Sadržaj članka

KONUSNI PRESJECI, ravninske krive, koje se dobijaju ukrštanjem pravog kružnog konusa sa ravninom koja ne prolazi kroz njen vrh (slika 1). Sa stanovišta analitičke geometrije, konusni presjek je mjesto tačaka koje zadovoljavaju jednačinu drugog reda. Sa izuzetkom degeneriranih slučajeva o kojima se raspravljalo u posljednjem dijelu, konusni presjeci su elipse, hiperbole ili parabole.

Konusni presjeci se često nalaze u prirodi i tehnologiji. Na primjer, orbite planeta koje se okreću oko Sunca su elipse. Krug je poseban slučaj elipse, u kojoj je velika osa jednaka maloj. Parabolično ogledalo ima svojstvo da se svi upadni zraci paralelni njegovoj osi konvergiraju u jednoj tački (fokus). Ovo se koristi u većini reflektirajućih teleskopa koji koriste parabolična ogledala, kao i u radarskim antenama i specijalnim mikrofonima s paraboličnim reflektorima. Snop paralelnih zraka izlazi iz izvora svjetlosti postavljenog u fokus paraboličnog reflektora. Stoga se parabolična ogledala koriste u snažnim reflektorima i farovima automobila. Hiperbola je graf mnogih važnih fizički omjeri, na primjer, Boyleov zakon (povezivanje pritiska i zapremine idealan gas) i Ohmov zakon, koji specificira struja kao funkcija otpora pri konstantnom naponu.

RANA ISTORIJA

Pronalazač konusnih presjeka je navodno Menekmus (4. vek pne), Platonov učenik i učitelj Aleksandra Velikog. Menehmus je koristio parabolu i jednakokračnu hiperbolu da riješi problem udvostručavanja kocke.

Rasprave o konusnim presjecima koje su napisali Aristej i Euklid krajem 4. stoljeća. prije Krista, izgubljeni su, ali su materijali iz njih uvršteni u čuvene Konusni presjeci Apolonije iz Perge (oko 260-170 pne), koji su preživjeli do našeg vremena. Apolonije je odustao od zahtjeva da sekantna ravan generatrise konusa bude okomita i, mijenjajući ugao njenog nagiba, dobio je sve konusne presjeke iz jednog kružnog konusa, pravog ili kosog. Dužni smo Apoloniju moderna imena krive - elipsa, parabola i hiperbola.

Apolonije je u svojim konstrukcijama koristio kružni konus sa dva lista (kao na slici 1), pa je po prvi put postalo jasno da je hiperbola kriva sa dvije grane. Od Apolonijevog vremena, konusni presjeci su podijeljeni u tri tipa, ovisno o nagibu rezne ravni prema generatrisi konusa. Elipsa (sl. 1, a) nastaje kada rezna ravan siječe sve generatrise konusa u tačkama jedne njegove šupljine; parabola (sl. 1, b) - kada je rezna ravan paralelna sa jednom od tangentnih ravni konusa; hiperbola (sl. 1, in) - kada rezna ravan siječe obje šupljine konusa.

KONSTRUKCIJA KONUSNIH PRESJEKA

Proučavajući konusne preseke kao preseke ravnina i konusa, drevni grčki matematičari su ih takođe smatrali putanjama tačaka na ravni. Utvrđeno je da se elipsa može definirati kao mjesto tačaka, zbir udaljenosti od kojih je do dvije date tačke konstantan; parabola - kao lokus tačaka jednako udaljenih od date tačke i date prave; hiperbola - kao lokus tačaka, razlika u udaljenostima od kojih do dvije date tačke je konstantna.

Ove definicije konusnih presjeka kao ravnih krivulja također sugeriraju način da se oni konstruišu pomoću istegnute niti.

Elipsa.

Ako su krajevi niti određene dužine fiksirani u tačkama F 1 i F 2 (Sl. 2), tada kriva koju opisuje vrh olovke koja klizi duž čvrsto zategnute niti ima oblik elipse. bodova F 1 i F 2 se nazivaju fokusi elipse, a segmenti V 1 V 2 i v 1 v 2 između tačaka preseka elipse sa koordinatnom osom - velikom i malom osom. Ako bodovi F 1 i F 2 se poklapaju, a zatim se elipsa pretvara u krug.

Hiperbola.

Prilikom konstruiranja hiperbole, tačka P, vrh olovke, pričvršćen je na konac koji slobodno klizi duž klinova postavljenih na tačkama F 1 i F 2 kao što je prikazano na sl. 3, a. Udaljenosti se biraju tako da segment PF 2 je duži od segmenta PF 1 za fiksni iznos manji od udaljenosti F 1 F 2. U tom slučaju jedan kraj konca prolazi ispod klina F 1 i oba kraja konca prelaze preko klina F 2. (Vrh olovke ne bi trebao kliziti duž konca, tako da ga morate popraviti tako što ćete napraviti malu petlju na niti i uvući vrh u nju.) Jedna grana hiperbole ( PV 1 Q) crtamo, pazeći da konac ostane zategnut cijelo vrijeme, i povlačeći oba kraja konca dolje preko tačke F 2 , a kada je tačka Pće biti ispod linije F 1 F 2, držeći konac na oba kraja i pažljivo ga popuštajući (tj. otpuštajući). Druga grana hiperbole ( Pў V 2 Q v) crtamo, prethodno promijenivši uloge klinova F 1 i F 2 .

Grane hiperbole približavaju se dvije prave linije koje se sijeku između grana. Ove linije, koje se nazivaju asimptote hiperbole, konstruisane su kao što je prikazano na Sl. 3, b. Padine ove linije su jednake ± ( v 1 v 2)/(V 1 V 2), gdje v 1 v 2 - segment simetrale ugla između asimptota, okomit na segment F 1 F 2; linijski segment v 1 v 2 se naziva konjugirana osa hiperbole i segmenta V 1 V 2 - njegova poprečna os. Dakle, asimptote su dijagonale pravougaonika sa stranicama koje prolaze kroz četiri tačke v 1 , v 2 , V 1 , V 2 paralelno sa osama. Da biste izgradili ovaj pravougaonik, morate odrediti lokaciju tačaka v 1 i v 2. Oni su na istoj udaljenosti, jednaki

od tačke preseka osa O. Ova formula uključuje konstrukciju pravokutnog trokuta s nogama Ov 1 i V 2 O i hipotenuzu F 2 O.

Ako su asimptote hiperbole međusobno okomite, onda se hiperbola naziva jednakokračna. Dvije hiperbole koje imaju zajedničke asimptote, ali sa preuređenim poprečnim i konjugiranim osama, nazivaju se međusobno konjugiranim.

Parabola.

