Rretho- një figurë gjeometrike e përbërë nga të gjitha pikat e rrafshit të vendosura në një distancë të caktuar nga një pikë e caktuar.

Kjo pikë (O) quhet qendër rrethi.
Rrezja e rrethitështë një segment vije që lidh qendrën me një pikë të rrethit. Të gjitha rrezet kanë të njëjtën gjatësi (sipas përkufizimit).
Akord Një segment vije që lidh dy pika në një rreth. Korda që kalon në qendër të rrethit quhet diametri. Qendra e një rrethi është mesi i çdo diametri.
Çdo dy pika në rreth e ndajnë atë në dy pjesë. Secila prej këtyre pjesëve quhet hark rrethor. Harku quhet gjysmërreth nëse segmenti që lidh skajet e tij është me diametër.
Gjatësia e një gjysmërrethi njësi shënohet me π .
Shuma e masave të shkallës së dy harqeve rrethore me skaje të përbashkëta është 360º.
Pjesa e rrafshit e kufizuar me rreth quhet përreth.
sektori rrethor- një pjesë e një rrethi të kufizuar nga një hark dhe dy rreze që lidhin skajet e harkut me qendrën e rrethit. Harku që kufizon sektorin quhet harku i sektorit.
Quhen dy rrathë që kanë një qendër të përbashkët koncentrike.
Quhen dy rrathë që kryqëzohen në kënde të drejta ortogonale.

Rregullimi i ndërsjellë i një vije të drejtë dhe një rrethi

1. Nëse distanca nga qendra e rrethit në vijën e drejtë është më e vogël se rrezja e rrethit ( d), atëherë drejtëza dhe rrethi kanë dy pika të përbashkëta. Në këtë rast, linja quhet sekant në raport me rrethin.
2. Nëse distanca nga qendra e rrethit në vijë është e barabartë me rrezen e rrethit, atëherë vija dhe rrethi kanë vetëm një pikë të përbashkët. Një linjë e tillë quhet tangjente me rrethin, dhe pika e tyre e përbashkët quhet pika e kontaktit midis një linje dhe një rrethi.
3. Nëse distanca nga qendra e rrethit në vijë është më e madhe se rrezja e rrethit, atëherë vija dhe rrethi nuk kanë pika të përbashkëta
.

Kënde qendrore dhe të brendashkruara

Këndi qendrorështë këndi me kulmin në qendër të rrethit.
Këndi i brendashkruar Një kënd, kulmi i të cilit shtrihet në rreth dhe anët e të cilit e ndërpresin rrethin.

Teorema e këndit të brendashkruar

Një kënd i brendashkruar matet me gjysmën e harkut që ai pret.

• Pasoja 1.
  Këndet e brendashkruara që nënshtrojnë të njëjtin hark janë të barabartë.


• Pasoja 2.
  Një kënd i brendashkruar që pret një gjysmërreth është një kënd i drejtë.

Teorema mbi produktin e segmenteve të kordave të kryqëzuara.

Nëse dy korda të një rrethi kryqëzohen, atëherë prodhimi i segmenteve të një korde është i barabartë me produktin e segmenteve të kordës tjetër.

Formulat bazë

• Perimetri:

• Gjatësia e harkut:

• Diametri:

• Gjatësia e harkut:

• Zona e një rrethi:

• Zona e sektorit rrethor:

Ekuacioni rrethor

• Në një sistem koordinativ drejtkëndor, ekuacioni për një rreth me rreze r të përqendruar në një pikë C(x o; y o) ka formën:

• Ekuacioni për një rreth me rreze r me qendër në origjinë është:

Le të kuptojmë së pari ndryshimin midis një rrethi dhe një rrethi. Për të parë këtë ndryshim, mjafton të shqyrtojmë se cilat janë të dyja shifrat. Ky është një numër i pafund pikash në aeroplan, të vendosura në një distancë të barabartë nga një pikë e vetme qendrore. Por, nëse rrethi përbëhet edhe nga hapësira e brendshme, atëherë ai nuk i përket rrethit. Rezulton se një rreth është njëkohësisht një rreth që e kufizon atë (o-rreth (g)ness), dhe një numër i panumërueshëm pikash që janë brenda rrethit.

