1. Uvod:
- Kako se koriste vjerovatnoća i matematička statistika? - strana 2
- Šta je "matematička statistika"? - strana 3
2) Primjeri primjene teorije vjerovatnoće i matematičke statistike:
- Odabir. - strana 4
- Zadaci ocjenjivanja. – strana 6
- Vjerovatno - statističke metode i optimizacija. – strana 7
3) Zaključak.

Uvod.

Kako se koriste vjerovatnoća i matematička statistika? Ove discipline su osnova probabilističko-statističkih metoda odlučivanja. Za korištenje njihovog matematičkog aparata potrebno je probleme odlučivanja izraziti u terminima vjerovatno-statističkih modela. Primjena specifičnog probabilističko-statističkog metoda odlučivanja sastoji se od tri faze:
- prelazak sa ekonomske, menadžerske, tehnološke stvarnosti na apstraktnu matematičku i statističku shemu, tj. izgradnja probabilističkog modela sistema upravljanja, tehnološkog procesa, postupka odlučivanja, posebno na osnovu rezultata statističke kontrole, itd.
- izvođenje proračuna i dobijanje zaključaka čisto matematičkim sredstvima u okviru vjerovatnog modela;
- tumačenje matematičkih i statističkih zaključaka u odnosu na realno stanje i donošenje odgovarajuće odluke (npr. o usklađenosti ili neusklađenosti kvaliteta proizvoda sa utvrđenim zahtjevima, potrebi prilagođavanja tehnološkog procesa i sl.), a posebno , zaključak (o udjelu neispravnih jedinica proizvoda u seriji, o specifičnom obliku zakona distribucije kontroliranih parametara tehnološkog procesa i dr.).

Matematička statistika koristi koncepte, metode i rezultate teorije vjerovatnoće. Razmotrimo glavna pitanja izgradnje probabilističkih modela odlučivanja u ekonomskim, menadžerskim, tehnološkim i drugim situacijama. Za aktivnu i pravilnu upotrebu normativno-tehničkih i instruktivno-metodičkih dokumenata o probabilističko-statističkim metodama odlučivanja potrebna su preliminarna znanja. Dakle, potrebno je znati pod kojim uslovima treba primijeniti jedan ili drugi dokument, koje početne informacije je potrebno imati za njegov odabir i primjenu, koje odluke treba donijeti na osnovu rezultata obrade podataka itd.

Šta je "matematička statistika"? Ispod matematičke statistike razumjeti "granu matematike koja se bavi matematičke metode prikupljanje, sistematizacija, obrada i interpretacija statističkih podataka, kao i njihovo korišćenje za naučne ili praktične zaključke. Pravila i procedure matematičke statistike zasnivaju se na teoriji vjerovatnoće, koja omogućava procjenu tačnosti i pouzdanosti zaključaka dobijenih u svakom problemu na osnovu raspoloživog statističkog materijala. Istovremeno, statistički podaci se odnose na podatak o broju objekata u više ili manje obimnoj zbirci koji imaju određene karakteristike.

Prema vrsti problema koji se rješavaju, matematička statistika se obično dijeli u tri dijela: opis podataka, procjena i testiranje hipoteza.

Prema vrsti statističkih podataka koji se obrađuju, matematička statistika se dijeli na četiri područja:

Univarijantna statistika (statistika slučajnih varijabli), u kojoj se opisuje rezultat posmatranja pravi broj;

Multidimenzionalno Statistička analiza, gdje je rezultat posmatranja nad objektom opisan s nekoliko brojeva (vektora);

Statistika slučajnih procesa i vremenskih serija, gde je rezultat posmatranja funkcija;

Statistika objekata nenumeričke prirode, u kojoj je rezultat posmatranja nenumeričke prirode, na primjer, je skup ( geometrijska figura), naručivanje ili dobijeno kao rezultat mjerenja na kvalitativnoj osnovi.

Primjeri primjene teorije vjerovatnoće i matematičke statistike.
Razmotrimo nekoliko primjera gdje su vjerovatno-statistički modeli dobar alat za rješavanje menadžerskih, industrijskih, ekonomskih i nacionalnih ekonomskih problema. Tako, na primjer, novčić koji se koristi kao lot mora biti "simetričan", tj. kada se baci, u prosjeku, u pola slučajeva, grb bi trebao ispasti, au pola slučajeva - rešetka (repovi, broj). Ali šta znači "prosjek"? Ako potrošite mnogo serija od 10 bacanja u svakoj seriji, onda će često biti serija u kojima novčić pada 4 puta s grbom. Za simetrični novčić, to će se dogoditi u 20,5% serije. A ako postoji 40.000 grbova za 100.000 bacanja, može li se novčić smatrati simetričnim? Procedura donošenja odluka zasniva se na teoriji vjerovatnoće i matematičkoj statistici.

Primjer koji se razmatra možda ne izgleda dovoljno ozbiljan. Međutim, nije. Ždrijeb se široko koristi u organizaciji eksperimenata industrijske izvodljivosti, na primjer, prilikom obrade rezultata mjerenja indeksa kvalitete (momenta trenja) ležajeva u zavisnosti od različitih tehnoloških faktora (utjecaj okoline za očuvanje, metode pripreme ležajeva prije mjerenja). , efekat opterećenja ležaja u procesu mjerenja, itd.). P.). Pretpostavimo da je potrebno usporediti kvalitetu ležajeva ovisno o rezultatima njihovog skladištenja u različitim konzervacijskim uljima, tj. u uljima sastava A i B. Prilikom planiranja ovakvog eksperimenta postavlja se pitanje koje ležajeve treba postaviti u uljnu kompoziciju A, a koje - u uljnu kompoziciju B, ali na način da se izbjegne subjektivnost i osigura objektivnost odluka.