Fokusi elipse i hiperbole bili su poznati Apoloniju, ali je fokus parabole, očigledno, prvi ustanovio Papus (2. polovina 3. veka), koji je ovu krivu definisao kao geometriju tačaka jednako udaljenih od date tačke ( fokus) i zadatu ravnu liniju, koja se naziva direktor. Konstrukciju parabole pomoću istegnute niti, na osnovu Papove definicije, predložio je Isidor iz Mileta (6. vek). Postavite ravnalo tako da mu se ivica poklapa sa direktrisom LLý (slika 4), i pričvrstite nogu na ovu ivicu AC crtanje trougla ABC. Jedan kraj konca fiksiramo dužinom AB na vrhu B trougla, a drugi u fokusu parabole F. Povlačeći konac vrhom olovke, pritisnite vrh na promenljivoj tački P na slobodno klizanje AB crtanje trougla. Kako se trokut kreće duž ravnala, tačka Pće opisati luk parabole sa fokusom F i direktorica LL¢, pošto je ukupna dužina konca jednaka AB, segment konca graniči sa slobodnim krakom trokuta, a samim tim i preostali segment konca PF mora biti jednak ostatku noge AB, tj. PA. Tačka raskrsnice V parabola sa osom naziva se vrh parabole, ravna linija koja prolazi kroz nju F i V, je osa parabole. Ako se kroz fokus povuče prava linija okomita na osu, tada se segment ove prave linije odsječen parabolom naziva žarišnim parametrom. Za elipsu i hiperbolu, fokalni parametar se definira slično.

SVOJSTVA KONUSNIH PRESJEKA

Pappus definicije.

Uspostavljanje fokusa parabole dovelo je Pappusa do ideje o davanju alternativne definicije konusnih presjeka općenito. Neka F – dati poen(fokus) i L je data prava linija (direktrisa) koja ne prolazi F, i D F i D L– udaljenost od tačke kretanja P da se fokusira F i direktori L respektivno. Tada se, kao što je Papp pokazao, konusni presjeci definiraju kao mjesto tačaka P, za koji je omjer D F/D L je nenegativna konstanta. Ovaj omjer se naziva ekscentricitet e konusni presek. At e e > 1 je hiperbola; at e= 1 je parabola. Ako a F leži na L, tada lokus ima oblik linija (stvarnih ili imaginarnih), koje su degenerirani konusni presjeci.

Upadljiva simetrija elipse i hiperbole sugerira da svaka od ovih krivulja ima dvije direktrise i dva fokusa, a ta okolnost je Keplera 1604. godine navela na ideju da parabola ima i drugi fokus i drugu direktrisu - tačku u beskonačnosti i ravno. Slično, kružnica se može smatrati elipsom, čiji se fokusi poklapaju sa centrom, a direktrise su u beskonačnosti. Ekscentričnost e u ovom slučaju je nula.

Dandelinov dizajn.

Žarišta i direktrise konusnog presjeka mogu se jasno demonstrirati korištenjem sfera upisanih u konus i nazvanih Dandelinove sfere (lopte) u čast belgijskog matematičara i inženjera J. Dandelina (1794–1847), koji je predložio sljedeću konstrukciju. Neka je konusni presjek formiran presjekom neke ravni str sa dvošupljinskim desnim kružnim konusom sa vrhom u tački O. Upišimo dvije sfere u ovaj konus S 1 i S 2 koji dodiruju avion str u tačkama F 1 i F 2 respektivno. Ako je konusni presjek elipsa (slika 5, a), tada su obje sfere unutar iste šupljine: jedna sfera se nalazi iznad ravni str a drugi ispod njega. Svaka generatrisa stošca dodiruje obje sfere, a mjesto dodirnih tačaka ima oblik dva kruga C 1 i C 2 nalaze se u paralelnim ravnima str 1 i str 2. Neka P je proizvoljna tačka na konusnom presjeku. Hajde da nacrtamo pravo PF 1 , PF 2 i produžite liniju PO. Ove prave su tangente na sfere u tačkama F 1 , F 2 i R 1 , R 2. Pošto su sve tangente povučene na sferu iz jedne tačke jednake, onda PF 1 = PR 1 i PF 2 = PR 2. shodno tome, PF 1 + PF 2 = PR 1 + PR 2 = R 1 R 2. Od aviona str 1 i str 2 paralelno, segmentno R 1 R 2 je konstantne dužine. Dakle, vrijednost PR 1 + PR 2 je isti za sve pozicije P, i tačka P pripada lokusu tačaka za koje je zbir udaljenosti od P prije F 1 i F 2 je konstanta. Dakle, bodovi F 1 i F 2 - žarišta eliptičnog presjeka. Osim toga, može se pokazati da su linije duž kojih je ravnina str prelazi avion str 1 i str 2 , su direktrise konstruisane elipse. Ako a str prelazi obe šupljine konusa (slika 5, b), tada dvije Dandelinove sfere leže na istoj strani ravni str, jedna sfera u svakoj šupljini konusa. U ovom slučaju, razlika između PF 1 i PF 2 je konstantna, a mjesto tačaka P ima oblik hiperbole sa žarištima F 1 i F 2 i prave linije - linije ukrštanja str With str 1 i str 2 - kao direktori. Ako je konusni presjek parabola, kao što je prikazano na sl. 5, in, tada se u konus može upisati samo jedna Dandelinova sfera.

Ostale nekretnine.

Svojstva konusnih presjeka su zaista neiscrpna i bilo koja od njih se može uzeti kao odlučujuća. važno mesto u Matematički sastanak Papa (oko 300.), geometrije Descartes (1637) i Počeci Newton (1687) se bavi problemom geometrije tačaka u odnosu na četiri prave. Ako su na ravni date četiri prave L 1 , L 2 , L 3 i L 4 (od kojih se dva mogu podudarati) i tačku P je takav da je proizvod udaljenosti od P prije L 1 i L 2 je proporcionalan proizvodu udaljenosti od P prije L 3 i L 4 , zatim lokus tačaka P je konusni presjek. Pogrešno vjerujući da Apolonije i Papus nisu uspjeli riješiti problem lokusa tačaka u odnosu na četiri prave, Descartes je, da bi dobio rješenje i generalizirao ga, stvorio analitičku geometriju.

ANALITIČKI PRISTUP

Algebarska klasifikacija.

U algebarskim terminima, konusni presjeci se mogu definirati kao ravne krive čije kartezijanske koordinate zadovoljavaju jednačinu drugog stepena. Drugim riječima, jednačina svih konusnih presjeka može se napisati opšti pogled kako

gde nisu svi koeficijenti A, B i C jednaki su nuli. Uz pomoć paralelnog prevođenja i rotacije osa, jednačina (1) se može svesti na oblik

sjekira 2 + by 2 + c = 0

px 2 + qy = 0.

