Napomena: Pod vremenskim nizom podrazumijevaju se ekonomske vrijednosti koje zavise od vremena. U ovom slučaju se pretpostavlja da je vrijeme diskretno; inače se govori o slučajnim procesima, a ne o vremenskim serijama.

Modeli stacionarnih i nestacionarnih vremenskih serija, njihova identifikacija

Razmotrimo vremensku seriju. Neka vremenska serija prvo uzme numeričke vrijednosti. To može biti, na primjer, cijena vekne hleba u obližnjoj prodavnici ili kurs dolara za rublju u najbližoj menjačnici. Obično se identifikuju dva glavna trenda u ponašanju vremenske serije – trend i periodične fluktuacije.

U ovom slučaju, trend se podrazumijeva kao ovisnost o vremenu linearnog, kvadratnog ili drugog tipa, koja se otkriva jednom ili drugom metodom izglađivanja (na primjer, eksponencijalno izglađivanje) ili proračunom, posebno korištenjem metoda najmanjih kvadrata. Drugim riječima, trend je glavni trend vremenske serije, očišćen od slučajnosti.

Vremenske serije obično osciliraju oko trenda, pri čemu su odstupanja od trenda često tačna. Često je to zbog prirodne ili određene učestalosti, kao što je sezonska ili sedmična, mjesečna ili tromjesečna (na primjer, prema platnom spisku i rasporedu plaćanja poreza). Ponekad su prisutnost periodičnosti, a još više njeni uzroci, nejasni, a zadatak ekonometričara je da otkrije postoji li periodičnost zaista.

Elementarne metode za procjenu karakteristika vremenskih serija obično se dovoljno detaljno razmatraju u predmetima "Opšte teorije statistike" (vidi, na primjer, udžbenike), pa ih ovdje nema potrebe detaljno analizirati. (Međutim, o nekima savremenim metodama Procjena dužine perioda i sama periodična komponenta bit će razmotrena u nastavku.)

Karakteristike vremenske serije. Za detaljnije proučavanje vremenskih serija koriste se vjerovatno-statistički modeli. U ovom slučaju, vremenska serija se smatra slučajnim procesom (sa diskretnim vremenom), glavne karakteristike su matematičko očekivanje, tj.

Disperzija, tj.

i autokorelacione funkcije vremenske serije

one. funkcija dvije varijable jednaka koeficijent korelacije između dvije vrijednosti vremenske serije i .

U teorijskim i primijenjenim istraživanjima razmatra se širok raspon modela vremenskih serija. Prvo odaberite stacionarno modeli. Imaju funkciju zajedničke distribucije za bilo koji broj vremenskih tačaka , a samim tim i sve karakteristike gore navedenih vremenskih serija ne mijenjaju se tokom vremena. Konkretno, matematičko očekivanje i varijansa su konstante, funkcija autokorelacije ovisi samo o razlici. Vremenske serije koje nisu stacionarne se nazivaju nestacionarni.

Modeli linearne regresije sa homoskedastičnim i heteroskedastičnim, nezavisnim i autokoreliranim rezidualima. Kao što se vidi iz navedenog, glavna stvar je "čišćenje" vremenske serije od slučajnih odstupanja, tj. procjena matematičkog očekivanja. Za razliku od najjednostavnijih modela regresiona analiza razmatrani u , ovdje se prirodno pojavljuju složeniji modeli. Na primjer, varijansa može ovisiti o vremenu. Takvi modeli se nazivaju heteroscedastic, a one u kojima nema ovisnosti o vremenu su homoskedastičke. (Tačnije, ovi termini se mogu odnositi ne samo na varijablu "vrijeme" već i na druge varijable.)

Komentar. Kao što je navedeno u "Multivarijantnoj statističkoj analizi", najjednostavniji model metoda najmanjih kvadrata omogućava veoma daleke generalizacije, posebno u oblasti sistema simultanih ekonometrijskih jednačina za vremenske serije. Za razumijevanje relevantne teorije i algoritama potrebno je stručno poznavanje matrične algebre. Stoga one koji se zanimaju upućujemo na literaturu o sistemima ekonometrijskih jednačina i direktno o vremenskim serijama, za koje postoji veliko interesovanje za teoriju spektra, tj. odvajanje signala od šuma i njegovo razlaganje u harmonike. Još jednom to naglašavamo iza svakog poglavlja ova knjiga postoji veliko područje znanstvenih i primijenjenih istraživanja, koje je sasvim vrijedno da mu se posveti mnogo truda. Međutim, zbog ograničenog obima knjige, primorani smo da prezentaciju učinimo sažetim.

