Heisenberg noaniqlik printsipi(yoki Geyzenberg) - kvant mexanikasida tizim holatini tavsiflovchi miqdorlarning dispersiyalari mahsuloti uchun pastki (noldan farqli) chegara beruvchi printsipning nomi.

Noaniqlik printsipi odatda quyidagicha tasvirlangan. Keling, ma'lum bir holatda tayyorlangan o'zaro ta'sir qilmaydigan ekvivalent zarralar ansamblini ko'rib chiqaylik, ularning har biri uchun koordinata o'lchanadi. q, yoki impuls p. Bunday holda, o'lchov natijalari bo'ladi tasodifiy o'zgaruvchilar, kimning dispersiyalari noaniqlik munosabatini qanoatlantiradi. E'tibor bering, bizni ma'lum kvant holatida koordinata va impulsning bir vaqtning o'zida qiymatlari qiziqtirsa ham, ularni bir xil zarracha uchun o'lchash mumkin emas, chunki har qanday o'lchov uning holatini o'zgartiradi.

Umumiy ma'noda, noaniqlik aloqasi ishlamaydigan operatorlar tomonidan aniqlangan har qanday holat o'zgaruvchilari o'rtasida paydo bo'ladi. Bu kvant mexanikasining asoslaridan biridir va Berlinda Verner Heisenberg tomonidan kashf etilgan.

Qisqa sharh

Kvant mexanikasidagi noaniqlik printsipi ba'zan shunday izohlanadiki, koordinatani o'lchash zarrachaning impulsiga majburiy ravishda ta'sir qiladi. Ko'rinishidan, Geyzenbergning o'zi hech bo'lmaganda dastlab bu tushuntirishni taklif qilgan. O'lchovning impulsga ta'siri ahamiyatsiz ekanligini quyidagicha ko'rsatish mumkin: bir xil holatda tayyorlangan (o'zaro ta'sir qilmaydigan) zarralar ansamblini ko'rib chiqing; ansambldagi har bir zarra uchun biz impuls yoki pozitsiyani o'lchaymiz, lekin ikkalasini ham emas. O'lchov natijasida biz qiymatlar qandaydir ehtimollik bilan taqsimlanganligini va d p va d q dispersiyalari uchun noaniqlik munosabati to'g'ri ekanligini bilib olamiz.

Heisenberg noaniqlik nisbati har qanday o'lchov aniqligining nazariy chegarasidir. Ular ideal o'lchovlar, ba'zan fon Neyman o'lchovlari deb ataladigan o'lchovlar uchun amal qiladi. Ular ideal bo'lmagan yoki Landau o'lchovlari uchun ko'proq mos keladi.

Shunga ko'ra, har qanday zarrachani (umumiy ma'noda, masalan, diskret elektr zaryadini olib yuruvchi) bir vaqtning o'zida "klassik nuqta zarrasi" va to'lqin sifatida tasvirlab bo'lmaydi. (Ushbu ta'riflarning har qandayining to'g'ri bo'lishi mumkinligi, hech bo'lmaganda, ba'zi hollarda, to'lqin-zarracha ikkilik deb ataladi). Dastlab Heisenberg tomonidan taklif qilingan noaniqlik printsipi qachon to'g'ri bo'ladi yo'q ushbu ikkita tavsifdan to'liq va faqat mos kelmaydi, masalan, ma'lum bir energiya qiymatiga ega bo'lgan qutidagi zarracha; ya'ni xarakterlanmagan tizimlar uchun na ba'zi bir o'ziga xos "pozitsiya" (potentsial devordan masofaning har qanday o'ziga xos qiymati), na impulsning ma'lum bir qiymati (shu jumladan uning yo'nalishi).

Heisenberg noaniqlik munosabatlari va to'lqinlar yoki signallarning xususiyatlari o'rtasida aniq, miqdoriy o'xshashlik mavjud. Vaqt o'zgaruvchan signalni ko'rib chiqing, masalan, tovush to'lqini. Vaqtning istalgan nuqtasida signalning chastota spektri haqida gapirishning ma'nosi yo'q. Chastotani aniq aniqlash uchun signalni bir muncha vaqt kuzatish kerak, shuning uchun vaqtni aniqligini yo'qotadi. Boshqacha qilib aytganda, tovush qisqa puls kabi aniq vaqt qiymatiga va doimiy sof ohang kabi aniq chastota qiymatiga ega bo'lishi mumkin emas. Vaqt bo'yicha to'lqinning vaqtinchalik holati va chastotasi zarrachaning kosmosdagi holati va impulsiga o'xshaydi.

