Bu, en yaygın matris işlemlerinden biridir. Çarpma işleminden sonra elde edilen matrise matris çarpımı denir.

matris ürünü Bir m × n matrise B n × k bir matris olacak Santimetre × köyle ki matris elemanı C konumlanmış i-inci satır ve j-inci sütun, yani eleman c ij toplama eşittir elementlerin ürünleri i matrisin inci satırı A ilgili unsurlar üzerinde j matrisin inci sütunu B.

İşlem matris çarpımları ancak birinci matrisin sütun sayısı ikinci matrisin satır sayısına eşitse mümkündür.

Misal:
Bir matrisi bir matrisle çarpmak mümkün mü?

m =n, bu, matrisin verilerini çarpabileceğiniz anlamına gelir.

Matrisler değiştirilirse, bu tür matrislerle çarpma artık mümkün olmayacaktır.

m≠ n, yani çarpma işlemi yapamazsınız:

Öğrenciye teklif edildiğinde çoğu zaman hileli görevler bulabilirsiniz. matrisleri çarp, çarpması açıkça imkansız.

Lütfen bazen matrisleri her iki şekilde de çarpmanın mümkün olduğunu unutmayın. Örneğin, matrisler için ve muhtemelen çarpma olarak MN, çarpma da öyle NM

Bu çok zor bir eylem değil. Matris çarpımı en iyi şekilde belirli örneklerle anlaşılır: Tek başına tanım çok kafa karıştırıcı olabilir.

En basit örnekle başlayalım:

ile çarpılmalıdır. Her şeyden önce, bu durum için formülü veriyoruz:

- burada iyi bir model var.

ile çarpın.

Bu durum için formül: .

Matris çarpımı ve sonucu:

Sonuç olarak, sözde. boş matris.

Neredeyse her zaman olduğundan, "terimlerin yerlerini yeniden düzenleme kuralının" burada çalışmadığını hatırlamak çok önemlidir. MN≠ NM. Bu nedenle, üreten matris çarpma işlemi hiçbir koşulda değiştirilmemelidirler.

Şimdi üçüncü mertebeden matris çarpımına ilişkin örnekleri ele alalım:

Çarpmak üzerinde .

Formül, öncekilere çok benzer:

Matris çözümü: .

Bu aynı matris çarpımıdır, ikinci matris yerine sadece bir asal sayı alınır. Tahmin edebileceğiniz gibi, bu çarpma işleminin gerçekleştirilmesi çok daha kolaydır.

Bir matrisi bir sayı ile çarpmaya bir örnek:

Burada her şey açık - bir matrisi bir sayı ile çarpma, matrisin her elemanını sırayla belirtilen sayı ile çarpmak gerekir. Bu durumda, 3.

Başka bir yararlı örnek:

- kesirli bir sayı ile matris çarpımı.

Öncelikle ne yapılmaması gerektiğini gösterelim:

Bir matrisi kesirli bir sayı ile çarparken, matrise bir kesir girmek gerekli değildir, çünkü bu, her şeyden önce, yalnızca matrisle ilgili diğer eylemleri karmaşıklaştırır ve ikincisi, öğretmenin çözümü kontrol etmesini zorlaştırır. .

Üstelik, matrisin her bir öğesini -7'ye bölmeye gerek yoktur:

.

Bu durumda yapılması gereken, matrise bir eksi eklemektir:

.

Matrisin tüm elemanlarının 7'ye kalansız bölündüğü bir örneğiniz olsaydı, o zaman bölmek mümkün (ve gerekli!) olurdu.

AT bu örnek matrisin tüm elemanlarını ½ ile çarpmak mümkün ve gereklidir, çünkü matrisin her elemanı 2 ile kalansız bölünebilir.

Not: yüksek matematik teorisinde okul konsepti"bölünme" değildir. "Bu, buna bölünür" ifadesi yerine, her zaman "bu, bir kesirle çarpılır" diyebilirsiniz. Yani bölme işlemi özel durumçarpma işlemi.

Matrislerin ana uygulamaları, işlemle ilgilidir. çarpma işlemi.

Verilen iki matris:

A - beden mn

B - beden n k

Çünkü A matrisindeki satırın uzunluğu, B matrisindeki sütunun yüksekliği ile çakışıyorsa, m boyutlarına sahip olacak C=AB matrisini tanımlayabilirsiniz. k. eleman keyfi bir i'inci satırda (i=1,…,m) ve keyfi bir j'inci sütunda (j=1,…,k) bulunan matris C, tanım gereği iki vektörün skaler çarpımına eşittir.
: A matrisinin i. satırı ve B matrisinin j. sütunu:

Özellikler:

Bir A matrisini bir λ sayısıyla çarpma işlemi nasıl belirlenir?

A'nın λ sayısı ile çarpımı, her elemanı A'nın ilgili elemanının λ ile çarpımına eşit olan bir matristir. Sonuç: Tüm matris elemanlarının ortak çarpanı, matris işaretinden çıkarılabilir.

13. Ters matrisin tanımı ve özellikleri.

Tanım. Koşulu sağlayan aynı mertebeden X ve A kare matrisleri varsa:

burada E, A matrisi ile aynı mertebeden birim matristir, o zaman X matrisi denir tersi A matrisine ve A-1 ile gösterilir.

ters matrislerin özellikleri

Ters matrislerin aşağıdaki özelliklerini gösterelim:

1) (A -1) -1 = A;

2) (AB) -1 = B -1 Bir -1

3) (AT) -1 = (A -1) T .

1. Bir ters matris varsa, o zaman benzersizdir.

2. Her sıfırdan farklı değil Kare matris tersi var.

14. Determinantların temel özelliklerini veriniz.|AB|=|A|*|B| özelliğini kontrol edin matrisler için

bir= ve B=

Belirleyicilerin özellikleri:

1. Determinantın herhangi bir satırı sıfırlardan oluşuyorsa, determinantın kendisi sıfıra eşittir.

2. İki dizi değiştirildiğinde, determinant -1 ile çarpılır.

3. İki özdeş diziye sahip determinant sıfıra eşittir.

4. Herhangi bir satırın elemanlarının ortak böleni determinantın işaretinden çıkarılabilir.

5. A determinantının belirli bir satırının elemanları iki terimin toplamı olarak sunulursa, determinantın kendisi iki determinant B ve D'nin toplamına eşittir. B determinantında, belirtilen dize ilk oluşur terimler, ikinci terimlerin D'sinde. Belirleyici B ve D'nin kalan satırları A'daki ile aynıdır.

6. Dizilerden birine başka bir dizi eklenir ve herhangi bir sayı ile çarpılırsa determinantın değeri değişmez.

7. Herhangi bir satırın öğelerinin ve başka bir satırın karşılık gelen öğelerine cebirsel eklemelerin toplamı 0'dır.

8. A matrisinin determinantı, devrik A m matrisinin determinantına eşittir, yani. determinant transpoze edildiğinde değişmez.

15. Bir karmaşık sayının modülünü ve bağımsız değişkenini tanımlayın. √3+ sayılarını trigonometrik biçimde yazıni, -1+ i.

