Ugao između vektora

Da bismo uveli koncept unakrsnog proizvoda dva vektora, prvo se moramo pozabaviti konceptom kao što je ugao između ovih vektora.

Neka su nam data dva vektora $\overline(α)$ i $\overline(β)$. Uzmimo neku tačku $O$ u prostoru i odvojimo vektore $\overline(α)=\overline(OA)$ i $\overline(β)=\overline(OB)$ iz nje, a zatim ugao $AOB $ će se zvati ugao između ovih vektora (slika 1).

Notacija: $∠(\overline(α),\overline(β))$

Koncept unakrsnog proizvoda vektora i formula za pronalaženje

Definicija 1

Vektorski proizvod dva vektora je vektor okomit na oba data vektora, a njegova dužina će biti jednaka proizvodu dužina ovih vektora sa sinusom ugla između ovih vektora, a ovaj vektor sa dva početna ima isti orijentacija kao Dekartov koordinatni sistem.

Oznaka: $\overline(α)h\overline(β)$.

Matematički to izgleda ovako:

1. $|\overline(α)x\overline(β)|=|\overline(α)||\overline(β)|sin⁡∠(\overline(α),\overline(β))$
2. $\overline(α)x\overline(β)⊥\overline(α)$, $\overline(α)x\overline(β)⊥\overline(β)$
3. $(\overline(α)x\overline(β),\overline(α),\overline(β))$ i $(\overline(i),\overline(j),\overline(k))$ su isto orijentisan (sl. 2)

Očigledno, vanjski proizvod vektora će biti jednak nultom vektoru u dva slučaja:

1. Ako je dužina jednog ili oba vektora nula.
2. Ako je ugao između ovih vektora jednak $180^\circ$ ili $0^\circ$ (jer je u ovom slučaju sinus jednak nuli).

Da biste jasno vidjeli kako se nalazi unakrsni proizvod vektora, razmotrite sljedeće primjere rješenja.

Primjer 1

Pronađite dužinu vektora $\overline(δ)$, koji će biti rezultat unakrsnog proizvoda vektora, sa koordinatama $\overline(α)=(0,4,0)$ i $\overline(β) =(3,0,0 )$.

Rješenje.

Opišimo ove vektore u kartezijanskom koordinatnom prostoru (slika 3):

Slika 3. Vektori u Dekartovom koordinatnom prostoru. Author24 - online razmjena studentskih radova

Vidimo da ovi vektori leže na $Ox$ i $Oy$ osi, respektivno. Stoga će ugao između njih biti jednak $90^\circ$. Nađimo dužine ovih vektora:

$|\overline(α)|=\sqrt(0+16+0)=4$

$|\overline(β)|=\sqrt(9+0+0)=3$

Tada, prema definiciji 1, dobijamo modul $|\overline(δ)|$

$|\overline(δ)|=|\overline(α)||\overline(β)|sin90^\circ=4\cdot 3\cdot 1=12$

Odgovor: 12$.

Izračunavanje unakrsnog proizvoda po koordinatama vektora

Definicija 1 odmah implicira način da se pronađe unakrsni proizvod za dva vektora. Pošto vektor, osim vrijednosti, ima i smjer, nemoguće ga je pronaći samo pomoću skalarne vrijednosti. Ali osim njega, postoji još jedan način da pomoću koordinata pronađemo vektore koji su nam dati.

Neka nam budu dati vektori $\overline(α)$ i $\overline(β)$, koji će imati koordinate $(α_1,α_2,α_3)$ i $(β_1,β_2,β_3)$, respektivno. Tada se vektor unakrsnog proizvoda (naime njegove koordinate) može pronaći po sljedećoj formuli:

$\overline(α)x\overline(β)=\begin(vmatrix)\overline(i)&\overline(j)&\overline(k)\\α_1&α_2&α_3\\β_1&β_2&β_3\end(vmatrix)$

Inače, proširivanjem determinante, dobijamo sledeće koordinate

$\overline(α)h\overline(β)=(α_2 β_3-α_3 β_2,α_3 β_1-α_1 β_3,α_1 β_2-α_2 β_1)$

Primjer 2

Pronađite vektor unakrsnog proizvoda kolinearnih vektora $\overline(α)$ i $\overline(β)$ sa koordinatama $(0,3,3)$ i $(-1,2,6)$.

Rješenje.

Koristimo gornju formulu. Get

$\overline(α)x\overline(β)=\begin(vmatrix)\overline(i)&\overline(j)&\overline(k)\\0&3&3\\-1&2&6\end(vmatrix)=(18 -6)\overline(i)-(0+3)\overline(j)+(0+3)\overline(k)=12\overline(i)-3\overline(j)+3\overline(k )=(12,-3,3)$

Odgovor: $(12,-3,3)$.

Svojstva unakrsnog proizvoda vektora

Za proizvoljna pomiješana tri vektora $\overline(α)$, $\overline(β)$ i $\overline(γ)$, kao i $r∈R$, vrijede sljedeće osobine:

Primjer 3

Pronađite površinu paralelograma čiji vrhovi imaju koordinate $(3,0,0)$, $(0,0,0)$, $(0,8,0)$ i $(3,8,0) $.