Prva jednačina se dobija iz jednačine (1) sa B 2 № AC, drugi - at B 2 = AC. Konusni presjeci čije se jednadžbe svode na prvi oblik nazivaju se centralnim. Konusni presjeci dati jednadžbama drugog tipa sa q br. 0, nazivaju se necentralnim. Unutar ove dvije kategorije postoji devet različitih tipova konusnih presjeka, ovisno o predznacima koeficijenata.

2831) i a, b i c imaju isti predznak, onda ne postoje realne tačke čije bi koordinate zadovoljile jednačinu. Takav konusni presjek naziva se imaginarna elipsa (ili imaginarni krug ako a = b).

2) Ako a i b imaju jedan znak, i c- suprotno, tada je konusni presjek elipsa (sl. 1, a); at a = b- krug (sl. 6, b).

3) Ako a i b imaju različite predznake, tada je konusni presjek hiperbola (slika 1, in).

4) Ako a i b imaju različite znakove i c= 0, tada se konusni presjek sastoji od dvije prave linije koje se seku (slika 6, a).

5) Ako a i b imaju jedan znak i c= 0, tada postoji samo jedna realna tačka na krivulji koja zadovoljava jednačinu, a konusni presjek su dvije imaginarne linije koje se ukrštaju. U ovom slučaju se također govori o elipsi skupljenoj u tačku ili, ako a = b, skupljeno u tačku kružnice (slika 6, b).

6) Ako bilo a, ili b je jednak nuli, a preostali koeficijenti imaju različite predznake, tada se konusni presjek sastoji od dvije paralelne linije.

7) Ako bilo a, ili b je jednaka nuli, a preostali koeficijenti imaju isti predznak, onda ne postoji realna tačka koja zadovoljava jednačinu. U ovom slučaju se kaže da se konusni presjek sastoji od dvije zamišljene paralelne prave.

8) Ako c= 0, i bilo koji a, ili b je također jednak nuli, tada se konusni presjek sastoji od dvije realne koje se podudaraju. (Jednačina ne definira konusni presjek u a = b= 0, pošto u ovom slučaju originalna jednačina (1) nije drugog stepena.)

9) Jednačine drugog tipa definiraju parabole if str i q razlikuju se od nule. Ako a str br. 0, i q= 0, dobijamo krivu iz tačke 8. Ako je, s druge strane, str= 0, onda jednačina ne definira nijedan konusni presjek, budući da izvorna jednačina (1) nije drugog stepena.

Izvođenje jednadžbi konusnih presjeka.

Svaki konusni presjek se također može definirati kao kriva duž koje se ravan seče sa kvadratnom površinom, tj. sa površinom datom jednačinom drugog stepena f (x, y, z) = 0. Očigledno, konusni presjeci su prvi put prepoznati u ovom obliku, a njihova imena ( vidi ispod) odnose se na činjenicu da su dobijeni ukrštanjem ravnine sa konusom z 2 = x 2 + y 2. Neka A B C D- osnova pravog kružnog konusa (sl. 7) sa pravim uglom na vrhu V. Pustite avion FDC seče generatrisa VB u tački F, osnova je u pravoj liniji CD a površina stošca - duž krivine DFPC, gdje P je bilo koja tačka na krivulji. Nacrtajte kroz sredinu segmenta CD- tačka E- direktno EF i prečnika AB. Kroz tačku P nacrtajte ravan paralelnu sa osnovom konusa, koja siječe konus u kružnici RPS i direktno EF u tački Q. Onda QF i QP može se uzeti za apscisu x i ordinate y bodova P. Rezultirajuća kriva će biti parabola.

Konstrukcija prikazana na sl. 7, može se koristiti za izlaz opšte jednačine konusni preseci. Kvadrat dužine segmenta okomice, vraćen iz bilo koje tačke prečnika do preseka sa kružnicom, uvek je jednak proizvodu dužina segmenata prečnika. Zbog toga

y 2 = RQ H QS.

Za parabolu, segment RQ ima konstantnu dužinu (jer za bilo koju poziciju tačke P jednak je segmentu AE), i dužinu segmenta QS proporcionalan x(iz relacije QS/EB = QF/F.E.). Otuda to sledi

gdje a – konstantni faktor. Broj a izražava dužinu žarišnog parametra parabole.

Ako je ugao na vrhu konusa oštar, tada je segment RQ nije jednako rezu AE; ali odnos y 2 = RQ H QS je ekvivalentna jednadžbi oblika

gdje a i b su konstante, ili, nakon pomjeranja osi, na jednadžbu

što je jednačina elipse. Točke preseka elipse sa osom x (x = a i x = –a) i tačke preseka elipse sa osom y (y = b i y = –b) definiraju glavnu i sporednu os. Ako je ugao na vrhu stošca tup, tada kriva presjeka stošca i ravnine ima oblik hiperbole, a jednadžba ima sljedeći oblik:

ili, nakon pomicanja osi,

U ovom slučaju, tačke preseka sa osom x, dato relacijom x 2 = a 2, definiraju poprečnu osu i točke presjeka s osom y, dato relacijom y 2 = –b 2 definirati os parenja. Ako je konstantan a i b u jednačini (4a) su jednaki, tada se hiperbola naziva jednakokračna. Rotacijom osi njegova se jednadžba svodi na oblik

xy = k.

Sada iz jednačina (3), (2) i (4) možemo razumjeti značenje imena koja je Apolonije dao trima glavna konusna dijela. Izrazi "elipsa", "parabola" i "hiperbola" potiču od grčkih riječi koje znače "nedostatak", "jednak" i "superiorni". Iz jednačina (3), (2) i (4) jasno je da za elipsu y 2 b 2 / a) x, za parabolu y 2 = (a) x i za hiperbolu y 2 > (2b 2 /a) x. U svakom slučaju, vrijednost zatvorena u zagrade jednaka je fokalnom parametru krive.

Sam Apolonije je smatrao samo tri opšti tip konusni presjeci (tipovi 2, 3 i 9 navedeni gore), ali njegov pristup dozvoljava generalizaciju koja nam omogućava da razmotrimo sve stvarne krive drugog reda. Ako je rezna ravnina odabrana paralelno s kružnom bazom konusa, tada će presjek biti krug. Ako rezna ravnina ima samo jednu zajedničku tačku sa konusom, svojim vrhom, tada će se dobiti presjek tipa 5; ako sadrži vrh i tangentu na konus, tada dobijamo presjek tipa 8 (slika 6, b); ako rezna ravan sadrži dva generatora stošca, tada se u presjeku dobija kriva tipa 4 (slika 6, a); kada se vrh prenese u beskonačnost, konus se pretvara u cilindar, a ako ravnina sadrži dva generatora, onda se dobije presjek tipa 6.

