Paralelepiped je geometrijska figura čiji su svih 6 lica paralelogrami.

Ovisno o vrsti ovih paralelograma, razlikuju se sljedeće vrste paralelopipeda:

ravno;
inclined;
pravougaona.

Pravi paralelepiped je četvorougaona prizma čije ivice čine ugao od 90° sa osnovnom ravninom.

Pravougaoni paralelepiped je četvorougaona prizma, čija su sva lica pravougaonici. Kocka je vrsta četvorougaone prizme u kojoj su sve strane i ivice jednake.

Osobine figure unaprijed određuju njena svojstva. One uključuju sljedeće 4 izjave:

Zapamtite sva gore navedena svojstva je jednostavno, lako ih je razumjeti i logički su izvedeni na osnovu tipa i karakteristika geometrijsko tijelo. Međutim, jednostavne izjave mogu biti nevjerovatno korisne pri rješavanju tipičnih USE zadataka i uštedjet će vrijeme potrebno za polaganje testa.

Paralelepipedne formule

Da biste pronašli odgovore na problem, nije dovoljno znati samo svojstva figure. Možda će vam trebati i neke formule da pronađete površinu i zapreminu geometrijskog tijela.

Područje baza nalazi se i kao odgovarajući indikator paralelograma ili pravokutnika. Možete sami odabrati bazu paralelograma. U pravilu, pri rješavanju problema lakše je raditi s prizmom, koja se temelji na pravokutniku.

Formula za pronalaženje bočne površine paralelepipeda također može biti potrebna u testnim zadacima.

Primjeri rješavanja tipičnih USE zadataka

Vježba 1.

Dato: kvadar dimenzija 3, 4 i 12 cm.
Neophodno Pronađite dužinu jedne od glavnih dijagonala figure.
Rješenje: Svako rješenje geometrijskog problema mora započeti izradom ispravnog i jasnog crteža, na kojem će biti naznačeno „dato“ i željena vrijednost. Na slici ispod prikazan je primjer ispravnog formatiranja uslova zadatka.

Nakon što smo razmotrili napravljeni crtež i zapamtili sva svojstva geometrijskog tijela, dolazimo do jedinog ispravnog načina da ga riješimo. Primjenom svojstva 4 paralelepipeda dobijamo sljedeći izraz:

Nakon jednostavnih proračuna dobijamo izraz b2=169, dakle, b=13. Odgovor na zadatak je pronađen, potrebno je ne više od 5 minuta da ga potražite i nacrtate.

Zadatak 2.

Dato: kosi okvir sa bočnim rubom od 10 cm, pravougaonik KLNM dimenzija 5 i 7 cm, koji je presjek figure paralelan sa naznačenom ivicom.
Neophodno Nađite površinu bočne površine četverokutne prizme.
Rješenje: Prvo morate skicirati podatke.

Za rješenja dati zadatak potrebna je domišljatost. Sa slike se vidi da su stranice KL i AD nejednake, kao i par ML i DC. Međutim, perimetri ovih paralelograma su očigledno jednaki.

Stoga će bočna površina figure biti jednaka površini poprečnog presjeka pomnoženoj s rebrom AA1, budući da je po uvjetu rebro okomito na presjek. Odgovor: 240 cm2.

Teorema. U bilo kojem paralelepipedu, suprotne strane su jednake i paralelne.

Dakle, lica (sl.) BB 1 C 1 C i AA 1 D 1 D su paralelne, jer su dve prave BB 1 i B 1 C 1 jedne strane koje se seku paralelne sa dvema pravima AA 1 i A 1 D 1 koje se seku. drugi. Ova lica su jednaka, jer B 1 C 1 =A 1 D 1 , B 1 B=A 1 A (kao suprotne strane paralelograma) i ∠BB 1 C 1 = ∠AA 1 D 1 .

Teorema. U bilo kojem paralelepipedu, sve četiri dijagonale se sijeku u jednoj tački i u njoj su podijeljene na pola.

Uzmite (sl.) u paralelepipedu bilo koje dvije dijagonale, na primjer, AC 1 i DB 1, i nacrtajte prave linije AB 1 i DC 1.

Pošto su ivice AD i B 1 C 1 jednake i paralelne sa ivicom BC, one su međusobno jednake i paralelne.