Rješenje.

Prvo nacrtajte ovaj paralelogram u koordinatnom prostoru (slika 5):

Slika 5. Paralelogram u koordinatnom prostoru. Author24 - online razmjena studentskih radova

Vidimo da su dvije strane ovog paralelograma konstruirane pomoću kolinearnih vektora sa koordinatama $\overline(α)=(3,0,0)$ i $\overline(β)=(0,8,0)$. Koristeći četvrto svojstvo, dobijamo:

$S=|\overline(α)x\overline(β)|$

Pronađite vektor $\overline(α)h\overline(β)$:

$\overline(α)x\overline(β)=\begin(vmatrix)\overline(i)&\overline(j)&\overline(k)\\3&0&0\\0&8&0\end(vmatrix)=0\overline (i)-0\overline(j)+24\overline(k)=(0,0,24)$

Shodno tome

$S=|\overline(α)x\overline(β)|=\sqrt(0+0+24^2)=24$

Prije nego damo pojam vektorskog proizvoda, osvrnimo se na pitanje orijentacije uređene trojke vektora a → , b → , c → u trodimenzionalnom prostoru.

Za početak, odvojimo vektore a → , b → , c → iz jedne tačke. Orijentacija trojke a → , b → , c → je desna ili lijeva, ovisno o smjeru vektora c → . Iz smjera u kojem se pravi najkraći okret od vektora a → do b → od kraja vektora c → , odredit će se oblik trojke a → , b → , c →.

Ako je najkraća rotacija u smjeru suprotnom od kazaljke na satu, tada se trojka vektora a → , b → , c → naziva u pravu ako u smjeru kazaljke na satu - lijevo.

Zatim uzmite dva nekolinearna vektora a → i b → . Odložimo tada vektore A B → = a → i A C → = b → iz tačke A. Konstruirajmo vektor A D → = c → , koji je istovremeno okomit i na A B → i na A C → . Dakle, kada konstruišemo vektor A D → = c →, možemo uraditi dve stvari, dajući mu ili jedan ili suprotan smer (vidi ilustraciju).

Uređeni trio vektora a → , b → , c → može biti, kako smo saznali, desni ili levi u zavisnosti od smera vektora.

Iz navedenog možemo uvesti definiciju vektorskog proizvoda. Ova definicija data je za dva vektora definisana u pravougaonom koordinatnom sistemu trodimenzionalnog prostora.

Definicija 1

Vektorski proizvod dva vektora a → i b → nazvaćemo takav vektor dat u pravougaonom koordinatnom sistemu trodimenzionalnog prostora tako da:

• ako su vektori a → i b → kolinearni, biće nula;
• bit će okomit na vektor a →​​ i vektor b → tj. ∠ a → c → = ∠ b → c → = π 2 ;
• njegova dužina je određena formulom: c → = a → b → sin ∠ a → , b → ;
• triplet vektora a → , b → , c → ima istu orijentaciju kao dati koordinatni sistem.

Unakrsni proizvod vektora a → i b → ima sljedeću notaciju: a → × b → .

Unakrsne koordinate proizvoda

Pošto svaki vektor ima određene koordinate u koordinatnom sistemu, moguće je uvesti drugu definiciju unakrsnog proizvoda, koja će vam omogućiti da pronađete njegove koordinate iz datih koordinata vektora.

Definicija 2

U pravougaonom koordinatnom sistemu trodimenzionalnog prostora vektorski proizvod dva vektora a → = (a x ; a y ; a z) i b → = (b x ; b y ; b z) nazovimo vektor c → = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → , gdje su i → , j → , k → koordinatni vektori.

Vektorski proizvod se može predstaviti kao determinanta kvadratna matrica trećeg reda, gdje su prvi red vektori i → , j → , k → , drugi red sadrži koordinate vektora a → , a treći red sadrži koordinate vektora b → u datoj pravokutnoj koordinati sistema, ova matrična determinanta izgleda ovako: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z

Proširujući ovu determinantu preko elemenata prvog reda, dobijamo jednakost: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = a y a z b y b z i → - a x a z b x b z j → + a x a y b x b y k → = = ( a → × b → = a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k →

Unakrsna svojstva proizvoda

Poznato je da je vektorski proizvod u koordinatama predstavljen kao determinanta matrice c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z , a zatim na bazi svojstva determinante matrice sljedeće svojstva vektorskog proizvoda:

1. antikomutativnost a → × b → = - b → × a → ;
2. distributivnost a (1) → + a (2) → × b = a (1) → × b → + a (2) → × b → ili a → × b (1) → + b (2) → = a → × b (1) → + a → × b (2) → ;
3. asocijativnost λ a → × b → = λ a → × b → ili a → × (λ b →) = λ a → × b → , gdje je λ proizvoljan realan broj.

Ova svojstva nemaju komplikovane dokaze.

Na primjer, možemo dokazati svojstvo antikomutativnosti vektorskog proizvoda.

Dokaz antikomutativnosti

Po definiciji, a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z i b → × a → = i → j → k → b x b y b z a x a y a z . A ako se dva reda matrice zamijene, tada bi se vrijednost determinante matrice trebala promijeniti u suprotno, dakle, a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = - i → j → k → b x b y b z a x a y a z = - b → × a → , što i dokazuje antikomutativnost vektorskog proizvoda.

