Neka prava prolazi kroz tačku M1 (x1, y1, z1) i paralelna je sa vektorom (m ,n, l). Napišimo jednačinu za ovu liniju.

Uzmimo proizvoljnu tačku M (x, y, z) na ovoj pravoj i pronađemo odnos između x, y, z. Napravimo vektor

Vektori su kolinearni.

- kanonska jednačina prave u prostoru.

44 Parametarske jednadžbe prave linije

Jer ova jednačina je zadovoljena koordinatama bilo koje tačke na pravoj, tada je rezultirajuća jednačina parametarska jednačina prave.

Ova vektorska jednadžba se može predstaviti u koordinatnom obliku:

Transformirajući ovaj sistem i izjednačavajući vrijednosti parametra t, dobijamo kanonske jednačine prave u prostoru:

Definicija. Kosinusi smjera prave linije su kosinusi smjera vektora, koji se mogu izračunati po formulama:

Odavde dobijamo: m: n: p = cosa: cosb: cosg.

Brojevi m, n, p nazivaju se nagibom prave. Pošto je vektor različit od nule, onda m, n i p ne mogu biti jednaki nuli u isto vrijeme, ali jedan ili dva od ovih brojeva mogu biti jednaki nuli. U ovom slučaju, u jednačini prave linije, odgovarajuće brojioce treba izjednačiti sa nulom.

45 Jednačina prave u prostoru koja prolazi kroz dvije različite date tačke.

Analitička geometrija

Jednačina prave koja prolazi kroz dvije date tačke.

Neka su M1(x1y1) i M2(x2y2) date na ravni. Sastavimo kanonsku jednačinu prave koja prolazi kroz ove dvije tačke, kao vektor smjera S uzimamo M1M2

trojka.

Ovo je jednadžba prave linije koja prolazi kroz dvije date tačke (x1 y1) i (x2, y2)

Pređimo sada na jednačine prave i ravni u prostoru.

Analitička geometrija u 3-dimenzionalnom prostoru

Slično dvodimenzionalnom slučaju, svaka jednačina prvog stepena u odnosu na tri varijable x, y, z je jednačina ravni u prostoru Oxyz.ravni. Kanonska jednadžba ravni koja prolazi kroz tačku M(x0,y0,z0) i ima normalu N(A,B,C) A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) =0 – koja je ovo jednačina?

Vrijednosti x-x0, y-y0 i z-z0 su razlike između koordinata trenutne tačke i fiksne tačke. Dakle, vektor a (x-x 0, y-y0, z-z0) je vektor koji leži u opisanoj ravni, a vektor N je vektor okomit na ravan, što znači da su okomiti jedan na drugi.

Tada njihov skalarni proizvod mora biti jednak nuli.

U koordinatnom obliku (N,a)=0 izgleda ovako:

A (x-x0)+B (y-y0)+C (z-z0)=0

U prostoru se razlikuju desna i leva trojka vektora. Trojka nekoplanarnih vektora a, b, c naziva se desnim ako se, iz njihovog zajedničkog porijekla, čini da obilazak krajeva vektora a, b, c u navedenom redoslijedu ide u smjeru kazaljke na satu. Inače a,b,c ostaju lijevo.

46 Ugao između linija u prostoru

Ugao između pravih linija u prostoru je bilo koji od susjedni uglovi, formiran od dvije prave linije povučene kroz proizvoljnu tačku paralelnu sa podacima.

Neka su u prostoru date dvije prave:

Očigledno, ugao φ između linija može se uzeti kao ugao između njihovih vektora smjera i. Pošto, onda prema formuli za kosinus ugla između vektora dobijamo

Uslovi paralelizma i okomitosti dve prave su ekvivalentni uslovima paralelizma i okomitosti njihovih vektora pravca i:

Dvije prave su paralelne ako i samo ako su njihovi koeficijenti proporcionalni, tj. l1 je paralelno sa l2 ako i samo ako je paralelno .

Dvije prave su okomite ako i samo ako je zbroj proizvoda odgovarajućih koeficijenata jednak nuli: .

Naći jednačine prave koja prolazi kroz tačku M1(1;2;3) paralelno sa pravom l1:

Pošto je željena prava l paralelna sa l1, onda kao vektor pravca željene linije l možemo uzeti vektor pravca prave l1.

Jedna od podtačaka teme „Jednačina prave na ravni“ je pitanje sastavljanja parametarskih jednačina prave linije na ravni u pravougaonom koordinatnom sistemu. Članak u nastavku govori o principu sastavljanja takvih jednadžbi za određene poznate podatke. Hajde da pokažemo kako sa parametarskih jednadžbi preći na jednačine drugačijeg oblika; Analizirajmo rješenja tipičnih problema.

Određena linija se može definirati specificiranjem točke koja pripada toj liniji i vektora smjera za pravu.

Pretpostavimo da nam je dat pravougaoni koordinatni sistem O x y . Takođe je data prava linija a koja označava tačku M 1 koja leži na njoj (x 1, y 1) i vektor pravca date prave linije a → = (a x, a y) . Dajemo opis date linije a pomoću jednačina.

Koristimo proizvoljnu tačku M (x, y) i dobijemo vektor M 1 M →; izračunaj njegove koordinate iz koordinata početne i krajnje tačke: M 1 M → = (x - x 1 , y - y 1) . Hajde da opišemo rezultat: prava je data skupom tačaka M (x, y), prolazi kroz tačku M 1 (x 1, y 1) i ima vektor pravca a → = (a x, a y) . Navedeni skup definira pravu liniju samo kada su vektori M 1 M → = (x - x 1 , y - y 1) i a → = (a x , a y) kolinearni.