Kao rezultat, figura ADC 1 B 1 je paralelogram u kojem su C 1 A i DB 1 dijagonale, a u paralelogramu se dijagonale sijeku na pola.

Ovaj dokaz se može ponoviti za svake dvije dijagonale.

Dakle, dijagonala AC 1 seče sa BD 1 na pola, dijagonala BD 1 sa A 1 C na pola.

Dakle, sve dijagonale se sijeku na pola i, prema tome, u jednoj tački.

Teorema. U kvadru, kvadrat bilo koje dijagonale jednak je zbiru kvadrate njegove tri dimenzije.

Neka je (sl.) AC 1 neka dijagonala pravougaonog paralelepipeda.

Nakon crtanja AC dobijamo dva trougla: AC 1 C i ACB. Oba su pravougaona.

prvi jer je kutija ravna, pa je stoga ivica CC 1 okomita na bazu,

drugi je zato što je paralelepiped pravougaonog oblika, što znači da ima pravougaonik u svojoj osnovi.

Iz ovih trouglova nalazimo:

AC 2 1 = AC 2 + CC 2 1 i AC 2 = AB 2 + BC 2

Dakle, AC 2 1 = AB 2 + BC 2 + SS 2 1 = AB 2 + AD 2 + AA 2 1

Posljedica. U kvadru su sve dijagonale jednake.

Često studenti ogorčeno pitaju: „Kako će mi ovo biti korisno u životu?“. Na bilo koju temu svakog predmeta. Tema o volumenu paralelepipeda nije izuzetak. I ovdje je jednostavno moguće reći: "Dobro će doći."

Kako, na primjer, saznati da li će paket stati u poštansko sanduče? Naravno, možete odabrati pravi metodom pokušaja i greške. Šta ako ne postoji takva mogućnost? Tada će kalkulacije doći u pomoć. Poznavajući kapacitet kutije, možete izračunati zapreminu paketa (barem približno) i odgovoriti na pitanje.

Paralelepiped i njegove vrste

Ako doslovno prevedemo njegovo ime sa starogrčkog, ispada da se radi o figuri koja se sastoji od paralelnih ravnina. Postoje takve ekvivalentne definicije paralelepipeda:

prizma sa osnovom u obliku paralelograma;
poliedar, čije je svako lice paralelogram.

Njegove vrste razlikuju se ovisno o tome koja figura leži u njenoj bazi i kako su usmjerena bočna rebra. Uopšteno govoreći kosi paralelepipedčija su osnova i sva lica paralelogrami. Ako bočne strane prethodnog pogleda postanu pravokutnici, tada će ga već trebati pozvati direktno. I na pravougaona a osnova takođe ima uglove od 90º.

Štoviše, u geometriji pokušavaju prikazati potonje na takav način da je uočljivo da su sve ivice paralelne. Ovdje se, inače, uočava glavna razlika između matematičara i umjetnika. Za potonje je važno da prenese tijelo u skladu sa zakonom perspektive. I u ovom slučaju, paralelizam ivica je potpuno nevidljiv.

O uvedenoj notaciji

U formulama u nastavku vrijede oznake navedene u tabeli.

Formule za kosi okvir

Prvi i drugi za oblasti:

Treći je za izračunavanje zapremine kutije:

Budući da je baza paralelogram, da biste izračunali njegovu površinu, morat ćete koristiti odgovarajuće izraze.

Formule za kuboid

Slično prvom paragrafu - dvije formule za područja:

I još jedno za jačinu zvuka:

Prvi zadatak

Stanje. Dat je pravougaoni paralelepiped čiji volumen treba pronaći. Poznata je dijagonala - 18 cm - i činjenica da ona formira uglove od 30 i 45 stepeni sa ravninom bočne strane i bočnom ivicom, respektivno.

Rješenje. Da biste odgovorili na pitanje zadatka, morate pronaći sve stranice u tri pravokutna trougla. Oni će dati potrebne vrijednosti rubova za koje morate izračunati volumen.

Prvo morate shvatiti gdje je ugao od 30º. Da biste to učinili, morate nacrtati dijagonalu bočne strane iz istog vrha iz kojeg je nacrtana glavna dijagonala paralelograma. Ugao između njih će biti ono što vam treba.