Për çdo pikë L që shtrihet në rreth, vlen barazia OL=R. (Gjatësia e segmentit OL është e barabartë me rrezen e rrethit).

Një segment i vijës që lidh dy pika në një rreth është akord.

Një akord që kalon drejtpërdrejt në qendër të një rrethi është diametri ky rreth (D) . Diametri mund të llogaritet duke përdorur formulën: D=2R

Perimetri llogaritur me formulën: C=2\pi R

Zona e një rrethi: S=\pi R^(2)

harku i një rrethi quhet ajo pjesë e saj, e cila ndodhet midis dy pikave të saj. Këto dy pika përcaktojnë dy harqe të një rrethi. CD-ja e kordës nënshtron dy harqe: CMD dhe CLD. Të njëjtat korda nënshtrojnë të njëjtat harqe.

Këndi qendrorështë këndi ndërmjet dy rrezeve.

gjatësia e harkut mund të gjendet duke përdorur formulën:

1. Përdorimi i gradave: CD = \frac(\pi R \alfa ^(\circ))(180^(\circ))
2. Duke përdorur një masë radian: CD = \alpha R

Diametri që është pingul me kordën e përgjysmon kordonin dhe harqet që ajo përfshin.

Nëse kordat AB dhe CD të rrethit priten në pikën N, atëherë prodhimet e segmenteve të kordave të ndara nga pika N janë të barabarta me njëri-tjetrin.

AN\cdot NB = CN \cdot ND

Tangjente me rrethin

Tangjent në një rrethËshtë zakon të quajmë një vijë të drejtë që ka një pikë të përbashkët me një rreth.

Nëse një drejtëz ka dy pika të përbashkëta, quhet sekant.

Nëse vizatoni një rreze në pikën e kontaktit, ajo do të jetë pingul me tangjenten me rrethin.

Le të vizatojmë dy tangjente nga kjo pikë në rrethin tonë. Rezulton se segmentet e tangjentave do të jenë të barabarta me njëri-tjetrin, dhe qendra e rrethit do të vendoset në përgjysmuesin e këndit me kulmin në këtë pikë.

AC=CB

Tani vizatojmë një tangjente dhe një sekante në rreth nga pika jonë. Marrim se katrori i gjatësisë së segmentit tangjent do të jetë i barabartë me produktin e të gjithë segmentit sekant nga pjesa e jashtme e tij.

AC^(2) = CD \cdot BC

Mund të konkludojmë: prodhimi i një segmenti të plotë të sekantit të parë nga pjesa e jashtme e tij është i barabartë me prodhimin e një segmenti të plotë të sekantit të dytë nga pjesa e jashtme e tij.

AC \cdot BC = EC \cdot DC

Kënde në një rreth

Masat e shkallës së këndit qendror dhe harkut në të cilin mbështetet janë të barabarta.

\këndi COD = \ filxhan CD = \alfa ^(\circ)

Këndi i brendashkruarështë një kënd, kulmi i të cilit është në një rreth dhe anët e të cilit përmbajnë korda.

Mund ta llogarisni duke ditur madhësinë e harkut, pasi është e barabartë me gjysmën e këtij harku.

\kënd AOB = 2 \kënd ADB

Në bazë të diametrit, këndit të brendashkruar, drejt.

\kënd CBD = \kënd CED = \kënd CAD = 90^ (\circ)

Këndet e brendashkruara që mbështeten në të njëjtin hark janë identike.

Këndet e brendashkruara të bazuara në të njëjtën kordë janë identike ose shuma e tyre është e barabartë me 180^ (\circ) .

\këndi ADB + \këndi AKB = 180^ (\circ)

\këndi ADB = \këndi AEB = \këndi AFB

Në të njëjtin rreth janë kulmet e trekëndëshave me kënde identike dhe një bazë të caktuar.

Një kënd me një kulm brenda rrethit dhe i vendosur midis dy kordave është identik me gjysmën e shumës së madhësive këndore të harqeve të rrethit që janë brenda këndit të dhënë dhe vertikal.