Postoji neophodan i dovoljan uslov kolinearnosti vektora, koji se u ovom slučaju za vektore M 1 M → = (x - x 1 , y - y 1) i a → = (a x , a y) može zapisati kao jednadžba:

M 1 M → = λ · a → , gdje je λ neki realni broj.

Definicija 1

Jednačina M 1 M → = λ · a → naziva se vektorsko-parametarska jednačina prave.

U koordinatnoj formi to izgleda ovako:

M 1 M → = λ a → ⇔ x - x 1 = λ a x y - y 1 = λ a y ⇔ x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ

Jednačine rezultujućeg sistema x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ nazivaju se parametarske jednačine prave na ravni u pravougaonom koordinatnom sistemu. Suština naziva je sljedeća: koordinate svih tačaka prave mogu se odrediti parametarskim jednadžbama na ravni oblika x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ pri iteraciji preko svih realnih vrijednosti ​parametra λ

Prema gore navedenom, parametarske jednadžbe prave linije na ravnini x \u003d x 1 + a x λ y \u003d y 1 + a y λ određuju pravu liniju koja je data u pravokutnom koordinatnom sistemu, prolazi kroz tačku M 1 (x 1, y 1) i ima vodeći vektor a → = (a x, a y) . Dakle, ako su date koordinate određene tačke prave i koordinate njenog usmjeravajućeg vektora, tada je moguće odmah zapisati parametarske jednačine date prave.

Primjer 1

Potrebno je sastaviti parametarske jednačine prave na ravni u pravougaonom koordinatnom sistemu, ako su data tačka M 1 (2, 3) koja joj pripada i njen vektor pravca a → = (3, 1) .

Rješenje

Na osnovu početnih podataka, dobijamo: x 1 = 2, y 1 = 3, a x = 3, a y = 1. Parametarske jednadžbe će izgledati ovako:

x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ ⇔ x = 2 + 3 λ y = 3 + 1 λ ⇔ x = 2 + 3 λ y = 3 + λ

Hajde da jasno ilustriramo:

Odgovor: x = 2 + 3 λ y = 3 + λ

Treba napomenuti: ako je vektor a → = (a x , a y) služi kao usmjeravajući vektor prave a, a tačke M 1 (x 1, y 1) i M 2 (x 2, y 2) pripadaju ovoj pravoj, tada se može odrediti postavljanjem parametarskih jednačina oblika : x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ , kao i ova opcija: x = x 2 + a x λ y = y 2 + a y λ .

Na primjer, dat nam je usmjeravajući vektor prave linije a → \u003d (2, - 1), kao i tačke M 1 (1, - 2) i M 2 (3, - 3) koje pripadaju ovoj pravoj. Tada je prava linija određena parametarskim jednačinama: x = 1 + 2 · λ y = - 2 - λ ili x = 3 + 2 · λ y = - 3 - λ .

Takođe treba obratiti pažnju na sljedeću činjenicu: ako a → = (a x, a y) je usmjeravajući vektor prave a , tada će bilo koji od vektora biti i njegov usmjeravajući vektor μ a → = (μ a x , μ a y) , gdje je μ ϵ R , μ ≠ 0 .

Dakle, prava linija a na ravni u pravougaonom koordinatnom sistemu može biti definisana parametarskim jednačinama: x = x 1 + μ a x λ y = y 1 + μ a y λ za bilo koju vrednost μ koja je različita od nule.

Pretpostavimo da je prava a data parametarskim jednačinama x = 3 + 2 λ y = - 2 - 5 λ . Onda a → = (2 , - 5) - vektor smjera ove linije. Takođe, bilo koji od vektora μ · a → = (μ · 2 , μ · - 5) = 2 μ , - 5 μ , μ ∈ R , μ ≠ 0 će postati vektor pravca za datu pravu liniju. Radi jasnoće, razmotrite određeni vektor - 2 · a → = (- 4 , 10) , on odgovara vrijednosti μ = - 2 . U ovom slučaju, data prava linija se može odrediti i parametarskim jednačinama x = 3 - 4 · λ y = - 2 + 10 · λ .

Prelazak sa parametarskih jednadžbi prave na ravni na druge jednačine date prave i obrnuto

U rješavanju nekih problema upotreba parametarskih jednadžbi nije najoptimalnija opcija, tada postaje neophodno prevesti parametarske jednačine prave u jednačine prave linije drugog tipa. Hajde da vidimo kako to uraditi.

Parametarske jednačine prave linije x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ odgovaraće kanonskoj jednačini prave na ravni x - x 1 a x = y - y 1 a y .

Rješavamo svaku od parametarskih jednačina s obzirom na parametar λ, izjednačavamo prave dijelove dobijenih jednakosti i dobijamo kanonsku jednačinu date prave linije:

x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ ⇔ λ = x - x 1 a x λ = y - y 1 a y ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y

U ovom slučaju, ne bi trebalo biti neugodno ako će a x ili a y biti jednaki nuli.

Primjer 2

Potrebno je izvršiti prijelaz sa parametarskih jednačina prave x = 3 y = - 2 - 4 · λ na kanonsku jednačinu.