Vektorski proizvod - Primjeri i rješenja

U većini slučajeva postoje tri vrste zadataka.

U problemima prvog tipa obično su date dužine dva vektora i ugao između njih, ali morate pronaći dužinu unakrsnog proizvoda. U ovom slučaju koristite sljedeću formulu c → = a → b → sin ∠ a → , b → .

Primjer 1

Pronađite dužinu unakrsnog proizvoda vektora a → i b → ako je poznato a → = 3, b → = 5, ∠ a →, b → = π 4.

Rješenje

Koristeći definiciju dužine vektorskog proizvoda vektora a → i b →, rješavamo ovaj problem: a → × b → = a → b → sin ∠ a → , b → = 3 5 sin π 4 = 15 2 2 .

odgovor: 15 2 2 .

Zadaci drugog tipa imaju vezu sa koordinatama vektora, sadrže vektorski proizvod, njegovu dužinu itd. se pretražuju kroz poznate koordinate datih vektora a → = (a x ; a y ; a z) i b → = (b x ; b y ; b z) .

Za ovu vrstu zadatka možete riješiti mnogo opcija za zadatke. Na primjer, ne koordinate vektora a → i b → , već njihove ekspanzije u koordinatnim vektorima oblika b → = b x i → + b y j → + b z k → i c → = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → , ili vektori a → i b → mogu biti dati koordinatama njihovih početne i krajnje tačke.

Razmotrite sljedeće primjere.

Primjer 2

Dva vektora postavljena su u pravougaoni koordinatni sistem a → = (2 ; 1 ; - 3) , b → = (0 ; - 1 ; 1) . Pronađite njihov vektorski proizvod.

Rješenje

Prema drugoj definiciji, nalazimo unakrsni proizvod dva vektora u datim koordinatama: a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → = = (1 1 - (- 3) (- 1)) i → + ((- 3) 0 - 2 1) j → + (2 (- 1) - 1 0) k → = = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

Ako unakrsni proizvod zapišemo u terminima determinante matrice, onda je rješenje ovaj primjer izgleda ovako: a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = i → j → k → 2 1 - 3 0 - 1 1 = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

odgovor: a → × b → = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

Primjer 3

Odrediti dužinu unakrsnog proizvoda vektora i → - j → i i → + j → + k → , gdje je i → , j → , k → - orti pravokutnog Dekartovog koordinatnog sistema.

Rješenje

Prvo, pronađimo koordinate datog vektorskog proizvoda i → - j → × i → + j → + k → u datom pravougaonom koordinatnom sistemu.

Poznato je da vektori i → - j → i i → + j → + k → imaju koordinate (1 ; - 1 ; 0) i (1 ; 1 ; 1) respektivno. Nađite dužinu vektorskog proizvoda koristeći determinantu matrice, tada imamo i → - j → × i → + j → + k → = i → j → k → 1 - 1 0 1 1 1 = - i → - j → + 2 k → .

Dakle, vektorski proizvod i → - j → × i → + j → + k → ima koordinate (- 1 ; - 1 ; 2) u datom koordinatnom sistemu.

Dužinu vektorskog proizvoda nalazimo po formuli (pogledajte dio o pronalaženju dužine vektora): i → - j → × i → + j → + k → = - 1 2 + - 1 2 + 2 2 = 6 .

odgovor: i → - j → × i → + j → + k → = 6 . .

Primjer 4

Koordinate tri tačke A (1, 0, 1), B (0, 2, 3), C (1, 4, 2) date su u pravougaonom Dekartovom koordinatnom sistemu. Nađite vektor okomit na A B → i A C → u isto vrijeme.

Rješenje

Vektori A B → i A C → imaju sljedeće koordinate (- 1 ; 2 ; 2) i (0 ; 4 ; 1) redom. Nakon što smo pronašli vektorski proizvod vektora A B → i A C → , očigledno je da je to okomit vektor po definiciji i na A B → i na A C → , odnosno da je rješenje našeg problema. Pronađite ga A B → × A C → = i → j → k → - 1 2 2 0 4 1 = - 6 i → + j → - 4 k → .

odgovor: - 6 i → + j → - 4 k → . je jedan od okomitih vektora.

Problemi trećeg tipa fokusirani su na korištenje svojstava vektorskog proizvoda vektora. Nakon primjene koje, dobićemo rješenje zadatog problema.

Primjer 5

Vektori a → i b → su okomiti i njihove dužine su 3 odnosno 4. Pronađite dužinu unakrsnog proizvoda 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b → .

Rješenje

Po svojstvu distributivnosti vektorskog proizvoda možemo napisati 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b →

Svojstvom asocijativnosti uzimamo numeričke koeficijente izvan znaka vektorskih proizvoda u posljednjem izrazu: 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 (- 2) a → × b → + (- 1) b → × a → + (- 1) (- 2) b → × b → = = 3 a → × a → - 6 a → × b → - b → × a → + 2 b → × b →

Vektorski proizvodi a → × a → i b → × b → jednaki su 0, budući da su a → × a → = a → a → sin 0 = 0 i b → × b → = b → b → sin 0 = 0 , onda 3 a → × a → - 6 a → × b → - b → × a → + 2 b → × b → = - 6 a → × b → - b → × a → . .