Uzorak
Odgovor na ovo pitanje može se dobiti žrijebom. Sličan primjer može se dati s kontrolom kvalitete bilo kojeg proizvoda. Da bi se odlučilo da li pregledana serija proizvoda ispunjava utvrđene zahtjeve, uzima se uzorak iz nje. Na osnovu rezultata kontrole uzorka donosi se zaključak o cijeloj seriji. U ovom slučaju, vrlo je važno izbjeći subjektivnost prilikom formiranja uzorka, odnosno potrebno je da svaka jedinica proizvoda u kontrolisanoj seriji ima istu vjerovatnoću da bude odabrana u uzorku. U proizvodnim uvjetima, odabir proizvodnih jedinica u uzorku obično se ne vrši putem lota, već pomoću posebnih tablica slučajnih brojeva ili uz pomoć kompjuterskih generatora slučajnih brojeva.
Slični problemi obezbeđivanja objektivnosti poređenja javljaju se prilikom poređenja različitih šema organizovanja proizvodnje, nagrađivanja, pri održavanju tendera i konkursa, odabiru kandidata za upražnjena radna mesta itd. Svugdje vam je potrebna lutrija ili slične procedure. Objasnimo na primjeru identifikacije najjače i druge najjače ekipe u organizaciji turnira po olimpijskom sistemu (poraženi je eliminisan). Neka jača ekipa uvijek pobjeđuje slabiju. Jasno je da će najjača ekipa sigurno postati šampion. Druga po snazi ​​ekipa će u finale samo ako nema utakmica sa budućim šampionom prije finala. Ako je takva utakmica planirana, onda druga po snazi ​​ekipa neće doći do finala. Onaj ko planira turnir može ili "nokautirati" drugu najjaču ekipu sa turnira prije roka, srušivši je u prvom susretu sa liderom, ili joj osigurati drugo mjesto, osiguravajući susrete sa slabijim ekipama do finala. Da biste izbjegli subjektivnost, žrijebajte. Za turnir sa 8 ekipa, vjerovatnoća da će se dva najjača tima sastati u finalu je 4/7. Shodno tome, sa vjerovatnoćom od 3/7, druga po snazi ​​ekipa će napustiti turnir prije roka.
U svakom mjerenju jedinica proizvoda (pomoću čeljusti, mikrometra, ampermetra, itd.), postoje greške. Da bi se utvrdilo da li postoje sistematske greške, potrebno je izvršiti ponovljena mjerenja jedinice proizvoda čije su karakteristike poznate (na primjer, standardni uzorak). Treba imati na umu da pored sistematske greške postoji i slučajna greška.

Stoga se postavlja pitanje kako iz rezultata mjerenja saznati da li postoji sistemska greška. Ako zapazimo samo da li je greška dobijena prilikom sljedećeg mjerenja pozitivna ili negativna, onda se ovaj problem može svesti na prethodni. Zaista, usporedimo mjerenje s bacanjem novčića, pozitivnu grešku - s gubitkom grba, negativnu - s rešetkom (nulta greška s dovoljnim brojem podjela ljestvice gotovo se nikada ne pojavljuje). Tada je provjera odsustva sistematske greške ekvivalentna provjeri simetrije novčića.

Svrha ovih razmatranja je da se problem provjere odsustva sistematske greške svede na problem provjere simetrije novčića. Gornje rezonovanje vodi do takozvanog "kriterijuma znakova" u matematičke statistike.
"Sign test" - statistički test koji vam omogućava da testirate nultu hipotezu da uzorak poštuje binomnu distribuciju sa parametrom p=1/2. Test predznaka se može koristiti kao neparametarski statistički test za testiranje hipoteze da je medijana jednaka datoj vrijednosti (posebno nuli), kao i odsustvo pomaka (bez efekta obrade) u dva povezana uzorka . Također vam omogućava da testirate hipotezu simetrije distribucije, međutim, za to postoje moćniji kriteriji - Wilcoxonov test jednog uzorka i njegove modifikacije.

U statističkoj regulaciji tehnoloških procesa, na osnovu metoda matematičke statistike, izrađuju se pravila i planovi statističke kontrole procesa, u cilju pravovremenog otkrivanja poremećaja tehnoloških procesa i preduzimanja mera za njihovo prilagođavanje i sprečavanje puštanja proizvoda koji rade. ne ispunjavaju utvrđene uslove. Ove mjere imaju za cilj smanjenje troškova proizvodnje i gubitaka od nabavke nekvalitetnih proizvoda. Uz statističku kontrolu prihvata, na osnovu metoda matematičke statistike, izrađuju se planovi kontrole kvaliteta analizom uzoraka iz serija proizvoda. Poteškoća je u tome da se pravilno grade vjerovatno-statistički modeli odlučivanja, na osnovu kojih je moguće odgovoriti na postavljena pitanja. U matematičkoj statistici, za to su razvijeni vjerojatnosni modeli i metode za testiranje hipoteza, posebno hipoteza da je udio neispravnih jedinica proizvodnje jednak određenom broju p0, na primjer, p0 = 0,23.

Zadaci ocjenjivanja.
U nizu upravljačkih, industrijskih, ekonomskih, nacionalno-ekonomskih situacija javljaju se problemi drugačijeg tipa – problemi procjene karakteristika i parametara distribucije vjerovatnoće.

Razmotrimo primjer. Neka serija od N električnih lampi dođe u kontrolu. Iz ove serije nasumično je odabran uzorak od n električnih lampi. Postavlja se niz prirodnih pitanja. Kako se iz rezultata ispitivanja elemenata uzorka može odrediti prosječni vijek trajanja električnih svjetiljki i s kojom se tačnošću može procijeniti ova karakteristika? Kako se mijenja tačnost ako se uzme veći uzorak? Za koji broj sati T se može garantovati da će najmanje 90% električnih lampi trajati T ili više sati?

