Bertrand Russell'ın Paradoksu. mantıksal paradoksların problemlerini çözme. Sakallı berber - B. Russell paradoksuna çözüm Berber kendini traş etmeyen herkesi traş etti

Kendilerini eleman olarak içermeyen tüm kümeler. Bir element olarak kendini içeriyor mu? Eğer öyleyse, tanımı gereği bu bir unsur - bir çelişki olmamalıdır. Değilse - o zaman, tanım gereği, bir unsur olmalıdır - yine bir çelişki.

Russell'ın paradoksundaki çelişki, içsel olarak çelişkili kavramın akıl yürütmedeki kullanımından kaynaklanmaktadır. tüm setlerin setleri ve kümelerle çalışırken klasik mantık yasalarının sınırsız uygulama olasılığı hakkında fikirler. Bu paradoksun üstesinden gelmek için çeşitli yollar önerilmiştir. En ünlüsü, kümelerle çalışmanın tüm "gerçekten gerekli" (bir anlamda) yollarının kabul edilebilir olacağı küme teorisi için tutarlı bir biçimselleştirmenin sunulmasıdır. Böyle bir formalizasyon çerçevesinde, varlığına ilişkin beyan, tüm setlerin setleri indirgenemez olacaktır.

Gerçekten de, tüm kümelerin kümesinin var olduğunu varsayalım. O halde, seçim aksiyomuna göre, elemanları bu olan ve sadece kendilerini eleman olarak içermeyen kümeler de olmalıdır. Bununla birlikte, bir kümenin varlığı varsayımı Russell paradoksuna yol açar. Bu nedenle, teorinin tutarlılığı göz önüne alındığında, ispatlanması gereken bu teoride bir kümenin varlığına ilişkin ifade türetilemez.

Tanımlanan kümeler teorisini “kurtarma” programının uygulanması sırasında, bunun birkaç olası aksiyomizasyonu önerildi (Zermelo-Fraenkel teorisi ZF, Neumann-Bernays-Gödel teorisi NBG, vb.), ancak kanıt bulunamadı. Şimdiye kadar bu teorilerden herhangi biri için tutarlılık bulunmuştur. Üstelik Gödel'in bir takım eksiklik teoremleri geliştirerek gösterdiği gibi, böyle bir ispat (bir anlamda) olamaz.

Keşfe bir başka tepki Russell paradoksu L. E. Ya. Brouwer'ın sezgiciliği ortaya çıktı.

İfade seçenekleri

Bu paradoksun birçok popüler formülasyonu vardır. Bunlardan birine geleneksel olarak berber paradoksu denir ve şöyle devam eder:

Bir köy berberi sipariş edildi "kendini traş etmeyeni traş edin ve kendini traş edeni traş etmeyin". Kendisiyle nasıl başa çıkmalı?

Başka seçenek:

Bir ülke bir kararname yayınladı: "Bütün şehirlerin belediye başkanları kendi şehirlerinde değil, özel belediye başkanları şehrinde yaşamalı". Belediye Başkanları Belediye Başkanı nerede yaşamalı?

Ve bir tane daha:

Belirli bir kütüphane, tüm bunları ve yalnızca kendilerine referanslar içermeyen bibliyografik katalogları içerecek bir bibliyografik katalog derlemeye karar verdi. Böyle bir dizin kendisine bir bağlantı içermeli mi?

Ayrıca bakınız

Edebiyat

Courant R, Robbins G. matematik nedir? - Ch. II, § 4.5
Miroshnichenko P.N. Frege'nin sisteminde Russell'ın paradoksunu ne yok etti? // Modern mantık: bilimde teori, tarih ve uygulama sorunları. - SPb., 2000. - S. 512-514.
Katrechko S.L. Russell'ın berber paradoksu ve Platon - Aristoteles'in diyalektiği // Modern mantık: teori, tarih ve bilimdeki uygulamalar sorunları. - St. Petersburg, 2002. - S. 239-242.
Martin GardnerÖyleyse tahmin et! = Ah! Anladım. Bulmaca ve zevk için paradokslar. - E.: Mir, 1984. - S. 22-23. - 213 s.

Notlar

Wikimedia Vakfı. 2010 .