Sistemi ekonometrijskih jednačina

Primjer autoregresivnog modela. Kao početni primjer, razmotrite ekonometrijski model vremenske serije koja opisuje rast indeksa potrošačkih cijena (indeks inflacije). Neka - rast cijena mjesečno (više o ovom pitanju pogledajte u "Ekonometrijskoj analizi inflacije"). Tada je, prema nekim ekonomistima, prirodno pretpostaviti da je to

gdje je rast cijene u prethodnom mjesecu (a je koeficijent prigušenja, pod pretpostavkom da će u nedostatku vanjskih utjecaja rast cijene stati), konstanta (odgovara linearnoj promjeni vrijednosti tokom vremena), je a termin koji odgovara efektu emisije novca (tj. povećanje količine novca u privredi zemlje, koje sprovodi Centralna banka) u iznosu i proporcionalno emisiji sa koeficijentom , a ovaj efekat se ne javlja odmah, već nakon 4 mjeseca; Konačno, ovo je neizbježna greška.

Model (1), uprkos svojoj jednostavnosti, pokazuje mnoge karakterne osobine mnogo složeniji ekonometrijski modeli. Prvo, obratimo pažnju na činjenicu da su neke varijable definirane (izračunate) unutar modela, poput . Oni se nazivaju endogeni (interni). Drugi se daju eksterno (ovo je egzogeni varijable). Ponekad, kao u teoriji kontrole, među egzogene varijable, dodijeliti uspio varijable - one pomoću kojih menadžer može dovesti sistem u željeno stanje.

Drugo, varijable novih tipova se pojavljuju na relaciji (1) - sa zaostajanjem, tj. argumenti u varijablama se ne odnose na trenutni trenutak u vremenu, već na neke prošle trenutke.

Treće, sastavljanje ekonometrijskog modela tipa (1) nikako nije rutinska operacija. Na primjer, kašnjenje od tačno 4 mjeseca u roku vezanom za izdavanje novca rezultat je prilično sofisticirane preliminarne statističke obrade. Dalje, pitanje zavisnosti ili nezavisnosti veličina i treba proučiti. Kao što je gore navedeno, konkretna implementacija postupka zavisi od rješenja ovog pitanja. metoda najmanjih kvadrata.

S druge strane, u modelu (1) postoje samo 3 nepoznata parametra i iskaz metoda najmanjih kvadrata lako je napisati:

Problem identifikacije. Zamislimo sada tapa model (6.1) sa veliki broj endogeni i egzogene varijable, sa kašnjenjima i složenom unutrašnjom strukturom. Uopšteno govoreći, niotkuda ne proizlazi da postoji barem jedno rješenje za takav sistem. Dakle, ne postoji jedan, već dva problema. Postoji li barem jedno rješenje (problem identifikacije)? Ako da, kako pronaći najbolje moguće rješenje? (Ovo je problem statističke procjene parametara.)

I prvi i drugi zadatak su prilično teški. Za rješavanje oba problema razvijene su mnoge metode, obično prilično složene, od kojih su samo neke naučno obrazloženje. Konkretno, često se koriste statističke procjene koje nisu konzistentne (strogo govoreći, ne mogu se ni nazvati procjenama).

Hajde da ukratko opišemo neke uobičajene tehnike u radu sa sistemima linearnih ekonometrijskih jednačina.

Sistem linearnih simultanih ekonometrijskih jednadžbi. Čisto formalno, sve varijable se mogu izraziti u vidu varijabli koje zavise samo od trenutnog trenutka u vremenu. Na primjer, u slučaju jednačine (6.1) dovoljno je staviti

Tada je jednadžba primjer oblika

Ovdje napominjemo mogućnost korištenja regresijskih modela sa varijabilnu strukturu uvođenjem lažnih varijabli. Ove varijable u nekom trenutku vrijednosti (recimo, početne) poprimaju primjetne vrijednosti, au drugim nestaju (postaju zapravo jednake 0). Kao rezultat toga, formalno (matematički) jedan te isti model opisuje potpuno različite zavisnosti.

Indirektni, dvostepeni i najmanji kvadrati u tri koraka. Kao što je već napomenuto, razvijeno je mnogo metoda za heurističku analizu sistema ekonometrijskih jednačina. Oni su dizajnirani da riješe određene probleme koji se javljaju prilikom pokušaja pronalaženja numerička rješenja sistemi jednačina.