Rješenje

Date parametarske jednadžbe zapisujemo u sljedećem obliku: x = 3 + 0 λ y = - 2 - 4 λ

Parametar λ izražavamo u svakoj od jednačina: x = 3 + 0 λ y = - 2 - 4 λ ⇔ λ = x - 3 0 λ = y + 2 - 4

Izjednačavamo prave dijelove sistema jednačina i dobijamo traženu kanonsku jednačinu prave linije u ravni:

x - 3 0 = y + 2 - 4

odgovor: x - 3 0 = y + 2 - 4

U slučaju kada je potrebno zapisati jednačinu prave linije oblika A x + B y + C = 0, dok su date parametarske jednačine prave na ravni, potrebno je prvo napraviti prelazak na kanonsku jednačinu, a zatim na opštu jednačinu prave. Zapišimo cijeli niz radnji:

x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ ⇔ λ = x - x 1 a x λ = y - y 1 a y ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ ⇔ a y (x - x 1) = a x (y - y 1) ⇔ A x + B y + C = 0

Primjer 3

Opću jednačinu prave je potrebno zapisati ako su date parametarske jednačine koje je definiraju: x = - 1 + 2 λ y = - 3 λ

Rješenje

Prvo, napravimo prijelaz na kanonsku jednačinu:

x = - 1 + 2 λ y = - 3 λ ⇔ λ = x + 1 2 λ = y - 3 ⇔ x + 1 2 = y - 3

Rezultirajuća proporcija je identična jednakosti - 3 · (x + 1) = 2 · y. Otvorimo zagrade i dobijemo opštu jednačinu prave: - 3 x + 1 = 2 y ⇔ 3 x + 2 y + 3 = 0 .

Odgovor: 3x + 2y + 3 = 0

Slijedeći gornju logiku radnji, da se dobije jednačina prave linije sa faktor nagiba, jednadžba prave u segmentima ili normalna jednačina prave, potrebno je dobiti opštu jednačinu prave i iz nje izvršiti dalji prijelaz.

Sada razmotrite obrnutu akciju: zapisivanje parametarskih jednačina prave linije za drugačiji dati oblik jednačina ove prave.

Najlakši prijelaz: sa kanonske jednadžbe na parametarsku. Neka je data kanonska jednadžba oblika: x - x 1 a x = y - y 1 a y . Uzimamo svaku od relacija ove jednakosti jednakom parametru λ:

x - x 1 a x = y - y 1 a y = λ ⇔ λ = x - x 1 a x λ = y - y 1 a y

Hajde da riješimo rezultirajuće jednadžbe za varijable x i y:

x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ

Primjer 4

Parametarske jednačine prave je potrebno zapisati ako je poznata kanonska jednačina prave na ravni: x - 2 5 = y - 2 2

Rješenje

Izjednačimo dijelove poznate jednačine sa parametrom λ: x - 2 5 = y - 2 2 = λ . Iz dobijene jednakosti dobijamo parametarske jednačine prave: x - 2 5 = y - 2 2 = λ ⇔ λ = x - 2 5 λ = y - 2 5 ⇔ x = 2 + 5 λ y = 2 + 2 λ

Odgovor: x = 2 + 5 λ y = 2 + 2 λ

Kada je potrebno izvršiti prijelaz na parametarske jednačine iz date opšte jednačine prave, jednačine prave sa nagibom ili jednačine prave u segmentima, potrebno je izvornu jednačinu dovesti na kanonski, a zatim izvršiti prijelaz na parametarske jednačine.

Primjer 5

Potrebno je zapisati parametarske jednačine prave sa poznatom opštom jednačinom ove prave: 4 x - 3 y - 3 = 0 .

Rješenje

Datu opštu jednačinu transformišemo u jednačinu kanonskog oblika:

4 x - 3 y - 3 = 0 ⇔ 4 x = 3 y + 3 ⇔ ⇔ 4 x = 3 y + 1 3 ⇔ x 3 = y + 1 3 4

Izjednačavamo oba dijela jednakosti sa parametrom λ i dobijamo tražene parametarske jednačine prave:

x 3 = y + 1 3 4 = λ ⇔ x 3 = λ y + 1 3 4 = λ ⇔ x = 3 λ y = - 1 3 + 4 λ

odgovor: x = 3 λ y = - 1 3 + 4 λ

Primjeri i zadaci sa parametarskim jednadžbama prave linije na ravni

Razmotrimo najčešće tipove problema koristeći parametarske jednačine prave linije na ravni u pravougaonom koordinatnom sistemu.

1. U problemima prvog tipa date su koordinate tačaka, bez obzira da li pripadaju pravoj liniji opisanoj parametarskim jednačinama.

Rješenje takvih problema zasniva se na sljedećoj činjenici: brojevi (x, y) određeni iz parametarskih jednačina x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ za neku realnu vrijednost λ su koordinate a tačka koja pripada pravoj liniji, koja je opisana ovim parametarskim jednačinama.

Primjer 6

Potrebno je odrediti koordinate tačke koja leži na pravoj liniji date parametarskim jednačinama x = 2 - 1 6 · λ y = - 1 + 2 · λ za λ = 3 .

Rješenje

U date parametarske jednadžbe zamjenjujemo poznatu vrijednost λ = 3 i izračunavamo željene koordinate: x = 2 - 1 6 3 y = - 1 + 2 3 ⇔ x = 1 1 2 y = 5

odgovor: 1 1 2 , 5

Moguć je i sljedeći problem: neka je neka tačka M 0 (x 0, y 0) data na ravni u pravougaonom koordinatnom sistemu i potrebno je utvrditi da li ta tačka pripada pravoj opisanoj parametarskim jednačinama x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ .

Za rješavanje takvog problema potrebno je zamijeniti koordinate date tačke u poznate parametarske jednačine prave. Ako se utvrdi da je moguća takva vrijednost parametra λ = λ 0, u kojoj su obje parametarske jednadžbe tačne, tada data tačka pripada datoj pravoj liniji.

Primjer 7

Date su tačke M 0 (4, - 2) i N 0 (- 2, 1). Potrebno je utvrditi da li pripadaju pravoj liniji definisanoj parametarskim jednačinama x = 2 · λ y = - 1 - 1 2 · λ .

Rješenje

Zamjenjujemo koordinate tačke M 0 (4, - 2) u date parametarske jednadžbe:

4 = 2 λ - 2 = - 1 - 1 2 λ ⇔ λ = 2 λ = 2 ⇔ λ = 2

Zaključujemo da tačka M 0 pripada datoj pravoj, jer odgovara vrijednosti λ = 2 .

2 = 2 λ 1 = - 1 - 1 2 λ ⇔ λ = - 1 λ = - 4

Očigledno je da ne postoji parametar λ kojem će odgovarati tačka N 0. Drugim riječima, data prava ne prolazi kroz tačku N 0 (- 2 , 1) .

odgovor: tačka M 0 pripada datoj pravoj; tačka N 0 ne pripada datoj pravoj.

1. U zadacima drugog tipa potrebno je sastaviti parametarske jednačine prave na ravni u pravougaonom koordinatnom sistemu. Najjednostavniji primjer takvog problema (sa poznatim koordinatama tačke linije i vektora smjera) je razmatran gore. Pogledajmo sada primjere u kojima prvo trebate pronaći koordinate vektora smjera, a zatim zapisati parametarske jednadžbe.

Tačka M 1 1 2 , 2 3 je data. Potrebno je sastaviti parametarske jednadžbe prave linije koja prolazi kroz ovu tačku i paralelne prave linije x 2 = y - 3 - 1.

Rješenje

Prema uvjetu zadatka, ravna linija, čiju jednadžbu moramo preduhitriti, paralelna je pravoj liniji x 2 \u003d y - 3 - 1. Zatim, kao vektor smjera, prava linija koja prolazi dati poen, moguće je koristiti vektor pravca x 2 = y - 3 - 1 , koji zapisujemo u obliku: a → = (2 , - 1) . Sada su poznati svi potrebni podaci za sastavljanje željenih parametarskih jednačina:

x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ ⇔ x = 1 2 + 2 λ y = 2 3 + (- 1) λ ⇔ x = 1 2 + x λ y = 2 3 - λ

odgovor: x = 1 2 + x λ y = 2 3 - λ .

Primjer 9

Zadata je tačka M 1 (0, - 7). Potrebno je napisati parametarske jednačine prave linije koja prolazi kroz ovu tačku okomito na pravu 3 x – 2 y – 5 = 0 .

Rješenje

Kao usmjeravajući vektor prave linije, čija se jednačina mora sastaviti, moguće je uzeti vektor normale prave linije 3 x - 2 y - 5 = 0 . Njegove koordinate su (3 , - 2) . Zapisujemo tražene parametarske jednačine prave:

x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ ⇔ x = 0 + 3 λ y = - 7 + (- 2) λ ⇔ x = 3 λ y = - 7 - 2 λ

odgovor: x = 3 λ y = - 7 - 2 λ

1. U zadacima trećeg tipa potrebno je izvršiti prijelaz sa parametarskih jednačina date prave linije na druge tipove jednačina koje je određuju. Rješenje slični primjeri razmatrali smo gore, daćemo još jednu.

Zadata je prava linija na ravni u pravougaonom koordinatnom sistemu, definisana parametarskim jednačinama x = 1 - 3 4 · λ y = - 1 + λ . Potrebno je pronaći koordinate nekog vektora normale ove prave.

Rješenje

Da bismo odredili željene koordinate vektora normale, izvršit ćemo prijelaz sa parametarskih jednadžbi na opću jednadžbu:

x = 1 - 3 4 λ y = - 1 + λ ⇔ λ = x - 1 - 3 4 λ = y + 1 1 ⇔ x - 1 - 3 4 = y + 1 1 ⇔ ⇔ 1 x - 1 = - 3 4 y + 1 ⇔ x + 3 4 y - 1 4 = 0

Koeficijenti varijabli x i y nam daju tražene koordinate vektora normale. Dakle, vektor normale prave x = 1 - 3 4 · λ y = - 1 + λ ima koordinate 1 , 3 4 .

odgovor: 1 , 3 4 .

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Izjednačavanje u kanonskim jednačinama prave linije svakog od razlomaka nekom parametru t:

Dobijamo jednadžbe koje izražavaju trenutne koordinate svake tačke prave kroz parametar t.

dakle, parametarske jednadžbe prave linije imaju oblik:

Jednačine prave koja prolazi kroz dvije date tačke.

Neka su dvije tačke M 1 (x1,y1,z1) i M 2 (x2,y2,z2). Jednačine prave koja prolazi kroz dvije date tačke dobijaju se na isti način kao slična jednačina na ravni. Stoga, odmah dajemo oblik ove jednačine.

Prava linija na preseku dve ravni. Opšta jednačina prave u prostoru.

Ako uzmemo u obzir dvije neparalelne ravni, onda će njihov presjek biti prava linija.