"Russell Paradox" un diğer sözlüklerde neler olduğunu görün:

- (Yunan paradoksları beklenmedik, garip) geniş anlamda: genel olarak kabul edilen, yerleşik görüşle keskin bir şekilde çelişen bir ifade, “şüphesiz doğru” gibi görünenin inkarı; daha dar bir anlamda, iki zıt ifade, için ... ... Felsefi Ansiklopedi

Russell paradoksu, 1903'te Bertrand Russell tarafından keşfedilen ve daha sonra bağımsız olarak E. Zermelo tarafından yeniden keşfedilen, G. Cantor'un naif küme teorisinin dilinin tutarsızlığını değil, kusurlu olduğunu gösteren küme teorik bir çatışkı. Antinomi ... ... Vikipedi

paradoks- PARADOX (Yunanca para dışı ve doxa görüşünden). 1) Geniş (mantıksal olmayan) anlamda, gelenek, hukuk, kural, norm veya sağduyu tarafından onaylanan, genel kabul görmüş görüşle şu veya bu şekilde çelişen (ayrılan) her şey. ... ... Epistemoloji ve Bilim Felsefesi Ansiklopedisi

İlk başta henüz belli olmayan, ancak beklentilerin aksine bu pozisyon gerçeği ifade ediyor. Antik mantıkta, bir paradoks, belirsizliği öncelikle doğruluğuna veya yanlışlığına atıfta bulunan bir ifadeydi. …… Felsefi Ansiklopedi

- (tüm sağlam temelli sınıfların sınıfının paradoksu) Burali Forti paradoksunun bir genellemesi olan küme teorisinde bir paradoks. Rus matematikçi D. Mirimanov'un adını almıştır. İçindekiler 1 İfadeler ... Wikipedia

Tüm sıra sayıları kümesinin varlığının varsayımının çelişkilere yol açtığını ve bu nedenle böyle bir kümenin inşasının mümkün olduğu kümeler teorisinin çelişkili olduğunu gösterir. İçindekiler 1 Yazı 2 Tarihçe ... Wikipedia

- (Yunan paradokslarından beklenmedik, garip) beklenmedik, olağandışı (en azından formda) yargı (ifade, cümle), bu konuda genel olarak kabul edilen geleneksel görüşle keskin bir şekilde çelişiyor. Bu anlamda, "paradoksal" sıfatı ... Büyük Sovyet Ansiklopedisi

Cantor'un paradoksu, tüm kümelerin bir kümesinin varlığının varsayımının çelişkilere yol açtığını ve bu nedenle, böyle bir kümenin inşasının bir teorinin tutarsız olduğunu gösteren bir küme teorisi paradoksudur ... ... Wikipedia

Bu terimin başka anlamları vardır, bkz. Paradoks (anlamlar). Robert Boyle. Sürekli hareket eden bir makinenin olmadığının ispat şeması Paradoks ... Wikipedia

Kitabın

Mantıkta konu alanının evrenselliği metafizik kavramının çöküşü. Frege-Schroeder tartışması, B. V. Biryukov. AT bu kitap"Muhakeme evreni" kavramıyla bağlantılı matematiksel mantığın dramatik tarihi - mantıktaki konu alanı dikkate alınır. İki kişi arasındaki görüş çatışması...

Berber sadece kendini tıraş etmeyenleri tıraş eder,
Berber kendini tıraş edecek mi?

Cevap: Berber, traş olma eylemini gerçekleştirene kadar yapacaktır.
ne yaptığını anlayana kadar. örneğin
en az bir saç kes. Şunlar. bir şey oldu
sonuç, berberin hangisini yapabileceğini değerlendirir
traş olup olmadığına dair mantıklı çıkarım. ondan sonra o
Bayrağı tıraş etmeyi bırak ve ulaştığında
içinde olduğu gerçeği şu an tıraş olmuyor, tekrarlıyor
onların hareketleri. sonuç olarak, tıraş hızı
berberin kendi hızına bağlı
analitik bir sistem olarak çalışır. Ve sonunda karar
paradoks zamanla olacak, yani. tıraş değil tıraş
traş traş değil, vb. yani döngü, ancak
bizim-jeneratörümüz.

Sonuç olarak Berber tıraş olacak mı?

Tıraş terimi için doğruluk kriterine bağlıdır (içinde
görev, belirtilmemiş, bunun sonucunda görev
doğru ayarlayın).

bu yüzden onu kurma özgürlüğünü aldım, böylece görev
bir karar verdi ve "tıraş" tanımını tanıttı
tıraş gerçeği, bir seferde bir saçın kesilmesidir
zaman t1-t2.

başka bir forumdan kopyala-yapıştır:

"Hadi tüm noktaları Yo'ya koyalım!"
Eh, tıraş gerçeği gerçeği kesinlikle harika! Ve aslında onu kim kuracak?

Berberin kendisi tabii ki!
Sonuçta, belirli bir zamanda görevin koşulunu yerine getirip getirmediğini kendisi belirler.
Şu anda tıraş olmuyorsa, sakince tıraş olmaya başlayabilir. Şu anda kendisi için bir berber değil.
Şart, tıraşa başlamanın veya tıraş olmanın yasak olduğunu söylemez.
Tıraş işleminin farkında olduğu gerçeğine sahip olmamalıdır, aksi takdirde durumu ihlal eder.
Şunlar. eğer bunun farkına varamıyorsa, o zaman sorunun koşulunu İHLAL ETMİYOR!
Ve onun referans çerçevesinde, dışlanan ortanın yasasına göre bu olamaz.