Pretpostavimo da se prilikom testiranja uzorka od n električnih lampi pokazalo da je X električnih lampi neispravan. Tada se postavljaju sljedeća pitanja. Koje granice se mogu odrediti za broj D neispravnih električnih sijalica u seriji, za nivo neispravnosti D/N itd.?

Ili, u statističkoj analizi tačnosti i stabilnosti tehnoloških procesa, potrebno je vrednovati takve pokazatelje kvaliteta kao što su prosečna vrednost kontrolisanog parametra i stepen njegove rasprostranjenosti u procesu koji se razmatra. Prema teoriji vjerovatnoće, preporučljivo je koristiti njeno matematičko očekivanje kao srednju vrijednost slučajne varijable, a varijansu, standardnu ​​devijaciju ili koeficijent varijacije kao statističku karakteristiku širenja. Ovo postavlja pitanje: kako ih ocijeniti statističke karakteristike prema uzorku podataka i sa kojom tačnošću se to može uraditi? Ima mnogo sličnih primjera. Ovdje je bilo važno pokazati kako se teorija vjerovatnoće i matematička statistika mogu koristiti u upravljanju proizvodnjom pri donošenju odluka u oblasti statističkog upravljanja kvalitetom proizvoda.

Probabilističko-statističke metode i optimizacija. Ideja optimizacije prožima modernu primijenjenu matematičku statistiku i druge statističke metode. Naime, metode planiranja eksperimenata, statistička kontrola prihvatljivosti, statistička kontrola tehnoloških procesa itd. S druge strane, formulacije optimizacije u teoriji odlučivanja, na primjer, primijenjena teorija optimizacije kvaliteta proizvoda i zahtjevi standarda, omogućavaju široku upotrebu probabilističko-statističke metode, prvenstveno primijenjene matematičke statistike.

U upravljanju proizvodnjom, posebno kod optimizacije kvaliteta proizvoda i zahtjeva standarda, posebno je važna primjena statističkih metoda u početnoj fazi. životni ciklus proizvodi, tj. u fazi istraživačke pripreme razvoja eksperimentalnog dizajna (izrada obećavajućih zahtjeva za proizvode, idejni projekt, projektni zadatak za izradu eksperimentalnog dizajna). To je zbog ograničenih informacija dostupnih u početnoj fazi životnog ciklusa proizvoda i potrebe za predviđanjem tehničkih mogućnosti i ekonomske situacije za budućnost. Statističke metode treba primjenjivati ​​u svim fazama rješavanja problema optimizacije - pri skaliranju varijabli, razvoju matematičkih modela funkcionisanja proizvoda i sistema, izvođenju tehničkih i ekonomskih eksperimenata itd.

U problemima optimizacije, uključujući optimizaciju kvaliteta proizvoda i standardne zahtjeve, koriste se sva područja statistike. Naime, statistika slučajnih varijabli, multivarijantna statistička analiza, statistika slučajnih procesa i vremenskih serija, statistika objekata nenumeričke prirode. Izbor statističke metode za analizu konkretnih podataka treba izvršiti u skladu sa preporukama.

Zaključak.
AT
itd...................

Svako istraživanje na polju slučajnih pojava uvijek je ukorijenjeno u eksperimentu, u eksperimentalnim podacima. Numerički podaci koji se prikupljaju prilikom proučavanja bilo koje karakteristike nekog objekta nazivaju se statistički. Statistički podaci su početni materijal studije. Da bi imali naučnu ili praktičnu vrijednost, moraju se obraditi metodama matematičke statistike.

Math statistics je naučna disciplina čiji je predmet razvoj metoda za snimanje, opisivanje i analizu statističkih eksperimentalnih podataka dobijenih kao rezultat posmatranja masivnih slučajnih pojava.

Glavni zadaci matematičke statistike su:

utvrđivanje zakona distribucije slučajne varijable ili sistema slučajnih varijabli;

testiranje vjerodostojnosti hipoteza;

određivanje nepoznatih parametara distribucije.

Sve metode matematičke statistike zasnovane su na teoriji vjerovatnoće. Međutim, zbog specifičnosti problema koji se rješavaju, matematička statistika je odvojena od teorije vjerovatnoće u samostalnu oblast. Ako se u teoriji vjerovatnoće smatra da je model fenomena dat i izračuna se mogući stvarni tok ove pojave (slika 1), onda se u matematičkoj statistici na osnovu statističkih podataka odabire odgovarajući teorijski i vjerovatnostni model (sl. 2).

Fig.1. Opšti problem teorije vjerovatnoće

Fig.2. Opšti problem matematičke statistike

Kao naučna disciplina, matematička statistika se razvijala zajedno sa teorijom vjerovatnoće. Matematički aparat ove nauke izgrađen je u drugoj polovini 19. veka.

2. Opća populacija i uzorak.

Za proučavanje statističkih metoda uvode se koncepti opće populacije i populacije uzorka. Općenito, pod opšta populacija se shvata kao slučajna varijabla X sa funkcijom distribucije
. Skup uzoraka ili uzorak volumena n za datu slučajnu varijablu X je skup
nezavisna posmatranja ove veličine, gde naziva se vrijednost uzorka ili implementacija slučajne varijable X. Na ovaj način, mogu se posmatrati kao brojevi (ako je eksperiment izveden i uzet uzorak) i kao slučajne varijable (prije eksperimenta), budući da variraju od uzorka do uzorka.

Primjer 1. Za utvrđivanje zavisnosti debljine stabla od njegove visine odabrano je 200 stabala. U ovom slučaju, veličina uzorka je n=200.

Primjer 2 Kao rezultat piljenja iverice na kružnoj pili, dobijeno je 15 vrijednosti specifičnog rada rezanja. U ovom slučaju, n=15.