Her z=a+ib karmaşık sayısına bir (a,b)€R 2 vektörü atanabilir. Bu vektörün uzunluğu, √a 2 + b 2'ye eşittir. karmaşık sayı modülü z ve |z| ile gösterilir. Verilen vektör ile Öküz ekseninin pozitif yönü arasındaki φ açısına denir. karmaşık sayı bağımsız değişkeni z ve arg z ile gösterilir.

Herhangi bir karmaşık sayı z≠0, z=|z|(cosφ +isinφ) olarak temsil edilebilir.

Karmaşık bir sayının bu şekilde yazılmasına trigonometrik denir.

√3+i=2(√3/2+1/2i)=2(cosπ/6+isinπ/6);

1+i=2(-√2/2+i√2/2)=2(cosπ/4+isinπ/4).

Her karmaşık sayı Z = a + ib'ye R^2'ye ait bir vektör (a; b) atanabilir. a^2 + b^2'nin CV'sine eşit olan bu vektörün uzunluğuna karmaşık sayının modülü denir ve Z modülü ile gösterilir. Bu vektör ile Öküz ekseninin pozitif yönü arasındaki açıya denir. karmaşık sayının bağımsız değişkeni (arg Z ile gösterilir).

Tanım.İki matrisin ürünü VE ve AT denilen matris İTİBAREN, kesişme noktasında bulunan elemanı i-inci satır ve j-inci sütun, elemanların çarpımlarının toplamına eşittir i matrisin -inci satırı VE karşılık gelen (sırayla) öğeler üzerinde j matrisin -inci sütunu AT.

Bu tanım, matris elemanının formülünü ima eder. C:

matris ürünü VE matrise AT belirtilen AB.

örnek 1İki matrisin çarpımını bulun VE ve B, Eğer

,

.

Karar. İki matrisin çarpımını bulmak uygundur VE ve ATŞekil 2'deki gibi yazın:

Diyagramda gri oklar, matrisin hangi satırının elemanlarını göstermektedir. VE matrisin hangi sütununun elemanları üzerinde AT matrisin elemanlarını elde etmek için çarpmak gerekir İTİBAREN ve matris öğesinin renkleri C matrislerin karşılık gelen elemanları bağlanır A ve B bir matris elemanı elde etmek için ürünleri eklenen C.

Sonuç olarak, matrislerin çarpımının elemanlarını elde ederiz:

Şimdi iki matrisin çarpımını yazmak için her şeye sahibiz:

.

İki matrisin çarpımı AB yalnızca matrisin sütun sayısı olduğunda anlamlıdır VE matris satırlarının sayısıyla eşleşir AT.

Aşağıdaki hatırlatıcıları daha sık kullanırsanız, bu önemli özelliği hatırlamanız daha kolay olacaktır:

Matrislerin satır ve sütun sayılarına göre çarpımının bir başka önemli özelliği daha vardır:

matrislerin çarpımında AB satır sayısı matris satır sayısına eşittir VE, ve sütun sayısı matrisin sütun sayısına eşittir AT .

Örnek 2 Bir matrisin satır ve sütun sayısını bulma C iki matrisin ürünü olan A ve B aşağıdaki boyutlar:

a) 2 X 10 ve 10 X 5;

b) 10X2 ve 2X5;

Örnek 3 Matrislerin çarpımını bulun A ve B, Eğer:

.

A B- 2. Bu nedenle, matrisin boyutu C = AB- 2x2.

Matris öğelerini hesapla C = AB.

Matrislerin bulunan çarpımı: .

Bu ve buna benzer diğer sorunların çözümünü şu adresten kontrol edebilirsiniz: çevrimiçi matris ürün hesaplayıcısı .

Örnek 5 Matrislerin çarpımını bulun A ve B, Eğer:

.

Karar. Matristeki satır sayısı A- 2, matristeki sütun sayısı B C = AB- 2X1.

Matris öğelerini hesapla C = AB.

Matrislerin çarpımı bir sütun matrisi olarak yazılacaktır: .

Bu ve buna benzer diğer sorunların çözümünü şu adresten kontrol edebilirsiniz: çevrimiçi matris ürün hesaplayıcısı .

Örnek 6 Matrislerin çarpımını bulun A ve B, Eğer:

.

Karar. Matristeki satır sayısı A- 3, matristeki sütun sayısı B- 3. Bu nedenle, matrisin boyutu C = AB- 3x3.

Matris öğelerini hesapla C = AB.

Matrislerin bulunan ürünü: .

Bu ve buna benzer diğer sorunların çözümünü şu adresten kontrol edebilirsiniz: çevrimiçi matris ürün hesaplayıcısı .

Örnek 7 Matrislerin çarpımını bulun A ve B, Eğer:

.

Karar. Matristeki satır sayısı A- 1, matristeki sütun sayısı B- 1. Sonuç olarak, matrisin boyutu C = AB- 1X1.

Matrisin elemanını hesapla C = AB.

Matrislerin çarpımı, bir elemanın matrisidir: .

Bu ve buna benzer diğer sorunların çözümünü şu adresten kontrol edebilirsiniz: çevrimiçi matris ürün hesaplayıcısı .

C++'da iki matrisin ürününün yazılım uygulaması "Bilgisayarlar ve Programlama" bloğundaki ilgili makalede tartışılmaktadır.

Bir matrisi bir kuvvete yükseltmek, bir matrisi aynı matrisle çarpmak olarak tanımlanır. Matrislerin çarpımı yalnızca birinci matrisin sütun sayısı ikinci matrisin satır sayısıyla aynı olduğunda var olduğundan, yalnızca kare matrisler bir güce yükseltilebilir. n matrisi kendisi ile çarparak bir matrisin inci kuvveti n bir Zamanlar:

Örnek 8 Verilen bir matris. Bulmak A² ve A³ .

Matrislerin çarpımını kendiniz bulun ve sonra çözümü görün

Örnek 9 Verilen bir matris

Verilen matris ile devrik matrisin çarpımını, devrik matris ile verilen matrisin çarpımını bulun.

Mülk 1. Hem sağda hem de solda karşılık gelen mertebeden herhangi bir A matrisinin ve E birim matrisinin çarpımı, A matrisiyle çakışır, yani AE = EA = A.

Başka bir deyişle, birim matrisin matris çarpımındaki rolü, birimlerin sayıların çarpımındaki rolü ile aynıdır.

Örnek 10 Matrisin ürünlerini bularak 1. özelliğin doğru olduğundan emin olun

sağdaki ve soldaki kimlik matrisine.

Karar. matris beri VEüç sütun içeriyorsa, ürünü bulmanız gerekir AE, nerede

-
üçüncü dereceden kimlik matrisi. İşin unsurlarını bulalım İTİBAREN = AE :

Şekline dönüştü AE = VE .