Çünkü t1-t2 zamanında saç kesme eylemini gerçekleştirmek için zamanı yoktur.

Eylemin gerçekleştiği ve berberin suçlanmadığı ortaya çıktı. Evet, tıraş işlemini tamamladığının farkındadır, ancak henüz gerçekleştirmediği anda duruma göre tıraş işlemine başlamak için her hakkı vardı! ISO'sunda berber değildi. Tıraş olduğu zaman da vicdanı rahattır, çünkü bir daha tıraş olmaz. Ve ISO'sunda tıraş eyleminin gerçeği hiç tanımlanmadı.
Herhangi bir köylü açısından, berber de koşulları ihlal etmedi, çünkü bu kadar kısa bir zaman aralığında yaptığı her şey ISO'larından belirlenmedi ve hatta daha fazlası. İkisi de sadece sonucu görüyor: tıraş olmadı ve şimdi tıraş oldu.

Saçın yarısını kestiği anda tıraş olduğu gerçeğini belirleyebilen bir “hızlı berber” alırsak, durumu ihlal etmemek için basitçe duracak ve hemen tıraş olmaya devam edecektir. yine berber olmayı bırak.

Her halükarda, berber traş olacak ve duruma rağmen, şartı ihlal ettiği gerçeği ona gelmeyecek.

Bedenin düz bir çizgide hareket ettiği ve bir nedenden sonra bir boşlukta eşit olarak hızlandığı aklına gelmiyor mu? Bunu hafife alıyorsunuz, değil mi? ayy! Beden hareket etti, enerji harcanmadı, ama onu kim hareket ettirdi? Enerjiyi kim harcadı?
Aynı şekilde berber de bir gerçekle yüzleşecektir. Hata! Pabrilsi! Nasıl oldu? Bu, elbette, hafızası nakavt edilmişse ve bir an önce ne yaptığını hatırlamıyorsa.

Ve Newton'un 1. yasasında, sadece yapmıyorsunuz, hepsi bu.

Ve sadece berberin bir an önce ne yaptığını hatırlaması ve ayrıca tıraş olmaması nedeniyle, kendini traş ettiği ve durumu ihlal ettiği konusunda tümdengelimli bir VARSAYIM yapabilir.
Tıraş gerçeği tespit edilemedi, ama kesinlikle öyleydi.
Nedenselliğin tersine çevrilmesi mantığı yasasını uyguluyoruz:
tümdengelimli bir sonuç, başka bir tümdengelimli sonucun olamayacağının, ancak olamayacağının, yakınlarda kimsenin bulunmadığının kanıtı durumunda tümevarıma dönüşür, bu nedenle berberin kendisi traş oldu ve bir mucize değil onu traş etti ve ihlal gerçeği zaten tümevarımsal olarak kurulmuştur.
(Bu anı hissetmenizi isteyeceğim, çünkü burada size nedensellik yasasının tümevarım ve tümdengelim kavramı için nasıl çalıştığını gösterdim, başka nerede gösterebilirim)

Ancak bu yine sorunun koşullarını ihlal etmez, çünkü sorun, berberin bundan sonra bundan muzdarip olup olmayacağı hakkında hiçbir şey söylemez. Tıraş olmak mı tıraş olmamak mı diye bir soru vardı.

Berber, bir saçı tıraş ettikten sonra durumu ihlal ettiği ve tekrar tıraş olmaya çalışmanın onu bir sonraki sorunun ihlaline götüreceği sonucuna varsa bile, bu yine hiçbir şeyi değiştirmez, çünkü sorun değildi. olumsuz geri bildirimleri zamanında dikkate alması talimatı verildi, yani. varsayılan olarak, onları kural olarak ihmal ederiz.

"Gözlemci mi? Bu başka bir ISO."

Ne de olsa, görev berber için belirlenir ve bir saç tıraş prosedürünü, bu eylemi berberden başka bir ISO'da (yavaş hareket) bileşenlere göre daha ayrıntılı olarak niceleyerek ölçebilen bir tür dış gözlemci için değil, berber için belirlenir. saçın yarısını tıraş etme işlemini gerçekleştirin ve berberin durumu ihlal ettiğini söyleyin. Evet, konumundan berber onu kıracak, ancak bu sorunun durumuyla çelişmiyor.

Bir köyde bir berber dükkanının sahibi şu notu yayınladı: "Sadece ve sadece köyün kendi kendini tıraş etmeyenleri tıraş ederim." Soru şu ki, berberi kim tıraş ediyor?

Gelişim matematiksel mantıközellikle 20. yüzyılda bilgisayar teknolojisi ve programlamanın gelişmesiyle bağlantılı olarak yoğunlaşmıştır.

Ø Tanım Matematiksel mantık tamamen biçimselliğe dayanan modern bir mantık biçimidir. matematiksel yöntemler. Yalnızca kesin olarak tanımlanmış nesneler ve yargılar ile doğru ya da yanlış olduklarına kesin olarak karar vermenin mümkün olduğu çıkarımları inceler.