Iz antikomutativnosti vektorskog proizvoda slijedi - 6 a → × b → - b → × a → = - 6 a → × b → - (- 1) a → × b → = - 5 a → × b → . .

Koristeći svojstva vektorskog proizvoda, dobijamo jednakost 3 · a → - b → × a → - 2 · b → = = - 5 · a → × b → .

Pod uslovom, vektori a → i b → su okomiti, odnosno ugao između njih jednak je π 2 . Sada ostaje samo zamijeniti pronađene vrijednosti u odgovarajuće formule: 3 a → - b → × a → - 2 b → = - 5 a → × b → = = 5 a → × b → = 5 a → b → sin (a →, b →) = 5 3 4 sin π 2 = 60.

odgovor: 3 a → - b → × a → - 2 b → = 60 .

Dužina unakrsnog proizvoda vektora po definiciji je a → × b → = a → · b → · sin ∠ a → , b → . Pošto je već poznato (od školski kurs) da je površina trokuta polovina proizvoda dužina njegovih dviju stranica pomnoženog sa sinusom ugla između datih stranica. Dakle, dužina vektorskog proizvoda jednaka je površini paralelograma - udvojenog trokuta, odnosno proizvoda stranica u obliku vektora a → i b → , odloženih iz jedne tačke, sinusom ugla između njih sin ∠ a → , b → .

To je ono što je geometrijsko značenje vektorski proizvod.

Fizičko značenje vektorskog proizvoda

U mehanici, jednoj od grana fizike, zahvaljujući vektorskom proizvodu, možete odrediti moment sile u odnosu na tačku u prostoru.

Definicija 3

Pod momentom sile F → , primenjenom na tačku B, u odnosu na tačku A razumećemo sledeći vektorski proizvod A B → × F → .

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

U ovoj lekciji ćemo pogledati još dvije operacije s vektorima: unakrsni proizvod vektora i mješoviti proizvod vektora (odmah link za one kojima treba). U redu je, ponekad se desi da za potpunu sreću, pored tačkasti proizvod vektora, potrebno je sve više i više. Takva je vektorska ovisnost. Može se steći utisak da ulazimo u džunglu analitičke geometrije. Ovo nije istina. U ovom dijelu više matematike općenito ima malo drva za ogrjev, osim možda dovoljno za Pinokija. Zapravo, materijal je vrlo uobičajen i jednostavan - jedva teži od istog skalarni proizvod, čak će biti i manje tipičnih zadataka. Glavna stvar u analitičkoj geometriji, kao što će mnogi vidjeti ili su već vidjeli, je NE POGREŠITI PRORAČUN. Ponovite kao čaroliju i bićete sretni =)

Ako vektori svjetlucaju negdje daleko, kao munja na horizontu, nije važno, počnite s lekcijom Vektori za lutke vratiti ili otkupiti osnovno znanje o vektorima. Spremniji čitatelji mogu se selektivno upoznati s informacijama, pokušao sam prikupiti najpotpuniju zbirku primjera koji se često nalaze u praktičan rad

Šta će vas usrećiti? Kada sam bio mali, znao sam da žongliram sa dve, pa čak i sa tri lopte. Dobro je ispalo. Sada nema potrebe za žongliranjem, jer ćemo razmotriti samo svemirski vektori, a ravni vektori sa dvije koordinate će biti izostavljeni. Zašto? Tako su se ove radnje rodile - vektor i mješoviti proizvod vektora su definirani i rade u trodimenzionalnom prostoru. Već lakše!

U ovoj operaciji, na isti način kao u skalarnom proizvodu, dva vektora. Neka to budu neprolazna slova.

Sama akcija označeno na sledeći način: . Postoje i druge opcije, ali ja sam navikao da označavam unakrsni proizvod vektora na ovaj način, u uglastim zagradama sa krstom.

I to odmah pitanje: ako je u tačkasti proizvod vektora dva vektora su uključena, a ovdje se dva vektora također množe koja je razlika? Jasna razlika, prije svega, u REZULTATU:

Rezultat skalarnog proizvoda vektora je BROJ:

Rezultat unakrsnog proizvoda vektora je VEKTOR: , odnosno množimo vektore i ponovo dobijamo vektor. Zatvoren klub. Zapravo, otuda i naziv operacije. U različitoj obrazovnoj literaturi oznake se također mogu razlikovati, koristit ću slovo .

Definicija unakrsnog proizvoda

Prvo će biti definicija sa slikom, zatim komentari.

Definicija: unakrsni proizvod nekolinearno vektori, uzeti ovim redoslijedom, zove se VEKTOR, dužinašto je brojčano jednaka površini paralelograma, izgrađen na ovim vektorima; vektor ortogonalno na vektore, i usmjeren je tako da osnova ima pravu orijentaciju:

Definiciju analiziramo po kostima, ima puno zanimljivih stvari!

