Formulați proprietatea unei tangente la un cerc. Linie tangentă. Teoremă asupra arcurilor contractate de coarde egale

Definiție. O tangentă la un cerc este o dreaptă în plan care are exact un punct comun cu cercul.

Iată câteva exemple:

Cerc cu centru O atinge o linie dreaptă l la punct A

De oriunde MÎn afara cercului pot fi trase exact două tangente

diferența dintre tangentă l, secant î.Hr si direct m, care nu are puncte comune cu cercul

Acesta ar putea fi sfârșitul, dar practica arată că nu este suficient doar să memorezi definiția - trebuie să înveți să vezi tangentele din desene, să le cunoști proprietățile și, în plus, să exersezi utilizarea acestor proprietăți atunci când rezolvi probleme reale. . Ne vom ocupa de toate acestea astăzi.

Proprietățile de bază ale tangentelor

Pentru a rezolva orice problemă, trebuie să cunoașteți patru proprietăți cheie. Două dintre ele sunt descrise în orice carte de referință / manual, dar ultimele două sunt cumva uitate, dar în zadar.

1. Segmentele tangentelor trase dintr-un punct sunt egale

Puțin mai sus, am vorbit deja despre două tangente trase dintr-un punct M. Deci:

Segmentele tangentelor la cerc, desenate dintr-un punct, sunt egale.

Segmente A.Mși BM egal

2. Tangenta este perpendiculară pe raza trasată la punctul de contact

Să ne uităm din nou la poza de mai sus. Să desenăm razele OAși OB, după care constatăm că unghiurile OAMși OBM- Drept.

Raza trasată la punctul tangent este perpendiculară pe tangente.

Acest fapt poate fi folosit fără dovezi în orice problemă:

Razele trasate la punctul tangent sunt perpendiculare pe tangente

Apropo, rețineți: dacă desenați un segment OM, atunci obținem două triunghiuri egale: OAMși OBM.

3. Relația dintre tangentă și secantă

Dar acesta este un fapt mai grav și majoritatea școlarilor nu îl știu. Luați în considerare o tangentă și o secantă care trec prin același punct comun M. Desigur, secanta ne va oferi două segmente: în interiorul cercului (segment î.Hr- se mai numește și coardă) și în exterior (se numește așa - partea exterioară MC).

Produsul întregii secante prin partea sa exterioară este egal cu pătratul segmentului tangent

Relația dintre secantă și tangentă

4. Unghiul dintre tangentă și coardă

Un fapt și mai avansat, care este adesea folosit pentru a rezolva probleme complexe. Recomand cu căldură să-l luați la bord.

Unghiul dintre o tangentă și o coardă este egal cu unghiul înscris pe baza acestei coarde.

De unde vine punctul B? În problemele reale, de obicei „apare” undeva în stare. Prin urmare, este important să învățați să recunoașteți această configurație în desene.

Uneori inca se aplica :)

Conceptul de tangentă la un cerc

Cercul are trei poziții reciproce posibile față de linia dreaptă:

Dacă distanța de la centrul cercului la linie este mai mică decât raza, atunci linia are două puncte de intersecție cu cercul.

Dacă distanța de la centrul cercului la linie este egală cu raza, atunci linia are două puncte de intersecție cu cercul.

Dacă distanța de la centrul cercului la linia dreaptă este mai mare decât raza, atunci linia dreaptă are două puncte de intersecție cu cercul.

Introducem acum conceptul de linie tangentă la un cerc.

Definiția 1

O tangentă la un cerc este o dreaptă care are un punct de intersecție cu ea.

Punctul comun al cercului și tangentei se numește punct tangent (Fig. 1).

Figura 1. Tangenta la un cerc

Teoreme legate de conceptul de tangentă la cerc

Teorema 1

Teorema proprietății tangentei: tangenta la cerc este perpendiculara pe raza trasata la punctul tangent.

Dovada.

Să considerăm un cerc cu centrul $O$. Să desenăm tangenta $a$ în punctul $A$. $OA=r$ (Fig. 2).

Să demonstrăm că $a\bot r$

Vom demonstra teorema prin metoda „prin contradicție”. Să presupunem că tangenta $a$ nu este perpendiculară pe raza cercului.

