Za uzorak možete definirati brojne numeričke karakteristike koje su slične glavnim numeričkim karakteristikama slučajnih varijabli u teoriji vjerovatnoće ( očekivanu vrijednost, varijansa, standardna devijacija, mod, medijan) i su u nekom smislu (što će kasnije biti jasno) njihova približna vrijednost.

Neka je data statistička distribucija veličine uzorka n za frekvencije i relativne frekvencije:

Ako dodamo množitelj ispod predznaka zbira, dobićemo formulu za srednju vrijednost uzorka u smislu relativnih frekvencija:

.

Imajte na umu da se u slučaju intervalne serije, srednja vrijednost uzorka izračunava korištenjem istih formula ako su brojevi X 1 , … , X k uzeti sredine intervala: , … ,.

Varijanca uzorka naziva se aritmetička sredina kvadrata odstupanja vrijednosti uzorka od njihove srednje vrijednosti uzorka:

Ponovnim uvođenjem faktora ispod predznaka zbira, dobijamo formulu za varijansu uzorka u smislu relativnih frekvencija:

Jednostavne transformacije vode do pogodnije formule za izračunavanje varijanse uzorka

,

gdje je srednja vrijednost uzorka kvadrata slučajne varijable koja se proučava, tj.

Ako je uzorak predstavljen intervalnom statističkom serijom, tada formule za varijansu uzorka ostaju iste, gdje su, kao i obično, brojevi X 1 , … , X k uzimaju se sredine intervala: , … ,.

Standardna devijacija uzorka pozvao Kvadratni korijen iz varijanse uzorka

.

Sweep varijacija R je razlika između maksimalne i minimalne vrijednosti u uzorku. Ako su opcije u uzorku rangirane (smještene u rastućem redoslijedu), onda

.

Koeficijent varijacije određuje se formulom

.

Moda M o varijacijski niz naziva se varijanta koja ima najveću frekvenciju (ili relativnu frekvenciju).

medijana M e varijacijski niz naziva se broj koji je njegova sredina. Za diskretni niz sa neparnim brojem, varijanta medijana jednaka je njegovoj srednjoj varijanti. Ako je broj opcija paran, tada je Medina jednaka prosjeku (tj. polovini sume) dvije srednje opcije.

Glavne statističke karakteristike serije mjerenja (serija varijacija) uključuju karakteristike položaja (prosječne karakteristike, ili centralnu tendenciju uzorka); karakteristike raspršenja (varijacije ili fluktuacije) i karakteristike oblika distribucije.

To karakteristike položaja uključuju aritmetičku sredinu (sredinu), mod i medijan.

Na karakteristike raspršenja(varijacije ili fluktuacije) uključuju: opseg varijacije, varijansu, srednju kvadratnu (standardnu) devijaciju, grešku aritmetičke sredine (greška srednje vrijednosti), koeficijent varijacije, itd.

Na karakteristike forme uključuju iskrivljenost, iskrivljenost i kurtozis.

51. Procjena parametara opće populacije. Tačka i intervalna procjena. Interval povjerenja. Nivo značaja

Procjena parametara stanovništva

Postoje tačkaste i intervalne procjene općih parametara.

tačkasta jedan broj. Ove procjene uključuju npr.

To statističke procjene dao "dobre" aproksimacije procijenjenih parametara, oni bi trebali biti:

nepristrasan;

efektivno;

bogati.

Procjena se naziva nepristrasna ako se matematičko očekivanje distribucije uzorka poklapa sa vrijednošću općeg parametra.

Point Estimation naziva se efektivnim ako ima najmanju varijansu distribucije uzorka u odnosu na druge slične procjene, tj. pronalazi najmanju slučajnu varijaciju.

Tačkasta procjena se naziva konzistentna ako, s povećanjem veličine uzorka, teži vrijednosti općeg parametra.

Na primjer, srednja vrijednost uzorka je konzistentna, nepristrasna procjena srednje vrijednosti populacije. Za uzorak iz normalne populacije, ova procjena je također efikasna.