Dakle, možemo istaći sljedeće važne tačke:

1) Izvorni vektori, označeni crvenim strelicama, po definiciji nije kolinearno. Bilo bi prikladno razmotriti slučaj kolinearnih vektora malo kasnije.

2) Vektori uzeti po strogom redu: – "a" se množi sa "biti", a ne "biti" do "a". Rezultat vektorskog množenja je VEKTOR, koji je označen plavom bojom. Ako se vektori pomnože obrnutim redoslijedom, onda ćemo dobiti vektor jednake dužine i suprotnog smjera (grimizna boja). Odnosno, jednakost .

3) Hajde da se sada upoznamo sa geometrijskim značenjem vektorskog proizvoda. Ovo je veoma važna tačka! DUŽINA plavog vektora (a samim tim i grimiznoga vektora) je numerički jednaka POVRŠINI paralelograma izgrađenog na vektorima. Na slici je ovaj paralelogram obojen crnom bojom.

Bilješka : crtež je shematski, i, naravno, nazivna dužina poprečnog proizvoda nije jednaka površini paralelograma.

Podsjećamo na jednu od geometrijskih formula: površina paralelograma jednaka je umnošku susjednih stranica i sinusa ugla između njih. Stoga, na osnovu prethodno navedenog, vrijedi formula za izračunavanje DUŽINE vektorskog proizvoda:

Naglašavam da se u formuli govori o DUŽINI vektora, a ne o samom vektoru. Šta praktičnom smislu? A značenje je takvo da se u problemima analitičke geometrije površina paralelograma često nalazi kroz koncept vektorskog proizvoda:

Dobijamo drugu važnu formulu. Dijagonala paralelograma (crvena tačkasta linija) dijeli ga na dva jednaka trougla. Stoga se površina trokuta izgrađenog na vektorima (crveno sjenčanje) može pronaći po formuli:

4) Jednako važna činjenica je da je vektor ortogonan na vektore , tj . Naravno, suprotno usmjereni vektor (grimizna strelica) je također ortogonan na originalne vektore.

5) Vektor je usmjeren tako da osnovu Ima u pravu orijentacija. U lekciji o prelazak na novu osnovu O tome sam detaljno govorio orijentacija u ravni, a sada ćemo shvatiti kakva je orijentacija prostora. Na prste ću ti objasniti desna ruka. Mentalno kombinujte kažiprst sa vektorom i srednji prst sa vektorom. Domaći prst i mali prst pritisnite u svoj dlan. Kao rezultat thumb- vektorski proizvod će tražiti gore. Ovo je desno orijentisana osnova (na slici). Sada zamijenite vektore ( kažiprst i srednji prst) na nekim mjestima, kao rezultat toga, palac će se okrenuti, a vektorski proizvod će već gledati prema dolje. Ovo je takođe prava orijentisana osnova. Možda imate pitanje: na kojoj osnovi je lijeva orijentacija? "Dodijelite" iste prste lijeva ruka vektori i dobiju lijevu bazu i orijentaciju lijevog prostora (u ovom slučaju, palac će biti lociran u smjeru donjeg vektora). Slikovito rečeno, ove baze „uvijaju“ ili usmjeravaju prostor u različitim smjerovima. I ovaj koncept ne treba smatrati nečim nategnutim ili apstraktnim - na primjer, najobičnije ogledalo mijenja orijentaciju prostora, a ako "izvučete reflektirani predmet iz ogledala", onda općenito neće biti moguće kombinujte ga sa "originalom". Usput, prinesi tri prsta ogledalu i analiziraj odraz ;-)

... kako je dobro što sada znaš desno i lijevo orijentisan baze, jer su izjave nekih predavača o promeni orijentacije strašne =)

Vektorski proizvod kolinearnih vektora

Definicija je detaljno razrađena, ostaje da se otkrije šta se dešava kada su vektori kolinearni. Ako su vektori kolinearni, onda se mogu postaviti na jednu ravnu liniju i naš paralelogram se također "preklapa" u jednu pravu liniju. Područje takvog, kako kažu matematičari, degenerisati paralelogram je nula. Isto proizlazi iz formule - sinus nula ili 180 stepeni jednak je nuli, što znači da je površina nula

Dakle, ako , onda i . Napominjemo da je sam unakrsni proizvod jednak nultom vektoru, ali u praksi se to često zanemaruje i piše da je i on jednak nuli.

poseban slučaj je unakrsni proizvod vektora i samog sebe:

Koristeći unakrsni proizvod, možete provjeriti kolinearnost trodimenzionalnih vektora, a mi ćemo, između ostalog, analizirati i ovaj problem.

Za rješavanje praktičnih primjera može biti potrebno trigonometrijska tabela da se iz njega pronađu vrijednosti sinusa.

Pa, zapalimo vatru:

Primjer 1

a) Pronađite dužinu vektorskog proizvoda vektora if

b) Nađite površinu paralelograma izgrađenog na vektorima ako

Rješenje: Ne, ovo nije greška u kucanju, namjerno sam napravio iste početne podatke u stavkama uslova. Jer će dizajn rješenja biti drugačiji!

a) Prema uslovu, potrebno je pronaći dužina vektor (vektorski proizvod). Prema odgovarajućoj formuli:

Odgovori:

Pošto je postavljeno pitanje o dužini, onda u odgovoru navodimo dimenziju - jedinice.

b) Prema uslovu, potrebno je pronaći kvadrat paralelogram izgrađen na vektorima. Površina ovog paralelograma brojčano je jednaka dužini poprečnog proizvoda:

Odgovori:

Napominjemo da u odgovoru o vektorskom proizvodu uopće nema govora, o čemu su nas pitali područje figure, odnosno, dimenzija je kvadratna jedinica.