Prvi trokut, koji će dati jednu od stranica baze, bit će sljedeći. Sadrži željenu stranu i dvije nacrtane dijagonale. Pravougaona je. Sada trebate upotrijebiti omjer suprotne noge (bazna strana) i hipotenuze (dijagonala). Jednako je sa sinusom od 30º. To jest, nepoznata strana baze će se odrediti kao dijagonala pomnožena sa sinusom od 30º ili ½. Neka bude označeno slovom "a".

Drugi će biti trokut koji sadrži poznatu dijagonalu i ivicu s kojom formira 45º. Također je pravougaona, a opet možete koristiti omjer kateta i hipotenuze. Drugim riječima, bočna ivica prema dijagonali. To je jednako kosinsu od 45º. To jest, "c" se izračunava kao proizvod dijagonale i kosinusa od 45º.

c = 18 * 1/√2 = 9 √2 (cm).

U istom trouglu morate pronaći drugu nogu. Ovo je neophodno da bi se zatim izračunala treća nepoznata - "in". Neka bude označeno slovom "x". Lako je izračunati koristeći Pitagorinu teoremu:

x \u003d √ (18 2 - (9 √ 2) 2) = 9 √ 2 (cm).

Sada moramo razmotriti još jedan pravougli trougao. Sadrži već poznate strane "c", "x" i onu koju treba izbrojati, "c":

c \u003d √ ((9 √ 2) 2 - 9 2 = 9 (cm).

Sve tri veličine su poznate. Možete koristiti formulu za volumen i izračunati je:

V = 9 * 9 * 9√2 = 729√2 (cm 3).

odgovor: zapremina paralelepipeda je 729√2 cm 3 .

Drugi zadatak

Stanje. Pronađite zapreminu paralelepipeda. Poznaje stranice paralelograma koji leži u osnovi, 3 i 6 cm, kao i njegov oštar ugao - 45º. Bočno rebro ima nagib prema osnovici od 30º i jednako je 4 cm.

Rješenje. Da biste odgovorili na pitanje problema, morate uzeti formulu koja je napisana za volumen nagnutog paralelepipeda. Ali obje količine su u njemu nepoznate.

Područje baze, odnosno paralelograma, odredit će se formulom u kojoj trebate pomnožiti poznate stranice i sinus oštrog kuta između njih.

S o \u003d 3 * 6 sin 45º = 18 * (√2) / 2 = 9 √2 (cm 2).

Sekunda nepoznata količina je visina. Može se povući iz bilo kojeg od četiri vrha iznad baze. Može se naći iz pravokutnog trokuta, u kojem je visina kateta, a bočna ivica hipotenuza. U ovom slučaju, ugao od 30º leži nasuprot nepoznatoj visini. Dakle, možete koristiti omjer kateta i hipotenuze.

n = 4 * sin 30º \u003d 4 * 1/2 = 2.

Sada su sve vrijednosti poznate i možete izračunati zapreminu:

V = 9 √2 * 2 = 18 √2 (cm 3).

odgovor: zapremina je 18 √2 cm 3 .

Treći zadatak

Stanje. Nađite zapreminu paralelepipeda ako je poznato da je prava linija. Stranice njegove osnove čine paralelogram i jednake su 2 i 3 cm. Oštar ugao između njih 60º. Manja dijagonala paralelepipeda jednaka je većoj dijagonali baze.

Rješenje. Da bismo saznali volumen paralelepipeda, koristimo formulu s površinom baze i visinom. Obje veličine su nepoznate, ali ih je lako izračunati. Prva je visina.

Budući da je manja dijagonala paralelepipeda iste veličine kao i veća baza, mogu se označiti istim slovom d. Najveći ugao paralelograma je 120º, jer sa oštrim tvori 180º. Neka druga dijagonala baze bude označena slovom "x". Sada, za dvije dijagonale baze, kosinusne teoreme se mogu napisati:

d 2 \u003d a 2 + u 2 - 2av cos 120º,

x 2 \u003d a 2 + u 2 - 2ab cos 60º.

Pronalaženje vrijednosti bez kvadrata nema smisla, jer će se tada ponovo podići na drugi stepen. Nakon zamjene podataka, ispada:

d 2 = 2 2 + 3 2 - 2 * 2 * 3 cos 120º \u003d 4 + 9 + 12 * ½ = 19,

x 2 = a 2 + u 2 - 2ab cos 60º = 4 + 9 - 12 * ½ \u003d 7.