Prilikom uzorkovanja malog volumena, procjena tačke može se značajno razlikovati od procijenjenog parametra, tj. dovesti do grubih grešaka. Iz tog razloga, uz malu veličinu uzorka, treba koristiti intervalni rezultati.

Interval naziva procjena, koja se utvrđuje dva broja– interval završava– interval povjerenja.

Intervalne procjene omogućavaju utvrđivanje tačnosti i pouzdanosti procjena.

Za procjenu općeg parametra koristeći interval pouzdanosti, potrebne su tri veličine:

Na primjer, interval pouzdanosti za opću srednju vrijednost nalazi se po formuli: na nivou značajnosti .

Interval povjerenja- termin koji se koristi u matematičkoj statistici za intervalnu procjenu statističkih parametara, što je poželjnije sa malom veličinom uzorka nego procjenom tačaka.

Nivo značaja - je vjerovatnoća da smo razlike smatrali značajnim, ali su zapravo slučajne.

Kada ukažemo da su razlike značajne na nivou značajnosti od 5%, ili na R< 0,05 , onda mislimo da je vjerovatnoća da su još uvijek nepouzdani 0,05.

Kada ukažemo da su razlike značajne na nivou značajnosti od 1%, ili na R< 0,01 , onda mislimo da je vjerovatnoća da su još uvijek nepouzdani 0,01.

Ako sve ovo prevedemo na formalizovaniji jezik, onda je nivo značajnosti verovatnoća odbacivanja nulte hipoteze, dok je ona tačna.

Greška u kojoj odbacujemo nultu hipotezu kada je tačna naziva se greškom tipa 1. (Vidi tabelu 1)

Tab. 1. Null i alternativne hipoteze i moguća stanja testiranja.

Vjerovatnoća takve greške obično se označava kao α. U stvari, morali bismo staviti u zagrade, a ne str < 0,05 ili str < 0,01 i α < 0,05 ili α < 0,01.

Ako je vjerovatnoća greške α , tada je vjerovatnoća ispravne odluke: 1-α. Što je manji α, veća je vjerovatnoća ispravnog rješenja.

Istorijski gledano, u psihologiji je uobičajeno da se nivo od 5% (p≤0,05) smatra najnižim nivoom statističke značajnosti: dovoljan je nivo od 1% (p≤0,01), a najviši nivo od 0,1% (p≤0,001), stoga se u tabelama kritičnih vrijednosti obično daju vrijednosti kriterija, koje odgovaraju nivoima statističke značajnosti p≤0,05 i p≤0,01, ponekad - p≤0,001. Za neke kriterijume, tabele ukazuju na tačan nivo značajnosti njihovih različitih empirijskih vrednosti. Na primjer, za φ*=1,56 p=0,06.

Dok, međutim, nivo statističke značajnosti ne dostigne p=0,05, još uvek nemamo pravo da odbacimo nultu hipotezu. Pridržavat ćemo se sljedećeg pravila odbacivanja hipoteze o nepostojanju razlika (HO) i prihvatanja hipoteze o statističkoj značajnosti razlika (H 1).

Za matematičko-statističku analizu rezultata uzorka nije dovoljno poznavati samo karakteristike pozicije. Ista srednja vrijednost može karakterizirati potpuno različite uzorke.

Stoga, pored njih, uzima u obzir i statistika karakteristike raspršenja (varijacije, ili volatilnost ) rezultate.

1. Opseg varijacije

Definicija. na veliki način varijacija je razlika između najvećeg i najmanjeg rezultata uzorka, označena R i odlučan

R=X max- X min.

Informativni sadržaj ovog indikatora nije visok, iako je uz male veličine uzorka lako procijeniti razliku između najboljih i najgorih rezultata sportista.

2. Disperzija

Definicija. disperzija naziva se srednji kvadrat odstupanja vrijednosti atributa od aritmetičke sredine.