D
Da bismo pouzdano sudili o osobini opće populacije koja nas zanima prema podacima uzorka, objekti uzorka moraju to ispravno reprezentirati, odnosno uzorak mora biti predstavnik(predstavnik). Reprezentativnost uzorka obično se postiže slučajnim odabirom objekata: svakom objektu opće populacije obezbjeđena je jednaka vjerovatnoća da bude uključen u uzorak sa svim ostalima.

Fig.3. Demonstracija reprezentativnosti uzorka

engleski: Wikipedia čini stranicu sigurnijom. Koristite stari web pretraživač koji se neće moći povezati na Wikipediju u budućnosti. Ažurirajte svoj uređaj ili kontaktirajte svog IT administratora.

中文: 维基 百科 正 在 使 网站 旧 的, 这 在 将来 无法 连接 连接 百科 将来 无法 无法 连接 您 的 的 的 设备 或 的 的 管理员. 提供 更 长, 具 技术性 的 更新 仅 英语 英语 英语 英语 英语 英语 英语 英语 英语Zdravo).

španjolski: Wikipedia está haciendo el sitio más seguro. Usted está utilizando un navegador web viejo que no será capaz de conectarse a Wikipedia en el el futuro. Actualice su dispositivo ili contacte a su administrador informático. Más abajo hay una actualizacion más larga y más técnica en inglés.

ﺎﻠﻋﺮﺒﻳﺓ: ويكيبيديا تسعى لتأمين الموقع أكثر من ذي قبل. أنت تستخدم متصفح وب قديم لن يتمكن من الاتصال بموقع ويكيبيديا في المستقبل. يرجى تحديث جهازك أو الاتصال بغداري تقنية المعلومات الخاص بك. يوجد تحديث فني أطول ومغرق في التقنية باللغة الإنجليزية تاليا.

Francais: Wikipedia je bientôt augmenter la securité de son site. Iskoristite aktuellement un navigateur web ancien, qui ne pourra plus se connecter à Wikipédia lorsque ce sera fait. Merci de mettre à jour votre appareil ou de contacter votre administrateur informatique à cette fin. Des informations supplementaires plus tehnike et en anglais sont disponibles ci-dessous.

日本語: ウィキペディア で は サイト の セキュリティ を て ます ます が ご 利用 は バージョン が 古く, 今後, ウィキペディア 接続 でき なく なる 可能 性 接続 ます デバイス を する ,, 管理 管理 者 ご ください.更新 更新 更新 詳しい 詳しい 詳しい 詳しい HIP情報は以下に英語で提仁

Njemački: Wikipedia erhöht die Sicherheit der Webseite. Du benutzt einen alten Webbrowser, der in Zukunft nicht mehr auf Wikipedia zugreifen können wird. Bitte aktualisiere dein Gerät oder sprich deinen IT-Administrator an. Ausführlichere (und technisch detailliertere) Hinweise findest Du unten in englischer Sprache.

Italiano: Wikipedia sta rendendo il sito più sicuro. Ostanite u pretraživaču na web-u koji nema veze sa Wikipedijom u budućnosti. Per favore, aggiorna il tuo dispositivo o contatta il tuo amministratore informatico. Più in basso è disponibile un aggiornamento più dettagliato e technico na engleskom.

mađarski: Biztonságosabb lesz a Wikipedia. A böngésző, amit használsz, nem lesz képes kapcsolódni a jövőben. Használj modernebb szoftvert vagy jelezd a problemát a rendszergazdádnak. Alább olvashatod a reszletesebb magyarázatot (angolul).

Švedska: Wikipedia se nalazi na stranici. Du använder en äldre webbläsare som inte kommer att kunna läsa Wikipedia i framtiden. Ažurirajte podatke ili kontakte kod IT administratora. Det finns en längre i mer tehnisk förklaring na engelska längre ned.

हिन्दी: विकिपीडिया साइट को और अधिक सुरक्षित बना रहा है। आप एक पुराने वेब ब्राउज़र का उपयोग कर रहे हैं जो भविष्य में विकिपीडिया से कनेक्ट नहीं हो पाएगा। कृपया अपना डिवाइस अपडेट करें या अपने आईटी व्यवस्थापक से संपर्क करें। नीचे अंग्रेजी में एक लंबा और अधिक तकनीकी अद्यतन है।

Uklanjamo podršku za nesigurne verzije TLS protokola, posebno TLSv1.0 i TLSv1.1, na koje se softver vašeg pretraživača oslanja za povezivanje s našim web lokacijama. Ovo je obično uzrokovano zastarjelim pretraživačima ili starijim Android pametnim telefonima. Ili to može biti smetnja od korporativnog ili ličnog softvera "Web Security", koji zapravo smanjuje sigurnost veze.

Morate nadograditi svoj web preglednik ili na drugi način riješiti ovaj problem da biste pristupili našim stranicama. Ova poruka će ostati do 1. januara 2020. Nakon tog datuma, vaš pretraživač neće moći uspostaviti vezu s našim serverima.

Pod matematičkom statistikom se podrazumijeva „odjeljak matematike posvećen matematičkim metodama za prikupljanje, sistematizaciju, obradu i tumačenje statističkih podataka, kao i njihovo korištenje za naučne ili praktične zaključke. Pravila i procedure matematičke statistike zasnivaju se na teoriji vjerovatnoće, koja omogućava procjenu tačnosti i pouzdanosti zaključaka dobijenih u svakom problemu na osnovu raspoloživog statističkog materijala. Istovremeno, statistički podaci se odnose na podatak o broju objekata u više ili manje obimnoj zbirci koji imaju određene karakteristike.

Prema vrsti problema koji se rješavaju, matematička statistika se obično dijeli u tri dijela: opis podataka, procjena i testiranje hipoteza.