şimdi işi bulalım EA, nerede e A matrisi iki satır içerdiğinden, ikinci dereceden birim matristir. İşin unsurlarını bulalım İTİBAREN = EA :

Matrislerin çarpımı (C=AB), yalnızca tutarlı A ve B matrisleri için bir işlemdir; burada A matrisinin sütun sayısı, B matrisinin satır sayısına eşittir:

C ⏟ m × n = A ⏟ m × p × B ⏟ p × n

örnek 1

Matris verileri:

• A = m × n boyutlarında a (i j);
• B = b (i j) p × n

C ij öğeleri aşağıdaki formülle hesaplanan C matrisi:

c ben j = a ben 1 × b 1 j + a ben 2 × b 2 j + . . . + a ben p × b p j , ben = 1 , . . . m , j = 1 , . . . m

Örnek 2

AB=BA çarpımlarını hesaplayalım:

A = 1 2 1 0 1 2 , B = 1 0 0 1 1 1

Matris çarpma kuralını kullanarak çözüm:

A ⏟ 2 × 3 × B ⏟ 3 × 2 = 1 2 1 0 1 2 × 1 0 0 1 1 1 = 1 × 1 + 2 × 0 + 1 × 1 1 × 0 + 2 × 1 + 1 × 1 0 × 1 + 1 × 0 + 2 × 1 0 × 0 + 1 × 1 + 2 × 1 = = 2 3 2 3 ⏟ 2 × 2

B ⏟ 3 × 2 × A ⏟ 2 × 3 = 1 0 0 1 1 1 × 1 2 1 0 1 2 = 1 × 1 + 0 × 0 1 × 2 + 0 × 1 1 × 1 + 0 × 2 0 × 1 + 1 × 0 0 × 2 + 1 × 1 0 × 1 + 1 × 2 1 × 1 + 1 × 0 1 × 2 + 1 × 1 1 × 1 + 1 × 2 = 1 2 1 0 1 2 1 3 3 ⏟ 3×3

A B ve B A çarpımı bulunur, ancak bunlar farklı boyutlarda matrislerdir: A B, B A'ya eşit değildir.

Matris çarpımının özellikleri

Matris çarpma özellikleri:

• (A B) C = A (B C) - matris çarpımının ilişkilendirilebilirliği;
• A (B + C) \u003d A B + A C - dağıtıcı çarpma;
• (A + B) C \u003d A C + B C - çarpmanın dağılımı;
• λ (A B) = (λ A) B

Özellik #1'i kontrol edin: (A B) C = A (B C) :

(A × B) × A = 1 2 3 4 × 5 6 7 8 × 1 0 0 2 = 19 22 43 50 × 1 0 0 2 = 19 44 43 100,

A (B × C) = 1 2 3 4 × 5 6 7 8 1 0 0 2 = 1 2 3 4 × 5 12 7 16 = 19 44 43 100 .

Örnek 2

2 numaralı özelliği kontrol ediyoruz: A (B + C) \u003d A B + A C:

A × (B + C) = 1 2 3 4 × 5 6 7 8 + 1 0 0 2 = 1 2 3 4 × 6 6 7 10 = 20 26 46 58,

A B + A C \u003d 1 2 3 4 × 5 6 7 8 + 1 2 3 4 × 1 0 0 2 \u003d 19 22 43 50 + 1 4 3 8 \u003d 20 26 46 58 .

Üç matrisin çarpımı

A B C üç matrisinin çarpımı 2 şekilde hesaplanır:

• A B'yi bulun ve C ile çarpın: (AB) C;
• veya önce B C'yi bulun ve ardından A (B C) ile çarpın.

Matrisleri 2 şekilde çarpın:

4 3 7 5 × - 28 93 38 - 126 × 7 3 2 1

Eylem algoritması:

• 2 matrisin çarpımını bulun;
• sonra tekrar 2 matrisin çarpımını bulun.

1). A B \u003d 4 3 7 5 × - 28 93 38 - 126 \u003d 4 (- 28) + 3 × 38 4 × 93 + 3 (- 126) 7 (- 28) + 5 × 38 7 × 93 + 5 (- 126) = 2 - 6 - 6 21

2). A B C = (A B) C = 2 - 6 - 6 21 7 3 2 1 = 2 × 7 - 6 × 2 2 × 3 - 6 × 1 - 6 × 7 + 21 × 2 - 6 × 3 + 21 × 1 = 2 0 0 3 .

A B C \u003d (AB) C formülünü kullanıyoruz:

1). B C = - 28 93 38 - 126 7 3 2 1 = - 28 × 7 + 93 × 2 - 28 × 3 + 93 × 1 38 × 7 - 126 × 2 38 × 3 - 126 × 1 = - 10 9 14 - 12

2). A B C \u003d (A B) C \u003d 7 3 2 1 - 10 9 14 - 12 \u003d 4 (- 10) + 3 × 14 4 × 9 + 3 (- 12) 7 (- 10) + 5 × 14 7 × 9 + 5 (- 12) = 2 0 0 3

Cevap: 4 3 7 5 - 28 93 38 - 126 7 3 2 1 = 2 0 0 3

Bir Matrisi Bir Sayıyla Çarpmak

A matrisinin k sayısına göre ürünü, aynı boyuttaki B \u003d A k matrisidir ve orijinalinden, tüm öğelerinin belirli bir sayısı ile çarpılarak elde edilir:

b ben , j = k × bir ben , j

Bir matrisi bir sayı ile çarpmanın özellikleri:

• 1 × bir = bir
• 0 × A = sıfır matris
• k(A + B) = kA + kB
• (k + n) bir = k bir + n bir
• (k×n)×A = k(n×A)

A \u003d 4 2 9 0 matrisinin 5 ile çarpımını bulun.

5 A = 5 4 2 9 0 5 × 4 5 × 2 5 × 9 5 × 0 = 20 10 45 0

Bir matrisin bir vektörle çarpımı

Bir matrisin ve bir vektörün çarpımını bulmak için satır sütun kuralına göre çarpmanız gerekir:

• bir matrisi bir sütun vektörüyle çarparsanız, matristeki sütun sayısı sütun vektöründeki satır sayısıyla eşleşmelidir;
• bir sütun vektörünün çarpılmasının sonucu yalnızca bir sütun vektörüdür:

A B = a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ a m 1 a m 2 ⋯ a m n b 1 b 2 ⋯ b 1 n = a 11 × b 1 + a 12 × b 2 + ⋯ + a 1 n × b n a 21 × b 1 + a 22 × b 2 + ⋯ + a 2 n × b n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ a m 1 × b 1 + a m 2 × b 2 + ⋯ + a m n × b n = c 1 c 2 ⋯ c 1 m

• bir matrisi bir satır vektörüyle çarparsanız, çarpılacak matrisin yalnızca bir sütun vektörü olması ve sütun sayısının satır vektöründeki sütun sayısıyla eşleşmesi gerekir:

A B = a a ⋯ a b b ⋯ b = a 1 × b 1 a 1 × b 2 ⋯ a 1 × b n a 2 × b 1 a 2 × b 2 ⋯ a 2 × b n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ a n × b 1 a n × b 2 ⋯ bir n × b n = c 11 c 12 ⋯ c 1 n c 21 c 22 ⋯ c 2 n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ c n 1 c n 2 ⋯ c n n

