Vaša privatnost nam je važna. Iz tog razloga smo razvili Politiku privatnosti koja opisuje kako koristimo i pohranjujemo vaše podatke. Molimo pročitajte našu politiku privatnosti i javite nam ako imate pitanja.

Prikupljanje i korištenje ličnih podataka

Lični podaci odnose se na podatke koji se mogu koristiti za identifikaciju ili kontaktiranje određene osobe.

Od vas se može tražiti da unesete svoje lične podatke u bilo koje vrijeme kada nas kontaktirate.

U nastavku su navedeni neki primjeri vrsta ličnih podataka koje možemo prikupljati i kako ih možemo koristiti.

Koje lične podatke prikupljamo:

• Kada podnesete prijavu na stranici, možemo prikupljati različite informacije, uključujući vaše ime, broj telefona, adresu e-pošte itd.

Kako koristimo vaše lične podatke:

• Lični podaci koje prikupljamo omogućavaju nam da vas kontaktiramo i informiramo o jedinstvenim ponudama, promocijama i drugim događajima i nadolazećim događajima.
• S vremena na vrijeme možemo koristiti vaše lične podatke kako bismo vam poslali važna obavještenja i poruke.
• Lične podatke možemo koristiti i za interne svrhe, kao što su provođenje revizija, analiza podataka i različita istraživanja kako bismo poboljšali usluge koje pružamo i dali vam preporuke u vezi s našim uslugama.
• Ako učestvujete u nagradnoj igri, natjecanju ili sličnom poticaju, možemo koristiti informacije koje nam date za upravljanje takvim programima.

Otkrivanje trećim licima

Podatke primljene od vas ne otkrivamo trećim licima.

Izuzeci:

• Po potrebi - u skladu sa zakonom, sudskim redom, u sudskom postupku, i/ili na osnovu javnih zahtjeva ili zahtjeva vladine agencije na teritoriji Ruske Federacije - otkrijte svoje lične podatke. Takođe možemo otkriti informacije o vama ako utvrdimo da je takvo otkrivanje neophodno ili prikladno iz razloga sigurnosti, provođenja zakona ili drugih razloga javnog interesa.
• U slučaju reorganizacije, spajanja ili prodaje, možemo prenijeti lične podatke koje prikupimo relevantnom trećem licu nasljedniku.

Zaštita ličnih podataka

Poduzimamo mjere opreza - uključujući administrativne, tehničke i fizičke - da zaštitimo vaše osobne podatke od gubitka, krađe i zloupotrebe, kao i od neovlaštenog pristupa, otkrivanja, izmjene i uništenja.

Održavanje vaše privatnosti na nivou kompanije

Kako bismo osigurali da su vaši lični podaci sigurni, našim zaposlenima prenosimo prakse privatnosti i sigurnosti i striktno provodimo praksu privatnosti.

Direktno ( MN) koji ima samo jednu zajedničku tačku sa kružnicom ( A), se zove tangenta u krug.

U ovom slučaju se zove zajednička tačka dodirna tačka.

Mogućnost postojanja tangenta, i, štaviše, povučen kroz bilo koju tačku krugovima, kao dodirnu tačku, dokazuje se sljedećim teorema.

Neka se to traži krugovima centriran O tangenta kroz tačku A. Za ovo, sa tačke gledišta A, kao iz centra, opišite arc radijus AO, i sa tačke O, kao centar, siječemo ovaj luk u tačkama B i OD rješenje šestara jednako prečniku date kružnice.

Nakon trošenja tada akordi OB i OS, povežite tačku A sa tačkama D i E gdje te tetive sijeku dati krug. Direktno AD i AE - tangenta na kružnicu O. Zaista, to je jasno iz konstrukcije trouglovi AOB i AOC jednakokraki(AO = AB = AC) sa bazama OB i OS, jednako prečniku kruga O.

Jer OD i OE su radijusi, onda D - srednji OB, a E- srednji OS, znači AD i AE - medijane povučen na osnovice jednakokračnih trouglova, a samim tim i okomit na ove osnove. Ako direktno DA i EA okomito na poluprečnike OD i OE, onda jesu tangente.

Posljedica.

Dvije tangente povučene iz iste tačke na kružnicu su jednake i tvore jednake uglove sa pravom koja povezuje ovu tačku sa centrom.

Dakle AD=AE i ∠ OAD = ∠OAE jer pravokutnih trouglova AOD i AOE imaju zajedničku hipotenuza AO i jednaki noge OD i OE(kao radijusi) su jednaki. Imajte na umu da ovdje riječ "tangenta" znači stvarni " tangentni segment” od date tačke do tačke kontakta.

U članku se detaljno objašnjavaju definicije, geometrijsko značenje izvedenice sa grafičkim oznakama. Jednadžba tangente će se razmatrati na primjerima, naći će se jednadžbe tangente na krivulje 2. reda.

Ugao nagiba ravne linije y = k x + b naziva se kut α, koji se mjeri od pozitivnog smjera x-ose do prave linije y = k x + b u pozitivnom smjeru.

Na slici je smjer vola označen zelenom strelicom i zelenim lukom, a ugao nagiba crvenim lukom. Plava linija se odnosi na ravnu liniju.

Definicija 2

Nagib prave linije y = k x + b naziva se numerički koeficijent k.

Nagib je jednak nagibu prave, drugim riječima k = t g α .

• Nagib prave linije je 0 samo kada je o x paralelan, a nagib jednak nuli, jer je tangenta nule 0. Dakle, oblik jednačine će biti y = b.
• Ako je ugao nagiba prave linije y = k x + b oštar, tada su uslovi 0< α < π 2 или 0 ° < α < 90 ° . Отсюда имеем, что значение nagib k se smatra pozitivnim brojem, jer vrijednost tangente zadovoljava uslov t g α > 0, a graf se povećava.
• Ako je α \u003d π 2, tada je lokacija linije okomita na x. Jednakost je određena jednakošću x = c pri čemu je vrijednost c realan broj.
• Ako je ugao nagiba prave linije y = k x + b tup, onda odgovara uslovima π 2< α < π или 90 ° < α < 180 ° , значение углового коэффициента k принимает отрицательное значение, а график убывает.