Ta'rif

Agar ma'lum bir holatda tizimning bir nechta bir xil nusxalari tayyorlangan bo'lsa, u holda koordinata va impulsning o'lchangan qiymatlari ma'lum bir ehtimollik taqsimotiga bo'ysunadi - bu kvant mexanikasining asosiy postulatidir. Standart og'ish D qiymatini o'lchash orqali x koordinatalar va standart og'ish D p momentum, biz buni topamiz:

Dirak doimiysi qayerda. Ba'zi hollarda o'zgaruvchining "noaniqligi" qiymatlarning 50% ni o'z ichiga olgan diapazonning eng kichik kengligi sifatida aniqlanadi, bu o'zgaruvchilar normal taqsimlangan taqdirda, mahsulot uchun kattaroq pastki chegaraga olib keladi. noaniqliklar. E'tibor bering, bu tengsizlik bir nechta imkoniyatlarni beradi - davlat shunday bo'lishi mumkin x yuqori aniqlik bilan o'lchash mumkin, lekin keyin p faqat taxminan ma'lum bo'ladi yoki aksincha p aniq belgilash mumkin, while x- Yo'q. Boshqa barcha shtatlarda va x va p"oqilona" (lekin o'zboshimchalik bilan yuqori emas) aniqlik bilan o'lchanishi mumkin.

DA Kundalik hayot Biz odatda noaniqlikni ko'rmaymiz, chunki qiymat juda kichik.

Boshqa xususiyatlar

Ko'pgina qo'shimcha funktsiyalar ishlab chiqilgan, jumladan quyida tavsiflanganlar:

Mavjud Fisher ma'lumotlarining cheklangan miqdori uchun ifoda

Noaniqlik printsipi muqobil ravishda klassik o'lchov nazariyasidagi Kramer-Rao tengsizligining ifodasi sifatida olingan. Zarrachaning holati o'lchangan holatda. Zarrachaning ildiz o'rtacha kvadrat impulsi Fisher ma'lumoti sifatida tengsizlikka kiradi. Shuningdek, to'liq jismoniy ma'lumotga qarang.

Umumiy noaniqlik printsipi

Noaniqlik printsipi faqat pozitsiya va momentumga taalluqli emas. Umumiy shaklda u har bir juftlik uchun amal qiladi konjugat o'zgaruvchilar. Umuman olganda, yuqorida muhokama qilingan pozitsiya va impuls holatidan farqli o'laroq, ikkita konjugat o'zgaruvchining noaniqliklari mahsulotidagi pastki chegara tizimning holatiga bog'liq. Keyin noaniqlik printsipi operator nazariyasida teoremaga aylanadi, biz bu erda taqdim etamiz.

Shuning uchun quyidagi umumiy shakl to'g'ri noaniqlik printsipi, shaharda birinchi marta Xovard Persi Robertson va (mustaqil ravishda) Ervin Shredinger tomonidan yetishtirilgan:

Bu tengsizlik deyiladi Robertson-Shredinger nisbati.

Operator AB − BA kalit deb ataladi A va B va [ sifatida belgilanadi A,B]. Bular uchun x, buning uchun ikkalasi ham ABx va BAx .

Robertson-Shrödinger munosabatidan u darhol kelib chiqadi Heisenberg noaniqlik munosabati:

Faraz qilaylik A va B- ikkita jismoniy miqdorlar, ular o'z-o'zidan qo'shiladigan operatorlar bilan bog'langan. Agar a AB ps va BA ps aniqlanadi, keyin:

Kattalik operatorining o'rtacha qiymati X tizimning ps holatida va

Bundan tashqari, ikkita o'z-o'zidan qo'shiladigan operatorlar mavjud bo'lishi mumkin A va B, bir xil xos vektorga ega ps . Bunday holda, ps bir vaqtning o'zida o'lchanadigan sof holatdir A va B .

Noaniqlik printsipiga bo'ysunadigan umumiy kuzatiladigan o'zgaruvchilar

Oldingi matematik natijalar fizik o'zgaruvchilar o'rtasidagi noaniqlik munosabatlarini qanday topishni, ya'ni o'zgaruvchilar juftligi qiymatlarini aniqlashni ko'rsatadi. A va B, uning kommutatori ma'lum analitik xususiyatlarga ega.

