Siç e dini, ligji i shpërndarjes ndryshore e rastësishme mund të specifikohet në mënyra të ndryshme. Një ndryshore e rastësishme diskrete mund të specifikohet duke përdorur një seri shpërndarjeje ose një funksion integral, dhe një ndryshore e rastësishme e vazhdueshme mund të specifikohet duke përdorur një funksion integral ose diferencial. Le të shqyrtojmë analoge selektive të këtyre dy funksioneve.

Le të ketë një grup mostër vlerash të disa ndryshoreve të rastësishme të vëllimit dhe secilit variant nga ky grup i caktohet frekuenca e tij. Lëreni më tej - disa numër real, a është numri i vlerave të mostrës së ndryshores së rastësishme
, më i vogël .Pastaj numri është frekuenca e vlerave të vëzhguara në mostër X, më i vogël , ato. frekuenca e shfaqjes së ngjarjes
. Kur ndryshon x në rastin e përgjithshëm, vlera gjithashtu do të ndryshojë . Kjo do të thotë se frekuenca relative është një funksion i argumentit . Dhe meqenëse ky funksion gjendet nga të dhënat e mostrës të marra si rezultat i eksperimenteve, ai quhet mostër ose empirike.

Përkufizimi 10.15. Funksioni empirik i shpërndarjes(funksioni i shpërndarjes së mostrës) quhet funksion
, duke përcaktuar për secilën vlerë x Frekuenca relative e ngjarjes
.

(10.19)

Në ndryshim nga funksioni empirik i shpërndarjes së kampionit, funksioni i shpërndarjes F(x) popullatë thirrur funksioni teorik i shpërndarjes. Dallimi midis tyre është se funksioni teorik F(x) përcakton probabilitetin e një ngjarjeje
, dhe ajo empirike është frekuenca relative e së njëjtës ngjarje. Nga teorema e Bernulit rrjedh

,
(10.20)

ato. në liri probabiliteti
dhe frekuenca relative e ngjarjeve
, d.m.th.
pak të ndryshëm nga njëri-tjetri. Kjo tashmë nënkupton përshtatshmërinë e përdorimit të funksionit të shpërndarjes empirike të kampionit për një paraqitje të përafërt të funksionit të shpërndarjes teorike (integrale) të popullatës së përgjithshme.

Funksioni
dhe
kanë të njëjtat veti. Kjo vjen nga përkufizimi i funksionit.

Vetitë
:

Shembulli 10.4. Ndërtoni një funksion empirik për shpërndarjen e mostrës së dhënë:

Zgjidhja: Gjeni madhësinë e mostrës n= 12+18+30=60. Opsioni më i vogël
, Rrjedhimisht,
në
. Kuptimi
, domethënë
vëzhguar 12 herë, pra:

=
në
.

Kuptimi x< 10, domethënë
dhe
janë vërejtur 12+18=30 herë, pra,
=
në
. Në

.

Funksioni i dëshiruar i shpërndarjes empirike:

=

Orari
treguar në fig. 10.2

R
është. 10.2

pyetjet e testit

1. Cilat janë problemet kryesore që zgjidhin statistikat matematikore? 2. Popullata e përgjithshme dhe e mostrës? 3. Përcaktoni madhësinë e mostrës. 4. Cilat mostra quhen përfaqësuese? 5. Gabimet e përfaqësimit. 6. Metodat kryesore të kampionimit. 7. Konceptet e frekuencës, frekuencës relative. 8. Koncepti i një serie statistikore. 9. Shkruani formulën e Sturges. 10. Formuloni konceptet e gamës së mostrës, medianës dhe modalitetit. 11. Frekuencat e poligonit, histogrami. 12. Koncepti i një vlerësimi pikësor të një popullate të mostrës. 13. Vlerësimi i pikëve i njëanshëm dhe i paanshëm. 14. Formuloni konceptin e mesatares së mostrës. 15. Formuloni konceptin e variancës së mostrës. 16. Formuloni konceptin e devijimit standard të mostrës. 17. Formuloni konceptin e koeficientit të variacionit të mostrës. 18. Formuloni konceptin e mesatares gjeometrike të mostrës.