Sekansa je prava linija koja prolazi kroz 2 tačke funkcije f (x). Drugim riječima, sekansa je prava linija koja prolazi kroz bilo koje dvije tačke na grafu. datu funkciju.

Slika pokazuje da je A B sekansa, a f (x) je crna kriva, α je crveni luk, koji označava ugao nagiba sekansa.

Kada je nagib prave jednak tangenti ugla nagiba, jasno je da se tangenta iz pravouglog trougla A B C može naći u odnosu na suprotni krak susednom.

Definicija 4

Dobijamo formulu za pronalaženje sekante oblika:

k = t g α = B C A C = f (x B) - f x A x B - x A , gdje su apscise tačaka A i B vrijednosti x A , x B i f (x A) , f (x B) su funkcije vrijednosti u ovim tačkama.

Očigledno, nagib sekante je definiran pomoću jednakosti k = f (x B) - f (x A) x B - x A ili k = f (x A) - f (x B) x A - x B, a jednačina se mora napisati kao y = f (x B) - f (x A) x B - x A x - x A + f (x A) ili
y = f (x A) - f (x B) x A - x B x - x B + f (x B) .

Sekanta vizuelno deli graf na 3 dela: levo od tačke A, od A do B, desno od B. Slika ispod pokazuje da postoje tri sekante za koje se smatra da su iste, tj. postaviti pomoću slične jednadžbe.

Po definiciji je jasno da se prava i njena sekansa u ovom slučaju poklapaju.

Sekansa može više puta preseći graf date funkcije. Ako postoji jednadžba oblika y \u003d 0 za sekantu, tada je broj točaka presjeka sa sinusoidom beskonačan.

Definicija 5

Tangenta na graf funkcije f (x) u tački x 0 ; f (x 0) naziva se prava linija koja prolazi kroz datu tačku x 0; f (x 0) , uz prisustvo segmenta koji ima mnogo x vrijednosti blizu x 0 .

Primjer 1

Pogledajmo pobliže primjer u nastavku. Tada se može vidjeti da se prava koja je data funkcijom y = x + 1 smatra tangentom na y = 2 x u tački s koordinatama (1 ; 2). Radi jasnoće, potrebno je razmotriti grafove sa vrijednostima bliskim (1; 2). Funkcija y = 2 x je označena crnom bojom, plava linija je tangenta, crvena tačka je tačka preseka.

Očigledno, y = 2 x spaja se s linijom y = x + 1.

Da bi se odredila tangenta, treba razmotriti ponašanje tangente A B dok se tačka B beskonačno približava tački A. Radi jasnoće, predstavljamo sliku.

Sekansa A B, označena plavom linijom, teži položaju same tangente, a ugao nagiba sekante α počeće da se približava uglu nagiba same tangente α x.

Definicija 6

Tangenta na graf funkcije y \u003d f (x) u tački A je granični položaj sekante A B u B koja teži A, odnosno B → A.

Sada prelazimo na razmatranje geometrijskog značenja derivacije funkcije u tački.

Prijeđimo na razmatranje sekante A B za funkciju f (x), gdje su A i B sa koordinatama x 0, f (x 0) i x 0 + ∆ x, f (x 0 + ∆ x), i ∆ x se označava kao inkrement argumenta. Sada će funkcija imati oblik ∆ y = ∆ f (x) = f (x 0 + ∆ x) - f (∆ x) . Radi jasnoće, uzmimo sliku kao primjer.

Razmotrimo rezultujući pravougli trokut A B C. Koristimo definiciju tangente za rješenje, odnosno dobijemo omjer ∆ y ∆ x = t g α . Iz definicije tangente slijedi da je lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x = t g α x . Prema pravilu derivacije u tački, imamo da se izvod f (x) u tački x 0 naziva granicom omjera prirasta funkcije i priraštaja argumenta, gdje je ∆ x → 0, tada označeno kao f (x 0) = lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x .

Iz toga slijedi da je f "(x 0) = lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x = t g α x = k x, gdje je k x označen kao nagib tangente.

To jest, dobijamo da f ' (x) može postojati u tački x 0 i, kao i tangenta na dati graf funkcije u tački kontakta jednaka x 0 , f 0 (x 0) , gdje je vrijednost nagiba tangente u tački jednaka je izvodu u tački x 0 . Tada dobijamo da je k x = f "(x 0) .

Geometrijsko značenje derivacije funkcije u tački je da je dat koncept postojanja tangente na graf u istoj tački.

Za pisanje jednačine bilo koje prave linije u ravni potrebno je imati nagib sa tačkom kroz koju ona prolazi. Njegova oznaka se uzima kao x 0 na raskrsnici.

Jednadžba tangente na graf funkcije y = f (x) u tački x 0, f 0 (x 0) poprima oblik y = f "(x 0) x - x 0 + f (x 0) .

To znači da konačna vrijednost derivacije f"(x 0) može odrediti položaj tangente, odnosno vertikalno pod uslovom lim x → x 0 + 0 f" (x) = ∞ i lim x → x 0 - 0 f "(x ) = ∞ ili odsustvo uopšte pod uslovom lim x → x 0 + 0 f "(x) ≠ lim x → x 0 - 0 f "(x) .

Lokacija tangente ovisi o vrijednosti njenog nagiba k x \u003d f "(x 0). Kada je paralelna s osom x, dobijamo da je k k = 0, kada je paralelna sa oko y - k x \u003d ∞, a oblik tangentne jednadžbe x = x 0 raste s k x > 0, smanjuje se kao k x< 0 .

Primjer 2

Sastavite jednadžbu tangente na graf funkcije y \u003d e x + 1 + x 3 3 - 6 - 3 3 x - 17 - 3 3 u tački s koordinatama (1; 3) s definicijom ugla sklonost.

Rješenje

Prema pretpostavci, imamo da je funkcija definirana za sve realni brojevi. Dobijamo da je tačka sa koordinatama određenim uslovom (1 ; 3) tačka kontakta, tada je x 0 = - 1 , f (x 0) = - 3 .