Prema vrsti statističkih podataka koji se obrađuju, matematička statistika se dijeli na četiri područja:
- jednodimenzionalna statistika (statistika slučajnih varijabli), u kojoj je rezultat posmatranja opisan realnim brojem;
- multivarijantna statistička analiza, gdje se rezultat posmatranja objekta opisuje sa više brojeva (vektora);
- statistika slučajnih procesa i vremenskih serija, gdje je rezultat posmatranja funkcija;
- statistika objekata nenumeričke prirode, u kojoj rezultat posmatranja ima nenumeričku prirodu, na primjer, to je skup (geometrijska figura), sređen ili dobiven kao rezultat mjerenja kvalitativnim atributom.

Istorijski gledano, prvo su se pojavile neke oblasti statistike objekata nenumeričke prirode (posebno problemi procene procenta braka i testiranja hipoteza o tome) i jednodimenzionalne statistike. Matematički aparat im je jednostavniji, pa njihov primjer obično demonstrira osnovne ideje matematičke statistike.

Samo one metode obrade podataka, tj. matematička statistika je zasnovana na dokazima, koja je zasnovana na probabilističkim modelima relevantnih stvarnih pojava i procesa. Radi se o o modelima ponašanja potrošača, nastanku rizika, funkcionisanju tehnološke opreme, dobijanju rezultata eksperimenta, toku bolesti itd. Vjerovatni model realnog fenomena treba smatrati konstruiranim ako su razmatrane veličine i odnosi između njih izraženi u terminima teorije vjerovatnoće. Korespondencija sa probabilističkim modelom stvarnosti, tj. njegova adekvatnost se potkrepljuje, posebno, uz pomoć statističkih metoda za testiranje hipoteza.

Nevjerovatne metode obrade podataka su istraživačke, mogu se koristiti samo u preliminarnoj analizi podataka, jer ne omogućavaju procjenu tačnosti i pouzdanosti zaključaka dobijenih na osnovu ograničenog statističkog materijala.

Probabilističke i statističke metode primjenjive su gdje god je moguće konstruirati i potkrijepiti probabilistički model pojave ili procesa. Njihova upotreba je obavezna kada se zaključci izvedeni iz podataka uzorka prenose na cijelu populaciju (na primjer, iz uzorka na cijelu seriju proizvoda).

U određenim oblastima primjene koriste se kako vjerovatno-statističke metode široke primjene, tako i specifične. Na primjer, u dijelu upravljanja proizvodnjom koji je posvećen statističkim metodama kontrole kvaliteta proizvoda, koristi se primijenjena matematička statistika (uključujući dizajn eksperimenata). Uz pomoć njegovih metoda vrši se statistička analiza tačnosti i stabilnosti tehnoloških procesa i statistička procjena kvaliteta. Specifične metode uključuju metode statističke kontrole prihvatljivosti kvaliteta proizvoda, statističke regulacije tehnoloških procesa, procjene i kontrole pouzdanosti itd.

Takve primijenjene probabilističko-statističke discipline kao što su teorija pouzdanosti i teorija čekanja imaju široku primjenu. Sadržaj prvog od njih je jasan iz naziva, drugi proučava sisteme kao što je telefonska centrala, koja prima pozive u nasumično vrijeme - zahtjevi pretplatnika koji biraju brojeve na svojim telefonima. Trajanje usluge ovih zahtjeva, tj. trajanje poziva, također modelirano slučajne varijable. Veliki doprinos razvoju ovih disciplina dao je dopisni član Akademije nauka SSSR-a A.Ya. Khinčin (1894-1959), akademik Akademije nauka Ukrajinske SSR B.V. Gnedenko (1912-1995) i drugi domaći naučnici.

Teorija vjerovatnoće i matematička statistika su osnova vjerovatno-statističkih metoda obrade podataka. A podatke obrađujemo i analiziramo prvenstveno za donošenje odluka. Za korištenje savremenog matematičkog aparata potrebno je razmatrane probleme izraziti u terminima vjerovatno-statističkih modela.

Primjena određene vjerovatno-statističke metode sastoji se od tri faze:

Prelazak sa ekonomske, menadžerske, tehnološke stvarnosti na apstraktnu matematičku i statističku shemu, tj. izgradnja probabilističkog modela sistema upravljanja, tehnološkog procesa, postupka odlučivanja, posebno na osnovu rezultata statističke kontrole, itd.

Izvođenje proračuna i dobijanje zaključaka čisto matematičkim sredstvima u okviru vjerovatnog modela;

Tumačenje matematičkih i statističkih zaključaka u odnosu na realno stanje i donošenje odgovarajuće odluke (npr. o usklađenosti ili neusklađenosti kvaliteta proizvoda sa utvrđenim zahtjevima, potrebi prilagođavanja tehnološkog procesa i sl.), posebno, zaključci (o udjelu neispravnih jedinica proizvoda u seriji, o specifičnom obliku zakona raspodjele kontrolisanih parametara tehnološkog procesa, itd.).

Matematička statistika koristi koncepte, metode i rezultate teorije vjerovatnoće. Zatim se razmatraju glavna pitanja izgradnje probabilističkih modela u ekonomskim, menadžerskim, tehnološkim i drugim situacijama. Ističemo da su za aktivnu i pravilnu upotrebu normativno-tehničkih i instruktivno-metodičkih dokumenata o probabilističko-statističkim metodama potrebna preliminarna znanja. Dakle, potrebno je znati pod kojim uslovima treba primijeniti jedan ili drugi dokument, koje početne informacije je potrebno imati za njegov odabir i primjenu, koje odluke treba donijeti na osnovu rezultata obrade podataka itd.