Leksioni 13

Le të dihet shpërndarja statistikore frekuencave tipar sasior X. Shënoni me numrin e vëzhgimeve në të cilat u vëzhgua një vlerë tipare më e vogël se x dhe me n - numri total vëzhgimet. Natyrisht, frekuenca relative e ngjarjes X< x равна и является функцией x. Так как эта функция находится эмпирическим (опытным) путем, то ее называют эмпирической.

Funksioni empirik i shpërndarjes(funksioni i shpërndarjes së mostrës) është një funksion që përcakton për secilën vlerë x frekuencën relative të ngjarjes X< x. Таким образом, по определению ,где - число вариант, меньших x, n – объем выборки.

Ndryshe nga funksioni empirik i shpërndarjes së kampionit, funksioni i shpërndarjes së popullsisë quhet funksioni teorik i shpërndarjes. Dallimi midis këtyre funksioneve është se funksioni teorik përcakton probabiliteti Ngjarjet X< x, тогда как эмпирическая – frekuencë relative të njëjtën ngjarje.

Ndërsa n rritet, frekuenca relative e ngjarjes X< x, т.е. стремится по вероятности к вероятности этого события. Иными словами

Vetitë e funksionit të shpërndarjes empirike:

1) Vlerat e funksionit empirik i përkasin segmentit

2) - funksion jo-zvogëlues

3) Nëse - opsioni më i vogël, atëherë = 0 në , nëse - opsioni më i madh, atëherë =1 në .

funksion empirik Shpërndarja e kampionit shërben për të vlerësuar funksionin teorik të shpërndarjes së popullatës.

Shembull. Le të ndërtojmë një funksion empirik sipas shpërndarjes së mostrës:

Le të gjejmë madhësinë e mostrës: 12+18+30=60. Opsioni më i vogël është 2, pra =0 për x £ 2. Vlera e x<6, т.е. , наблюдалось 12 раз, следовательно, =12/60=0,2 при 2< x £6. Аналогично, значения X < 10, т.е. и наблюдались 12+18=30 раз, поэтому =30/60 =0,5 при 6< x £10. Так как x=10 – наибольшая варианта, то =1 при x>10. Kështu, funksioni i dëshiruar empirik ka formën:

Vetitë më të rëndësishme të vlerësimeve statistikore

Le të kërkohet studimi i disa atributeve sasiore të popullsisë së përgjithshme. Le të supozojmë se, nga konsideratat teorike, ishte e mundur të vërtetohej kjo cila shpërndarja ka një atribut dhe është e nevojshme të vlerësohen parametrat me të cilët përcaktohet. Për shembull, nëse tipari në studim shpërndahet normalisht në popullatën e përgjithshme, atëherë është e nevojshme të vlerësohet vlera e pritur dhe devijimi standard; nëse atributi ka një shpërndarje Poisson, atëherë është e nevojshme të vlerësohet parametri l.

Zakonisht, disponohen vetëm të dhëna të mostrës, të tilla si vlerat e tipareve nga n vëzhgime të pavarura. Duke i konsideruar si variabla të rastësishëm të pavarur, mund të themi se të gjesh një vlerësim statistikor të një parametri të panjohur të një shpërndarjeje teorike do të thotë të gjesh një funksion të ndryshoreve të rastësishme të vëzhguara që jep një vlerë të përafërt të parametrit të vlerësuar. Për shembull, për të vlerësuar pritshmërinë matematikore shpërndarje normale rolin e funksionit e kryen mesatarja aritmetike

Në mënyrë që vlerësimet statistikore të japin përafrime të sakta të parametrave të vlerësuar, ato duhet të plotësojnë disa kërkesa, ndër të cilat më të rëndësishmet janë kërkesat. paanshmëria dhe aftësia paguese vlerësimet.

