Pažnja podnosiocima prijava! Ovdje se analizira nekoliko zadataka ispita. Ostali, zanimljiviji, nalaze se u našem besplatnom video materijalu. Gledajte i djelujte!

Počećemo sa jednostavnim problemima i osnovnim konceptima teorije verovatnoće.
Slučajno Događajem se naziva događaj koji se ne može unaprijed točno predvidjeti. Može se desiti ili ne.
Dobili ste na lutriji - slučajni događaj. Pozvali ste prijatelje da proslave pobedu, a na putu do vas su se zaglavili u liftu - takođe slučajni događaj. Istina, majstor je bio u blizini i oslobodio je cijelo društvo za deset minuta - a to se može smatrati i sretnim slučajem...

Naš život je pun slučajni događaji. Za svaki od njih može se reći da se dešava sa nekima vjerovatnoća. Najvjerovatnije ste intuitivno upoznati s ovim konceptom. Sada ćemo dati matematičku definiciju vjerovatnoće.

Počnimo s najjednostavnijim primjerom. Bacaš novčić. Pismo ili glava?

Takva akcija, koja može dovesti do jednog od nekoliko rezultata, naziva se u teoriji vjerovatnoće test.

Glava i rep - moguće dvije egzodus testovi.

Orao će ispasti u jednom slučaju od dva moguća. Kažu to vjerovatnoća da je novčić slijeće glave jednak .

Hajde da bacimo kocku. Kocka ima šest strana, tako da postoji šest mogućih ishoda.

Na primjer, pogodili ste da će tri boda ispasti. Ovo je jedan od šest mogućih ishoda. U teoriji vjerovatnoće, to će se zvati povoljan ishod.

Verovatnoća da dobijete trojku je (jedan povoljan ishod od šest mogućih).

Verovatnoća četvorke je takođe

Ali vjerovatnoća pojave sedmorice je nula. Uostalom, ne postoji lice sa sedam tačaka na kocki.

Vjerovatnoća događaja jednaka je omjeru broja povoljnih ishoda i ukupnog broja ishoda.

Očigledno, vjerovatnoća ne može biti veća od jedan.

Evo još jednog primjera. U vrećici jabuka, od kojih su crvene, ostale zelene. Jabuke se ne razlikuju ni po obliku ni veličini. Stavite ruku u vreću i nasumce izvadite jabuku. Vjerovatnoća crtanja crvene jabuke je , a zelene je .

Verovatnoća da dobijete crvenu ili zelenu jabuku je .

Analizirajmo probleme u teoriji vjerovatnoće uključene u zbirke za pripremu ispita.

. U taksi kompaniji ovog trenutka besplatni automobili: crveni, žuti i zeleni. Na poziv je otišao jedan od automobila, koji je bio najbliži mušteriji. Nađite vjerovatnoću da će doći žuti taksi.

Ukupno ima automobila, odnosno jedan od petnaest će doći do kupca. Ima devet žutih, što znači da je vjerovatnoća dolaska žutog automobila , tj.

. (Demo verzija) U kolekciji karata o biologiji svih ulaznica, u dvije se postavlja pitanje o gljivama. Na ispitu student dobija jednu nasumično odabranu kartu. Pronađite vjerovatnoću da ova karta ne uključuje pitanje o gljivama.

Očigledno, vjerovatnoća da ćete izvući kartu bez pitanja o gljivama je , tj.

. Roditeljski odbor kupljene slagalice za poklone za decu na kraju školske godine, od čega sa slikama poznati umetnici i slike životinja. Pokloni se dijele nasumično. Pronađite vjerovatnoću da će Vovočka dobiti slagalicu sa životinjama.

Zadatak se rješava na sličan način.

Odgovor: .

. Sportisti učestvuju na prvenstvu u gimnastici: iz Rusije, iz SAD-a, ostali - iz Kine. Redoslijed nastupa gimnastičarki određuje se žrijebom. Pronađite vjerovatnoću da je posljednji sportista koji će se takmičiti iz Kine.

Zamislimo da su svi sportisti istovremeno prišli šeširu i iz njega izvukli papiriće sa brojevima. Neki od njih će dobiti dvadeseti broj. Verovatnoća da će ga kineski sportista izvući je jednaka (pošto su sportisti iz Kine). Odgovor: .

. Od učenika je zatraženo da navede broj od do . Kolika je vjerovatnoća da će imenovati broj koji je višestruki od pet?

Svaki peti broj iz datog skupa je djeljiv sa . Dakle, vjerovatnoća je .

Baca se kocka. Pronađite vjerovatnoću da dobijete neparan broj bodova.

Neparni brojevi; - čak. Vjerovatnoća neparnog broja bodova je .

Odgovor: .

. Novčić se baca tri puta. Kolika je vjerovatnoća dvije glave i jednog repa?

Imajte na umu da se problem može formulirati drugačije: tri novčića se bacaju u isto vrijeme. To neće uticati na odluku.

Šta mislite, koliko mogućih ishoda postoji?

Bacamo novčić. Ova akcija ima dva moguća ishoda: glave i repove

Dva novčića - već četiri ishoda:

Tri novčića? Tako je, ishodi od .

Dvije glave i jedan rep pojavljuju se tri puta od osam.

Odgovor: .

. U slučajnom eksperimentu bacaju se dvije kocke. Nađite vjerovatnoću da će zbir opasti poene. Zaokružite rezultat na najbližu stotu.

Bacanje prve kocke - šest ishoda. I za svaku od njih je moguće još šest - kada bacimo drugu kockicu.

Shvatili smo to ovu akciju- bacanje dvije kocke - ukupan broj mogućih ishoda, od .

A sada dobre vijesti:

Vjerovatnoća dobivanja osam bodova je .

>. Strijelac pogađa metu sa vjerovatnoćom. Nađite vjerovatnoću da on pogodi metu četiri puta zaredom.

Ako je vjerovatnoća pogađanja jednaka, tada je vjerovatnoća promašaja . Argumentiramo na isti način kao u prethodnom problemu. Vjerovatnoća dva uzastopna pogotka je . I vjerovatnoća četiri uzastopna pogotka jednaka je .

Vjerovatnoća: logika grube sile.

Evo zadatka iz dijagnostičkog rada koji se mnogima činio teškim.

Petja je u džepu imao kovanice i kovanice rublje. Petya je, ne gledajući, prebacio novčiće u drugi džep. Pronađite vjerovatnoću da se novčići od pet rubalja sada nalaze u različitim džepovima.

Znamo da je vjerovatnoća događaja jednaka omjeru broja povoljnih ishoda i ukupnog broja ishoda. Ali kako izračunati sve ove rezultate?

Možete, naravno, kovanice od pet rubalja označiti brojevima, a kovanice od deset rubalja brojevima - a zatim izračunati na koliko načina možete odabrati tri elementa iz skupa.