Matematiksel mantığın temel (tanımsız) kavramı, " basit ifade". Tek bir ifade olan bir ifadeye genellikle basit veya temel denir.

Ø Tanım Bildirimi doğru veya yanlış olduğu söylenebilen bir bildirim cümlesidir.

İfadeler doğru I veya yanlış L olabilir.

Örnek: Dünya gezegeni Güneş Sistemi. (Doğru); Her paralelkenar bir karedir (Yanlış)

Doğru mu yanlış mı olduğunu kesin olarak söylemenin imkansız olduğu ifadeler var. "Bugün hava güzel" (bunu beğenenler)

Örnek Beyan "Yağmur yağıyor"- basit ve doğru veya yanlış, havanın şu anda pencerenin dışında olduğuna bağlıdır. Eğer gerçekten yağmur yağıyorsa, o zaman ifade doğrudur ve eğer hava güneşliyse ve yağmuru beklemek faydasız ise, o zaman ifade doğrudur. "Yağmur yağıyor" yalan olacak.

Örnek“ ” bir ifade değildir (hangi değerleri aldığı bilinmemektedir).

“İkinci sınıf öğrencisi” bir deyim değildir

Ø Tanımİlköğretim Sözceler başka sözcelerle ifade edilemez.

Ø Tanımkompozitönermeler, temel önermeler kullanılarak ifade edilebilen önermelerdir.

Örnek"22 sayısı çifttir" basit bir ifadedir.

İfadelerin doğruluğunu belirlemeye yönelik iki ana yaklaşım vardır: ampirik (deneysel) ve mantıksal.

saat Ampirik yaklaşım ifadenin doğruluğu gözlemler, ölçümler, deneyler yardımıyla belirlenir.

mantıksal yaklaşım bir ifadenin doğruluğunun, diğer ifadelerin doğruluğu temelinde, yani gerçeklere, içeriklerine, yani biçimsel olarak atıfta bulunmadan kurulması gerçeğinde yatmaktadır. Bu yaklaşım, argümanda yer alan ifadeler arasındaki mantıksal bağlantıların tanımlanmasına ve kullanılmasına dayanır.

2.2 Önerme mantığı

Her şeyden önce, kavramları tanımlamanız gerekir, çünkü aynı bölüm genellikle farklı şekilde adlandırılır: matematiksel mantık, önerme (cümle) mantığı, sembolik mantık, iki değerli mantık, önerme mantığı, Boole cebiri ...

Ø Tanımönerme mantığı- ifadelerin doğruluğu veya yanlışlığı sorununun düşünüldüğü ve e'den ifadeler oluşturma yönteminin incelenmesi temelinde karar verildiği bir mantık bölümü. temel(ayrıca ayrıştırılmamış ve analiz edilmemiş) bağlaç ("ve"), ayırma ("veya"), olumsuzlama ("değil"), ima ("eğer... o zaman...") mantıksal işlemleri yardımıyla ifadeler , vb.

Ø Tanım Önermeler Hesabı yorumu önermelerin cebiri olan bir aksiyomatik mantıksal sistemdir.

Tüm olası ifadeler arasında mantıksal yasalar (doğru inşa edilmiş akıl yürütme, mantıksal sonuçlar, totolojiler, genel olarak geçerli ifadeler) olanları ayırt eden biçimsel bir sistemin inşası en çok ilgi çeken şeydir.

Doğal (konuşma dili) dili kullanmayan biçimsel kuramlar, içinde karşılaşılan ifadelerin yazıldığı kendi biçimsel dillerine ihtiyaç duyarlar.

Ø Tanım Totoloji olan ve yalnızca onları ifade eden ifadeler üreten biçimsel sisteme denir. önerme hesabı(IV).

Resmi IoT sistemi şu şekilde tanımlanır:

Mantıksal bağlaçları belirtmek için en iyi hangi semboller kullanılır?

Şu gösterimler üzerinde duralım: olumsuzlama, bağlaç, ayrılma, ima ve eşdeğerlik. Genellikle, bağlayıcı uygulama sonuçlarının mantıksal değerleri tablolar şeklinde yazılır (doğruluk tabloları olarak adlandırılır).

2.3 Mantıksal bağlaçlar ................................................................ ................ ...

Doğal dilde, bağlaçların oluşturmadaki rolü karmaşık cümleler basit olanlardan, aşağıdaki gramer araçları oynamak:

sendikalar "ve", "veya", "değil";

"eğer ..., o zaman", "ya ... veya" kelimeleri,

“eğer ve sadece eğer” vb.

Önerme mantığında, karmaşık önermeleri oluşturmak için kullanılan mantıksal bağlaçlar tam olarak tanımlanmalıdır.