• Eng mashhur noaniqlik aloqasi zarraning kosmosdagi pozitsiyasi va impulsi o'rtasidagi:

• zarrachaning umumiy burchak momenti operatorining ikkita ortogonal komponenti orasidagi noaniqlik munosabati:

• Energiya va vaqt o'rtasidagi quyidagi noaniqlik munosabati ko'pincha fizika darsliklarida keltirilgan, ammo vaqtni ifodalovchi operator yo'qligi sababli uni talqin qilish ehtiyotkorlikni talab qiladi:

Ammo keyin elektron-zarracha devor orqali aniq qayerdan o'tganligini aniq aytish mumkin emas: teshik keng. Impulsni aniqlashning aniqligida qancha g'alaba qozonasiz, shuning uchun siz uning pozitsiyasi ma'lum bo'lgan aniqlikda yo'qotasiz.

Bu Heisenberg noaniqlik printsipi. U atomlardagi zarrachalar to'lqinlarini tasvirlash uchun matematik apparatni qurishda juda muhim rol o'ynadi. Elektronlar bilan o'tkazilgan tajribalarda uning qat'iy talqini shundaki, yorug'lik to'lqinlari singari, elektronlar ham o'lchovlarni maksimal aniqlik bilan amalga oshirishga bo'lgan har qanday urinishlarga qarshilik ko'rsatadi. Bu tamoyil Bor atomining rasmini ham o'zgartiradi. Elektronning ba'zi orbitalaridagi impuls momentini (demak, uning energiya darajasini) aniq aniqlash mumkin, lekin ayni paytda uning joylashuvi mutlaqo noma'lum bo'ladi: uning qaerda joylashgani haqida hech narsa aytish mumkin emas. Bundan ko'rinib turibdiki, elektronning aniq orbitasini chizish va uni doira shaklida belgilashning ma'nosi yo'q.)

Binobarin, koordinataning bir xil ta'rifiga ko'ra, bir xil tizimlarda bir xil tajribalar seriyasini o'tkazishda har safar turli xil natijalar olinadi. Biroq, ba'zi qadriyatlar boshqalarga qaraganda ko'proq bo'ladi, ya'ni ular tez-tez paydo bo'ladi. Koordinataning ma'lum qiymatlari paydo bo'lishining nisbiy chastotasi kosmosdagi tegishli nuqtalarda to'lqin funktsiyasi modulining kvadratiga proportsionaldir. Shuning uchun ko'pincha to'lqin funktsiyasining maksimal qiymatiga yaqin bo'lgan koordinataning qiymatlari olinadi. Ammo ba'zilari koordinata qiymatlarida tarqaladi, ularning ba'zi noaniqligi (maksimumning yarmi kengligi tartibida) muqarrar. Xuddi shu narsa impulsni o'lchash uchun ham amal qiladi.

Shunday qilib, klassik ma'nodagi pozitsiya va impuls tushunchalarini mikroskopik ob'ektlarga qo'llash mumkin emas. Mikroskopik tizimni tavsiflash uchun bu miqdorlardan foydalanganda, ularning talqiniga kvant tuzatishlarini kiritish kerak. Bunday tuzatish noaniqlik tamoyilidir.

Energiya e va vaqt t uchun noaniqlik printsipi biroz boshqacha ma'noga ega:

∆e ∆t ≥ ħ

Agar tizim statsionar holatda bo'lsa, unda noaniqlik printsipidan kelib chiqadiki, tizimning energiyasi, hatto bu holatda ham, faqat ħ/∆t dan oshmaydigan aniqlik bilan o'lchanishi mumkin, bu erda ∆t - bu jarayonning davomiyligi. o'lchash jarayoni. Buning sababi tizimning o'lchash moslamasi bilan o'zaro ta'sirida va bu holatda qo'llaniladigan noaniqlik printsipi o'lchash moslamasi va o'rganilayotgan tizim o'rtasidagi o'zaro ta'sir energiyasini faqat aniqlik bilan hisobga olish mumkinligini anglatadi. ħ/∆t.