le - vlerësim statistikor parametër i panjohur i shpërndarjes teorike. Le të gjendet vlerësimi bazuar në një kampion të madhësisë n. Le të përsërisim eksperimentin, d.m.th. ne nxjerrim nga popullata e përgjithshme një kampion tjetër me të njëjtën madhësi dhe, bazuar në të dhënat e tij, marrim një vlerësim të ndryshëm prej . Duke e përsëritur eksperimentin shumë herë, marrim numra të ndryshëm. Rezultati mund të konsiderohet si një ndryshore e rastësishme dhe numrat si vlerat e tij të mundshme.

Nëse vlerësimi jep një përafrim me bollëk, d.m.th. çdo numër është më i madh se vlera e vërtetë, atëherë, si pasojë, pritshmëria matematikore (vlera mesatare) e ndryshores së rastit është më e madhe se:. Në mënyrë të ngjashme, nëse vlerëson me një disavantazh, pastaj .

Kështu, përdorimi i një vlerësimi statistikor, pritshmëria matematikore e të cilit nuk është e barabartë me parametrin e vlerësuar, do të çonte në gabime sistematike (një shenjë). Nëse, përkundrazi, , atëherë kjo garanton kundër gabimeve sistematike.

i paanshëm quhet një vlerësim statistikor, pritshmëria matematikore e të cilit është e barabartë me parametrin e vlerësuar për çdo madhësi kampioni.

I zhvendosur quhet një vlerësim që nuk e plotëson këtë kusht.

Paanshmëria e vlerësimit nuk garanton ende një përafrim të mirë për parametrin e vlerësuar, pasi vlerat e mundshme mund të jenë shumë të shpërndara rreth vlerës mesatare të saj, d.m.th. varianca mund të jetë domethënëse. Në këtë rast, vlerësimi i gjetur nga të dhënat e një kampioni, për shembull, mund të rezultojë të jetë dukshëm i largët nga vlera mesatare , dhe si rrjedhim nga vetë parametri i vlerësuar.

efikas quhet një vlerësim statistikor i cili, për një madhësi të caktuar kampioni n, ka varianca më e vogël e mundshme .

Kur merren parasysh mostrat e një vëllimi të madh, kërkohen vlerësime statistikore aftësia paguese .

I pasur quhet një vlerësim statistikor, i cili, si n®¥, priret në probabilitet te parametri i vlerësuar. Për shembull, nëse varianca e një vlerësuesi të paanshëm tenton në zero si n®¥, atëherë një vlerësues i tillë rezulton gjithashtu i qëndrueshëm.

Përcaktimi i funksionit të shpërndarjes empirike

Le të jetë $X$ një ndryshore e rastësishme. $F(x)$ - funksioni i shpërndarjes së ndryshores së dhënë të rastit. Ne do të kryejmë $n$ eksperimente në një variabël të caktuar të rastësishëm në të njëjtat kushte të pavarura. Në këtë rast, marrim një sekuencë vlerash $x_1,\ x_2\ $, ... ,$\ x_n$, e cila quhet mostër.

Përkufizimi 1

Çdo vlerë prej $x_i$ ($i=1,2\ $, ... ,$ \ n$) quhet variant.

Një nga vlerësimet e funksionit të shpërndarjes teorike është funksioni i shpërndarjes empirike.

Përkufizimi 3

Funksioni empirik i shpërndarjes $F_n(x)$ është funksioni që përcakton për secilën vlerë $x$ frekuencën relative të ngjarjes $X \

ku $n_x$ është numri i opsioneve më pak se $x$, $n$ është madhësia e mostrës.

Dallimi midis një funksioni empirik dhe atij teorik është se funksioni teorik përcakton probabilitetin e ngjarjes $X

Vetitë e funksionit të shpërndarjes empirike

Le të shqyrtojmë tani disa veti themelore të funksionit të shpërndarjes.