Figura 2. Ilustrarea teoremei 1

Adică $OA$ este oblic la o tangentă. Deoarece perpendiculara pe dreapta $a$ este întotdeauna mai mică decât panta pe aceeași dreaptă, distanța de la centrul cercului la dreaptă este mai mică decât raza. După cum știm, în acest caz linia are două puncte de intersecție cu cercul. Ceea ce contrazice definiția unei tangente.

Prin urmare, tangenta este perpendiculară pe raza cercului.

Teorema a fost demonstrată.

Teorema 2

Conversați cu teorema proprietății tangentei: Dacă linia care trece prin capătul razei unui cerc este perpendiculară pe rază, atunci această linie este tangentă la acest cerc.

Dovada.

În funcție de starea problemei, avem că raza este o perpendiculară trasată de la centrul cercului la dreapta dată. Prin urmare, distanța de la centrul cercului la linia dreaptă este egală cu lungimea razei. După cum știm, în acest caz cercul are un singur punct de intersecție cu această dreaptă. Prin definiția 1, obținem că linia dată este tangentă la cerc.

Teorema a fost demonstrată.

Teorema 3

Segmentele tangentelor la cerc, trasate dintr-un punct, sunt egale și formează unghiuri egale cu dreapta care trece prin acest punct și centrul cercului.

Dovada.

Să fie dat un cerc centrat în punctul $O$. Două tangente diferite sunt trase din punctul $A$ (care se află pe toate cercurile). Din punctul de atingere $B$ și respectiv $C$ (Fig. 3).

Să demonstrăm că $\angle BAO=\angle CAO$ și că $AB=AC$.

Figura 3. Ilustrarea teoremei 3

Prin teorema 1, avem:

Prin urmare, triunghiurile $ABO$ și $ACO$ sunt triunghiuri dreptunghiulare. Deoarece $OB=OC=r$, iar ipotenuza $OA$ este comună, aceste triunghiuri sunt egale în ipotenuză și catete.

Prin urmare, obținem acel $\angle BAO=\angle CAO$ și $AB=AC$.

Teorema a fost demonstrată.

Un exemplu de sarcină pe conceptul de tangentă la un cerc

Exemplul 1

Dat un cerc cu centrul $O$ si raza $r=3\ cm$. Tangenta $AC$ are un punct tangent $C$. $AO=4\cm$. Găsiți $AC$.

Soluţie.

Mai întâi, să descriem totul în figură (Fig. 4).

Figura 4

Deoarece $AC$ este o tangentă și $OC$ este o rază, atunci prin teorema 1 obținem $\angle ACO=(90)^(()^\circ )$. S-a dovedit că triunghiul $ACO$ este dreptunghiular, ceea ce înseamnă că, conform teoremei lui Pitagora, avem:

\[(AC)^2=(AO)^2+r^2\] \[(AC)^2=16+9\] \[(AC)^2=25\] \

\[(\Large(\text(Central and Inscribed Angles)))\]

Definiții

Un unghi central este un unghi al cărui vârf se află în centrul cercului.

Un unghi înscris este un unghi al cărui vârf se află pe cerc.

Gradul de măsurare a unui arc de cerc este gradul de măsurare a unghiului central care se sprijină pe acesta.

Teorema

Măsura unui unghi înscris este jumătate din măsura arcului pe care îl interceptează.

Dovada

Vom efectua demonstrația în două etape: în primul rând, dovedim validitatea enunțului pentru cazul în care una dintre laturile unghiului înscris conține un diametru. Fie punctul $B$ vârful unghiului înscris $ABC$ și $BC$ diametrul cercului:

Triunghiul $AOB$ este isoscel, $AO = OB$ , $\angle AOC$ este exterior, apoi $\unghiul AOC = \unghiul OAB + \unghiul ABO = 2\unghiul ABC$, Unde $\angle ABC = 0,5\cdot\angle AOC = 0,5\cdot\buildrel\smile\over(AC)$.