Za negrupirane podatke, varijansa je određena formulom

gdje X i- vrijednost karakteristike, - prosek.

Za podatke grupirane u intervale, varijansa je određena formulom

,

gdje X i- zla i interval grupisanja, n i– intervalne frekvencije.

Da bi se pojednostavili proračuni i da bi se izbjegle greške u proračunu prilikom zaokruživanja rezultata (posebno kada se povećava veličina uzorka), koriste se i druge formule za određivanje varijanse. Ako je aritmetička sredina već izračunata, onda se za negrupirane podatke koristi sljedeća formula:

 2 =
,

za grupisane podatke:

.

Ove formule su dobijene iz prethodnih proširivanjem kvadrata razlike ispod predznaka zbira.

U slučajevima kada se aritmetička sredina i varijansa izračunavaju istovremeno, koriste se sljedeće formule:

za negrupirane podatke:

 2 =
,

za grupisane podatke:

.

3. Srednji kvadrat(standard)odstupanje

Definicija. srednji kvadratni korijen (standard ) odstupanje karakteriše stepen odstupanja rezultata od prosječne vrijednosti u apsolutnim jedinicama, budući da, za razliku od disperzije, ima iste mjerne jedinice kao i rezultati mjerenja. Drugim riječima, standardna devijacija ukazuje na gustinu distribucije rezultata u grupi oko srednje vrijednosti, odnosno homogenost grupe.

Za negrupirane podatke, standardna devijacija se može odrediti formulama

 =
,

 =
ili =
.

Za podatke grupirane u intervale, standardna devijacija je određena formulama:

,

ili
.

4. Greška aritmetičke sredine (greška srednje vrijednosti)

Greška aritmetičke sredine karakterizira fluktuaciju srednje vrijednosti i izračunava se po formuli:

.

Kao što se može vidjeti iz formule, s povećanjem veličine uzorka, greška srednje vrijednosti opada proporcionalno kvadratnom korijenu veličine uzorka.

5. Koeficijent varijacije

Koeficijent varijacije definira se kao omjer standardne devijacije i aritmetičke sredine, izražen kao postotak:

.

Vjeruje se da ako koeficijent varijacije ne prelazi 10%, onda se uzorak može smatrati homogenim, odnosno dobivenim iz jedne opće populacije.

Math statistics je grana matematike koja proučava aproksimativne metode za pronalaženje zakona raspodjele i numeričkih karakteristika na osnovu rezultata eksperimenta.

Populacija je skup svih zamislivih vrijednosti zapažanja (objekata), homogenih u odnosu na neku osobinu, koja se mogu napraviti.

Uzorak – ovo je kolekcija nasumično odabranih opservacija (objekata) za direktno proučavanje iz opće populacije.

Statistička distribucija je kombinacija opcija x i i njihovih odgovarajućih frekvencija n i .

Histogram frekvencije je stepenasta figura koja se sastoji od susjednih pravokutnika izgrađenih ovom pravom linijom, čije su osnove iste i jednake širini klase, a visina jednaka ili učestalosti pada u interval n i ili relativnoj frekvenciji n i /n. Može se odrediti širina intervala i prema Sturgesovoj formuli:

I=(x max -x min)/(1+3,32lgn),

gdje je x max maksimum; x min je minimalna vrijednost opcije, a njihova razlika se naziva raspon varijacije; n je veličina uzorka.

Frekvencijski poligon – izlomljena linija čiji segmenti povezuju tačke sa koordinatama x i , n i .

5. Karakteristike položaja (mod, medijan, srednja vrijednost uzorka) i raspršenja (varijansa uzorka i standardna devijacija uzorka).

Moda (M o ) – to je varijantna vrijednost takva da prethodna i sljedeće vrijednosti imaju niže frekvencije pojavljivanja.

Za unimodalne distribucije, mod je najčešća varijanta u datoj populaciji.