Primjeri primjene teorija vjerovatnoće i matematička statistika. Razmotrimo nekoliko primjera gdje su vjerovatno-statistički modeli dobar alat za rješavanje menadžerskih, industrijskih, ekonomskih i nacionalnih ekonomskih problema. Tako, na primjer, u romanu A.N. Tolstoja "Hod kroz muke" (tom 1) stoji: "radionica daje dvadeset i tri posto braka, vi se držite ove brojke", rekao je Strukov Ivanu Iljiču.

Kako razumjeti ove riječi u razgovoru direktora fabrike? Jedna jedinica proizvodnje ne može biti neispravna za 23%. Može biti dobar ili neispravan. Možda je Strukov mislio da velika serija sadrži otprilike 23% neispravnih jedinica. Onda se postavlja pitanje šta znači „o“? Neka se od 100 testiranih proizvodnih jedinica 30 pokaže neispravnim, ili od 1000 - 300, ili od 100 000 - 30 000 itd., treba li optužiti Strukova za laž?

Ili drugi primjer. Novčić koji se koristi kao lot mora biti "simetričan". Kada se baci, u prosjeku, u pola slučajeva, grb (orao) treba da ispadne, au pola slučajeva - rešetka (repovi, broj). Ali šta znači "prosjek"? Ako potrošite mnogo serija od 10 bacanja u svakoj seriji, onda će često biti serija u kojima novčić pada 4 puta s grbom. Za simetrični novčić, to će se dogoditi u 20,5% serije. A ako postoji 40.000 grbova za 100.000 bacanja, može li se novčić smatrati simetričnim? Procedura donošenja odluka zasniva se na teoriji vjerovatnoće i matematičkoj statistici.

Primjer možda ne izgleda dovoljno ozbiljan. Međutim, nije. Izvlačenje ždrijeba se široko koristi u organizaciji eksperimenata industrijske izvodljivosti. Na primjer, pri obradi rezultata mjerenja indeksa kvaliteta (momenta trenja) ležajeva u zavisnosti od različitih tehnoloških faktora (utjecaj okoline očuvanja, metode pripreme ležajeva prije mjerenja, utjecaj opterećenja ležaja pri mjerenju i sl.). Pretpostavimo da je potrebno usporediti kvalitetu ležajeva ovisno o rezultatima njihovog skladištenja u različitim konzervacijskim uljima, tj. u sastavu ulja ALI i AT. Prilikom planiranja ovakvog eksperimenta postavlja se pitanje koje ležajeve treba staviti u sastav ulja ALI, a koje - u sastavu ulja AT, ali na način da se izbjegne subjektivnost i osigura objektivnost odluke. Odgovor na ovo pitanje može se dobiti žrijebom.

Sličan primjer može se dati s kontrolom kvalitete bilo kojeg proizvoda. Da bi se odlučilo da li pregledana serija proizvoda ispunjava utvrđene zahtjeve, uzima se uzorak iz nje. Na osnovu rezultata kontrole uzorka donosi se zaključak o cijeloj seriji. U ovom slučaju je veoma važno izbjeći subjektivnost u formiranju uzorka, tj. neophodno je da svaka jedinica proizvoda u kontrolisanoj seriji ima istu verovatnoću da bude odabrana u uzorku. U proizvodnim uvjetima, odabir proizvodnih jedinica u uzorku obično se ne vrši putem lota, već pomoću posebnih tablica slučajnih brojeva ili uz pomoć kompjuterskih generatora slučajnih brojeva.

Slični problemi obezbeđivanja objektivnosti poređenja javljaju se prilikom poređenja različitih šema organizovanja proizvodnje, nagrađivanja, pri održavanju tendera i konkursa, odabiru kandidata za upražnjena radna mesta itd. Svugdje vam je potrebna lutrija ili slične procedure.

Neka bude potrebno identifikovati najjači i drugi najjači tim kada se organizuje turnir po olimpijskom sistemu (poraženi je eliminisan). Recimo da jači tim uvek pobedi slabiju. Jasno je da će najjača ekipa sigurno postati šampion. Druga po snazi ​​ekipa će u finale samo ako nema utakmica sa budućim šampionom prije finala. Ako je takva utakmica planirana, onda druga po snazi ​​ekipa neće doći do finala. Onaj ko planira turnir može ili "nokautirati" drugu najjaču ekipu sa turnira prije roka, srušivši je u prvom susretu sa liderom, ili joj osigurati drugo mjesto, osiguravajući susrete sa slabijim ekipama do finala. Da biste izbjegli subjektivnost, žrijebajte. Za turnir sa 8 ekipa, vjerovatnoća da će se dva najjača tima sastati u finalu je 4/7. Shodno tome, sa vjerovatnoćom od 3/7, druga po snazi ​​ekipa će napustiti turnir prije roka.

U svakom mjerenju jedinica proizvoda (pomoću čeljusti, mikrometra, ampermetra, itd.), postoje greške. Da bi se utvrdilo da li postoje sistematske greške, potrebno je izvršiti ponovljena mjerenja jedinice proizvoda čije su karakteristike poznate (na primjer, standardni uzorak). Treba imati na umu da pored sistematske greške postoji i slučajna greška.

Stoga se postavlja pitanje kako iz rezultata mjerenja saznati da li postoji sistemska greška. Ako zapazimo samo da li je greška dobijena prilikom sljedećeg mjerenja pozitivna ili negativna, onda se ovaj problem može svesti na već razmatrani. Zaista, usporedimo mjerenje s bacanjem novčića, pozitivnu grešku - s gubitkom grba, negativnu - s rešetkom (nulta greška s dovoljnim brojem podjela ljestvice gotovo se nikada ne pojavljuje). Tada je provjera odsustva sistematske greške ekvivalentna provjeri simetrije novčića.

Dakle, problem provjere odsustva sistematske greške svodi se na problem provjere simetrije novčića. Gornje rezonovanje dovodi do takozvanog "kriterijuma predznaka" u matematičkoj statistici.