Bileşik ifadelerin doğruluk değerlerinin, anlamlarıyla değil, yalnızca kurucu ifadelerin doğruluk değerleriyle belirlendiği ifadeler üzerindeki mantıksal bağlaçları (işlemleri) ele alalım.

Yaygın olarak kullanılan beş mantıksal bağlaç vardır.

olumsuzlama (bir işaretle temsil edilir),

bağlaç (işaret),

ayrılma (v işareti),

ima (işaret)

denklik (işaret).

Ø Tanımolumsuzlama P ifadeleri, ancak ve ancak P ifadesi yanlışsa doğru olan bir ifadedir.

Ø TanımBağlaç iki önerme P ve Q - ancak ve ancak her iki önerme de doğruysa doğru olan bir önerme.

Ø Tanımayrılma iki önerme P ve Q - ancak ve ancak her iki önerme de yanlışsa yanlış olan bir önerme.

Ø Tanımolası sonuç iki ifade P ve Q - ancak ve ancak P doğruysa ve Q yanlışsa yanlış olan bir ifade. P ifadesi denir parselçıkarımlar ve ifade Q - çözüm etkileri.

Ø Tanımdenklik iki önerme P ve Q - ancak ve ancak P ve Q'nun doğruluk değerleri aynıysa doğru olan bir önerme.

Mantık cebirinde "eğer ..." "o zaman ..." kelimelerinin kullanımı, günlük konuşmadaki kullanımlarından farklıdır; burada, kural olarak, ifadenin eğer olduğuna inanıyoruz. X yanlışsa, o zaman "Eğer X, sonra de' hiç mantıklı değil. Ayrıca, "eğer" şeklinde bir cümle kurmak X, sonra de» günlük konuşmada, her zaman şu cümleyi kastediyoruz: de tekliften kaynaklanıyor X. Matematiksel mantıkta "eğer, o zaman" kelimelerinin kullanılması, önermelerin anlamı içinde dikkate alınmadığından bunu gerektirmez.

2.4Mantıksal işlemler

Dijital teknolojinin temeli, tüm bilgisayar çıktılarının altında yatan üç mantıksal işlemdir. Bunlar üç mantıksal işlemdir: VE, VEYA, DEĞİL, "makine mantığının üç sütunu" olarak adlandırılır.

Ayrık matematik dersinden bilinen mantıksal bağlaçlar veya mantıksal işlemler, ifadelere uygulanabilir. Bu, şu şekilde sonuçlanır: formüller. Formüller, harflerin tüm anlamlarını değiştirerek önerme haline gelir.

Temel mantıksal işlemlerin doğruluk tabloları.

Mantıksal işlemlerle birbirine bağlanan birkaç değişkene mantıksal işlev denir.

Herhangi bir hesabın tanımı, bu hesabın (alfabe) sembollerinin bir tanımını, sembollerin son konfigürasyonları olan formülleri ve türetilebilir formüllerin tanımını içerir.

2.5 Önermeler hesabı alfabesi

Sözce hesabı alfabesi üç kategoriden oluşan sembollerden oluşur:

Bunlardan birincisi ayrılma veya mantıksal ekleme işareti, ikincisi birleşme veya mantıksal çarpma işareti, üçüncüsü ima veya mantıksal sonucun işareti ve dördüncüsü olumsuzlama işaretidir.

Önerme hesabının başka sembolü yoktur.

2.6 Formüller Totoloji

Önermeler hesabı formülleri, önermeler hesabı alfabesindeki sembol dizileridir.

Formülleri belirtmek için Latin alfabesinin büyük harfleri kullanılır. Bu harfler matematik sembolleri değildir. Onlar sadece formüllerin sembolleridir.

Ø Tanım Formül– iyi biçimlendirilmiş bileşik ifade:

1) Her harf formül.

2) , formüllerse, , , , , de formüllerdir.

Açıkçası, kelimeler formül değildir: ) (bu kelimelerin üçüncüsü kapalı parantez içermez ve dördüncüsü parantez içermez).

Mantıksal bağlaç kavramının burada somutlaştırılmadığına dikkat edin. Genellikle, formüllerde bazı sadeleştirmeler yapılır. Örneğin, parantezler, önerme cebirindekiyle aynı kurallara göre formüllerin gösteriminde kullanılmaz.

Ø Tanım. formül denir totoloji, herhangi bir harf değeri için yalnızca gerçek değerler alırsa.

Ø Tanım Harflerin herhangi bir değeri için yanlış olan formüle denir. çelişki

Ø Tanım formül denir yapılabilir, eğer değişkenlerin doğruluk değerlerinin bir dizi dağılımında VE değerini alır.

Ø Tanım formül denir çürütülebilir, değişkenlerin doğruluk değerlerinin bir dağılımı için L değerini alır.

Örnek tanımın 2. maddesine göre formüllerdir.

Aynı nedenle, kelimeler formül olacaktır:

Formül kavramıyla eş zamanlı olarak, kavram alt formüller veya bir formülün parçası.