Uvek gledamo ŠTA je potrebno da se nađe uslovom i, na osnovu toga, formulišemo jasno odgovori. Možda se čini kao bukvalnost, ali među nastavnicima ima dovoljno literalista, a zadatak sa dobrim izgledima biće vraćen na doradu. Iako ovo nije posebno nategnuta zajebancija - ako je odgovor netačan, onda se stječe utisak da osoba ne razumije jednostavne stvari i/ili nije uronila u suštinu zadatka. Taj trenutak treba uvijek držati pod kontrolom, rješavajući bilo koji problem iz više matematike, ali i iz drugih predmeta.

Gdje je nestalo veliko slovo "en"? U principu, moglo bi se dodatno zaglaviti u rješenju, ali da bih skratio zapis, nisam. Nadam se da svi to razumiju i da je oznaka iste stvari.

Popularan primjer rješenja uradi sam:

Primjer 2

Pronađite površinu trokuta izgrađenog na vektorima if

Formula za pronalaženje površine trokuta kroz vektorski proizvod data je u komentarima na definiciju. Rješenje i odgovor na kraju lekcije.

U praksi je zadatak zaista vrlo čest, trokuti se generalno mogu mučiti.

Za rješavanje ostalih problema potrebno nam je:

Svojstva unakrsnog proizvoda vektora

Već smo razmotrili neka svojstva vektorskog proizvoda, međutim, uključit ću ih u ovu listu.

Za proizvoljne vektore i proizvoljan broj, sljedeća svojstva su tačna:

1) U drugim izvorima informacija ova stavka se obično ne razlikuje u svojstvima, ali je u praktičnom smislu veoma važna. Neka bude.

2) - o imovini se također govori gore, ponekad se naziva antikomutativnost. Drugim riječima, redoslijed vektora je bitan.

3) - kombinacija ili asocijativni zakoni o vektorskim proizvodima. Konstante se lako izvlače iz granica vektorskog proizvoda. Stvarno, šta oni tamo rade?

4) - distribucija ili distribucija zakoni o vektorskim proizvodima. Nema problema ni sa otvaranjem zagrada.

Kao demonstraciju, razmotrite kratak primjer:

Primjer 3

Pronađite ako

Rješenje: Po uslovu, opet je potrebno pronaći dužinu vektorskog proizvoda. Oslikajmo našu minijaturu:

(1) Prema asocijativnim zakonima izvlačimo konstante izvan granica vektorskog proizvoda.

(2) Konstantu vadimo iz modula, dok modul „jede“ znak minus. Dužina ne može biti negativna.

(3) Ono što slijedi je jasno.

Odgovori:

Vrijeme je da se baci drva na vatru:

Primjer 4

Izračunajte površinu trokuta izgrađenog na vektorima if

Rješenje: Pronađite površinu trokuta koristeći formulu . Problem je u tome što su vektori "ce" i "te" sami predstavljeni kao sume vektora. Algoritam je ovdje standardan i pomalo podsjeća na primjere br. 3 i 4 iz lekcije. Tačkasti proizvod vektora. Podijelimo to u tri koraka radi jasnoće:

1) U prvom koraku izražavamo vektorski proizvod kroz vektorski proizvod, zapravo, izraziti vektor u terminima vektora. Još nema reči o dužini!

(1) Zamjenjujemo izraze vektora .

(2) Koristeći distributivne zakone, otvorite zagrade prema pravilu množenja polinoma.

(3) Koristeći asocijativne zakone, izvlačimo sve konstante izvan vektorskih proizvoda. Uz malo iskustva, radnje 2 i 3 mogu se izvoditi istovremeno.

(4) Prvi i posljednji član jednaki su nuli (nulti vektor) zbog ugodnog svojstva . U drugom terminu koristimo svojstvo antikomutativnosti vektorskog proizvoda:

(5) Predstavljamo slične pojmove.

Kao rezultat toga, pokazalo se da je vektor izražen kroz vektor, što je i bilo potrebno da se postigne:

2) U drugom koraku nalazimo dužinu vektorskog proizvoda koji nam je potreban. Ova akcija podsjeća na primjer 3:

3) Pronađite površinu željenog trokuta:

Koraci 2-3 rješenja mogu se rasporediti u jedan red.