Međutim, postoji lakše rješenje:

Kovanice kodiramo brojevima:, (ovo su pet rubalja), (ovo su deset rubalja). Uslov problema se sada može formulirati na sljedeći način:

Postoji šest čipova numeriranih od do . Na koliko načina se mogu ravnomjerno rasporediti između dva džepa da žetoni sa brojevima i ne završe zajedno?

Hajde da zapišemo šta imamo u prvom džepu.

Da bismo to učinili, sastavit ćemo sve moguće kombinacije iz skupa. Skup od tri čipa će biti trocifreni broj. Očigledno je da su pod našim uslovima i isti skup tokena. Da ništa ne propustimo i da se ne ponavljamo, odgovarajuće trocifrene brojeve poredamo uzlaznim redom:

Sve! Isprobali smo sve moguće kombinacije počevši od . Nastavljamo:

ukupni mogući ishodi.

Imamo uslov - čipovi sa brojevima i ne treba da budu zajedno. To znači, na primjer, da nam kombinacija ne odgovara - znači da su čipovi i oboje završili ne u prvom, već u drugom džepu. Povoljni ishodi za nas su oni gde postoji ili samo , ili samo . Evo ih:

134, 135, 136, 145, 146, 156, 234, 235, 236, 245, 246, 256 - ukupno povoljni ishodi.

Tada je tražena vjerovatnoća .

Koji zadaci vas očekuju na ispitu iz matematike?

Hajde da analiziramo jedan od najtežih problema u teoriji verovatnoće.

Da bi ušao u institut za specijalnost "Lingvistika", kandidat Z. mora osvojiti najmanje 70 bodova na Jedinstvenom državnom ispitu iz svakog od tri predmeta - matematike, ruskog i stranog jezika. Da biste se upisali na specijalnost "Trgovina", potrebno je da osvojite najmanje 70 bodova iz svakog od tri predmeta - matematike, ruskog jezika i društvenih nauka.

Verovatnoća da će kandidat Z. dobiti najmanje 70 bodova iz matematike je 0,6, na ruskom jeziku - 0,8, u strani jezik- 0,7 i na društvenim studijama - 0,5.
Naći vjerovatnoću da će Z. moći upisati barem jednu od dvije navedene specijalnosti.

Imajte na umu da problem ne postavlja pitanje da li će kandidat po imenu Z. istovremeno studirati i lingvistiku i trgovinu i dobiti dvije diplome. Ovdje treba pronaći vjerovatnoću da će Z. moći upisati barem jednu od ove dvije specijalnosti – odnosno osvojiti potreban broj bodova.
Da bi upisao barem jednu od dvije specijalnosti, Z. mora osvojiti najmanje 70 bodova iz matematike. I to na ruskom. Pa ipak - društvene nauke ili strane.
Vjerovatnoća da dobije 70 bodova iz matematike za njega je 0,6.
Vjerovatnoća za bodovanje iz matematike i ruskog jezika je 0,6 0,8.

Bavimo se stranim i društvenim studijama. Nama su prikladne opcije kada je kandidat postigao bodove na društvenim studijama, na stranom jeziku ili na oba. Opcija nije prikladna kada nije osvojio bodove ni na jeziku ni u "društvu". To znači da je vjerovatnoća polaganja društvenih ili stranih studija za najmanje 70 bodova jednaka
1 – 0,5 0,3.
Kao rezultat toga, vjerovatnoća polaganja matematike, ruskih i društvenih studija ili stranih je jednaka
0,6 0,8 (1 - 0,5 0,3) = 0,408. Ovo je odgovor.

Plan radionice za nastavnike matematike obrazovne ustanove grada Tule na temu „Rešavanje zadataka USE iz matematike iz sekcija: kombinatorika, teorija verovatnoće. Nastavne metode»

Trošenje vremena: 12 00 ; 15 00

Lokacija: MBOU "Licej br. 1", soba. br. 8

I. Rješavanje problema za vjerovatnoću

1. Rješavanje zadataka o klasičnoj definiciji vjerovatnoće

Mi, kao nastavnici, već znamo da se glavni tipovi zadataka u USE u teoriji vjerovatnoće zasnivaju na klasičnoj definiciji vjerovatnoće. Prisjetite se što se naziva vjerovatnoća događaja?

Vjerovatnoća događaja je omjer broja ishoda koji favorizuju dati događaj i ukupnog broja ishoda.

U našem naučno-metodičkom društvu nastavnika matematike razvijena je opšta šema za rešavanje zadataka na verovatnoću. Želio bih to predstaviti vašoj pažnji. Inače, podijelili smo svoje radno iskustvo, a u materijalima koje smo dali vašoj pažnji za zajedničku raspravu o rješavanju problema dali smo ovu šemu. Međutim, želim to da izrazim.

Po našem mišljenju, ova šema pomaže da se sve brzo logično stavi na police, a nakon toga zadatak može biti riješen mnogo lakše i za nastavnika i za učenike.

Dakle, želim detaljno analizirati problem sljedećeg sadržaja.

Hteo sam da razgovaram sa vama kako bih objasnio metodologiju kako da se takvo rešenje prenese momcima, pri čemu bi momci razumeli ovaj tipičan zadatak, a kasnije bi i sami razumeli te zadatke.

Šta je slučajni eksperiment u ovom problemu? Sada moramo izolirati elementarni događaj u ovom eksperimentu. Šta je ovo elementarni događaj? Hajde da ih navedemo.

Imate pitanja?

Drage kolege, i vi ste očigledno razmišljali o problemima verovatnoće sa kockicama. Mislim da ga moramo rastaviti, jer postoje neke nijanse. Hajde da analiziramo ovaj problem prema šemi koju smo vam predložili. Pošto se na svakoj strani kocke nalazi broj od 1 do 6, elementarni događaji su brojevi 1, 2, 3, 4, 5, 6. Otkrili smo da je ukupan broj elementarnih događaja 6. Odredimo koji elementarni događaji favorizuju događaj. Samo dva događaja idu u prilog ovom događaju - 5 i 6 (pošto iz uslova proizilazi da treba da ispadnu 5 i 6 bodova).

Objasnite da su svi elementarni događaji podjednako mogući. Koja će biti pitanja na zadatku?

Kako razumete da je novčić simetričan? Da raščistimo, ponekad određene fraze izazivaju nesporazume. Hajde da konceptualno shvatimo ovaj problem. Hajde da se pozabavimo vama u tom eksperimentu, koji je opisan, koji elementarni ishodi mogu biti. Možete li zamisliti gdje je glava, gdje je rep? Koje su opcije ispadanja? Postoje li drugi događaji? Koliki je ukupan broj događaja? Po problemu se zna da su glave ispale tačno jednom. Dakle, ovaj događajelementarni događaji iz ova četiri OR i RO idu u prilog, ovo se ne može dogoditi već dvaput. Koristimo formulu po kojoj se nalazi vjerovatnoća događaja. Podsjetimo da odgovori u dijelu B moraju biti ili cijeli broj ili decimalni.