1. alt formül temel formülün kendisidir.

2. Formülün biçimi varsa, alt formülleri şunlardır: kendisi, formül A ve formül A'nın tüm alt formülleri.

3. Formül (A * B) formuna sahipse (bundan sonra * sembolü altında üç sembolden herhangi birini anlayacağız), o zaman alt formülleri: kendisi, A ve B formülleri ve formüllerin tüm alt formülleri A ve B.

Örnek formül için alt formülleri şöyle olacaktır:

- sıfır derinliğin alt formülü,

Birinci derinliğin alt formülleri,

İkinci derinliğin alt formülleri,

Üçüncü derinliğin alt formülleri,

Dördüncü derinliğin alt formülü.

Böylece, "formülün yapısının derinliklerine daldıkça", alt formüllerin tümünü seçiyoruz. daha fazla derinlik

Ayrık matematik dersinden, totoloji örnekleri olan ana mantıksal denklikler (denklikler) bilinmektedir. Tüm mantıksal yasalar totolojiler olmalıdır.

Bazen yasalar denir para çekme kuralları, hangi binalardan doğru sonucu belirler.

2.7 Önerme mantığı yasaları

Mantık cebirinin birleşim ve ayrılma işlemlerine ilişkin değişmeli ve birleştirici yasalara ve ayrılmaya ilişkin olarak da dağıtıcı bir birleşme yasasına sahiptir, aynı yasalar sayılar cebirinde yer alır.

Bu nedenle, mantık cebirinin formülleri üzerinde, sayılar cebirinde yapılan dönüşümlerin aynısını yapmak mümkündür (parantez açma, parantez açma, ortak faktör parantezleme).

Önerme mantığının temel yasalarını düşünün.

1. Değişebilirlik:

, .

2. İlişkilendirme:

3. Dağıtım:

4. İdempotans: , .

5. Çifte olumsuzlama yasası: .

6. Üçüncü hariç tutma yasası:.

7. Çelişki yasası: .

8. De Morgan Kanunları:

9. İktidarsızlık yasaları(mantıksal sabitleri olan işlemlerin özellikleri)

Mantık cebirinde üsler ve katsayılar yoktur. Özdeş "faktörlerin" birleşimi bunlardan birine eşdeğerdir.

Burada ve herhangi bir harf var.

Örnekler. totoloji formülü.

Onun tutarsızlığı değil.

Russell'ın antinomisi şu şekilde formüle edilir:

İzin vermek K kendilerini eleman olarak içermeyen tüm kümelerin kümesidir. içeriyor mu K bir unsur olarak kendisi? Evet ise, tanımı gereği K, bir unsur olmamalıdır K- bir çelişki. Değilse, tanım gereği K, bir unsur olmalı K- yine bir çelişki.

Russell'ın çatışkısındaki çelişki, kavramın kullanımından kaynaklanmaktadır. tüm setlerin setleri ve kümelerle çalışırken klasik mantık yasalarının sınırsız uygulama olasılığı hakkında fikirler. Bu çatışkıyı aşmak için birkaç yol önerilmiştir. En ünlüsü, kümelerle çalışmanın tüm "gerçekten gerekli" (bir anlamda) yollarının kabul edilebilir olacağı küme teorisi için tutarlı bir biçimselleştirmenin sunulmasıdır. Böyle bir formalizasyon çerçevesinde, varlığına ilişkin beyan, tüm setlerin setleri indirgenemez olacaktır.

Gerçekten, varsayalım ki küme sen tüm kümeler mevcuttur. O halde, seçim aksiyomuna göre bir küme de bulunmalıdır. Köğeleri olan ve yalnızca kendilerini bir öğe olarak içermeyen kümelerdir. Ancak, bir kümenin varlığı varsayımı K Russell'ın çatışkısına götürür. Bu nedenle, teorinin tutarlılığı göz önüne alındığında, bir kümenin varlığına ilişkin ifade sen kanıtlanması gereken bu teoride çıkarsanamaz.

Tanımlanan kümeler teorisini "kurtarma" programının uygulanması sırasında, bunun birkaç olası aksiyomizasyonu önerildi (Zermelo-Fraenkel teorisi ZF, Neumann-Bernays-Gödel teorisi NBG, vb.), Bununla birlikte, bu teorilerin hiçbiri, şu ana kadar tutarsızlık kanıtı yok. Üstelik Gödel'in bir takım eksiklik teoremleri geliştirerek gösterdiği gibi, böyle bir ispat (bir anlamda) olamaz.

Keşfe bir başka tepki Russell paradoksu L. E. Ya. Brouwer'ın sezgiciliği ortaya çıktı.

Yanlışlıkla bu paradoksun G. Cantor'un küme teorisinin tutarsızlığını gösterdiğine inanıyorlar. Bu görüşleri çürütmek için N. Vavilov şu paradoksa atıfta bulunur - "Piglet Paradoksu":

İzin vermek n sıfırdan büyük ve sıfırdan küçük bir tam sayıdır. O zamanlar n ancak ve ancak olumsuz ise olumludur.