U statističkoj regulaciji tehnoloških procesa, na osnovu metoda matematičke statistike, izrađuju se pravila i planovi statističke kontrole procesa, u cilju pravovremenog otkrivanja poremećaja tehnoloških procesa i preduzimanja mera za njihovo prilagođavanje i sprečavanje puštanja proizvoda koji rade. ne ispunjavaju utvrđene uslove. Ove mjere imaju za cilj smanjenje troškova proizvodnje i gubitaka od nabavke nekvalitetnih proizvoda. Uz statističku kontrolu prihvata, na osnovu metoda matematičke statistike, izrađuju se planovi kontrole kvaliteta analizom uzoraka iz serija proizvoda. Poteškoća leži u mogućnosti da se pravilno izgrade vjerovatno-statistički modeli odlučivanja. U matematičkoj statistici, za to su razvijeni vjerojatnosni modeli i metode za testiranje hipoteza, posebno hipoteza da je udio neispravnih jedinica proizvodnje jednak određenom broju R 0 , na primjer, R 0 = 0,23 (sjetite se riječi Strukova iz romana A.N. Tolstoja).

Zadaci ocjenjivanja. U nizu upravljačkih, industrijskih, ekonomskih, nacionalno-ekonomskih situacija javljaju se problemi drugačijeg tipa – problemi procjene karakteristika i parametara distribucije vjerovatnoće.

Razmotrimo primjer. Neka zabava iz N električne lampe Iz ove partije, uzorak od n električne lampe Postavlja se niz prirodnih pitanja. Kako odrediti prosječni vijek trajanja električnih svjetiljki na osnovu rezultata ispitivanja elemenata uzorka, s kojom se tačnošću može procijeniti ova karakteristika? Kako se mijenja tačnost ako se uzme veći uzorak? U kom broju sati T moguće je garantovati da će najmanje 90% električnih lampi trajati T ili više sati?

Pretpostavimo da prilikom testiranja uzorka zapremine n sijalice su neispravne X električne lampe Koja ograničenja se mogu odrediti za broj D neispravne električne lampe u seriji, za nivo neispravnosti D/ N itd.?

Ili, u statističkoj analizi tačnosti i stabilnosti tehnoloških procesa, potrebno je vrednovati takve pokazatelje kvaliteta kao što su prosečna vrednost kontrolisanog parametra i stepen njegove rasprostranjenosti u procesu koji se razmatra. Prema teoriji vjerovatnoće, preporučljivo je koristiti njeno matematičko očekivanje kao srednju vrijednost slučajne varijable, a varijansu, standardnu ​​devijaciju ili koeficijent varijacije kao statističku karakteristiku širenja. Postavljaju se pitanja: kako vrednovati ove statističke karakteristike iz podataka uzorka, sa kojom tačnošću se to može uraditi?

Ima mnogo sličnih primjera. Ovdje je bilo važno pokazati kako se teorija vjerovatnoće i matematička statistika mogu koristiti u inženjerskim i upravljačkim problemima.

Savremeni koncept matematičke statistike. Pod matematičkom statistikom se podrazumijeva „odjeljak matematike posvećen matematičkim metodama za prikupljanje, sistematizaciju, obradu i tumačenje statističkih podataka, kao i njihovo korištenje za naučne ili praktične zaključke. Pravila i procedure matematičke statistike zasnivaju se na teoriji vjerovatnoće, koja omogućava procjenu tačnosti i pouzdanosti zaključaka dobijenih u svakom problemu na osnovu raspoloživog statističkog materijala. Istovremeno, statistički podaci se odnose na podatak o broju objekata u više ili manje obimnoj zbirci koji imaju određene karakteristike.

Prema vrsti problema koji se rješavaju, matematička statistika se obično dijeli u tri dijela: opis podataka, procjena i testiranje hipoteza.

Prema vrsti statističkih podataka koji se obrađuju, matematička statistika se dijeli na četiri područja:

Jednodimenzionalna statistika (statistika slučajnih varijabli), u kojoj je rezultat posmatranja opisan realnim brojem;

Multivarijantna statistička analiza, gde se rezultat posmatranja objekta opisuje sa više brojeva (vektora);

Statistika slučajnih procesa i vremenskih serija, gde je rezultat posmatranja funkcija;

Statistika objekata nenumeričke prirode, u kojoj je rezultat posmatranja nenumeričke prirode, na primjer, to je skup (geometrijska figura), poredak ili dobiven kao rezultat mjerenja pomoću kvalitativni atribut.

Istorijski gledano, prve su se pojavile neke oblasti statistike objekata nenumeričke prirode (posebno problemi procene procenta braka i testiranja hipoteza o tome) i jednodimenzionalne statistike. Matematički aparat im je jednostavniji, pa svojim primjerom obično demonstriraju glavne ideje matematičke statistike.

Samo one metode obrade podataka, tj. matematička statistika je zasnovana na dokazima, koja je zasnovana na probabilističkim modelima relevantnih stvarnih pojava i procesa. Riječ je o modelima ponašanja potrošača, nastanku rizika, funkcionisanju tehnološke opreme, dobijanju rezultata eksperimenta, toku bolesti itd. Vjerovatni model realnog fenomena treba smatrati konstruiranim ako su razmatrane veličine i odnosi između njih izraženi u terminima teorije vjerovatnoće. Korespondencija sa probabilističkim modelom stvarnosti, tj. njegova adekvatnost se potkrepljuje, posebno, uz pomoć statističkih metoda za testiranje hipoteza.

Nevjerovatne metode obrade podataka su istraživačke, mogu se koristiti samo u preliminarnoj analizi podataka, jer ne omogućavaju procjenu tačnosti i pouzdanosti zaključaka dobijenih na osnovu ograničenog statističkog materijala.