Kada se posmatra iz kosog ugla, krug izgleda kao elipsa. Odnos između kruga i elipse, poznat Arhimedu, postaje očigledan ako je kružnica X 2 + Y 2 = a 2 koristeći zamjenu X = x, Y = (a/b) y pretvoriti u elipsu, dato jednačinom(3a). transformacija X = x, Y = (ai/b) y, gdje i 2 = –1, omogućava nam da zapišemo jednadžbu kružnice u obliku (4a). Ovo pokazuje da se hiperbola može posmatrati kao elipsa sa zamišljenom malom osom, ili, obrnuto, elipsa se može posmatrati kao hiperbola sa imaginarnom konjugovanom osom.

Odnos između ordinata kružnice x 2 + y 2 = a 2 i elipsa ( x 2 /a 2) + (y 2 /b 2) = 1 vodi direktno do Arhimedove formule A = p ab za područje elipse. Kepler je znao približnu formulu str(a + b) za obim elipse blizu kružnice, ali je tačan izraz dobijen tek u 18. veku. nakon uvođenja eliptičkih integrala. Kao što je Arhimed pokazao, površina paraboličnog segmenta je četiri trećine površine upisanog trougla, ali se dužina luka parabole mogla izračunati tek nakon, u 17. veku. izmišljen je diferencijalni račun.

PROJEKTIVNI PRISTUP

Projektivna geometrija je usko povezana sa konstrukcijom perspektive. Ako nacrtate krug na prozirnom listu papira i stavite ga ispod izvora svjetlosti, tada će se ovaj krug projicirati na ravan ispod. U ovom slučaju, ako se izvor svjetlosti nalazi direktno iznad centra kruga, a ravan i prozirni list su paralelni, tada će i projekcija biti kružnica (slika 8). Položaj izvora svjetlosti naziva se tačka nestajanja. Označen je slovom V. Ako a V koji se ne nalazi iznad središta kruga, ili ako ravnina nije paralelna sa listom papira, tada projekcija kruga ima oblik elipse. Sa još većim nagibom ravni, glavna os elipse (projekcija kružnice) se produžava, a elipsa se postepeno pretvara u parabolu; na ravni paralelnoj pravoj liniji VP, projekcija izgleda kao parabola; sa još većim nagibom, projekcija poprima oblik jedne od grana hiperbole.

Svaka tačka na originalnoj kružnici odgovara nekoj tački na projekciji. Ako projekcija ima oblik parabole ili hiperbole, onda kažu da je tačka koja odgovara tački P, je u beskonačnosti ili u beskonačnosti.

Kao što smo vidjeli, uz odgovarajući izbor tačaka nestajanja, kružnica se može projicirati u elipse različitih veličina i sa različitim ekscentricitetima, a dužine glavnih osi nisu direktno povezane s prečnikom projektovane kružnice. Dakle, projektivna geometrija se ne bavi udaljenostima ili dužinama sama po sebi, njen zadatak je proučavanje omjera dužina koji se čuva pri projekciji. Ova relacija se može naći pomoću sljedeće konstrukcije. kroz bilo koju tačku P ravni povlačimo dvije tangente na bilo koju kružnicu i povezujemo dodirne točke pravom linijom str. Neka druga prava prolazi kroz tačku P, siječe kružnicu u tačkama C 1 i C 2 , ali prava linija str- u tački Q(Sl. 9). Planimetrija to dokazuje PC 1 /PC 2 = –QC 1 /QC 2. (Znak minus se javlja zbog smjera segmenta QC 1 suprotno od pravca drugih segmenata.) Drugim riječima, tačke P i Q podijeliti segment C 1 C 2 eksterno i interno u istom pogledu; takođe kažu da je harmonijski odnos četiri segmenta jednak - 1. Ako se kružnica projektuje u konusni presek i iste oznake se drže za odgovarajuće tačke, onda je harmonijski odnos ( PC 1)(QC 2)/(PC 2)(QC 1) će ostati jednak - 1. Bod P zove se pol linije str u odnosu na konusni presjek i pravu liniju str- polarna tačka P u odnosu na konusni presjek.

Kada dot P približava se konusnom presjeku, polarna teži da zauzme poziciju tangente; if point P leži na konusnom presjeku, tada se njegova polarna poklapa s tangentom na konusni presjek u tački P. Ako tačka P koji se nalazi unutar konusnog presjeka, onda se njegov polar može konstruirati na sljedeći način. Hajdemo kroz tačku P svaka prava linija koja seče konusni presek u dve tačke; povući tangente na konusni presek u tačkama preseka; pretpostavimo da se ove tangente sijeku u tački P jedan . Hajdemo kroz tačku P druga prava linija koja seče konusni presek u dve druge tačke; pretpostavimo da se tangente na konusni presjek u ovim novim tačkama sijeku u toj tački P 2 (Sl. 10). Prava koja prolazi kroz tačke P 1 i P 2 , a tu je i željeni polar str. Ako tačka P približava se centru O središnji konusni presjek, zatim polarni str udaljava se od O. Kada dot P poklapa se sa O, tada njegova polarna postaje beskonačna, ili idealna, ravna na ravni.

POSEBNE ZGRADE

Od posebnog interesa za astronome je sljedeća jednostavna konstrukcija tačaka elipse pomoću šestara i ravnala. Neka proizvoljna prava prolazi kroz tačku O(Sl. 11, a), seče u tačkama Q i R dva koncentrična kruga sa centrom u tački O i radijusi b i a, gdje b a. Hajdemo kroz tačku Q horizontalna linija, i R- okomitu liniju, i označava njihovu tačku preseka P P pri pravoj rotaciji OQR oko tačke Oće biti elipsa. Ugao f između reda OQR a glavna os se naziva ekscentrični ugao, a konstruisana elipsa je prikladno specificirana parametarskim jednadžbama x = a cos f, y = b grijeh f. Isključujući parametar f, dobijamo jednačinu (3a).

Za hiperbolu, konstrukcija je uglavnom slična. Proizvoljna prava koja prolazi kroz tačku O, siječe jednu od dvije kružnice u tački R(Sl. 11, b). Do tačke R jedan krug i do krajnje tačke S horizontalni promjer drugog kruga, crtamo tangente koje se sijeku OS u tački T i ILI- u tački Q. Neka vertikalna linija prolazi kroz tačku T, i horizontalna linija koja prolazi kroz tačku Q, seku u tački P. Zatim lokus tačaka P prilikom rotacije segmenta ILI okolo O postojaće hiperbola data parametarskim jednačinama x = a sec f, y = b tg f, gdje f- ekscentrični ugao. Ove jednačine je dobio francuski matematičar A. Legendre (1752–1833). Isključivanjem parametra f, dobijamo jednačinu (4a).