Bundan sadece bizim varsaydığımız sayının yokluğunun çıktığı açıktır. n, ve genel olarak sayı teorisinin tutarsızlığı değil - aynı yöntem çelişki ile ispatlarda kullanılır.

Bu paradoksun yapısı, bir bütün olarak kümeler teorisi değil, yalnızca "tüm kümelerin kümesi" kavramının tutarsızlığı hakkında sonuçlar çıkarmamıza izin veren Russell paradoksunun yapısıyla aynıdır.

İfade seçenekleri

Bu paradoksun birçok popüler formülasyonu vardır. Bunlardan birine geleneksel olarak berber paradoksu denir ve şöyle devam eder:

Bir köy berberi sipariş edildi "kendini traş etmeyeni traş edin ve kendini traş edeni traş etmeyin" kendine nasıl davranmalı?

Başka seçenek:

Bir ülke bir kararname yayınladı: "Bütün şehirlerin belediye başkanları kendi şehirlerinde değil, özel belediye başkanları şehrinde yaşamalı" Belediye Başkanları Belediye Başkanı nerede yaşamalı?

Ve bir tane daha:

Edebiyat

R. Courant, G. Robbins. matematik nedir? ch. II, § 4.5
Miroshnichenko P.N. Frege'nin sisteminde Russell'ın paradoksunu ne yok etti? // Modern mantık: bilimde teori, tarih ve uygulama sorunları. SPb., 2000. s.512-514.
Katrechko S.L. Russell'ın berber paradoksu ve Plato-Aristoteles'in diyalektiği //Modern mantık: teori, tarih ve bilimde uygulama sorunları. SPb., 2002. s.239-242.

Notlar

Wikimedia Vakfı. 2010 .

Diğer sözlüklerde "Berber Paradoksu" nun ne olduğunu görün:

1901'de Bertrand Russell tarafından keşfedilen ve daha sonra bağımsız olarak E. Zermelo tarafından yeniden keşfedilen Russell paradoksu, erken bir formalizasyon girişimi olan Frege'nin mantıksal sisteminin tutarsızlığını gösteren teorik bir küme paradoksudur ... ... Wikipedia

Matematik genellikle geleneksel dallarından bazılarının isimleri listelenerek tanımlanır. Her şeyden önce, bu sayıların incelenmesi, aralarındaki ilişkiler ve sayılarla çalışma kuralları ile ilgilenen aritmetiktir. Aritmetik gerçekleri çeşitli ... ... Collier Ansiklopedisi

Ouroboros "Kendini yiyen yılan." Kendine gönderme (kendine gönderme), belirli bir kavramın kendisine atıfta bulunduğu durumlarda önerme sistemlerinde ortaya çıkan bir olgudur. Başka bir deyişle, varsa ... Wikipedia

- ... Vikipedi

Konunun geliştirilmesiyle ilgili çalışmaları koordine etmek için oluşturulan makalelerin bir hizmet listesi. Bu uyarı, bilgilendirici makalelerde, listelerde ve sözlüklerde yüklü değildir ... Wikipedia

Emri alan berber ilk başta sevindi, çünkü birçok asker kendilerini nasıl traş edeceklerini biliyordu, kendilerini nasıl traş edeceklerini bilmeyenleri traş ettiler ve sonra bir kütüğün üzerine oturdu ve düşündü: Kendisiyle ne yapmalı? Ne de olsa kendini traş ederse, komutanın kendini traş edenleri traş etmeme emrini ihlal edecek. Berber zaten kendini tıraş etmeyeceğine karar vermişti. Ama sonra, kendini traş etmezse, kendini traş etmediği ortaya çıkacak ve komutanın emriyle hala kendini traş etmesi gerektiği düşüncesi aklına geldi ...

Ona ne oldu, tarih sessiz.

Peki ya küme teorisi? Ve işte şu: Komutan, berberin tıraş etmesi gereken insan grubunu şu şekilde belirlemeye çalıştı:

sadece ve sadece kendilerini tıraş etmeyenler.

Sıradan bir kümenin birkaç Rusça kelimeyle tanımlandığı anlaşılıyor, neden daha kötü, örneğin kümeler

okuldaki tüm öğrenciler?

Ancak bu sette hemen bir sorun ortaya çıkıyor: Berberlerin bu sete ait olup olmadığı net değil.

İşte bu paradoksun başka bir versiyonu.

Rus dilinin sıfatını arayalım yansıtıcı tanımlayan bir özelliği varsa. Örneğin, "Rusça" sıfatı dönüşlüdür ve "İngilizce" sıfatı dönüşlü değildir, "üç heceli" sıfatı dönüşlüdür (bu kelime üç heceden oluşur) ve "dört heceli" sıfatı dönüşsüzdür. -dönüşlü (beş heceden oluşur). Görünüşe göre hiçbir şey kümeyi tanımlamamızı engellemiyor

tüm dönüşlü sıfatlar.