Acum luați în considerare un unghi înscris arbitrar $ABC$ . Desenați diametrul cercului $BD$ de la vârful unghiului înscris. Sunt posibile două cazuri:

1) diametrul taie unghiul în două unghiuri $\angle ABD, \angle CBD$ (pentru fiecare dintre ele teorema este adevărată, așa cum sa dovedit mai sus, de aceea este valabilă și pentru unghiul inițial, care este suma acestora doi și, prin urmare, este egală cu jumătate din suma arcurilor pe care se sprijină, adică egală cu jumătate din arcul pe care se sprijină). Orez. unu.

2) diametrul nu a tăiat unghiul în două unghiuri, atunci mai avem două unghiuri noi înscrise $\angle ABD, \angle CBD$, a căror latură conține diametrul, prin urmare, teorema este adevărată pentru ele, atunci este valabil și pentru unghiul inițial (care este egal cu diferența dintre aceste două unghiuri, ceea ce înseamnă că este egal cu jumătate de diferență a arcelor pe care se sprijină, adică este egal cu jumătate din arcul pe care se sprijină). odihnă). Orez. 2.

Consecințe

1. Unghiurile înscrise bazate pe același arc sunt egale.

2. Un unghi înscris bazat pe un semicerc este un unghi drept.

3. Un unghi înscris este egal cu jumătate din unghiul central bazat pe același arc.

\[(\Large(\text(Tangent la cerc)))\]

Definiții

Există trei tipuri poziție relativă linie dreaptă și cerc:

1) linia $a$ intersectează cercul în două puncte. O astfel de linie se numește secanta. În acest caz, distanța $d$ de la centrul cercului la linia dreaptă este mai mică decât raza $R$ a cercului (Fig. 3).

2) linia $b$ intersectează cercul într-un punct. O astfel de dreaptă se numește tangentă, iar punctul lor comun $B$ se numește punct tangent. În acest caz $d=R$ (Fig. 4).

Teorema

1. Tangenta la cerc este perpendiculară pe raza trasată la punctul de contact.

2. Dacă linia trece prin capătul razei cercului și este perpendiculară pe această rază, atunci este tangentă la cerc.

Consecinţă

Segmentele tangentelor trase de la un punct la cerc sunt egale.

Dovada

Desenați două tangente $KA$ și $KB$ la cerc din punctul $K$:

Deci $OA\perp KA, OB\perp KB$ ca raze. Triunghiurile dreptunghiulare $\triunghi KAO$ și $\triunghi KBO$ sunt egale în catete și ipotenuză, deci $KA=KB$ .

Consecinţă

Centrul cercului $O$ se află pe bisectoarea unghiului $AKB$ format din două tangente trase din același punct $K$ .

\[(\Large(\text(Teoreme legate de unghiuri)))\]

Teorema despre unghiul dintre secante

Unghiul dintre două secante trase din același punct este egal cu jumătatea diferenței gradelor arcelor mai mari și mai mici tăiate de acestea.

Dovada

Fie $M$ un punct din care sunt trase două secante așa cum se arată în figură:

Să arătăm asta $\angle DMB = \dfrac(1)(2)(\buildrel\smile\over(BD) - \buildrel\smile\over(CA))$.

$\angle DAB$ este colțul exterior al triunghiului $MAD$ , atunci $\angle DAB = \angle DMB + \angle MDA$, Unde $\angle DMB = \angle DAB - \angle MDA$, dar unghiurile $\angle DAB$ și $\angle MDA$ sunt înscrise, atunci $\angle DMB = \angle DAB - \angle MDA = \frac(1)(2)\buildrel\smile\over(BD) - \frac(1)(2)\buildrel\smile\over(CA) = \frac(1)(2)(\buildrel\smile\over(BD) - \buildrel\smile\over(CA))$, ceea ce urma să fie dovedit.

Teorema unghiului dintre coarde care se intersectează

Unghiul dintre două coarde care se intersectează este egal cu jumătate din suma gradelor de arc ale arcurilor pe care le taie: \[\angle CMD=\dfrac12\left(\buildrel\smile\over(AB)+\buildrel\smile\over(CD)\right)\]

Dovada

$\angle BMA = \angle CMD$ ca verticală.

Din triunghi $AMD$: $\angle AMD = 180^\circ - \angle BDA - \angle CAD = 180^\circ - \frac12\buildrel\smile\over(AB) - \frac12\buildrel\smile\over(CD)$.