Ako su normalni vektori i nekolinearno.

U nastavku, kada razmatramo primjere, pokazat ćemo način transformacije takvih pravolinijskih jednadžbi u kanonske jednadžbe.

5.4 Ugao između dvije prave linije. Uslov paralelnosti i okomitosti dvije prave.

Ugao između dvije prave u prostoru je bilo koji od uglova koji čine dvije prave linije povučene kroz proizvoljnu tačku paralelnu sa podacima.

Neka su dvije prave date njihovim kanonskim jednadžbama.

Za ugao između dve prave uzet ćemo ugao između vektora pravca.

I

Uvjet okomitosti dvije prave svodi se na uvjet okomitosti njihovih vektora smjera i , odnosno na jednakost nule skalarnog proizvoda: ili u koordinatnom obliku: .

Uvjet paralelnosti dvije prave svodi se na uvjet paralelnosti njihovih vektora smjera i

5.5 Međusobni dogovor pravo i ravan.

Neka su date jednačine prave:

i avioni. Ugao između prave i ravni će biti bilo koji od dva susjedna ugla formirana od strane prave i njene projekcije na ravan (slika 5.5).

Slika 5.5

Ako je prava okomita na ravan, vektor usmjeravanja prave i vektor normale na ravan su kolinearni. Dakle, uslov okomitosti prave i ravni se svodi na uslov kolinearnih vektora

U slučaju paralelizma prave i ravni, njihovi vektori gore navedeni su međusobno okomiti. Stoga se uslov paralelnosti prave i ravni svodi na uslov okomitosti vektora; one. njihov dot proizvod je nula ili u koordinatnom obliku: .

Ispod su primjeri rješavanja problema vezanih za temu poglavlja 5.

Primjer 1:

Napišite jednačinu za ravan koja prolazi kroz tačku A (1,2,4) okomitu na pravu koju daje jednačina:

Rješenje:

Koristimo jednačinu ravnine koja prolazi kroz datu tačku okomito na dati vektor.

A(x-x 0)+B(y-y 0)+C(z-z 0)=0

Kao tačku uzimamo tačku A (1,2,4), kroz koju ravan prolazi pored uslova.

Poznavajući kanonske jednačine prave, znamo vektor paralelan pravoj.

Zbog činjenice da je po uslovu prava okomita na željenu ravan, vektor pravca se može uzeti kao vektor normale ravni.

Tako dobijamo jednačinu ravnine u obliku:

2(x-1)+1(y-2)+4(z-4)=0

2x+y+4z-16=0

2x+y+4z-20=0

Primjer 2:

Nađi u avionu 4x-7y+5z-20=0 tačka P za koju OP pravi jednake uglove sa koordinatnim osa.

Rješenje:

Napravimo šematski crtež. (Slika 5.6)

at

Slika 5.6

Prazna tačka R ima koordinate . Budući da vektor čini iste uglove s koordinatnim osa, kosinusi smjera ovog vektora su međusobno jednaki

Nađimo projekcije vektora:

tada se kosinusi smjera ovog vektora lako pronalaze.

Iz jednakosti kosinusa smjera slijedi jednakost:

x p = y p \u003d z p

pošto tačka P leži na ravni, zamena koordinata ove tačke u jednačinu ravni pretvara je u identitet.

4x p -7x p +5x p -20=0

2x p = 20

x p \u003d 10

odnosno: y r=10; z str=10.

Dakle, željena tačka P ima koordinate P (10; 10; 10)

Primjer 3:

Zadata su dva boda A (2, -1, -2) i B (8, -7,5). Naći jednačinu ravni koja prolazi kroz tačku B, okomitu na segment AB.

Rješenje:

Da bismo riješili problem, koristimo jednačinu ravnine koja prolazi kroz datu tačku okomito na dati vektor.

A(x-x 0)+B(y-y 0)+C(z-z 0)=0

Kao tačku koristimo tačku B (8, -7.5), a kao vektor okomit na ravan, vektor. Nađimo projekcije vektora:

tada dobijamo jednačinu ravnine u obliku:

6(x-8)-6(y+7)+7(z-5)=0

6x-48-6y-42+7z-35=0

6x-6y+7z-35=0

6x-6y+7z-125=0

Primjer 4:

Naći jednačinu ravni paralelne sa OY osi i koja prolazi kroz tačke K(1,-5,1) i M(3,2,-2).

Rješenje:

Pošto je ravan paralelna sa OY osom, koristićemo nepotpunu jednačinu ravni.

Ax+Cz+D=0

Zbog činjenice da tačke K i M leže na ravni, dobijamo dva uslova.

Izrazimo iz ovih uslova koeficijente A i C u terminima D.

Pronađene koeficijente zamjenjujemo u nepotpunu jednadžbu ravnine:

budući da , tada smanjujemo D:

Primjer 5:

Naći jednačinu ravni koja prolazi kroz tri tačke M(7,6,7), K(5,10,5), R(-1,8,9)

Rješenje:

Koristimo jednačinu ravni koja prolazi kroz 3 date tačke.

zamena koordinata tačke M, K, R kao prvo, drugo i treće dobijamo:

proširimo determinantu duž 1. reda.

Primjer 6:

Naći jednačinu ravni koja prolazi kroz tačke M 1 (8, -3,1); M 2 (4,7,2) i okomito na ravan 3x+5y-7z-21=0

Rješenje:

Napravimo šematski crtež (slika 5.7)

Slika 5.7

Označavamo datu ravan P 2 i željenu ravan P 2. . Iz jednačine date ravni R 1 određujemo projekcije vektora okomitog na ravan R 1.