\kënd DMC = \kënd ADM + \kënd DAM = \frac(1)(2) \majtas (\kup DmC + \kupë AlB \djathtas)

Një kënd me një kulm jashtë rrethit dhe i vendosur midis dy sekanteve është identik me gjysmën e ndryshimit në madhësitë këndore të harqeve të një rrethi që janë brenda këndit.

\këndi M = \këndi CBD - \këndi ACB = \frac(1)(2) \majtas (\kup DmC - \kupë AlB \djathtas)

Rreth i brendashkruar

Rreth i brendashkruarështë një rreth tangjent me brinjët e shumëkëndëshit.

Në pikën ku kryqëzohen përgjysmorët e këndeve të shumëkëndëshit ndodhet qendra e tij.

Një rreth mund të mos jetë i gdhendur në çdo shumëkëndësh.

Sipërfaqja e një shumëkëndëshi me një rreth të brendashkruar gjendet me formulën:

S=pr,

p është gjysmëperimetri i shumëkëndëshit,

r është rrezja e rrethit të brendashkruar.

Nga kjo rrjedh se rrezja e rrethit të brendashkruar është:

r = \frac(S)(p)

Shumat e gjatësive të brinjëve të kundërta do të jenë identike nëse rrethi është i gdhendur në një katërkëndësh konveks. Dhe anasjelltas: një rreth është brendashkruar në një katërkëndësh konveks nëse shumat e gjatësive të brinjëve të kundërta në të janë identike.

AB+DC=AD+BC

Është e mundur të futet një rreth në cilindo nga trekëndëshat. Vetëm një single. Në pikën ku kryqëzohen përgjysmorët e këndeve të brendshme të figurës, qendra e këtij rrethi të brendashkruar do të shtrihet.

Rrezja e rrethit të brendashkruar llogaritet me formulën:

r = \frac(S)(p) ,

ku p = \frac(a + b + c)(2)

Rrethi i rrethuar

Nëse një rreth kalon nëpër çdo kulm të një shumëkëndëshi, atëherë një rreth i tillë quhet rrethuar rreth një shumëkëndëshi.

Qendra e rrethit të rrethuar do të jetë në pikën e kryqëzimit të përgjysmuesve pingulë të anëve të kësaj figure.

Rrezja mund të gjendet duke e llogaritur atë si rrezja e një rrethi që është i rrethuar rreth një trekëndëshi të përcaktuar nga çdo 3 kulme të shumëkëndëshit.

Ekziston kushti i mëposhtëm: një rreth mund të rrethohet rreth një katërkëndëshi vetëm nëse shuma e këndeve të kundërta të tij është e barabartë me 180^( \circ) .

\këndi A + \këndi C = \këndi B + \këndi D = 180^ (\rreth)

Pranë çdo trekëndëshi është e mundur të përshkruhet një rreth, dhe një dhe vetëm një. Qendra e një rrethi të tillë do të vendoset në pikën ku kryqëzohen përgjysmuesit pingul të brinjëve të trekëndëshit.

Rrezja e rrethit të rrethuar mund të llogaritet me formulat:

R = \frac(a)(2 \sin A) = \frac(b)(2 \sin B) = \frac(c)(2 \sin C)

R = \frac(abc)(4S)

a, b, c janë gjatësitë e brinjëve të trekëndëshit,

S është zona e trekëndëshit.

Teorema e Ptolemeut

Më në fund, merrni parasysh teoremën e Ptolemeut.

Teorema e Ptolemeut thotë se prodhimi i diagonaleve është identik me shumën e produkteve të anëve të kundërta të një katërkëndëshi të brendashkruar.

AC \cdot BD = AB \cdot CD + BC \cdot AD

Ky artikull përmban grupin minimal të informacionit rreth rrethit të kërkuar për sukses dhënien e provimit matematikë.

perimetri quhet bashkësia e pikave të vendosura në të njëjtën distancë nga një pikë e caktuar, e cila quhet qendër e rrethit.

Për çdo pikë që shtrihet në rreth, barazia vlen (Gjatësia e segmentit është e barabartë me rrezen e rrethit.

Një segment i vijës që lidh dy pika në një rreth quhet akord.

Korda që kalon në qendër të rrethit quhet diametri rrathë () .