Jedan od problema je vezan za postojanje apriornih ograničenja na procijenjene parametre. Na primjer, prihod domaćinstva može se potrošiti ili na potrošnju ili na štednju. To znači da je zbir udjela ove dvije vrste potrošnje a priori jednak 1. A u sistemu ekonometrijskih jednačina ovi udjeli mogu samostalno učestvovati. Postoji ideja da se oni procijene najmanjih kvadrata, zanemarujući apriorno ograničenje, a zatim prilagodite. Ovaj pristup se naziva indirektnim. najmanjih kvadrata.

dva koraka metoda najmanjeg kvadrata sastoji se u procjeni parametara pojedinačne jednačine sistema, a ne u razmatranju sistema kao cjeline. Istovremeno, tri koraka metoda najmanjeg kvadrata koristi se za procjenu parametara sistema simultanih jednačina u cjelini. Prvo se na svaku jednadžbinu primjenjuje metoda u dva koraka kako bi se procijenili koeficijenti i greške svake jednačine, a zatim se konstruirala procjena za matricu kovarijanse greške. Nakon toga se primjenjuje generalizirana metoda za procjenu koeficijenata ceo sistem. metoda najmanjeg kvadrata.

Menadžer i ekonomista ne bi trebalo da postane specijalista za sastavljanje i rešavanje sistema ekonometrijskih jednačina, čak ni uz pomoć određenih softverskih sistema, ali treba da bude svestan mogućnosti ove oblasti ekonometrije kako bi formulisao zadatak za stručnjake za ekonometriju na kvalifikovan način ako je potrebno.

Od procjene trenda (glavnog trenda), prijeđimo na drugi glavni zadatak ekonometrije vremenskih serija – procjenu perioda (ciklusa).

Od velikog značaja u analizi vremenskih serija su stacionarne vremenske serije, čija se verovatnoća svojstva ne menjaju tokom vremena. Stacionarne vremenske serije koriste se, posebno, u opisu slučajnih komponenti analizirane serije.

Vremenska serija y t (t= 1,2,…,n) naziva se striktno stacionarnom (ili stacionarnom u užem smislu) ako je zajednička distribucija vjerovatnoće n opservacija y 1 ,y 2 ,…..,y n ista kao n zapažanja y 1+ t ,y 2+ t ,....y n + t za bilo koje n, t i t. Drugim riječima, svojstva strogo stacionarnog niza y t ne zavise od trenutka t, tj. zakon o distribuciji i numeričke karakteristike ne zavise od t. Prema tome, matematičko očekivanje a y (t) = a, standardna devijacija s y (t) = s može se procijeniti iz zapažanja y t (t= 1,2,…,n) koristeći formule:

(6.3)

Najjednostavniji primjer stacionarne vremenske serije, čije je matematičko očekivanje jednako nuli, a greške e t nisu u korelaciji, je "bijeli šum". Stoga možemo reći da su perturbacije (greške) prisutne klasični model linearne regresije oblika bijelog šuma, au slučaju njih normalna distribucija – normalan (gausov) Bijeli šum.

Stepen čvrstoće veze između nizova posmatranja vremenske serije y 1 ,y 2 ,…..,y n i y 1+ t ,y 2+ t ,....y n + t (pomaknut u odnosu na svaki ostalo po e jedinicama, ili, recimo sa kašnjenjem t) može se odrediti pomoću koeficijenta korelacije

(6.4)

za

Pošto koeficijent r(t) mjeri korelaciju između članova istog niza, naziva se koeficijent autokorelacije, a zavisnost r(t) autokorelacione funkcije. Zbog stacionarnosti vremenske serije y t (t= 1,2,…,n), autokorelacija funkcija r(t) zavisi samo od kašnjenja t, a korelacija funkcija r(- t) = r(t) , tj. kada proučavamo r(t), možemo se ograničiti na razmatranje samo pozitivnih vrijednosti t.

Statistička procjena r(t) je koeficijent autokorelacije uzorka r(t), određena formulom koeficijenta korelacije (3.20), u kojoj je x i = y t , y i = y t + t , a n je zamijenjeno sa n - t:

Poziva se funkcija r(t). uzorak autokorelacijske funkcije, a njegov graf je korelogram.