Odgovori:

Razmatrani problem je prilično čest u kontrolni rad, evo primjera za "uradi sam" rješenje:

Primjer 5

Pronađite ako

Kratko rješenje i odgovor na kraju lekcije. Da vidimo koliko ste bili pažljivi kada ste proučavali prethodne primjere ;-)

Unakrsni proizvod vektora u koordinatama

Formula je zaista jednostavna: koordinatne vektore upisujemo u gornji red determinante, koordinate vektora „pakujemo“ u drugi i treći red i stavljamo u strogom redu- prvo koordinate vektora "ve", zatim koordinate vektora "double-ve". Ako se vektori trebaju pomnožiti drugim redoslijedom, tada treba zamijeniti i linije:

Primjer 10

Provjerite jesu li sljedeći prostorni vektori kolinearni:
a)
b)

Rješenje: Test se zasniva na jednoj od izjava u ovoj lekciji: ako su vektori kolinearni, onda je njihov unakrsni proizvod nula (nulti vektor): .

a) Pronađite vektorski proizvod:

Dakle, vektori nisu kolinearni.

b) Pronađite vektorski proizvod:

Odgovori: a) nije kolinearno, b)

Ovdje su, možda, sve osnovne informacije o vektorskom proizvodu vektora.

Ovaj odeljak neće biti jako velik, jer postoji malo problema gdje se koristi mješoviti proizvod vektora. Zapravo, sve će počivati ​​na definiciji, geometrijskom značenju i nekoliko radnih formula.

Mješoviti proizvod vektora je proizvod tri vektora:

Ovako su se poređali kao voz i čekaju, jedva čekaju dok se ne obračunaju.

Prvo opet definicija i slika:

Definicija: Mješoviti proizvod nekoplanarni vektori, uzeti ovim redoslijedom, zove se zapremine paralelepipeda, izgrađen na ovim vektorima, opremljen znakom "+" ako je osnova desna i znakom "-" ako je osnova lijeva.

Hajde da crtamo. Linije koje su nama nevidljive iscrtane su isprekidanom linijom:

Uronimo u definiciju:

2) Vektori uzeti određenim redosledom, odnosno permutacija vektora u proizvodu, kao što možete pretpostaviti, ne prolazi bez posljedica.

3) Prije nego što komentiram geometrijsko značenje, primijetit ću očiglednu činjenicu: mješoviti proizvod vektora je BROJ: . U obrazovnoj literaturi dizajn može biti nešto drugačiji, mješoviti proizvod sam označavao kroz, a rezultat proračuna slovom "pe".

Po definiciji mješoviti proizvod je volumen paralelepipeda, izgrađen na vektorima (figura je nacrtana crvenim vektorima i crnim linijama). Odnosno, broj je jednak zapremini datog paralelepipeda.

Bilješka : Crtež je šematski.

4) Nemojmo se opet zamarati konceptom orijentacije osnove i prostora. Značenje završnog dijela je da se volumenu može dodati znak minus. Jednostavnim riječima, mješoviti proizvod može biti negativan: .

Formula za izračunavanje volumena paralelepipeda izgrađenog na vektorima slijedi direktno iz definicije.

Koristićemo tabelu unakrsnih proizvoda vektori i,j UK:

ako se smjer najkraće staze od prvog vektora do drugog poklapa sa smjerom strelice, tada je proizvod jednak trećem vektoru, ako se ne poklapa, treći vektor se uzima sa predznakom minus.

Neka su data dva vektora a=axi +ayj +azk i b =bxi +byj +bzk. Nađimo vektorski proizvod ovih vektora množenjem ih kao polinome (prema svojstvima vektorskog proizvoda):
Rezultirajuća formula se može napisati još kraće: budući da desna strana jednakosti (7.1) odgovara proširenju determinante trećeg reda u smislu elemenata prvog reda Jednakost (7.2) je lako zapamtiti.

7.4. Neke primjene unakrsnog proizvoda

Uspostavljanje kolinearnosti vektora.
Pronalaženje površine paralelograma i trougla

Prema definiciji unakrsnog proizvoda vektora a i b | a xb | = |a| * |b |sing , tj. S parovi = |a x b |. I, stoga, DS \u003d 1/2 | a x b |.

Određivanje momenta sile oko tačke

Neka je sila F = AB primijenjena u tački A i neka je O neka tačka u prostoru Iz fizike je poznato da je moment sile F u odnosu na tačku O vektor M, koji prolazi kroz tačku O i:

1) okomita na ravan koja prolazi kroz tačke O, A, B;

2) je brojčano jednak proizvodu sile i kraka 3) formira pravu trojku sa vektorima OA i A B.

Dakle, M=OA x F. Pronalaženje linearne brzine rotacije

Brzina v tački M čvrsto telo, rotirajući kutnom brzinom w oko fiksne ose, određuje se Eulerovom formulom v = w x r, gdje je r = OM, gdje je O neka fiksna točka ose (vidi sliku 21).

Ugao između vektora

Iz definicije skalarnog proizvoda dva vektora slijedi da su vektori i dati koordinatama i , tada se formula (1.6.3.1) može napisati kao:

Područje paralelograma izgrađenog na vektorima

Zadaci za mjerenje dužina segmenata, rastojanja između tačaka, površina i zapremina tijela pripadaju važnoj klasi zadataka koji se obično nazivaju metričkim. U prethodnom odeljku naučili smo kako koristiti vektorsku algebru za izračunavanje dužine linija i udaljenosti između tačaka. Sada ćemo pronaći načine za izračunavanje površina i volumena. Vektorska algebra nam omogućava postavljanje i rješavanje sličnih problema samo za prilično jednostavne slučajeve. Za izračunavanje površina proizvoljnih površina i zapremina proizvoljnih tijela potrebne su metode analize. Ali metode analize se, zauzvrat, u suštini zasnivaju na rezultatima koje daje vektorska algebra.