Potrebno je pronaći izvod u tački sa vrijednošću - 1 . Shvatili smo to

y "= e x + 1 + x 3 3 - 6 - 3 3 x - 17 - 3 3" = = e x + 1 "+ x 3 3" - 6 - 3 3 x "- 17 - 3 3" = e x + 1 + x 2 - 6 - 3 3 y "(x 0) = y" (- 1) = e - 1 + 1 + - 1 2 - 6 - 3 3 = 3 3

Vrijednost f’ (x) u tački kontakta je nagib tangente, koji je jednak tangenti nagiba.

Tada je k x = t g α x = y "(x 0) = 3 3

Iz toga slijedi da je α x = a r c t g 3 3 = π 6

odgovor: tangentna jednačina poprima oblik

y \u003d f "(x 0) x - x 0 + f (x 0) y = 3 3 (x + 1) - 3 y = 3 3 x - 9 - 3 3

Radi jasnoće dajemo primjer na grafičkoj ilustraciji.

Crna boja se koristi za grafikon originalne funkcije, plava boja je tangentna slika, crvena tačka je dodirna tačka. Slika desno prikazuje uvećani prikaz.

Primjer 3

Saznati postojanje tangente na graf date funkcije
y = 3 x - 1 5 + 1 u tački sa koordinatama (1 ; 1) . Napišite jednačinu i odredite ugao nagiba.

Rješenje

Pod pretpostavkom imamo da je domen date funkcije skup svih realnih brojeva.

Idemo dalje na pronalaženje derivata

y "= 3 x - 1 5 + 1" = 3 1 5 (x - 1) 1 5 - 1 = 3 5 1 (x - 1) 4 5

Ako je x 0 = 1 , tada f ' (x) nije definirano, ali su granice zapisane kao lim x → 1 + 0 3 5 1 (x - 1) 4 5 = 3 5 1 (+ 0) 4 5 = 3 5 1 + 0 = + ∞ i lim x → 1 - 0 3 5 1 (x - 1) 4 5 = 3 5 1 (- 0) 4 5 = 3 5 1 + 0 = + ∞ , što znači postojanje vertikalne tangente na tačka (1 ; 1) .

odgovor: jednadžba će imati oblik x \u003d 1, gdje će kut nagiba biti jednak π 2.

Nacrtajmo to grafikonom radi jasnoće.

Primjer 4

Pronađite tačke grafa funkcija y = 1 15 x + 2 3 - 4 5 x 2 - 16 5 x - 26 5 + 3 x + 2 , gdje je

1. Tangenta ne postoji;
2. Tangenta je paralelna sa x;
3. Tangenta je paralelna pravoj y = 8 5 x + 4 .

Rješenje

Potrebno je obratiti pažnju na domen definicije. Po pretpostavci imamo da je funkcija definirana na skupu svih realnih brojeva. Proširiti modul i riješiti sistem s intervalima x ∈ - ∞ ; 2 i [ - 2 ; +∞) . Shvatili smo to

y = - 1 15 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176 , x ∈ - ∞ ; - 2 1 15 x 3 - 6 x 2 + 9 x + 12 , x ∈ [ - 2 ; +∞)

Funkcija se mora razlikovati. Imamo to

y " = - 1 15 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176 " , x ∈ - ∞ ; - 2 1 15 x 3 - 6 x 2 + 9 x + 12 " , x ∈ [ - 2 ; + ∞) ⇔ y " = - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) , x ∈ - ∞ ; - 2 1 5 x 2 - 4 x + 3 , x ∈ [ - 2 ; +∞)

Kada je x = - 2, onda izvod ne postoji jer jednostrane granice nisu jednake u toj tački:

lim x → - 2 - 0 y "(x) = lim x → - 2 - 0 - 1 5 (x 2 + 12 x + 35 = - 1 5 (- 2) 2 + 12 (- 2) + 35 = - 3 lim x → - 2 + 0 y "(x) = lim x → - 2 + 0 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 1 5 - 2 2 - 4 - 2 + 3 = 3

Izračunavamo vrijednost funkcije u tački x \u003d - 2, gdje to dobivamo

1. y (- 2) \u003d 1 15 - 2 + 2 3 - 4 5 (- 2) 2 - 16 5 (- 2) - 26 5 + 3 - 2 + 2 \u003d - 2, odnosno tangenta na tačka (- 2; - 2) neće postojati.
2. Tangenta je paralelna sa x kada je nagib nula. Tada je k x \u003d t g α x \u003d f "(x 0). To jest, potrebno je pronaći vrijednosti takvog x kada ga derivacija funkcije pretvori u nulu. To jest, vrijednosti f ' (x) i bit će dodirne točke, gdje je tangenta paralelna oko x.

Kada je x ∈ - ∞ ; - 2 , zatim - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 0 , a za x ∈ (- 2 ; + ∞) dobijamo 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 0 .

1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 0 D = 12 2 - 4 35 = 144 - 140 = 4 x 1 = - 12 + 4 2 = - 5 ∈ - ∞ ; - 2 x 2 = - 12 - 4 2 = - 7 ∈ - ∞ ; - 2 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 0 D = 4 2 - 4 3 = 4 x 3 = 4 - 4 2 = 1 ∈ - 2 ; + ∞ x 4 = 4 + 4 2 = 3 ∈ - 2 ; +∞

Izračunavamo odgovarajuće vrijednosti funkcije

y 1 = y - 5 = 1 15 - 5 + 2 3 - 4 5 - 5 2 - 16 5 - 5 - 26 5 + 3 - 5 + 2 = 8 5 y 2 = y (- 7) = 1 15 - 7 + 2 3 - 4 5 (- 7) 2 - 16 5 - 7 - 26 5 + 3 - 7 + 2 = 4 3 y 3 = y (1) = 1 15 1 + 2 3 - 4 5 1 2 - 16 5 1 - 26 5 + 3 1 + 2 = 8 5 y 4 = y (3) = 1 15 3 + 2 3 - 4 5 3 2 - 16 5 3 - 26 5 + 3 3 + 2 = 4 3

Dakle - 5; 8 5 , - 4 ; 4 3 , 1 ; 85, 3; 4 3 se smatraju željenim tačkama grafa funkcije.