Dar $\angle AMD = 180^\circ - \angle CMD$, de unde tragem concluzia că \[\angle CMD = \frac12\cdot\buildrel\smile\over(AB) + \frac12\cdot\buildrel\smile\over(CD) = \frac12(\buildrel\smile\over(AB) + \buildrel\ zâmbește\pe (CD)).\]

Teorema unghiului dintre o coardă și o tangentă

Unghiul dintre tangentă și coarda care trece prin punctul tangentă este egal cu jumătate din gradul de măsurare a arcului scăzut de coardă.

Dovada

Fie ca linia $a$ să atingă cercul în punctul $A$ , $AB$ să fie coarda acestui cerc, $O$ să fie centrul acestuia. Fie ca linia care conține $OB$ se intersectează cu $a$ în punctul $M$ . Să demonstrăm asta $\angle BAM = \frac12\cdot \buildrel\smile\over(AB)$.

Notați $\angle OAB = \alpha$ . Deoarece $OA$ și $OB$ sunt raze, atunci $OA = OB$ și $\angle OBA = \angle OAB = \alpha$. În acest fel, $\buildrel\smile\over(AB) = \angle AOB = 180^\circ - 2\alpha = 2(90^\circ - \alpha)$.

Deoarece $OA$ este raza trasată la punctul tangent, atunci $OA\perp a$ , adică $\angle OAM = 90^\circ$, prin urmare, $\angle BAM = 90^\circ - \angle OAB = 90^\circ - \alpha = \frac12\cdot\buildrel\smile\over(AB)$.

Teoremă asupra arcurilor contractate de coarde egale

Coarde egale subtind arcuri egale, semicercuri mai mici.

Și invers: arcurile egale sunt contractate de coarde egale.

Dovada

1) Fie $AB=CD$ . Să demonstrăm că semicercurile mai mici ale arcului .

Pe trei laturi, deci $\angle AOB=\angle COD$ . Dar de atunci $\angle AOB, \angle COD$ - colțurile centrale bazat pe arce $\buildrel\smile\over(AB), \buildrel\smile\over(CD)$ respectiv, atunci $\buildrel\smile\over(AB)=\buildrel\smile\over(CD)$.

2) Dacă $\buildrel\smile\over(AB)=\buildrel\smile\over(CD)$, apoi $\triunghi AOB=\triunghi COD$ de-a lungul a două laturi $AO=BO=CO=DO$ și unghiul dintre ele $\angle AOB=\angle COD$ . Prin urmare, $AB=CD$ .

Teorema

Dacă o rază traversează o coardă, atunci aceasta este perpendiculară pe aceasta.

Este adevărat și invers: dacă raza este perpendiculară pe coardă, atunci punctul de intersecție o bisectează.

Dovada

1) Fie $AN=NB$ . Să demonstrăm că $OQ\perp AB$ .

Considerăm $\triunghiul AOB$ : este isoscel, deoarece $OA=OB$ – razele cercului. pentru că $ON$ este mediana trasată la bază, apoi este și înălțimea, deci $ON\perp AB$ .

2) Fie $OQ\perp AB$ . Să demonstrăm că $AN=NB$ .

În mod similar, $\triunghiul AOB$ este isoscel, $ON$ este înălțimea, deci $ON$ este mediana. Prin urmare, $AN=NB$ .

\[(\Large(\text(Teoreme legate de lungimile segmentelor)))\]

Teorema asupra produsului segmentelor de coarde

Dacă două acorduri ale unui cerc se intersectează, atunci produsul segmentelor unei coarde este egal cu produsul segmentelor celeilalte coarde.

Dovada

Lasă acordurile $AB$ și $CD$ să se intersecteze în punctul $E$ .

Luați în considerare triunghiurile $ADE$ și $CBE$ . În aceste triunghiuri, unghiurile $1$ și $2$ sunt egale, deoarece sunt înscrise și se bazează pe același arc $BD$, iar unghiurile $3$ și $4$ sunt egale cu verticale. Triunghiurile $ADE$ și $CBE$ sunt similare (după primul criteriu de asemănare a triunghiului).