Elipsa, kao što je primetio N. Kopernik (1473-1543), može se izgraditi korišćenjem epicikličkog kretanja. Ako se krug kotrlja bez klizanja po unutrašnjosti drugog kruga dvostrukog prečnika, onda svaka točka P, koji ne leži na manjem krugu, već je fiksiran u odnosu na njega, opisat će elipsu. Ako tačka P je na manjem krugu, onda je putanja ove tačke degenerisani slučaj elipse - prečnik većeg kruga. Još jednostavniju konstrukciju elipse predložio je Proklo u 5. veku. Ako završava A i B pravi segment AB zadate dužine klizite duž dvije fiksne ravne linije koje se seku (na primjer, duž koordinatnih osa), a zatim svaka unutrašnja tačka P segment će opisati elipsu; holandski matematičar F. van Šoten (1615–1660) pokazao je da će bilo koja tačka u ravni pravih koja se seku, fiksirana u odnosu na klizni segment, takođe opisati elipsu.

B. Pascal (1623–1662) je sa 16 godina formulisao sada poznatu Pascalovu teoremu, koja kaže: tri tačke preseka suprotnih strana šestougla upisanog u bilo koji konusni presek leže na jednoj pravoj liniji. Pascal je iz ove teoreme izveo više od 400 posledica.

Površine drugog reda su površine koje su u pravougaonom koordinatnom sistemu određene algebarskim jednačinama drugog stepena.

1. Elipsoid.

Elipsoid je površina koja je, u nekom pravougaonom koordinatnom sistemu, definisana jednadžbom:

Jednačina (1) se zove kanonska jednačina elipsoid.

Postavite geometrijski prikaz elipsoida. Da biste to uradili, razmotrite preseke datog elipsoida ravninama paralelnim sa ravninom Oxy. Svaka od ovih ravni je definisana jednačinom oblika z=h, gdje h- bilo koji broj, a prava koja se dobije u presjeku određena je dvije jednačine

(2)

Proučimo jednačine (2) za različite vrijednosti h .

> c(c>0), tada jednačine (2) također definiraju imaginarnu elipsu, tj. točke presjeka ravnine z=h sa datim elipsoidom ne postoji. , onda a prava (2) degeneriše se u tačke (0; 0; + c) i (0; 0; - c) (ravnine dodiruju elipsoid). , tada se jednačine (2) mogu predstaviti kao

odakle sledi da je avion z=h siječe elipsoid duž elipse sa poluosama

i . Pri opadanju, vrijednosti i rastu i dostižu svoje najviše vrijednosti na , tj. u presjeku elipsoida po koordinatnoj ravni Oxy ispada najveća elipsa sa poluosi i .

Slična slika se dobija kada datu površinu preseku ravni paralelne sa koordinatnim ravnima Oxz i Oyz.

Dakle, razmatrani presjeci omogućavaju da se elipsoid prikaže kao zatvorena ovalna površina (sl. 156). Količine a, b, c pozvao osovinske osovine elipsoid. Kada a=b=c elipsoid je spheroth.

2. Jednopojasni hiperboloid.

Hiperboloid s jednom trakom je površina koja je, u nekom pravokutnom koordinatnom sistemu, definirana jednadžbom (3)

Jednačina (3) se zove kanonska jednačina jednopojasnog hiperboloida.

Podesite vrstu površine (3). Da biste to učinili, razmotrite presjek po njegovim koordinatnim ravnima Oxy (y=0)iOx(x=0). Dobijamo, respektivno, jednačine

i

Sada razmotrimo preseke datog hiperboloida ravninama z=h paralelnim sa koordinatnom ravninom Oxy. Linija dobijena u presjeku određena je jednadžbama

ili (4)

iz čega slijedi da ravan z=h siječe hiperboloid duž elipse sa poluosama

i ,

dostižu svoje najniže vrijednosti na h=0, tj. u presjeku ovog hiperboloida, koordinatna osa Oxy proizvodi najmanju elipsu sa poluosama a*=a i b*=b. Sa beskonačnim povećanjem

količine a* i b* se beskonačno povećavaju.

Dakle, razmatrani dijelovi omogućavaju da se hiperboloid s jednom trakom prikaže kao beskonačna cijev, koja se beskonačno širi kako se udaljava (s obje strane) od Oxy ravni.

Veličine a, b, c nazivaju se poluosama jednotrakastog hiperboloida.

3. Hiperboloid sa dva lista.

Hiperboloid sa dva lista je površina koja je, u nekom pravougaonom koordinatnom sistemu, definisana jednadžbom

Jednačina (5) se zove kanonska jednačina dvoslojnog hiperboloida.

Uspostavimo geometrijski oblik površine (5). Da biste to učinili, razmotrite njegove dijelove koordinatnim ravnima Oxy i Oyz. Dobijamo, respektivno, jednačine

i

iz čega sledi da se hiperbole dobijaju u odeljcima.

Sada razmotrimo preseke datog hiperboloida ravninama z=h paralelnim sa koordinatnom ravninom Oxy. Linija dobijena u presjeku određena je jednadžbama

ili (6)

iz čega sledi da

>c (c>0) ravan z=h siječe hiperboloid duž elipse sa poluosama i . Kako se vrijednost povećava, povećavaju se i a* i b*. Jednačine (6) zadovoljavaju koordinate samo dvije tačke: (0; 0; + c) i (0; 0; - c) (ravnine dodiruju datu površinu). jednadžbe (6) definiraju imaginarnu elipsu, tj. nema presečnih tačaka ravni z=h sa datim hiperboloidom.

Veličine a, b i c nazivaju se poluosama dvoslojnog hiperboloida.

4. Eliptični paraboloid.

Eliptični paraboloid je površina koja je, u nekom pravokutnom koordinatnom sistemu, definirana jednadžbom

(7)

gdje je p>0 i q>0.

Jednačina (7) se zove kanonska jednačina eliptičkog paraboloida.

Posmatrajmo presjeke date površine koordinatnim ravnima Oxy i Oyz. Dobijamo, respektivno, jednačine

i

iz čega slijedi da se u presjecima dobijaju parabole, simetrične oko ose Oz, sa vrhovima u ishodištu. (osam)

iz čega slijedi da za . Kako h raste, a i b se također povećavaju; za h=0 elipsa degeneriše u tačku (ravan z=0 dodiruje dati hiperboloid). Za h<0 уравнения (8) определяют мнимый эллипс, т.е. точек пересечения плоскости z=h с данным гиперболоидом нет.

Dakle, razmatrani presjeci omogućuju prikaz eliptičnog paraboloida u obliku beskonačno konveksne posude.

Tačka (0;0;0) se naziva vrh paraboloida; brojevi p i q su njegovi parametri.

U slučaju p=q, jednačina (8) definira krug sa centrom na osi Oz, tj. Eliptični paraboloid se može posmatrati kao površina nastala rotacijom parabole oko svoje ose (paraboloid okretanja).