Perimetri:

Zona e një rrethi:

Harku i një rrethi:

Pjesa e rrethit e mbyllur midis dy pikave të tij quhet hark rrathët. Dy pika në një rreth përcaktojnë dy harqe. Korda nënshtron dy harqe: dhe . Akordet e barabarta tërhiqni së bashku harqe të barabarta.

Këndi ndërmjet dy rrezeve quhet këndi qendror :

Për të gjetur gjatësinë e harkut, ne bëjmë proporcionin:

a) këndi është dhënë në gradë:

b) këndi është dhënë në radianë:

Diametri pingul me kordën , e ndan këtë kordë dhe harqet që zbret përgjysmë:

Nese nje akorde dhe rrathët kryqëzohen në një pikë , atëherë produktet e segmenteve të kordave në të cilat ato ndahen me një pikë janë të barabarta me njëri-tjetrin:

Tangjent në një rreth.

Një drejtëz që ka një pikë të përbashkët me një rreth quhet tangjente te rrethi. Drejtëza që ka dy pika të përbashkëta me një rreth quhet sekant.

Tangjentja me rrethin është pingul me rrezen e tërhequr në pikën tangjente.

Nëse dy tangjente janë tërhequr nga një pikë e caktuar në rreth, atëherë segmentet tangjente janë të barabartë me njëri-tjetrin dhe qendra e rrethit shtrihet në përgjysmuesin e këndit me kulmin në këtë pikë:

Nëse një tangjente dhe një sekant janë tërhequr nga një pikë e caktuar në rreth, atëherë katrori i gjatësisë së segmentit tangjent është i barabartë me produktin e të gjithë segmentit sekant nga pjesa e jashtme e tij :

Pasoja: prodhimi i të gjithë segmentit të një sekanti nga pjesa e jashtme e tij është i barabartë me produktin e të gjithë segmentit të sekantit tjetër nga pjesa e jashtme e tij:

Kënde në një rreth.

Masa e shkallës së një këndi qendror është e barabartë me masën e shkallës së harkut në të cilin ai mbështetet:

Quhet një kënd, kulmi i të cilit shtrihet në një rreth dhe anët e të cilit përmbajnë korda kënd i brendashkruar . Një kënd i brendashkruar matet me gjysmën e harkut që ai pret:

∠∠

Një kënd i gdhendur i bazuar në një diametër është një kënd i drejtë:

∠∠∠

Janë këndet e brendashkruara që nënshtrojnë të njëjtin hark :

Këndet e brendashkruara që nënshtrojnë të njëjtën kordë janë të barabartë ose shuma e tyre është e barabartë me

∠∠

Kulmet e trekëndëshave me një bazë të caktuar dhe kënde të barabarta në kulm shtrihen në të njëjtin rreth:

Këndi midis dy kordave (këndi me kulmin brenda rrethit) është i barabartë me gjysmën e shumës së madhësive këndore të harqeve të rrethit të mbyllur brenda këndit të dhënë dhe brenda këndit vertikal.

∠ ∠∠(⌣ ⌣ )

Këndi midis dy sekanteve (këndi me kulmin jashtë rrethit) është i barabartë me gjysmëdiferencën e madhësive këndore të harqeve të rrethit të mbyllur brenda këndit.

∠ ∠∠(⌣ ⌣ )

Rreth i brendashkruar.

Rrethi quhet të gdhendura në një shumëkëndësh nëse prek anët e saj. Qendra e rrethit të brendashkruar shtrihet në pikën e kryqëzimit të përgjysmuesve të këndit të shumëkëndëshit.

Jo çdo shumëkëndësh mund të futet në një rreth.

Zona e një shumëkëndëshi që përmban një rreth mund të gjendet duke përdorur formulën

këtu është gjysmëperimetri i shumëkëndëshit, është rrezja e rrethit të brendashkruar.

Nga këtu rrezja e rrethit të brendashkruar barazohet

Nëse një rreth është i gdhendur në një katërkëndësh konveks, atëherë shumat e gjatësive të brinjëve të kundërta janë . Në të kundërt, nëse në një katërkëndësh konveks shumat e gjatësive të anëve të kundërta janë të barabarta, atëherë një rreth mund të futet në katërkëndësh:

Çdo trekëndësh mund të gdhendet me një rreth, dhe vetëm një. Qendra e rrethit të brendashkruar shtrihet në pikën e kryqëzimit të përgjysmuesve të këndeve të brendshme të trekëndëshit.