Örnek 5

A matrisi ile B sütun vektörünün çarpımını bulun:

A B \u003d 2 4 0 - 2 1 3 - 1 0 1 1 2 - 1 \u003d 2 × 1 + 4 × 2 + 0 × (- 1) - 2 × 1 + 1 × 2 + 3 × (- 1) - 1 × 1 + 0 × 2 + 1 × (- 1) = 2 + 8 + 0 - 2 + 2 - 3 - 1 + 0 - 1 = 10 - 3 - 2

Örnek 6

A matrisi ile B satır vektörünün çarpımını bulun:

A \u003d 3 2 0 - 1, B \u003d - 1 1 0 2

A B = 3 2 0 1 × - 1 1 0 2 = 3 × (- 1) 3 × 1 3 × 0 3 × 2 2 × (- 1) 2 × 1 2 × 0 2 × 2 0 × (- 1) 0 × 1 0 × 0 0 × 2 1 × (- 1) 1 × 1 1 × 0 1 × 2 = - 3 3 0 6 - 2 2 0 4 0 0 0 0 - 1 1 0 2

Cevap: A B \u003d - 3 3 0 6 - 2 2 0 4 0 0 0 0 - 1 1 0 2

Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen onu vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.

Bu nedenle, önceki derste, matrislerle toplama ve çıkarma kurallarını inceledik. Bunlar o kadar basit işlemlerdir ki, çoğu öğrenci onları kelimenin tam anlamıyla yarasadan anlar.

Ancak, erken sevinirsiniz. Bedava oyun bitti - hadi çarpma işlemine geçelim. Hemen uyarayım: iki matrisi çarpmak sandığınız gibi aynı koordinatlara sahip hücrelerdeki sayıları çarpmak değildir. Burada her şey çok daha eğlenceli. Ve ön tanımlarla başlamalısınız.

tutarlı matrisler

Bir matrisin en önemli özelliklerinden biri boyutudur. Bundan zaten yüzlerce kez bahsettik: $A=\left[ m\times n \right]$, matrisin tam olarak $m$ satırı ve $n$ sütunu olduğu anlamına gelir. Satırları sütunlarla nasıl karıştırmayacağımızı zaten tartışmıştık. Şimdi başka bir şey önemli.

Tanım. Birinci matristeki sütun sayısının aynı olduğu $A=\left[ m\times n \right]$ ve $B=\left[ n\times k \right]$ biçimindeki matrisler ikincideki satır sayısı, tutarlı olarak adlandırılır.

Bir kez daha: ilk matristeki sütun sayısı, ikincideki satır sayısına eşittir! Bundan aynı anda iki sonuç çıkarıyoruz:

1. Matrislerin sırasını önemsiyoruz. Örneğin, $A=\left[ 3\times 2 \right]$ ve $B=\left[ 2\times 5 \right]$ matrisleri tutarlıdır (birinci matriste 2 sütun ve ikincide 2 satır) , ancak tersi — $B=\left[ 2\times 5 \right]$ ve $A=\left[ 3\times 2 \right]$ matrisleri artık tutarlı değildir (ilk matristeki 5 sütun şu şekildedir: ikinci sırada 3 sıra değildi).
2. Tüm boyutları birbiri ardına yazarsanız tutarlılığı kontrol etmek kolaydır. Önceki paragraftaki örneği kullanarak: "3 2 2 5" - aynı sayılar ortadadır, bu nedenle matrisler tutarlıdır. Ama “2 5 3 2” ortada farklı sayılar olduğu için anlaşılmıyor.

Ayrıca, kaptan aynı boyuttaki kare matrislerin $\left[ n\times n \right]$ her zaman tutarlı olduğunu ima ediyor gibi görünüyor.

Matematikte, nesnelerin numaralandırma sırası önemli olduğunda (örneğin, yukarıda tartışılan tanımda, matrislerin sırası önemlidir), genellikle sıralı çiftlerden söz edilir. Onlarla okulda tanışmıştık: Bence $\left(1;0 \right)$ ve $\left(0;1 \right)$ koordinatlarını tanımlamanın hiç akıllıca olmadığını düşünüyorum farklı noktalar yüzeyde.

Yani: koordinatlar aynı zamanda sayılardan oluşan sıralı çiftlerdir. Ancak hiçbir şey sizi böyle bir matris çifti yapmaktan alıkoyamaz. O zaman şunu söylemek mümkün olacaktır: "Birinci matristeki sütun sayısı ikincideki satır sayısıyla aynıysa, sıralı bir matris çifti $\left(A;B \right)$ tutarlıdır. "

Peki ne olmuş?

multiplication'un tanımı

İki tutarlı matris düşünün: $A=\left[ m\times n \right]$ ve $B=\left[ n\times k \right]$. Ve onlar için çarpma işlemini tanımlarız.

Tanım. İki tutarlı matris $A=\left[ m\times n \right]$ ve $B=\left[ n\times k \right]$'ın çarpımı yeni matris $C=\left[ m\times k \ sağ] $, elemanları aşağıdaki formüle göre hesaplanır:

\[\begin(hizala) & ((c)_(i;j))=((a)_(i;1))\cdot ((b)_(1;j))+((a)_ (i;2))\cdot ((b)_(2;j))+\ldots +((a)_(i;n))\cdot ((b)_(n;j))= \\ & =\sum\limits_(t=1)^(n)(((a)_(i;t))\cdot ((b)_(t;j))) \end(align)\]

Böyle bir ürün standart şekilde gösterilir: $C=A\cdot B$.

Bu tanımı ilk kez görenlerin aklına hemen iki soru geliyor:

1. Bu ne tür bir vahşi oyun?
2. Neden bu kadar zor?

İlk önce ilk şeyler. İlk sorudan başlayalım. Tüm bu endeksler ne anlama geliyor? Ve gerçek matrislerle çalışırken nasıl hata yapılmaz?

Her şeyden önce, $((c)_(i;j))$ hesaplamak için uzun satırın (karışmamak için indeksler arasına özellikle noktalı virgül koyun, ancak bunları koymanıza gerek yok) not ediyoruz. genel - Tanımdaki formülü yazmaktan kendim bıktım) gerçekten basit bir kurala indirgeniyor:

1. İlk matristeki $i$-th satırını alın;
2. İkinci matristeki $j$-th sütununu alın;
3. İki sayı dizisi elde ederiz. Bu dizilerin elemanlarını aynı sayılarla çarpıyoruz ve sonra ortaya çıkan ürünleri topluyoruz.

Bu işlemi resimden anlamak kolaydır:

Bir kez daha: birinci matristeki $i$ satırını, ikinci matristeki $j$ sütununu düzeltiriz, elemanları aynı sayılarla çarparız ve sonra elde edilen ürünleri toplarız - $((c)_(ij) elde ederiz )$. Ve böylece tüm $1\le i\le m$ ve $1\le j\le k$ için. Onlar. toplamda $m\time k$ bu tür "sapıklıklar" olacaktır.