Prikaži na interaktivnoj tabli. Pročitali smo zadatak. Šta je osnovni ishod ovog iskustva? Pojasnite da je par naređen - to jest, broj je pao na prvu kockicu, a na drugu kockicu. U svakom zadatku postoje trenuci kada trebate izabrati racionalne metode, oblikuje i predstavlja rješenje u obliku tabela, dijagrama itd. U ovom problemu zgodno je koristiti takvu tablicu. Dajem vam gotovo rješenje, ali tokom rješavanja ispada da je u ovom zadatku racionalno koristiti rješenje u obliku tabele. Objasnite šta tabela znači. Razumijete zašto u kolonama stoji 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Nacrtajmo kvadrat. Linije odgovaraju rezultatima prvog bacanja - ima ih šest, jer kocka ima šest lica. Kao i kolone. U svaku ćeliju upisujemo zbir ispuštenih bodova. Pokažite popunjenu tabelu. Obojimo ćelije u kojima je zbir jednak osam (kao što je potrebno u uslovu).

Vjerujem da se sljedeći problem, nakon analize prethodnih, može dati momcima da sami riješe.

U sljedećim zadacima nema potrebe zapisivati ​​sve elementarne ishode. Dovoljno je samo prebrojati njihov broj.

(Bez rješenja) Dao sam momcima da sami riješe ovaj problem. Algoritam za rješavanje problema

1. Odredite šta je slučajni eksperiment, a šta slučajni događaj.

2. Pronađite ukupan broj elementarnih događaja.

3. Nalazimo broj događaja koji favorizuju događaj naveden u uslovu problema.

4. Nađite vjerovatnoću događaja koristeći formulu.

Učenicima se može postaviti pitanje, ako je 1000 baterija pušteno u prodaju, a među njima je 6 neispravnih, onda se odabrana baterija određuje kao? Šta je to u našem zadatku? Zatim postavljam pitanje o pronalaženju onoga što se ovdje koristi kao broji predlažem da ga pronađembroj. Onda pitam, koji je događaj ovde? Koliko akumulatora favorizuje završetak događaja? Zatim, koristeći formulu, izračunavamo ovu vjerovatnoću.

Ovdje se djeci može ponuditi drugo rješenje. Hajde da razgovaramo o tome šta ova metoda može biti?

1. Koji događaj se sada može smatrati?

2. Kako pronaći vjerovatnoću datog događaja?

Djeci treba reći o ovim formulama. Oni su sljedeći

Osmi zadatak se djeci može ponuditi samostalno, jer je sličan šestom zadatku. Može im se ponuditi kao samostalan rad, ili na kartici na tabli.

Ovaj problem se može riješiti u odnosu na Olimpijadu koja se trenutno održava. Uprkos činjenici da u zadacima učestvuju različiti događaji, zadaci su tipični.

2. Najjednostavnija pravila i formule za izračunavanje vjerovatnoća (suprotni događaji, zbir događaja, proizvod događaja)

Ovo je zadatak od USE kolekcija. Stavili smo rješenje na ploču. Koja pitanja treba da postavimo učenicima da bi analizirali ovaj problem.

1. Koliko je bilo mitraljeza? Jednom dva automata, onda su već dva događaja. Pitam djecu kakav će biti događaj? Šta će biti drugi događaj?

2. je vjerovatnoća događaja. Ne moramo ga izračunati, jer je dat u uslovu. Prema uslovu zadatka, vjerovatnoća da "kafa nestane u obje mašine" je 0,12. Došao je događaj A, bio je događaj B. I pojavi se novi događaj? Postavljam djeci pitanje - šta? Ovo je događaj kada oba automata ostanu bez kafe. U ovom slučaju, u teoriji vjerovatnoće, radi se o novom događaju, koji se naziva presjek dva događaja A i B i tako se označava.

Koristimo formulu sabiranja vjerovatnoće. Formula je sljedeća

Dajemo vam je u referentnom materijalu i momci mogu dati ovu formulu. Omogućava vam da pronađete vjerovatnoću zbira događaja. Pitali smo se o vjerovatnoći suprotnog događaja, čija se vjerovatnoća nalazi po formuli.

Zadatak 13 koristi koncept proizvoda događaja čija je formula za pronalaženje vjerovatnoće data u Dodatku.

3. Zadaci za korištenje stabla opcije

Prema stanju zadatka lako je nacrtati dijagram i pronaći naznačene vjerovatnoće.

Uz pomoć kojeg teorijskog materijala ste analizirali rješavanje problema ove vrste kod učenika? Jeste li koristili stablo mogućnosti ili ste koristili druge metode za rješavanje takvih problema? Da li ste dali koncept grafova? U petom ili šestom razredu momci imaju takve probleme, čija analiza daje koncept grafikona.

Želio bih da vas pitam, jeste li vi i vaši učenici razmišljali o korištenju stabla mogućnosti prilikom rješavanja problema vjerovatnoće? Činjenica je da ne samo da USE ima takve zadatke, već su se pojavili prilično složeni zadaci koje ćemo sada riješiti.

Hajde da razgovaramo s vama o metodologiji za rješavanje takvih problema - ako se poklapa s mojom metodologijom, kako sam objasnio momcima, onda će mi biti lakše raditi s vama, ako ne, onda ću vam pomoći da se nosite s ovim problemom.

Hajde da razgovaramo o događajima. Koji se događaji u zadatku 17 mogu identifikovati?

Kada se konstruiše drvo na ravni, označava se tačka koja se naziva koren drveta. Zatim počinjemo da razmatramo događajei. Konstruisaćemo segment (u teoriji verovatnoće on se zove grana). Po uslovu stoji da prva fabrika proizvodi 30% mobilnih telefona ove marke (kakvih? onih koje proizvode), pa trenutno pitam studente kolika je verovatnoća da prva fabrika proizvodi telefone ove marke brend, one koje proizvode? Budući da je događaj puštanje telefona u prvu tvornicu, vjerovatnoća ovog događaja je 30% ili 0,3. Preostali telefoni se proizvode u drugoj fabrici - gradimo drugi segment, a verovatnoća ovog događaja je 0,7.

Studentima se postavlja pitanje - koji tip telefona može da proizvede prva fabrika? Sa ili bez kvara. Kolika je vjerovatnoća da telefon proizveden u prvoj fabrici ima kvar? Prema uslovu, kaže se da je jednako 0,01. Pitanje: Kolika je vjerovatnoća da telefon proizveden u prvoj fabrici nema kvar? Pošto je ovaj događaj suprotan datom, njegova vjerovatnoća je jednaka.

