. Agar U(x,y) funksiya ikki o‘zgaruvchining funksiyasi bo‘lsa, u holda vektor

oksi tekislikda yotadi.

M 0 (x,y,z) nuqtada U=U(x,y,z) va V=V(x,y,z) funksiyalar differentsiallansin. Keyin quyidagi tengliklar amal qiladi:

a) grad()= ; b) grad(UV)=VgradU+UgradV;

c) grad(U V)=gradU gradV; d) d) grad = , V ;

e) gradU( = gradU, bu yerda , U=U() ga nisbatan hosilaga ega.

2.1-misol. U=x 2 +y 2 +z 2 funksiya berilgan. M(-2;3;4) nuqtadagi funksiyaning gradientini aniqlang.

Yechim. Formula (2.2) bo'yicha bizda mavjud

Bu skalyar maydonning sath sirtlari x 2 +y 2 +z 2 sharlar oilasi, vektor gradU=(-4;6;8) tekisliklarning normal vektori.

2.2-misol. U=x-2y+3z skalar maydonining gradientini toping.

Yechim. Formula (2.2) bo'yicha bizda mavjud

Berilgan skalyar maydonning sath sirtlari tekisliklardir

x-2y+3z=C; vektor gradU=(1;-2;3) bu turkumdagi tekisliklarning normal vektori.

2.3-misol. M(2;2;4) nuqtadagi U=x y sirtning eng tik qiyaligini toping.

Yechim. Bizda ... bor:

2.4-misol. Skayar maydonning U=x 2 +y 2 +z 2 sath yuzasiga birlik normal vektorini toping.

Yechim. Berilgan skalyarning sath sirtlari Maydon-sfera x 2 +y 2 +z 2 =C (C>0).

Gradient normal bo'ylab tekislik yuzasiga yo'naltiriladi, shuning uchun

M(x,y,z) nuqtadagi sath yuzasiga normal vektorni belgilaydi. Birlik normal vektor uchun ifodani olamiz

2.5-misol. Maydon gradientini toping U= , bu yerda va doimiy vektorlar, r nuqtaning radius vektori.

Yechim. Mayli

Keyin: . Determinantni differentsiallash qoidasiga ko'ra, biz olamiz

Binobarin,

2.6-misol. Masofa gradientini toping, bu erda P(x,y,z) o'rganilayotgan maydon nuqtasi, P 0 (x 0,y 0,z 0) qandaydir qo'zg'almas nuqtadir.

Yechim. Bizda - birlik yo'nalishi vektori.

2.7-misol. M 0 (1,1) nuqtadagi funksiyalarning gradientlari orasidagi burchakni toping.

Yechim. Bu funksiyalarning gradientlarini M 0 (1,1) nuqtadan topamiz, bizda bor

; M 0 nuqtadagi gradU va gradV orasidagi burchak tenglikdan aniqlanadi

Demak =0.

2.8-misol. Yo'nalishga nisbatan hosilani toping, radius vektori teng

Yechim. Ushbu funktsiyaning gradientini topish:

(2.5) ni (2.4) ga almashtirib, olamiz

2.9-misol. M 0 (1;1;1) nuqtada U=xy+yz+xz skalar maydonidagi eng katta o’zgarish yo’nalishini va shu nuqtadagi eng katta o’zgarish kattaligini toping.

Yechim. Maydondagi eng katta o'zgarish yo'nalishi grad U(M) vektori bilan ko'rsatilgan. Biz buni topamiz:

Va shuning uchun, . Bu vektor M 0 (1;1;1) nuqtada ushbu maydonning eng katta o'sish yo'nalishini aniqlaydi. Bu nuqtada maydondagi eng katta o'zgarish qiymati teng

3.1-misol. Vektor chiziqlarni toping vektor maydoni doimiy vektor qayerda.

Yechim. Bizda shunday

Birinchi kasrning sonini va maxrajini x ga, ikkinchisini y ga, uchinchisini z ga ko'paytiring va uni had bo'yicha qo'shing. Proportion xususiyatidan foydalanib, biz olamiz

Demak, xdx+ydy+zdz=0, bu degani

x 2 +y 2 +z 2 =A 1 , A 1 -const>0. Endi birinchi kasrning (3.3) soni va maxrajini c 1 ga, ikkinchisini c 2 ga, uchinchisini c 3 ga ko'paytirsak va uni had bo'yicha yig'ib, biz hosil bo'lamiz.

Bu yerdan c 1 dx+c 2 dy+c 3 dz=0

Va shuning uchun 1 x+c 2 y+c 3 z=A 2 bilan. 2-konst.

Vektor chiziqlarning talab qilinadigan tenglamalari

Bu tenglamalar vektor chiziqlari vektorga perpendikulyar tekisliklar bilan boshi umumiy markazga ega bo'lgan sharlarning kesishishi natijasida olinganligini ko'rsatadi. Bundan kelib chiqadiki, vektor chiziqlari markazlari c vektor yo'nalishi bo'yicha koordinata boshidan o'tuvchi to'g'ri chiziqda joylashgan doiralardir. Doiralarning tekisliklari belgilangan chiziqqa perpendikulyar.

3.2-misol.(1,0,0) nuqtadan o'tuvchi maydon vektor chizig'ini toping.

Yechim. Differensial tenglamalar vektor chiziqlari

Shuning uchun bizda bor. Birinchi tenglamani yechish. Yoki t parametrini kiritadigan bo'lsak, u holda bizda bo'ladi Bu holda tenglama yoki dz=bdt ko'rinishini oladi, bu erdan z=bt+c 2 .