Za određivanje načina intervalne serije, formula je:

M 0 =x niže +i*((n 2 -n 1 )/(2n 2 -n 1 +n 3 )),

gdje je h niže donja granica modalne klase, tj. klasa sa najvećom učestalošću pojavljivanja n 2 ; n 2 – frekvencija modalne klase; n 1 - frekvencija klase koja prethodi modalnom; n 3 je učestalost klase koja slijedi modalnu; i je širina intervala klasa.

Medijan (M e )- je vrijednost karakteristike. S obzirom na to se serija distribucije dijeli na 2 dijela jednake zapremine.

Uzorak srednji - ovo je aritmetička sredina varijante statističke serije

Varijanca uzorka- aritmetička sredina kvadrata odstupanja varijante od njihove prosječne vrijednosti:

Standardna devijacija – je kvadratni korijen varijanse uzorka:

S in =√(S in 2 )

6. Procjena parametara opće populacije na osnovu njenog uzorka (tačka i interval). Interval povjerenja i vjerovatnoća povjerenja.

Zovu se numeričke vrijednosti koje karakteriziraju opću populaciju parametri.

Statistička procjena se može izvršiti na dva načina:

1)tačka procene- procjena koja je data za određenu tačku;

2)intervalna procjena– prema podacima uzorka procjenjuje se interval u kojem se nalazi prava vrijednost s data verovatnoća.

Point Estimation je procjena koja je određena jednim brojem. I ovaj broj je određen uzorkom.

Tačka procjena se zove bogati, ako, s povećanjem veličine uzorka, karakteristika uzorka teži odgovarajućoj karakteristici opće populacije.

Tačka procjena se zove efektivno ako ima najmanju varijansu distribucije uzorka u poređenju sa drugim sličnim procjenama.

Poziva se tačka procjene nepristrasan, ako je njegovo matematičko očekivanje jednako parametru procjene za bilo koju veličinu uzorka.

Nepristrasna procjena opšte srednje vrijednosti(matematičko očekivanje) je srednja vrijednost uzorka u:

in = i n i ,

gdje je x i – opcije uzorkovanja; n i – učestalost pojavljivanja varijante x i ; n je veličina uzorka.

Interval Estimation- ovo je numerički interval, koji je određen sa dva broja - granicama intervala koji sadrži nepoznati parametar opće populacije.

Interval povjerenja- ovo je interval u kojem, sa jednom ili drugom unaprijed određenom vjerovatnoćom, postoji nepoznati parametar opće populacije.

Vjerovatnoća povjerenjastr – to je takva vjerovatnoća da se događaj vjerovatnoće (1-p) može smatrati nemogućim. α=1-p je nivo značajnosti. Obično se kao vjerovatnoće pouzdanosti koriste vjerovatnoće bliske 1. Tada će događaj da interval pokriva karakteristiku biti praktično pouzdan. To su p≥0,95, p≥0,99, p≥0,999.

Za malu veličinu uzorka (n<30) нормально распределенного количественного признака х доверительный интервал может иметь вид:

in - mt≤≤ in + mt (p≥0,95),

gdje je opći prosjek; c – srednja vrijednost uzorka; t je normalizovani Studentov indeks raspodele sa (n-1) stepena slobode, koji je određen verovatnoćom da opšti parametar padne u ovaj interval; m je greška srednje vrijednosti uzorka.

Bez obzira koliko su bitne prosječne karakteristike, ali ne manje bitna karakteristika niza numeričkih podataka je ponašanje preostalih članova niza u odnosu na prosjek, koliko se razlikuju od prosjeka, koliko se članova niza razlikuje značajno od prosjeka. U treningu gađanja govore o tačnosti rezultata, u statistici proučavaju karakteristike raspršenja (scatter).