Prilikom izračunavanja r(t), treba imati na umu da kako t raste, broj n - t parova opservacija y t ,y t + t opada, tako da zaostajanje t mora biti takvo da je broj n - t dovoljan za određivanje r (t). Obično se rukovode relacijom t £ n/4.

Za stacionarnu vremensku seriju, kako se kašnjenje t povećava, odnos između članova vremenske serije y t i y t + t slabi, a autokorelacija funkcija r(t) treba da se smanji (u apsolutnoj vrijednosti). Istovremeno, za njegov uzorak (empirijski) analog r(t), posebno sa malim brojem parova opservacija n - t, može biti narušeno svojstvo monotonog smanjenja (apsolutne vrijednosti) s povećanjem t.

Uz funkciju autokorelacije, pri proučavanju stacionarnih vremenskih serija uzimamo u obzir parcijalna autokorelacija funkcija r dio (t), gdje je r dio (t) parcijalni koeficijent korelacije između članova vremenske serije y t i y t + t pri eliminisanju (eliminisanju) uticaja srednjih (između y t i y t + t) članova.

Statistička procjena r dijela(t) je autokorelacija kvocijenta uzorka r količnik (t) gdje r dio (t)- uzorak parcijalnog koeficijenta korelacije određen formulom (5.21) ili (5.22) Na primjer, uzorak parcijalnog koeficijenta autokorelacije 1. reda između članova vremenske serije y t i y t + t kada se eliminiše utjecaj y t +1 može se izračunati po formuli (5.22):

gdje je r(1) , r(1,2),r(2) – koeficijenti autokorelacije uzorka između y t i y t +1 , y t +1 i y t +2 , y t i y t +2 , t = 1,….,n.

Primjer 6.1. Prema tabeli. 6.1 za vremensku seriju y t naći srednju vrijednost, standardnu ​​devijaciju, koeficijente autokorelacije 1. reda.

Rješenje. Prosječna vrijednost vremenske serije nalazi se po formuli (6.2):

Varijanca i standardna devijacija mogu se izračunati pomoću formule (6.3), ali je u ovom slučaju lakše koristiti relaciju

gdje

Nađimo koeficijent autokorelacije r(t) vremenske serije (za kašnjenje t = 1), tj. koeficijent korelacije između nizova od sedam parova opservacija y t i y t + t (t = 1,2….,7).

Ciljevi statističke analize vremenske serije mogu se formulisati na sledeći način:

prema postojećoj putanji x(1), x(2), …x(N) analizirane vremenske serije x(t), potrebno je:

1) odrediti koje su od neslučajnih funkcija (koje odgovaraju trendu, sezonskim i cikličkim komponentama) prisutne u ekspanziji, odnosno odrediti vrijednosti indikatora  i u ekspanziji

2) konstruisati "dobre" procene za one neslučajne funkcije koje su prisutne u dekompoziciji;

3) odabrati model koji na adekvatan način opisuje ponašanje „slučajnih reziduala u(t), i statistički procijeniti parametre ovog modela.

Uspješno rješavanje navedenih zadataka osnova je za postizanje konačnih ciljeva primijenjenog istraživanja i, prije svega, za rješavanje problema kratkoročnog i srednjoročnog predviđanja vrijednosti vremenske serije.

Autokovarijansne i autokorelacijske funkcije

Za identifikaciju vremenskih serija zgodno je koristiti posebne funkcije: autokovarijanca i autokorelacija.

Funkcija autokovarijance

Iz pretpostavke stroge stacionarnosti vremenske serije x(t), kovarijansa između vrednosti x(t) i x(t  ) zavisiće samo od količine „vremenskog pomaka“  (i neće zavisiti na t). Ova kovarijansa se naziva autokovarijanca (jer mjeri kovarijansu za različite vrijednosti iste vremenske serije x(t) i definirana je sa:

Kada se analizira vrijednost () u zavisnosti od vrijednosti , uobičajeno je govoriti o funkciji autokovarijance (). Vrijednosti funkcije autokovarijance mogu se statistički procijeniti iz dostupnih promatranja vremenskih serija korištenjem formule

, gdje je =1,2, … N-1. Očigledno

(0)=  2 =M;

()=cov(x(t+), x(t)) = cov(x(t), x(t+)) = cov(x(t), x(t-));

()= cov(x(t), x(t-))= (-).