Apoi $\dfrac(AE)(EC) = \dfrac(DE)(BE)$, de unde $AE\cdot BE = CE\cdot DE$ .

Teorema tangentei și secantei

Pătratul unui segment tangent este egal cu produsul secantei și părții sale exterioare.

Dovada

Lăsați tangenta să treacă prin punctul $M$ și atingeți cercul în punctul $A$ . Lasă secantei să treacă prin punctul $M$ și să intersecteze cercul în punctele $B$ și $C$ astfel încât $MB< MC$ . Покажем, что $MB\cdot MC = MA^2$ .

Luați în considerare triunghiurile $MBA$ și $MCA$ : $\angle M$ este general, $\angle BCA = 0,5\cdot\buildrel\smile\over(AB)$. Conform teoremei unghiului dintre o tangentă și o secantă, $\angle BAM = 0,5\cdot\buildrel\smile\over(AB) = \angle BCA$. Astfel, triunghiurile $MBA$ și $MCA$ sunt similare în două unghiuri.

Din asemănarea triunghiurilor $MBA$ și $MCA$ avem: $\dfrac(MB)(MA) = \dfrac(MA)(MC)$, care este echivalent cu $MB\cdot MC = MA^2$ .

Consecinţă

Produsul secantei trase din punctul $O$ și partea sa exterioară nu depinde de alegerea secantei trase din punctul $O$ .

Să ne amintim cazurile de aranjare reciprocă a unei linii drepte și a unui cerc.

Dat un cerc cu centrul O și raza r. Linia P, distanța de la centru la linie, adică perpendiculara OM, este egală cu d.

Cazul 1- distanța de la centrul cercului la linia dreaptă este mai mică decât raza cercului:

Am demonstrat că în cazul în care distanța d este mai mică decât raza cercului r, linia și cercul au doar două puncte comune (Fig. 1).

Orez. 1. Ilustrația cazului 1

Cazul doi- distanța de la centrul cercului la linia dreaptă este egală cu raza cercului:

Am demonstrat că în acest caz punctul comun este unic (Fig. 2).

Orez. 2. Ilustrația cazului 2

Cazul 3- distanța de la centrul cercului la linia dreaptă este mai mare decât raza cercului:

Am demonstrat că în acest caz cercul și linia nu au puncte comune (Fig. 3).

Orez. 3. Ilustrația cazului 3

În această lecție, ne interesează al doilea caz, când linia și cercul au un singur punct comun.

Definiție:

O linie care are un singur punct comun cu un cerc se numește tangentă la cerc, un punct comun se numește punct de contact între linie și cerc.

Linia dreaptă p este o tangentă, punctul A este punctul de contact (fig. 4).

Orez. 4. Tangenta

Teorema:

Tangenta la cerc este perpendiculară pe raza trasată la punctul de contact (Fig. 5).

Orez. 5. Ilustrație pentru teoremă

Dovada:

Dimpotrivă, să nu fie OA perpendicular pe dreapta p. În acest caz, să aruncăm perpendiculara de la punctul O la dreapta p, care va fi distanța de la centrul cercului la linie:

Dintr-un triunghi dreptunghic putem spune că ipotenuza OH este mai mică decât catetul OA, adică linia și cercul au două puncte comune, dreapta p este o secantă. Astfel, am obținut o contradicție, ceea ce înseamnă că teorema este demonstrată.

Orez. 6. Ilustrație pentru teoremă

Teorema inversă este de asemenea adevărată.

Teorema:

Dacă o linie dreaptă trece prin capătul unei raze situate pe un cerc și este perpendiculară pe această rază, atunci este o tangentă.

Dovada:

Deoarece linia este perpendiculară pe rază, distanța OA este distanța de la linie la centrul cercului și este egală cu raza: . Adică și în acest caz, așa cum am argumentat anterior, linia și cercul au singurul punct comun - acesta este punctul A, deci linia p este tangentă la cerc prin definiție (Fig. 7).

Orez. 7. Ilustrație pentru teoremă

Teoremele directe și inverse pot fi combinate după cum urmează (Fig. 8):

Dat un cerc cu centrul O, dreapta p, raza OA

Orez. 8. Ilustrație pentru teoremă

Teorema:

O linie este tangentă la un cerc dacă și numai dacă raza trasată la punctul de contact este perpendiculară pe acesta.