Potrebno je pronaći vjerovatnoću da je telefon neispravan. Može biti iz prve fabrike, a može biti iz druge. Zatim koristimo formulu za sabiranje vjerovatnoća i dobijamo da je cijela vjerovatnoća zbir vjerovatnoća da je telefon neispravan iz prve fabrike, a da je telefon neispravan iz druge fabrike. Verovatnoća da telefon ima kvar i da je proizveden u prvoj fabrici nalazi se po formuli za proizvod verovatnoća koja je data u dodatku.

4. Jedan od najtežih zadataka USE banke za vjerovatnoću

Analizirajmo, na primjer, broj 320199 iz FIPI Task Bank. Ovo je jedan od najtežih zadataka u B6.

Da bi ušao u institut za specijalnost "Lingvistika", kandidat Z. mora osvojiti najmanje 70 bodova na Jedinstvenom državnom ispitu iz svakog od tri predmeta - matematike, ruskog i stranog jezika. Da biste upisali specijalnost "Trgovina", potrebno je da osvojite najmanje 70 bodova iz svakog od tri predmeta - matematike, ruskog jezika i društvenih nauka.

Verovatnoća da kandidat Z. dobije najmanje 70 bodova iz matematike je 0,6, iz ruskog - 0,8, iz stranog jezika - 0,7 i iz društvenih nauka - 0,5.

Naći vjerovatnoću da će Z. moći upisati barem jednu od dvije navedene specijalnosti.

Imajte na umu da problem ne postavlja pitanje da li će kandidat po imenu Z. istovremeno studirati i lingvistiku i trgovinu i dobiti dvije diplome. Ovdje treba pronaći vjerovatnoću da će Z. moći upisati barem jednu od ove dvije specijalnosti – odnosno osvojiti potreban broj bodova.

Da bi upisao barem jednu od dvije specijalnosti, Z. mora osvojiti najmanje 70 bodova iz matematike. I to na ruskom. Pa ipak - društvene nauke ili strane.

Vjerovatnoća da dobije 70 bodova iz matematike za njega je 0,6.

Vjerovatnoća za bodovanje iz matematike i ruskog jezika je jednaka.

Bavimo se stranim i društvenim studijama. Nama su prikladne opcije kada je kandidat postigao bodove na društvenim studijama, na stranom jeziku ili na oba. Opcija nije prikladna kada nije osvojio bodove ni na jeziku ni u "društvu". To znači da je vjerovatnoća polaganja društvenih ili stranih studija jednaka najmanje 70 bodova. Kao rezultat toga, vjerovatnoća polaganja matematike, ruskih i društvenih studija ili stranih je jednaka

Ovo je odgovor.

II . Rješavanje kombinatornih zadataka

1. Broj kombinacija i faktorijela

Hajde da ukratko analiziramo teorijski materijal.

Izrazn ! čita se kao "en-faktorski" i označava proizvod svih prirodnih brojeva od 1 don uključujući:n ! = 1 2 3 ...n .

Osim toga, u matematici se po definiciji smatra da je 0! = 1. Takav izraz je rijedak, ali se još uvijek javlja u problemima u teoriji vjerovatnoće.

Definicija

Neka postoje predmeti (olovke, slatkiši, bilo šta) od kojih je potrebno odabrati potpuno različite predmete. Zatim se poziva broj opcija za takav izborbroj kombinacija od elemenata. Ovaj broj je naznačen i izračunat prema posebnoj formuli.

Oznaka

Šta nam ova formula daje? Zapravo, gotovo nijedan ozbiljan zadatak ne može se riješiti bez toga.

Radi boljeg razumijevanja, analizirajmo nekoliko jednostavnih kombinatornih problema:

Zadatak

Barmen ima 6 vrsta zelenog čaja. Za čajnu ceremoniju potrebne su tačno 3 različite vrste zelenog čaja. Na koliko načina barmen može ispuniti narudžbu?

Rješenje

Ovdje je sve jednostavno: postojin = 6 sorti koje možete izabratik = 3 sorte. Broj kombinacija se može naći po formuli:

Odgovori

Zamjena u formuli. Ne možemo riješiti sve zadatke, ali smo napisali tipične zadatke, predstavljeni su vašoj pažnji.

Zadatak

U grupi od 20 studenata potrebno je odabrati 2 predstavnika koji će govoriti na konferenciji. Na koliko načina se to može učiniti?

Rješenje

Opet, sve što imamon = 20 učenika, ali morate biratik = 2 učenika. Pronalaženje broja kombinacija:

Imajte na umu da su faktori uključeni u različite faktorijele označeni crvenom bojom. Ovi množitelji se mogu bezbolno smanjiti i time značajno smanjiti ukupni iznos proračuna.

Odgovori

190

Zadatak

U magacin je dovezeno 17 servera sa raznim nedostacima, koji su 2 puta jeftiniji od obicnih servera. Direktor je za školu kupio 14 takvih servera, a ušteđeni novac u iznosu od 200.000 rubalja potrošio je na nabavku druge opreme. Na koliko načina direktor može izabrati neispravne servere?

Rješenje

U zadatku ima dosta dodatnih podataka, što može biti zbunjujuće. Najvažnije činjenice: sve jesten = 17 servera, a direktor trebak = 14 servera. Brojimo broj kombinacija:

Crvena boja opet označava množitelje koji se smanjuju. Ukupno je ispalo 680 kombinacija. Generalno, režiser ima šta da bira.

Odgovori

680

Ovaj zadatak je hirovit, jer u ovom zadatku ima dodatnih podataka. Oni odvode mnoge studente na krivi put. Ukupno je bilo 17 servera, a direktor je trebao izabrati 14. Zamjenom u formulu dobijamo 680 kombinacija.

2. Zakon množenja

Definicija

zakon množenja u kombinatorici: množi se broj kombinacija (načina, kombinacija) u nezavisnim skupovima.

Drugim riječima, neka budeA načina da se izvrši jedna radnja iB načina da izvršite drugu radnju. Put i ove radnje su nezavisne, tj. nije povezano ni na koji način. Tada možete pronaći broj načina da izvršite prvu i drugu radnju po formuli:C = A · B .

Zadatak

Petya ima 4 novčića od 1 rublje svaki i 2 novčića od 10 rubalja svaki. Petya je, ne gledajući, izvadio iz džepa 1 novčić nominalne vrijednosti 1 rublja i još 1 novčić nominalne vrijednosti 10 rubalja kako bi kupio olovku za 11 rubalja. Na koliko načina može izabrati ove novčiće?

Rješenje

Dakle, prvo Petya dobijek = 1 novčić odn = 4 dostupna novčića nominalne vrijednosti 1 rublja. Broj načina da se to uradi jeC 4 1 = ... = 4.

Onda Petja ponovo posegne u džep i izvadik = 1 novčić odn = 2 dostupna novčića nominalne vrijednosti 10 rubalja. Ovdje je broj kombinacijaC 2 1 = ... = 2.