Funkcija autokorelacije

Jedna od glavnih razlika između niza posmatranja koji formiraju vremensku seriju i slučajnog uzorka je u tome što su članovi vremenske serije, općenito govoreći, statistički međuzavisni. Stepen bliskosti statističke veze između dvije slučajne varijable može se mjeriti koeficijentom uparene korelacije. Dakle, stepen statističke povezanosti između dva posmatranja vremenske serije, „razdvojenih“ (u vremenu) sa  jedinicama, biće određen vrednošću koeficijenta korelacije

Koeficijent korelacije r() mjeri korelaciju koja postoji između članova iste vremenske serije, pa se obično naziva koeficijent autokorelacije. Kada se analizira promjena vrijednosti r() u zavisnosti od vrijednosti , uobičajeno je govoriti o autokorelacionoj funkciji r(). Graf autokorelacione funkcije naziva se korelogram. Funkcija autokorelacije, za razliku od funkcije autokovarijance, je bezdimenzionalna. Njegove vrijednosti mogu se kretati od -1 do +1. Očigledno, r() =r(-), a(0) =1.

Potraga za modelom koji na adekvatan način opisuje ponašanje slučajnih reziduala u(t) analizirane vremenske serije x(t) obično se provodi unutar određene posebne klase slučajnih vremenskih nizova - klase stacionarnih vremenskih serija. Na intuitivnom nivou stacionarnost vremenske serije i povezujemo se sa zahtjevom koji on ima konstantna srednja vrijednost i fluktuira oko te srednje vrijednosti uz konstantnu varijansu. U nekim slučajevima, vremenski nizovi ove klase takođe mogu reproducirati ponašanje analizirane vremenske serije x(t).

Zove se niz x(t). strogo stacionarni(ili stacionarno u užem smislu) ako je zajednička distribucija vjerovatnoće m opažanja x(t 1), x(t 2), …, x(t m) ista kao za m opažanja x(t 1 +), x ( t 2 +), …x(t m +), za bilo koje m, t 1 , t 2 , …, t m ​​i .

Drugim riječima, svojstva striktno stacionarne vremenske serije se ne mijenjaju kada se promijeni početak vremena. Konkretno, kada je m = 1, iz pretpostavke stroge stacionarnosti vremenske serije x(t) slijedi da zakon raspodjele vjerovatnoće slučajne varijable x(t) ne zavisi od t, što znači da svi njeni glavni numerički karakteristike ne zavise od t, uključujući: srednju vrijednost M(x(t)) =  i varijansu D(x(t))= M(x(t) –) 2 =  2 .

Očigledno, vrijednost μ određuje konstantni nivo u odnosu na koji su vrijednosti analizirane vremenske serije x(t) raspršene, a konstantna vrijednost  2 karakteriše opseg ovog širenja. Pošto je zakon raspodjele vjerovatnoće slučajne varijable x(t) isti za sve t, onda se ona i njene glavne numeričke karakteristike mogu procijeniti iz zapažanja x(1), x(2), …x(N). posebno:

-procjena prosječne vrijednosti,

- procjena varijanse.

Ispod metode zaglađivanja vremenske serije se razumeju izbor neslučajne komponente. Pretpostavimo da je opšti oblik neslučajne komponente F(t) za niz x(t)=F(t,)+ u(t) poznat. To može biti polinom, Fourierov niz, itd. Tada se javlja problem procjene parametara . U ovoj formulaciji problema koriste se analitičke metode.

Ako je oblik neslučajne komponente nepoznat F(t), onda se koriste algoritamske metode. Ove metode uključuju metodu pokretnog prosjeka, koja je osnova složenijih postupaka izglađivanja.

Algoritam za konstrukciju modela vremenske serije na primjeru aditivnih i multiplikativnih modela

Algoritam za konstruisanje modela vremenske serije koji uključuje cikličke fluktuacije sastoji se od glavnih faza, čiji je sadržaj nešto drugačiji za aditivne i multiplikativne modele.

Pojednostavimo model uvođenjem jedne oznake za cikličnu komponentu serije, bez obzira na trajanje ciklusa, ili na njegovu sezonsku ili oportunističku prirodu. Označimo to s t . Tada će aditivni model imati oblik y t = u t + s t + e t , a multiplikativni - y t = u t * s t * e t .

Dakle, glavne faze izgradnje modela:

1) Izglađivanje originalne serije na osnovu proseka, koji se izračunavaju tokom vremenskog perioda koji odgovara trajanju ciklusa.