Această teoremă înseamnă că dacă linia este tangentă, atunci raza trasată la punctul de contact este perpendiculară pe aceasta și invers, din perpendicularitatea lui OA și p rezultă că p este tangentă, adică linia și cercul. au un singur punct comun.

Luați în considerare două tangente trase din același punct la cerc.

Teorema:

Segmentele tangentelor la un cerc desenate dintr-un punct sunt egale și formează unghiuri egale cu o linie dreaptă trasată prin acest punct și centrul cercului.

Dat un cerc, centrul O, punctul A în afara cercului. Două tangente sunt trase din punctul A, punctele B și C sunt puncte tangente. Este necesar să se demonstreze că și că unghiurile 3 și 4 sunt egale.

Orez. 9. Ilustrație pentru teoremă

Dovada:

Demonstrarea se bazează pe egalitatea triunghiurilor . Explicați egalitatea triunghiurilor. Sunt dreptunghiulare, deoarece raza trasată la punctul de contact este perpendiculară pe tangente. Prin urmare, unghiurile și sunt drepte și egale în . Catoanele OB și OS sunt egale, deoarece sunt raza cercului. Hipotenuza AO - comun.

Astfel, triunghiurile sunt egale din punct de vedere al egalității catetei și ipotenuzei. Din aceasta este evident că catetele AB și AC sunt și ele egale. De asemenea, unghiurile opuse laturilor egale sunt egale, ceea ce înseamnă că unghiurile și , sunt egale.

Teorema a fost demonstrată.

Deci, ne-am familiarizat cu conceptul de tangentă la un cerc, în lecția următoare vom lua în considerare măsura gradului unui arc de cerc.

Bibliografie

Aleksandrov A.D. etc Geometrie Clasa 8. - M.: Educație, 2006.
Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Prasolov V.V. Geometrie 8. - M.: Iluminismul, 2011.
Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir S.M. Geometrie clasa 8. - M.: VENTANA-GRAF, 2009.

Univer.omsk.su ().
Oldskola1.narod.ru ().
Scoala6.aviel.ru ().

Teme pentru acasă

Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B. şi colab., Geometry 7-9, nr.634-637, p. 168.

puncte $x_0\in \mathbb(R)$ , și este diferențiabilă în ea: $f \in \mathcal(D)(x_0)$ . Tangenta la graficul unei functii $f$ la punct $x_0$ se numește graficul unei funcții liniare, dat de ecuație $y = f(x_0) + f"(x_0)(x-x_0),\quad x\in \mathbb(R)$ .

Dacă funcţia

f

are la punct

x_0

derivat infinit

f"(x_0) = \pm\infty,

atunci linia tangentă în acest punct este linia verticală dată de ecuație

x = x_0.

cometariu

Rezultă direct din definiție că graficul dreptei tangente trece prin punct $(x_0,f(x_0))$ . Colţ $\alfa$ între tangenta la curbă și axa x satisface ecuația

$\operatorname(tg)\,\alpha = f"(x_0)=k,$

Unde $\operatorname(tg)$ reprezintă tangentă și $\operatorname (k)$ - coeficientul de pantă tangentă. Derivată la un punct $x_0$ este egal cu coeficient unghiular tangentă la graficul funcției $y = f(x)$ în acest moment.

Tangenta ca pozitie limitatoare a unei secante

Lăsa $f\colon U(x_0) \to \R$ și $x_1\în U(x_0).$ Apoi o linie dreaptă care trece prin puncte $(x_0,f(x_0))$ și $(x_1,f(x_1))$ dat de ecuaţie

$y = f(x_0) + \frac(f(x_1) - f(x_0))(x_1 - x_0)(x-x_0).$

Această linie trece prin punct $(x_0,f(x_0))$ pentru oricine $x_1\în U(x_0),$ și unghiul său de înclinare $\alpha(x_1)$ satisface ecuația

$\operatorname(tg)\,\alpha(x_1) = \frac(f(x_1) - f(x_0))(x_1 - x_0).$

Datorită existenţei derivatei funcţiei $f$ la punct $x_0,$ trecand la limita la $x_1\la x_0,$ înțelegem că există o limită