Aslında, matris çarpımı ile daha önce tanışmıştık. Okul müfredatı, sadece çok indirgenmiş bir biçimde. Vektörler verilsin:

\[\begin(hizala) & \vec(a)=\left(((x)_(a));((y)_(a));((z)_(a)) \sağ); \\ & \overrightarrow(b)=\left(((x)_(b));((y)_(b));((z)_(b)) \sağ). \\ \end(hizala)\]

O zaman skaler çarpımları tam olarak ikili çarpımların toplamı olacaktır:

\[\overrightarrow(a)\times \overrightarrow(b)=((x)_(a))\cdot ((x)_(b))+((y)_(a))\cdot ((y) )_(b))+((z)_(a))\cdot ((z)_(b))\]

Aslında, ağaçların daha yeşil ve gökyüzünün daha parlak olduğu o uzak yıllarda, $\overrightarrow(a)$ satır vektörünü $\overrightarrow(b)$ sütun vektörüyle çarpmıştık.

Bugün hiçbir şey değişmedi. Sadece şimdi bu satır ve sütun vektörlerinden daha fazlası var.

Ama yeterli teori! Şuna bakalım gerçek örnekler. Ve en baştan başlayalım basit durum kare matrislerdir.

Kare matrislerin çarpımı

Görev 1. Çarpmayı gerçekleştirin:

\[\left[ \begin(dizi)(*(35)(r)) 1 & 2 \\ -3 & 4 \\\end(dizi) \sağ]\cdot \left[ \begin(dizi)(* (35)(r)) -2 & 4 \\ 3 & 1 \\\end(dizi) \sağ]\]

Karar. Yani iki matrisimiz var: $A=\left[ 2\times 2 \right]$ ve $B=\left[ 2\times 2 \right]$. Tutarlı oldukları açıktır (aynı boyuttaki kare matrisler her zaman tutarlıdır). Böylece çarpma işlemini yaparız:

\[\begin(hizala) & \left[ \begin(dizi)(*(35)(r)) 1 & 2 \\ -3 & 4 \\\end(dizi) \sağ]\cdot \left[ \ begin(dizi)(*(35)(r)) -2 & 4 \\ 3 & 1 \\\end(dizi) \sağ]=\left[ \begin(dizi)(*(35)(r)) 1\cdot \left(-2 \right)+2\cdot 3 & 1\cdot 4+2\cdot 1 \\ -3\cdot \left(-2 \right)+4\cdot 3 & -3\cdot 4+4\cdot 1 \\\end(dizi) \sağ]= \\ & =\left[ \begin(dizi)(*(35)(r)) 4 & 6 \\ 18 & -8 \\\ end(dizi)\sağ]. \end(hizala)\]

Bu kadar!

Yanıt: $\left[ \begin(dizi)(*(35)(r))4 & 6 \\ 18 & -8 \\\end(dizi) \sağ]$.

Görev 2. Çarpmayı gerçekleştirin:

\[\left[ \begin(matris) 1 & 3 \\ 2 & 6 \\\end(matris) \sağ]\cdot \left[ \begin(dizi)(*(35)(r))9 & 6 \\ -3 & -2 \\\end(dizi) \sağ]\]

Karar. Yine tutarlı matrisler, bu nedenle aşağıdaki işlemleri gerçekleştiriyoruz:\[\]

\[\begin(hizala) & \left[ \begin(matris) 1 & 3 \\ 2 & 6 \\\end(matris) \sağ]\cdot \left[ \begin(dizi)(*(35)( r)) 9 & 6 \\ -3 & -2 \\\end(dizi) \sağ]=\left[ \begin(dizi)(*(35)(r)) 1\cdot 9+3\cdot \ left(-3 \right) & 1\cdot 6+3\cdot \left(-2 \right) \\ 2\cdot 9+6\cdot \left(-3 \right) & 2\cdot 6+6\ cdot \left(-2 \right) \\\end(dizi) \right]= \\ & =\left[ \begin(matris) 0 & 0 \\ 0 & 0 \\\end(matris) \sağ] . \end(hizala)\]

Gördüğünüz gibi, sonuç sıfırlarla dolu bir matristir.

Yanıt: $\left[ \begin(matris) 0 & 0 \\ 0 & 0 \\\end(matris) \right]$.

Yukarıdaki örneklerden, matris çarpımının o kadar karmaşık bir işlem olmadığı açıktır. En azından 2'ye 2 kare matrisler için.

Hesaplama sürecinde, belirli bir hücreye hangi sayıların dahil edildiğini doğrudan boyadığımız bir ara matris derledik. Gerçek problemleri çözerken yapılması gereken tam olarak budur.

Matris ürününün temel özellikleri

Kısaca. Matris çarpımı:

1. Değişmeli olmayan: genel olarak $A\cdot B\ne B\cdot A$. Elbette $A\cdot B=B\cdot A$ eşitliğine sahip özel matrisler vardır (örneğin, $B=E$ birim matris ise), ancak çoğu durumda bu işe yaramaz ;
2. İlişkisel: $\left(A\cdot B \right)\cdot C=A\cdot \left(B\cdot C \right)$. Burada seçenek yoktur: bitişik matrisler, bu iki matrisin solunda ve sağında ne olduğu endişesi olmadan çarpılabilir.
3. Dağılımsal olarak: $A\cdot \left(B+C \right)=A\cdot B+A\cdot C$ ve $\left(A+B \right)\cdot C=A\cdot C+B\cdot C $

Ve şimdi - hepsi aynı, ancak daha ayrıntılı olarak.

Matris çarpımı, klasik sayı çarpımına çok benzer. Ama farklılıklar var ki en önemlisi matris çarpımı, genel olarak konuşursak, değişmeli değildir.

Problem 1'deki matrisleri tekrar ele alalım. Doğrudan çarpımlarını zaten biliyoruz:

\[\left[ \begin(dizi)(*(35)(r)) 1 & 2 \\ -3 & 4 \\\end(dizi) \sağ]\cdot \left[ \begin(dizi)(* (35)(r)) -2 & 4 \\ 3 & 1 \\\end(dizi) \sağ]=\left[ \begin(dizi)(*(35)(r))4 & 6 \\ 18 & -8 \\\end(dizi) \sağ]\]

Ancak matrisleri değiştirirsek tamamen farklı bir sonuç elde ederiz:

\[\left[ \begin(dizi)(*(35)(r)) -2 & 4 \\ 3 & 1 \\\end(dizi) \sağ]\cdot \left[ \begin(dizi)(* (35)(r)) 1 & 2 \\ -3 & 4 \\\end(dizi) \sağ]=\left[ \begin(matris) -14 & 4 \\ 0 & 10 \\\end(matris) )\sağ]\]

$A\cdot B\ne B\cdot A$ olduğu ortaya çıktı. Ayrıca, çarpma işlemi yalnızca tutarlı $A=\left[ m\times n \right]$ ve $B=\left[ n\times k \right]$ matrisleri için tanımlanır, ancak bunların kalacağını kimse garanti etmez değiştirilirlerse tutarlıdır. Örneğin, $\left[ 2\times 3 \right]$ ve $\left[ 3\times 5 \right]$ matrisleri bu sırada oldukça tutarlıdır, ancak aynı matrisler $\left[ 3\times 5 \ right] $ ve $\left[ 2\times 3 \right]$ artık eşleşmiyor. Üzüntü :(