2) Određivanje vrijednosti ciklične ili sezonske komponente (za više detalja vidjeti Eliseeva I.I., Kurysheva S.V., Kosteeva T.V. et al. Ekonometrija: Udžbenik. - M.: Finansije i statistika, 2001. - P. 242-251 ). Za aditivni model, zbir vrijednosti ove komponente za sve periode jednog ciklusa mora biti jednak nuli, au multiplikativnom modelu mora biti jednak broju perioda u ciklusu. Ovo osigurava uzajamno otkupljivanje ciklične komponente.

3) Uklanjanje cikličkih komponenti iz modela. U aditivnom modelu to se provodi oduzimanjem, nakon čega će model dobiti oblik y t = u t + e t . U multiplikativnom modelu to se provodi dijeljenjem, nakon čega će model dobiti oblik y t = u t * e t .

4) Analitičko poravnanje dobijene serije y t = u t + e t ili y t = u t * e t na osnovu konstrukcije jednačine trenda y t = f(t).

5) Ciklična komponenta se dodaje dobijenim nivoima serije (u slučaju aditivnog modela) ili množi s njom (u slučaju multiplikativnog modela): y t = f(t) + s t ili y t = f( t) * s t .

6) Poređenje izračunatih vrednosti nivoa serije, dobijenih korišćenjem konstruisanog modela, sa stvarnim vrednostima. Evaluacija rezultirajućeg modela, proračun grešaka.

Vremenske serije su stohastičke prirode i shodno tome se za njih mogu izračunati različite vjerovatnoće.

Stacionarna vremenska serija je vremenska serija za koju su sve vjerovatnoće konstantne.

To znači da bez obzira na to koji dio vremenske serije uzmemo, vjerojatnostne karakteristike vrijednosti indikatora će biti iste kao i za bilo koji drugi vremenski interval ove serije. Ne postoji komponenta trenda u stacionarnoj seriji.

Nestacionarna vremenska serija nema ovo svojstvo.

Vizuelno stacionarne i nestacionarne vremenske serije prikazane su na slici 5.1.

Razlikovati koncepte slab i stroga stacionarnost. Da bi se serija smatrala slabo stacionarnom, ili stacionarnom u širem smislu te riječi, dovoljno je da ima konstantno matematičko očekivanje, varijansu i koeficijente autokorelacije. Za rigorozniju definiciju stacionarnosti neophodna je i postojanost ostalih vjerovatnoća (funkcija distribucije mora biti ista), koje se detaljno proučavaju u okviru teorije vjerovatnoće.

Treba imati na umu da je svaka strogo stacionarna serija također slabo stacionarna, ali ne i obrnuto. Dakle, presjek (zajednički dio) skupa slabo stacionarnih nizova i skupa strogo stacionarnih redova je skup strogo stacionarnih redova. Unija skupa slabo stacionarnih redova i skupa strogo stacionarnih redova je skup slabo stacionarnih redova (jer su strogo stacionarni redovi uključeni u slabo stacionarne redove).

Primjer stacionarne vremenske serije bi bio "bijeli šum" u regresijskim modelima (tj. vremenski raspoređene vrijednosti slučajne komponente za koju su srednja vrijednost i varijansa konstantne (u kom slučaju je očekivana vrijednost ostatka nula) i ove vrijednosti nisu u korelaciji jedna s drugom).

Ergodic serija. Važno svojstvo nekih stacionarnih serija je svojstvo ergodicnost. Suština ovog svojstva je da se za ergodičku seriju matematičko očekivanje njenih nivoa u prostoru poklapa sa matematičkim očekivanjem njenih nivoa u vremenu.

Neka je za slabo stacionarni proces u bilo kojem trenutku t očekivanje vrijednosti M(y t) = µ (ovo je očekivanje u prostoru). Očekivana vrijednost u vremenu je prosjek n vrijednosti vremenske serije na n ® ¥. Ako , tada je takav niz ergodičan.

Drugim riječima, za stacionarnu vremensku seriju, prosječna vrijednost skupa realizacija za date trenutke u vremenu jednaka je prosjeku tokom vremena izračunatom za jednu realizaciju.