Gama e funksionit $F_n\left(x\right)$ është segmenti $$.

$F_n\left(x\right)$ është një funksion që nuk zvogëlohet.

$F_n\left(x\right)$ është një funksion majtas i vazhdueshëm.

$F_n\left(x\right)$ është një funksion konstant pjesë-pjesë dhe rritet vetëm në pikat e vlerave të ndryshores së rastësishme $X$

Le të jetë $X_1$ më i vogli dhe $X_n$ varianti më i madh. Pastaj $F_n\left(x\right)=0$ për $(x\le X)_1$ dhe $F_n\left(x\right)=1$ për $x\ge X_n$.

Le të prezantojmë një teoremë që lidh funksionet teorike dhe empirike.

Teorema 1

Le të jetë $F_n\left(x\right)$ funksioni empirik i shpërndarjes dhe $F\left(x\right)$ funksioni teorik i shpërndarjes së mostrës së përgjithshme. Atëherë barazia vlen:

\[(\mathop(lim)_(n\në \infty ) (|F)_n\left(x\djathtas)-F\left(x\djathtas)|=0\ )\]

Shembuj të problemeve për gjetjen e funksionit të shpërndarjes empirike

Shembulli 1

Lëreni që shpërndarja e mostrës të ketë të dhënat e mëposhtme, të regjistruara duke përdorur një tabelë:

Foto 1.

Gjeni madhësinë e kampionit, hartoni një funksion të shpërndarjes empirike dhe vizatoni atë.

Madhësia e mostrës: $n=5+10+15+20=50$.

Nga vetia 5, kemi atë për $x\le 1$ $F_n\left(x\right)=0$, dhe për $x>4$ $F_n\left(x\right)=1$.

vlerë x $

vlerë x $

vlerë x $

Kështu, marrim:

Figura 2.

Figura 3

Shembulli 2

Nga qytetet e pjesës qendrore të Rusisë, u zgjodhën rastësisht 20 qytete, për të cilat u morën të dhënat e mëposhtme për tarifat në transportin publik: 14, 15, 12, 12, 13, 15, 15, 13, 15, 12, 15 , 14, 15, 13, 13, 12, 12, 15, 14, 14.

Hartoni një funksion të shpërndarjes empirike të këtij kampioni dhe ndërtoni grafikun e tij.

Ne shkruajmë vlerat e mostrës në rend rritës dhe llogarisim frekuencën e secilës vlerë. Ne marrim tabelën e mëposhtme:

Figura 4

Madhësia e mostrës: $n=20$.

Nga vetia 5, kemi atë për $x\le 12$ $F_n\left(x\right)=0$, dhe për $x>15$ $F_n\left(x\right)=1$.

vlerë x $

vlerë x $

vlerë x $

Kështu, marrim:

Figura 5

Le të përshkruajmë shpërndarjen empirike:

Figura 6

Origjinaliteti: $92,12\%$.

Mësoni se çfarë është një formulë empirike. Në kimi, një ESP është mënyra më e thjeshtë për të përshkruar një përbërje - në thelb, është një listë e elementeve që përbëjnë përbërjen duke pasur parasysh përqindjen e tyre. Duhet të theksohet se kjo formulë e thjeshtë nuk përshkruan urdhëroj atomet në një përbërje, thjesht tregon se nga cilat elementë përbëhet. Për shembull:

• Një përbërje e përbërë nga 40,92% karbon; 4,58% hidrogjen dhe 54,5% oksigjen do të kenë formulën empirike C 3 H 4 O 3 (një shembull se si të gjendet ESP i këtij përbërësi do të diskutohet në pjesën e dytë).

Përcaktimi i funksionit të shpërndarjes empirike

Le të jetë $X$ një ndryshore e rastësishme. $F(x)$ - funksioni i shpërndarjes së ndryshores së dhënë të rastit. Ne do të kryejmë $n$ eksperimente në një variabël të caktuar të rastësishëm në të njëjtat kushte të pavarura. Në këtë rast, marrim një sekuencë vlerash $x_1,\ x_2\ $, ... ,$\ x_n$, e cila quhet mostër.