Belirli bir $n$ büyüklüğündeki kare matrisler arasında, hem doğrudan hem de ters sırada çarpıldığında aynı sonucu verenler her zaman olacaktır. Tüm bu tür matrislerin (ve genel olarak kaç tanesinin) nasıl açıklanacağı ayrı bir ders konusu. Bugün bunun hakkında konuşmayacağız. :)

Bununla birlikte, matris çarpımı ilişkiseldir:

\[\left(A\cdot B \sağ)\cdot C=A\cdot \left(B\cdot C \sağ)\]

Bu nedenle, arka arkaya birkaç matrisi aynı anda çarpmanız gerektiğinde, bunu önceden yapmak hiç gerekli değildir: çarpıldığında bazı bitişik matrislerin vermesi oldukça olasıdır. ilginç sonuç. Örneğin, yukarıda tartışılan Problem 2'deki gibi bir sıfır matrisi.

Gerçek problemlerde, çoğunlukla $\left[ n\times n \right]$ boyutunda kare matrisler çarpılmalıdır. Tüm bu tür matrislerin kümesi $((M)^(n))$ ile gösterilir (yani, $A=\left[ n\times n \right]$ ve \ girdileri aynı anlama gelir) ve kesinlikle $E$ matrisi içerir, buna birim matris denir.

Tanım. $n$ boyutunda kimlik matrisi, herhangi bir $A=\left[ n\times n \right]$ kare matrisi için eşitliğin geçerli olduğu bir $E$ matrisidir:

Böyle bir matris her zaman aynı görünür: ana köşegeninde birimler ve diğer tüm hücrelerde sıfırlar vardır.

\[\begin(hizala) & A\cdot \left(B+C \right)=A\cdot B+A\cdot C; \\ & \left(A+B \right)\cdot C=A\cdot C+B\cdot C. \\ \end(align)\]

Başka bir deyişle, bir matrisi diğer ikisinin toplamı ile çarpmanız gerekiyorsa, onu bu "diğer iki" ile çarpabilir ve ardından sonuçları toplayabilirsiniz. Uygulamada, genellikle ters işlemi yapmanız gerekir: aynı matrisi fark ederiz, parantezden çıkarırız, toplama yaparız ve böylece hayatımızı kolaylaştırırız. :)

Dağılımı tanımlamak için iki formül yazmamız gerektiğine dikkat edin: toplamın ikinci faktörde olduğu yerde ve toplamın birincide olduğu yerde. Bunun nedeni, matris çarpımının değişmeli olmamasıdır (ve genel olarak, değişmeli olmayan cebirde, sıradan sayılarla çalışırken akla bile gelmeyen her türden pek çok şaka vardır). Ve örneğin, sınav sırasında bu özelliği yazmanız gerekiyorsa, o zaman her iki formülü de yazdığınızdan emin olun, aksi takdirde öğretmen biraz kızabilir.

Tamam, bunların hepsi kare matrislerle ilgili peri masallarıydı. Dikdörtgenler ne olacak?

Dikdörtgen matrisler durumu

Ama hiçbir şey - her şey kare olanlarla aynı.

Görev 3. Çarpmayı gerçekleştirin:

\[\left[ \begin(matris) \begin(matris) 5 \\ 2 \\ 3 \\\end(matris) & \begin(matris) 4 \\ 5 \\ 1 \\\end(matris) \ \\end(matris) \sağ]\cdot \left[ \begin(dizi)(*(35)(r)) -2 & 5 \\ 3 & 4 \\\end(dizi) \sağ]\]

Karar. İki matrisimiz var: $A=\left[ 3\times 2 \right]$ ve $B=\left[ 2\times 2 \right]$. Bedenleri gösteren sayıları üst üste yazalım:

Gördüğünüz gibi, merkezi iki sayı aynıdır. Bu, matrislerin tutarlı olduğu ve çarpılabileceği anlamına gelir. Ve çıktıda $C=\left[ 3\times 2 \right]$ matrisini elde ederiz:

\[\begin(hizala) & \left[ \begin(matris) \begin(matris) 5 \\ 2 \\ 3 \\\end(matris) & \begin(matris) 4 \\ 5 \\ 1 \\ \end(matris) \\\end(matris) \right]\cdot \left[ \begin(dizi)(*(35)(r)) -2 & 5 \\ 3 & 4 \\\end(dizi) \right]=\left[ \begin(dizi)(*(35)(r)) 5\cdot \left(-2 \right)+4\cdot 3 & 5\cdot 5+4\cdot 4 \\ 2 \cdot \left(-2 \right)+5\cdot 3 & 2\cdot 5+5\cdot 4 \\ 3\cdot \left(-2 \right)+1\cdot 3 & 3\cdot 5+1 \cdot 4 \\\end(dizi) \sağ]= \\ & =\left[ \begin(dizi)(*(35)(r)) 2 & 41 \\ 11 & 30 \\ -3 & 19 \ \\end(dizi)\sağ]. \end(hizala)\]

Her şey açık: son matrisin 3 satırı ve 2 sütunu var. Oldukça $=\left[ 3\times 2 \right]$.

Yanıt: $\left[ \begin(dizi)(*(35)(r)) \begin(dizi)(*(35)(r)) 2 \\ 11 \\ -3 \\\end(dizi) & \begin(matris) 41 \\ 30 \\ 19 \\\end(matris) \\\end(dizi) \sağ]$.

Şimdi matrislerle çalışmaya yeni başlayanlar için en iyi eğitim görevlerinden birini düşünün. İçinde, sadece iki tableti çoğaltmanız değil, önce şunları belirlemeniz gerekiyor: böyle bir çarpmaya izin veriliyor mu?

Problem 4. Matrislerin olası tüm ikili çarpımlarını bulun:

\\]; $B=\left[ \begin(matris) \begin(matris) 0 \\ 2 \\ 0 \\ 4 \\\end(matris) & \begin(matris) 1 \\ 0 \\ 3 \\ 0 \ \\end(matris) \\\end(matris) \sağ]$; $C=\left[ \begin(matris)0 & 1 \\ 1 & 0 \\\end(matris) \sağ]$.

Karar. İlk önce matrislerin boyutlarını yazalım:

\;\ B=\left[ 4\times 2 \right];\ C=\left[ 2\times 2 \right]\]

$A$ matrisinin yalnızca $B$ matrisiyle eşleştirilebileceğini anlıyoruz, çünkü $A$'daki sütun sayısı 4'tür ve yalnızca $B$ bu sayıda satıra sahiptir. Bu nedenle, ürünü bulabiliriz:

\\cdot \left[ \begin(dizi)(*(35)(r)) 0 & 1 \\ 2 & 0 \\ 0 & 3 \\ 4 & 0 \\\end(dizi) \sağ]=\ sol[ \begin(dizi)(*(35)(r))-10 & 7 \\ 10 & 7 \\\end(dizi) \sağ]\]

Okuyucunun ara adımları kendi başına gerçekleştirmesini öneririm. Herhangi bir hesaplamadan önce bile, ortaya çıkan matrisin boyutunu önceden belirlemenin daha iyi olduğunu not edeceğim:

\\cdot \left[ 4\times 2 \right]=\left[ 2\times 2 \right]\]

Başka bir deyişle, matrislerin tutarlılığını sağlayan "geçiş" katsayılarını basitçe kaldırıyoruz.