Razlika bilo koje vrijednosti x od prosječne vrijednosti x naziva se odstupanje a izračunava se kao razlika x, - x. U ovom slučaju, odstupanje može imati i pozitivne vrijednosti ako je broj veći od prosjeka, i negativne vrijednosti ako je broj manji od prosjeka. Međutim, u statistici je često važno da se može raditi s jednim brojem koji karakterizira "tačnost" svih numeričkih elemenata niza podataka. Svaki zbir svih odstupanja članova niza će rezultirati nulom, budući da se pozitivna i negativna odstupanja međusobno poništavaju. Da bi se izbjeglo poništavanje, kvadratne razlike se koriste za karakterizaciju raspršenja, tačnije, aritmetičke sredine kvadrata odstupanja. Ova karakteristika raspršenja se naziva varijansa uzorka.

Što je varijansa veća, veća je disperzija vrijednosti slučajne varijable. Da bi se izračunala varijansa, koristi se približna vrijednost uzorka srednje vrijednosti x sa marginom od jedne cifre u odnosu na sve članove niza podataka. U suprotnom, kada se zbroji veliki broj približnih vrijednosti, akumuliraće se značajna greška. U vezi sa dimenzijom numeričkih vrijednosti, treba napomenuti jedan nedostatak takvog indeksa raspršenja kao što je varijansa uzorka: jedinica mjere varijanse D je kvadrat jedinice vrijednosti X, čija je karakteristika disperzija. Da bi se riješio ovog nedostatka, statistika je uvela takvu karakteristiku raspršenja kao što je uzorak standardne devijacije , što je označeno simbolom a (čitaj "sigma") i izračunava se po formuli

Normalno, više od polovine članova niza podataka razlikuje se od prosjeka za manje od vrijednosti standardne devijacije, tj. pripadaju segmentu [X - a; x + a]. Inače kažu: prosječni pokazatelj, uzimajući u obzir širenje podataka, je x ± a.

Uvođenje još jedne karakteristike raspršenja odnosi se na dimenziju članova niza podataka. Sve numeričke karakteristike u statistiku se uvode kako bi se uporedili rezultati proučavanja različitih numeričkih nizova koji karakterišu različite slučajne varijable. Međutim, nije značajno uspoređivati ​​standardne devijacije od različitih prosječnih vrijednosti različitih nizova podataka, posebno ako se dimenzije ovih vrijednosti također razlikuju. Na primjer, ako se u proizvodnji mikro- i makro proizvoda uporede dužina i težina bilo kojeg predmeta ili rasipanje. U vezi sa navedenim razmatranjima, uvodi se karakteristika relativnog raspršenja, koja se naziva koeficijent varijacije a izračunava se po formuli

Za izračunavanje numeričkih karakteristika disperzije vrijednosti slučajne varijable, prikladno je koristiti tablicu (Tablica 6.9).

Tabela 6.9

Izračunavanje numeričkih karakteristika raspršenja vrijednosti slučajne varijable

U procesu popunjavanja ove tabele je srednja vrednost uzorka X, koji će se kasnije koristiti u dva oblika. Kao konačna prosječna karakteristika (na primjer, u trećoj koloni tabele) srednja vrijednost uzorka X mora biti zaokružen na najbližu znamenku koja odgovara najmanjoj cifri bilo kojeg člana niza numeričkih podataka x r Međutim, ovaj indikator se koristi u tabeli za dalje proračune, a u ovoj situaciji, naime, kada se računa u četvrtoj koloni tabele, srednja vrednost uzorka X mora biti zaokružen za jednu cifru od najmanje cifre bilo kojeg člana niza numeričkih podataka X ( .

Rezultat proračuna pomoću tabele kao tab. 6.9 će dobiti vrijednost varijanse uzorka, a za snimanje odgovora potrebno je izračunati vrijednost standardne devijacije a na osnovu vrijednosti varijanse uzorka.

Odgovor pokazuje: a) prosječan rezultat, uzimajući u obzir rasipanje podataka u obrascu x±o; b) karakteristika stabilnosti podataka v. Odgovor bi trebao ocijeniti kvalitetu koeficijenta varijacije: dobar ili loš.