Razmislite grafička slika rješenja.

Crna linija je graf funkcije, a crvene tačke su dodirne tačke.

1. Kada su prave paralelne, nagibi su jednaki. Zatim je potrebno tražiti tačke grafa funkcije, gdje će nagib biti jednak vrijednosti 8 5 . Da biste to učinili, morate riješiti jednačinu oblika y "(x) = 8 5. Tada, ako je x ∈ - ∞; - 2, dobijamo da je - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 8 5, a ako je x ∈ ( - 2 ; + ∞) , onda je 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 8 5 .

Prva jednadžba nema korijen jer je diskriminant manji od nule. Hajde da to zapišemo

1 5 x 2 + 12 x + 35 = 8 5 x 2 + 12 x + 43 = 0 D = 12 2 - 4 43 = - 28< 0

Dakle, druga jednadžba ima dva realna korijena

1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 8 5 x 2 - 4 x - 5 = 0 D = 4 2 - 4 (- 5) = 36 x 1 = 4 - 36 2 = - 1 ∈ - 2 ; + ∞ x 2 = 4 + 36 2 = 5 ∈ - 2 ; +∞

Idemo dalje na pronalaženje vrijednosti funkcije. Shvatili smo to

y 1 = y (- 1) = 1 15 - 1 + 2 3 - 4 5 (- 1) 2 - 16 5 (- 1) - 26 5 + 3 - 1 + 2 = 4 15 y 2 = y (5) = 1 15 5 + 2 3 - 4 5 5 2 - 16 5 5 - 26 5 + 3 5 + 2 = 8 3

Bodovi sa vrijednostima - 1; 4 15 , 5 ; 8 3 su tačke u kojima su tangente paralelne pravoj y = 8 5 x + 4 .

odgovor: crna linija - graf funkcije, crvena linija - graf y = 8 5 x + 4, plava linija - tangente u tačkama - 1; 4 15 , 5 ; 8 3 .

Moguće je postojanje beskonačnog broja tangenata za date funkcije.

Primjer 5

Napišite jednadžbe svih dostupnih tangenta funkcije y = 3 cos 3 2 x - π 4 - 1 3 , koje su okomite na pravu y = - 2 x + 1 2 .

Rješenje

Za sastavljanje jednačine tangente potrebno je pronaći koeficijent i koordinate dodirne tačke, na osnovu uslova okomitosti pravih. Definicija zvuči ovako: proizvod nagiba koji su okomiti na prave je jednak - 1, odnosno zapisuje se kao k x · k ⊥ = - 1. Iz uslova imamo da je nagib okomit na pravu i jednak k ⊥ = - 2, tada je k x = - 1 k ⊥ = - 1 - 2 = 1 2 .

Sada moramo pronaći koordinate dodirnih tačaka. Potrebno je pronaći x, nakon čega je njegova vrijednost za datu funkciju. Imajte na umu da iz geometrijskog značenja derivacije u tački
x 0 dobijamo da je k x \u003d y "(x 0) . Iz ove jednakosti nalazimo x vrijednosti za dodirne tačke.

Shvatili smo to

y "(x 0) = 3 cos 3 2 x 0 - π 4 - 1 3" = 3 - sin 3 2 x 0 - π 4 3 2 x 0 - π 4 " = = - 3 sin 3 2 x 0 - π 4 3 2 \u003d - 9 2 sin 3 2 x 0 - π 4 ⇒ k x \u003d y "(x 0) ⇔ - 9 2 sin 3 2 x 0 - π 4 \u003d 1 2 ⇒ sin 3 π 2 x 0 - 4 = - 1 9

Ova trigonometrijska jednačina će se koristiti za izračunavanje ordinata dodirnih tačaka.

3 2 x 0 - π 4 = a r c sin - 1 9 + 2 πk ili 3 2 x 0 - π 4 = π - a r c sin - 1 9 + 2 πk

3 2 x 0 - π 4 = - a r c sin 1 9 + 2 πk ili 3 2 x 0 - π 4 = π + a r c sin 1 9 + 2 πk

x 0 = 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk ili x 0 = 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk , k ∈ Z

Z je skup cijelih brojeva.

Pronađeno x dodirnih tačaka. Sada morate ići na pretragu za y vrijednosti:

y 0 = 3 cos 3 2 x 0 - π 4 - 1 3

y 0 = 3 1 - sin 2 3 2 x 0 - π 4 - 1 3 ili y 0 = 3 - 1 - sin 2 3 2 x 0 - π 4 - 1 3

y 0 = 3 1 - - 1 9 2 - 1 3 ili y 0 = 3 - 1 - - 1 9 2 - 1 3

y 0 = 4 5 - 1 3 ili y 0 = - 4 5 + 1 3

Odavde dobijamo da je 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk ; 4 5 - 1 3 , 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk ; - 4 5 + 1 3 su dodirne tačke.

odgovor: potrebne jednačine će biti zapisane kao

y = 1 2 x - 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk + 4 5 - 1 3 , y = 1 2 x - 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk - 4 5 + 1 3 , k ∈ Z

Za vizualni prikaz, razmotrite funkciju i tangentu na koordinatnoj liniji.

Slika pokazuje da je lokacija funkcije na intervalu [ - 10 ; 10 ] , gdje je crna linija grafik funkcije, plave linije su tangente koje su okomite na datu liniju oblika y = - 2 x + 1 2 . Crvene tačke su dodirne tačke.

Kanonske jednadžbe krivulja 2. reda nisu jednovrijedne funkcije. Tangentne jednadžbe za njih se sastavljaju prema dobro poznatim shemama.

Tangenta na kružnicu

Postaviti krug sa centrom u tački x c e n t e r ; y c e n t e r i radijus R, koristi se formula x - x c e n t e r 2 + y - y c e n t e r 2 = R 2.