Başka hangi seçenekler mümkündür? $B\cdot A$'ı bulmak kesinlikle mümkündür, çünkü $B=\left[ 4\times 2 \right]$, $A=\left[ 2\times 4 \right]$, yani sıralı $\ çifti left(B ;A \right)$ tutarlıdır ve ürünün boyutu şöyle olacaktır:

\\cdot \left[ 2\times 4 \right]=\left[ 4\times 4 \right]\]

Kısacası, çıktı, katsayılarını hesaplaması kolay olan bir $\left[ 4\times 4 \right]$ matrisi olacaktır:

\\cdot \left[ \begin(dizi)(*(35)(r)) 1 & -1 & 2 & -2 \\ 1 & 1 & 2 & 2 \\\end(dizi) \sağ]=\ left[ \begin(dizi)(*(35)(r))1 & 1 & 2 & 2 \\ 2 & -2 & 4 & -4 \\ 3 & 3 & 6 & 6 \\ 4 & -4 & 8 & -8 \\\end(dizi) \sağ]\]

Açıkçası, $C\cdot A$ ve $B\cdot C$ ile de eşleşebilirsiniz, o kadar. Bu nedenle, ortaya çıkan ürünleri basitçe yazıyoruz:

Kolaydı.:)

Yanıt: $AB=\left[ \begin(dizi)(*(35)(r)) -10 & 7 \\ 10 & 7 \\\end(dizi) \sağ]$; $BA=\left[ \begin(dizi)(*(35)(r)) 1 & 1 & 2 & 2 \\ 2 & -2 & 4 & -4 \\ 3 & 3 & 6 & 6 \\ 4 & -4 & 8 & -8 \\\end(dizi) \sağ]$; $CA=\left[ \begin(dizi)(*(35)(r)) 1 & 1 & 2 & 2 \\ 1 & -1 & 2 & -2 \\\end(dizi) \sağ]$; $BC=\left[ \begin(dizi)(*(35)(r))1 & 0 \\ 0 & 2 \\ 3 & 0 \\ 0 & 4 \\\end(dizi) \sağ]$.

Genel olarak, bu görevi kendiniz yapmanızı şiddetle tavsiye ederim. Ve ev ödevinde olan başka bir benzer görev. Bu görünüşte basit düşünceler, matris çarpımındaki tüm önemli adımları çözmenize yardımcı olacaktır.

Ama hikaye burada bitmiyor. Özel çarpma durumlarına geçelim. :)

Satır vektörleri ve sütun vektörleri

En yaygın matris işlemlerinden biri, bir satırı veya bir sütunu olan bir matrisle çarpma işlemidir.

Tanım. Bir sütun vektörü bir $\left[ m\times 1 \right]$ matrisidir, yani birkaç satır ve yalnızca bir sütundan oluşur.

Bir satır vektörü, $\left[ 1\times n \right]$ boyutunda bir matristir, yani bir satır ve birkaç sütundan oluşur.

Aslında, bu nesnelerle zaten tanıştık. Örneğin, $\overrightarrow(a)=\left(x;y;z \right)$ stereometriden sıradan bir üç boyutlu vektör, bir satır vektöründen başka bir şey değildir. Teorik açıdan satırlar ve sütunlar arasında neredeyse hiçbir fark yoktur. Yalnızca çevreleyen çarpan matrisleriyle koordinasyon yaparken dikkatli olmanız gerekir.

Görev 5. Çarp:

\[\left[ \begin(dizi)(*(35)(r)) 2 & -1 & 3 \\ 4 & 2 & 0 \\ -1 & 1 & 1 \\\end(dizi) \sağ] \cdot \left[ \begin(dizi)(*(35)(r)) 1 \\ 2 \\ -1 \\\end(dizi) \sağ]\]

Karar. Tutarlı matrislerden oluşan bir çarpımımız var: $\left[ 3\times 3 \right]\cdot \left[ 3\times 1 \right]=\left[ 3\times 1 \right]$. Bu parçayı bulun:

\[\left[ \begin(dizi)(*(35)(r)) 2 & -1 & 3 \\ 4 & 2 & 0 \\ -1 & 1 & 1 \\\end(dizi) \sağ] \cdot \left[ \begin(dizi)(*(35)(r)) 1 \\ 2 \\ -1 \\\end(dizi) \sağ]=\left[ \begin(dizi)(*(35) )(r)) 2\cdot 1+\left(-1 \sağ)\cdot 2+3\cdot \left(-1 \sağ) \\ 4\cdot 1+2\cdot 2+0\cdot 2 \ \ -1\cdot 1+1\cdot 2+1\cdot \left(-1 \right) \\\end(dizi) \sağ]=\left[ \begin(dizi)(*(35)(r) ) -3 \\ 8 \\ 0 \\\end(dizi) \sağ]\]

Yanıt: $\left[ \begin(dizi)(*(35)(r))-3 \\ 8 \\ 0 \\\end(dizi) \sağ]$.

Görev 6. Çarpmayı gerçekleştirin:

\[\left[ \begin(dizi)(*(35)(r)) 1 & 2 & -3 \\\end(dizi) \sağ]\cdot \left[ \begin(dizi)(*(35) (r)) 3 & 1 & -1 \\ 4 & -1 & 3 \\ 2 & 6 & 0 \\\end(dizi) \sağ]\]

Karar. Yine her şey tutarlı: $\left[ 1\times 3 \right]\cdot \left[ 3\times 3 \right]=\left[ 1\times 3 \right]$. Çalışmayı düşünüyoruz:

\[\left[ \begin(dizi)(*(35)(r)) 1 & 2 & -3 \\\end(dizi) \sağ]\cdot \left[ \begin(dizi)(*(35) (r)) 3 & 1 & -1 \\ 4 & -1 & 3 \\ 2 & 6 & 0 \\\end(dizi) \sağ]=\left[ \begin(dizi)(*(35)( r))5 & -19 & 5 \\\end(dizi) \sağ]\]

Cevap: $\left[ \begin(matris) 5 & -19 & 5 \\\end(matris) \right]$.

Gördüğünüz gibi, bir satır vektörünü ve bir sütun vektörünü bir kare matrisle çarparken, çıktı her zaman aynı boyutta bir satır veya sütundur. Bu gerçeğin çözülmesinden, birçok uygulaması vardır. lineer denklemler her türlü koordinat dönüşümüne (sonunda denklem sistemlerine de gelir, ama üzücü şeylerden bahsetmeyelim).

Bence burada her şey açıktı. Bugünkü dersin son bölümüne geçelim.