Rrezja e rrethit të brendashkruar është e barabartë me . Këtu

rrethi i kufizuar.

Rrethi quhet rrethuar rreth një shumëkëndëshi nëse kalon nëpër të gjitha kulmet e shumëkëndëshit. Qendra e rrethit të rrethuar shtrihet në pikën e kryqëzimit të përgjysmuesve pingulë të brinjëve të shumëkëndëshit. Rrezja llogaritet si rrezja e një rrethi të rrethuar rreth një trekëndëshi të përcaktuar nga çdo tre kulme të shumëkëndëshit të dhënë:

Një rreth mund të rrethohet rreth një katërkëndëshi nëse dhe vetëm nëse shuma e këndeve të tij të kundërta është e barabartë me .

Pranë çdo trekëndëshi është e mundur të përshkruhet një rreth, për më tepër, vetëm një. Qendra e tij shtrihet në pikën e kryqëzimit të përgjysmuesve pingulë të brinjëve të trekëndëshit:

Rrezja e rrethit të rrethuar llogaritur me formulat:

Ku është gjatësia e brinjëve të trekëndëshit, është sipërfaqja e tij.

Teorema e Ptolemeut

Në një katërkëndësh të brendashkruar, prodhimi i diagonaleve është i barabartë me shumën e produkteve të anëve të kundërta të tij:

Ligjërata: Rrethi dhe rrethi

Rrethoështë një kurbë e mbyllur, të gjitha pikat e së cilës janë në të njëjtën distancë nga qendra.

AT Jeta e përditshme Ju e keni parë rrethin më shumë se një herë. Është kjo që përshkruhet nga ora dhe dora e dytë, është forma e rrethit që ka rrathi gjimnastikor.

Tani imagjinoni që keni vizatuar një rreth në një copë letër dhe keni dashur ta dekoroni.

Pra, e gjithë hapësira e dekoruar, e kufizuar nga një rreth, është një rreth.

Qendra është pika që është e barabartë nga të gjitha pikat e rrethit. Qendra e një rrethi dhe një rrethi tregohet me shkronjën O.

Rrezja është distanca nga qendra në rreth (R).

Diametri është një vijë përmes qendrës që lidh të gjitha pikat e rrethit (d). Për më tepër, diametri është i barabartë me dy rreze: d = 2R.

Një akord është një segment vije që lidh çdo dy pika në një rreth. Diametri është një rast i veçantë i një korde.

Për të gjetur perimetrin e një rrethi, përdorni formulën:

l=2 πR

Ju lutemi vini re se perimetri dhe zona varen vetëm nga rrezja e rrethit të dhënë.

Zona e një rrethi mund të gjendet duke përdorur formulën e mëposhtme:

S=πR 2 .

Do të doja të tërhiqja vëmendjen te numri "Pi". Kjo vlerë u gjet vetëm duke përdorur rrethin. Për ta bërë këtë, gjatësia e saj u nda në dy rreze, dhe kështu u mor numri "Pi".

Nëse rrethi ndahet në disa pjesë me dy rreze, atëherë pjesët e tilla do të quhen sektorë. Çdo sektor ka masën e vet të shkallës - masën e shkallës së harkut mbi të cilin mbështetet.

Për të gjetur gjatësinë e një harku, duhet të përdorni formulën:

2. Duke përdorur një masë radian:

Nëse kulmi i ndonjë këndi qëndron në qendër të rrethit dhe rrezet e tij e ndërpresin rrethin, atëherë një kënd i tillë quhet qendror.

Nëse disa korda kryqëzohen në një pikë, atëherë segmentet e tyre janë proporcionale:

Dhe një rreth - figurat gjeometrike, të ndërlidhura. ka një polivijë kufitare (lakore) rrethi,

Përkufizimi. Rrethi është një kurbë e mbyllur, secila pikë e së cilës është e barabartë nga një pikë e quajtur qendra e rrethit.