Ova jednakost se može napisati kao unija dvije funkcije:

y = R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r y = - R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r

Prva funkcija je na vrhu, a druga na dnu, kao što je prikazano na slici.

Sastaviti jednadžbu kružnice u tački x 0 ; y 0 , koji se nalazi u gornjem ili donjem polukrugu, trebali biste pronaći jednadžbu grafa funkcije oblika y = R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r ili y \u003d - R e 2 - x - x t + e r y c e n t e r na navedenoj tački.

Kada je u tačkama x c e n t e r ; y c e n t e r + R i x c e n t e r ; y c e n t e r - R tangente se mogu dati jednadžbama y = y c e n t e r + R i y = y c e n t e r - R , a u tačkama x c e n t e r + R ; y c e n t e r i
x c e n t e r - R ; y c e n t e r će biti paralelan oko y, tada ćemo dobiti jednačine oblika x = x c e n t e r + R i x = x c e n t e r - R .

Tangenta na elipsu

Kada je centar elipse u x c e n t e r ; y c e n t e r sa poluosama a i b , onda se može dati pomoću jednačine x - x c e n t e r 2 a 2 + y - y c e n t e r 2 b 2 = 1 .

Elipsa i krug mogu se označiti kombinacijom dvije funkcije, odnosno gornje i donje poluelipse. Onda to shvatamo

y = b a a 2 - (x - x c e n t e r) 2 + y c e n t e r y = - b a a 2 - (x - x c e n t e r) 2 + y c e n t e r

Ako se tangente nalaze na vrhovima elipse, onda su paralelne oko x ili oko y. Radi jasnoće, razmotrite sliku ispod.

Primjer 6

Napišite jednadžbu tangente na elipsu x - 3 2 4 + y - 5 2 25 = 1 u tačkama sa x vrijednostima jednakim x = 2 .

Rješenje

Potrebno je pronaći dodirne tačke koje odgovaraju vrijednosti x = 2. Napravimo zamjenu u postojećoj jednadžbi elipse i dobijemo je

x - 3 2 4 x = 2 + y - 5 2 25 = 1 1 4 + y - 5 2 25 = 1 ⇒ y - 5 2 = 3 4 25 ⇒ y = ± 5 3 2 + 5

Tada je 2 ; 5 3 2 + 5 i 2 ; - 5 3 2 + 5 su tangente koje pripadaju gornjoj i donjoj poluelipsi.

Pređimo na pronalaženje i rješavanje jednadžbe elipse u odnosu na y. Shvatili smo to

x - 3 2 4 + y - 5 2 25 = 1 y - 5 2 25 = 1 - x - 3 2 4 (y - 5) 2 = 25 1 - x - 3 2 4 y - 5 = ± 5 1 - x - 3 2 4 y = 5 ± 5 2 4 - x - 3 2

Očigledno je da je gornja poluelipsa specificirana pomoću funkcije oblika y = 5 + 5 2 4 - x - 3 2 , a donja y = 5 - 5 2 4 - x - 3 2 .

Primjenjujemo standardni algoritam kako bismo formulirali jednadžbu tangente na graf funkcije u tački. Pišemo da je jednačina za prvu tangentu u tački 2; 5 3 2 + 5 će izgledati

y "= 5 + 5 2 4 - x - 3 2" = 5 2 1 2 4 - (x - 3) 2 4 - (x - 3) 2 " = = - 5 2 x - 3 4 - ( x - 3 ) 2 ⇒ y "(x 0) = y" (2) = - 5 2 2 - 3 4 - (2 - 3) 2 = 5 2 3 ⇒ y = y "(x 0) x - x 0 + y 0 ⇔ y = 5 2 3 (x - 2) + 5 3 2 + 5

Dobijamo da je jednačina druge tangente sa vrijednošću u tački
2; - 5 3 2 + 5 postaje

y "= 5 - 5 2 4 - (x - 3) 2" = - 5 2 1 2 4 - (x - 3) 2 4 - (x - 3) 2 " = = 5 2 x - 3 4 - (x - 3) 2 ⇒ y "(x 0) = y" (2) = 5 2 2 - 3 4 - (2 - 3) 2 = - 5 2 3 ⇒ y = y "(x 0) x - x 0 + y 0 ⇔ y = - 5 2 3 (x - 2) - 5 3 2 + 5

Grafički, tangente se označavaju na sljedeći način:

Tangenta na hiperbolu

Kada hiperbola ima centar u tački x c e n t e r ; y c e n t e r i vrhovi x c e n t e r + α ; y c e n t e r i x c e n t e r - α ; y c e n t e r , nejednakost x - x c e n t e r 2 α 2 - y - y c e n t e r 2 b 2 = 1 je data ako je sa vrhovima x c e n t e r ; y c e n t e r + b i x c e n t e r ; y c e n t e r - b je tada zadan nejednakošću x - x c e n t e r 2 α 2 - y - y c e n t e r 2 b 2 = - 1 .

Hiperbola se može predstaviti kao dvije kombinovane funkcije oblika

y = b a (x - x c e n t e r) 2 - a 2 + y c e n t e r y = - b a (x - x c e n t e r) 2 - a 2 + y c e n t e r ili y = b a (x - x c t e r) (x - x c t e r) ) 2 + a 2 + y c e n t e r

U prvom slučaju imamo da su tangente paralelne sa y, au drugom paralelne sa x.

Iz toga slijedi da je za pronalaženje jednadžbe tangente na hiperbolu potrebno saznati kojoj funkciji pripada tačka tangente. Da bi se to utvrdilo, potrebno je izvršiti zamjenu u jednadžbi i provjeriti njihovu identičnost.

Primjer 7

Napišite jednačinu tangente na hiperbolu x - 3 2 4 - y + 3 2 9 = 1 u tački 7; - 3 3 - 3 .