Probabilističke i statističke metode su primjenjive svuda gdje je moguće konstruirati i potkrijepiti vjerovatnostni model pojave ili procesa. Njihova upotreba je obavezna kada se zaključci izvedeni iz podataka uzorka prenose na cijelu populaciju (na primjer, iz uzorka na cijelu seriju proizvoda).

U određenim oblastima primjene koriste se kako vjerovatno-statističke metode široke primjene, tako i specifične. Na primjer, u dijelu upravljanja proizvodnjom koji je posvećen statističkim metodama upravljanja kvalitetom proizvoda, koristi se primijenjena matematička statistika (uključujući dizajn eksperimenata). Uz pomoć njegovih metoda vrši se statistička analiza tačnosti i stabilnosti tehnoloških procesa i statistička procjena kvaliteta. Specifične metode uključuju metode statističke kontrole prihvatljivosti kvaliteta proizvoda, statističke regulacije tehnoloških procesa, procjene i kontrole pouzdanosti itd.

Takve primijenjene probabilističko-statističke discipline kao što su teorija pouzdanosti i teorija čekanja imaju široku primjenu. Sadržaj prvog od njih je jasan iz naziva, drugi proučava sisteme kao što je telefonska centrala, koja prima pozive u nasumično vrijeme - zahtjevi pretplatnika koji biraju brojeve na svojim telefonima. Trajanje usluge ovih zahtjeva, tj. trajanje razgovora je također modelirano slučajnim varijablama. Veliki doprinos razvoju ovih disciplina dao je dopisni član Akademije nauka SSSR-a A.Ya. Khinčin (1894-1959), akademik Akademije nauka Ukrajinske SSR B.V. Gnedenko (1912-1995) i drugi domaći naučnici.

Ukratko o istoriji matematičke statistike. Matematička statistika kao nauka počinje radovima poznatog njemačkog matematičara Carla Friedricha Gausa (1777-1855), koji je na osnovu teorije vjerovatnoće istražio i potkrijepio metodu najmanjih kvadrata, koju je stvorio 1795. godine i primijenio u astronomskim procesima. podaci (kako bi se razjasnila orbita male planete Ceres). Jedna od najpopularnijih distribucija vjerovatnoće, normalna, često se zove po njemu, a u teoriji slučajnih procesa glavni predmet proučavanja su Gausovi procesi.

Krajem XIX vijeka. - početak dvadesetog veka. veliki doprinos matematičkoj statistici dali su engleski istraživači, prvenstveno K. Pearson (1857-1936) i R. A. Fisher (1890-1962). Konkretno, Pearson je razvio hi-kvadrat test za testiranje statističkih hipoteza, a Fisher je razvio analizu varijanse, teoriju dizajna eksperimenta i metodu maksimalne vjerovatnoće za procjenu parametara.

Tridesetih godina dvadesetog veka. Poljak Jerzy Neumann (1894-1977) i Englez E. Pearson razvili su opću teoriju verifikacije statističke hipoteze, i sovjetski matematičari akademik A.N. Kolmogorov (1903-1987) i dopisni član Akademije nauka SSSR-a N.V. Smirnov (1900-1966) postavili su temelje neparametarske statistike. Četrdesetih godina dvadesetog veka. Rumun A. Wald (1902-1950) izgradio je teoriju konzistentne statističke analize.

Matematička statistika se u današnje vrijeme ubrzano razvija. Dakle, u proteklih 40 godina, mogu se izdvojiti četiri fundamentalno nova područja istraživanja:

Razvoj i implementacija matematičkih metoda za planiranje eksperimenata;

Razvoj statistike objekata nenumeričke prirode kao samostalnog smjera u primijenjenoj matematičkoj statistici;

Razvoj statističkih metoda otpornih na mala odstupanja od korišćenog probabilističkog modela;

Rasprostranjen razvoj rada na kreiranju računarskih softverskih paketa namenjenih statističkoj analizi podataka.

Probabilističko-statističke metode i optimizacija. Ideja optimizacije prožima modernu primijenjenu matematičku statistiku i druge statističke metode. Naime, metode planiranja eksperimenata, statistička kontrola prihvatljivosti, statistička kontrola tehnoloških procesa itd. S druge strane, formulacije optimizacije u teoriji odlučivanja, na primjer, primijenjena teorija optimizacije kvaliteta proizvoda i zahtjevi standarda, omogućavaju široku upotrebu probabilističko-statističke metode, prvenstveno primijenjene matematičke statistike.

U upravljanju proizvodnjom, posebno kod optimizacije kvaliteta proizvoda i zahtjeva standarda, posebno je važna primjena statističkih metoda u početnoj fazi životnog ciklusa proizvoda, tj. u fazi istraživačke pripreme razvoja eksperimentalnog dizajna (izrada obećavajućih zahtjeva za proizvode, idejni projekt, projektni zadatak za izradu eksperimentalnog dizajna). To je zbog ograničenih informacija dostupnih u početnoj fazi životnog ciklusa proizvoda i potrebe za predviđanjem tehničkih mogućnosti i ekonomske situacije za budućnost. Statističke metode treba primjenjivati ​​u svim fazama rješavanja problema optimizacije - pri skaliranju varijabli, razvoju matematičkih modela funkcionisanja proizvoda i sistema, izvođenju tehničkih i ekonomskih eksperimenata itd.

U problemima optimizacije, uključujući optimizaciju kvaliteta proizvoda i standardne zahtjeve, koriste se sva područja statistike. Naime, statistika slučajnih varijabli, multivarijantna statistička analiza, statistika slučajnih procesa i vremenskih serija, statistika objekata nenumeričke prirode. Izrađene su preporuke o izboru statističke metode za analizu konkretnih podataka.