Da bismo riješili problem, odabrali smo prilično dug i težak put, koji je predložio Gilbert Strang, povezan s brojnim geometrijskim transformacijama i mukotrpnim algebarskim proračunima. Izabrali smo ovaj put uprkos činjenici da postoje i drugi pristupi koji brže vode do cilja jer nam se činio direktnim i prirodnim. Direktan put u nauci nije uvijek najlakši. Sofisticirani ljudi znaju za ovo i preferiraju zaobilazne puteve, ali ako ne pokušate ići pravo, onda možete ostati u neznanju o nekim suptilnostima teorije.

Na putu koji smo odabrali prirodno se pojavljuju pojmovi kao što su orijentacija prostora, determinanta, vektor i mješoviti produkti. Posebno se jasno, kao pod mikroskopom, manifestuje geometrijsko značenje determinante i njena svojstva. Tradicionalno, koncept determinante se uvodi u teoriju sistema linearnih jednačina, ali je za rješavanje takvih sistema determinanta gotovo beskorisna. Geometrijsko značenje determinante je bitno za vektorsku i tenzorsku algebru.

Sada budimo strpljivi i počnimo s najjednostavnijim i najrazumljivijim slučajevima.

1. Vektori su orijentisani duž koordinatnih osa Dekartovog koordinatnog sistema.

Neka je vektor a usmjeren duž x-ose, a vektor b duž y-ose. Na sl. 21 prikazuje četiri različite opcije za raspored vektora u odnosu na koordinatne ose.

Vektori a i b u koordinatnom obliku: gdje a i b označavaju modul odgovarajućeg vektora i znak je vektorove koordinate.

Pošto su vektori ortogonalni, paralelogrami izgrađeni na njima su pravokutnici. Njihova područja su jednostavno proizvod njihovih strana. Izrazimo ove proizvode u smislu koordinata vektora za sva četiri slučaja.

Sve četiri formule za izračunavanje površine su iste osim znaka. Mogao bi samo zatvoriti oči i napisati, što je u svim slučajevima. Međutim, druga mogućnost se pokazala produktivnijom: dati znaku neko značenje. Pogledajmo izbliza Sl. 21. U slučajevima kada se rotacija vektora prema vektoru vrši u smjeru kazaljke na satu. U onim slučajevima kada smo prisiljeni koristiti znak minus u formuli, rotacija vektora prema vektoru vrši se u smjeru suprotnom od kazaljke na satu. Ovo zapažanje omogućava povezivanje znaka u izrazima za područje sa orijentacijom ravni.

Područje pravokutnika izgrađenog na vektorima a i b sa predznakom plus ili minus smatrat će se orijentiranom površinom, dok će znak biti povezan s orijentacijom koju daju vektori. Za orijentisano područje možemo napisati jednu formulu za sva četiri razmatrana slučaja: . Znak "vektorske" linije iznad slova S uvodi se kako bi se razlikovalo uobičajeno područje, koje je uvijek pozitivno, od orijentiranog.

U ovom slučaju je očito da isti vektori, uzeti drugačijim redoslijedom, određuju suprotnu orijentaciju, dakle, . Samo će se područje i dalje označavati slovom S i, prema tome, .

Sada kada smo po cenu proširenja pojma područja dobili opšti izraz, pažljiv čitalac će reći da nismo razmotrili sve mogućnosti. Zaista, pored četiri opcije za lokaciju vektora prikazanih na Sl. 21, ima još četiri (sl. 22) Zapišimo ponovo vektore i to u koordinatnom obliku: Izrazimo površine u koordinatama vektora. četiri.. Znakovi u novim izrazima se nisu promijenili, ali je, nažalost, promijenjena orijentacija u odnosu na prethodna četiri slučaja. Stoga smo za orijentirano područje prinuđeni napisati: . Iako nada u genijalnu jednostavnost nije bila opravdana, ipak možemo zapisati opšti izraz za sva četiri slučaja.

Odnosno, orijentirana površina pravokutnika izgrađenog na vektorima, kao na stranicama, jednaka je determinanti, sastavljenoj od koordinata vektora, kao iz stupaca.

Vjerujemo da je čitatelju poznata teorija determinanti, stoga se na ovom konceptu ne zadržavamo detaljno. Ipak, dajemo odgovarajuće definicije kako bismo promijenili naglasak i pokazali da se do ovog koncepta može doći iz čisto geometrijskih razmatranja. , , - različiti oblici označavanja za isti koncept - determinanta, sastavljena od koordinata vektora, kao iz kolona. Jednakost može se uzeti kao njegova definicija za dvodimenzionalni slučaj.

2. Vektor b nije paralelan sa x osom; vektor a/ je proizvoljan vektor.

Da bismo ovaj slučaj sveli na one već poznate, razmatramo neke geometrijske transformacije paralelograma izgrađenog na vektorima i (Sl. . mješoviti produkti vektora i njegova svojstva