Rješenje

Potrebno je transformirati zapis rješenja nalaženja hiperbole pomoću 2 funkcije. Shvatili smo to

x - 3 2 4 - y + 3 2 9 = 1 ⇒ y + 3 2 9 = x - 3 2 4 - 1 ⇒ y + 3 2 = 9 x - 3 2 4 - 1 ⇒ y + 3 = 3 2 x - 3 2 - 4 ili y + 3 = - 3 2 x - 3 2 - 4 ⇒ y = 3 2 x - 3 2 - 4 - 3 y = - 3 2 x - 3 2 - 4 - 3

Potrebno je saznati kojoj funkciji pripada data tačka sa koordinatama 7; - 3 3 - 3 .

Očigledno, da biste provjerili prvu funkciju, trebate y (7) = 3 2 (7 - 3) 2 - 4 - 3 = 3 3 - 3 ≠ - 3 3 - 3 , tada tačka ne pripada grafu, jer jednakost nije zadovoljena.

Za drugu funkciju imamo da je y (7) = - 3 2 (7 - 3) 2 - 4 - 3 = - 3 3 - 3 ≠ - 3 3 - 3 , što znači da tačka pripada datom grafu. Odavde biste trebali pronaći koeficijent nagiba.

Shvatili smo to

y "= - 3 2 (x - 3) 2 - 4 - 3" = - 3 2 x - 3 (x - 3) 2 - 4 ⇒ k x = y "(x 0) = - 3 2 x 0 - 3 x 0 - 3 2 - 4 x 0 = 7 = - 3 2 7 - 3 7 - 3 2 - 4 = - 3

odgovor: tangentna jednačina se može predstaviti kao

y = - 3 x - 7 - 3 3 - 3 = - 3 x + 4 3 - 3

Vizuelizira se na sljedeći način:

Tangenta na parabolu

Da biste sastavili jednadžbu tangente na parabolu y \u003d a x 2 + b x + c u tački x 0, y (x 0) , morate koristiti standardni algoritam, tada će jednadžba poprimiti oblik y \u003d y " (x 0) x - x 0 + y ( x 0) Takva tangenta na vrhu je paralelna sa x.

Parabolu x = a y 2 + b y + c treba definirati kao uniju dvije funkcije. Stoga moramo riješiti jednačinu za y. Shvatili smo to

x = a y 2 + b y + c ⇔ a y 2 + b y + c - x = 0 D = b 2 - 4 a (c - x) y = - b + b 2 - 4 a (c - x) 2 a y = - b - b 2 - 4 a (c - x) 2 a

Hajde da to grafički prikažemo kao:

Da biste saznali da li tačka x 0 , y (x 0) pripada funkciji, pažljivo pratite standardni algoritam. Takva tangenta će biti paralelna sa y u odnosu na parabolu.

Primjer 8

Napišite jednadžbu tangente na graf x - 2 y 2 - 5 y + 3 kada imamo nagib tangente od 150°.

Rješenje

Rješenje započinjemo predstavljanjem parabole kao dvije funkcije. Shvatili smo to

2 y 2 - 5 y + 3 - x = 0 D = (- 5) 2 - 4 (- 2) (3 - x) = 49 - 8 x y = 5 + 49 - 8 x - 4 y = 5 - 49 - 8 x - 4

Vrijednost nagiba jednaka je vrijednosti derivacije u tački x 0 ove funkcije i jednaka je tangenti nagiba.

Dobijamo:

k x \u003d y "(x 0) \u003d t g α x \u003d t g 150 ° = - 1 3

Odavde određujemo vrijednost x za dodirne tačke.

Prva funkcija će biti napisana kao

y "= 5 + 49 - 8 x - 4" = 1 49 - 8 x ⇒ y "(x 0) = 1 49 - 8 x 0 = - 1 3 ⇔ 49 - 8 x 0 = - 3

Očigledno, nema pravih korijena, jer smo dobili negativnu vrijednost. Zaključujemo da za takvu funkciju ne postoji tangenta sa uglom od 150°.

Druga funkcija će biti napisana kao

y "= 5 - 49 - 8 x - 4" = - 1 49 - 8 x ⇒ y "(x 0) = - 1 49 - 8 x 0 = - 1 3 ⇔ 49 - 8 x 0 = - 3 x 0 = 23 4 ⇒ y (x 0) = 5 - 49 - 8 23 4 - 4 = - 5 + 3 4

Imamo da dodirne tačke - 23 4 ; - 5 + 3 4 .

odgovor: tangentna jednačina poprima oblik

y = - 1 3 x - 23 4 + - 5 + 3 4

Hajde da to grafički prikažemo ovako:

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Transekti, tangente - sve se to moglo čuti stotine puta na časovima geometrije. Ali matura je gotova, godine prolaze, a sva ta znanja se zaboravljaju. Šta treba zapamtiti?

Essence

Izraz "tangenta na krug" vjerovatno je svima poznat. Ali malo je vjerovatno da će svi moći brzo formulirati njegovu definiciju. U međuvremenu, tangenta je takva prava linija koja leži u istoj ravni sa kružnicom koja je siječe samo u jednoj tački. Možda ih postoji velika raznolikost, ali svi imaju ista svojstva, o kojima će biti riječi u nastavku. Kao što možete pretpostaviti, tačka kontakta je mjesto gdje se kružnica i linija seku. U svakom slučaju, to je jedan, ali ako ih je više, onda će to biti sekanta.

Istorija otkrića i proučavanja

Koncept tangente pojavio se u antici. Konstrukcija ovih pravih linija, prvo do kružnice, a zatim do elipsa, parabola i hiperbola uz pomoć ravnala i šestara, izvođena je još u početnim fazama razvoja geometrije. Naravno, istorija nije sačuvala ime pronalazača, ali je očito da su i u to vrijeme ljudi bili prilično svjesni svojstava tangente na kružnicu.

U modernim vremenima interes za ovaj fenomen je ponovo rasplamsao - započeo je novi krug proučavanja ovog koncepta, u kombinaciji s otkrivanjem novih krivulja. Dakle, Galileo je uveo koncept cikloide, a Fermat i Descartes su izgradili tangentu na nju. Što se tiče krugova, čini se da za drevne na ovim prostorima nije ostalo nikakvih tajni.