Vektor se može premjestiti u ravan P 2 pomoću paralelne translacije, jer je, prema uvjetu zadatka, ravan P 2 okomita na ravan P 1, što znači da je vektor paralelan sa ravni P 2 .

Nađimo projekcije vektora koji leži u ravni R 2:

sada imamo dva vektora i leže u ravni R 2 . očigledno vektor , jednak vektorskom proizvodu vektora i biće okomit na ravan R 2, pošto je okomit na ravan R 2 i, prema tome, njegov vektor normale na ravan R 2.

Vektori i su dati njihovim projekcijama, dakle:

Zatim koristimo jednadžbu ravnine koja prolazi kroz datu tačku okomito na vektor. Kao tačku možete uzeti bilo koju od tačaka M 1 ili M 2, na primjer M 1 (8, -3,1); Kao normalni vektor na ravan R 2 uzimamo .

74(x-8)+25(y+3)+50(z-1)=0

3(x-8)+(y-3)+2(z-1)=0

3x-24+y+3+27-2=0

3x+y+2z-23=0

Primjer 7:

Prava linija je definisana presekom dve ravni. Naći kanonske jednačine prave.

Rješenje:

Imamo jednačinu u obliku:

Treba pronaći tačku x 0, y 0, z 0) kroz koju prolaze prava linija i vektor smjera.

Jednu od koordinata biramo proizvoljno. Na primjer, z=1, tada dobijamo sistem od dvije jednadžbe sa dvije nepoznate:

Tako smo pronašli tačku koja leži na željenoj pravoj (2,0,1).

Kao usmjeravajući vektor željene prave linije, uzimamo unakrsni proizvod vektora i , koji su normalni vektori jer , što znači paralelno sa željenom linijom.

Dakle, vektor smjera prave linije ima projekcije . Koristeći jednadžbu prave linije koja prolazi kroz datu tačku paralelno sa datim vektorom:

Dakle, željena kanonska jednadžba ima oblik:

Primjer 8:

Pronađite koordinate tačke preseka prave i ravni 2x+3y+3z-8=0

Rješenje:

Zapišimo datu jednačinu prave u parametarskom obliku.

x=3t-2; y=-t+2; z=2t-1

svaka tačka ravne linije odgovara jednoj vrijednosti parametra t. Da biste pronašli parametar t koji odgovara tački preseka prave i ravni, zamenjujemo izraz u jednadžbu ravni x, y, z preko parametra t.

2(3t-2)+(-t+2)+3(2t-1)-8=0

6t-4-3t+6+6t-3-8=0

t=1

zatim koordinate željene tačke

željena tačka preseka ima koordinate (1;1;1).

Primjer 9:

Naći jednačinu ravni koja prolazi kroz paralelne prave.

Napravimo šematski crtež (slika 5.9)

Slika 5.9

Od date jednačine linijama i odrediti projekcije vektora smjera ovih linija. Nalazimo projekcije vektora koji leži u ravni P, i uzimamo tačke i iz kanonskih jednačina pravih M 1 (1, -1,2) i M 2 (0,1, -2).

1. Parametrijska jednadžba prave linije

Neka je tačka M 0 (x 0 , y 0 , z 0 ) data na pravoj liniji i vektor s = (l ,m ,n ) koji leži na

ovu liniju (ili paralelnu sa njom). Vektor s se također naziva vodeći vektor ravno.

Ovi uslovi jedinstveno definišu pravu liniju u prostoru. Hajde da je nađemo

jednačina. Uzmite proizvoljnu tačku M (x, y, z) na pravoj. Jasno je da su vektori

M 0 M (x − x 0 , y − y 0 , z − z 0 ) i s su kolinearni.

Dakle, M 0 M = t s − je vektorska jednačina prave linije.

U koordinatnoj notaciji, posljednja jednačina ima sljedeći parametarski prikaz

dva ugla formirana od dve prave, respektivno, paralelne sa datom i prolaze kroz jednu tačku (što može zahtevati paralelno prevođenje jedne od pravih).

Iz definicije slijedi da je jedan od uglova jednak kutu ϕ između njih

Prave su okomite na s 1 s 2 l 1 l 2 + m 1 m 2 + n 1 n 2 = 0 .

4. Ugao između prave i ravni. Uvjeti « » i « » izravni i

avion

Neka je prava L data njenom kanonskom jednačinom x − l x 0 = y − m y 0 = z − n z 0 ,

a ravan P po jednačini

Ax + By + Cz + D = 0.

Definicija. Ugao između prave L

a ravan p se zove oštri ugao između prave L i njene projekcije na ravan.

Iz definicije (i slike) proizlazi da je traženi ugao ϕ dodatni (do pravi ugao) na ugao između vektora normale n (A, B,C) i

vektor smjera s (l ,m ,n ) .

(. uzima se da dobije oštar ugao).

Ako je L R, onda je s n (s, n) = 0

Sada, ako nađeno "t" zamijenimo parametarskim jednadžbama prave linije, tada ćemo pronaći željenu točku presjeka

Jedna od glavnih operacija matematičke analize je operacija prolaska do granice, koja se u toku odvija u različitim oblicima. Počinjemo od najjednostavnijeg oblika prijelaza do granične operacije, zasnovane na konceptu granice tzv. brojevnog niza. Ovo će olakšati uvođenje još jednog vrlo važnog oblika prijelaza do granične operacije, granice funkcije. U nastavku će se konstrukcije prolaza do granice koristiti u konstrukciji diferencijalnog i integralnog računa.