5. Hiperbolički paraboloid.

Hiperbolički paraboloid je površina koja je, u nekom pravougaonom koordinatnom sistemu, definisana jednadžbom

(9)

Definicija 1. Konusna površina ili konus sa vrhom u tački M 0 je površina koju čine sve prave, od kojih svaka prolazi kroz tačku M 0 i kroz neku tačku prave γ. Tačka M 0 naziva se vrh konusa, a prava γ vodilica. Prave koje prolaze kroz vrh konusa i leže na njemu nazivaju se generatori konusa.

Teorema. Površina 2. reda sa kanonskom jednadžbom

je konus sa vrhom u početku, vođen elipsom

Dokaz.

Neka je M 1 (x 1 ; y 1 ; z 1) neka tačka površine α različita od početka; ?=OM 1 je prava, M (x; y; z) pripada ?. Od | | , onda, takav da

Budući da su njegove koordinate x 1; y1; z 1 zadovoljavaju jednačinu (1). Uzimajući u obzir uslove (3), imamo, gdje t≠ 0. Deljenje obe strane jednačine sa t2≠ 0, dobijamo da koordinate proizvoljne tačke M (x; y; z) prave m=OM 1 zadovoljavaju jednačinu (1). Zadovoljavaju ga i koordinate tačke O(0,0,0).

Dakle, bilo koja tačka M (x; y; z) prave m=OM 1 leži na površini α sa jednačinom (1), odnosno, prava OM 1 =m je pravolinijska generatriksa površine α.

Razmotrimo sada presjek površine α ravninom koja je paralelna s ravninom Oxy sa jednadžbom z=c≠ 0:

Ovaj dio je elipsa sa poluosama a i b. Dakle, siječe ovu elipsu. Prema definiciji 1, površina α je konus sa vrhom O(0,0,0) (Sve linije m prolaze kroz ishodište); generatori ovog konusa su prave linije m, vodilica je elipsa navedena iznad.

Teorema je dokazana.

Definicija 2. Površina drugog reda sa kanonskom jednačinom (1) naziva se konus drugog reda.

Svojstva konusa 2. reda.

1º Konus sa jednačinom (1) je simetričan u odnosu na sve koordinatne ravni, sve koordinatne ose i ishodište (pošto su sve varijable sadržane u jednačini (1) do drugog stepena).

2º Sve koordinatne ose sa konusom (1) imaju jedinu zajedničku tačku - ishodište, koje mu istovremeno služi kao vrh i centar

3º Presjek konusa (1) ravninama Oxz i Oyz– parovi pravih linija koje se seku u početku; avion Oxy- tačka O(0,0,0).

4º Presjeci stošca (1) ravnima paralelnim s koordinatnim ravnima, ali se ne poklapaju s njima, ili su elipse ili hiperbole.

5º Ako a a = b, onda su ove elipse kružnice, a sam konus je površina okretanja. U ovom slučaju se zove kružni konus.

Definicija 3: konusni presjek je prava duž koje se kružni konus siječe sa proizvoljnom ravninom koja ne prolazi kroz njegov vrh. Dakle, kanonski presjeci su elipsa, hiperbola i parabola.

S tom razlikom što ćemo umjesto "ravnih" grafova razmotriti najčešće prostorne površine, a također ćemo naučiti kako ih pravilno graditi ručno. Već neko vrijeme tražim softverske alate za pravljenje 3D crteža i pronašao sam par dobrih aplikacija, ali i pored sve lakoće korištenja, ovi programi ne rješavaju dobro važno praktično pitanje. Činjenica je da će u doglednoj istorijskoj budućnosti učenici i dalje biti naoružani ravnalom s olovkom, a čak i ako imaju kvalitetan "mašinski" crtež, mnogi ga neće moći ispravno prenijeti na karirani papir. Stoga je u priručniku za obuku posebna pažnja posvećena tehnici ručne konstrukcije, a značajan dio ilustracija na stranici je ručno rađen proizvod.

Po čemu se ovaj referentni materijal razlikuje od analoga?

Sa pristojnim praktičnim iskustvom, vrlo dobro znam koje se površine najčešće obrađuju u stvarnim problemima više matematike i nadam se da će vam ovaj članak pomoći da brzo napunite svoj prtljag relevantnim znanjima i primijenjenim vještinama, a to je 90-95% slučajeva trebalo bi da bude dovoljno.

Šta sada trebate znati?

Najelementarnije:

Prvo, morate biti u mogućnosti graditi ispravno prostorni Kartezijanski koordinatni sistem (pogledajte početak članka Grafovi i svojstva funkcija ) .

Šta ćete dobiti nakon čitanja ovog članka?

Boca Nakon savladavanja materijala lekcije, naučit ćete kako brzo odrediti vrstu površine prema njenoj funkciji i/ili jednadžbi, zamisliti kako se nalazi u prostoru i, naravno, napraviti crteže. U redu je ako vam ne stane sve u glavu od prvog čitanja - uvijek se možete vratiti na bilo koji pasus po potrebi kasnije.

Informacija je u moći svakoga - za njen razvoj nije potrebno nikakvo super-znanje, poseban umjetnički talenat i prostorna vizija.

Počni!

U praksi se obično daje prostorna površina funkcija dvije varijable ili jednačina oblika (konstanta desne strane je najčešće jednaka nuli ili jedan). Prva oznaka je tipičnija za matematičku analizu, druga - za analitička geometrija . Jednačina, u suštini, jeste implicitno dato funkcija 2 varijable, koja se u tipičnim slučajevima može lako svesti na oblik . Podsjećam vas na najjednostavniji primjer c :

– ravan jednadžba vrsta.

je funkcija ravni u eksplicitno .

Počnimo s tim:

Uobičajene jednačine ravnine

Tipične opcije za raspored ravnina u pravokutnom koordinatnom sistemu detaljno su razmotrene na samom početku članka. Jednačina ravnine . Ipak, još jednom ćemo se zadržati na jednačinama koje su od velikog značaja za praksu.

Prije svega, morate u potpunosti prepoznati jednačine ravnina koje su paralelne sa koordinatnim ravnima. Fragmenti ravni se standardno prikazuju kao pravokutnici, koji u posljednja dva slučaja izgledaju kao paralelogrami. Podrazumevano možete odabrati bilo koju dimenziju (u razumnim granicama, naravno), dok je poželjno da tačka u kojoj koordinatna os "probija" ravan bude centar simetrije:


Strogo govoreći, koordinatne ose na nekim mjestima trebale su biti prikazane isprekidanom linijom, ali kako bismo izbjegli zabunu, zanemarit ćemo ovu nijansu.

– (lijevi crtež) nejednakost definiše poluprostor koji je najudaljeniji od nas, isključujući samu ravan;

– (srednji crtež) nejednakost definira desni poluprostor, uključujući ravan ;

– (desni crtež) dvostruka nejednakost specificira "sloj" koji se nalazi između ravnina, uključujući obje ravnine.