Svojstva

Poluprečnik povučen do tačke preseka će biti

glavno, ali ne i jedino svojstvo koje ima tangenta na kružnicu. Još jedna važna karakteristika uključuje već dvije ravne linije. Dakle, kroz jednu tačku koja leži izvan kruga mogu se povući dvije tangente, dok će im segmenti biti jednaki. Postoji još jedna teorema na ovu temu, ali se ona rijetko prolazi u okviru standarda školski kurs, iako je izuzetno zgodan za rješavanje nekih problema. Zvuči ovako. Iz jedne tačke koja se nalazi izvan kruga, na nju se povlače tangenta i sekansa. Formiraju se segmenti AB, AC i AD. A je presek linija, B je tačka kontakta, C i D su preseci. U ovom slučaju vrijedi sljedeća jednakost: dužina tangente na kružnicu, na kvadrat, bit će jednaka proizvodu segmenata AC i AD.

Postoji važna posljedica navedenog. Za svaku tačku kružnice možete izgraditi tangentu, ali samo jednu. Dokaz za to je prilično jednostavan: teoretski spuštajući okomicu iz polumjera na nju, saznajemo da formirani trokut ne može postojati. A to znači da je tangenta jedinstvena.

Zgrada

Među ostalim zadacima u geometriji, postoji posebna kategorija, po pravilu, ne

omiljen kod učenika i studenata. Za rješavanje zadataka iz ove kategorije potrebni su vam samo kompas i ravnalo. Ovo su građevinski zadaci. Postoje i metode za konstruisanje tangente.

Dakle, dat je krug i tačka koja leži izvan njenih granica. I kroz njih je potrebno povući tangentu. Kako uraditi? Prije svega, trebate nacrtati segment između središta kruga O i dati poen. Zatim ga pomoću kompasa podijelite na pola. Da biste to učinili, trebate postaviti radijus - nešto više od polovine udaljenosti između središta izvorne kružnice i zadane točke. Nakon toga morate izgraditi dva luka koja se ukrštaju. Štaviše, radijus kompasa nije potrebno mijenjati, a središte svakog dijela kruga bit će početna točka i O, respektivno. Sjecišta lukova moraju biti povezana, što će segment podijeliti na pola. Postavite radijus na kompasu jednak ovoj udaljenosti. Zatim, sa centrom u točki presjeka, nacrtajte još jedan krug. Na njoj će ležati i početna tačka i O. U ovom slučaju će biti još dva preseka sa kružnicom datom u zadatku. Oni će biti dodirne tačke za početno datu tačku.

Do rođenja je dovela konstrukcija tangenti na krug

diferencijalni račun. Prvi rad na ovu temu objavio je poznati njemački matematičar Leibniz. Predvidio je mogućnost pronalaženja maksimuma, minimuma i tangenta, bez obzira na razlomke i iracionalne vrijednosti. Pa, sada se koristi i za mnoge druge proračune.

Također, tangenta na kružnicu je povezana sa geometrijskog smisla tangenta. Odatle dolazi i njegovo ime. U prijevodu s latinskog, tangens znači "tangenta". Dakle, ovaj koncept je povezan ne samo sa geometrijom i diferencijalnim računom, već i sa trigonometrijom.

Dva kruga

Tangenta ne utiče uvek samo na jednu figuru. Ako se u jedan krug može povući ogroman broj pravih linija, zašto onda ne i obrnuto? Može. Ali zadatak u ovom slučaju je ozbiljno komplikovan, jer tangenta na dva kruga možda ne prolazi ni kroz jednu tačku, a relativni položaj svih ovih figura može biti veoma

drugačije.

Vrste i sorte

Kada mi pričamo o dva kruga i jednoj ili više pravih linija, onda čak i ako se zna da su to tangente, ne postaje odmah jasno kako se sve te figure nalaze u odnosu jedna na drugu. Na osnovu toga postoji nekoliko varijanti. Dakle, krugovi mogu imati jednu ili dvije zajedničke točke ili ih uopće ne imati. U prvom slučaju će se ukrštati, au drugom će se dodirivati. A ovdje postoje dvije varijante. Ako je jedan krug, takoreći, ugrađen u drugi, tada se dodir naziva unutrašnjim, ako ne, onda vanjskim. Možete razumjeti relativni položaj figura ne samo na osnovu crteža, već i na osnovu informacija o zbiru njihovih polumjera i udaljenosti između njihovih centara. Ako su ove dvije veličine jednake, krugovi se dodiruju. Ako je prvi veći, sijeku se, a ako je manji, onda nemaju zajedničkih tačaka.

Isto i sa pravim linijama. Za bilo koje dvije kružnice koje nemaju zajedničke tačke, jedna može

izgraditi četiri tangente. Dva od njih će se ukrštati između figura, nazivaju se unutrašnjim. Nekoliko drugih je eksterno.

Ako govorimo o krugovima koji imaju jednu zajedničku tačku, onda je zadatak uvelike pojednostavljen. Činjenica je da će za svaki međusobni aranžman u ovom slučaju imati samo jednu tangentu. I proći će kroz tačku njihovog ukrštanja. Dakle, konstrukcija poteškoće neće uzrokovati.

Ako figure imaju dvije točke presjeka, onda se za njih može konstruirati prava linija, tangentna na kružnicu, i jednu i drugu, ali samo vanjsku. Rješenje ovog problema je slično onome što će biti razmotreno u nastavku.

Rješavanje problema

I unutrašnje i vanjske tangente na dvije kružnice nisu tako jednostavne konstrukcije, iako se ovaj problem može riješiti. Činjenica je da se za to koristi pomoćna figura, pa sami razmislite o ovoj metodi

prilično problematično. Dakle, date su dvije kružnice s različitim polumjerima i centrima O1 i O2. Za njih morate izgraditi dva para tangenta.

Prije svega, u blizini centra većeg kruga, potrebno je izgraditi pomoćni. U tom slučaju, razlika između polumjera dvije početne figure mora se utvrditi na kompasu. Tangente na pomoćnu kružnicu grade se iz centra manjeg kruga. Nakon toga, iz O1 i O2, na ove prave se povlače okomice sve dok se ne ukrste s originalnim figurama. Kao što slijedi iz glavnog svojstva tangente, tražene tačke na obje kružnice se nalaze. Problem je riješen, barem, njegov prvi dio.