Pošto su ove akcije nezavisne, ukupan broj opcija jeC = 4 2 = 8.

Odgovori

Zadatak

U košu se nalazi 8 bijelih i 12 crnih lopti. Na koliko načina možete dobiti 2 bijele i 2 crne lopte iz ovog koša?

Rješenje

Ukupno u korpin = 8 bijelih loptica koje možete izabratik = 2 lopte. To se može uraditiC 8 2 = ... = 28 različitih načina.

Osim toga, kolica sadržen = 12 crnih loptica koje možete ponovo izabratik = 2 lopte. Broj načina da se to uradi jeC 12 2 = ... = 66.

Budući da su izbor bijele i crne lopte nezavisni događaji, ukupan broj kombinacija se računa prema zakonu množenja:C = 28 66 = 1848. Kao što vidite, može biti dosta opcija.

Odgovori

1848

Zakon množenja pokazuje na koliko načina možete izvesti složenu radnju koja se sastoji od dvije ili više jednostavnih - pod uvjetom da su svi neovisni.

3. Zakon sabiranja

Ako zakon množenja djeluje na "izolovane" događaje koji ne zavise jedan od drugog, onda je u zakonu sabiranja tačno suprotno. Bavi se međusobno isključivim događajima koji se nikada ne dešavaju u isto vrijeme.

Na primjer, “Petar je izvadio 1 novčić iz džepa” i “Petar nije izvadio ni jedan novčić iz džepa” su događaji koji se međusobno isključuju, jer je nemoguće izvaditi jedan novčić bez vađenja nijednog.

Slično tome, događaji "Nasumično odabrana lopta - bijela" i "Nasumično odabrana lopta - crna" se također međusobno isključuju.

Definicija

Zakon o dodavanju u kombinatorici: ako se mogu izvršiti dvije međusobno isključive radnjeA iB na koji način se ovi događaji mogu kombinovati. Ovo će generirati novi događaj koji se može izvršitiX = A + B načine.

Drugim riječima, kada se kombiniraju međusobno isključive radnje (događaji, opcije), zbraja se broj njihovih kombinacija.

Možemo reći da je zakon sabiranja logično "ILI" u kombinatorici, kada nam odgovara bilo koja od međusobno isključivih opcija. Suprotno tome, zakon množenja je logično "I", u kojem nas zanima istovremeno izvršenje i prve i druge akcije.

Zadatak

U košu se nalazi 9 crnih i 7 crvenih lopti. Dječak vadi 2 loptice iste boje. Na koliko načina to može učiniti?

Rješenje

Ako su kuglice iste boje, postoji nekoliko opcija: obje su crne ili crvene. Očigledno, ove opcije se međusobno isključuju.

U prvom slučaju, dječak mora izabratik = 2 crne lopte odn = 9 dostupnih. Broj načina da se to uradi jeC 9 2 = ... = 36.

Slično, u drugom slučaju biramok = 2 crvene lopte odn = 7 moguće. Broj načina jeC 7 2 = ... = 21.

Ostaje pronaći ukupan broj načina. Kako se varijante sa crnim i crvenim kuglicama međusobno isključuju, prema zakonu sabiranja imamo:X = 36 + 21 = 57.

Odgovori57

Zadatak

Na štandu se prodaje 15 ruža i 18 tulipana. Učenik 9. razreda želi da kupi 3 cvijeta za svog druga iz razreda, a svi cvjetovi moraju biti isti. Na koliko načina može napraviti takav buket?

Rješenje

U skladu sa uslovom, svi cvetovi moraju biti isti. Dakle, kupićemo ili 3 ruže ili 3 tulipana. u svakom slučaju,k = 3.

U slučaju ruža, morat ćete birati izmeđun = 15 opcija, tako da je broj kombinacijaC 15 3 = ... = 455. Za tulipanen = 18, a broj kombinacija -C 18 3 = ... = 816.

Budući da su ruže i tulipani međusobno isključive opcije, radimo po zakonu sabiranja. Dobijte ukupan broj opcijaX = 455 + 816 = 1271. Ovo je odgovor.

Odgovori

1271

Dodatni uslovi i ograničenja

Vrlo često u tekstu problema postoje dodatni uslovi koji nameću značajna ograničenja kombinacijama koje nas zanimaju. Uporedite dvije rečenice:

Postoji set od 5 olovaka u različitim bojama. Na koliko načina se mogu odabrati 3-taktne ručke?

Postoji set od 5 olovaka u različitim bojama. Na koliko načina se mogu odabrati 3-taktne ručke ako jedna od njih mora biti crvena?

U prvom slučaju, imamo pravo uzeti bilo koju boju koja nam se sviđa - nema dodatnih ograničenja. U drugom slučaju, sve je složenije, jer moramo odabrati crvenu ručku (pretpostavlja se da je u originalnom setu).

Očigledno, bilo kakva ograničenja drastično smanjuju ukupan broj opcija. Kako onda pronaći broj kombinacija u ovom slučaju? Samo zapamtite sljedeće pravilo:

Neka postoji skupn elementi za odabirk elementi. Uz uvođenje dodatnih ograničenja brojan ik smanjiti za isti iznos.

Drugim riječima, ako trebate odabrati 3 od 5 olovaka, a jedna od njih mora biti crvena, tada ćete morati birati izmeđun = 5 − 1 = 4 elementa pok = 3 − 1 = 2 elementa. Dakle, umjestoC 5 3 mora se uzeti u obzirC 4 2 .

Sada da vidimo kako ovo pravilo funkcionira na konkretnim primjerima:

Zadatak

U grupi od 20 studenata, uključujući 2 odlična studenta, potrebno je izabrati 4 osobe za učešće na konferenciji. Na koliko načina se ova četvorica mogu izabrati ako odlični studenti moraju doći na konferenciju?

Rješenje

Dakle, postoji grupan = 20 učenika. Ali samo treba da izaberetek = njih 4. Ako nije bilo dodatnih ograničenja, tada je broj opcija bio jednak broju kombinacijaC 20 4 .

Međutim, dat nam je dodatni uslov: 2 odlična učenika moraju biti među ova četiri. Dakle, prema gore navedenom pravilu, smanjujemo brojeven ik do 2. Imamo:

Odgovori

153

Zadatak

Petya u džepu ima 8 novčića, od kojih su 6 kovanica rublja i 2 kovanice od 10 rubalja. Petya prebaci tri novčića u drugi džep. Na koliko načina Petya to može učiniti ako se zna da su oba novčića od 10 rubalja završila u drugom džepu?