 Beskonačno male i beskonačno velike sekvence

 Odnos između beskonačno velikih i beskonačno malih nizova.

 Najjednostavnija svojstva infinitezimalnih nizova

 Granica sekvence.

 Svojstva konvergentnih nizova

 Aritmetičke operacije nad konvergentnim nizovima

 Monotoni nizovi

 Cauchyjev kriterij konvergencije

 Broj e i njegova ekonomska ilustracija.

 Primjena limita u ekonomskim proračunima

§ 1. Numerički nizovi i jednostavna svojstva

1. Koncept numeričkog niza. Aritmetičke operacije nad nizovima

Brojčani nizovi su beskonačni skupovi brojeva. Primjeri sekvenci poznati su iz škole:

1) niz svih članova beskonačne aritmetičke i geometrijske progresije;

2) niz pravilnih perimetara n-uglovi upisani u datu kružnicu;

zvaće se niz brojeva (ili samo niz).

Odvojeni brojevi x 3 , x 5 , x n zvati će se elementi ili članovi niza (1). Simbol x n naziva se zajednički ili n-ti član ovog niza. Dajući vrijednost n = 1, 2, … u zajedničkom terminu x n dobijamo, redom, prvi x 1 , drugi x 2 i tako dalje. članovi.

Niz se smatra datim (vidi Def.) ako je specificiran metod za dobijanje bilo kojeg od njegovih elemenata. Često se niz daje formulom za zajednički termin niza.

Da bismo skratili notaciju, niz (1) se ponekad piše kao

Struktura uobičajenog pojma (njegove formule) može biti složena. Na primjer,

Ponekad se niz daje tzv ponavljajuće formule, tj. formule koje vam omogućavaju da pronađete sljedeće članove niza od poznatih prethodnih.

Primjer (Fibonačijevi brojevi). Neka je x 1 = x 2 = 1 i data je rekurentna formula x n = x n − 1 + x n − 2 za n = 3, 4, …. Tada imamo niz 1, 1,

2, 3, 5, 8, ... (brojevi Leonarda iz Pize, nadimak Fibonači). Geometrijski, numerički niz može biti prikazan na numeričkom

osa u obliku niza tačaka čije su koordinate jednake odgovarajućim

odgovarajući članovi niza. Na primjer, ( x n ) = 1 n .

Predavanje № 8-9 Osnovi matematičke analize prof. Dymkov M.P. 66

Uzmimo zajedno sa nizom ( x n ) još jedan niz ( y n ) : y 1 , y 2 , y ,n (2).

Definicija. Zbir (razlika, proizvod, količnik) niza

vrijednosti ( xn ) i ( yn ) naziva se niz ( zn ) čiji su članovi

Proizvod niza ( xn ) i broja c R je niz ( c xn ) .

Definicija. Niz ( xn ) se naziva ograničenim

odozgo (odozdo), ako postoji realan broj M (m) takav da svaki element ovog niza xn zadovoljava nejednak

xn ≤ M (xn ≥ m) . Niz se naziva ograničenim ako je ograničen i iznad i ispod m ≤ xn ≤ M . Poziva se niz xn

je neograničen ako je za pozitivan broj A (proizvoljno veliki) postoji barem jedan element niza xn , zadovoljava

što daje nejednakost xn > A.

( x n ) = ( 1n ) 0 ≤ x n ≤ 1.

( x n ) = ( n ) − ograničena je odozdo sa 1, ali je neograničena.

( x n ) = ( − n ) − ograničeno odozgo (–1), ali i neograničeno.

Definicija. Niz ( x n ) se zove infinitezimal,

ako za bilo koji pozitivni realni broj ε (ma koliko mali bio uzet) postoji broj N koji zavisi, općenito govoreći, od ε , (N = N (ε )) takav da je za sve n ≥ N nejednakost x n< ε .

Primjer. ( x n ) = 1 n .

Definicija. Poziva se niz ( xn ). beskrajni bol-

shoy ako za pozitivan realan broj A (bez obzira koliko je velik) postoji broj N (N = N(A)) takav da za sve n ≥ N

dobija se nejednakost xn > A.

UGAO IZMEĐU RAVNI

Razmotrimo dvije ravni α 1 i α 2 date respektivno jednadžbama:

Ispod ugao između dvije ravni mislimo na jedan od diedarskih uglova koji formiraju ove ravni. Očigledno je da je ugao između vektora normale i ravni α 1 i α 2 jednak jednom od naznačenih susednih diedarskih uglova ili . Zbog toga . Jer i , onda

.

Primjer. Odredite ugao između ravnina x+2y-3z+4=0 i 2 x+3y+z+8=0.

Uslov paralelnosti dve ravni.

Dvije ravni α 1 i α 2 su paralelne ako i samo ako su njihovi normalni vektori i paralelni, te stoga .

Dakle, dvije ravni su paralelne jedna s drugom ako i samo ako su koeficijenti na odgovarajućim koordinatama proporcionalni:

ili

Uslov okomitosti ravnina.

Jasno je da su dvije ravni okomite ako i samo ako su njihovi normalni vektori okomiti, i stoga, ili .

Na ovaj način, .

Primjeri.

DIREKTNO U PROSTOR.