Prihvatljivi koeficijent varijacije kao indikator homogenosti ili stabilnosti rezultata u sportskim istraživanjima je 10-15%. Koeficijent varijacije V= 20% u bilo kojoj studiji se smatra veoma velikim indikatorom. Ako je veličina uzorka P> 25, onda V> 32% je veoma loš pokazatelj.

Na primjer, za diskretni varijacioni niz 1; 5; četiri; četiri; 5; 3; 3; jedan; jedan; jedan; jedan; jedan; jedan; 3; 3; 5; 3; 5; četiri; četiri; 3; 3; 3; 3; 3 tab. 6.9 će se popuniti na sljedeći način (Tabela 6.10).

Tabela 6.10

Primjer izračunavanja numeričkih karakteristika disperzije vrijednosti

Odgovori: a) prosječna karakteristika, uzimajući u obzir rasipanje podataka, je X± a = = 3 ± 1,4; b) stabilnost dobijenih mjerenja je na niskom nivou, budući da je koeficijent varijacije V = 48% > 32%.

Stolni analog. 6.9 se takođe može koristiti za izračunavanje karakteristika rasejanja serije intervalne varijacije. Istovremeno, opcije x r bit će zamijenjeni predstavnicima praznina x v ja opcija apsolutnih frekvencija f(- na apsolutne frekvencije praznina fv

Na osnovu navedenog može se uraditi sljedeće zaključci.

Zaključci matematičke statistike su uvjerljivi ako se obrađuju informacije o masovnim pojavama.

Obično se proučava uzorak iz opće populacije objekata, koji bi trebao biti reprezentativan.

Eksperimentalni podaci dobiveni kao rezultat proučavanja bilo kojeg svojstva uzoraka objekata su vrijednost slučajne varijable, budući da istraživač ne može unaprijed predvidjeti koji će broj odgovarati određenom objektu.

Za odabir jednog ili drugog algoritma za opis i primarnu obradu eksperimentalnih podataka, važno je moći odrediti tip slučajne varijable: diskretna, kontinuirana ili mješovita.

Diskretne slučajne varijable opisuju se diskretnim varijacionim nizom i njegovim grafičkim oblikom - frekvencijskim poligonom.

Mješovite i kontinuirane slučajne varijable opisuju se nizom intervalnih varijacija i njegovim grafičkim oblikom - histogramom.

Prilikom poređenja više uzoraka prema nivou formiranog ™ određenog svojstva, koriste se prosječne numeričke karakteristike i numeričke karakteristike disperzije slučajne varijable u odnosu na prosjek.

Prilikom izračunavanja prosječne karakteristike važno je pravilno odabrati vrstu prosječne karakteristike koja je adekvatna području njegove primjene. Strukturne srednje vrijednosti mod i medijan karakteriziraju strukturu lokacije varijante u uređenom nizu eksperimentalnih podataka. Kvantitativna srednja vrednost omogućava da se proceni prosečna veličina varijante (srednja vrednost uzorka).

Za izračunavanje numeričkih karakteristika rasejanja – varijanse uzorka, standardne devijacije i koeficijenta varijacije – efikasna je tabela.

Varijacijska serija

U opštoj populaciji istražuje se određena kvantitativna osobina. Iz njega se nasumično izdvaja uzorak zapremine n, odnosno broj elemenata u uzorku je n. U prvoj fazi statističke obrade, rasponu uzorci, tj. redosled brojeva x1, x2, …, xn Uzlazno. Svaka posmatrana vrednost xi pozvao opcija. Frekvencija mi je broj zapažanja vrijednosti xi u uzorku. Relativna frekvencija (frekvencija) wi je omjer frekvencija mi na veličinu uzorka n: wi=mi/n.

Prilikom proučavanja varijacione serije koriste se i koncepti kumulativne frekvencije i kumulativne frekvencije. Neka x neki broj. Zatim broj opcija , čije su vrijednosti manje x, naziva se kumulativna frekvencija: minak=mi za xi naziva se kumulativna frekvencija: winak=miak/n.