Rješenje

Tako da postojin = 8 novčića. Petya se smenjujek = 3 novčića, od kojih su 2 deset rubalja. Ispostavilo se da su od 3 novčića koji će biti prebačeni, 2 već fiksna, tako da su brojevin ik moramo smanjiti za 2. Imamo:

Odgovori

III . Rješavanje kombiniranih zadataka o korištenju formula kombinatorike i teorije vjerojatnosti

Zadatak

Petya je u džepu imao kovanice od 4 rublje i 2 novčića od 2 rublje. Petja je, ne gledajući, prebacila tri novčića u drugi džep. Pronađite vjerovatnoću da se oba novčića od dvije rublje nalaze u istom džepu.

Rješenje

Pretpostavimo da su oba novčića od dvije rublje zaista završila u istom džepu, tada su moguće 2 opcije: ili ih Petya uopće nije prebacio, ili je prebacio oba odjednom.

U prvom slučaju, kada kovanice od dvije rublje nisu prenesene, morali bi se prenijeti novčići od 3 rublje. Budući da ima ukupno 4 takva novčića, broj načina da se to učini jednak je broju kombinacija 4 sa 3:C 4 3 .

U drugom slučaju, kada su oba novčića od dvije rublje prebačena, morat će se prenijeti još jedan novčić rublje. Mora se odabrati između 4 postojeća, a broj načina da se to učini jednak je broju kombinacija od 4 do 1:C 4 1 .

Sada pronađimo ukupan broj načina za prebacivanje novčića. Budući da ima ukupno 4 + 2 = 6 novčića, a potrebno ih je odabrati samo 3, ukupan broj opcija jednak je broju kombinacija od 6 do 3:C 6 3 .

Ostaje da se pronađe vjerovatnoća:

Odgovori

0,4

Prikaži na interaktivnoj tabli. Obratite pažnju na činjenicu da je, prema stanju problema, Petya, ne gledajući, prebacila tri novčića u jedan džep. Odgovarajući na ovo pitanje, možemo pretpostaviti da su dva novčića od dvije rublje zaista ostala u jednom džepu. Pogledajte formulu za dodavanje vjerovatnoća. Pokažite formulu ponovo.

Zadatak

Petya je u džepu imao 2 novčića od 5 rubalja i 4 novčića od 10 rubalja. Petya je, ne gledajući, prebacila neka 3 novčića u drugi džep. Pronađite vjerovatnoću da se novčići od pet rubalja sada nalaze u različitim džepovima.

Rješenje

Da bi novčići od pet rubalja ležali u različitim džepovima, morate prebaciti samo jedan od njih. Broj načina da to učinite jednak je broju kombinacija 2 prema 1:C 2 1 .

Budući da je Petya prenio ukupno 3 novčića, morat će prenijeti još 2 novčića od po 10 rubalja. Petya ima 4 takva novčića, tako da je broj načina jednak broju kombinacija od 4 do 2:C 4 2 .

Ostaje pronaći koliko opcija ima za prebacivanje 3 novčića od 6 dostupnih. Ovaj broj, kao iu prethodnom zadatku, jednak je broju kombinacija od 6 do 3:C 6 3 .

Pronalaženje vjerovatnoće:

U posljednjem koraku pomnožili smo broj načina za odabir kovanica od dvije rublje i broj načina za odabir kovanica od deset rubalja, budući da su ti događaji nezavisni.

Odgovori

0,6

Dakle, problemi s kovanicama imaju svoju formulu vjerovatnoće. Toliko je jednostavan i važan da se može formulisati kao teorema.

Teorema

Neka se novčić bacin jednom. Tada je vjerovatnoća da će glave tačno sletjetik vremena se mogu pronaći pomoću formule:

GdjeC n k - broj kombinacijan elementi pok , koji se izračunava po formuli:

Dakle, za rješavanje problema s novčićima potrebna su dva broja: broj bacanja i broj glava. Najčešće su ovi brojevi dati direktno u tekstu problema. Štaviše, nije važno šta tačno brojati: repove ili orlove. Odgovor će biti isti.

Na prvi pogled, teorema izgleda previše glomazna. Ali vrijedi malo vježbe - i više se ne želite vraćati na standardni algoritam opisan gore.

Novčić se baca četiri puta. Nađite vjerovatnoću da će se glave pojaviti tačno tri puta.

Rješenje

Prema stanju zadatka, ukupan broj bacanja je bion = 4. Potreban broj grla:k = 3. Zamjenan ik u formulu:

Sa istim uspjehom možete izbrojati broj repova:k = 4 − 3 = 1. Odgovor će biti isti.

Odgovori

0,25

zadatak [ Radna sveska“USE 2012 iz matematike. Zadaci B6»]

Novčić se baca tri puta. Nađite vjerovatnoću da se nikada ne pojavi rep.

Rješenje

Ponovo ispisujem brojeven ik . Pošto se novčić baci 3 puta,n = 3. A pošto ne bi trebalo biti repova,k = 0. Ostaje zamijeniti brojeven ik u formulu:

Dozvolite mi da vas podsjetim da je 0! = 1 po definiciji. Zbog togaC 3 0 = 1.

Odgovori

0,125

Zadatak [Probni ispit iz matematike 2012. Irkutsk]

U slučajnom eksperimentu, simetrični novčić se baca 4 puta. Pronađite vjerovatnoću da će se glava više puta pojaviti nego rep.

Rješenje

Da bi bilo više glava nego repova, moraju ispasti ili 3 puta (onda će biti 1 rep) ili 4 (tada repova uopće neće biti). Nađimo vjerovatnoću svakog od ovih događaja.

Nekastr 1 - vjerovatnoća da će glave ispasti 3 puta. Ondan = 4, k = 3. Imamo:

Sad hajde da nađemostr 2 - vjerovatnoća da će glave ispasti sva 4 puta. U ovom slučajun = 4, k = 4. Imamo:

Da bismo dobili odgovor, ostaje da saberemo verovatnoćestr 1 istr 2 . Zapamtite: možete dodati vjerovatnoće samo za događaje koji se međusobno isključuju. Imamo:

str = str 1 + str 2 = 0,25 + 0,0625 = 0,3125

Odgovori

0,3125

Kako biste uštedjeli vaše vrijeme na pripremama sa momcima za Jedinstveni državni ispit i GIA, predstavili smo rješenja za još mnogo zadataka koje možete izabrati i riješiti sa momcima.

Materijali GIA, Jedinstveni državni ispit raznih godina, udžbenici i sajtovi.

IV. Referentni materijal

Do danas je predstavljen u otvorenoj banci matematičkih zadataka USE (mathege.ru), čije se rješenje zasniva samo na jednoj formuli, koja je klasična definicija vjerovatnoće.

Najlakši način za razumijevanje formule je pomoću primjera.
Primjer 1 U košu se nalazi 9 crvenih i 3 plave loptice. Lopte se razlikuju samo po boji. Nasumično (bez gledanja) dobijamo jednu od njih. Kolika je vjerovatnoća da tako odabrana lopta bude plava?