Za samostalno vježbanje:

Primjer 1

Nacrtajte tijelo omeđeno ravnima
Sastavite sistem nejednakosti koje definišu dato tijelo.

Ispod olova vaše olovke trebao bi izaći stari poznanik kuboid. Ne zaboravite da nevidljive ivice i lica moraju biti nacrtane isprekidanom linijom. Završeno crtanje na kraju lekcije.

molim te NE ZAPOSTAVLJAJTE zadaci učenja, čak i ako se čine previše jednostavni. U suprotnom, može se ispostaviti da su to jednom promašili, dvaput, a zatim proveli sat vremena bruseći trodimenzionalni crtež u nekom stvarnom primjeru. Osim toga, mehanički rad će pomoći da se gradivo nauči mnogo efikasnije i razvije inteligenciju! Nije slučajno što se u vrtiću i osnovnoj školi djeca opterećuju crtanjem, modeliranjem, dizajnerima i drugim zadacima za finu motoriku prstiju. Oprostite na digresiji, ali moje dvije bilježnice o razvojnoj psihologiji ne bi trebale nestati =)

Sljedeću grupu ravnina uslovno ćemo nazvati "direktnim proporcijama" - to su ravnine koje prolaze kroz koordinatne osi:

2) jednačina oblika definiše ravan koja prolazi kroz osu;

3) jednačina oblika definiše ravan koja prolazi kroz osu.

Iako je formalni znak očigledan (koja varijabla nedostaje u jednadžbi - ravan prolazi kroz tu osu), uvijek je korisno razumjeti suštinu događaja koji se dešavaju:

Primjer 2

Build Plane

Koji je najbolji način za izgradnju? Predlažem sledeći algoritam:

Prvo, prepisujemo jednačinu u obliku , iz kojeg se jasno vidi da "y" može uzeti bilo koji vrijednosti. Fiksiramo vrijednost, odnosno razmatrat ćemo koordinatnu ravan. Postavljene jednačine prostorna linija leži u datoj koordinatnoj ravni. Nacrtajmo ovu liniju na crtežu. Prava prolazi kroz ishodište, pa je za njeno konstruisanje dovoljno pronaći jednu tačku. Neka . Odvojite tačku i povucite liniju.

Sada se vratimo na ravan jednadžbi. Pošto "y" traje bilo koji vrijednosti, tada se ravna linija konstruirana u ravni kontinuirano „replicira“ lijevo i desno. Ovako se formira naša ravnina koja prolazi kroz osu. Da bismo završili crtež, lijevo i desno od prave linije odvajamo dvije paralelne linije i "zatvaramo" simbolički paralelogram poprečnim horizontalnim segmentima:

Budući da uvjet nije nametnuo dodatna ograničenja, fragment aviona mogao bi se prikazati nešto manji ili nešto veći.

Još jednom ponavljamo značenje prostorne linearne nejednakosti koristeći primjer. Kako odrediti poluprostor koji on definira? Hajde da uzmemo poentu nije u vlasništvu ravan, na primjer, tačku iz nama najbližeg poluprostora i zamijenite njene koordinate u nejednakosti:

Primljeno ispraviti nejednakost, što znači da nejednakost definira donji (u odnosu na ravan ) poluprostor, dok sama ravan nije uključena u rješenje.

Primjer 3

Gradite avione
a) ;
b) .

Ovo su zadaci za samogradnju, u slučaju poteškoća koristite slično rezonovanje. Kratka uputstva i crteži na kraju lekcije.

U praksi su posebno česte ravni paralelne sa osom. Poseban slučaj, kada ravnina prolazi kroz osu, bio je upravo u paragrafu "b", a sada ćemo analizirati opštiji problem:

Primjer 4

Build Plane

Rješenje: varijabla "z" ne učestvuje eksplicitno u jednačini, što znači da je ravan paralelna sa aplikativnom osom. Koristimo istu tehniku ​​kao u prethodnim primjerima.

Prepišimo jednadžbu ravnine u obliku iz čega je jasno da "Z" može uzeti bilo koji vrijednosti. Popravimo to i u "nativnoj" ravni nacrtajmo uobičajenu "ravnu" ravnu liniju. Da biste ga izgradili, zgodno je uzeti referentne tačke.

Pošto "Z" uzima sve vrijednosti, tada se konstruirana prava linija kontinuirano "množi" gore-dolje, formirajući tako željenu ravan . Pažljivo nacrtajte paralelogram razumne veličine:

Spreman.

Jednačina ravnine u segmentima

Najvažnija primijenjena sorta. Ako a sve kvote opšta jednačina ravni različito od nule, onda se može predstaviti kao , koji se zove jednačina ravnine u segmentima. Očigledno, ravan siječe koordinatne osi u tačkama , a velika prednost takve jednadžbe je jednostavnost crtanja:

Primjer 5

Build Plane

Rješenje: prvo sastavljamo jednačinu ravni u segmentima. Bacite slobodni član udesno i podijelite oba dijela sa 12:

Ne, ovo nije greška u kucanju i sve se stvari dešavaju u svemiru! Predloženu površinu ispitujemo istom metodom koja je nedavno korištena za avione. Prepisujemo jednačinu u formu , iz čega slijedi da "Z" uzima bilo koji vrijednosti. Fiksiramo i konstruišemo elipsu u ravni. Pošto "Z" uzima sve vrijednosti, tada se konstruirana elipsa kontinuirano "replicira" gore-dolje. Lako je razumjeti da je površina beskrajno:

Ova površina se zove eliptični cilindar. Elipsa (na bilo kojoj visini) se naziva vodič cilindar, a paralelne prave koje prolaze kroz svaku tačku elipse nazivaju se generiranje cilindar (koji ga doslovno formiraju). osa je osa simetrije površine (ali ne i njen dio!).

Koordinate bilo koje tačke koja pripada datoj površini nužno zadovoljavaju jednačinu .

Spatial nejednakost definira "unutrašnjost" beskonačne "cijevi", uključujući i samu cilindričnu površinu, i, shodno tome, suprotna nejednakost definira skup točaka izvan cilindra.

U praktičnim problemima, najpopularniji slučaj je kada vodič cilindar je krug :

Primjer 8

Konstruirajte površinu zadanu jednadžbom

Nemoguće je prikazati beskrajnu "cijev", stoga je umjetnost ograničena, po pravilu, na "rezanje".

Prvo je prikladno izgraditi krug radijusa u ravnini, a zatim još nekoliko krugova iznad i ispod. Dobijeni krugovi ( vodiči cilindar) uredno povezani sa četiri paralelne prave linije ( generiranje cilindar):

Ne zaboravite da koristite isprekidane linije za nevidljive linije.