Për të ndërtuar një rreth, zgjidhet një pikë arbitrare O, e marrë si qendër e rrethit dhe një vijë e mbyllur vizatohet duke përdorur një busull.

Nëse pika O e qendrës së rrethit është e lidhur me pika arbitrare në rreth, atëherë të gjithë segmentet që rezultojnë do të jenë të barabarta me njëri-tjetrin, dhe segmente të tilla quhen rreze, shkurtuar si latinisht i vogël ose shkronje e madhe"po" ( r ose R). Në një rreth ka po aq rreze sa pika në perimetër.

Një segment vije që lidh dy pika të një rrethi dhe kalon nëpër qendrën e tij quhet diametër. Diametri përbëhet nga dy rrezet shtrirë në të njëjtën vijë të drejtë. Diametri tregohet me shkronjën latine të vogël ose të madhe "de" ( d ose D).

Rregulli. Diametri rrethi është i barabartë me dy prej tij rrezet.

d = 2r
D=2R

Perimetri llogaritet me formulë dhe varet nga rrezja (diametri) e rrethit. Formula përmban numrin ¶, i cili tregon se sa herë perimetri i një rrethi është më i madh se diametri i tij. Numri ¶ ka një numër të pafund vendesh dhjetore. Për llogaritjet pranohet ¶ = ​​3.14.

Perimetri i një rrethi shënohet me shkronjën e madhe latine "ce" ( C). Perimetri i një rrethi është proporcional me diametrin e tij. Formulat për llogaritjen e perimetrit të një rrethi sipas rrezes dhe diametrit të tij:

C = ¶d
C = 2r

• Shembuj
• Jepet: d = 100 cm.
• Perimetri: C=3.14*100cm=314cm
• Jepet: d = 25 mm.
• Perimetri: C=2*3.14*25=157mm

Sekanti i rrethit dhe harku i rrethit

Çdo sekant (vijë e drejtë) e pret rrethin në dy pika dhe e ndan atë në dy harqe. Madhësia e harkut të një rrethi varet nga distanca midis qendrës dhe sekantit dhe matet përgjatë një kurbë të mbyllur nga pika e parë e kryqëzimit të sekantit me rrethin në të dytën.

harqe rrathët janë të ndarë sekant në të mëdha dhe të vogla, nëse sekanti nuk përkon me diametrin, dhe në dy harqe të barabarta, nëse sekanti kalon përgjatë diametrit të rrethit.

Nëse sekanti kalon nëpër qendrën e rrethit, atëherë segmenti i tij, i vendosur midis pikave të kryqëzimit me rrethin, është diametri i rrethit, ose korda më e madhe e rrethit.

Sa më larg të jetë sekanti nga qendra e rrethit, aq më e vogël është masa e shkallës së harkut më të vogël të rrethit dhe aq më shumë - harku më i madh i rrethit, dhe segmenti i sekantit, i quajtur akord, zvogëlohet ndërsa sekanti largohet nga qendra e rrethit.

Përkufizimi. Një rreth është një pjesë e një rrafshi që shtrihet brenda një rrethi.

Qendra, rrezja, diametri i një rrethi janë në të njëjtën kohë qendra, rrezja dhe diametri i rrethit përkatës.

Meqenëse një rreth është pjesë e një rrafshi, një nga parametrat e tij është zona.

Rregulli. Sipërfaqja e një rrethi ( S) është e barabartë me produktin e katrorit të rrezes ( r2) në numrin ¶.

• Shembuj
• Jepet: r = 100 cm
• Zona e një rrethi:
• S \u003d 3,14 * 100 cm * 100 cm \u003d 31,400 cm 2 ≈ 3m 2
• Jepet: d = 50 mm
• Zona e një rrethi:
• S \u003d ¼ * 3,14 * 50 mm * 50 mm \u003d 1 963 mm 2 ≈ 20 cm 2

Nëse vizatohen dy rreze në një rreth pika të ndryshme rrethi, atëherë formohen dy pjesë të rrethit, të cilat quhen sektorët. Nëse një kordë vizatohet në një rreth, atëherë pjesa e rrafshit midis harkut dhe kordës quhet segment rrethi.