Sada će visina, koja je ujedno i bočna ivica paralelepipeda, biti krak u trouglu. Hipotenuza će biti poznata dijagonala tijela, a drugi krak će biti "x". Pitagorinu teoremu možete napisati:

n 2 \u003d d 2 - x 2 \u003d 19 - 7 \u003d 12.

Dakle: n = √12 = 2√3 (cm).

Sada je druga nepoznata veličina površina baze. Može se izračunati korištenjem formule spomenute u drugom zadatku.

S o \u003d 2 * 3 sin 60º = 6 * √3/2 = 3 √3 (cm 2).

Kombinirajući sve u formulu volumena, dobijamo:

V = 3√3 * 2√3 = 18 (cm 3).

Odgovor: V \u003d 18 cm 3.

Četvrti zadatak

Stanje. Potrebno je saznati zapreminu paralelepipeda koji ispunjava sljedeće uslove: osnova je kvadrat sa stranicom od 5 cm; bočne strane su rombovi; jedan od vrhova iznad baze je jednako udaljen od svih vrhova koji leže u osnovi.

Rješenje. Prvo se morate suočiti sa stanjem. Uz prvi paragraf nema pitanja o kvadratu. Drugi, o rombovima, jasno daje do znanja da je paralelepiped nagnut. Štaviše, svi su njegovi rubovi jednaki 5 cm, jer su stranice romba iste. A iz trećeg postaje jasno da su tri dijagonale izvučene iz njega jednake. To su dvije koje leže na bočnim stranama, a posljednja je unutar paralelepipeda. A ove dijagonale su jednake ivici, odnosno imaju i dužinu od 5 cm.

Da biste odredili volumen, trebat će vam formula napisana za nagnuti paralelepiped. Opet, u njemu nema poznatih količina. Međutim, površinu baze je lako izračunati jer je kvadrat.

S o \u003d 5 2 = 25 (cm 2).

Malo teži je slučaj sa visinom. Biće takav u tri figure: paralelepiped, četvorougaona piramida i jednakokraki trougao. Treba iskoristiti posljednju okolnost.

Pošto je visina, to je noga u pravokutnom trouglu. Hipotenuza u njemu bit će poznati rub, a drugi krak jednak je polovini dijagonale kvadrata (visina je također medijana). A dijagonalu baze je lako pronaći:

d = √(2 * 5 2) = 5√2 (cm).

Visina će se morati izračunati kao razlika drugog stepena ivice i kvadrata polovine dijagonale i ne zaboravite izvući kvadratni korijen:

n = √ (5 2 - (5/2 * √2) 2) = √(25 - 25/2) = √(25/2) = 2,5 √2 (cm).

V \u003d 25 * 2,5 √2 = 62,5 √2 (cm 3).

odgovor: 62,5 √2 (cm 3).

Pravougaoni paralelepiped (PP) nije ništa drugo do prizma čija je osnova pravougaonik. U PP su sve dijagonale jednake, što znači da se bilo koja njegova dijagonala izračunava po formuli:

a, prema osnovi PP;
sa svojom visinom.

Može se dati još jedna definicija, s obzirom na kartezijanski pravougaoni koordinatni sistem:

PP dijagonala je radijus vektor bilo koje tačke u prostoru date koordinatama x, y i z u Dekartovom koordinatnom sistemu. Ovaj radijus vektor do tačke je povučen iz početka. A koordinate tačke će biti projekcije vektora radijusa (dijagonala PP) na koordinatne ose. Projekcije se poklapaju sa vrhovima datog paralelepipeda.

Kuboid je vrsta poliedra koji se sastoji od 6 lica, u čijoj osnovi je pravougaonik. Dijagonala je segment koji spaja suprotne vrhove paralelograma.

Formula za pronalaženje dužine dijagonale je da je kvadrat dijagonale jednak zbiru kvadrata tri dimenzije paralelograma.

Na internetu sam pronašao dobru tablicu shema s kompletnom listom svega što je u paralelepipedu. Postoji formula za pronalaženje dijagonale koja je označena sa d.

Postoji slika lica, vrha i drugih stvari koje su važne za kutiju.