Koordinate bilo koje tačke koja pripada datom cilindru zadovoljavaju jednačinu . Koordinate bilo koje tačke koja leži striktno unutar "cijevi" zadovoljavaju nejednakost , i nejednakost definira skup tačaka vanjskog dijela. Za bolje razumijevanje, preporučujem da razmotrite nekoliko specifičnih tačaka u prostoru i uvjerite se sami.

Primjer 9

Konstruirajte površinu i pronađite njenu projekciju na ravan

Prepisujemo jednačinu u formu iz čega sledi da "x" uzima bilo koji vrijednosti. Hajde da popravimo i nacrtamo u ravni krug – centrirano na nuli, jedinični polumjer. Pošto "x" kontinuirano uzima sve vrijednosti, tada konstruirani krug generira kružni cilindar sa osom simetrije . Nacrtajte još jedan krug vodič cilindar) i pažljivo ih povežite ravnim linijama ( generiranje cilindar). Na nekim mjestima su se ispostavili preklopi, ali šta da se radi, takav nagib:

Ovaj put sam se ograničio na komadić cilindra u procjepu i to nije slučajno. U praksi je često potrebno prikazati samo mali fragment površine.

Ovdje se, usput, pokazalo 6 generatrica - dvije dodatne ravne linije "zatvaraju" površinu iz gornjeg lijevog i donjeg desnog ugla.

Sada se pozabavimo projekcijom cilindra na ravan. Mnogi čitatelji razumiju šta je projekcija, ali, ipak, hajde da provedemo još petominutno fizičko vaspitanje. Ustanite i nagnite glavu preko crteža tako da vrh ose izgleda okomito na vaše čelo. Kako cilindar izgleda iz ovog ugla je njegova projekcija na ravan. Ali čini se da je to beskrajna traka, zatvorena između pravih linija, uključujući i same ravne linije. Ova projekcija je tačno domena funkcije (gornji "oluk" cilindra), (donji "oluk").

Uzgred, razjasnimo situaciju sa projekcijama na druge koordinatne ravnine. Neka sunčeve zrake obasjaju cilindar sa strane vrha i duž ose. Sjena (projekcija) cilindra na ravan je slična beskonačna traka - dio ravnine omeđen ravnim linijama ( - bilo koje), uključujući i same prave linije.

Ali projekcija na ravan je nešto drugačija. Ako cilindar gledate s vrha ose, tada se projektuje u krug jediničnog polumjera sa kojim smo započeli gradnju.

Primjer 10

Konstruirajte površinu i pronađite njene projekcije na koordinatne ravnine

Ovo je zadatak za samostalnu odluku. Ako uvjet nije vrlo jasan, kvadrirajte obje strane i analizirajte rezultat; saznajte koji dio cilindra točno specificira funkcija. Koristite tehniku ​​gradnje koja je više puta korištena gore. Kratko rješenje, crtež i komentari na kraju lekcije.

Eliptične i druge cilindrične površine mogu se pomaknuti u odnosu na koordinatne osi, na primjer:

(na poznatim osnovama članka o Linije 2. reda ) - cilindar jediničnog radijusa sa linijom simetrije koja prolazi kroz tačku paralelnu osi. Međutim, u praksi se takvi cilindri susreću prilično rijetko i apsolutno je nevjerojatno susresti cilindričnu površinu "koso" u odnosu na koordinatne osi.

Parabolični cilindri

Kao što ime govori, vodič takav je cilindar parabola .

Primjer 11

Konstruirajte površinu i pronađite njene projekcije na koordinatne ravni.

Nisam mogao odoljeti ovom primjeru =)

Rješenje: Pratimo utabanu stazu. Prepišimo jednačinu u obliku , iz čega slijedi da "Z" može uzeti bilo koju vrijednost. Popravimo i konstruirajmo običnu parabolu na ravni, prethodno označivši trivijalne referentne tačke. Pošto "Z" uzima sve vrijednosti, tada se konstruirana parabola kontinuirano "replicira" gore-dolje do beskonačnosti. Odvajamo istu parabolu, recimo, na visini (u ravni) i pažljivo ih povezujemo paralelnim linijama ( generatori cilindra):

podsjećam korisna tehnika: ako u početku nema povjerenja u kvalitetu crteža, onda je bolje prvo nacrtati linije tanko i tanko olovkom. Zatim procjenjujemo kvalitetu skice, otkrivamo područja na kojima je površina skrivena od naših očiju, a tek onda vršimo pritisak na olovku.

Projekcije.

1) Projekcija cilindra na ravan je parabola. Treba napomenuti da je u ovom slučaju nemoguće govoriti o tome domene funkcije dvije varijable - iz razloga što se jednadžba cilindra ne može svesti na funkcionalni oblik.

2) Projekcija cilindra na ravan je poluravnina, uključujući i osu

3) I, konačno, projekcija cilindra na ravan je cijela ravan.

Primjer 12

Konstruirajte parabolične cilindre:

a) , ograničimo se na fragment površine u bliskom poluprostoru;

b) između

U slučaju poteškoća, ne žurimo i raspravljamo po analogiji sa prethodnim primjerima, srećom, tehnologija je temeljito razrađena. Nije kritično ako se površine pokažu malo nezgrapnim - važno je pravilno prikazati osnovnu sliku. Ni sam se posebno ne zamaram ljepotom linija, ako dobijem podnošljiv crtež "C razreda", obično ga ne ponavljam. U uzorku rješenja, inače, korištena je još jedna tehnika za poboljšanje kvalitete crteža ;-)

Hiperbolički cilindri

vodiči takvi cilindri su hiperbola. Ova vrsta površine, prema mojim zapažanjima, mnogo je rjeđa od prethodnih tipova, pa ću se ograničiti na jedan shematski crtež hiperboličkog cilindra:

Princip rezonovanja ovdje je potpuno isti - uobičajen školska hiperbola iz ravni se kontinuirano "množi" gore-dolje do beskonačnosti.

Razmatrani cilindri spadaju u tzv površine 2. reda, a sada ćemo nastaviti upoznavanje sa ostalim predstavnicima ove grupe:

Elipsoid. Sfera i lopta

Kanonska jednadžba elipsoida u pravougaonom koordinatnom sistemu ima oblik , gdje su pozitivni brojevi ( osovinske osovine elipsoid), što u opštem slučaju drugačije. Elipsoid se zove površine, i tijelo omeđen ovom površinom. Tijelo je, kao što su mnogi pretpostavili, dato nejednakošću i koordinate bilo koje unutrašnje tačke (kao i bilo koje površinske tačke) nužno zadovoljavaju ovu nejednakost. Dizajn je simetričan u odnosu na koordinatne ose i koordinatne ravni:

Očigledno je i porijeklo pojma "elipsoid": ako se površina "presiječe" koordinatnim ravninama, tada će u presjecima biti tri različita (u općem slučaju)