Heisenberg noaniqlik munosabati

1920-yillarning boshlarida kvant mexanikasini yaratishga olib kelgan ijodiy fikrlash bo'roni yuzaga kelganda, bu muammoni birinchi marta yosh nemis nazariyotchi fizigi Verner Geyzenberg tan oldi. Dunyoni subatomik darajada tavsiflovchi murakkab matematik formulalardan boshlab, u asta-sekin biz gapirgan o'lchov vositalarining mikrodunyoning o'lchanadigan ob'ektlariga ta'sirining umumiy tavsifini beradigan hayratlanarli darajada oddiy formulaga keldi. Natijada, u noaniqlik printsipini shakllantirdi, endi uning nomi bilan ataladi:

x koordinata qiymatining noaniqligi tezlikning noaniqligi>h/m,

uning matematik ifodasi Geyzenberg noaniqlik munosabati deb ataladi:

DxxDv>h/m

Bu yerda Dx mikrozarracha fazoviy koordinatasining noaniqligi (o‘lchash xatosi), Dv – zarracha tezligining noaniqligi, m – zarrachaning massasi, h – Plank doimiysi, nemis fizigi Maks Plank nomi bilan atalgan. kvant mexanikasi asoschilari. Plank konstantasi taxminan 6,626 x 10-34 Js ni tashkil qiladi, ya'ni u kasrdan keyingi birinchi muhim raqamga 33 nolni o'z ichiga oladi.

Muddati "fazoviy koordinataning noaniqligi" faqat zarrachaning aniq joylashuvini bilmasligimizni anglatadi. Misol uchun, agar siz ushbu kitobning joylashuvini aniqlash uchun global GPS-dan foydalansangiz, tizim ularni 2-3 metr aniqlik bilan hisoblab chiqadi. (GPS, Global Positioning System - bu 24 ta sun'iy Yer sun'iy yo'ldoshidan foydalanadigan navigatsiya tizimi. Agar, masalan, sizning avtomobilingizda GPS qabul qiluvchisi o'rnatilgan bo'lsa, u holda ushbu sun'iy yo'ldoshlardan signallarni qabul qilish va ularning kechikish vaqtini solishtirish orqali tizim sizning geografik joylashuvingizni aniqlaydi. Yerdagi eng yaqin yoy sekundiga qadar koordinatalar.) Biroq, GPS asbobi tomonidan amalga oshirilgan o'lchov nuqtai nazaridan, kitob, ehtimol, tizim tomonidan belgilangan bir necha kvadrat metrning istalgan joyida bo'lishi mumkin. Bunday holda, biz ob'ektning fazoviy koordinatalarining noaniqligi haqida gapiramiz (bu misolda, kitobda). Agar biz GPS o'rniga lenta o'lchovini olsak, vaziyatni yaxshilash mumkin - bu holda biz kitobni, masalan, bir devordan 4 m 11 sm va boshqasidan 1 m 44 sm masofada joylashganligini aytishimiz mumkin. Ammo bu erda ham biz lenta o'lchovining minimal bo'linishi (agar u millimetr bo'lsa ham) va qurilmaning o'zi o'lchash xatolari bilan o'lchashning aniqligi bilan cheklangan - va eng yaxshi holatda, biz buni qila olamiz. shkalaning minimal bo'linishining aniqligi bilan ob'ektning fazoviy holatini aniqlash. Qanchalik aniqroq asbobdan foydalansak, natijalarimiz qanchalik aniq bo'lsa, o'lchov xatosi shunchalik past bo'ladi va noaniqlik kamroq bo'ladi. Aslida, bizning kundalik dunyomizda noaniqlikni nolga kamaytirish va kitobning aniq koordinatalarini aniqlash mumkin.

Va bu erda biz mikrodunyo va bizning kundalik jismoniy dunyomiz o'rtasidagi eng asosiy farqga keldik. Oddiy dunyoda tananing kosmosdagi holati va tezligini o'lchashda biz unga deyarli ta'sir qilmaymiz. Shunday qilib, ideal holda, biz bir vaqtning o'zida ob'ektning tezligini ham, koordinatalarini ham mutlaqo aniq o'lchashimiz mumkin (boshqacha aytganda, noaniqlik bilan).