Përkufizimi 1

Çdo vlerë prej $x_i$ ($i=1,2\ $, ... ,$ \ n$) quhet variant.

Një nga vlerësimet e funksionit të shpërndarjes teorike është funksioni i shpërndarjes empirike.

Përkufizimi 3

Funksioni empirik i shpërndarjes $F_n(x)$ është funksioni që përcakton për secilën vlerë $x$ frekuencën relative të ngjarjes $X \

ku $n_x$ është numri i opsioneve më pak se $x$, $n$ është madhësia e mostrës.

Dallimi midis një funksioni empirik dhe atij teorik është se funksioni teorik përcakton probabilitetin e ngjarjes $X

Vetitë e funksionit të shpërndarjes empirike

Le të shqyrtojmë tani disa veti themelore të funksionit të shpërndarjes.

Gama e funksionit $F_n\left(x\right)$ është segmenti $$.

$F_n\left(x\right)$ është një funksion që nuk zvogëlohet.

$F_n\left(x\right)$ është një funksion majtas i vazhdueshëm.

$F_n\left(x\right)$ është një funksion konstant pjesë-pjesë dhe rritet vetëm në pikat e vlerave të ndryshores së rastësishme $X$

Le të jetë $X_1$ më i vogli dhe $X_n$ varianti më i madh. Pastaj $F_n\left(x\right)=0$ për $(x\le X)_1$ dhe $F_n\left(x\right)=1$ për $x\ge X_n$.

Le të prezantojmë një teoremë që lidh funksionet teorike dhe empirike.

Teorema 1

Le të jetë $F_n\left(x\right)$ funksioni empirik i shpërndarjes dhe $F\left(x\right)$ funksioni teorik i shpërndarjes së mostrës së përgjithshme. Atëherë barazia vlen:

\[(\mathop(lim)_(n\në \infty ) (|F)_n\left(x\djathtas)-F\left(x\djathtas)|=0\ )\]

Shembuj të problemeve për gjetjen e funksionit të shpërndarjes empirike

Shembulli 1

Lëreni që shpërndarja e mostrës të ketë të dhënat e mëposhtme, të regjistruara duke përdorur një tabelë:

Foto 1.

Gjeni madhësinë e kampionit, hartoni një funksion të shpërndarjes empirike dhe vizatoni atë.

Madhësia e mostrës: $n=5+10+15+20=50$.

Nga vetia 5, kemi atë për $x\le 1$ $F_n\left(x\right)=0$, dhe për $x>4$ $F_n\left(x\right)=1$.

vlerë x $

vlerë x $

vlerë x $

Kështu, marrim:

Figura 2.

Figura 3

Shembulli 2

Nga qytetet e pjesës qendrore të Rusisë, u zgjodhën rastësisht 20 qytete, për të cilat u morën të dhënat e mëposhtme për tarifat në transportin publik: 14, 15, 12, 12, 13, 15, 15, 13, 15, 12, 15 , 14, 15, 13, 13, 12, 12, 15, 14, 14.

Hartoni një funksion të shpërndarjes empirike të këtij kampioni dhe ndërtoni grafikun e tij.

Ne shkruajmë vlerat e mostrës në rend rritës dhe llogarisim frekuencën e secilës vlerë. Ne marrim tabelën e mëposhtme:

Figura 4

Madhësia e mostrës: $n=20$.

Nga vetia 5, kemi atë për $x\le 12$ $F_n\left(x\right)=0$, dhe për $x>15$ $F_n\left(x\right)=1$.

vlerë x $

vlerë x $

vlerë x $

Kështu, marrim:

Figura 5

Le të përshkruajmë shpërndarjen empirike:

Figura 6

Origjinaliteti: $92,12\%$.