Da bi se konstruisale unutrašnje tangente, potrebno je praktično rešiti

sličan zadatak. Opet će vam trebati pomoćni oblik, ali ovaj put će njegov radijus biti jednak je zbiru početni. Tangente su konstruisane na njega iz centra jedne od datih kružnica. Dalji tok rješenja može se razumjeti iz prethodnog primjera.

Tangenta na krug ili čak dva ili više nije tako težak zadatak. Naravno, matematičari su odavno prestali rješavati takve probleme ručno i povjeravaju proračune posebnim programima. Ali nemojte misliti da sada nije potrebno biti u mogućnosti to učiniti sami, jer da biste ispravno formulirali zadatak za računalo, morate puno učiniti i razumjeti. Nažalost, postoji bojazan da će konstruktivni zadaci nakon konačnog prelaska na testni oblik kontrole znanja stvarati sve veće poteškoće učenicima.

Što se tiče pronalaženja zajedničkih tangenta za više kružnica, to nije uvijek moguće, čak i ako leže u istoj ravni. Ali u nekim slučajevima moguće je pronaći takvu liniju.

Primjeri iz stvarnog života

U praksi se često susreće zajednička tangenta na dvije kružnice, iako to nije uvijek uočljivo. Transporteri, blok sistemi, remenice prijenosa remenica, zatezanje konca u šivaćoj mašini, pa čak i samo lanac bicikla - sve su to primjeri iz života. Zato nemojte misliti da geometrijski problemi ostaju samo u teoriji: u inženjerstvu, fizici, građevinarstvu i mnogim drugim oblastima, oni nalaze praktičnu primjenu.

Koncept tangente na kružnicu

Krug ima tri moguća međusobne aranžmane u odnosu na pravu liniju:

Ako je udaljenost od središta kružnice do prave manja od polumjera, tada linija ima dvije točke presjeka s kružnicom.

Ako je udaljenost od središta kružnice do prave jednaka polumjeru, tada linija ima dvije točke sjecišta s kružnicom.

Ako je udaljenost od središta kružnice do prave linije veća od polumjera, tada prava linija ima dvije točke presjeka s kružnicom.

Sada uvodimo koncept tangente na kružnicu.

Definicija 1

Tangenta na kružnicu je prava linija koja sa njom ima jednu tačku preseka.

Zajednička tačka kružnice i tangente naziva se tačka tangente (slika 1).

Slika 1. Tangenta na kružnicu

Teoreme vezane za koncept tangente na kružnicu

Teorema 1

Teorema o svojstvu tangente: Tangenta na kružnicu je okomita na poluprečnik povučen do tačke tangente.

Dokaz.

Zamislite krug sa centrom $O$. Nacrtajmo tangentu $a$ u tački $A$. $OA=r$ (slika 2).

Dokažimo da je $a\bot r$

Teoremu ćemo dokazati metodom "kontradikcijom". Pretpostavimo da tangenta $a$ nije okomita na poluprečnik kružnice.

Slika 2. Ilustracija teoreme 1

To jest, $OA$ je koso na tangentu. Budući da je okomica na pravu $a$ uvijek manja od nagiba na istu pravu, udaljenost od centra kružnice do prave je manja od polumjera. Kao što znamo, u ovom slučaju prava ima dve tačke preseka sa kružnicom. Što je u suprotnosti sa definicijom tangente.

Dakle, tangenta je okomita na polumjer kružnice.

Teorema je dokazana.

Teorema 2

Obratiti teoremu o svojstvu tangente: Ako je prava koja prolazi kroz kraj poluprečnika kružnice okomita na poluprečnik, tada je ova prava tangenta na ovu kružnicu.

Dokaz.

Prema uslovu zadatka imamo da je poluprečnik okomit povučen iz centra kružnice na datu pravu. Stoga je udaljenost od središta kruga do prave linije jednaka dužini polumjera. Kao što znamo, u ovom slučaju krug ima samo jednu tačku preseka sa ovom pravom. Po definiciji 1, dobijamo da je data prava tangenta na kružnicu.

Teorema je dokazana.

Teorema 3

Segmenti tangenti na kružnicu, povučeni iz jedne tačke, jednaki su i čine jednake uglove sa pravom koja prolazi kroz ovu tačku i središtem kružnice.

Dokaz.

Neka je data kružnica sa centrom u tački $O$. Iz tačke $A$ (koja leži na svim kružnicama) povučene su dvije različite tangente. Od dodirne tačke $B$ i $C$ respektivno (slika 3).

Dokažimo da je $\ugao BAO=\ugao CAO$ i da je $AB=AC$.

Slika 3. Ilustracija teoreme 3

Prema teoremi 1, imamo:

Prema tome, trouglovi $ABO$ i $ACO$ su pravougli trouglovi. Pošto je $OB=OC=r$, a hipotenuza $OA$ zajednička, ovi trokuti su jednaki po hipotenuzi i kraku.

Otuda dobijamo da je $\ugao BAO=\ugao CAO$ i $AB=AC$.

Teorema je dokazana.

Primjer zadatka o konceptu tangente na kružnicu

Primjer 1

Dat je krug sa centrom $O$ i poluprečnikom $r=3\ cm$. Tangenta $AC$ ima tangentnu tačku $C$. $AO=4\cm$. Pronađite $AC$.

Rješenje.

Prvo, oslikajmo sve na slici (slika 4).

Slika 4

Pošto je $AC$ tangenta, a $OC$ poluprečnik, onda prema teoremi 1 dobijamo $\ugao ACO=(90)^(()^\circ )$. Ispostavilo se da je trougao $ACO$ pravougaonog oblika, što znači da, prema Pitagorinoj teoremi, imamo:

\[(AC)^2=(AO)^2+r^2\] \[(AC)^2=16+9\] \[(AC)^2=25\] \