Uvod…………………………………………………………………….2

1. Glavni zadaci analize vremenskih serija…………….4

2. Analiza vremenskih serija……………………………………………….9

11

2.3 Stacionarni modeli vremenskih serija i njihova identifikacija…13

2.3.2. Modeli poretka pokretnog prosjeka q (MA(q)-modeli)….17

Zaključak……………………………………………………………………21

Literatura……………………………………………………………………..23

Uvod

AT poslednjih godina u ekonometrijskoj literaturi se velika pažnja posvećuje proučavanju serije dinamike vremenskih indikatora. Različiti sadržajni zadaci ekonomske analize zahtijevaju korištenje statističkih podataka koji karakterišu ekonomske procese koji se proučavaju i raspoređeni u vremenu u obliku vremenskih serija. U isto vrijeme, iste vremenske serije se često koriste za rješavanje različitih suštinskih problema.

Nisu uvijek vrijednosti vremenske serije formirane samo pod utjecajem bilo kojeg faktora. Često se dešava da je razvoj određenog procesa posljedica njegovih unutrašnjih zakonitosti, a odstupanja od determinističkog procesa uzrokovana su greškama mjerenja ili slučajnim fluktuacijama. Posebno su interesantni procesi koji su u "tranzicijskom" modu, tj. procesi koji su u suštini "stacionarni", ali pokazuju svojstva nestacionarnog vremenskog niza u vremenskom intervalu koji se proučava, što se objašnjava početnim uslovima daleko od stacionarnog režima. U situacijama kada se vremenska serija formira pod uticajem određenog skupa slučajnih i neslučajnih faktora, analiza pojedinačnih vremenskih serija, kako rezultatskih tako i faktorskih, je od velike važnosti. Ovo je neophodno za ispravnu identifikaciju modela koji se grade na osnovu informacija o procesima koji se proučavaju (vektorske autoregresije, modeli korekcije grešaka, dinamički modeli sa distribuiranim kašnjenjima, itd.).

Prilikom analize vremenskih serija, glavna pažnja se posvećuje proučavanju, opisu i/ili modeliranju njihove strukture. Svrha ovakvih studija je, po pravilu, šira od jednostavnog modeliranja proučavanja relevantnih procesa. Konstruirani model se obično koristi za ekstrapolaciju ili predviđanje vremenske serije, a tada kvalitet prognoze može poslužiti kao koristan kriterij pri izboru između nekoliko alternativnih modela. Izrada dobrih serijskih modela neophodna je i za druge primjene kao što su sezonsko prilagođavanje i izglađivanje. Konačno, konstruisani modeli se mogu koristiti za statističko modeliranje dugih serija posmatranja u proučavanju velikih sistema, za koje se vremenske serije smatraju ulaznom informacijom.

Zbog prisustva grešaka u mjerenju ekonomskih pokazatelja, prisustva slučajnih fluktuacija svojstvenih posmatranim sistemima, vjerovatno-statistički pristup se široko koristi u proučavanju vremenskih serija. U okviru ovog pristupa posmatrana vremenska serija se shvata kao realizacija nekog slučajnog procesa. Istovremeno, implicitno se pretpostavlja da vremenska serija ima neku strukturu koja je razlikuje od niza nezavisnih slučajne varijable, tako da zapažanja nisu skup potpuno nezavisnih numeričkih vrijednosti. (Neki elementi strukture serije mogu se ponekad identifikovati već na osnovu jednostavne vizuelne analize grafa serije. Ovo se, na primer, odnosi na komponente serije kao što su trend i ciklusi.) Obično se pretpostavlja da struktura serije se mogu opisati modelom koji sadrži mali broj parametara u odnosu na broj posmatranja, što je praktično važno kada se model koristi za predviđanje. Primjeri takvih modela su modeli autoregresije, pokretnog prosjeka i njihove kombinacije - modeli AR(p), MA(q), ARMA(p, q), ARIMA(p, k, q).

Prilikom izgradnje modela odnosa na duži rok potrebno je uzeti u obzir činjenicu da analizirana makroekonomska serija ima ili nema stohastički (nedeterministički) trend. Drugim riječima, potrebno je odlučiti da li svaki od nizova koji se razmatra pripada klasi serija koji su stacionarni u odnosu na deterministički trend (ili jednostavno stacionarni) - TS (trend stacionarni) niz, ili klasi serija koji imaju stohastički trend (možda zajedno sa determinističkim trendom) i koji dovode do stacionarne (ili stacionarne u odnosu na deterministički trend) serije samo jednostrukom ili k-strukom diferencijacijom serije - DS (razlika stacionarna) serija. Osnovna razlika između ove dvije klase serija je u tome što u slučaju TS serije, oduzimanje odgovarajućeg determinističkog trenda iz serije dovodi do stacionarni red, dok u slučaju DS serije, oduzimanjem determinističke komponente serije serija ostaje nestacionarna zbog prisustva stohastičkog trenda u njoj.