$\lim\limits_(x_1 \to x_0) \operatorname(tg)\,\alpha(x_1) = f"(x_0),$

iar datorită continuităţii arc-tangentei şi unghiului limitator

$\alpha = \operatorname(arctg)\,f"(x_0).$

Linie care trece printr-un punct $(x_0,f(x_0))$ şi având un unghi limită de înclinare care satisface $\operatorname(tg)\,\alpha = f"(x_0),$ este dat de ecuația tangentei:

$y \u003d f (x_0) + f "(x_0) (x-x_0).$

Tangenta la cerc

O dreaptă care are un punct comun cu un cerc și se află în același plan cu acesta se numește tangentă la cerc.

Proprietăți

Tangenta la cerc este perpendiculară pe raza trasată la punctul de contact.
Segmentele tangentelor la cerc desenate dintr-un punct sunt egale și formează unghiuri egale cu linia care trece prin acest punct și centrul cercului.
Lungimea segmentului tangentei trasat la un cerc de rază unitară, luată între punctul de tangență și punctul de intersecție al tangentei cu raza trasă din centrul cercului, este tangenta unghiului dintre această rază. și direcția de la centrul cercului până la punctul de tangență. „Tangens” din lat. tangente- „tangentă”.

Variații și generalizări

Semi-tangente unilaterale

Dacă există o derivată de drept $f"_+(x_0)< \infty,$ apoi semitangenta dreapta la graficul funcției $f$ la punct $x_0$ numită grindă

y = f(x_0) + f"_+(x_0)(x - x_0),\quad x \geqslant x_0.

Dacă există o derivată stângă $f"_-(x_0)< \infty,$ apoi semitangentă stângă la graficul funcției $f$ la punct $x_0$ numită grindă

y = f(x_0) + f"_-(x_0)(x - x_0),\quad x \leqslant x_0.

Dacă există o derivată dreaptă infinită $f"_+(x_0) = +\infty\; (-\infty),$ $f$ la punct $x_0$ numită grindă

x = x_0, \;  y \geqslant f(x_0)\;  (y\leqslant f(x_0)).

Dacă există o derivată stângă infinită $f"_-(x_0) = +\infty\; (-\infty),$ apoi semitangenta dreapta la graficul functiei $f$ la punct $x_0$ numită grindă

x = x_0, \;  y \leqslant f(x_0)\;  (y\geqslant f(x_0)).

Vezi si

Normal, binormal

Scrieți o recenzie la articolul „Linia tangentă”

Literatură

Toponogov V. A. Geometria diferențială a curbelor și suprafețelor. - Fizmatkniga, 2012. - ISBN 9785891552135.
// Dicționar enciclopedic al lui Brockhaus și Efron: în 86 de volume (82 de volume și 4 suplimentare). - St.Petersburg. , 1890-1907.