Ako su poznate dužina, visina i širina (a,b,c) kvadra, tada će formula za izračunavanje dijagonale izgledati ovako:

Obično nastavnici ne nude svojim učenicima gole formulu, ali se potrudite da je mogu samostalno izvući postavljanjem sugestivnih pitanja:

šta treba da znamo, koje podatke imamo?
Koja su svojstva pravougaonog paralelepipeda?
Primjenjuje li Pitagorina teorema ovdje? Kako?
Ima li dovoljno podataka za primjenu Pitagorine teoreme ili su nam potrebni još proračuni?

Obično, nakon što odgovore na postavljena pitanja, učenici sami lako izvode ovu formulu.

Dijagonale pravougaonog paralelepipeda su jednake. Kao i dijagonale njegovih suprotnih strana. Dužina dijagonale se može izračunati znajući dužinu ivica paralelograma koji izlaze iz jednog vrha. Ova dužina jednaka je kvadratnom korijenu zbira kvadrata dužina njegovih rebara.

Kuboid je jedan od takozvanih poliedara, koji se sastoji od 6 lica, od kojih je svaka pravougaonik. Dijagonala je segment koji spaja suprotne vrhove paralelograma. Ako se dužina, širina i visina pravokutnog okvira uzmu kao a, b, c, tada će formula za njegovu dijagonalu (D) izgledati ovako: D^2=a^2+b^2+c^2 .

Dijagonala kvadra je segment koji povezuje njegove suprotne vrhove. Tako da imamo kuboid sa dijagonalom d i stranicama a, b, c. Jedno od svojstava paralelepipeda je da je kvadrat dijagonalna dužina d je jednako zbiru kvadrata njegove tri dimenzije a, b, c. Otuda zaključak da dijagonalna dužina može se lako izračunati pomoću sljedeće formule:

Također:

Kako pronaći visinu paralelepipeda?

Dijagonalni kvadrat, kvadratni kvadar (vidi svojstva kvadratnog kvadra) jednak je zbroju kvadrata njegove tri različite strane (širina, visina, debljina), te je, prema tome, dijagonala kvadratnog kvadra jednaka korijenu ovu sumu.
Sjećam se školskog programa iz geometrije, možete reći ovako: dijagonala paralelepipeda jednaka je kvadratnom korijenu dobivenom iz zbira njegove tri strane (označene su malim slovima a, b, c).
Dužina dijagonale pravokutne prizme jednaka je kvadratnom korijenu zbira kvadrata njenih stranica.
Koliko ja znam iz školski program, klasa 9 ako se ne varam, i ako me sjećanje ne vara, onda je dijagonala pravokutnog paralelepipeda jednaka kvadratnom korijenu zbira kvadrata sve tri njegove strane.
kvadrat dijagonale jednak je zbiru kvadrata širine, visine i dužine, na osnovu ove formule dobijamo odgovor, dijagonala je jednaka kvadratnom korijenu zbira njene tri različite dimenzije, označavaju se sa slova nsz abc

Pošto su sva lica paralelopipeda paralelogrami, prava AD je paralelna pravoj BC, a prava paralelna pravoj. Iz ovoga slijedi da su ravni razmatranih lica paralelne.

Iz činjenice da su lica paralelepipeda paralelogrami, slijedi da su AB, , CD i paralelne i jednake. Iz ovoga zaključujemo da je lice kombinovano paralelnim prevođenjem duž ivice AB sa licem . Stoga su ove ivice jednake.

2 ) Uzmite dvije dijagonale paralelepipeda (slika 5), na primjer, i , i nacrtajte dodatne linije i . AB i respektivno su jednaki i paralelni sa ivicom DC, pa su jednaki i paralelni jedno drugom; kao rezultat, figura je paralelogram, u kojem su prave linije i dijagonale, au paralelogramu su dijagonale podijeljene na pola u tački presjeka. Slično, možemo dokazati da se druge dvije dijagonale sijeku u jednoj tački i dijele tu tačku na pola. Točka presjeka svakog para dijagonala leži u sredini dijagonale. Dakle, sve četiri dijagonale paralelepipeda seku se u jednoj tački O i dele ovu tačku. Dakle, tačka preseka dijagonala paralelepipeda je njegov centar simetrije.

Teorema:

Kvadrat dijagonale kvadra jednak je zbroju kvadrata njegove tri dimenzije.

dokaz:

Ovo proizilazi iz prostorne Pitagorine teoreme. Ako je dijagonala pravokutnog paralelepipeda , tada su njegove projekcije na tri uparene okomite prave (slika 6). Shodno tome, .