Komentar. U problemima u teoriji vjerovatnoće dešava se nešto (u ovom slučaju naša akcija povlačenja lopte) što može imati drugačiji rezultat – ishod. Treba napomenuti da se rezultat može posmatrati na različite načine. "Izvukli smo loptu" je takođe rezultat. "Izvukli smo plavu loptu" rezultat je. "Izvukli smo ovu konkretnu loptu od svih mogućih lopti" - ovaj najmanje generalizovan pogled na rezultat naziva se elementarni ishod. U formuli za izračunavanje vjerovatnoće podrazumijevaju se elementarni ishodi.

Rješenje. Sada izračunavamo vjerovatnoću odabira plave lopte.
Događaj A: "odabrana lopta je ispala plava"
Ukupan broj svi mogući ishodi: 9+3=12 (broj svih loptica koje smo mogli izvući)
Broj ishoda povoljnih za događaj A: 3 (broj takvih ishoda u kojima se dogodio događaj A - odnosno broj plavih loptica)
P(A)=3/12=1/4=0,25
Odgovor: 0,25

Izračunajmo za isti problem vjerovatnoću izbora crvene lopte.
Ukupan broj mogućih ishoda će ostati isti, 12. Broj povoljnih ishoda: 9. Željena vjerovatnoća: 9/12=3/4=0,75

Vjerovatnoća bilo kojeg događaja uvijek je između 0 i 1.
Ponekad se u svakodnevnom govoru (ali ne u teoriji vjerovatnoće!) vjerovatnoća događaja procjenjuje kao postotak. Prijelaz između matematičke i konverzacijske procjene se vrši množenjem (ili dijeljenjem) sa 100%.
dakle,
U ovom slučaju, vjerovatnoća je nula za događaje koji se ne mogu dogoditi - malo vjerovatno. Na primjer, u našem primjeru, to bi bila vjerovatnoća izvlačenja zelene lopte iz koša. (Broj povoljnih ishoda je 0, P(A)=0/12=0 ako se računa po formuli)
Vjerovatnoća 1 ima događaje koji će se apsolutno sigurno dogoditi, bez opcija. Na primjer, vjerovatnoća da će "odabrana lopta biti ili crvena ili plava" je za naš problem. (Broj povoljnih ishoda: 12, P(A)=12/12=1)

Pogledali smo klasičan primjer koji ilustruje definiciju vjerovatnoće. Svi slični USE problemi u teoriji vjerojatnosti rješavaju se pomoću ove formule.
Umjesto crvenih i plavih loptica mogu biti jabuke i kruške, dječaci i djevojčice, naučene i nenaučene tikete, karte koje sadrže i ne sadrže pitanje na temu (prototipovi, ), neispravne i kvalitetne torbe ili vrtne pumpe (prototipovi, ) - princip ostaje isti.

Oni se neznatno razlikuju u formulaciji problema teorije vjerovatnoće USE, gdje je potrebno izračunati vjerovatnoću da će se događaj dogoditi određenog dana. ( , ) Kao iu prethodnim zadacima, potrebno je odrediti što je elementarni ishod, a zatim primijeniti istu formulu.

Primjer 2 Konferencija traje tri dana. Prvog i drugog dana po 15 govornika, trećeg dana 20. Kolika je vjerovatnoća da će izvještaj profesora M. pasti trećeg dana, ako se redoslijed izvještaja određuje žrijebom?

Šta je ovde osnovni ishod? - Dodjeljivanje izvještaja profesora jednom od svih mogućih serijskih brojeva za govor. U izvlačenju učestvuje 15+15+20=50 ljudi. Dakle, izvještaj profesora M. može dobiti jedan od 50 brojeva. To znači da postoji samo 50 elementarnih ishoda.
Koji su povoljni ishodi? - One u kojima se ispostavi da će profesor govoriti treći dan. Odnosno, zadnjih 20 brojeva.
Prema formuli, vjerovatnoća P(A)= 20/50=2/5=4/10=0,4
Odgovor: 0.4

Izvlačenje žrijeba je uspostavljanje slučajne korespondencije između ljudi i naručenih mjesta. U primjeru 2, uparivanje je razmatrano u smislu toga koja od mjesta određena osoba može zauzeti. Istoj situaciji možete pristupiti i s druge strane: koji bi od ljudi s kojom vjerovatnoćom mogao doći do određenog mjesta (prototipovi , , , ):

Primjer 3 U žrijebu učestvuje 5 Nijemaca, 8 Francuza i 3 Estonca. Kolika je vjerovatnoća da prvi (/drugi/sedmi/poslednji - nije bitno) bude Francuz.

Broj elementarnih ishoda je broj svih mogućih ljudi koji bi žrijebom mogli doći do određenog mjesta. 5+8+3=16 osoba.
Povoljni ishodi - Francuzi. 8 osoba.
Željena vjerovatnoća: 8/16=1/2=0,5
Odgovor: 0,5

Prototip je malo drugačiji. Postoje zadaci o novčićima () i kockicama () koji su nešto kreativniji. Rješenja za ove probleme mogu se naći na stranicama prototipa.

Evo nekoliko primjera bacanja novčića ili kocke.

Primjer 4 Kada bacimo novčić, kolika je vjerovatnoća da ćemo dobiti repove?
Ishod 2 - glava ili rep. (veruje se da novčić nikada ne pada na ivicu) Povoljan ishod - repovi, 1.
Vjerovatnoća 1/2=0,5
Odgovor: 0,5.

Primjer 5Šta ako dvaput bacimo novčić? Kolika je vjerovatnoća da će se oba puta pojaviti?
Glavna stvar je odrediti koje ćemo elementarne ishode uzeti u obzir prilikom bacanja dva novčića. Nakon bacanja dva novčića, može se dogoditi jedan od sljedećih rezultata:
1) PP - oba puta je došlo do repova
2) PO - prvi put repovi, drugi put glave
3) OP - prvi put glava, drugi put rep
4) OO - glava gore oba puta
Nema drugih opcija. To znači da postoje 4 elementarna ishoda, samo je prvi povoljan, 1.
Vjerovatnoća: 1/4=0,25
Odgovor: 0,25

Kolika je vjerovatnoća da će dva bacanja novčića pasti na rep?
Broj elementarnih ishoda je isti, 4. Povoljni ishodi su drugi i treći, 2.
Verovatnoća dobijanja jednog repa: 2/4=0,5

U takvim problemima može dobro doći još jedna formula.
Ako pri jednom bacanju novčića imamo 2 moguća ishoda, tada će za dva bacanja rezultata biti 2 2=2 2 =4 (kao u primjeru 5), za tri bacanja 2 2 2=2 3 =8, za četiri : 2·2·2·2=2 4 =16, … za N bacanja mogućih ishoda bit će 2·2·...·2=2 N .