Ama "dönüşsüz" sıfatını ele alalım. Yansıtıcı mı yoksa değil mi?

"Dönüşsüz" sıfatının ne dönüşlü ne de dönüşsüz olduğu söylenebilir. Ama o zaman böyle bir büyü ile nasıl olunur:

İddia doğru mu, yoksa olumsuzlama doğru mu?

(Bu büyüye, dışlanan ortanın yasası denir ve aslında çelişki yöntemi buna dayanır.)

Son olarak, paradoksun üçüncü versiyonu. Seti düşünün

Öyle ayarlar ki

Kümeye yalnızca kendilerine ait olan kümeleri dahil ederiz. Diğer kümeleri içeren kümeler vardır. Örneğin, izin ver

bir küme sayılar içerir ve bir kümenin iki öğesi vardır: bir küme ve bir sayı. Kutulara dönecek olursak şöyle denilebilir: Bazı kutular başka kutulara konulabilir. (Bu tür iç içe kutu dizilerinin her birinin her zaman sınırlı sayıda öğeye sahip olduğu ortaya çıktı - bunun derin nedenleri var.)

Düşünülen set bir tür "berber" dir. Bunu varsayarsak hemen şu sonuca varırız. Bunu varsayarsak - bunu alırız.

Bu paradokslarla karşı karşıya kalan küme teorisyenleri şunu fark ettiler: rastgele ifadelerle kümeler belirleyemezsiniz. Bundan sonra paradokslarla iki şekilde uğraşmaya başladılar.

İlk yol, paradokslara yol açan tüm eylem ve işlemlerin yasaklandığı "naif küme teorisi" ile ortaya çıkan Cantor'un yoludur. Fikir şudur: "Doğada bulunan" kümelerle çalışmasına izin verilir, ayrıca onlardan makul küme teorik işlemlerle elde edilen kümelerle çalışmasına da izin verilir. Örneğin,

Birçok okul öğrencisi
= sürekli fonksiyonlar seti

(bu kümeler "doğada bulunur"), onlardan birlik, kesişim alabilirsiniz. Hatta set: tanım gereği set ile çarpılabilir.

İlk öğenin birinci kümeden ve ikincinin ikinciden olduğu bir çiftler kümesi. Bizim durumumuzda, bu, ilk elemanın okulun öğrencisi olduğu ve ikincisinin bir tür sürekli fonksiyon olduğu bir çiftler kümesidir.

Başka bir yol aksiyomatiktir. Paradoksları aşmanın bu yolu Zermelo ve Frenkel (Zermelo-Frenkel aksiyom sistemi), Gödel ve Bernays (Godel-Bernays aksiyom sistemi) tarafından geliştirilmiştir. Bu teoriye göre, bir küme, aşağıdaki gibi aksiyomları karşılayan bir şeydir.

Aksiyom kayıtları "niceleyicilerin dilinde" çoğaltılır. Kullanılan niceleyicilerin anlamları şunlardır:
- herkes için ;
- var;
- sadece bir tane var ;
- bir kümedir;
- sadece koşulu karşılayanlar kümesi;
- mantıksal "veya";
- mantıksal "ve".

1. hacim aksiyomu. Bir küme, elemanları tarafından tanımlanır: aynı elemanlardan oluşan kümeler eşittir.

2. Birleşme Aksiyomu. Bir kümenin tüm elemanlarının birleşimi bir kümedir.

3. seçim aksiyomu. Her küme ve her koşul için bir küme vardır.

Koşul sağlayan kümenin öğelerinin bir alt kümesi .

Başka bir deyişle, dünyanın her yerinden uçan tüm timsahların setini veya kendilerini içermeyen setlerin setini alamayız, ancak belirli bir seti alarak içinde bir "parça" seçebiliriz - bir dizi bazı koşulları sağlayan unsurlarıdır.

4. derece aksiyomu. Belirli bir kümenin tüm alt kümelerinin kümesi bir kümedir.

5. ikame aksiyomu. Bir küme olsun ve keyfi bir formül olsun. O zaman, eğer her biri için doğru olan varsa ve benzersiz ise, o zaman doğru olan bir dizi var olan her şey vardır.

6. Finansman aksiyomu. Sonsuz iç içe küme dizisi yoktur: her küme zinciri

7. sonsuzluk aksiyomu. Sonsuz kümeler vardır, yani boyut olarak eşdeğer olan bu tür kümeler.

8. seçim aksiyomu. Bir başka çok karmaşık, ama aynı zamanda çok açık bir aksiyom - daha sonra bunun hakkında.

Küme teorisinin aksiyomatiği hakkında daha fazla bilgi için kitaba bakın.