Un fragment care caracterizează linia tangentă

- In locuri! – strigă un tânăr ofițer către soldații adunați în jurul lui Pierre. Acest tânăr ofițer, se pare, și-a îndeplinit funcția pentru prima sau a doua oară și, prin urmare, a tratat atât soldații, cât și comandantul cu o distincție și uniformitate deosebită.
Tragerile neregulate ale tunurilor și puștilor s-au intensificat pe tot terenul, mai ales spre stânga, unde erau fulgerele lui Bagration, dar din cauza fumului de focuri din locul unde se afla Pierre, era aproape imposibil să se vadă ceva. Mai mult decât atât, observațiile despre cum, parcă, un cerc familial (separat de toate celelalte) de oameni care se aflau pe baterie, au absorbit toată atenția lui Pierre. Prima sa emoție inconștient de veselă, produsă de vederea și sunetele câmpului de luptă, a fost acum înlocuită, mai ales după vederea acestui soldat singuratic întins pe pajiște, cu un alt sentiment. Aşezându-se acum pe panta şanţului, urmărea chipurile din jurul lui.
Până la ora zece, douăzeci de persoane fuseseră deja duse din baterie; două pistoale au fost sparte, tot mai multe obuze au lovit bateria și au zburat, bâzâind și șuierând, gloanțe cu rază lungă de acțiune. Dar oamenii care erau pe baterie nu păreau să observe acest lucru; din toate părţile s-au auzit conversaţii vesele şi glume.
- Chinenko! - a strigat soldatul la grenada care se apropia, fluieratoare. - Nu aici! La infanterie! - adăugă un altul râzând, observând că grenada a zburat peste și a lovit rândurile copertei.
- Ce prieten? – râse un alt soldat de țăranul ghemuit sub ghiulele zburătoare.
Câțiva soldați s-au adunat la metereze, privind ce se întâmpla în față.
„Și au scos lanțul, vezi, s-au întors”, au spus ei, arătând peste ax.
„Uitați-vă la afacerea voastră”, le strigă bătrânul subofițer. - S-au întors, ceea ce înseamnă că e de lucru înapoi. - Iar subofiţerul, luând de umăr pe unul dintre soldaţi, l-a împins cu genunchiul. S-au auzit râsete.
- Treci la a cincea armă! strigă dintr-o parte.
„Împreună, mai amiabil, în burlatski”, s-au auzit strigătele vesele ale celor care au schimbat pistolul.
„Da, aproape că i-am dat jos pălăria stăpânului nostru”, a râs de Pierre, arătându-și dinții. — O, neîndemânatic, adăugă el cu reproș la mingea care căzuse în roata și piciorul unui bărbat.
- Ei bine, vulpi! un altul a râs de milițienii care se zvârcoliau care intrau în bateria pentru răniți.
- Al nu este terci delicios? Ah, corbi, legănat! – au strigat la miliție, care a ezitat în fața unui soldat cu piciorul tăiat.
„Așa ceva, micuțule”, mimau țăranii. - Nu le place pasiunea.
Pierre a observat cum, după fiecare lovitură, după fiecare înfrângere, o renaștere generală a izbucnit din ce în ce mai mult.
Ca dintr-un nor de tunete înaintat, din ce în ce mai des, din ce în ce mai strălucitoare fulgerau pe fețele tuturor acestor oameni (parcă în repulsie față de ceea ce se întâmpla) fulgere de foc ascuns, care arde.
Pierre nu privea înainte pe câmpul de luptă și nu era interesat să știe ce se întâmplă acolo: era cu totul absorbit în contemplarea acestui foc, tot mai aprins, care în același fel (simțea) se aprindea în sufletul său.
La ora zece soldații infanteriei, care se aflau înaintea bateriei în tufișuri și de-a lungul râului Kamenka, s-au retras. Din baterie se vedea cum au fugit înapoi pe lângă ea, purtând răniții pe arme. Un general cu alaiul său a intrat în movilă și, după ce a vorbit cu colonelul, privind furios la Pierre, a coborât din nou, poruncind capacului de infanterie, care stătea în spatele bateriei, să se întindă pentru a fi mai puțin expus la împușcături. În urma acesteia, în rândurile infanteriei, în dreapta bateriei, s-a auzit o tobă, strigăte de comandă, iar din baterie se vedea cum înaintează rândurile infanteriei.
Pierre se uită peste puț. O față în special i-a atras atenția. Era un ofițer care, cu un chip tânăr palid, mergea cu spatele, purtând o sabie coborâtă și privind neliniștit în jur.
Rândurile soldaților de infanterie au dispărut în fum, s-au auzit strigătele lor lungi și tragerile dese de arme. Câteva minute mai târziu, de acolo au trecut mulțimi de răniți și brancardieri. Obuzele au început să lovească bateria și mai des. Mai mulți oameni zăceau necurățați. Lângă tunuri, soldații se mișcau mai ocupați și mai vioi. Nimeni nu i-a mai dat atenție lui Pierre. O dată sau de două ori a fost strigat furios la el pentru că era pe drum. Ofițerul superior, cu o față încruntă, se mișca cu pași mari și rapizi de la o armă la alta. Tânărul ofițer, înroșit și mai mult, a poruncit soldaților și mai sârguincios. Soldații au tras, s-au întors, au încărcat și și-au făcut treaba cu strălucire intensă. Au sărit pe drum, ca pe izvoare.