Poglavlje 1. Glavni zadaci analize vremenskih serija.

Fundamentalne razlike između vremenske serije i niza opservacija koje formiraju slučajni uzorak su sljedeće:

prvo, za razliku od elemenata slučajnog uzorka, članovi vremenske serije nisu nezavisni;

drugo, članovi vremenske serije nisu nužno jednako raspoređeni, pa P(xt< x} P{xt < x} при t t.

To znači da svojstva i pravila Statistička analiza nasumično uzorkovanje se ne može proširiti na vremenske serije. S druge strane, međuzavisnost članova vremenske serije stvara svoju specifičnu osnovu za konstruisanje prediktivnih vrijednosti analiziranog indikatora na osnovu uočenih vrijednosti.

Geneza opservacija koje formiraju vremensku seriju (mehanizam generisanja podataka). Radi se o o strukturi i klasifikaciji glavnih faktora pod čijim uticajem se formiraju vrednosti vremenske serije. U pravilu se razlikuju 4 vrste takvih faktora.

Dugoročno, formirajući opšti (dugoročni) trend u promeni analiziranog obeležja xt. Obično se ovaj trend opisuje korištenjem jedne ili druge neslučajne funkcije ftr(t) (čiji je argument vrijeme), obično monotone. Ova funkcija se zove funkcija trenda ili jednostavno trend.

Sezonsko, formiranje koje se periodično ponavlja određeno vrijeme godine fluktuacije analizirane osobine. Budući da ova funkcija (e) mora biti periodična (sa periodima koji su višestruki od "godišnjih doba"), njen analitički izraz uključuje harmonike ( trigonometrijske funkcije), čija je učestalost, po pravilu, određena sadržajnom suštinom zadatka.

Ciklične (oportunističke), koje formiraju promjene u analiziranoj osobini, uslijed djelovanja dugotrajnih ciklusa ekonomske ili demografske prirode (Kondratijevski valovi, demografske „jame“ itd.) Rezultat djelovanja cikličkih faktora će se označiti koristeći neslučajnu funkciju (t).

Nasumično (nepravilno), nije podložno računovodstvu i registraciji. Njihov utjecaj na formiranje vrijednosti vremenske serije upravo određuje stohastičku prirodu elemenata xt, a samim tim i potrebu tumačenja x1,…, xT kao zapažanja na slučajnim varijablama 1,…, T. će označavati rezultat utjecaja slučajnih faktora korištenjem slučajnih veličina („ostaci“, „greške“) t.

Naravno, uopšte nije neophodno da faktori sva četiri tipa istovremeno učestvuju u procesu formiranja vrednosti bilo koje vremenske serije. Zaključci o tome da li su faktori ovog tipa uključeni u formiranje vrijednosti određene serije ili ne mogu se temeljiti kako na analizi sadržajne suštine problema, tako i na posebnoj statističkoj analizi vremenske serije koja se proučava. . Međutim, u svim slučajevima pretpostavlja se neizostavno učešće slučajnih faktora. Dakle, u opšti pogled model generiranja podataka (sa aditivnim blok dijagramom utjecaja faktora) izgleda ovako:

xt = 1f(t) + 2(t) +3(t) + t. (jedan)

gdje je i = 1 ako su faktori i-tog tipa uključeni u formiranje vrijednosti serije i i = 0 u suprotnom.

Glavni zadaci analize vremenskih serija. Osnovni cilj statističke analize vremenske serije je da se prati postojeća putanja ove serije:

odrediti koje su od neslučajnih funkcija prisutne u ekspanziji (1), tj. odrediti vrijednosti indikatora i;

izgraditi "dobre" procjene za one neslučajne funkcije koje su prisutne u ekspanziji (1);

izabrati model koji adekvatno opisuje ponašanje slučajnih reziduala t i statistički procijeniti parametre ovog modela.

Uspješno rješavanje navedenih zadataka, zbog osnovnog cilja statističke analize vremenskih serija, predstavlja osnovu za postizanje konačnih ciljeva primijenjenog istraživanja i prije svega za rješavanje problema kratkoročnog i srednjoročnog predviđanja. vrijednosti vremenske serije. Predstavimo ukratko glavne elemente ekonometrijske analize vremenskih serija.