Dunyoda kvant hodisalari, ammo har qanday o'lchov tizimga ta'sir qiladi. Biz, masalan, zarrachaning joylashishini o'lchashimiz uning tezligining o'zgarishiga olib keladi va buni oldindan aytib bo'lmaydi (va aksincha). Shuning uchun Geyzenberg munosabatining o'ng tomoni nolga teng emas, balki ijobiy qiymatdir. Bir o'zgaruvchiga nisbatan noaniqlik (masalan, Dx) qanchalik kichik bo'lsa, boshqa o'zgaruvchi (Dv) shunchalik noaniq bo'ladi, chunki nisbatning chap tomonidagi ikkita xatoning mahsuloti uning o'ng tomonidagi doimiydan kam bo'lishi mumkin emas. Haqiqatan ham, agar biz nol xato bilan (mutlaqo aniq) o'lchangan kattaliklardan birini aniqlashga muvaffaq bo'lsak, boshqa miqdorning noaniqligi cheksizlikka teng bo'ladi va biz bu haqda umuman hech narsa bilmaymiz. Boshqacha qilib aytganda, agar biz kvant zarrasining koordinatalarini mutlaqo aniq o'rnata olganimizda, uning tezligi haqida zarracha tasavvurga ega bo'lmagan bo'lardik; agar biz zarracha tezligini aniq belgilay olsak, uning qayerda ekanligini bilmas edik. Amalda, albatta, eksperimental fiziklar har doim bu ikki ekstremal o'rtasida qandaydir murosani topishlari va zarrachalarning tezligi va fazoviy holatini oqilona xato bilan hukm qilish imkonini beradigan o'lchash usullarini tanlashlari kerak.

Aslida, noaniqlik printsipi nafaqat fazoviy koordinatalar va tezlikni bog'laydi - bu misolda u o'zini eng aniq namoyon qiladi; noaniqlik mikrozarrachalarning o'zaro bog'liq xususiyatlarining boshqa juftlarini ham teng darajada bog'laydi. Shunga o'xshash fikrlash orqali biz kvant tizimining energiyasini aniq o'lchash va uning ushbu energiyaga ega bo'lgan vaqt momentini aniqlash mumkin emas degan xulosaga kelamiz. Ya'ni, agar biz kvant tizimining energiyasini aniqlash uchun uning holatini o'lchaymiz, bu o'lchov ma'lum vaqtni oladi - keling, uni Dt deb ataymiz. Bu vaqt davomida tizimning energiyasi tasodifiy o'zgaradi - uning tebranishlari sodir bo'ladi - va biz buni ochib bera olmaymiz. Energiyani o'lchash xatosini DE deb belgilaymiz. Yuqoridagiga o'xshash fikr yuritib, biz DE va ​​bu energiyaning kvant zarrasi ega bo'lgan vaqtning noaniqligi uchun o'xshash munosabatga kelamiz:

DED>h

Noaniqlik printsipi bo'yicha yana ikkita muhim fikrni aytish kerak:

Bu zarrachaning ikkita xususiyatidan birini - fazoviy joylashuv yoki tezlikni o'zboshimchalik bilan o'lchash mumkin emasligini anglatmaydi;

Noaniqlik printsipi ob'ektiv ishlaydi va o'lchovlarni amalga oshiradigan oqilona sub'ektning mavjudligiga bog'liq emas.

Ideal o'lchovlar

Kvant mexanikasidagi noaniqlik printsipi ba'zan shunday izohlanadiki, koordinatani o'lchash zarrachaning impulsiga majburiy ravishda ta'sir qiladi. Ko'rinishidan, Geyzenbergning o'zi hech bo'lmaganda dastlab bu tushuntirishni taklif qilgan. O'lchovning impulsga ta'siri ahamiyatsiz ekanligini quyidagicha ko'rsatish mumkin: bir xil holatda tayyorlangan (o'zaro ta'sir qilmaydigan) zarralar ansamblini ko'rib chiqing; ansambldagi har bir zarra uchun biz impuls yoki pozitsiyani o'lchaymiz, lekin ikkalasini ham emas. O'lchov natijasida biz qiymatlar qandaydir ehtimollik bilan taqsimlanganligini va noaniqlik munosabati dp va dq dispersiyalari uchun to'g'ri ekanligini bilib olamiz.

Heisenberg noaniqlik nisbati har qanday o'lchov aniqligining nazariy chegarasidir. Ular ba'zan fon Neyman o'lchovlari deb ataladigan ideal o'lchovlar uchun amal qiladi. Ular ideal bo'lmagan yoki Landau o'lchovlari uchun ko'proq mos keladi.