Dakle, možete pronaći vjerovatnoću da dobijete 5 repova od 5 bacanja novčića.
Ukupan broj elementarnih ishoda: 2 5 =32.
Povoljni ishodi: 1. (RRRRRR - svih 5 puta rep)
Verovatnoća: 1/32=0,03125

Isto važi i za kockice. Sa jednim bacanjem ima 6 mogućih rezultata.Dakle, za dva bacanja: 6 6=36, za tri 6 6 6=216 itd.

Primjer 6 Bacamo kocku. Kolika je vjerovatnoća da dobijete paran broj?

Ukupni ishodi: 6, prema broju lica.
Povoljno: 3 ishoda. (2, 4, 6)
Vjerovatnoća: 3/6=0,5

Primjer 7 Baci dve kocke. Kolika je vjerovatnoća da se ukupno baca 10? (zaokružiti na stotinke)

Postoji 6 mogućih ishoda za jednu kocku. Dakle, za dva, prema gornjem pravilu, 6·6=36.
Koji će ishodi biti povoljni da ukupno 10 ispadne?
10 se mora razložiti u zbir dva broja od 1 do 6. To se može učiniti na dva načina: 10=6+4 i 10=5+5. Dakle, za kocke su moguće opcije:
(6 na prvom i 4 na drugom)
(4 na prvom i 6 na drugom)
(5 na prvom i 5 na drugom)
Ukupno 3 opcije. Željena vjerovatnoća: 3/36=1/12=0,08
Odgovor: 0.08

Ostale vrste B6 problema će se raspravljati u jednom od sljedećih članaka "Kako riješiti".

Vjerovatnoća događaja $A$ je omjer broja ishoda povoljnih za $A$ i broja svih jednako mogućih ishoda

$P(A)=(m)/(n)$, gdje je $n$ ukupan broj mogućih ishoda, a $m$ je broj ishoda koji favoriziraju $A$.

Vjerovatnoća događaja je broj iz segmenta $$

Taksi kompanija ima na raspolaganju 50$ automobila. 35$ od njih su crne, ostale su žute. Pronađite vjerovatnoću da žuti automobil stigne na nasumični poziv.

Pronađite broj žutih automobila:

Ukupno ima automobila od 50$, odnosno jedan od pedeset će doći na poziv. Postoji 15$ žutih automobila, stoga je vjerovatnoća dolaska žutog automobila $(15)/(50)=(3)/(10)=0,3$

Odgovor: 0,3$

Suprotni događaji

Za dva događaja se kaže da su suprotna ako su u datom ispitivanju nespojiva i jedan od njih se nužno dogodi. Vjerovatnoće suprotnih događaja su 1. Događaj suprotan događaju $A$ piše se $((A))↖(-)$.

$P(A)+P((A))↖(-)=1$

Nezavisni događaji

Dva događaja $A$ i $B$ nazivaju se nezavisnim ako vjerovatnoća pojave svakog od njih ne zavisi od toga da li se drugi događaj dogodio ili ne. Inače, događaji se nazivaju zavisni.

Verovatnoća proizvoda dva nezavisna događaja $A$ i $B$ jednaka je proizvodu ovih verovatnoća:

$P(A B)=P(A) P(B)$

Ivan Ivanovič je kupio dvije različite lutrije. Vjerovatnoća da će prvi tiket pobijediti je 0,15$. Vjerovatnoća da će drugi tiket pobijediti je 0,12 dolara. Ivan Ivanovič učestvuje u oba izvlačenja. Uz pretpostavku da se ždrijebovi održavaju nezavisno jedan od drugog, pronađite vjerovatnoću da Ivan Ivanovič pobijedi u oba izvlačenja.

Vjerovatnoća $P(A)$ - osvaja prvi tiket.

Verovatnoća $P(B)$ - osvaja drugi listić.

Događaji $A$ i $B$ su nezavisnih događaja. To jest, da biste pronašli vjerovatnoću da će se oba događaja dogoditi, morate pronaći proizvod vjerovatnoća

$P(A B)=P(A) P(B)$

$P=0,15 0,12=0,018$

Odgovor: 0,018 dolara

Nekompatibilni događaji

Kaže se da su dva događaja $A$ i $B$ nekompatibilna ako nema ishoda koji favorizuju i događaj $A$ i događaj $B$. (Događaji koji se ne mogu dogoditi u isto vrijeme)

Verovatnoća zbira dva nekompatibilna događaja $A$ i $B$ jednaka je zbiru verovatnoća ovih događaja:

$P(A+B)=P(A)+P(B)$

Na ispitu iz algebre student dobije jedno pitanje od svih ispita. Vjerovatnoća da je ovo pitanje na temu " Kvadratne jednadžbe", jednako je 0,3$. Vjerovatnoća da je ovo pitanje iz iracionalnih jednačina je 0,18$. Nema pitanja vezanih za ove dvije teme u isto vrijeme. Odrediti vjerovatnoću da će student na ispitu dobiti pitanje o jednoj od ove dvije teme.

Ovi događaji se nazivaju nespojivim, jer će učenik dobiti pitanje ILI na temu „Kvadrikularne jednačine“, ILI na temu „Iracionalne jednačine“. Teme se ne mogu uhvatiti u isto vrijeme. Verovatnoća zbira dva nekompatibilna događaja $A$ i $B$ jednaka je zbiru verovatnoća ovih događaja:

$P(A+B)=P(A)+P(B)$

$P = 0,3 + 0,18 \u003d 0,48 $

Odgovor: 0,48 dolara

Zajednički događaji

Za dva događaja se kaže da su zajednička ako pojava jednog od njih ne isključuje pojavu drugog u istom ispitivanju. U suprotnom, događaji se nazivaju nekompatibilnim.

Verovatnoća zbira dva zajednička događaja $A$ i $B$ jednaka je zbiru verovatnoća ovih događaja minus verovatnoća njihovog proizvoda:

$P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A B)$

U holu kina nalaze se dva identična aparata za kafu. Vjerovatnoća da će aparat ostati bez kafe do kraja dana je 0,6$. Vjerovatnoća da obje mašine ostanu bez kafe je 0,32$. Pronađite vjerovatnoću da će barem jednom od automata ostati bez kafe do kraja dana.

Označimo događaje, neka:

$A$ = kafa će završiti u prvoj mašini,

$B$ = kafa će završiti u drugoj mašini.

$A B =$ kafa će nestati u oba automata,

$A + B =$ kafa će nestati u najmanje jednom automatu.

Po konvenciji, $P(A) = P(B) = 0,6; P(A B) = 0,32 USD.

Događaji $A$ i $B$ su zajednički, vjerovatnoća zbira dva zajednička događaja jednaka je zbroju vjerovatnoća ovih događaja, umanjena za vjerovatnoću njihovog proizvoda:

$P(A + B) = P(A) + P(B) − P(A B) = 0,6 + 0,6 − 0,32 = 0,88 $