VEKTORSKA JEDNAČINA DIRECT.

PARAMETRSKE JEDNAČINE DIRECT

Položaj prave linije u prostoru u potpunosti je određen specificiranjem bilo koje njene fiksne tačke M 1 i vektor paralelan ovoj pravoj.

Vektor paralelan pravoj liniji naziva se vođenje vektor ove linije.

Pa pusti pravo l prolazi kroz tačku M 1 (x 1 , y 1 , z 1) leži na pravoj liniji paralelnoj s vektorom .

Razmotrite proizvoljnu tačku M(x,y,z) na pravoj liniji. Iz slike se vidi da .

Vektori i su kolinearni, tako da postoji takav broj t, šta , gdje je množitelj t može uzeti bilo koju numeričku vrijednost ovisno o poziciji točke M na pravoj liniji. Faktor t naziva se parametar. Označavanje radijus vektora tačaka M 1 i M odnosno, kroz i , Dobijamo . Ova jednačina se zove vektor jednačina prave linije. Pokazuje da je svaka vrijednost parametra t odgovara radijus vektoru neke tačke M ležeći na pravoj liniji.

Ovu jednačinu zapisujemo u koordinatnom obliku. Obratite pažnju da, i odavde

Rezultirajuće jednačine se nazivaju parametarski pravolinijske jednačine.

Prilikom promjene parametra t promene koordinata x, y i z i tačka M kreće se pravolinijski.

DIREKTNE KANONIČKE JEDNAČINE

Neka M 1 (x 1 , y 1 , z 1) - tačka koja leži na pravoj liniji l, i je njegov vektor smjera. Opet, uzmite proizvoljnu tačku na pravoj liniji M(x,y,z) i razmotrimo vektor .

Jasno je da su vektori i kolinearni, tako da njihove odgovarajuće koordinate moraju biti proporcionalne, dakle

– kanonski pravolinijske jednačine.

Napomena 1. Imajte na umu da se kanonske jednadžbe prave mogu dobiti iz parametarskih jednačina eliminacijom parametra t. Zaista, iz parametarskih jednačina dobijamo ili .

Primjer. Napišite jednačinu prave linije na parametarski način.

Označite , dakle x = 2 + 3t, y = –1 + 2t, z = 1 –t.

Napomena 2. Neka je prava okomita na jednu od koordinatnih osa, na primjer, os Ox. Tada je vektor smjera prave okomit Ox, Shodno tome, m=0. Shodno tome, parametarske jednačine prave imaju oblik

Eliminacija parametra iz jednačina t, dobijamo jednadžbe prave linije u obliku

Međutim, i u ovom slučaju pristajemo da formalno zapišemo kanonske jednačine prave u obliku . Dakle, ako je nazivnik jednog od razlomaka nula, onda to znači da je prava okomita na odgovarajuću koordinatnu os.

Slično, kanonske jednačine odgovara pravoj liniji okomitoj na osi Ox i Oy ili paralelne ose Oz.

Primjeri.

OPĆE JEDNAČINE PRAVA PRAVA KAO PRAVA presjeka DVIJE RAVNI

Kroz svaku pravu liniju u prostoru prolazi beskonačan broj ravnina. Bilo koja dva od njih, ukrštajući se, definiraju ga u prostoru. Prema tome, jednačine bilo koje dvije takve ravni, razmatrane zajedno, su jednačine ove prave.

Općenito, bilo koje dvije neparalelne ravni date općim jednačinama

odrediti njihovu liniju ukrštanja. Ove jednačine se nazivaju opšte jednačine ravno.

Primjeri.

Konstruirajte pravu liniju datu jednadžbama

Da bi se konstruisao prava, dovoljno je pronaći bilo koje dve njene tačke. Najlakši način je da izaberete tačke preseka prave sa koordinatnim ravnima. Na primjer, tačka preseka sa ravninom xOy dobijamo iz jednačina prave linije, pod pretpostavkom z= 0:

Rješavajući ovaj sistem, nalazimo poentu M 1 (1;2;0).

Slično, pod pretpostavkom y= 0, dobijamo tačku preseka prave sa ravninom xOz:

Od opštih jednačina prave linije može se preći na njene kanonske ili parametarske jednačine. Da biste to učinili, morate pronaći neku tačku M 1 na liniji i vektor smjera linije.

Koordinate tačaka M 1 dobijamo iz ovog sistema jednačina, dajući jednoj od koordinata proizvoljnu vrijednost. Da biste pronašli vektor smjera, imajte na umu da ovaj vektor mora biti okomit na oba normalna vektora i . Dakle, za vektor smjera prave linije l možeš uzeti vektorski proizvod normalni vektori:

.

Primjer. Olovo opšte jednačine ravno kanonskom obliku.

Pronađite tačku na pravoj liniji. Da bismo to učinili, proizvoljno biramo jednu od koordinata, na primjer, y= 0 i riješi sistem jednačina:

Vektori normale ravni koje definiraju pravu imaju koordinate Stoga će vektor smjera biti ravan

. shodno tome, l: .

UGAO IZMEĐU PRAVA

ugao između pravih u prostoru nazvat ćemo bilo koji od susjednih uglova formiranih od dvije prave povučene kroz proizvoljnu tačku paralelnu sa podacima.

Neka su u prostoru date dvije prave:

Očigledno, ugao φ između linija može se uzeti kao ugao između njihovih vektora smjera i . Budući da , onda prema formuli za kosinus kuta između vektora dobivamo