Shunga ko'ra, har qanday zarrachani (umumiy ma'noda, masalan, diskret elektr zaryadini olib yuruvchi) bir vaqtning o'zida "klassik nuqta zarrasi" va to'lqin sifatida tasvirlab bo'lmaydi. (Ushbu ta'riflarning har qandayining to'g'ri bo'lishi mumkinligi, hech bo'lmaganda, ba'zi hollarda, to'lqin-zarracha ikkilik deb ataladi).

Noaniqlik printsipi, dastlab Heisenberg tomonidan taklif qilinganidek, agar ushbu ikkita tavsifning hech biri to'liq va mutlaqo mos bo'lmasa, to'g'ri bo'ladi, masalan qutidagi zarracha energiyaning ma'lum bir qiymati bilan; ya'ni

hech qanday aniq "pozitsiya" bilan tavsiflanmagan tizimlar uchun (potentsial devordan masofaning har qanday o'ziga xos qiymati), na impulsning ma'lum bir qiymati (shu jumladan uning yo'nalishi).

Heisenberg noaniqlik munosabatlari va to'lqinlar yoki signallarning xususiyatlari o'rtasida aniq, miqdoriy o'xshashlik mavjud. Vaqt o'zgaruvchan signalni ko'rib chiqing, masalan, tovush to'lqini. Vaqtning istalgan nuqtasida signalning chastota spektri haqida gapirishning ma'nosi yo'q. Chastotani aniq aniqlash uchun signalni bir muncha vaqt kuzatish kerak, shuning uchun vaqtni aniqligini yo'qotadi. Boshqacha qilib aytganda, tovush qisqa puls kabi aniq vaqt qiymatiga va doimiy sof ohang kabi aniq chastota qiymatiga ega bo'lishi mumkin emas. Vaqt bo'yicha to'lqinning vaqtinchalik holati va chastotasi zarrachaning kosmosdagi holati va impulsiga o'xshaydi

Xulosa

Fizika paydo bo'lganidan beri har doim illyustrativ va iloji bo'lsa oddiy modellar bilan ishlagan, desak mubolag'a bo'lmaydi - dastlab ular klassik moddiy nuqtalar tizimi edi, keyin esa ularga elektromagnit maydon qo'shildi. mohiyati, shuningdek, kontinuum mexanikasi arsenalidagi vakolatxonalardan foydalanilgan. Bor va Geyzenberg o'rtasidagi munozaralar ushbu tasvirlarni, nazariya amal qiladigan tushunchalarni ulardan faqat tajribada paydo bo'lganlarini ajratib olish uchun qayta ko'rib chiqish zarurligini anglashga olib keldi. Masalan, elektronning orbitasi nima, uni kuzatish mumkinmi? Agar elektronning dual, korpuskulyar-to'lqinli tabiatini hisobga olsak, uning traektoriyasi haqida umuman gapirish mumkinmi? Tajribada faqat haqiqatda kuzatilgan miqdorlarni hisobga oladigan nazariyani qurish mumkinmi?

Bu muammo 1925 yilda yigirma to'rt yoshli Geyzenberg tomonidan hal qilindi, u matritsa mexanikasi deb ataladigan narsani taklif qildi (1932 yil Nobel mukofoti). Ko'p o'tmay, Ervin Shredinger kvant nazariyasining "matritsa" ga teng keladigan boshqa "to'lqinli" versiyasini taklif qildi. Kvant nazariyasi yangi matematik asosga ega edi, ammo masalaning fizik va epistemologik tomoni hali ham tahlil qilinishi kerak edi.

Ushbu tahlil natijasi Heisenberg noaniqlik munosabatlari va Borning to'ldiruvchilik printsipi edi. Koordinatalar va momentlarni o'lchash protseduralarini tahlil qilib, Geyzenberg ular uchun bir vaqtning o'zida va aniq belgilangan koordinatalar va impuls qiymatlarini olish mutlaqo mumkin emas degan xulosaga keldi.

Agar x koordinatasi yoyilgan x bilan, impulsning x o'qidagi proyeksiyasi esa - yoyilgan  bilan aniqlansa. R x bo'lsa, bu tarqalishlar (yoki "noaniqliklar") x r x  munosabati bilan bog'liq. h / 2  , qayerda h Plank doimiysi.

Ilova

Adabiyotlar ro'yxati

Kiril va Metyus ensiklopediyasi (2008)

http://www.elementy.ru

http:// www. eng yaxshi taklif. uz