Matris üs alma

Tüm çarpma işlemleri arasında özel dikkatüs almayı hak ediyor - bu, aynı nesneyi kendisiyle birkaç kez çarptığımız zamandır. Matrisler bir istisna değildir, ayrıca çeşitli derecelerde yükseltilebilirler.

Bu tür işler her zaman koordine edilir:

\\cdot \left[ n\times n \right]=\left[ n\times n \right]\]

Ve sıradan derecelerle aynı şekilde belirlenirler:

\[\begin(hizala) & A\cdot A=((A)^(2)); \\ & A\cdot A\cdot A=((A)^(3)); \\ & \underbrace(A\cdot A\cdot \ldots \cdot A)_(n)=((A)^(n))). \\ \end(hizala)\]

İlk bakışta her şey basit. Pratikte nasıl göründüğünü görelim:

Görev 7. Matrisi belirtilen güce yükseltin:

$((\left[ \begin(matris) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matris) \sağ])^(3))$

Karar. Tamam, inşa edelim. Önce karesini alalım:

\[\begin(hizala) & ((\left[ \begin(matris) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matris) \sağ])^(2))=\left[ \begin(matris) ) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matris) \sağ]\cdot \left[ \begin(matris) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matris) \sağ]= \\ & =\left[ \begin(dizi)(*(35)(r)) 1\cdot 1+1\cdot 0 & 1\cdot 1+1\cdot 1 \\ 0\cdot 1+1\cdot 0 & 0\cdot 1+1\cdot 1 \\\end(dizi) \sağ]= \\ & =\left[ \begin(dizi)(*(35)(r)) 1 & 2 \\ 0 & 1 \ \\end(dizi) \sağ] \end(hizala)\]

\[\begin(hizala) & ((\left[ \begin(matris) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matris) \sağ])^(3))=((\left[ \begin (matris) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matris) \right])^(3))\cdot \left[ \begin(matris) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end( matrix) \right]= \\ & =\left[ \begin(dizi)(*(35)(r)) 1 & 2 \\ 0 & 1 \\\end(dizi) \sağ]\cdot \left[ \begin(matris) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matris) \sağ]= \\ & =\left[ \begin(dizi)(*(35)(r)) 1 & 3 \\ 0 & 1 \\\end(dizi) \sağ] \end(hizala)\]

Bu kadar.:)

Cevap: $\left[ \begin(matris)1 & 3 \\ 0 & 1 \\\end(matris) \right]$.

Problem 8. Matrisi belirtilen güce yükseltin:

\[((\left[ \begin(matris) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matris) \sağ])^(10))\]

Karar. Şimdi "derece çok yüksek", "dünya adil değil" ve "öğretmenler bankalarını tamamen kaybetti" diye ağlamayın. Aslında, her şey kolaydır:

\[\begin(hizala) & ((\left[ \begin(matris) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matris) \sağ])^(10))=((\left[ \begin (matris) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matris) \right])^(3))\cdot ((\left[ \begin(matris) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\ end(matris) \sağ])^(3))\cdot ((\left[ \begin(matris) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matris) \sağ])^(3))\ cdot \left[ \begin(matris) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matris) \sağ]= \\ & =\left(\left[ \begin(matris) 1 & 3 \\ 0 & 1 \\\end(matris) \sağ]\cdot \left[ \begin(matris) 1 & 3 \\ 0 & 1 \\\end(matris) \sağ] \sağ)\cdot \left(\left[ \begin(matris) 1 & 3 \\ 0 & 1 \\\end(matris) \right]\cdot \left[ \begin(matris) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matris) \right ] \right)= \\ & =\left[ \begin(matris) 1 & 6 \\ 0 & 1 \\\end(matris) \sağ]\cdot \left[ \begin(matris) 1 & 4 \\ 0 & 1 \\\end(matris) \sağ]= \\ & =\left[ \begin(matris) 1 & 10 \\ 0 & 1 \\\end(matris) \sağ] \end(hizala)\ ]

İkinci satırda çarpma ilişkilendirmesini kullandığımıza dikkat edin. Aslında, önceki görevde kullandık, ama orada üstü kapalıydı.

Yanıt: $\left[ \begin(matris) 1 & 10 \\ 0 & 1 \\\end(matris) \right]$.

Gördüğünüz gibi, bir matrisi bir kuvvete yükseltmekte karmaşık bir şey yok. Son örnek şöyle özetlenebilir:

\[((\left[ \begin(matris) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matris) \sağ])^(n))=\left[ \begin(dizi)(*(35) (r)) 1 & n \\ 0 & 1 \\\end(dizi) \sağ]\]

Bu gerçeği kanıtlamak kolaydır matematiksel tümevarım veya doğrudan çarpma. Bununla birlikte, bir güce yükselirken bu tür kalıpları yakalamak her zaman mümkün olmaktan uzaktır. Bu nedenle, dikkatli olun: birkaç matrisi "boş" ile çarpmak, orada bazı kalıplar aramaktan genellikle daha kolay ve daha hızlıdır.

Genel olarak, olmadığı yerde daha yüksek bir anlam aramayın. Sonuç olarak, matrisin üssünü düşünün daha büyük boy- $\left[ 3\times 3 \right]$ kadar.

Problem 9. Matrisi belirtilen güce yükseltin:

\[((\left[ \begin(matris) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matris) \sağ])^(3))\]

Karar. Kalıp aramayalım. "İçinden" çalışıyoruz:

\[((\left[ \begin(matris) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matris) \sağ])^(3))=(( \left[ \begin(matris) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matris) \sağ])^(2))\cdot \left[ \begin (matris)0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matris) \sağ]\]

Bu matrisin karesini alarak başlayalım:

\[\begin(hizala) & ((\left[ \begin(matris) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matris) \sağ])^( 2))=\left[ \begin(matris) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matris) \sağ]\cdot \left[ \begin(matris) ) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matris) \sağ]= \\ & =\left[ \begin(dizi)(*(35)(r) )) 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\\end(dizi) \sağ] \end(hizala)\]

Şimdi küpünü keselim:

\[\begin(hizala) & ((\left[ \begin(matris) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matris) \sağ])^( 3)=\left[ \begin(dizi)(*(35)(r)) 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\\end(dizi) \sağ] \cdot \left[ \begin(matris) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matris) \sağ]= \\ & =\left[ \begin( dizi)(*(35)(r)) 2 & 3 & 3 \\ 3 & 2 & 3 \\ 3 & 3 & 2 \\\end(array) \right] \end(align)\]

Bu kadar. Sorun çözüldü.

Cevap: $\left[ \begin(matris) 2 & 3 & 3 \\ 3 & 2 & 3 \\ 3 & 3 & 2 \\\end(matris) \right]$.

Gördüğünüz gibi hesaplama miktarı arttı ama anlamı hiç değişmedi. :)

Bu ders bitebilir. Bir dahaki sefere ters işlemi ele alacağız: mevcut çarpımı kullanarak orijinal çarpanları arayacağız.

Muhtemelen tahmin ettiğiniz gibi, ters matris ve onu bulma yöntemleri hakkında konuşacağız.